HANDBOUND AT THE c^/^ I GESAMMELTE ABMNDLUNGEN VON HERMANN MINKOWSKI UNTER MITWIRKUNG VOK ANDREAS SPEISER UND HERMANN WEYL HERAUSGEGEBEN VOX DAVID HILBERT ERSTER BAND MIT EINEM BILDNIS HERMANN MINKOWSKIS UND 6 FIGUREN IM TEXT LEIPZIG UND BERLIN DRÜCK UND VERLAG VON B.G.TEÜBNER 1911 an 3 COPYRIGHT 1911 BY B. G. TEUBNKR IN LEIPZIG. ALLE RECHTE, EINSCHLIESSLICH DES ÜBERSETZÜNGSRECHTS, VORBEHALTEN. INHALT DES BESTEN BANDES. Seite Gedächtnisrede auf H. Minkowski, von D. Hubert Y Zur Theorie der quadratischen Formen. I. Grundlagen für eine Theorie der quadratischen Formen mit ganzzahligen Koeffizienten 3 (In französischer Sprache unter dem Titel: Memoire sur la theorie des formes quadratiques, in den Memoires presentes par divers savants ä l'Academie des Sciences de l'Institut national de France, Tome XXIX, No. 2; 1884.) n. Sur la reduction des formes quadratiques positives quaternaires 145 (Comptes rendus de l'Academie des Sciences, Paris, t. 96, pp. 1205 — 1210; 1883.) ni. über positive quadratische Formen 149 (Grelles Journal für die reine und angewandte Mathematik, Bd. 99, S. 1—9; 1886.) IV. Untersuchungen über quadratische Formen. Bestimmung der Anzahl verschiedener Formen, welche ein gegebenes Genus enthält 157 (Inauguraldissertation, Königsberg 1885; Acta Mathematica, Bd. 7, S. 201—258; 1885.) V. Über den arithmetischen Begriff der Äquivalenz und über die endlichen Gruppen linearer ganzzahliger Substitutionen. . . . 203 (Grelles Journal für die reine und angewandte Mathematik, Bd. 100, . 449—458; 1887.) VI. Zur Theorie der positiven quadratischen Formen 212 (Grelles Journal für die reine und angewandte Mathematik, Bd. 101, S. 196—202; 1887.) Vn. über dieBedingungen, unter welchen zwei quadratische Formen mit rationalen Koeffizienten ineinander rational transformiert werden können (Auszug aus einem von Herrn H. Minkowski in Bonn an Herrn Adolf Hurwitz gerichteten Brief) 219 (Grelles Journal für die reine und angewandte Mathematik, Bd. 106, S. 5—26; 1890.) Zur Geometrie der Zahlen. Vni. über die positiven quadratischen Formen und über ketten- bruchähnliche Algorithmen 243 (Grelles Journal für die reine und angewandte Mathematik, Bd. 107, S. 278—297; 1891.) IV Inhalt des ersten Bandes. Seite IX. Thöoremes arithmätiques (Extrait d'une lettre de M. H. Minkowski ä M. Hermite) 261 (Comptes rendus de TAcademie des Sciences, Paris, t. 112, pp. 209 — 212; 1891.) X. Über Geometrie der Zahlen (Bericht über einen Vortrag zu Halle) . 264 (Verhandlungen der 64. Naturforscher- und ÄrzteTersammlung zu Halle, 1891, S. 13, und Jahresbericht der Deutschen Mathematiker- Vereinigung, Bd. 1, S. 64—65; 1892.) XI. Extrait d'une lettre adressee ä M. Hermite 266 (Bulletin des Sciences mathematiques , 2' sirie, t. XVII, pp. 24 — 29; 1893.) XII. Über Eigenschaften von ganzen Zahlen, die durch räumliche Anschauung erschlossen sind 271 (Mathematical Papers read at the inteniational Mathematical Congress held in connection with the world's Columbian Exposition Chicago, 1893, pp. 201 — 207; ferner untei dem Titel: Sur les proprietes des nombres entiers qui sont d^rivees de l'intuition de Fespace, vonL. Laugel ins Französische übersetzt, in Nouvelles Annales de Mathematiques, 3« Serie, t. XV, pp. 393—403; 1896.) XIII. Zur Theorie der Kettenbrüche 278 (Von L. Lau gel ins Französische übersetzt unter dem Titel: Grene- ralisation de la theorie des fractions continues, in Annales de l'Ecole Normale superieure, 3* serie, t. XIII, pp. 41 — 60; 1896.) XIV. Ein Kriterium für die algebraischen Zahlen 293 (Nachrichten der K. Gresellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, mathematisch-physikalische Klasse, 1899, S. 64 — 88.) XV. Zur Theorie der Einheiten in den algebraischen Zahlkörpern 316 (Nachrichten der K. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, mathematisch-physikalische Klasse, 1900, S. 90 — 93.) XVI. Über die Annäherung an eine reelle Größe durch rationale Zahlen 320 (Mathematische Annalen, Bd. 54, S. 91—124; 1901.) XVn. Quelques nouveaux theoremes sur l'approximation des quan- tites ä l'aide de nombres rationnels 353 (Bulletin des Sciences mathematiques, 2* serie, t. XXV, pp. 72 — 76; 1901.) XVin. über periodische Approximationen algebraischer Zahlen. . . 357 (Acta Mathematica, Bd. 26, S. 333—351; 1902.) Hermann Minkowski. Gedächtnisrede, gehalten in der öffentlichen Sitzung der K. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen am 1. Mai 1909 von DaTid Hubert. (Nachrichten der K. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. 1909.) Einen schweren unermeßlichen Verlust haben zu Beginn des Jahres 1909 unsere Gesellschaft, unsere Universität, die Wissenschaft und wir alle per- sönlich erlitten: durch ein hartes Geschick wurde uns jäh entrissen unser KoUeore und Freund Hermann Minkowski im YoUbesitz seiner Lebenskraft, aus der Mitte freudigsten Wirkens, von der Höhe seines wissenschaftlichen Schaffens. Seinem Andenken widmen wir diese Stunde. Hermann Minkowski wurde am 22. Juni 1864 zu Alexoten in Rußland geboren, kam als Knabe nach Deutschland und trat Oktober 1872 im Alter von 8V4 Jahren in die Septima des Altstädtischen Gymnasiums zu Königsberg i. Pr. ein. Da er von sehr rascher Auffassung war und ein vortreffliches Gedächtnis hatte, wurde er auf mehreren Klassen in kürzerer als der vorgeschriebenen Zeit versetzt und verließ das Gymnasium schon März 1880 — noch als Fünfzehnjähriger — mit dem Zeugnis der Reife. Ostern 1880 begann Minkowski seine Universitätsstudien. Insgesamt hat er 5 Semester in Königsberg, vornehmlich bei Weber und Voigt, und o Semester in Berlin studiert, wo er die Vorlesungen von Kummer, Kronecker, Weierstraß, Helmholtz und Kirchhoff hörte. Seine Befähigung zur Mathematik zeigte sich früh; fiel ihm doch im ersten Semester bereits für die Lösung einer mathematischen Aufgabe eine Geldprämie zu, auf die er freilich zugunsten eines vmen Mitschülers verzichtete, so daß sein frühzeitiger Erfolg zu Hause gar nicht bekannt wurde — eine kleine Begebenheit, die zugleich die Bescheidenheit und Herzensgute kennzeichnet, wie er sie sein ganzes Leben hindurch allen Menschen gegenüber, die ihm näher kamen, betätigt hat. Sehr bald begann Minkowski tiefgehende und gründliche mathematische Studien. Ostern 1881 hatte die Pariser Akademie das Problem der Zer- legung der ganzen Zahlen in eine Summe von fünf Quadraten als Preis- thema gestellt. Dieses Thema griff der siebzehnjährige Student mit aller VI Gedächtnisrede auf H. Minkowski. Energie an und löste die gestellte Aufgabe aufs glänzendste, indem er weit über das Preisthema hinaus die allgemeine Theorie der quadratischen Formen, insbesondere ihre Einteilung in Ordnungen und Geschlechter — zunächst sogar für beliebigen Trägheitsindex — entwickelte*). Es ist erstaunlich, welch sichere Herrschaft Minkowski schon damals über die algebraischen Methoden, insbesondere die Elementarteilertheorie, sowie über die transzendenten Hilfsmittel wie die Dirichletschen Reihen und die Gaußschen Summen besaß, — Kenntnisse, die noch heute lange nicht all- gemeines Eigentum der Mathematiker geworden sind, die aber freilich zur erfolgreichen Inangriffnahme des Pariser Preisthemas eine notwendige Voraussetzung bildeten. Hören wir, wie Minkowski selbst in dem Begleit- schreiben zu seiner der Pariser Akademie eingereichten Arbeit sich aus- spricht**): „Durch die von der Academie des Sciences gestellte Aufgabe an- geregt", so schreibt der jugendliche Student, „unternahm ich eine genauere Untersuchung der allgemeinen quadratischen Formen mit ganzzahligen Koeffizienten. Ich ging dabei von dem natürlichen Gedanken aus, daß die Zerlegung einer Zahl in eine Summe von fünf Quadraten in ähnlicher Weise von den quadratischen Formen mit vier Variablen abhängen würde, wie be- kanntlich die Zerlegung einer Zahl in eine Summe von drei Quadraten von den quadratischen Formen mit zwei Variablen abhängt. Diese Untersuchung hat mir in der Tat die gewünschten Resultate über die Zerlegung einer Zahl in eine Summe von fünf Quadraten geliefert. Indessen erscheinen diese Resultate bei der großen Allgemeinheit der von mir gefundenen Sätze nicht überall als das eigentliche Hauptziel der vorliegenden Arbeit; sie stellen vielmehr nur ein Beispiel für die gewonnenen umfangreichen Theorien dar. Wenn daher viele der nachfolgenden Betrachtungen nicht immer unmittelbar auf das Thema der Preisfrage hinweisen, so wage ich dennoch zu hoffen, daß die Akademie nicht der Ansicht sein werde, ich würde mehr gegeben haben, wenn ich weniger gegeben hätte." Mit dem Motto: „RiöD. n'est beau que le vrai, le vrai seul est aimable" reichte der noch nicht Achtzehnjährige am 30. Mai 1882 die Arbeit der Pariser Akademie ein. Obwohl dieselbe, entgegen den Bestimmungen der Akademie, in deut- scher Sprache abgefaßt war, so erkannte die Akademie dennoch unter ausdrücklicher Betonung des exzeptionellen Falles auf Zuerteilung des vollen Preises, da — wie es im Kommissionsbericht heißt — eine Arbeit von solcher Bedeutung nicht wegen einer Irregularität der Form von der *) „Memoire sur la theorie des formes quadratiques ä coefficients entiera." M^moires presentes par divers savants ä l'Academie des Sciences de Tlnstitut national de France, T. XXIX. No. 2 (1884), Unter dem Titel „Grundlagen für eine Theorie der quadratischen Formen mit ganzzahligen Koeffizienten", diese Ges. Abhandlungen, Bd. I, S. 3—144. **) Vgl. diese Ges. Abhandlungen, Bd. I, S. 4. Gedächtnisrede auf H. Minkowski. Vll Bewerbung auszuschließen sei, und erteilte ihm im April 1883 den Grand Prix des Sciences Mathematiques. Als die Zuerkennung des Akademiepreises an Minkowski in Paris bekannt wurde, richtete die dortige chauvinistische Presse gegen ihn die unbegründetsten Angriffe und Verdächtigungen, Die französischen Aka- demiker C. Jordan und J. Bertrand stellten sich sofort rückhaltlos auf die Seite Minkowskis. „Travaillez, je vous prie, ä devenir un geometre emi- nent." In dieser Mahnung des großen französischen Mathematikers C. Jordan an den jungen deutschen Studenten gipfelte die bei diesem Anlaß zwischen C. Jordan und Minkowski geführte Korrespondenz, — eine Mahnung, die Minkowski treulich beherzigt hat; begann doch nun für ihn eine arbeits- frohe und publikationsreiche Zeit. Gauß hat in seinen Disquisitiones arithmeticae die Theorie der binären quadi-atischen Formen mit ganzzahligen Koeffizienten und damit zugleich den wesentlichen Inhalt der heutigen Theorie der quadratischen Zahl- körper geschaffen. Nach zwei verschiedenen Richtungen hin war die Ver- allgemeinerung der Gaußschen Theorie möglich: einmal als Theorie der quadratischen Formen mit beliebig vielen Variablen und dann als Theorie der zerlegbaren Formen höherer Ordnung, d. h. als Theorie der Zahlkörper von beliebigem Grade. Durch das Pariser Preisthema war Minkowski zunächst auf die erstere Verallgemeinerung der Gaußschen Theorie hin- gewiesen: in der Tat sehen wir Minkowski in den folgenden Jahren aus- schließlich seine ganze Arbeitskraft dem Studium der Theorie der qua- dratischen Formen und der aufs engste damit zusammenhängenden Fragen widmen. Die Gaußsche Theorie der quadratischen Formen hatte eine wesentliche Ergänzung durch Dirichlet erfahren, indem es diesem gelungen war, auf Grund einer ihm eigentümlichen transzendenten Methode für die Anzahl der Klassen binärer quadratischer Formen mit gegebener Deter- minante geschlossene Ausdrücke aufzustellen. Es lag nahe, diese Methode nach jenen beiden oben gekennzeichneten Richtungen hin zu verall- gemeinern. Nach letzterer Richtung hin, nämlich für die Theorie der algebraischen Zahlkörper, war jene Verallgemeinerung der Dirichletschen Methode bereits von Kummer und in allgemeinster Weise von Dedekind vorgenommen worden; in ersterer Richtung aber, nämlich für das Problem der quadratischen Formen von beliebig vielen Variablen, lagen nur einige Vorarbeiten von St. Smith, jenem schon bejahrten englischen Zahlen- theoretiker, vor, welcher auch bei der Bewerbung um den Pariser Preis Minkowskis Konkurrent gewesen war. Minkowski führte nun die Be Stimmung der Anzahl der in einem Geschlecht enthaltenen Klassen qua- dratischer Formen von beliebig vielen Variablen — denn darauf spitzt sich das in Frage kommende Problem zu — nach der von Dirichlet für binäre Vni Gedächtnisrede auf H. Minkowski. quadratische Formen angewandten transzendenten Methode durch. Die hierbei gefundenen Resultate bilden den wesentlichen Inhalt der Inaugural- Dissertation*), auf Grund deren Minkowski am 30. Juli 1885 von der phi- losophischen Fakultät in Königsberg zum Doktor promoviert wurde. Wie glücklich die Ideen des jugendlichen Minkowski auch auf anderem als rein zahlentheoretischem Gebiete waren, ersehen wir aus der bei dieser Gelegenheit von ihm aufgestellten These, die so lautete: „Es ist nicht wahrscheinlich, daß eine jede positive Form sich als eine Summe von Formenquadraten darstellen läßt." Es fiel mir als Opponent die Aufgabe zu, bei der öffentlichen Promotion diese These anzugreifen. Die Dispu- tation schloß mit meiner Erklärung, ich sei durch seine Ausführungen überzeugt, daß es wohl schon im ternären Gebiete solch merkwürdige Formen geben möchte, die so eigensinnig seien, positiv zu bleiben, ohne sich doch eine Darstellung als Summe von Formenquadraten gefallen zu lassen. Die Minkowskische These war für mich später die Veranlassung, die Untersuchung der Frage aufzunehmen und für die in der These aus- gesprochene Vermutung den strengen Nachweis zu erbringen. Es stellte sich außerdem späterhin heraus, daß das Problem der Darstellung definiter Formen durch Formenquadrate auch bei der Frage nach der Möglichkeit geometrischer Konstruktionen mittels gewisser elementarer Hilfsmittel eine interessante Rolle spielt und andererseits mit gewissen tieferen Problemen über die DarsteUbarkeit algebraischer Zahlen als Summen von Quadraten zusammenhängt. Auch von anderer Seite ist seitdem das Problem auf- genommen Avorden und hat zu interessanten speziellen Ergebnissen geführt. Angeregt durch eine von Kronecker gestellte Forderung, die eine schärfere Fassung des arithmetischen Begriffs der Äquivalenz von Formen betraf, gelangte Minkowski zu der interessanten Frage nach dem Verhalten linearer ganzzahliger Substitutionen von beliebiger Variablenzahl im Sinne der Kongruenz nach einem beliebigen Modul**). Minkowski gewann dabei den anwendungsreichen Satz, daß eine homogene lineare ganzzahlige Sub- stitution mit n Variablen von einer endlichen Ordnung, die nach einem ganzzahligen Modul ^ 3 der identischen Substitution kongruent ausfällt, selbst notwendig die identische Substitution ist. Mit Hilfe dieses Satzes *) Untersuchungen über quadratische Formen. I. Bestimmung der Anzahl ver- schiedener Formen, welche ein gegebenes Genus enthält. Acta Mathematica, Bd. 7 (1885), S. 201—258. Diese Ges. Abhandlungen, Bd. I, S. 157—202. **) Ueber den arithmetischen Begriff der Aequivalenz und über die endlichen Gruppen linearer ganzzahliger Substitutionen. Grelles Journal, Bd. 100 (1887), S. 449 —458. Diese Ges. Abhandlungen, Bd. I, S. 203—211. Zur Theorie der positiven quadra- tischen Formen. Grelles Journal, Bd. 101 (1887), S. 196—202. Diese Ges. Abhandlungen, Bd. I, S. 212—218. Gedächtnisrede auf H. Minkowski. IX gelingt es Minkowski unter anderem zu zeigen, daß die Ordnung jeder endlichen Gruppe von homogenen linearen ganzzahligen Suhstitutionen mit « Variablen stets ein Divisor der Zahl 2''(2''- 1)(2"- 2) . . . (2"- 2"-!) ist, und desgleichen stellt er eine nur von n abhängige Zahl auf, in welcher notwendig allemal die Anzahl der ganzzahligen Substitutionen aufgehen muß, die eine definite quadratische Form mit n Variablen in sich selbst überführen. Die beiden Abhandlungen, welche diese Resultate entwickeln, reichte er der philosophischen Fakultät in Bonn als Habilitationsschrift ein; April 1887 erteilte ihm diese die venia legendi für Mathematik. Xoch eine Arbeit Minkowskis sei hier genannt, die ich der Jugend- epoche seines mathematischen Schaffens zuzähle, da sie ebenfalls aus- schließlich das Gebiet der quadratischen Formen betrifft; es ist diejenige*), in welcher Minkowski die Bedingungen dafür aufstellt, daß eine qua- dratische Form mit rationalen Zahlenkoeffizienten sich vermöge einer linearen Substitution mit rationalen Zahlenkoeffizienten in eine andere ebensolche quadratische Form oder in ein rationales Vielfaches einer solchen Form transformieren läßt. Als äußerer Anlaß dazu diente ihm eine von Hurwitz und mir gemeinsam verfaßte Arbeit über temäre dio- phantische Gleichungen vom Geschlechte Xull. Die Untersuchung von Hurwitz imd mir hatt« ergeben, daß jede ternäre diophantische Gleichung vom Geschlechte Xull durch eine rationale eindeutig umkehrbare Trans- formation in eine quadratische Gleichung übergeführt werden kann; die weiter entstehenden Fragen, insbesondere die Frage nach den Kriterien dafür, daß eine quadratische diophantische Gleichung bei beliebiger Vari- ablenzahl durch rationale Zahlen lösbar ist, finden durch Minkowski ilu-e vollständige Erledigung; doch gestaltet sich noch darüber hinaus die Be- arbeitung des Problems durch Minkowski zu einer vollständigen Invariant^n- theorie der quadratischen Formen im zahlentheoretischen Sinne. Nunmehr beginnt für Minkowskis mathematische Produktion die reichste und bedeutendste Epoche; seine bisher auf das spezielle Gebiet der quadratischen Formen gerichteten Untersuchungen erhalten mehr und mehr den großen Zug ins Allgemeine und gipfeln schließlich in der Schaffung und dem Ausbau der Lehre, für die er selbst den treffenden Namen „Geometrie der Zahlen" geprägt hat und die er in dem großartig an- gelegten Werke gleichen Titels dargestellt hat. Das Problem, aus den unendlich vielen Formen einer Klasse durch •) Ueber die Bedingtingen, nnter welchen zwei quadratische Formen mit rationalen Coefficienten in einander rational transformiert werden können. Grelles Journal, Bd. 106 (1890), S. 5—26. Diese Ges. Abhandlungen, Bd. I, S. 219—239. X Gedächtnisrede auf H. Minkowski. bestimmte Ungleiehheitsbedingungen eine einzige auszusondern, d. h. das Problem der Reduktion der quadratischen Formen, hatte Minkowski schon wiederholt beschäftigt. Vor allem ergriffen ihn die berühmten Briefe, die 1850 Ch. Hermite über diesen Gegenstand an Jacobi gerichtet hatte, und insbesondere der dort von Hermite aufgestellte Satz, daß die kleinste von Null verschiedene Größe, die durch eine positive quadratische Form von n Variablen mit der Determinante 1 mittels ganzer Zahlen darstellbar ist, niemals einen gewissen, nur von der Zahl n abhängigen Betrag übersteigt. Durch die Beschäftigung mit diesem Satze wurde Minkowski zu Betrach- tungen veranlaßt, auf die wir ein wenig näher eingehen müssen. Wir denken uns nach Minkowski dasjenige würfelförmig angeordnete, den ganzen Raum erfüllende Punktsystem, welches entsteht, wenn man den rechtwinkligen Koordinaten x, y, z alle ganzzahligen Werte erteilt. Minkowski nannte ein solches Punktsystem ein Zahlengitter. Bedeutet nun F{x, y, z) eine homogene positive quadratische Form von x, y, z mit der Determinante 1, so stellt die Gleichung Fix, y,z) = c für irgendeinen positiven Wert der Konstanten c ein bestimmtes EUipsoid mit dem Null- punkt als Mittelpunkt dar. Wir denken uns nun um jeden Punkt des Zahlengitters als Mittelpunkt ein diesem EUipsoid kongruentes und ähnlich gelegenes EUipsoid konstruiert: ist dann der Wert der Konstanten c ge- nügend klein, so werden diese Ellipsoide offenbar sämtlich völlig von- einander getrennt liegen. Der größte Wert von c, bei welchem dies noch der Fall ist und die Ellipsoide demnach einander nur in einzelnen Punkten berühren, sei \ M. Da bei dieser RaumerfüUung auf je einen Würfel mit der Kantenlänge 1 je eines der Ellipsoide kommt, so folgt leicht, daß der Inhalt des EUipsoides F{x, y,z) = \M notwendig kleiner als der Inhalt jenes Würfels ausfällt, d. h. es ist gewiß 4jn /7iif\3 Andererseits ist leicht zu erkennen, daß das EUipsoid F{x, y, z) = M gewiß außer dem NuUpunkt keinen Punkt des Zahlengitters in seinem Innern enthält; liegen doch auf seiner Oberfläche gerade noch diejenigen Gitter- punkte, die die Mittelpunkte der das EUipsoid F(x, y, z) =j M berührenden EUipsoide sind, d. h. M ist der kleinste von NuU verschiedene, durch ganze Zahlen darsteUbare Wert der quadratischen Form, und jene Ungleichung liefert für dieses Minimum die obere Schranke ^<1/^ Dieser Beweis eines tiefüegenden zahlentheoretischen Satzes ohne rechnerische Hilfsmittel wesentlich auf Grund einer geometrisch anschau- Gedächtnisrede auf H. Minkowski. XI liehen Betrachtung ist eine Perle Minkowskischer Erfindungskunst. Bei der Verallgemeinerung auf Formen mit n Variablen führt der Minkowski- sche Beweis auf eine natürlichere und weit kleinere obere Schranke für jenes Minimum M, als sie bis dahin Hermite gefunden hatte. Noch wichtiger aber als dies war es, daß der wesentliche Gedanke des Minkowskischen Schlußverfahrens nur die Eigenschaft des Ellipsoides, daß dasselbe eine konvexe Figur ist und einen Mittelpunkt besitzt, benutzte und daher auf beliebige konvexe Figuren mit Mittelpunkt übertragen werden konnte. Dieser Umstand führte Minkowski zum ersten Male zu der Erkenntnis, wenn die Zahl Wurzel einer quadratischen Gleichung mit rationalen Koeffizienten ist. Insofern dieser Satz ein notwendiges und hinreichendes *) Ueber die Annäherung an eine reelle Größe durch rationale Zahlen. Mathema- tische Annalen, Bd. 54 (1901), S. 91—124. Diese Ges. Abhandlungen, B. I, S. 320—352. **) Die pofithum veröflFentlichte „zweite Lieferung der Geometrie der Zahlen" (Leipzig 1910)ent8pricht nicht der ursprünglich vonMinkowski geplanten Schlußlieferung, sondern bringt vielmehr nur das fünfte Kapitel der ersten Lieferung zum Abschluß. ***) Ein Kriterium für die algebraischen Zahlen. Nachrichten der K. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, mathematisch-physikalische Klasse, 1899, S. 64 — 88. Diese Ges. Abhandlungen, Bd. 1, S. 293—315. XVI Gedächtnisrede auf H. Minkowski. Kriterium für die quadratische Irrationalität enthält, lag es nahe, einen entsprechenden Satz für die algebraische Irrationalität beliebigen Grades n aufzustellen; doch waren alle bis dahin in dieser Richtung liegenden Ver- suche — ich erinnere an den Jacobischen Kettenbruchalgorithmus zur Entwicklung der kubischen Irrationalität, dessen Periodizität noch bis heute nicht festgestellt ist — vergeblich geblieben. Es gelang Minkowski zum ersten Male auf Grund sehr tiefliegender arithmetischer Sätze, zu deren Beweis seine geometrischen Methoden herangezogen werden, das ge- wünschte Kriterium für die algebraischen Zahlen beliebigen Grades n zu gewinnen. Der Minkowskische Algorithmus ist nicht ganz einfach; er besteht zunächst in einer Vorschrift, wie man aus der beliebig vorgelegten Zahl ci in eindeutig bestimmter Weise eine Kette von gewissen linearen Substitutionen von n Variablen besitiramt und alsdann aus diesen gewisse lineare Formen ableitet: die Zahl a ist dann algebraisch vom Grade n, wenn die Kette niemals abbricht und zugleich alle jene unendlich vielen Formen aus einer endlichen Anzahl unter ihnen durch Multiplikation mit Faktoren entstehen. In einer weiteren Untersuchung über die periodische Approximation algebraischer Zahlen*) beantwortet dann Minkowski insbesondere die Frage nach denjenigen algebraischen Zahlen a, für welche jene Substitutionen periodischen Charakter aufweisen, denen also in diesem Sinne genau die von Lagrange für die quadratische Irrationalität entdeckte Eigenschaft zukommt. Minkowski fand, daß die verlangte Periodizität außer für die quadratische Irrationalität nur noch in fünf ganz bestimmten Fällen statt- findet: nämlich im Falle w = 3, a komplex; femer n = B, a reeU, während die zu a konjugierten Zahlen komplex sind; im Falle w == 4, wenn a nebst allen konjugierten Zahlen komplex ist, und endlich in je einem speziellen PaU bei w = 4 und n = 6. Hatte Minkowski das ganze von ihm erschlossene Gebiet Geometrie der Zahlen genannt, weil er zu den Methoden, aus denen seine arithmetischen Sätze fließen, durch räumliche Anschauung geführt worden war, so blieb er auch bei der weiteren Erforschung dieses Gebietes stets dem Bestreben treu, durch engen Anschluß an die geometrischen Vorstellungen und Bilder die Fruchtbarkeit seiner Methoden zu zeigen; er wird nicht müde, durch originelle Modifikationen seine ursprünglichen Überlegungen zu vertiefen, die gefundenen arithmetischen Sätze zu vervollkommnen und neue zu ersinnen. So gelangt Minkowski**) zu einer gitterförmigen Bedeckung der Ebene *) lieber periodische Approximationen algebraischer Zahlen. Acta Mathematica, Bd. 26 (1902), S. 333—351. Diese Ges. Abhandlungen, Bd. I, S. 357—371. **) Ueber die Annäherung an eine reelle Größe durch rationale Zahlen. Mathe- matische Annalen, Bd. 54 (1901), S. 108 ff. Diese Ges. Abhandlungen, Bd. I, S. 336 ff. Gedächtnisrede auf H. Minkowski. XVII mit Parallelogrammen, bei der die ganze Ebene vollständig und andererseits keine Partie der Ebene mehr als zweifach überdeckt wird: diese Tatsache führt ihn unmittelbar zu einem Satze von Tschebyscheff über nichthomogene lineare diophantische Ungleichungen und zwar in einer allgemeineren imd vollkommeneren Form, als derselbe von Tschebyscheff aufgestellt worden war. Ferner wirft Minkowski die Frage auf*), unendlich viele untereinander kongruent« und parallel orientierte Körper derart anzuordnen, daß sie, ohne einander zu durchdringen, sich so dicht als überhaupt möglich zu- sammenschließen, während ihre Schwerpunkte ein paraUelepipedisches Punktsystem bilden. Wählt man für die Körper Kugeln, so zeigt sich dann, daß im Räume von drei Dimensionen zwar die bekannte tetraedrale Anordnung von Kugeln die dichteste ist, daß aber in Räumen von höheren Dimensionen die dieser entsprechende tetraedrale Anordnung keineswegs die dichteste Kugellagerung liefert. Das Problem der dichtesten Lagerung von Kugeln im «-dimensionalen Raum läuft auf die Bestimmung des Maximums A-^ hinaus und hängt zusammen mit der Frage nach der Re- duktion der positiven quadratischen Formen: diesem Problem wendet sich Minkowski in seiner zahlentheoretischen Abhandlung über den Diskon- tinuitätsbereich für arithmetische Äquivalenz**) noch einmal zu, es in voll- endeter Form lösend, gleichsam als offensichtliches Wahrzeichen für die Leichtigkeit und Überlegenheit seiner gegenwärtigen mehr geometrischen Methoden im Vergleich zu dem Standpunkt seiner Jugendarbeiten. Die Beweise der allgemeinen Sätze: der reduzierte Raum für die positiven quadratischen Formen von n Variablen ist eine konvexe Pyramide mit der Spitze im NuUpunkt, die von einer endlichen Anzahl durch diesen Punkt laufender Ebenen begrenzt wird; und: im Gebiet der positiv -defi- niten Formen grenzt der reduzierte Raum nur an eine endliche Anzahl von äquivalenten Räumen an; femer die Berechnung des Volumens des reduzierten Raumes für alle Formen, deren Determinante eine gegebene Grenze nicht übersteigt, sowie die Anwendung hiervon auf die Bestimmung des asymptotischen Wertes der Klassenanzahl positiver quadratischer Formen sind die Glanzpunkte dieser letzten und inhaltreichsten zahlen- theoretischen Abhandlung Minkowskis. Von der Bedeutung der Zahlentheorie, wie sie in den Werken ihrer Heroen Fermat, Euler, Lagrange, Legendre, Gauß, Hermite, Dirichlet, Kummer, Jacobi und in deren begeisterten Aussprüchen sich wider- *) Dichteste gitterförmige Lagerung kongruenter Körper. Nachrichten derK.Gesell- echafl der Wissenschaften zu Göttingen, mathematisch - physikalische Klasse, 1904, S. :^l 1—355. Diese Ges. Abhandlungen, Bd. II, S. ;^— 42. **) Diskontinuitätsbereich für arithmetische Äquivalenz. Crelles Journal, Bd. 12tf (1905), S. 220—274. Diese Ges. Abhandlungen, Bd. II, S. 58—100. Minkowski, Ges»mmelte Abtumdlungen. L b XVin Gedächtnisrede auf H. Minkowski. spiegelt, war Minkowski aufs tiefste durchdrungen; ihre Reize empfand er jederzeit aufs lebhafteste: war doch, was man an der Zahlentheorie rühmt, die Einfachheit ihrer Grundlagen, die Genauigkeit ihrer Begriffe und die Reinheit ihrer Wahrheiten ganz und gar zu seinem Wesen passend und seiner innersten Neigung am meisten zusagend. Wenn es zutrifft, daß nur ein enger Kreis von Mathematikern der Pflege der Zahlentheorie sich hingibt und so viele „von den eigenartigen, durch die Zahlentheorie ausgelösten Stimmungen kaum einen Hauch verspüren": den Gnind hierfür erblickt er darin, daß die Schöpfungen eines Gauß und der andern Großen zu erhaben sind. Und um in dieser gewaltigen Musik, wie er die Zahlen- theorie nennt, für diejenigen, die nicht nur erbaut, sondern auch ergötzt sein wollen, die einschmeichelnden Melodien herauszuheben und so zu ihrem Genüsse mehr anzulocken, dazu veröffentlichte er die Vorlesung, die er Winter 1903/Ö4 in Göttingen gehalten hat, und in welcher er in leicht faßlicher Weise ohne die Voraussetzung besonderer Vorkenntnisse die wichtigsten Grundsätze der Geometrie der Zahlen und die einfachsten Anwendungen auf die Theorie der quadratischen Formen, auf die Zahl- körper und vor allem auf die Annäherung reeller und komplexer Größen durch rationale Zahlen auseinandersetzt. Das so entstandene Buch „Dio- phantische Approximationen"*) kann vorzüglich zur Einführung in die von Minkowski geschaffenen Methoden dienen. Minkowski ist es zu danken, daß nach Herraites Tode die Führerrolle in der Zahlentheorie wieder in deutsche Hände zurückfiel und, wenn man über- haupt bei einer solchen Wissenschaft, wie es die Arithmetik ist, die Beteiligung der Nationen an den Fortschritten und Errungenschaften abwägen will: wesentlich durch Minkowskis Wirken ist es gekommen, daß heute im Reiche der Zahlen die bedingungslose und unbestrittene deutsche Vorherrschaft statthat. Die Überzeugung von der tiefen Bedeutung des Begriffes eines kon- vexen Körpers, dessen Verwendung in der Zahlentheorie so erfolgreich gewesen war, hatte sich bei Minkowski immer mehr befestigt, und dieser Begriff bildet denn auch das Bindeglied zwischen denjenigen Arbeiten Minkowskis, die wesentlich zahlentheoretische Ziele im Auge haben, und seinen rein geometrischen Untersuchungen. Das ursprüngliche Ziel, das Minkowski bei seinen rein geometrischen Untersuchungen im Auge hatte, war, die Begriffe Länge und Oberfläche mittels des Begriffes Volumen, „dieses elementarsten Begriffes der Analysis des Unendlichen", zu erfassen**). In der Tat gelingt ihm diese Reduktion *) Diophantische Approximationen. Eine Einführung in die Zahlentheorie. Leipzig 1907. **) Volumen und Oberfläche. Mathematische Annalen, Bd. 57 (1903), S. 447—495. Diese Ges. Abhandlungen, Bd. II, S. 230—276. Gedächtnisrede auf H, Minkowski. XIX durch ein einfaches Grenzverfahren. Ist etwa eine Kurve im Räume ge- geben, so denkt sich Minkowski um jeden ihrer Punkte eine Kugel mit dem Radius r abgegrenzt. Das Volumen des so insgesamt in der Um- gebung der Kurve abgegrenzten Bereiches nach Division durch den Inhalt des Kreises vom Radius r strebt in der Grenze für verschwindende Werte von r im allgemeinen einer Größe zu, die nunmehr als die Länge der Kurve eingeführt wird. Ahnlich kann der Begriff des Inhaltes einer Fläche eingeführt werden, und insbesondere die so entstehende Definition der Oberfläche ist es, durch die Minkowski zu einer wichtigen Verall- gemeinerung des Begriffes der Oberfläche gelangt, indem er nämlich an Stelle von Kugeln beliebige einander ähnliche und ähnlich gelegene konvexe Körper verwendet — genau im Sinne der vorhin bei Besprechung der zahlentheoretischen Abhandlungen geschilderten Minkowskischen Geometrie. Durch den Ausbau des Gedankens, die Kugel durch einen beliebigen Eichkörper zu ersetzen, gelangt Minkowski zu demjenigen Begriffe, der das Fundament seiner ganzen Theorie bildet, zu dem Begriffe des ge- mischten Volumens von irgend drei konvexen Köi^pern. Das gemischte Volumen von drei konvexen Körpern K^, K^, K^ ist eine ganz bestimmte eindeutig aus denselben durch ein dreifaches Integral darzustellende Zahl Fjjg, die in das gewöhnliche Volumen eines Körpers übergeht, wenn man jene drei Körper miteinander identifiziert, die in die gewöhnliche Oberfläche eines Körpers übergeht, wenn man zwei von jenen drei Körpern mitein- ander identifiziert und den dritten gleich der Kugel mit dem Radius 1 nimmt und die endlich mit der totalen mittleren Krümmung der Ober- fläche eines Körpers übereinstimmt, wenn man für zwei von jenen drei Körpern die Kugel mit dem Radius 1 wählt. So erscheint der Begriff des gemischten Volumens als der einfachste übergeordnete Begriff, der die Begriffe Volumen, Oberfläche, totale mittlere Krümmung als Spezialfälle enthält, und diese letzteren Begriffe sind damit in viel engeren Zusammen- hang miteinander gebracht; steht doch deshalb auch von vornherein zu erwarten, daß wir auf diesem Standpunkte über das Verhältnis zwischen jenen Begriffen einen weit tieferen und allgemeineren Aufschluß erhalten, als bisher möglich war. Das Hauptergebnis, welches in dieser Hinsicht die Minkowskische Theorie liefert, gipfelt in der Ungleichung V^ > V V ' 123 = '^122 '^133> einer Ungleichung, die lediglich quadratischen Charakter trägt, während beispielsweise der bekannte Satz, daß die Kugel unter allen Körpern gleicher Oberfläche das größte Volumen besitzt, für Volumen V und Ober- fläche 0 eines beliebigen Körpers durch die kubische Ungleichung b* XX Gedächtnisrede auf H. Minkowski. ausgedrückt wird. Diese kubische Ungleichung aber und somit ins- besondere jener Satz über das Maximum des Kugelvolumens erscheint bei Minkowski als spezieller Ausfluß der genannten inhaltreicheren und ein- facheren quadratischen Ungleichung; zugleich treten neben jenen Satz vom Maximum des Kugelvolumens- eine ganze Reihe gleich wichtiger Sätze über die Kugel. Über das gemischte Volumen stellt Minkowski den all- gemeinen Satz auf, daß, wenn man aus drei Körpern vom Volumen 1 das gemischte Volumen bildet, dieses stets ^ 1 ist und nur dann gleich 1 wird, wenn die drei Körper miteinander identisch sind oder durch Trans- lation miteinander zur Deckung gebracht werden können — ein Satz, der ebenfalls die in Rede stehende Maximaleigenschaft der Kugel als spezielle Folge mit enthält. Zur analytischen Durchführung dieser Gedanken bedient sich Min- kowski im wesentlichen der Methode der Ebenenkoordinaten. Die letzteren erscheinen in der Tat als das naturgemäße Hilfsmittel zur Darstellung der Minkowskischen Theorie; ist doch das Mischvolumen nichts Anderes als eine zweimalige Bildung der ersten Variation des gewöhnlichen Volumens, falls man dieses durch Ebenenkoordinaten ausdrückt. Des weiteren beschäftigt sich Minkowski mit dem einfachen und elementaren Begriffe des konvexen Polyeders und weiß diesem vielbehan- delten Gegenstande neue und fruchtbare Seiten abzugewinnen. Sein grund- legender Satz sagt aus, daß ein konvexes Polyeder stets durch die Rich- tungen der Normalen und die Inhalte seiner Seitenflächen bis auf eine Translation eindeutig bestimmt wird. Aus diesem Satze leitet Minkowski durch Grenzübergang das merkwürdige Theorem ab, wonach es immer eine und nur eine geschlossene konvexe Fläche gibt, für die die Gaußsche Krümmung als stetige Funktion der Richtungskosinusse ihrer Normalen vorgeschrieben ist. Indem hierbei Minkowski die Krümmung — unmittelbar an die ursprüngliche Betrachtungsweise von Gauß anschließend — durch eine Integralforderung definiert, vermeidet er es, die Existenz der zweiten Ableitungen der die Fläche definierenden Funktion vorauszusetzen, und erreicht eben dadurch jene größtmögliche Einfachheit und Allgemeinheit in der Fassung und Entwicklung des Theorems. Das Minkowskisehe Problem der Bestimmung der geschlossenen kon- vexen Flächen mit vorgeschriebener Gaußscher Krümmung ist wesentlich identisch mit dem Problem der Litegration einer gewissen partiellen Diffe- rentialgleichung vom Monge-Ampereschen Typus ] so kommt es, daß die ursprünglich rein geometrische, auf dem Begriff des konvexen Körpers beruhende Methode Minkowskis zugleich für die Theorie der Integration gewisser nichtlinearer partieller Differentialgleichungen bis dahin unbe- kannte Fragestellungen und aussichtsreiche Angriffspunkte liefert. Gedächtnisrede auf H. Minkowski. XXI Endlich werde noch eines kleinen Vortrages*) von Minkowski Er- wähnung getan, den er vor seiner Übersiedelung nach Gottingen in der hiesigen mathematischen Gesellschaft gehalten hat und der bisher nur in einer russischen Übersetzung publiziert worden ist: derselbe enthält einen Satz von elementarem Charakter, wonach die Körper, deren Breite kon- stant d, h. in jeder Richtung genommen die nämliche ist, und andererseits die Körper konstanten Umfanges miteinander identisch sind: dabei ist unter Umfang der Umfang des Querschnittes des in irgendeiner Richtung dem Körper umschriebenen Zylinders zu verstehen. Sein Interesse für die physikalische Wissenschaft hat Minkowski frühzeitig bekundet. Schon in den ersten Jahren seiner Privatdozenten- zeit in Bonn beschäftigte er sich mit theoretischen Untersuchungen über Hydrodynamik. Helmholtz legte 1888 in der Akademie der Wissenschaften zu Berlin eine Arbeit**) von Minkowski über das Problem der kräftefreien Bewegung eines beliebigen starren Körpers in einer reibungslosen inkom- pressiblen Flüssigkeit vor. Um die Bewegung des Körpers völlig zu kenn- zeichnen, ist die Bestimmung von sechs unbekannten Funktionen der Zeit erforderlich. Das wichtigste Resultat von Minkowski besteht nun in der Reduktion des ursprünglich durch das Hamiltousche Prinzip gelieferten Variationsproblems auf ein Variationsproblem, welches nur zwei unbekannte Funktionen der Zeit enthält. Die Ferienzeiten während der Bonner Jahre verlebte Minkowski in der Regel in Königsberg, dem Wohnorte seiner Familie, wo er dann mit Hurwitz und mir fast täglich zusammenkam, meist auf Spaziergängen in der Königsberger Umgebung. Einmal, Weihnachten 1890, blieb Minkowski in Bonn; auf mein Zureden nach Königsberg zu kommen, stellte er sich in einem launigen Briefe als einen physikalisch vöUig Durchseuchten hin, der erst eine zehntägige Quarantäne durchmachen müßte, ehe Hurwitz und ich ihn in Königsberg als mathematisch rein zu unseren Spaziergängen zulassen würden. „Ich habe mich", so fährt Minkowski in seinem Briefe fort, „ganz der Magie, wollte sagen der Physik ergeben. Ich habe meine praktischen Übungen im physikalischen Institut, zu Hause studiere ich Thomson, Helmholtz und Konsorten; ja von Ende nächster Woche au arbeite ich sogar an einigen Tagen der Woche in blauem Kittel in einem Institut zur Herstellung physikalischer Instrumente, also ein Praktikus schändlichster Sorte." Von Heinrich Hertz in Bonn fühlte sich Minkowski •) Ueber die Körper konstanter Breite. Moskau, Mathematische Sammlung' (Matern atiteskij Sbomik), Bd. 25 (1906), S. 506—508. Diese Ges. Abhandlungen, Bd. II, S. 277—279. **) Ueber die Bewegung eines festen Körpers in einer Flüssigkeit. Sitzungsberichte der Berliner Akademie, 1888, S. 1095—1110. Diese Ges. Abhandlungen, Bd. II, S. 283— 297. XXn Gedächtnisrede auf H. Minkowski. stark angezogen; er äußerte, daß er, wenn Hertz am Leben geblieben wäre, sich schon damals mehr der Physik zugewandt hätte. August 1892 war Minkowski zum außerordentlichen Professor in der philosophischen Fakultät zu Bonn ernannt worden. April 1894 ermög- lichte auf Minkowskis und meinen dringenden Wunsch der damalige Ministerialrat Althoif, der Scharfblickende, in dem Minkowski sehr früh- zeitig einen Gönner und Bewunderer gefunden hatte, die Versetzung Min- kowskis nach Königsberg, und ein Jahr später wurde Minkowski dann in Königsberg mein Nachfolger im dortigen Ordinariat für Mathematik. Aus diesem Amte schied er Oktober 1896, um einem Rufe als Professor für Mathematik an das Eidgenössische Polytechnikum in Zürich zu folgen. Dort verheiratete er sich im Jahre 1897 mit Auguste Adler aus Straßburg i. E. In Zürich blieb er bis zum Herbst 1902. Da war es wiederum Althoff, der Minkowski auf den für seine Wirksamkeit ange- messensten Boden verpflanzte; mit einer Kühnheit, wie sie vielleicht in der Greschichte der Verwaltung der Preußischen Universitäten beispiellos dasteht, schuf Althoff aus nichts hier in Göttingen eine neue ordentliche Professur, und dieser Tat Althoffs danken wir es, daß seit Herbst 1902 Minkowski der unsrige gewesen ist. Bereits Oktober 1901 hatte ihn unsere Gesellschaft zu ihrem korrespondierenden Mitgliede in der mathematisch- physikalischen Klasse gewählt. Als Frucht der vielseitigen theoretisch-physikalischen Studien, die Minkowski auch in Zürich betrieben hatte und in Göttingen fortsetzte, ist der Enzyklopädieartikel über Kapillarität*) anzusehen, in welchem er in wahrhaft musterhafter Weise in aller Kürze, dem beschränkten Raum ent- sprechend, die sämtlichen theoretischen Gesichtspunkte dieses Kapitels der Physik auseinandersetzt und die schwierigen mathematischen Grundlagen, insbesondere soweit sie die Variationsrechnung betreffen, in origineller, zum Teil ganz neuer Form entwickelt. Aber am nachhaltigsten fesselten Minkowski die modernen elektro- dynamischen Theorien, die er mehrere Semester hindurch mit mir ge- meinsam betrieb, insbesondere in Vorträgen, zu denen das von ihm und mir geleitete Seminar Anlaß bot. Die letzten Schöpfungen Minkowskis entsprangen diesen Studien, denen er mit großem Eifer oblag; hatte er doch für die nächsten Semester Vorlesungen und Seminar über Elektronen- theorie geplant. H. A. Lorentz hat zuerst erkannt, daß die Grundgleichungen der Elektro- dynamik für den reinen Äther die Eigenschaft der Invarianz gegenüber denjenigen gleichzeitigen Transformationen der Raumkoordinaten x, y, z und *) Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften, Bd. Vi, Heft 4, S. 658 — 613. Diese Ges. Abhandlungen, Bd. 11, S. 298—351. Gedächtnisrede auf H. Minkowski. XXTII des Zeitparameters t besitzen, die — falls man die Lichtgeschwindigkeit gleich 1 nimmt — den Ausdruck x^ -\- y^ -\- z^ — t^ in sich überführen. Im Zusammenhang mit dieser rein mathematischen Tatsache und in der Absicht, davon Rechenschaft zu geben, daß eine relative Bewegung der Erde gegen den Lichtäther nicht wahrgenommen wird, war jener scharfsinnige Forscher in kühnem Gedankenfluge zu der Einsicht gelangt, daß der Begriif des starren Körpers in dem bisherigen Sinne nicht aufrecht zu erhalten sei, sondern in der Weise modifiziert werden müsse, daß Elektrizität und Materie, sofern sie eine Bewegung von der Geschwindigkeit v besitzen, in Richtung dieser Bewegung eine Verkürzung ihrer Ausdehnung erfahren und zwar im Ver- hältnis 1 : ]/l — v^. Daß eine weitere Konsequenz dieser Idee eine neu- artige Auffassung des Zeitbegriffes ist, und insbesondere alle den Lorentz- Transformationen entsprechenden Bezugsysteme zur Einführung eines Zeit- parameters gleichberechtigt sind, dies erkannt zu haben, ist das Verdienst des Physikers Einstein. Die Ideenbildungen von Lorentz und Einstein, die man unter dem Namen des Relativitätsprinzipes zusammenfaßt, waren es, die Minkowski die Anregung zu seinen wichtigen und auch in weiteren Kreisen bekannt gewordenen eleMrodynamischen Untersuchungen gaben. Minkowski*) legte sofort jener mathematischen Tatsache der Invarianz der elektrodynamischen Grundgleichungen gegenüber den Lorentz-Transformationen die allgemeinste und weitgehendste Bedeutung bei, indem er diese Invarianz als eine Eigen- schaft auffaßte, die überhaupt allen Naturgesetzen zukomme, ja daß sie nichts Anderes als eine schon in den Begriffen Raum und Zeit selbst ent- haltene und diese beiden BegT-iffe gegenseitig verkettende und miteinander verschmelzende Eigenschaft sei. Auch dem Nicht-Naturforscher ist die Tatsache geläufig, daß die Naturgesetze von der Orientierung im Räume sowie von der Zeit unabhängig sind, und ferner lehrt die gewöhnliche Mechanik, daß, wenn ein System sich bewegt, stets auch diejenige Be- wegung statthaben kann, bei welcher die Geschwindigkeitsvektoren sämt- licher materieller Punkte je um einen konstanten Vektor vermehrt sind: darüber hinaus behauptet nun nach Minkowski das Relativitätsprinzip — oder, wie es Minkowski später nennt, das Weltpostulat — , daß die Natur- gesetze in einem noch viel höheren Sinne von Raum und Zeit unabhängig, nämlich invariant gegenüber allen Lorentz-Transformationen sind. Indem nun durch die Lorentz-Transformationen gewisse Abänderungen des Zeit- parameters zugelassen werden, die nicht bloß auf eine veränderte Wahl des Zeitanfanges hinauslaufen, fäUt konsequenterweise überhaupt der Be- *) Die Grundgleichungen für die elektromagnetischenVorgänge in bewegten Körpern. Nachrichten der K. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, mathematisch-physi- kalische Klasse, 1908, S. 53—111. Diese Ges. Abhandlungen, Bd. II, S. 362—404. XXIV Gedächtnisrede auf H. Minkowski. griff der Gleichzeitigkeit zweier Ereignisse als an sich existierend. Nur weil wir gewohnt sind, ein bestimmtes Bezugsystem für Raum und Zeit stark approximativ eindeutig zu wählen, halten wir den Begriff der Gleich- zeitigkeit für einen absoluten — ungeföhr wie Wesen, gebannt an eine enge Umgebung eines Punktes auf einer Kugeloberfläche, darauf verfallen könnten, die Kugel sei ein geometrisches Gebilde, an welchem ein Durch- messer an sich ausgezeichnet ist. Tatsächlich ist die Sachlage die, daß stets zwei Ereignisse, die an zwei Orten zu zwei verschiedenen Zeiten stattfinden, als gleichzeitig aufgefaßt werden können, sobald die Zeit- differenz kleiner als die Entfernung beider Orte, d. h. diejenige Zeit ausfällt, die das Licht braucht, um von dem einen Orte zu dem andern zu gelangen. Ahnlich verhält es sich mit drei Ereignissen zu drei ver- schiedenen Zeiten, die ebenfalls als gleichzeitig stattfindend aufgefaßt werden können, sobald gewisse Ungleichheiten zwischen den Raum- und Zeitparametern erfüllt sind. Erst durch vier Ereignisse ist im allgemeinen das Bezugsystem von Raum und Zeit eindeutig festgelegt. — ,;Von Stund an sollen Raum für sich und Zeit für sich völlig zu Schatten herabsinken, und nur noch eine Art Union der beiden soll Selbständigkeit bewahren." So bekannte sich Minkowski eingangs des eindrucksvollen Vortrages*), den er auf der vorjährigen Naturforscherversammlung zu Köln vor einer zahl- reichen, ihm mit größter Aufmerksamkeit folgenden Zuhörerschaft, be- stehend aus Mathematikern, Physikern und Philosophen, gehalten hat. Um die in Rede stehende Invarianz der Naturgesetze richtig zu ver- stehen, ersetze man sowohl die Raum- und Zeitparameter x, y, z, t, wie auch diejenigen Größen, die in den die Naturgesetze ausdrückenden Glei- chungen als Funktionen von x, y, z, t auftreten, durch die entsprechend linear transformierten Größen: dann müssen die erhaltenen Gleichungen die nämliche Form für die neuen Größen in den neuen Veränderlichen aufweisen. Beispielsweise sind im Falle der elektrodynamischen Grund- gleichungen die mit der Dichte multiplizierten Geschwindigkeitskompo- nenten u, V, w zusammen mit der Dichte q als vier Größen anzusehen, die in gleicher Weise mit den Variablen x, y, z, t transformiert werden; die Vektorenpaare dagegen, der elektrische und der magnetische Vektor einer- seits und die elektrische und magnetische Erregung andererseits, sind als je sechs Gr<)ßen anzusehen, die wie die sechs zweireihigen Determinanten einer Matrix zweier Raumzeitpunkte, d. h. etwa wie die Plückerschen Linienkoordinaten sich transformieren. Da demnach bei diesen Trans- formationen eine Vermischung von Geschwindigkeiten und Dichte und *) Raum und Zeit. Physikalische Zeitschrift, 10. Jahrgang, Nr.3 (1909), S. 104—111 ; Jahresberichte der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, Bd. 18 (1909), S. 76—88. Diese Ges. Abhandlungen, Bd. 11, S. 431—444. (Jedächtnisrede auf H. Minkowski. XXV ebenso von elektrischen und magnetischen Vektoren stattfindet, so ist absolut genommen eine Festlegimg von Geschwindigkeit und Dicht« der Substanz, sowie der elektrischen und magnetischen Vektoren nicht möglich; diese Begriffe hängen vielmehr ebenfalls wesentlich von der Wahl des Be- zugsystems für a;, y, e, t ab. Minkowski wendet nun das eben gekennzeichnete und von ihm mathe- matisch präzisierte Weltpostulat — und darin erblicke ich seine bedeut- samste positive Leistung auf diesem Gebiete — dazu an, um die elektro- dynamischen Grundgleichungen für bewegte Materie, deren definitive Form unter den Physikern außerordentlich strittig war, herzuleiten. Dazu sind nur drei sehr einfache Grundannahmen nötig: nämlich 1) die Annahme, daß die Geschwindigkeit der Materie stets und an allen Orten kleiner als 1 d. h. als die Lichtgeschwindigkeit ist: 2) das Axiom, daß, wenn an einer einzelnen Stelle die Materie in einem Momente ruht — die Umgebung mag in irgendwelcher Bewegung begriffen sein — dann für jenen „Raumzeitpunkt" zwischen den magne- tischen und elektrischen Vektoren imd deren Ableitungen nach x, y, z, t genau die nämlichen Beziehungen statthaben, die zu gelten hätten, falls alle Materie ruhte; 3) die Annahme der von niemand bestrittenen elektrodynamischen Grundgleichungen für ruhende Materie. Die elektrodynamischen Grundgleichungen, die jMinkowski auf diesem Wege erhält*), lassen, was Durchsichtigkeit und Einheitlichkeit betrifft, nichts zu wünschen übrig; sie stimmen mit den bisherigen Beobachtungen überein, weichen indes in mannigfaltiger Weise von den bis dahin ge- brauchten, von Lorentz und Cohn aufgestellten Gleichungen ab, indem diese keüieswegs das Weltpostulat genau erfüllen. Die Mbikowskißchen dektrody Harnischen Grundgleiclmngen sind eiue notwendige Folgerung des Weltpostulates — sie sind von derselben Gewißheit wie dieses. Immer mehr und mehr befestigte sich Minkowski in der Überzeugung von der allgemeinen Gültigkeit und der eminenten Fruchtbarkeit imd Trag- weite seines Weltpostulats und — die wunderbaren, vielverheißenden Ideen von M. Planck über die Dynamik bewegter Systeme bestärkten ihn darin — von der Notwendigkeit einer Reform der gesamten Physik nach Maßgabe dieses Postulats. Was die Mechanik betriffl, so gelangte Minkowski durch Einführung •) Mit der Ausarbeitung einer Ableitung dieser Gleichungen auf Grand der Vor- stellungen der Elektronentheorie war Minkowski in den letzten Wochen seines Lebens beschäftigt. Unter Benutzung der nachgelassenen Papiere ist eine solche Herleitung in Minkowskis Sinne vou Herrn M. Born (Mathematische Annalen, Bd. 68 (1910), S. 626—561 ; diese Ges. Abhandlungen, Bd. II, S. 406 — 430) durchgeführt worden. XXVI Gedächtnisrede auf H, Minkowski. des Begriffs der Eigenzeit eines materiellen Punktes zu einem gewissen System modifizierter Newtonscher Bewegungsgleichungen, bestehend aus vier Gleichungen, von denen die drei ersten in die gewöhnlichen Newton- schen Gleichungen übergehen, wenn man die Lichtgeschwindigkeit c un- endlich werden läßt, während die vierte eine Folge der drei ersten ist und den Satz von der Erhaltung der Energie ausspricht. In dieser dem Weltpostulat gemäß reformierten Mechanik fallen die Disharmonien zwischen der Newtonschen Mechanik und der modernen Elektrodynamik von selbst weg. Aber die Minkowskische Untersuchung führt darüber hinaus zu der prinzipiell interessanten Tatsache, daß auf Grund des Welt- postulates die vollständigen Bewegungsgesetze allein aus dem Satz von der Erhaltung der Energie ableitbar sind. Ferner zeigte Minkowski, wie das Newtohscbe Gravitationsgesetz zu modifizieren sei, damit es dem Weltpostulat genügt. Das MinJwwsTcische Gravitationsgesetz verknüpft mit der Minkoivshischen Mechanik ist nicht weniger geeignet, die astronomischen Beobachtungen zu erklären als das Newtonsche Gravitationsgesetz verknüpft mit der Newton sehen Mechanik. Dabei bedeutet die Minkowskische Formulierung eine Fortpflanzung der Gravitation mit Lichtgeschwindigkeit — was unserer heutigen Anschau- ungsweise über Fern Wirkung weit besser entspricht als die alte Newtonsche Momentan Wirkung. Als Beleg dafür, wie die Minkowskische Betrachtungsweise, die sich stets in der vierdimensionalen Raum -Zeitmannigfaltigkeit x, y, z, t — Welt genannt — bewegt, erst imstande ist, die innere Einfachheit und den wahren Kern der Naturgesetze zu enthüllen, sei nur noch auf den wunderbar durchsichtigen, von Minkowski angegebeneu Ausdruck für die so äußerst komplizierte ponderomotorische Wirkung zweier bewegter elektrischer Teilchen hingewiesen. Damit ist die Würdigung der hauptsächlichsten Ergebnisse der PubK- kationen Minkowskis beendigt; aber die wissenschaftliche Wirksamkeit seiner Person ist durch die zur Veröffentlichung gelangten Schriften keineswegs erschöpft. Nach welchen Richtungen weiterhin und in wel- chem Sinne sich diese Wirksamkeit Minkowskis vornehmlich erstreckte, bedarf noch einer kurzen Darlegung, da erst dann die voUe Bedeutung Minkowskis für die Entwicklung der Mathematik der Gegenwart sich er- kennen läßt. Zunächst gedenke ich der Stellungnahme Minkowskis gegenüber der- jenigen mathematischen Disziplin, welche heute eine hervorragende Rolle in unserer Wissenschaft einnimmt und ihren gewaltigen Einfluß auf alle Gebiete der Mathematik ausströmt, nämlich der Mengentheorie. Diese von Georg Cantor zuerst in fruchtbarer Weise in Angriff genommene und Gedächtnisrede auf H. Minkowski. XXYII durch kühne Ideen zu gewaltiger Höhe geführte Lehre wurde damals von dem im Gebiet der Zahlentheorie maßgebenden Mathematiker Kronecker aufs entschiedenste bekämpft. Obwohl Minkowski in Berlin bei Kronecker studiert hatte und sich dem mächtigen Einfluß, den dieser in der Zahlen- heorie ausübte, wiRig hingab: die Vorurteile, von denen Kronecker be- angen war, durchschaute er frühzeitig; er war der erste Mathematiker unserer Generation — und ich habe ihn darin nach Kräften unterstützt — , der die hohe Bedeutung der Cantorschen Theorie erkannte und zur Gel- tung zu bringen suchte. „Die spätere Geschichte", so führt Minkowski in einem in Königsberg gehaltenen Vortrag über das Aktual- Unendliche ^n der Natur aus, „wird Cantor als einen der tiefsinnigsten Mathematiker dieser Zeit bezeichnen: es ist sehr zu bedauern, daß eine nicht auf sach- 'ichen Gründen allein beruhende Opposition, die von einem sehr ange- sehenen Mathematiker" — gemeint ist eben Kronecker — „ausging, Cantor die Freude an seinen wissenschaftlichen Forschungen trüben konnte." Minkowski verehrte in Cantor den originellsten zeitgenössischen Mathematiker zu einer Zeit, als in damals maßgebenden mathematischen Kreisen der Name Cantor geradezu verpönt war und man in Cantors transfiniten Zahlen lediglich schädliche Hirngespinste erblickte. Min- kowski äußerte wohl, daß Cantors Name noch genannt werden würde, wenn man die heute — weil sie modisch sind — im Vordergrunde stehen- den Mathematiker längst vergessen hat. Der Umstand, daß ein Mann wie Minkowski, der das exakte Schließen in der Mathematik gewisser- maßen verkörperte und dessen Sinn für echte Zahlentheorie über allem Zweifel war, so urteilte, ist der Verbreitung der Cantorschen Theorie, „dieser ursprünglichen Schöpfung genialer Intuition und spezifischen ma- thematischen Denkens", wie sie mit Recht kürzlich ein jüngerer Mathe- matiker genannt hat, sehr zustatten gekommen. Minkowski hat stets danach gestrebt, nicht nur über die Methoden der reinen Mathematik die Herrschaft zu erlangen, sondern auch den wesentlichen Inhalt aller derjenigen Wissensgebiete sich anzueignen, in denen die Mathematik als Hilfswissenschaft eine entscheidende Rolle zu spielen berufen ist. Wie tief er dann in solche Wissensgebiete, die ??einem eigentlichen Arbeitsfelde fem lagen, eindrang und wie kritisch cuch hier sein Blick war, zeigen die mannigfachen Vorträge, die er bei verschiedenen Anlässen, namentlich in unserer mathematischen Gesellschaft, gehalten hat, sowie seine Universitätsvorlesungen. Zumal in Göttingen hat Minkowski außer den üblichen Vorlesungen eine große Anzahl von Spezialvorlesungen über die verschiedensten Gegenstände gehalten, z. B. über Linien- und Kugel geometrie, Anal/sis situs, automorphe Funktionen, luvariantentheorie, Wärmestrahlung und Wahrscheinlichkeitsrechnung. Diese XXVIII Gedächtnisx-ede auf H. Minkowski. Vorlesungen waren stets klar durchdacht und fein geformt; ihr Ziel war, die Ergebnisse neuester Forschung kritisch zu sichten, auf die einfachste Form zu bringen und alsdann in Verbindung mit den alten Sätzen der Theorie einheitlich zur Darstellung zu bringen. Wie sehr es ihm dabei gelang, auch den schwerfälligeren Zuhörern die Wege zu ebnen und die reiferen ganz für sich zu gewinnen, beweist der steigende Zuspruch, dessen sich diese Vorlesungen in Göttingen erfreuten. Besonders verstand er es, in höheren Vorlesungen junge Mathematiker zu eigenen Forschungen anzuregen. Unter den Dissertationen, die seiner Anregung zu verdanken sind^ seien nur die von L. Kollros, Un algorithme pour l'approximation simultanee de deux grandeurs (1905), und E. Swift, Über die Form und Stabilität gewisser Flüssigkeitstropfen (1907), genannt, deren wertvolle Resultate in weiteren Fachkreisen bekannt geworden sind. Daß Minkowski auch Nichtfachleuten durch die Heranziehung treffen- der Gleichnisse und anschaulicher Bilder über schwierige mathematische Gegenstände vorzutragen und in ihnen eine Vorstellung von der Größe und Erhabenheit unserer Wissenschaft zu erwecken wußte, zeigt am besten die Rede, die er in der Festsitzung der Göttinger mathematischen Gesellschaft zur hundertjährigen Wiederkehr des Geburtstages von Di- richlet gehalten hat*). Die begeisterten und klaren Ausführungen, die dort Minkowski über den Charakter der Zahlentheorie, ihre Bedeutung und ihre Stellung zu anderen Disziplinen machte, beruhen auf einer tiefen Erfassung des Wesens der Zahlen theorie und sind das Beste, was je über diese wunderbarste Schöpfung menschlichen Geistes gesagt worden ist. Hierfür sei das Zeugnis desjenigen Mathematikers angerufen, der als Schüler von Dirichlet ein kompetentes Urteil hat, und den wir heute im In- und Auslande als den Senior der Mathematiker, als den einzigen lebenden Heros aus der größten Epoche der Zahlentheorie verehren dürfen. „Ich habe Ihren Vortrag", so schrieb Richard Dedekind an Minkowski, „mit größtem Genuß fünfmal und noch viel öfter durchgelesen und bin besonders von der großen historischen Auffassung ergriffen, mit der Ihr Vortrag die tiefsten Gedanken unserer Wissenschaft deutlich erfaßt und in ihrer Entwicklung verfolgt". Trotz seiner milden Denkart war Minkowski im Grunde kritisch, er erkannte leicht die Schwächen' einer Beweisführung oder einer Ideen- bildung und legte im allgemeinen auch an die Arbeiten anderer einen strengen Maßstab an. Er unterschied scharf zwischen oberflächlichen und soliden Mathematikern. Von einer guten mathematischen Arbeit ver- *) P. G. Lejeune Dirichlet und seine Bedeutung für die heutige Mathematik. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker -Vereinigung, Bd. 14 (1905), S. 149— 1G3. Diese Ges. Abhandlungen, Bd. II, S. 447 — 461. Gedächtnisrede auf H. Minkowski. XXIX langte er, daß in ihr eine klar gestellte und des Interesses werte Frage gelöst werde. So sehr er von echter Bescheidenheit war und mit seiner Person gern im Hintergrunde hlieb, war er doch von der innersten Überzeugung getragen, daß vieles von dem, was er schuf, die Arbeiten anderer zeit- genössischer Autoren überleben und einst zur allgemeinen Anerkennung gelangen würde. Den von ihm gefundenen Satz von der Lösbarkeit linearer Ungleichungen mit der Determinante 1, seinen Beweis für die Existenz von Verzweigungszahlen im Zahlkörper oder die Reduktion der kubischen Ungleichung, die die vorhin genannte Maximaleigenschaft der Kugel ausdrückt, auf eine quadratische Ungleichung stellte er wohl inner- lich selbst den besten Leistungen der mathematischen Klassiker auf dem Gebiet der Zahlentheorie und Geometrie gleichwertig an die Seite. Man müsse fleißig sein, das Leben sei ja so kurz, äußerte er wohl. Und in der Tat, die Wissenschaft begleitete ihn überall, sie war ihm zu jeder Zeit interessant und ermüdete ihn an keinem Ort, sei es auf einem Ausflug, in der Sommerfrische oder in der Bildergalerie, in dem Eisen- bahucoupe oder auf dem Großstadtpflaster. Noch in den letzten Nächten, die er zu Hause zubrachte, beschäftigte ihn die Formung der Worte in seinem Kölner Vortrage, und er über- legte, welche Wendung dem naiven Sprachgefühl besser entspräche. Das war charakteristisch für ihn : er strebte zuerst nach Einlachheit und Klarheit des Gedankens — Dirichlet und Hermite waren darin seine Vor- bilder — , dann bemühte er sich, dem Gedanken auch eine vollkommene Darstellung zu geben. Er war von großer Genauigkeit und einer ins kleinste Detail gehenden Eigenheit, was die Wahl der Bezeichnungen und der Buchstaben betraf, eine Genauigkeit, die — freilich wie bei Min- kowski gepaart mit einem aufs Große gerichteten Blick — dem rechten Forscher stets eigen ist, und die wir heute bedauerlicherweise seltener werden sehen. Auch sonst, wenn er im kleineren Kreise über einen wissenschaftlichen Gegenstand sprach, legte er auf die Form und den Ausdruck Wert, und besonders in unserer mathematischen Gesellschaft verfehlte er selten, seinem Vortrage einige wohl überlegte, die Zuhörer anregende Bemerkungen vorauszuschicken. Frei von aller vorgefaßten Meinung und von aUer Einseitigkeit zeigte t r auch für die entferntesten Anwendungen der Mathematik Interesse — immer der Meinung, daß diese auch der reinen Wissenschaft schließlich zum Vorteil dienen würden. So nahm er auch an den Sitzungen der Göttinger Vereinigung für angewandte Mathematik und Physik aufs regste teil. Er besaß eine scharfe Beobachtungsgabe auch für Dinge, die nicht XXX Gedächtnisrede auf H. Minkowski. Beine Wissenscliaft betrafen. Wie er denn überhaupt für alles, was Menschen bewegt — von der Politik bis zum Theater — Verständnis, nicht selten Eifer und Lebhaftigkeit bekundete. Dem Fernerstehenden schien es mitunter bei dem im allgemeinen ruhigen Temperament Min- kowskis, als schenke er einer Sache wenig Interesse: oft fiel gerade dann von Minkowskis Seite eine Bemerkung, die den Kern der Sache traf, oder er hatte gar ein Zitat aus Faust bereit, den er vollständig auswendig konnte. Noch in der letzten arbeitsreichsten Zeit seines Lebens liebte er es, seinen Kindern Gedichte von Goethe und Schiller auswendig vor- zutragen — mit der Begeisterung, die ihm aus seiner Jugendzeit frisch geblieben war. Für seine Person war er äußerst einfach und anspruchslos, mehr bedacht auf das Wohlergehen seiner Angehörigen als auf sein eigenes. Er war von unentwegtem Optimismus, stets überzeugt, daß das Gute und Richtige zum schließlichen Siege gelangen würde. Für junge heran- wachsende Mathematiker hatte er viel persönliches Interesse und sah sie häufig bei sich im Hause; er sprach sich bisweilen überschwenglich über die Kenntnisse und den Fleiß einzelner unter ihnen aus und setzte große Hoffnungen auf ihre Zukunft. Seit meiner ersten Studienzeit war mir Minkowski der beste und zuverlässigste Freund, der an mir hing mit der ganzen ihm eigenen Tiefe und Treue. Unsere Wissenschaft, die uns das liebste war, hatte uns zusammengeführt; sie erschien uns wie ein blühender Garten; in diesem Garten gibt es geebnete Wege, auf denen man mühelos genießt, indem man sich umschaut, zumal an der Seite eines Gleich empfindenden. Gern suchten wir aber auch verborgene Pfade auf und entdeckten manche neue, uns schön dünkende Aussicht, und wenn der eine dem andern sie zeigte und wir sie gemeinsam bewunderten, war unsere Freude vollkommen. Sein stiUer Sinn stand nicht nach äußeren Zeichen der Anerkennung; doch empfand er eine lebhafte Genugtuung, wenn mir eine solche zuteil wurde. Allem, was mich betraf, brachte er sein stets gleichbleibendes Interesse und seine herzlichste Teihiahme entgegen. Zumal die kleine Stadt hier erleichterte unsern Verkehr: ein Telephonruf zur Vermittlung einer Verabredung oder ein paar Schritte über die Straße und ein Stein- chen an die klirrende Scheibe des kleinen Eckfensters seiner Arbeitsstube — und er war da, zu jeder mathematischen oder nichtmathematischen Unternehmung bereit. Noch auf der Krankenbahre liegend — todeswund — galten seine Gedanken dem Bedauern, daß er in der nächsten Stunde des Seminars, in der ich meine Lösung des Waringschen Problems vortragen wollte, nicht zugegen sein könne. Seinem Andenken darum habe ich meine die Lösung Gedächtnisrede auf H. Minkowski, XXXI enthaltende Abhandlung gewidmet, die erste, von deren Inhalt er keine Kenntnis mehr genommen hat und über deren Korrekturbogen sein sicheres Auge nicht geglitten ist. Er war mir ein Geschenk des Himmels, wie es nur selten jemand uteil wird, und ich muß dankbar sein, daß ich es so lange besaß. Jeder, der ihm näher stand, empfand die Harmonie seiner Persön- lichkeit und den Zauber seiner Genialität; sein Wesen war wie der Klang einer Glocke, so hell in dem Glück bei der Arbeit und der Heiterkeit seines Gemütes, so voll in der Beständigkeit und Zuverlässigkeit, so rein in seinem idealen Streben und seiner Lebensauffassung. Wie er gelebt hat, so starb er — als Philosoph. Wenige Stunden noch vor seinem Tode traf er die Anordnungen über die Korrektur seiner im Druck befindlichen Arbeit und überlegte, ob es sich empfehlen würde, seine unfertigen Manuskripte zu verwerten. Er sprach sein Bedauern über sein Schicksal aus, da er doch noch vieles hätte machen können; seiner letzten elektrodynamischen Arbeit aber würde es vielleicht zugute kommen, daß er zur Seite trete — man werde sie mehr lesen und mehr anerkennen. Zum Abschiednehmen verlangte er nach den Seinigen und nach mir. Mehr als sechs Jahre hindurch haben wir, seine nächsten mathema- tischen Kollegen, jeden Donnerstag pünktlich drei Uhr mit ihm zusammen den mathematischen Spaziergang auf den Hainberg gemacht — auch den letzten Donnerstag vor seinem Tode, wo er uns mit besonderer Leb- haftigkeit von den neuen Fortschritten seiner elektrodynamischen Unter- suchungen erzählte: den Donnerstag darauf — wiederum um drei Uhr — gaben wir ihm das letzte Geleit. Dienstag, den 12. Januar, mittags, war er einer Blinddarmentzündung erlegen; bei dem bösartigen Charakter, mit dem die Krankheit auftrat, hatte auch die Sonntag Nacht ausgeführte Operation nicht mehr helfen können. Jäh hat ihn der Tod von unserer Seite gerissen. Was uns aber der Tod nicht nehmen kann, das ist sein edles Bild in unserem Herzen und das Bewußtsein, daß sein Geist in uns fortwirkt. ZUR THEORIE DER QUADRATISCHEN FORMEN I. Grundlagen für eine Theorie der quadratischen Formen mit ganzzahligen Koeffizienten. (Memoires presentes par divers savants ä TAcademie des Sciences de Tlnstitut national de France, Tome XXIX, No. 2. 1884.) (Vorbemerkung des Herausgebers. Diese Abhandlung ist von Minkowski im Mai 1882 der Pariser Academie des Sciences als Preisschrift, und zwar in Gestalt eines in deutscher Sprache verfaßten Manuskriptes, eingereicht worden (vgl. Comptes ;endus, Bd. 96 (1883), pp. 879 — 883). In den Memoires des Savants etrangers ist sie, on Minkowski selbst ins Französische übertragen, unter dem Titel „Memoire sur la theorie des formes quadratiques ä coefficients entiers" erschienen. Die vorliegende deutsche Ausgabe folgt überall dort, wo der gedruckte französische Text als unmittel- bare Übersetzung des ursprünglichen deutschen Manuskriptes gelten kann, dem letzteren; an den zahlreichen Stellen, an denen beide voneinander abweichen, ist der französische Text als maßgebend angesehen und ins Deutsche rückübersetzt worden. Ein Ver- ichnis der hauptsächlichsten dieser Stellen befindet sich am Schlüsse der Abhand- lung. Von dem Herausgeber herrührende Zusätze und Anmerkungen sind durch doppelte eckige Klammem [[ ]] kenntlich gemacht.) [[Begleitschreiben an die Academie des Sciences.]] J'ai l'honneur de soumettre au jugement de 1" Academie mon Memoire ci-joint, intitule: < Tout en esperant aroir reussi ä resoudre la question proposee, et ä la generaliser en meme temps, je dois demander l'indulgence de FAcademie en plus d'un rapport. Arrive il y a peu de jours seulement a ce point d'ample developpe- ment de ces attrayantes theories, j'ai du y interrompre mon ouvrage, voyant qu'il ne me restait pour le faire arriver au terme du l*^' juin, qua juste le temps de le mettre au net. C'est pourquoi avant tout il in'a ete impossible d'en faire une traduction en fran9aiS; ce qui, du reste 4 Zur Theorie der quadratischett Formen. ä l'etat actuel de mes connaissances dans cette langue, je n'aurais su faire que d'une £39011 assez imparfaite. Cette insuffisance de temps m'a empeche d'epuiser tout le materiel que j'ai trouve pour cette question interessante, ainsi que de donner ä la redaction tous ces soins que j'aurais voulu j porter, pour rendre mon ouvrage aussi en fait de forme, plus digne du noble forum, au jugement duquel j'ose le soumettre. Je prie TA-cademie de bien vouloir excuser ces faiblesses et de daigner examiner mon ouvrage tel que je suis force ä le presenter. L'auteur du memoire portant l'epigraphe: «Rien n'est beau que le vrai, le vrai Beul est aimable.>> (Koenigsberg), le 29 mai 1882, Durch die von der Academie des Sciences gestellte Aufgabe „Theorie de la decomposition des nombres entiers en une somme de cinq carres" angeregt, unternahm ich eine genauere Untersuchung der allgemeinen quadratischen Formen mit ganzzahligen Koeffizienten. Ich ging dabei von dem natürlichen Gedanken aus, daß die Zerlegung einer Zahl in eine Summe von fünf Quadraten in ähnlicher Weise von den quadratischen Formen mit vier Variablen abhängen würde, wie bekanntlich die Zer- legung einer Zahl in eine Summe von drei Quadraten von den quadra- tischen Formen mit zwei Variablen abhängt. Diese Untersuchung hat mir in der Tat die gewünschten Resultate über die Zerlegung einer Zahl in eine Summe von fünf Quadraten geliefert. Indessen erscheinen diese Resultate bei der großen Allgemeinheit der von mir gefundenen Sätze nicht überall als das eigentliche Hauptziel der vorliegenden Arbeit; sie stellen vielmehr nur ein Beispiel für die gewonnenen umfangreichen Theorien dar. Wenn daher viele der nachfolgenden Betrachtungen nicht immer unmittelbar auf das Thema der Preisfrage hinweisen, so wage ich dennoch zu hoffen, daß die Akademie nicht der Ansicht sein werde, ich würde mehr gegeben haben, wenn ich weniger gegeben hätte. Ich teile kurz die bemerkenswertesten Sätze dieser Arbeit mit. — Es sei n i,k=l eine quadratische Form mit ganzzahligen Koeffizienten a^-^ und von einer nicht-verschwindenden Determinante A, welche sich durch eine reelle Transformation in eine Summe von n — I positiven und I negativen Qua- Grundlagen für eine Theorie der quadratischen Formen. draten transformieren lasse. Die Zahl I heißt der Index der Form f. Das System A = ^%\ y ^22 ' •J »2« y^nXi nennen wir das quadratische System der Form f. Der größte Teiler aller /^-reihigen Unterdeterminanten des Systemes A sei t7^_i, der größte Teiler aller doppelt genommenen unsymmetrischen und einfach genommenen symmetrischen /i-reihigen Determinanten Ton A sei gleich 6^df^_^. 6^ ist gleich 1 oder gleich 2 (^„ = 1, f?„_i = (— 1/-A). Ist n i,k=\ eine zweite quadratische Form, welche durch eine ganzzahlige Substitution von der Determinante 1 aus f hervorgeht, so heißt g der Form f äqui- valent, und es gelten, wenn der Form g die Zahlen c^_j und q^ [[in der- selben Weise wie d^_-^ und ö^ der Form /"]] angehören, die Beziehungen Wir betrachten hauptsächlich Formen /", für welche der größte Teiler der Koeffizienten a^^., nämlich d^, gleich 1 ist, sogenannte primitive Formen. Für eine primitive Form setzen wir fL oJo. i) n-l/i «-2 Die Zahlen o^ und 0^ nennen wir die Invarianten der (primitiven) Form f. AUe Formen f, für welche die 2(w — 1) -f- 1 Zahlen ^17 ^ij Ol, 0,, V ^»-1 ,1 gleiche Werte haben, fassen wir in eine Ordnung zusammen. Zwei äqui- valente Formen gehören derselben Ordnung an. Die Existenz einer Ordnung ist (wenn wir ^^ = 1, o^ = 0; ö^ = 1, 0^ = 0 setzen) an die folgenden Hauptbedingungen gebunden: I. Die Größen 0^ sind ganze Zahlen. n. Die Zahlen 6f^ und ^a_i • o^i- ö^^i sind nicht gleichzeitig durch 2 teilbar (ö^ ist relativ prim zu (ih-i'^h'*^k+\)- lU. Die Größen 'A-l «'A '»+1 und »A-l sind ganze Zahlen. 6 Zur Theorie der quadratischen Formen. Außer diesen Hauptbedingungen besteht im Falle, daß nicht sämtliche M — 1 Zahlen ^ä-i^a<^ä+i Quadratzahlen sind, die einzige Nebenbedingung: Wenn w = 0 (mod 2) and ^1=2, ^2 = 1,..., (?„_2 = 1, ,C^)-(-i) - .G^;•)•(-l) '■' ■' III. wenn (?; _j 0;,(J;^^i = 0 (mod 8) ist, die Einheiten (4) die nämlichen Werte. Umgekehrt gehören zwei Formen f wirklich stets einem und dem- selben Genus an, sobald für die charakteristischen Formen (p dieser Formen- klassen die vorstehenden Einheiten die nämlichen Werte besitzen. Zwischen den Einheiten S), die wir die Charaktere des Genus G nennen, bestehen alle, diejenigen Bedingungen, welche sich aus den Kongruenzen ^) - ^h -1 Oa ^a +1 • 9'a -1 9'a +1 = ^h (mod (?/ qp J erschließen lassen, also insbesondere die Bedingungen (H i2"*ffA + A ^^^Z-^' /g>A K=2"«.e„e.sl (mod 2)] 8 Zur Theorie der quadratischen Formen, und n-l n(^i-(-"'"~" 77(^') A=l Wenn die Charaktere eines Genus G allen Bedingungen geniigen, welche sich aus den Kongruenzen k) ergeben, so besitzt das Genus G wirklich Formen. (Insbesondere folgt aus diesem Umstand die bis jetzt noch nicht bewiesene Tatsache, daß die definiten positiven Formen von der Determinante 1 und einer Variablenzahl größer oder gleich 8 mehr als eine Formenklasse enthalten.) Es sei f eine primitive Form. Wir bezeichnen die (w — 1)- reihigen Minoren der Determinante A in bekannter Weise durch da,, ^»•^•' und wir setzen Die Form f'=^ aaXix'k i,k=l nennen wir dann die der Form f adjungierte Form. Ist eine Form /" einer Form f adjungiert, so ist auch der Form f die Form f adjungiert. Besitzt die Form /' eine Ordnung so besitzt ihre adjungierte Form f eine Ordnung I\ für welche wird. — Der charakteristischen Form cp' der Klasse f ist eine charakte- ristische Form (p der Klasse f adjungiert, für welche die Beziehungen bestehen. Infolge dieser Beziehungen können die Charaktere und dem- gemäß die Genera adjungierter Formen sofort auseinander hergeleitet werden. Die Beweise der soeben entwickelten Sätze bilden den Inhalt des ersten Teiles der vorliegenden Arbeit, in welchem alle quadratischen Grundlagen für eine Theorie der quadratischen Formen. 9 Formen f von nicht-verschwindender Determinante oline Beschi-ankung lehandelt sind. In dem zweiten Teile dieser Arbeit betrachte ich die Darstellung von Formen mit niedrigerer Yariablenzahl durch Formen mit höherer Variablenzahl und insbesondere die Darstellung von ganzen Zahlen durch '-'ormen. Ich verallgemeinere und erweitere die von Gauß über Dar- teUungen von Zahlen und binären Formen durch ternäre Formen ge- gebenen Sätze und betrachte im weiteren Verlaufe der Untersuchung oesonders definite positive Formen. Zuletzt wende ich mich zu einer Bestimmung des Maßes einiger besonders ausgezeichneter definiter Genera und gewinne dadurch die verlangten Sätze über die Darstellung einer Zahl durch eine Summe von fünf Quadraten. Schließlich füge ich noch ohne Beweis ein sehr allgemeines Theorem in betreff des Maßes eines definiten positiven Genus von n Variablen hinzu, aus welchem sich sämt- liche von Eisenstein in diesem Gebiete aufgestellten Sätze als spezielle Fälle ergeben. — Infolge der Nähe des von der Akademie gegebenen Termines mußte ich mich in dem zweiten Teile an manchen Stellen mit kurzen Andeutungen begnügen, und es sind dadurch einige Mängel in der Redaktion desselben veranlaßt, welche ich zu entschuldigen bitte. Erster Teil. Über die Reste quadratisclier Formen. Kap. I. Klassen quadratisclier Formen. — Index, Invarianten nnd Ordnung einer Form. n Wir betrachten quadratische Formen f = ^ Oiik^i^k ^^ {<*•*}> welche ganzzahlige Koeffizienten und eine nicht - verschwindende Determinante besitzen. Die Anwendung einer beliebigen ganzzahligen Substitution S: x,=^s}y, (i,Z=l,2,...,n) i auf die quadratische Form f führt zu einer neuen Form Die Form g heißt in der Form f entJuilten. *) Wir bezeichnen mit S dasjenige System, das sich aus S durch Vertauachung «1er Horizontal- und Vertikalreihen ableitet. 10 Zur Theorie der quadratischen Formen. Wir beschäftigen uns insbesondere mit Substitutionen S, deren Deter- minante = 1 ist. In diesem Falle kann die Form g durch eine zweite ganzzahlige Substitution von der Determinante 1 in /" zurückgeführt werden. Für I 5 ! = 1 ist daher sowohl g in f als f in g enthalten. Mit Rück- sicht auf diese ihre gegenseitige Beziehung nennen wir alsdann f und g äquivalent. Um die Äquivalenz zweier Formen auszudrücken, bedienen wir uns mitunter des Zeichens ~ (f<-^ g). Es besteht der Fundamentalsatz : A. Wenn zwei Formen einer dritten äquivalent sind, so sind sie unter-, einander äquivalent. Denn ist _ _ so haben wir g,= (S^^)-g,-iS,-'S,)^g,. ! Die Gesamtheit aller einer bestimmten Form f äquivalenten Formen nennen wir eine FormenMasse. Infolge des Satzes A. sind zwei Formen, welche derselben Klasse angehören, untereinander äquivalent, während zwei Formen aus verschiedenen Klassen nicht äquivalent sind. Wir werden eine gegebene Form selten als besonderes, durch seine '^ J" Koeffi- zienten bestimmtes Individuum betrachten; meistens wird sie uns nur als ein Repräsentant der ihr entsprechenden Formenklasse gelten. Eine jede Form f von nicht-verschwindender Determinante kann, wie man weiß, durch eine lineare Transformation mit reellen (keineswegs immer ganzzahligen) Koeffizienten in eine Summe von n zum Teil posi- tiven, zum Teil negativen Quadraten übergeführt werden. Es mögen bei irgendeiner solchen Transformation I = I(f) Quadrate das negative und n — / Quadrate das positive Vorzeichen erhalten; alsdann ist nach einem bekannten Satze die Zahl I für die Form f charakteristisch, und es wird eine jede Darstellung von f durch eine Summe von n positiven oder ne- gativen Quadraten die Gestalt / n-I A=l A=l erhalten. Wir gewinnen hieraus leicht für die algebraische Äquivalenz zweier Formen f und g die Bedingung m - m- Die Zahl I(f) heißt der Index der Form f. Die Form 5^ = {&,„} sei in der Form f={aik] vermittels einer Sub- stitution S == [s}] enthalten. Wir bezeichnen die Subdeterminanten Ä*«^ Grades Grundlagen für eine Theorie der quadratischen Formen. 11 "ü** «^** «.•a*x' «.,i,. •'«.-A** *' -,,, Km^y ■7 Kmj, •' Km,, ,,&, 'A'ni' 'a""»' 'aWA S/S 5.^, .... S.'* 5.^1, sh, .... s.'a 'A ' »A ' ., S.'h durch oder, wofern die besondere Wahl der // Horizontal- und Vertikalreihen unter den gegebenen n Horizontal- und Yertikalreihen gleichgültig ist, durch A,, B„ S, oder V- Wir gebrauchen für die symmetrischen Af^ und B^ die Buchstaben i^^ und (r^ und für die unsymmetrischen A/^ und B,^ die Buchstaben P^ und Q^. Nach einem bekannten Determinantensatze ist Jg{h} h) • • • J *A \ ^ _v^ \m^, m.^, . . . , mj (1 .2. • -Ä) (i ■ 2- • -Ä) In der Entwicklung eines 6r^ sehen wir die JE f^ mit einem Faktor S^, die P;^ mit einem Faktor 2S}^S^ behaftet: in der Entwicklung eines Qf^ weisen sowohl die jP^ als die P;, einen Faktor Sj^S^ auf: Wir schließen aus dieser Bemerkung, daß der größte Divisor der F^, P^^ in dem größten Divisor der G,^, Q^ und der größte Divisor der F^, 2Ff^ in dem größten Divisor der G^^, 2Q^ aufgeht. Den größten positiven Divisor der Ff^, P^ setzen wir gleich d^_^ und den größten positiven Divisor der i*\, 2P^ gleich <3f^df^_^. Die Zahl Qh ^^^ ^'^^ größte positive Divisor ^hif)^h-i(f) ^^^ Fj^, 2P;i in dem größten positiven Divisor ßh(g)d^_^(g) der G,^, 2Q^ auf; andererseits geht auch dj^_M ^^ <^h-i(f) und öM^h-M i» ^hiOd^-iif) auf. Für äquivalente Formen f und g bestehen demnach die Beziehungen (1) ^,{f) = <^M', d,_,{f) = d,_,{g). Wir nennen eine Form /" == { ö^f ;(. } primitiv in hezug auf einen Modul N, sobald die Koeffizienten a^j einen größten gemeinsamen Teiler besitzen, welcher zu N relativ prim ist. Eine beliebige Form ist nach dieser De- finition primitiv in bezug auf einen Modul N, sobald sie primitiv in bezug auf alle in N enthaltenen Primfaktoren ist. In dem Folgenden werden wir fast ausschließlich Formen f be- trachten, für welche der größte Teiler der a.j^, nämlich dQ, gleich 1 wird und die wir kurz primitive Formen heißen. Eine nicht -primitive Form f = { ^ik ] i^^ ^^^ Produkt aus der Zahl dQ und der primitiven Form X = {^} gleich. Jeder primitiven Form/" entsprechen 2(n — 1) Zahlen dl7 d^, . . ., »„_2; <*„_! • Wir führen ferner n — 1 Größen o^ durch die Gleichungen dt = o„ m d^ = 0^0^, fl — n n — l^n—2 •• On-1, em. Gemäß den Formeln (1) sind alle o^ und 6,^ Invarianten der Klasse f. Wir unterscheiden die o^ und (?^ als Invarianten o{f) und Invarianten (?(/"). Alle Formenklassen, welche die Größen (?^, Oj^ gemein haben und für welche der Index I{f) denselben Wert I annimmt, fassen wir in eine Ordnung \Öi, O2, . . ., 0„_2; 0„-l/ zusammen. Unsere nächste Aufgabe wird in der Aufsuchung der für die Exi- stenz einer Ordnung erforderlichen Bedingimgen bestehen. Grundlagen für eine Theorie der quadratischen Formen. 13 Kap. n. Fornienreste. — Die InTarianten o(f) sind ganze Zahlen, Bei allen Fragen, in welchen es sich weniger um die numerischen Werte der Unterdeterminanten einer Form f = [ a.,^ } als um die Teilbar- keit dieser Unterdeterminanten durch gegebene Zahlen N handelt, kommen für uns offenbar nur die Reste der ?" Koeffizienten «,,. nach den Moduln N in Betracht, und wir können daher diese Koeffizienten durch beliebige, ihnen nach den Moduln K kongruente Zahlen ersetzen. Eine Form R = {B^j^} heißt ein Eest der Formenklasse f in hezug auf den Modul N, sobald in dieser Klasse eine Form 0 = { Ä^j. ] anzutreffen ist, für welche sämtliche Kongruenzen erfüllt sind. Wir gebrauchen alsdann die Bezeichnung Wir werden für eine jede Formenklasse eine Reihe besonders aus- gezeichneter Formenreste bestimmen, zu denen man gelangt, wenn man auf eine beliebige Form der betreffenden Klasse Substitutionen von der folgenden Art ausübt: '^ir ^i = ^i> ^i = ± < + <; ^ä = ^/ (Ä + h ^0 ^i = < +^S*<. ^H = < (Ä + *). Zunächst verschafft uns die Betrachtung der so gewonnenen Klassen- reste den Satz: B. Für eine jede Ordnung, welche ivirldich Formen enthält, werden die Invarianten o^ ganze Zahlen. Wir können diesen Satz auch in der folgenden veränderten Weise aussprechen: C. Ist die quadratische Form f= [a.^} in bezug auf eine Primzahl q primitiv und sind die höchsten, in den Zahlen d^, d^, . . ., d„_^ der Form f aufgehenden Potenzen von q resp. c^^, ^^, . . ., g^»-i, so fallen die Größen «A = {''h — H-\) — {'h-i — 'h-i) iiicht negativ aus. Die o^ sind mit den <\ durch die Gleichungen r^i = /»Ol -F (Ä — l)cj2 -I h »A verbunden. Die Potenzen q^h sind offenbar diejenigen Potenzen von q, welche in den Größen o^ = ^-^ : -^^ aufgehen: sobald also keine der und und 14 Zur Theorie der quadratischen Formen. Zahlen (o^ negativ ist, müssen die o,^ sämtlich ganze Zahlen sein. Die erste von 0 verschiedene der Zahlen cj^ ist gewiß positiv, da sie gleich der ersten von 0 verschiedenen Zahl r^ ist. — Wir werden die Gültigkeit des Satzes C. für Formen von n Variableu aus der Annahme der Gültig- keit desselben für Formen von weniger als n Variablen herleiten. Hier- durch ist dann zugleich seine Allgemeingültigkeit dargetan; denn da dieser Satz für w = 1 gewiß richtig ist — in diesem Fall existiert überhaupt kein o^ — , wird er sofort auch für w = 2, 3, . . ., n erwiesen sein. Für den Beweis des Satzes C. genügt die Einführung besonderer Formenreste für Moduln, welche Potenzen der Primzahl q sind. Nur müssen wir den Fall einer ungeraden Primzahlpotenz q' = p^ von dem Falle einer Potenz q^ = 2' sondern.*) I. Wir beginnen mit dem Falle einer ungeraden Primzahl q =^p. n 1. Jede in bezug auf J9 primitive Form f = ^^daX^x^ von w Variablen i,k=l ist einer Form 'a, 0, ..., 0 0, p'"-a!;\\ . . ., p'"^a^^) ^ / . A 0, «"'^aW ., «"laW, V ' -^ w— 1,1' ' -'^ n — 1,71 — 1'' n-l /•(l) ^ «I' + r^2 ""'"^^ ^'-^'^ "^^'^ ^"'''^ ^'^ i,A = l äquivalent, deren erster Koeffizient a zw p relativ prim ist, während «-1 /"(^^ == ^ a^(J^ xp-'^ x^'^'^ eine in bezug auf p primitive Form von n—1 Vari- i,i = l ablen darstellt. Beweis: Wenn f in bezug auf p primitiv ist, so sind die Zahlen ^fi) ^^ik gewiß nicht aUe durch p teilbar. Ebenso können auch die Zahlen a.^, «,-,. + 2ai). -f- a^^ nicht alle durch p teilbar sein; denn sie haben offenbar denselben größten gemeinsamen Teiler wie die a^,., 2«^^. Sollten also die Koeffizienten a^^ der Form f sämtlich durch p teilbar sein, so würde eine der Zahlen a,.^ ± 2«^;^ -|- a^j^ zu p relativ prim sein, und wir dürften auf f nur eine Substitution S,-,. anwenden, um in der veränderten Form die zu p prime Zahl a^^ + 2a-;^ -f- a^j^ als einen mittleren Koeffi- zienten zu erzielen. Wir können demnach von f voraussetzen, daß es einen durch p nicht teilbaren Koeffizienten a^ besitzt. Durch Ausübung *) Wir bezeichnen stets durch q eine beliebige und durch p eine ungerade Primzahl. Grundlagen für eine Theorie der quadratischen Formen. 15 einer Substitution P(i^,-) verwandelt sich f alsdann in einen Repräsentanten n (1) -^1 } ^n j E , ^ n — i ■'1 , n - 1 (mod _pO, in welchem a zu p prim ist. Auf f,^^ wenden wir die Substitution 1, K^, K^, . . ., K^_i 5(1) = 1, 0, . . ., 0 an. Eine solche Substitution läßt a ungeändert, während sie Ef^ in verwandelt. Bestimmen wir daher die Kf^ aus den gewiß lösbaren Kon- gruenzen . J^, + aZ, = 0 (modpO, so geht die Form f^^^ durch die Substitution S^'^^ in eine Form /■(!)- «, 0, 0, 11 ? 0 ,(1) 1, Jl-1 0, ,(1) n-1,1? *'n - 1, n - 1 ' (mod p^ über. Ist ^ > a^, so wird p"*» die größte Potenz von p sein, welche in allen r.^ enthalten ist, und wenn wir r ]} = p^ aj setzen, so haben wir die angegebene Gestalt von f,^. erlangt. 2. Der Form fif^fn)) teilten wir n — 1 Zahlen d^, d^. zu; (1) n — 2 Zahlen d^^^, d^^^\ . . ., dj'^}_^ von ähnlicher Bedeutung gehören der Form /"(^^ = { a^W } an. Es bezeichnet (?^Wj für /"^^^ den größten gemein- samen Teiler aller -4^^^^ Es seien die höchsten in d^^^\ d^^^\ . . ., ofj^g aufgehenden Potenzen von p resp. p^^ , ^* i ■ • -, i>^"~*. Für die Form /j gelten die Kongruenzen A^^f = tt • p^*-')'"^^ W^, p""^Ä^^^\ 0 (mod p^. Wir wollen den Modul p^ größer gewählt denken als die größte der Zahlen p^^, jj^', . . ., p^n-i. Dann muß die höchste Potenz von p, welche in allen A^^-^/, aufgeht, d. i. die Potenz p^i*-^, zugleich die höchste Potenz von p sein, welche in allen a -y*"^^"'^/^!, p*"^ J.^(^) aufgeht. Die höchste Potenz von p, welche in den a ■ p^''-'^)'"iAl^^}^ aufgeht, ist offenbar j,(A-i)ü>j+ö;i_j. die höchste Potenz von p, welche in den ^""»^(^^ aufgeht, 16 Zur Theorie der quadratischen Formen. ist j^'"x + <^h-i. Demnach wird c^_.,^ mit der kleineren der Zahlen übereinstimmen müssen. Setzen wir jetzt die Gültigkeit unseres Satzes C. für die Form f^^^ von w — 1 Variablen voraus. Dann werden die durch die Gleichungen a^(i) = Äto/i) + (h - i)(D^w + . . . + c/i) bestimmten Größen co^^^^ positiv oder gleich Null ausfallen, und es wird woraus sich wegen (Oi ^ 0 ergibt. Von diesen beiden Zahlen ist also jedenfalls die erste nicht größer als die zweite, und wir erhalten folglich oder, wenn wir ^i'l, = co, (A>1) setzen und die Gleichungen ausführlicher schreiben: O. = ^«1 + (Ä — l)ß52 + H »A? (^h ^ 0. n. Wenn die Primzahl q = 2 ist, unterscheiden wir die Fälle tf ^ = 1 und ^1 = 2. (?j = 1. — 1. Jede in bezug auf 2 primitive Form f= ^^ciaX^x,^, welche eine Invariante 6^ = 1 besitzt, ist einer Form /(.)- 0, 2"'0,«, . . ., 2"ia,« , ' 11 ' " l,n — 1 0, 2"'»aW,,, ..., 2"'»aW, , I V. ' n — 1,1' ' n — l,n — l' (mod 2% n-l /;,) ^ «r + 2-^^ a W xWxi') (mod 2^) äquivalent, in welcher der erste Koeffizient a ungerade ist, während n-l f^^^ = ^ aj-l^ x^^^^x^^^ eine in bezug auf 2 primitive Form vorstellt, welche if,*=i im Falle 03^ = 0 eine erste Invariante 6 gleich 1 besitzt. Beweis: Es befinden sich, wenn 6^= 1 ist, unter den Koeffizienten a^,. ungerade Größen. Außerdem muß es im Falle co^ = 0 eine ungerade Determinante dj^^cb/^j^ — a^j^ geben. Denn wären alle diese Determinanten gerade, so würden die Kongruenzen Gnmdlagen für eine Theorie der quadratischen Formen. 17 «*i«AA = «i^ (niod2) und «A«i;*o kk hh k^kf, Ao*o kh„ k„h (mod 2) rade, so daß die höchste Potenz von 2, welche in allen diesen Determinanten enthalten ist, nämlich 2*^, nicht gleich 1 sein könnte. Wir können im Falle (Dl = 0 ferner voraussetzen, daß die Form f für denselben Index i sowohl ein ungerades a... als auch eine ungerade Determinante a.a^^ — a\ besitzt. Denn wären in f die Indizes / der ungeraden a,,- alle von den Indizes ]c, h a^j^ verschieden, so hätte man gleichzeitig der ungeraden Zahlen a^ , a, , ~ kk /ih a.. <-l a.a.. — a.', = 0, a.a II kk tk ' II , 1» «*t«A/, d. h. 0, (mod 2). (mod 2), Durch Ausübung einer Substitution 5^- auf /" erhielte man eine Form, in welcher die Zahlen a.. und a.a.^ II II hh a\ bzw. durch die Zahlen in und K.«'/,A - «y ± 2(«,,a,, - a,,a,J + (a,,a,, - a/^) ersetzt erscheinen, welche beide ungerade sind. Vermittels einer Sub- stitution P,^ f^ können wir jetzt f in eine Form '(1) E. n-\ a,/i-l E_ (mod 20 transformieren, in welcher a und im Falle «j = 0 auch eine der Größen «<^,. — ^i ungerade ist. Diese Form /Jj) geht durch eine Substitution 1, Zi, Z,, . . ., Z^_j 1, 0,..., Ä(») = in welcher die K^ den Kongruenzen E^ + aZ^ = 0 (mod 2*) genügen, in eine Form Minkowski, Gesammelte Abhandlangen. I. 18 Zur Theorie der quadratischen Formen. ^1) 0, 0 0, 2'".a«, .... 2'-»a(^) , ' 11 / ' l,n — 1 ' n — 1,1' ■ n — l,n — 1 (mod 2') über, in welcher /"(^^ = { a.^'^ } in bezug auf 2 primitiv ist. Hierin fällt, wenn o^ = 0 ist, eine der Größen a2"'ia//) = a/>) (mod 2) ungerade aus, und folglich, wird in diesem Falle die Form /"(^) eine erste Invariante ö gleich 1 besitzen. 2. An die Form f^^^ können wir sofort dieselben Schlüsse anknüpfen wie in Absatz I, 2. dieses Kapitels, und wir gelangen, indem wir der Form /"W n — 2 Zahlen os^^^) zuerteilen und den Modul 2' größer als die größte der Zahlen 2\ 2% . . ., 2^n-i wählen, in derselben Weise zum gewünschten Ziele: n (?i = 2. — 1. Jede in bezug auf 2 primitive Form f== ^, C'ik^i^kf i,k = l welche eine Invariante (?i = 2 besitzt, ist einer Form f(i) == f 2«, St, 0, . 0 1 % 2ä, 0, 0 0, 0, 2"'»a/f), . ••> 2'"^«,f)_, .0, 0; 2-^«,2m' • ••. 2'"««i'i2,n-2. (mod 2'), i,/l- = l äquivalent, in welcher die Zahl St einen willkürlich gewählten ungeraden n-2 Wert hat*), cc ungerade und /"^^^ = x, C'il^^P^k'^^ eine in bezug auf 2 t,*=i primitive Form ist. Beweis: Wegen 6^ = 2 müssen alle a,.,. gerade ausfallen, während mindestens eines der a,.^ (*=H^') ungerade wird. Wir können annehmen, daß gleichzeitig a^J^ = 1 (mod 2) und a^^ = 2 (mod 4) gilt. Sind nämlich für ein ungerades a.^ gleichzeitig a.^ und a^j^ durch 4 teilbar, so genügt es, auf f eine Substitution >S-^ anzuwenden, um zu erzielen, daß der Koeffizient a.^ durch die Zahl «,< ± 2«,.^ + a^^ = 2 (mod 4) ersetzt wird. *) Wir bezeichnen mit 21 stets ungerade Zahlen, welche willkürlich gewählt werden dürfen. Grundlagen für eine Theorie der quadratischen Formen. 19 Durch eine geeignete Umstellung der Variablen mittels der Substitutionen P,j ^^f P« jj können wir daher der Form f die Gestalt verleihen /(2) — (2a, Ä, Ä, 2a, ■ -7 ^n-i ^x, Eu Cn, • •} ^l,n-2 E. , , E„ , » ^n 9 1» • •» ''n—S' « 9 (mod 2*), in welcher a und Ä ungerade sind. Auf dieses f^^^ wenden wir eine Sub- stitution ( 1, M, K^, K„ .., K^_,] 5fW = 1, Kl, Zg, 1, 0, 0 l 1 an. Eine solche Substitution läßt 2 a ungeändert, während dieselbe A in A-\-2aM und E, in E, + 2aK, + AK„ E, in {E, + AK, + 2aK,)^M{E, + 2aK,-^AK,) verwandelt. Bezeichnet % eine beliebige ungerade Größe, so hat die Kongruenz 2aM=%-A (mod 20 stets Lösungen, und ebenso sind wegen 4:aa-A- = l (mod 2) die Kongruenzen E. + 2aK.+ AK. =0 J * J^ (mod 20 E, + AK, + 2aK, ^0 ' ^ auflösbar; sie ergeben K Ä. El — 2 a i\ ^A- AE. — laE. (mod 20- i^aa — A* ' * 4aa — 4' Mit Hilfe der so bestimmten Wert« der M, K,, K, geht daher die Form /(2) in eine Form /jjj von der gewünschten Art über. In dieser Form /"^jj müssen wegen 6^ = 2 die sämtlichen 2*^ a/^ gerade sein. Folglich sind im Falle 03 = 0 auch alle a.'P gerade, und die Form f^^^ = {a/|M "'^"'^ in diesem Falle eine erste Invariante 6 gleich 2 besitzen. 2. Die höchste Potenz von 2, welche allen A^^y, der Form /*(,j (r^f) gemeinsam ist, d. h. die höchste in d^_i aufgehende Potenz von 2, sei wieder 2^a-i, die höchste in den A,^^^ der Form f^^^ aufgehende Potenz 2* 20 Zur Theorie der quadratischen Formen. von 2 sei 2 ^-i. Wir bemerken, daß die Potenz 2^^, welche unter anderem in 4k« — W aufgehen muß, offenbar gleich 1 ist und daß infolgedessen ^1=0 wird. Wir haben für die Größen Ä^^^i die Kongruenzen 2^.2("-i)'».^(2) « — 1 ' ^(2)A = (4aa-5l2)2(*-2)"'.^^(^)2, %-2(''-'>^Ä^'2v ^'""'^i'\ 0 (mod 2'). 2ß.2(A-i)'".AC^) A — 1 " Wählen wir nun t größer als die größte der Zahlen Cj, Cg, . . ., ^„_i, so wird die höchste in allen Ä^^^h aufgehende Potenz von 2, nämlich 2^/'-i, zugleich die höchste Potenz von 2 sein, welche allen auf der rechten Seite der vorstehenden Kongruenzen befindlichen Größen gemeinsam ist. Es ist aber die höchste in allen (4a«-2l2)2("-2)'".^W^, in allen in allen 2*0,, ^^^(2) aufgehende Potenz von 2 resp. 2(A-2)t«,+4'!.'3^ 2(''-i)'"»+^A-2, 2''"'-^+^A-i. Sonach wird c,,_j mit der kleinsten der drei Zahlen übereinstimmen müssen. Nehmen wir jetzt an, für die Form /"^^^ = { a^^ ] von n — 2 Variablen wäre der Satz C, richtig, so werden die Größen o^^^^, welche durch die Gleichungen bestimmt sind, nicht negativ ausfallen, und es müssen demnach die Un- gleichungen ^h-Z^ ' A-2^ '^ A-1 statthaben. Umsomehr gelten dann wegen «^ ^ 0 die weiteren Un- gleichungen (/, - 2) «, + .fi3^ (/. - 1) 0,, + rf ) ,^ 7.05, + .-f ) ,. Mithin wird c,^_i, welches der kleinsten der vorstehenden drei Zahlen gleich werden soll, gleich (Ji — 2)033+ cf}^„ werden, und wir erhalten in diesem letzten Fall, indem wir Ol = ^1 = 0 und öfi2= '^h ('* > -) setzen, gleichfalls dj^ = ha^ + (/i — 1) 02 H + ö/, j G)k > 0. Grundlagen für eine Theorie der quadratischen Formen. 21 Wir führen jetzt einige Bezeichnungen ein, welche für die folgenden Untersuchungen wichtig sind. Wir setzen für eine jede Primzahl q{q = p oder = 2) h = "i? r, = Ol -f ö, , . . ., i"„_i = o?i + co^ H h cj„_j , woraus sich sofort ' 1 = i'l , ^2 = ^"l + ^2 » ■■7 ^n-l= h+ h-^ H ^'«-l ergibt. Die Potenzen g'* sind diejenigen Potenzen von q, welche in den Größen -j — aufgehen. Femer nehmen wir an, von den w — 1 Zahlen oj^ d A-l seien im ganzen /. — 1 (1 < A ^ n) von Null verschieden, nämlich die Größen und wir bestimmen X Zahlen Xj durch die Gleichungen #1 = Xi, ^2 = Xj + X, , . . . , W = #^ = Xi + Xg H h 5«;. , [Xk =^k- ^k-l)- So oft der besondere Wert der Primzahl q hervorgehoben werden soll, werden wir den sämtlichen Größen a, v, r, X die Zahl q in Klammern beifügen. Kap. 111. Hauptformenreste und Hauptrepräseiitanten für einen Modul 3. I. Der Modul N möge ein Produkt von c^ zueinander relativ primen Zahlen N^, N^, . . . , N^^ sein. Wir beweisen den folgenden Satz: Wenn in der Klasse /' sich Cq Formen -R,, = S^fS^ (c = 1, 2, . . . , c^) vorfinden, welche die Reste J5.^{r,?} (modJ>rj (c=l,2,...,Co) besitzen, so können wir einen Repräsentanten R = SfS^{r,,} (modN) dieser Klasse angeben, welcher den Kongruenzen ..^ *'ik = ^1^ (J^^^ ^'c) (c = 1 , 2, . . . , Co) genügt. Beweis: S^ läßt sich als Substitution von der Determinante 1 be- kanntlich in eine gewisse Anzahl Teilsubstitutionen von der Art Xi = x;+M^Xt', x^=x^', x^=x; {h=^i,k) zerlegen. Führen wir in diesen Teilsubstitutionen anstatt der M^ be- liebige andere Zahlen M* ein, welche gleichzeitig den Kongruenzen M*=M^ (modJVJ und M*^0 {^^^ w) genügen, und setzen die so veränderten Teilsubstitutionen in genau der- selben Weise, wie sie durch Zerlegung von S^ entstanden sind, zu einer neuen Substitution S* zusammen, so wird offenbar 22 Zur Theorie der quadratischen Formen. 5/^Ä, (modiVTj, Ä/ 1, 0, 0, 1, 0 ^ 0 (^^^ n) 0, 0, ..., ] (modiV,), n^^f (modf-), Es folgt also und für die Form ' haben wir in der Tat Ä* Dieser Satz zeigt uns die Möglichkeit, vermittels der Formenreste nach den Teilmoduln 'N^, N^ N^ einen Formenrest nach dem zu- sammengesetzten Modul N zu finden. Insbesondere können die iV^ die ver- schiedenen in N enthaltenen Primzahlpotenzen bedeuten; wir kommen daher mit der Bestimmung ausgezeichneter Formenreste für Primzahlpotenzen q^ als Moduln aus. Es genügt auch völlig, wenn wir nur Moduln q^ ober- halb gewisser Grenzen betrachten; denn es ist ein jeder Formenrest für einen Modul N zugleich Formenrest für alle in N aufgehenden Moduln Nq] insbesondere wird daher ein jeder Pormenrest für einen Modul q'- auch Formenrest für alle Moduln q*° sein, welche kleiner als q^ sind. Durch eine wiederholte Anwendung der in Kap. II gewonnenen Sätze erkennen wir, daß eine jede Formenklasse für jeden Modul q^ Reste be- sitzt, welche sich als Summen von Formen mit einer oder mit zwei Variablen darstellen. IL {q =p.) Aus der Klasse äquivalenter Formen, tvelcher die zu p primitive Form f angehört, kann ein Repräsentant (p = p">^a,, p 0)1 + 0)2 . (mod p^) p'D^ +0)2 + ■■ ■ +m„-i ^ ausgewählt werden, in weMiem die a^,a^, a^, . . ., «„ sämtlich zu p relativ prime Zahlen sind. Wir beweisen diesen Satz, welcher für w = 1 selbstverständlich ist, vermittels eines Schiasses von n — 1 auf n. Angenommen dieser Satz sei für Formen mit w — 1 Variablen bereits bewiesen, so können wir die Form p'"^fW des Repräsentanten /•(!)= a|2 + pa.x/-(i) (mod^O durch eine gewisse Substitution in eine andere überführen, deren Rest nach dem Modul p'^ aus lauter eingliedrigen Einzelformen besteht. Durch Grundlagen für eine Theorie der quadratischen Formen. 23 dieselbe Substitution geht dann /"(i) in eine Form von der Gestalt (p über^ womit unser Satz bewiesen ist. Mit Benutzung der am Ende von Kap. II eingeführten Bezeichnungen können wir für cp schreiben (f ^ {i) + • • • + g'C/) = "^ ^(k) (mod p% k = l (Pik) ^/**-i^^«Wg«iW (raodpO, («/*^=«^.-i+0 0 < va,< vs^< ■• < t>i_i (q = 2.) 1. Es sei f eine in bezug auf 2 primitive Form, und es mögen die x^ — 1 ersten Zahlen o,, dieser Form gleich Null sein (©^ = 0, Og = 0, . . . , Q^^_ 1 = 0), während die x^*^ Zahl 0;,^ (1 ^ Jf^ ^ n) die erste der Zahlen Of, sei, welche nicht verschwindet. Wenn dann die Invariante ö^ von f gleich 2 ist, muß x^ = 0 (mod 2) sein. Wir können, falls ö^ = 1 ist, statt f einen Repräsentanten fM = «1 (1) «8 (1) (1) y"x. ^ ("i) n — x. (med 2') n — Zj, 1 ' ' n — Xj, n — x^ , einführen, in welchem die Zahlen a^^^), a^^^\ . . . , aj^) ungerade sind und n — Xi f^^'^^^^ll'^^i"''^^!''''^ eine in bezug auf 2 primitive Form vorstellt; i,k = l falls aber (j^ = 2 ist, einen Repräsentanten 2aiWSriW /"(»^i) = 'ä^W2ä^W 2a2W, 31,(1) 51,(1), 2a,(i), (mod 20, 11 ' ' l,n — x^ n—Xi,l' ' n—Xi,n—Xi , 24 Zur Theorie der quadratiscben Formen. in welchem die Zahlen Hj^^^, %i^^\ . . . , 5txx^* beliebige ungerade Werte haben, die Zahlen ai''^\ a^'^^\ . . . , a^l^ ungerade sind und die Form n-x. f^'''^=^ aj^'^xy-^'^x^"^^ in bezug auf 2 primitiv ist. i, A- = 1 Beweis. Wir hatten in Kap. II für f im Falle 6^=1 zunächst einen Repräsentanten /;,)=a|2+2''Y^^) (mod20 [a~l (mod 2)] gewonnen, in welchem /'^^^=={«/p} eine in bezug auf 2 primitive Form vorstellte, die, faUs co^^ = 0 war, eine erste Invariante 6 gleich 1 besaß, und im Pralle (?j = 2 einen Repräsentanten f^,^^2{aV^-^m + äV) + 2<"^f(') (mod 2^, [a^l, 5t=l (mod 2)], in welchem f^^'^ = { a (^ } eine in bezug auf 2 primitive Form vorstellte, die, falls (»2=0 war, eine erste Invariante ö gleich 2 besaß. Im Falle z^ ^ 6^ haben diese Repräsentanten die Gestalt, welche unser Satz verlangt. Wenn z^^ > 6^ wird und mithin (o„^ = 0 ist, besitzt die Form f^"'^ = { a(^») } ebenso wie f eine erste Invariante 6 gleich 6^, Nun ergibt sich aus den in Kap. II bewiesenen Gleichungen w^f"')^ = tö/^(7i>(?i) infolge unserer Annahme über die Größen cOf^ sofort Folglich wird für die Form /("i) schon die (x^ — ö^)^ der Zahlen (oj^">-^ größer als Null ausfallen. Machen wir also die Annahme, unser Satz wäre bereits bewiesen, sobald die erste von 0 verschiedene Zahl oj sich unter den x^ — 6^ ersten dieser Zahlen befindet, so werden wir 2"'°,^^"^^ durch gewisse Substitutionen in eine Form überführen können, welche die in dem Satze geforderte Gestalt besitzt, und wenn öj (/'("')) = l/'>l W + §l/*)| Wi/*) + « «i/^i;*0 (mod 20 hesitzen. Für ein A = 1 erhellt die Richtigkeit dieses Satzes schon ans den in 1. gewonnenen Resultaten. Infolge der Relationen o,, = (d^(^^^^ (^^>^i) erkennen wir, daß, wenn A — 1 von den n — \ zur Form /"(z,) gehörigen Zahlen w^ nicht verschwinden, alsdann von den n — x^ — l zur Form f^'''^ gehörigen Zahlen o^^^'i* nur A — 2 größer als Null ausfallen. Machen wir daher die Annahme, unser Satz wäre richtig für alle Formen, welche nur A — 2 von 0 verschiedene Zahlen a besitzen, so wird die Form 2"'^if^''^^ für den Modul 2' durch eine gewisse Substitution auf eine Gestalt ge- bracht werden können, wie sie unser Satz verlangt. Durch die nämliche Substitution geht dann die Form f\x^) wirklich in eine Form von der Ge- stalt (p über. IIL Jeder Formenrest einer Klasse f, welcher die Gestalt (p (mod q^) hat, soll ein Hauptformenrest [[oder Hauptrest]] dieser Klasse für den Modul q' heißen, während jede Form der Klasse /', welche einen Hauptrest für den Modul 5' liefert, ein Hauptrejyräsentant dieser Klasse für den Modul g' genannt werden möge. In einem Hauptrest für einen Modul q' sind entweder die seitlichen Koeffizienten alle = 0 (mod q') oder können im Falle q = 2 zum Teil (mit einer leichten Einschränkung) nach dem Modul q' willkürlich ge- wählt werden. Jedenfalls kann man es in zwei verschiedenen Hauptresten für einen Modul q' stets ohne Mühe erreichen, daß diese Koeffizienten modulo q' dieselben Werte annehmen, und auf diese Weise wird ein Haupt- rest für einen Modul q' nur von den Resten seiner n mittleren Koeffizienten abhängen. Eine Form 9 soU ein Hauptrepräsentant für einen zusammengesetzten Modul N und ihr Rest soll ein Hauptrest für den Modul ^^ heißen, sobald q) einen Hauptrepräsentanten für aUe in N aufgehenden Primzahlpotenzen vorstellt. 26 Zur Theorie der quadratischen Formen. Kap. IV. Bedingungen für die Existenz einer Ordnung O. Mit Hilfe der Hauptformenreste für Moduln 2* können wir jetzt Be- dingungen finden, an welche die Existenz einer Ordnung Ol, 02, . . ., o„_i gebunden ist. I. Es sei f eine in bezug auf 2 primitive Form. 1. Wir gehen zunächst von den in Kap. III aufgestellten Repräsen- tanten /•(,^) = 0(1) + 2''V^-x) (mod20 aus, in denen ^i^ und /"(''i) in bezug auf 2 primitive Formen bezeichnen. Die x^ — 1 Zahlen 6 der Form 0,^^^ setzen wir gleich q^^^\ q^^'^\ . . ., QJ,^^_i und die n — z^— 1 Zahlen 6 der Form f^"^^ gleich 6J-''^\ 6^"^^ . . ., ^^"2^ _^ . Ferner bezeichnen wir die /i-reihigen Unterdeterminanten der Formen fM^f^"'', ^(1) d^rch i^(,,;.,) oder P^,,.,.,), Fj;"-^) oder P^^^^), D,^) oder M,i\ indem wir einen Buchstaben i^, D anwenden, sobald die betreffende Unter- determinante symmetrisch ist, dagegen einen Buchstaben P, M, sobald die- selbe unsymmetrisch ausfällt. Die aus den ersten x^ Reihen von /(y^) ge- bildete symmetrische Determinante möge gleich j <^^^^ \ sein. Für die Invarianten 6 der Form /"(^ ) {'^f) erhalten wir die folgenden Sätze. Es ist In der Tat zeigen die Kongruenzen pr%i/s^),o (-^^^) t^<^^^' (Ä;Xi) h ' daß einerseits die höchsten Potenzen von 2, welche in allen Zahlen jP,^.^,, P(;,.^x und in aUen D^, Jfj^^^ aufgehen, und andererseits die größten Potenzen, welche in allen P!^.^), 2P.j^__. und in allen B^^\ 2 M\^^ aufgehen, nach dem Modul 2 kongruent sind. Da nun die höchste in den Größen •^(h-y.y -^{h-y.) (^ < '^i) aufgehende Potenz von 2, nämlich 2 *~', infolge unserer Annahme über die Zahlen a,^ Qi < k^) gleich 1 ist, so wird die höchste in aUen DW, iltf^^) aufgehende Potenz von 2 ebenfalls gleich 1 sein müssen, und die höchsten Potenzen von 2, welche in den F,^_^y 2P,^,^. und in den D^^), 2ilf^^^ aufgehen, werden die Werte (7^ und q^^ haben. Jetzt müssen die Größen ö,^ und q^^\ da sie nach dem Modul 2 kongruent und zugleich ^ 2 sind, identisch sein, und es ergibt sich demnach in der Tat ö,, = rf^ für h x,) bestehen die Kon- gruenzen J-,..^j^|«(„i2''-"'"'.F<2',,, a'^-^-'-iJ^Ff:'^, 0 (mod2'), of* - ^>) «"zi n (1) p (''i) ^ ho h — Ao' 2(''-^)''%]j^^FM^^^ 0 (mod20 2(*-*<.)-.,jj^i)p('^x) » «o A — «0 (Äo=0, 1,.., x,-l;D(^) = l, M;^)==0). Machen wir jetzt die Annahme ^ > c^_i + 1; so wird eine jede Größen- reihe, welche nach dem Modul 2' mit der Größenreihe F., ,, 2 P,. , über- einstimmt, durch eben dieselbe Potenz ö;, 2*~^ und durch keine höhere Potenz von 2 teilbar sein wie die Größenreihe F.. ,, 2P,, ,. Nun ist die höchste Potenz von 2, welche den Zahlen gemeinsam ist, gleich ('S ) ^ (Zi) ^ 2^* ~ "^^ "'Xl + ^Ä - Xi - 1 A — Xi f während in den Zahlen o 9(A-Ao)to^^ T^(l) p(xi) "^Ao -^A-Ao' 2(A - Ao) 01^^ jy (1) 2^ (xi) 2 • 2^* ~ *"^ '"''» Jlf ^^^ F ''"^^ Ao A — Ao ' Ao A — Ao ' 2 2(A-*o)t"xi Xf (0 p('fi) eine Potenz ^ 2*^*-*°)'"Xi + ^A-Ao-l > 2''X. 2^*~'''^'"«i''"^*-'«i-l -> ^ (»fi) . 2^* ~ "»^ '"'fi + ^A -k - 1 = Ä - Xi aufgeht. Wir bekommen daher für ein Ä > x, die Beziehung ^(x,) ,2-*~''^^"^i + ^A-'fi-i = ^ .2^''-^ Aus der oben gewonnenen Gleichung to^^^)^ = a^^ (Ji > x^) folgt aber ohne Schwierigkeit (x ) o(*-*»)'"xj + ^»-x, -1 _, 9«'a-1 und wir gelangen sonach wirklich zu dem Resultat «?, = tf^^i)^ (/i > xj. 28 Zur Theorie der quadratischen Formen. 2. Sei jetzt cp ^ %^ + 2 '"^^ { 0(,) + 2"'^^ [ct>(3) + • • • + 2"''';. -1 (0^)) . .] } (mod 20 ein Hauptrepräsentant der Klasse f nach dem Modul 2^ Wir wollen die Invarianten 6 der Formen ct)(^) durch D. D/e Invarianten 6^ Mnnen vermittels der Belationen bezeichnen ie Inva '^,_H-/.= pf (/^ = 1, 2, ..., x,-l) und durch die Invarianten Qj^'-'") ausgedrückt werden. Beweis: In 1. erhielten wir die Gleichungen dieselben rechtfertigen im Falle A = 1 den Satz D. vollständig, während sie uns in den Fällen A > 1 eine Gelegenheit zur Anwendung eines Schlusses von X — 1 auf k verschaffen. Wie wir in Kap. III gesehen haben, gehört der Form f^^-^^ in derselben Weise die Zahl A — 1 zu, wie der Form /" die Zahl l entspricht, und es ist sofort klar, daß der Haupt- repräsentant rp (mod 2^ der Klasse /' einen Hauptrepräsentanten 2'"'^^9)(^^^^ 2'">^M^(.)+ 2"'^^[0(3)+ • • • + 2'"^A-i(0(,)) • •]} (mod 2') für die Form 2"'''^/'^^'^^ mit sich führt. Machen wir nun die Annahme, der Satz sei richtig für Formen mit A — 2 von Null verschiedenen Zahlen co, so erhalten wir <;■'_,-«.+'. -«-i" ('^>i5 '.=1,..., %-i) und woraus auf der Stelle die Gleichungen und (.,^=1 (/.>!) hervorgehen; dieselben beweisen zusammen mit den Gleichungen ^k = ?f ^ (/^ = 1, . . ., Jfi - 1) und ö^^ = 1 den Satz D. für die Form f, welche A — 1 von NuU verschiedene Zahlen ca besitzt. Grundlagen für eine Theorie der quadratischen Formen. 3. Je nachdem 0(^) einen Rest von der Gestalt 29 (Ri) (it)^ 1 ' (*) .W (mod 2'-''»i-i) oder von der Gestalt (Rn) %)^ 51 ^1 ' 5(f , 2äl , 2 ' ,W -w (mod2'-'^A_i) •(*) ,-.W 31 '^' , 2ßi läßt, erhalten die Größen ()|*), wie wir uns leicht überzeugen, die Werte (Rx) (,f = 1, (,(^) = 1, . . ., .oiJ;)_,= 1, Q^_, = 1 (pf = 1) oder die Werte (Rn) Pf' = 2, ^f = 1, x^-2 > Zl. — )W : 2 p(*) =2 p(*)= 1 Der Fall eines Restes (Rn) kann nur bei geradem x^. eintreten. Nehmen wir an, von den A Größen x^ seien im ganzen Xq gerade, nämlich die folgenden "0 Dann werden alle X — Xq Formen ,^), für welche der Index Tz keiner der Zahlen r^, To, ■■,r-^ gleich ist, gewiß Reste von der Gestalt (Ri) besitzen. Für die in bezug auf 2 primitive Form f mögen die Xy Formen 0 (^«.) (««.) = 0 (*%) Reste von der Art (Rn) lassen, während alle X — X^ übrigen Formen 0(j) Reste von der Art (Ri) besitzen mögen. Wir können dann sagen, der Form f gehöre die Kombination an, und es ist sofort einleuchtend, daß durch diese Kombination von Zahlen n aus der Reihe der Zahlen 1, 2, . . ., Xq die n — 1 Invarianten 6 der Form f vollständig bestimmt sind. Wir erschließen daraus leicht den Satz: 30 Zur Theorie der quadratischen Formen. E. Wenn die n — 1 Invarianten o^ und der Index 1 gegeben sind, so führen höchstens '''{<2^'^P 2^0 von den sämtlichen 2"~^ verschiedenen Kombinationen (^1, (72,.. ., 0„_2, (?„_,); (;t^ die Gestalt (Rh) erhalten. Für die Determinanten | (t>,i^. \ dieser Formen werden daher die Kongruenzen gelten Kwl^C-l)"^ (mod4), aus welchen sich sofort I %) ! I %) i • • • I %) ; ^ (- ir^'^"^^ ^ (- 1)"^ (mod 4) *) Es ist n^K^ -|- x^ +••• + "« 1 "^d wir haben x^ >> 0 , x^, =0 (mod 2), also x^ ^ 2. Demnach kommt w ^ 2^^ oder Iq ^ yj • Grundlagen für eine Theorie der quadratischen Formen. 31 ergibt. Nun ist die Determinante der Form (p, wie man leicht erkennl^ (- !/• ^n-l ^ . %) I %) i • • • I %) i • 2^"-^ (^«d 2« + ^n-x) [^>l+?„_l]- Wir erhalten hieraus die Kongruenz (-iy.^^(-l)"^ (mod4). Beachten wir jetzt die Beziehungen 2^n-i [_2'"'J L2'*^J |_2"''»-iJ L2"'*J w = 0 (mod 2), so gelangen wir zu der Bedingung n A = l Dieselbe liefert den folgenden Ausnahmefall: Sobald A = Iq [71 = 0 (mod 2)] und n A = l wird, fuhren höchstens 2^o-i Kombinationen der ö^^ zu wirklich existie- renden Ordnungen, da in diesem Falle die Kombination <7i = 2, 6^=1, . . ., ö„_2 = l, ^„_i = 2 unmöglich ist. n. Den gewonnenen Resultaten wollen wir jetzt einen Ausdruck geben, welcher uns ohne weiteres in den Stand setzt, zu entscheiden, ob irgendeine Ordnung 0 Formen enthalten kann. Eine Ordnung ?0=1; ^1, • • V ^„-2> ^n-n ^n=l' Oo=0; öl, O2, .. ., o„_2, o„_i; o„ = 0/' ist nur dann möglich, wenn die ganzen Zahlen 6^, 0^ und I den folgenden Gesetzen gehorchen: 1) Die Zahlen 6^ und g-^^«) ist, treten in den Hauptresten von f für den Modul 5' mittlere Koeffizienten auf, welche Grundlagen für eine Theorie der quadratischen Formen. 33 durch den Modul q^ teilbar sind, oder es ist keiner dieser Koeffizienten durch q' teilbar. Aus diesem Grunde beschränken wir uns auf die Unter- suchung von Moduln JV, deren Primfaktoren q*{t>0) die Potenzen g<^(9> überschreiten. Es möge die Form (p einen Hauptrepräsentanten der primitiven Klasse /' in bezug auf einen derartigen Modul JV bedeuten. Wir bezeichnen die aus den ersten Ä (= 1, 2, . . ., «) Horizontal- und Vertikalreihen de? Form 9? gebildeten symmetrischen Unterdeterminanten durch ^a<^a-i9'a^ und wir setzen noch y,, = 1. Die Zahl g:„ ist gleich (—1)^. Die sämtlichen n -\- l Größen qp^ (Ä = 0; 1, 2, . .., w) sind offenbar ganze Zahlen, und wir behaupten: 1. Die n -\-l Zahlen 9^0; ^'i? q^^''^^ be- stehen. Ein Blick auf die Hauptrepräsentanten cp zeigt uns, daß die Determinanten 0,^(h,-x^^h ^^^^ ^^^ ^^ 5^=i^' ^Is Produkte aus den Po- tenzen p^h-i^) und aus zu p primen Zahlen darstellen, während sie für ein q' = 2' gleich Produkten aus den Potenzen ö^ • 2^*-i(^) und aus un- geraden Zahlen werden. Hieraus schließen wir, daß die cp^ in der Tat zu der Primzahl q relativ prim sind. Falls N sich aber aus mehreren Primzahlpotenzen q' (> q^'^'^^) zusammensetzt, so ist der Hauptrepräsentant (p für den Modul X zugleich Hauptrepräsentant für jeden dieser Moduln g'. Nach dem soeben Gesagten sind daher die Größen q)^ zu jeder der Prim- zahlen q prim, und sie werden demnach auch zu der Zahl N relativ prim sein. Die n mittleren Koeffizienten einer beliebigen quadratischen Form können stets durch die -^ — - seitlichen Koeffizienten dieser Form und durch die aus den ersten /t(= 1, 2, ..., nj Reihen dieser Form gebildeten symmetrischen Unterdeterminanten ausgedrückt werden. Beachten wir die besonderen Werte, welche die --~z — - seitlichen Koeffizienten in einem Hauptrest für den Modul N besitzen, so gelangen wir zu dem folgen- den Satze: 2. Wenn die Form cp einen Hauptrepräsentanten der Klasse f für den Modul N vorstellt, so kann vermittels der w -|- 1 zur Form g? ge- hörigen Zahlen q)^{h = 0; 1, 2, ,.., n) ein Hauptrest der Klasse f für den Modul T gefunden werden. Ist JN' beispielsweise ungerade, so liefert ein Hauptrepräsentant q> (mod N) uns den Hauptrest Minkowski, Gesammelte Abhandlungen. I. 3 34 Zur Theorie der quadratischen Formen, ^ ff,qp, 0,0, 1"2 0,0^ (mod i^. Ein wenig umständlicher gestaltet sich der Ausdruck des Hauptrestes (mod N^ durch die Größen cp,^, wenn der Modul N gerade ist und nicht alle Invarianten 6j^ der Form (p gleich 1 werden. Wenn N = 2' ist, müssen wir, um vermittels der Zahlen qp^ eines Hauptrepräsentanten einen Hauptrest zu finden, so viele willkürliche ungerade Zahlen St ein- führen, als es Invarianten gebildeten symmetrischen Determinanten Werte j,G(p)) der Klasse f läßt einen Rest tp = 'A + 17 • •} ^cu, + f.i, + ...+w;i «,; (mod ff). 36 Zur Theorie der quadratischen Formen. Aus demselben ersehen wir, daß die höchste Potenz von p, welche in der Determinante /l, 2, . . . , h\ aufgeht, gleich p^''-i ist, während die höchste, in allen übrigen Ä-reihigen Determinanten /• • I *1 7 *8 ) • • • J *A j \\, Ic^, . . ., K,/ der Form (p enthaltene Potenz von ^j gleich p^h-i + '"h wird. Geht (p in die Form f durch die Substitution n i = 1 Über, so bekommen wir für die symmetrischen Ä-- reihigen Unterdeter- minanten der Form f die Gleichungen ^^w ^*^ ' ** ' ■■■'*'' \ U^^'' ^* ' ' ' ' ' jj^i. 1 ^i ■>•••■> hl) -ö (^l; k,---, h) = ^ (1 . 2 • • . /») . (1 . 2 • ■ • /i) Dieselben liefern infolge der soeben gemachten Bemerkung die Kongruenz - ^A-.%. ■ (^[i^; I; ; ; ; ; ;;])' (mody/<-x+'".) oder (2) A(z„ ?„ . . ., z,) ^ 9^^-(f^(i'; 2,' ". ; ■/, t')/ i^^^p'"'''')- Die Zahlen ?7):.^' i' *' H können keinen gemeinsamen, von 1 ver- (1, 2, . . ., ti) schiedenen Teiler besitzen; denn ein solcher Teiler müßte zugleich die Determinante | w/" | teilen, und diese könnte mithin nicht gleich 1 sein. Es müssen sich demnach unter den Zahlen ü)}' ^^ ' ' '' H solche be- (1, 2, ...,h) finden, welche zu p prim ausfallen. Wenn nun die Größe ^u-i^h^h + i durch p teilbar ist, so wird offenbar c3,Xp) ^ 1? ^^^ ^s entspricht alsdann infolge der Kongruenz (2) einer jeden durch 2) nicht teilbaren Zahl ^n^' o' " ' n ®^^® durch p nicht teilbare Zahl A(?i, Zg» • • •> ^a)- Hier- aus erhellt die Richtigkeit unseres Satzes für den Fall q = P- Wenn q ^ 2 ist, so gelangen wir durch Betrachtung eines Haupt- repräsentanten g) (mod 2' > 2^(^)) in ähnlicher Weise zu einer Kongruenz (3) A(k,l„..., l,) ^ cp, . X,f (mod a,_,2-'>i')a,^,), Grundlagen für eine Theorie der quadratischen Formen. 37 und diese Kongruenz zeigt uns, daß unter den Größen ^(1^,1^, . . . ,1^) sich ungerade befinden müssen, sobald 0j,_iO,^6,^_^^^ 0 (mod 2) wird. — Dieses letzte Resultat erhalten wir einfacher, wenn wir beachten, daß einerseits (?^ gleich 2 sein müßte, sobald alle A(?i, ?2j • • • j ^a) gerade werden, während andererseits nach Kap. IV, Absatz 11 zu einem in bezug auf den Modul 2 //o^ müssen A = l offenbar sämtliche Kongruenzen (4) und (5) zu gleicher Zeit statthaben, n-l und wir bekommen daher für eine Grundform %! (mod 2 UoJ die Be- A = l Ziehungen ^ = A,(0 = ^, . XI (mod 6,_,o,6,^,y, h h—\ dieselben liefern uns für irgend zwei beliebige Zahlen ^[(f) und A'^(f) eine Kongi-uenz Kap. VI. Forniengruppen für einen Modul N. — Charaktere. I. Zwei Formen

einer Kongruenz (Pq = to (mod N) genügen. Nun können wir S so wählen, daß qp^ = /J, wird. Dann wird das betreffende ^^ der Klasse g gleich g^ = /Jj (mod N) werden. Nach diesem Satze enthalten zwei Formenklassen, welche für einen Modul N kongruent sind, lauter gleiche Formenreste für den Modul N. Daraus folgt: G. Sind zwei Formenklassen g^ und ^„ einer dritten Formenklasse f nach dem Modul N kongruent, so sind sie auch untereinander nach dem Modul N kongruent. Denn ist g, '^f (mod N) und g,, ^ f (mod N) , so stimmen sowohl die Reste der Klasse g, für den Modul N als auch die Reste der Klasse g„ für den Modul N völlig mit den Resten der Klasse f für den Modul N überein. Es werden demnach auch die Reste der beiden Klassen g, und g,, für den Modul N einander gleich sein, d. h. es wird wirklich g, ~ g„ (mod N) werden. Der Satz G. zeigt uns die Möglichkeit einer Einteilung aller Formen in eine endliche Anzahl von Gruppen in bezug auf einen Modul N, in- dem wir zwei Formenklassen in dieselbe oder in verschiedene Gruppen (mod N) aufnehmen, je nachdem sie in bezug auf N kongruent sind oder nicht. Es werden alsdann sämtliche Klassen einer und derselben Gruppe modulo N untereinander kongruent sein, während zwei Klassen aus ver- schiedenen Gruppen modulo N inkongruent sein werden. Es leuchtet ein, daß die Anzahl aller verschiedenen Gruppen für «inen Modul N, zu welchen wir durch diese Einteilung gelangen, not- n(«+l) wendig eine endliche ist. Denn es gibt gewiß nicht mehr als N ^ verschiedene Gruppen für den Modul N, da doch eine jede quadratische n{n+i) Form /"= {a^f.} nach dem Modul N mindestens einer der N ^ Formen {B^f.} {Bik= 1, 2, .. ., N) kongruent sein muß. IL Wenn der Modul N ein Produkt aus Cq zueinander relativ primen Zahlen N^^, N^, . . ., N^ ist, so erfordert das Bestehen einer Kongruenz Grundlagen für eine Theorie der quadratischen Formen. 39 f^g (modiS^ das gleichzeitige Bestehen der Cq einzelnen Kongruenzen f^g (mod lYJ (c = 1, 2, . . . , Co), und umgekehi-t findet die erstere Kongruenz wirklich statt, sobald die Cq letzteren Kongruenzen sämtlich erfüllt sind. In der Tat ist jeder Rest der Formenklassen f und g in bezug auf den Modul N zugleich Rest dieser Formenklasse für die sämtKchen Moduln iVg. Ist also f^g (mod -A'), so wird auch f^g (mod JV^) sein. Falls umgekehrt die Cq Kongruenzen f^g (modiVJ (c=l,2, ...,Co) alle erfüllt sind, so können wir zunächst in der Klasse f gewiß c^ Formen qPg und in der Klasse g ebenfalls c^ Formen ^^ angeben derart, daß die Cq Kongruenzen ^o=-^c (mod.YJ (c=l, 2, ...,fo) statthaben. Darauf können wir nach Kap. III, Absatz I in den Klassen f und g je eine Form

= ipc (mod iVJ (c = 1, 2, . . ., c^ genügen. Die Koeffizienten dieser beiden letzten Formen (p und tp sind nun in bezug auf die sämtlichen zueinander primen Moduln N^, also auch in bezug auf den Modul JV = -ZVjiVg • • • -^ c kongruent; mithin wird tp ^ilf (mod N) , und hieraus ergibt sich auf der Stelle f^g (mod N). Wählen wir für die Zahlen N^ die verschiedenen in N enthaltenen Primzahlpotenzen q', so zeigt sich, daß die Untersuchung von Gruppen für einen beliebigen Modul N auf die Untersuchung von Gruppen in bezug auf Primzahlpotenzen q' hinausläuft. in. Wir wollen die notwendigen und hinreichenden Bedingungen für die Kongruenz zweier Formenklassen nach einem Modul JV auffinden. Nach Aufstellung dieser Bedingungen werden wir dazu übergehen, zu prüfen, ob es verschiedene Formenklassen von demselben Index I gibt, welche nach aUen überhaupt möglichen Moduln kongruent sind, und aus diesen nach jedem Modul kongruenten Formenklassen werden wir die Genera von Fonnen bilden. Nehmen wir an, die Klassen f und g seien nach dem Modul N kon- gruent, und setzen wir ferner, der größeren Einfachheit halber, voraus, daß f und g in bezug auf N primitiv sind und daß die Faktoren q* (^>0) von N für ein q=p die Potenzen p'n-iiP) und für ein q = 2 die Po- 4 tenzen - — 2'"-i^^\ welche den Formen f und g entsprechen, übersteigen. 40 Zur Theorie der quadratischen Formen. 1. Nacli den soeben bewiesenen Sätzen besitzen die Formenklassen f und g für einen jeden der in N aufgehenden Moduln 3' vollständig die- selben Reste und folglieh auch dieselben Hauptreste. Aus der Gestalt dieser Hauptreste für die Moduln g''(>2*'^''0 können wir aber die Werte der Zahlen q'"^, q"'^, . . ., q'"n-i und, wenn q = 2 ist, auch die Werte der Zahlen welche zu den beiden Klassen f und g gehören, unmittelbar ablesen. Folg- lich müssen die Formen f und g für alle in N aufgehenden Primzahlen q dieselben Größen q'"h und, falls q = 2 ist, auch dieselben Größen 6/^ darbieten. 2. Es seien A(/*) und A(^) die Determinanten der Formen f und g. Für A(^) = |&f;fc| besteht die Beziehung (■ = 1 i in eine Form 0^ über,. in welcher an die Stelle der Determinante (5^(?^_jA^(0) offenbar eine Determinante ^A_,A,((^q) = 6,d,_,Aj0)Z' = 6,d,_^m,Z' (mod ß,dj,_,NQ) getreten ist. Die Zahl A^(0o) ist gleichfalls eine der Zahlen (/"J, und es besitzt sonach die Kongruenz (/"J ^ m^Z- (mod Nq) in der Tat Lösungen. Aus dem vorstehenden Satz ersehen wir, daß bei einer Untersuchung der Kongruenzen (/"J = m^ (mod Nq) vor allem der quadratische Charakter der Zahl m^^ in Betracht kommen wird. Nehmen wir beispielsweise an^ der Modul Nq sei eine Potenz einer Primzahl p {Nq = p^) und die Kon- gnienz (f^) = m^ (mod p'o) nicht für alle zu ^j primen Zahlen m^ lösbar. Dann ist diese Kongruenz entweder nur für alle solche zu p primen m^ lösbar, welche quadratische Reste von p sind, oder nur für alle solche zu ;) primen m^, welche quadratische Nichtreste von p sind. Wenn wir den 42 Zur Theorie der quadratischen Formen. Formen f im ersten Fall einen Charakter (— j = + 1 zuteilen, dagegen im zweiten Fall einen Charakter (^\ = — 1, so kann die Einheit (— ) , welche der Form f entspricht, dazu dienen, die Gruppe, welcher die Klasse /" für den Modul p*o + ^i>-\(p) angehört, von anderen Gruppen nach diesem Modul zu trennen. Wenn wir zeigen sollen, daß die Größen (f,^ einer Klasse f gewisse gegebene Charaktere besitzen, so genügt es, die beiden folgenden PunJde festzustellen: 1. daß die Zahlen l^,,{(p) einer bestimmten Form

^/t = ± ^i + ^k hervorgehenden Formen F dieselben Charaktere besitzen. Sind diese beiden Punkte festgestellt, so müssen die sämtlichen (/j) der Klasse f wirklich die gegebenen Charaktere besitzen. Man sieht dieses auf der Stelle ein, indem man von dem bekannten Satze Gebrauch macht, daß eine jede ganzzahlige Substitution von der Determinante 1 sich in eine Reihe von Substitutionen S-^, zerlegen läßt. — Diesen allgemeinen Weg zur Entscheidung über die Existenz von Charakteren schlagen wir jetzt in einigen Beispielen ein. Blicken wir zunächst auf die Hauptrepräsentanten (p für einen Modul q* zurück, so machen wir die folgenden Beobachtungen: (q=p). Wenn O;, = 0 (mod ^) ist, so werden alle Zahlen \{(?^_j- 2"'»-»(^)) zum Teil =0 (mod 4), zum Teil ^<^(=+l) (mod 4). Wenn (7^_jOjö';j^i = 0 (mod 8) ist, so werden alle A;^^) eines Hauptrepräsentanten tp (mod 2'>ö„_i-2''«-i(^)) mit Ausnahme eines einzigen ^ 0 (mod 4), und dieses eine ist ungerade. Im Falle ^/,_iO^). Beweis: Die 7i- reihigen symmetrischen Unterdeterminanten der Form F, werden gleich den Größen (6) sobald sich unter den Zahlen A*q, l\, . . ., Ji\_i entweder sowohl i als Je oder weder i noch Je befinden; dagegen werden diese Determinanten gleich den Größen (7) ü« ([' }'■■■' *»-') ± 2D^ (;■' *•'•••' '"«-') + D^ (*' f" • ■ •• *'-') = ^AVxK±|^r+v), sobald JiQ = i wird. Es ist klar, daß unser Satz für diejenigen Zahlen Fj^ statthat, welche aus den ersteren Größen Dp entspringen, da sie mit ge- wissen der Zahlen O^^ übereinstimmen. Die Zahlen Ff^ dagegen, welche aus den letzteren Größen Dp entspringen, gewinnen mit Hilfe des bekannten Determinantensatzes ^ \i, K, . . . kJ ^^ U, Je,, . . ., JcJ - r^ U, Ä-„ . . ., JcJ] \h,...,Jc,_J \i,J6,Jc^,...,Jc^_J oder 44 Zur Theorie der quadratischen Formen. die Gestalt ^ ^ " ^" V^ ± -ciM) + W. ' Ist jetzt zunächst ö/, = 0 (modjo), so sind die Zahlen 0^' und 0/' entweder beide =0 (mod^), oder es wird wenigstens eine derselben relativ prim zu p. Im ersteren Falle wird infolge der Kongruenz ö;»;'-WT-=0 (modo,) auch 0/''"=O (mod^), und der Ausdruck -^/, = ;/ ± — O,/ " + 0/' ist also gleichfalls ~ 0 (mod p) ; im letzteren Falle ist entweder durch p teilbar, und F,^ erhält daher einen Wert -;'(l±-^„) (mod^). In beiden FäUen besitzt offenbar jP, keinen andern quadratischen Charakter in bezug auf p als die Zahlen 0;,. Sobald ^;iV^}»-r = ^^/^^^> ra = 1 c j statt, sobald in der zweiten Summe jede der Variablen 1^. ein vollstän- diges Restsystem nach dem Modul N durchläuft. — Denn erteilen wir einer Grundlagen für eine Theorie der quadratischen Formen. 47 jeden Größe |. die sämtlichen ^' Werte = 1, 2, . . ., iV (mod S), so nimmt /•(|.) je f{l;y]-mal einen Wert =1 (mod ^T), je /'{2; iV'}-mal einen Wert = 2 (mod N), usf., je /"{iV; ^|-mal einen Wert = N (mod N) an. In der Summe ^ r^/^^'^ wird demnach je /■{l;JV}-mal ein Glied r\:'', je f[2',y]-mid ein Glied t^^;'; usf., je /" { iV; ^T} -mal ein Glied /-J * auf- treten, und daraus ergibt sich die Gleichung (12). Die Identität (12) liefert, mit der Gleichung (10) verbunden, eine neue Definition der Größen /"(Ä; N), nämlich 1,A" /•(Ä;iyr)=^r^/('^).*) Aus dieser Gleichung fließt leicht der folgende Hauptsatz, durch welchen die Bestimmung dieser Größen außerordentlich erleichtert wird: J. Wenn die quadratische Form f nadi dem Modul N in eine Summe ■■■on quadratischen Formen f^ \[mit getrennten Variablen^ zerfallt: so wird f(h;N)=Uf\iMN). Denn bezeichnen wir die Variablen der einzelnen Formen f^ mit §^*), so erhalten wir die Relationen i,.v fsQ^'.N)^^/;'^^') is=l,2,...,s,\ deren Multiplikation unmittelbar ergibt. n. Die Größen /"(Ä; If) sind infolge der Beziehung r-^! = 1 unab- hängig von den besonderen Restsystemen, welche von den einzelnen Variablen I, durchlaufen werden. Wir schließen aus diesem Umstände die Sätze: 1) Wenn N^^ ein Teiler von N ist, so gilt (^ ^(*;^.) = (|r"/{*|!-^-)- *) Die Summen f{h; X) sind von Herrn "Weber im Band 74 des Crelleschen Journals behandelt worden. 48 Zur Theorie der quadratischen Formen. Bekanntlich setzt sich ein jedes vollständige Restsystem für den Modul N aus -^ vollständigen Restsystemen für den Modul iV^ zusammen. Es ist daher l,N ^ ^ 1,A,) ^.>^- =(!)". 2'^.-=". und hieraus geht sofort die Gleichung (13) hervor. Wenn insbesondere N eine Primzahlpotenz g' ist, so folgt für f^tQ f(h- q*o) = q-»i'-Q . fihq'-'"- q'). 2) Es ist fQiZ'',N)=f{h',N), sobald Z eine zu N relativ prime Zahl bedeutet. Wegen /"(Za;,) = Z^fix^) ist die Größe f(hZ^- N) gleich der Summe 1,N Setzen wir nun Zx^ = ^. (mod N), so werden offenbar die Zahlen 1,. zu- gleich mit den Zahlen x^ vollständige Restsysteme nach dem Modul N durchlaufen. Also wird diese Summe gleich fQi- N) sein. 3) Wenn die Zahl N ein Produkt aus Cq zueinander relativ primen Zahlen N^ ist, so wird N Beweis: Wir wollen die Zahlen ^^ = L, setzen. Jede dieser Zahlen L TU c c ■^^ c ist offenbar zu der entsprechenden Zahl N^ relativ prim, während sie durch alle übrigen Größen Nc* (c* =4= c) teilbar ist. Wenn wir in dem Ausdrucke l = L, |(i) + L, |(2) + . . . + i^^|(c„) (niod N) die Größen l^") vollständige Restsysteme nach den Moduln iV^ durchlaufen lassen, so erhalten wir N Zahlen, welche ein vollständiges Restsystem für den Modul N bilden. Denn es können nicht zwei von diesen N Zahlen nach dem Modul N kongruent sein, da aus einer jeden Kongruenz auf der Stelle _ ... -r ^ t.s / i -xtx 4|W = i.Jo^'^ (modiY,) oder, weil die Zahlen L^ zu den Größen N^ relativ prim sind, |(c)^|^(c) (modiV,) folgen würde. Wir dürfen demnach für die Größe fQi] N) schreiben Grundlagen für eine Theorie der quadratischen Formen. 49 Durch Multiplikation der beiden Kongruenzen Co ''o li ^ ^LM'^ (mod N) und I, ^ ^iJ/^> (mod N) c=l c=l erhalten wir, da das Produkt L^L^* für zwei ungleiche Indizes c und c* gleich N ■ '^ ^ 0 (mod IT) wird, c c ^.•i* = ^4^i/'^^*^^^ (modi^), also \c=l / c=l Demnach bekommen wir für fQi; N) die Gleichung i(c) C = l \|(C) / Die Einzelglieder des Produkts in dieser Formel sind jetzt wegen r^^S = r^ gleich f{hL^'^ N^), und wir gewinnen wirklich die Identität, welche wir beweisen wollten. Wählen wir für die Zahlen N^ die verschiedenen in N enthaltenen Primzahlpotenzen q*, so können mit Hilfe des soeben bewiesenen Satzes die Größen f(]i] N) auf Größen /"(/<; q') zurückgeführt werden. Es erhellt hieraus sofort, daß wir uns weiterhin auf die Betrachtung von Größen f(h] q*) für Primzahlpotenzmoduln 3' beschränken dürfen. Wir brauchen ferner nur solche Moduln zu untersuchen, welche gewisse Grenzen q^^^^ überschreiten. Denn es lassen sich mit Hilfe des Satzes 1) die Größen /"(Ä; q'o) für Moduln g'» < q' stets durch Größen fQi; q') ausdrücken. III. Um die Größen /"(/i; q*) für einen Primzahlmodul q' zu finden, gehen wir von einem Hauptrest cp der Klasse /" für den Modul q' aus. Die diesem Reste (p angehörigen Größen 9 (/i; q') sind nach dem Satz H. den Größen f{h', q') gleich. {q = p)- Wenn nun zunächst q^ = p^ ist, so zerfällt der Hauptrest q) (modp') in eine Summe von Einzelformen von der Art F^p^ai,^ (modp'), [cc relativ prim zu p^ nnd die Größen (p{h]p') können mit Hilfe des Satzes J. durch die Größen V F(Ä; pO = > e p' = > e y = (t; pO [t = p-^/m] dargestellt werden. Mlakowski, Gesammelte Abhandlungen. I. 50 Zur Theorie der quadratischen Formen. {q = 2). Wenn hingegen q* = 2' ist, so zerfällt der Hauptrest tp (mod 2') in eine Summe von Einzelformen von der Art F~2^ai^ (mod 20 [a relativ prim zu 2] oder von der Art F^ = 2^(«|2 _j_ 5(|| ^ ^|2^) ^^^^ 20 ['ä = l (mod2)], und die Größen cp (Ji] 2*) lassen sich mit Hilfe des Satzes J. durch die Orößen FQi; 20 = y^e 2' _ y^e~^ = (t; 20 [t = 2^ha] und durch Größen • F.Qi; 20 =2^e 2' 1,1=1 darstellen. Kap. VHI. Bestimmung der Größen f{h; q') in den einfachsten Fällen. I. Vermittels der soeben aufgestellten Sätze können die allgemeinen Größen /"(Ä; q*) stets auf die drei Summen (r;pO, (t;20, F,{h-2^) zurückgeführt werden. Wir wollen jetzt der Reihe nach die Werte dieser Summen aufsuchen. (q = p). Wenn r relativ prim zu p ist, so beweist man leicht die Beziehung ir',p)={j){hp). Um (l'iP) zu erhalten, betrachten wir einen Rest 0 = x,x., = l' \ {modp), i'ilr welchen a;i = 1 «j = 1 ist. Die Form 0 besitzt nach unseren Sätzen einen Hauptrepräsentanten (a, 0 \ ^0 = L ]^ax^^ + a^XQ^ (mod p), in welchem a und a^ zu p relativ prim sind. Die Determinante dieses Repräsentanten 0^ wird mit der Determinante von 0 nach dem Modul p übereinstimmen müssen; wir erhalten daher Grundlagen für eine Theorie der quadratischen Formen. 51 aOo = — 1 (mod^), und es ist för die Form Q X=l Xb=l Da nun wegen 0~0(,(modp) die Größen 0(1 ;j}) und <|)j(l;j)) identisch sein müssen, so bekommen wir die Gleichung (l;py = (-l)H, und wir können mithin (l;i>) = e^ ^ ''p\ setzen, wo die Größe d^ eine nur von p abhängige Einheit bezeichnet. Bekanntlich ist diese Einheit stets gleich + 1. Vermittels der Größe (l;p) kann man leicht die allgemeine Summe (t;^*) ausdrücken, und wenn man t = jj^t^ (r,, relativ prim zu p) setzt, erhält man die Gleichungen (H) für^-T^O: (r;i>0=l>', (14,) fur<-J>0: (r;^) = (^^'^'A^^'^'-'V^. (2=2). Für die Summe (r;2^ gelten, wenn man t=2^T(,[T(,=1 (med 2)] setzt, die Formeln (15o) für <-T l: (r; 2') = (l + ^(- 1)^) (^)'"''2^.*) Mit Hilfe der Summen (t; 2*) können wir jetzt den Wert der Summe I=^e - [2l = l(mod2)] bestimmen. Wir wollen die Größe 4a ä — 31* durch D bezeichnen. Es möge zunächst t ungerade und ^ ^ 1 sein. Für einen Rest von der Art fl, 0, 0 \ 0, 2xa, t% 10, x%, 2xä] (mod2'+i) *) Gauß, Summatio quarundam serierum singularium. Gesammelte Werke, Bd. II. 4* 52 Zar Theorie der quadratischen Formen, wird 0(1; 2^+1) = 4 > e 2' + i .^^ 2' = 4 • (1; 2'+i)I. Die Summe (1;2'+^) erhält nach der Gleichung (15,), da ^ + 1 nach unserer Annahme größer als 1 ist, den Wert (l + *)2 *, und wir be- kommen daher < + 5 0(1; 2'+^)- 2 3 (1 + »)I. Die Form 0 besitzt, da ihre Determinante ungerade ist und ihre beiden Invarianten ö gleich 1 sind, für den Modul 2'+^ einen Haupt- repräsentanten von der Art «1,0, 0 " %= 0, a^,0 = a^x^^ -f- «2^2^ + ^3^3^ (mod 2*"*"*), .0, 0, a,. in welchem die Größen %, a^, a^ ungerade sind. Da die Determinante der Form <\>q der Determinante von 0 für den Modul 2'+^ kongruent wird, so besteht die Kongruenz a^a^a^=: D ' x^ (mod 2*+^), aus welcher a^a^a^^ — 1 (mod 4) folgt. Es müssen demnach von den Größen a^, a^, % entweder eine oder drei ^ — 1 (mod 4) sein; wir erkennen leicht, daß der erste oder der zweite Fall eintritt, je nachdem die Einheit Oj — 1 Oj — la, — 1 aj — 1«! — 1 aj — 1 ^ _, / 2) 2 2""^ 2 i""*" 2 2~ gleich + 1 oder gleich — 1 ist. Um zu entscheiden, welchen Wert diese Einheit annimmt, beachten wir, daß die Kongruenzen 0 = 1 (mod 4) und 00 = 1 (mod 4) wegen 0 ^ 0o (mod 2*+^ ^4) gleich viel Lösungen zu- lassen müssen. Nun finden wir die Anzahl der Lösungen der Kongruenz 0 = 1 (mod 4) gleich 2^ 1 + y [jj] '^^^ ^^^ Anzahl der Lösungen von 00 = 1 (mod 4) gleich 2* (l -j- -ö-^) 5 ^^ ^n-d daher die Beziehung bestehen. Für den Formenrest 0o ergibt sich 00 (1; 2^+0 = K; 2^^^) • («2; 2*^^) • («3; 2'+0- Mit Hilfe der Formel (log) schließen wir hieraus, da ^ + 1 > 1 ist. Grundlagen für eine Theorie der quadratischen Formen. 53 ct)o(l:2'+0 = Ll+K-l) ' JLl+^■(-l) ' JLl+eX-l) ' J' ^+1 '-^ 2 2 . \a, Oj a,/ Aus der Kongruenz D • t^ ^ a-^a^a^ (mod2'+^^4) gewinnen wir die Gleichung ferner finden wir 14. ,-(_l)V][i^_,,-(_i)V][i_^,-(_l)V]_2(l + 0^ = 2(1 + 0 (^) Also wird „(l;2'+i) = (Ay(l+i)2^. Da nun wegen O^Oo (mod 2'+^) die Größen 0(1; 2'+») und 0: I = (^)'"'^2'+^. II. Wir benutzen jetzt die gefundenen Summen zur Bestimmung von Größen (f(h\q^) für einige besonders einfache Reste ^ (mod g'). Wir stellen die Zahl h in der Form h = g^'h^ {h^ relativ prim zu q) dar. {q = p). Die Größen F{l^p*) eines Restes F^p^a^^ (mod p') [a relativ prim zu p\ sind durch die Gleichungen F{]v,p') = {hp^a;f} gegeben. Es ergeben sich die Formeln für Ä ^ < - M'. FQi;p') = p\ für ;; < ^ - Jf: F(Ä;jpO = (^)'-^-";,-^— »f ^ "'^ d;-^-\ Die Größen 9'(Ä;iJ')> welche einem Rest ^>^p^{aX'-^ «3I3H • . . + «JJ«) ^^p^a.l^^^F, (modi)') angehören, genügen den Relationen X 54 Zur Theorie der quadratischen Formen. Setzen wir das Produkt / /cu^. = (^) (modjp*~^j, so gewinnen wir die »=i Formeln für h>t — M'. (pQ^^P^^P"*, für h ^ - 1 - iJf: FQi-, 20 = 2^ mih = t-l-M: FQi; 20 = 0, r Aq a - 1-1 t-M-7 ^"^-^^^ mTh ^ - 1 - Jf: (p(h- 20 = 2^^', mr 71=^1-1- M: (p{h', 2') = 0, (17) mTh0,7i+ /,+ .•• + /„=?] sind gleich Aus den Beziehungen (17) schließen wir für die einzelnen R^ste gr^ die Gleichungen (18o) mr }i>t-s-M: (p^h] 2*) = 2'**, (ISj) für h = t - s - Jl: (fXM 2*) = 0, (I82) mTh(h;2') gleich Xull, und wir bekommen (19i) für t - M> h^t — m — M: Ti: rn '» r AottW-in -'-''-OT[-<-«-^Jjöfc)-{(esi))|- •y^ <-Hf4-«-l + * ^J,(f-Jf-«-X-*) 56 Zur Theorie der quadratischen Formen. Das in dieser letzten Formel auftretende Produkt AoaW-n besitzt die Gestalt -1+K-iy Wir wollen jetzt nachsehen, von welchen Argumenten ein derartiges Pro- dukt eigentlich abhängt. — Nehmen wir an, von den Größen ( — 1) * seien im ganzen Iq gleich — 1 und l — Iq gleich + 1, so erhält TT den Wert n = (i + iy-'o(i-,«7o oder wegen der Beziehung (1 — i) — — i(l -f i) den Wert Nun ist ,«=/H/--K.(_i)ffl/"-[T], und die Größe i° L^J wird offenbar gleich 1 oder gleich i, je nachdem Iq gerade oder ungerade ist. Wir können daher schreiben [l]ri+(~i)'» i-(-i/" und wir bekommen die Gleichung n = (- i)H [^ + ^~" - ^~;~^^ ^J (1 + ^•)' Dieselbe zeigt uns, daß einerseits das Produkt TT durch die Zahl l und die beiden Einheiten (—1)'» und (—1)1-^-1 vollständig bestimmt ist, während andererseits aus dem Werte von TT die Werte der Größen ?, m (— ly», (— 1)L2J erschlossen werden können. Die Einheiten ( — 1)'°, (— 1)L2J lassen sich in der folgenden Weise durch die Einheiten (—1) ^ ausdrücken: ^ i fol ^ 2 ' a (_ lyo = (_ 1)*= 1 ^ (_ ip J = (_ i)^'< *" ^.-1 . . .^ Denn da erstens — - — gerade oder ungerade wird, je nachdem ( — 1) ' gleich + 1 oder gleich — 1 ist, so erscheinen in der Summe ^, 'k~ 2 Grundlagen für eine Theorie der quadratischen Formen, 57 S^ — 1 tvelclie sich über alle Zahlen — r — erstreckt, im ganzen l — Iq gerade und 7q ungerade Glieder; die Summe ist daher ^ l^ (mod 2). — Zweitens dj, — 1 Sj^., — 1 wird die Größe — - — • — - — ungerade oder gerade, je nachdem die «f;fc.-l 6t"-l Zahlen (—1) ^ und (— 1) ^ alle beide gleich — 1 sind oder das i^tf^, — 1 di„ — 1 Gegenteil stattfindet. Bilden wir daher die Summe ^> — - — • — - — über alle möglichen Kombinationen zweier verschiedener Indizes k' und //', so treten in dieser Summe genau soviel ungerade Glieder auf, als Ver- bindungen von je zwei Größen (—1) ^ = — 1 und (— 1) ^ = — 1 rft-i existieren. Unter den Iq Zahlen ( — 1) ' , welche gleich — 1 sind, gibt es nun offenbar im ganzen ^^^ — - { ^ [-|-J (mod 2) I derartige Verbin- dungen, und es wird demnach k'< k" Anstatt der Formel (192) erhalten wir jetzt für t — m — M^h: (19,) • 0(Ä;2O !+(-!) ' 1 -(-1) ' : 2 "~ 2 * (0)-l Ao-1 (-1) ^ • ^ . / 2 y-^-m-i-h/ 2 W 2 \ / 2 X a.,- 1 a» -1 ^ 2*2 ^ '« < + Jf+«-H-* ■i • ^ —i 2~ ^'*~- — ^2 ./»o-n* . (_ 1) (i',o+(.",o (1 + ij 2'=i (_ i) 1 2 ; . m ^J,(<-Jf-*-l-Ä) Wir sehen, daß alle nicht- verschwindenden Größen ^{li\2^ sich in zwei Faktoren zerlegen lassen, von denen der erste eine Potenz von i =]/— 1 ist, während der zweite dem absoluten Werte nach mit t-M: h>t-m-M: 0(Ä; 2') = 0, (20,) für t-m-M>h: 58 Zur Theorie der quadratischen Formen. (0)-l (0)-l 0(/r, 20 = l(^;20 (0)-l Ao-l « ., — 1 a .„ — 1 Von Bedeutung für die Folge ist die Bemerkung, daß sowohl im (0)-l Falle Z = 1 als im Falle Z = 2, (- 1) ^ = _ 1 die Einheit 4> J ^ / ly 2 2 gleich 4- 1 gesetzt werden muß. Für die Größen 0(/«; 2') eines Restes gelten, wenn wir 4aa — 31^ = ((t>) (mod2^+'~^) setzen, die Formeln für Ä ^ ^ - ilf: (/<; 20 allein von den Zahlen h, 2'; M. abhängen. Kap. IX. Charaktere der Hauptrepräsentanten und der Grrundformen. Wir werden jetzt nachweisen, daß die Größen /*(/*; (f) einer allge- meinen Form f ebenso wie die Größen g)(A; (f) der besonderen Reste 9p, welche wir soeben betrachtet haben, in zwei Faktoren von wesentlich verschiedener Art zerfallen. Der eine dieser Faktoren, den man durch q . f{}i\(f) bezeichnen kann, hängt, wenn c[=p ist, allein von den Zahlen p'"'' , imd wenn g = 2 ist, allein von den Zahlen 2"'^ und 6j^ ab, während der zweite sich im Falle q= p mittels einer, im Falle g = 2 mittels einer oder zweier Einheiten C darstellen läßt. — Diese Einheiten C 0 werden sich dann umgekehrt durch Größen f{h] q^) und f{h;q^) aus- drücken lassen. Da aber sowohl die Größen f(Jr^ q*) als die Größen 0 f{h] g;0 fö^ ^llö in bezug auf den Modul q' kongruenten Formenklassen f gleiche Werte erhalten, so werden auch die Einheiten C für alle nach Grundlagen für eine Theorie der quadratischen Formen. 59 dem Modul q^ kongnienten Formenklassen f die gleichen Werte annehmen, d. h. diese Einheiten werden Charaktere der Formen f vorstellen. Die Charaktere C, zu welchen wir auf diese Weise gelangen, werden sich zunächst als Funktionen der Koeffizienten eines Hauptrestes (p (mod q^) darstellen. Xun haben wir aber in Kap. Y gesehen, erstens, daß wir die Koeffizienten eines Hauptrestes (f durch die n + 1 Zahlen qo^ eines zum Hauptreste (f gehörigen Hauptrepräsentanten ausdrücken können, und zweitens, daß sich eine jede Grundform %' (mod q) einer Klasse f in einen Hauptrepräsentanten 9- (mod q^ transformieren läßt, dessen Zahlen y^ den Zahlen t-^ gleich sind. Wir können demnach auch die Einheiten C durch die Zahlen tfj^ eines Hauptrepräsentanten (p ausdrücken, und wir werden alsdann die Werte dieser Einheiten unmittelbar aus einer jeden beliebigen Gnmdform tt' ! mod q) herleiten können. I. Es möge zunächst q = p sein, und es sei f eine in bezug auf ^9 primitive Form. Jeder Hauptrest (p der Klasse /' für einen Modul p' (>jp«'n-i(p)) besitzt dann die Gestalt i. » = i 9=i^p''^^-'2^s^%n/^ (modpO- « = 1 Wir finden daher nach Satz J. in Kap. \U. die Größen cp{h',p^ =fi^iP^ durch die Gleichungen i (21) 9^(Ä;i>0=I7^.(Ä;i>0. Die ;. + 1 Zahlen M^ = 0; Jfi = v^^^, M, = 1%,^, . . ., Jlf^_i = ü^._^; M;, = t befriedigen die Ungleichungen (22) M, 1, während wir für i = X gemäß unserer Annahme über t die Beziehung M-^— -3f;_i = # — r„_i > 0 bekommen. Wir wollen die A -f 1 Zahlen einführen. Aus den Ungleichungen {22) ergeben sich sofort die Un- gleichungen (23) h>h,>Ti,>--> h,_, > h,. 60 Zur Theorie der quadratischen Formen. Wenn wir die Zahl h in der Form h = p'' • Tiq Qiq relativ prim zu p) darstellen, so gelten für die Größen (PkQi'^p^) nach Kap. VIII, Absatz II, die Relationen (24o) für h ^ h^_^ : (p,(h',p') = 9>,{h;p'), (24,) für h < K_, : ^,(li; p^ = ^,(h- p^) • (^f-'~\ in welchen die Faktoren cp^Qi'^p') nicht- verschwindende und allein von den Zahlen h,p*', G3(p) abhängige Zahlen bedeuten. Aus der Gleichung (21) und den Formeln (24) erkennen wir, daß die Größen (p(h\p*) außer von den Zahlen h,p*'^(o(p) nur von den Ein- heiten C^j abhängen können. Wir wollen diese Einheiten umgekehrt durch die Größen (pQi^p*) und tpjji^p*) ausdrücken. Wenn wir der Zahl h die Werte 1, 2, . . .,^' erteilen, so durchläuft der Exponent h das Intervall t, t — 1, . . ,, 0. Beachten wir, daß hQ = f und Ä;i = 0 ist, so leuchtet ein, daß dieses Intervall mit dem Intervalle Hq, h^, h^, . . ., h)_^, h) übereinstimmt. FaUs wir von der Größe Ti = t absehen, für welche offenbar }i = j^ .Ji^^Q (raoAp*) und cpQi] p^ = p""^ ist, wird daher eine jede der Zahlen ^(== ^— 1, .. ., 0) einer und nur einer Ungleichung (25) h_^>h>h, genügen. Wir wollen die Zahlen Ti, welche der Ungleichung (25) ge- nügen, durch W> und die diesen Zahlen H^ zugehörigen Zahlen li durch W^ bezeichnen; die Zahlen A, deren h gleich h^ ist, mögen \ heißen. Infolge (23) erfüllt jede Zahl W^ die Ungleichungen (26o) m>ij >Ki>-->h-i>h, (260 h^'^'' -^o'iP^ aufzusuchen, für welche Ä,_, > Ä > Ä,. ist, das sind die Größen g)(ÄW;i>')- Aus der vor- stehenden Gleichung (27) ist nun einerseits klar, daß wir zur Bestimmung dieser Größen höchstens der Einheiten 0/'»-i~* ' bedürfen, während andererseits diese Einheiten sich durch Größen g>{h'^p^ und 9i(/<;i>0 aus- drücken lassen. Unter den Einheiten Q/'*-^-'' ' befindet sich, da die Differenz Ä,._i — Ä^ die Werte 1, 2, ..•,h,_,-h,>l durchläuft, die Einheit 9^ selber. Wenden wir dieses Resultat der Reihe nach für die Werte i = 1, 2, . . ., X an, so erhalten wir den Satz: Die Größen t\_.^(jp)'\ hängen außer von den Zahlen p'"^^^ von den A^ -f- 1 Einheiten i e,= \^^/ (» = o,i,2,...,z,), [00 = 1] ab, und umgekehrt können die Xp -\- 1 Einheiten durch Größen (pQi^p") imd durch die Zahlen p<"(^) ausgedrückt werden. Sowohl die Einheiten 0.. als die Einheiten (— ) = ^^ sind also Charaktere der Form f. Wir drücken jetzt die Charaktere 0^ durch die n -}- 1 Zahlen q)^ eines Hauptrepräsentanten aus, welcher den Rest (p liefert. Zunächst erkennen wir, daß die beiden Charaktere 0^ und 0^ nur von der Ordnung der Form f abhängen. Denn es ist und für 0^ erhält man mit Hilfe der Kongruenz 62 Zur Theorie der quadratischen Formen. n (9^*) - (- 1)^- fe (^«d P'-'''-')' [^ > ^n-J *=] die aus Kap. VI (S. 40) folgt, die Beziehung (t) i> /Vi' Die übrigen Charaktere 0^. lassen sich mit Hilfe der Kongruenzen durch die Einheiten ausdrücken. Diese Charaktere C{p) sind mit den in Kap. VI gefundenen Charakteren (— ) identisch. Die Anzahl derjenigen Charaktere C(j)), welche nicht schon von vornherein durch die Ordnung der Form fp gegeben sind, beträgt >l — 1. Nun ist für alle Primzahlen p, welche in dem Produkte JJoj. nicht 'k * = i aufgehen, A^ = 1. Folglich werden nur diejenigen Primzahlen p, welche in diesem Produkt enthalten sind, besondere Charaktere C(|j) liefern. Auf diesem Umstände beruht es vornehmlich, daß die Anzahl aller un- abhängigen Charaktere, welche einer gegebenen Formenklasse f angehören, einen endlichen Wert besitzt. IL Es möge jetzt q = 2 sein, und es stelle f eine in bezug auf 2 primitive Form vor. Wir betrachten irgend einen Hauptrepräsentanten (p der Klasse f für einen Modul 2*> • 2^n-\i^), Sobald irgendeine In- Variante 6t der Form f den Wert 1 erhält, verschwinden von den Koeffi- zienten 11.^. (i < Je) des Restes cp alle diejenigen modulo 2*, für welche i ^ T and /v > T ist. Wenn ör = 1 ist, zerfällt demgemäß der Rest g) für den Modul 2* in zwei Einzelreste <\> und O^, von denen der eine, O,. die T ersten Reihen des Restes (p und der andere die n— T letzten Reihen dieses Restes enthält. Wir überzeugen uns ferner, daß der Rest O zu 2 primitiv wird, während die höchste, in allen Koeffizienten des Restes (t>^ aufgehende Potenz von 2 den Wert 2"^ annimmt, sowie daß die In- varianten 6 des Restes O gleich ö^, 6^, . . ., • • ■> ^n-i "werden. Wiederholen wir diese Bemerkungen für mehrere Invarianten (?!•= 1, so gelangen wir ohne Schwierigkeit zu dem folgenden Satze: Grundlagen für eine Theorie der quadratischen Formen. 63 K. Weim wir von den n — 1 Invarianten 6 der Form f beliebige L — 1 auswälilen, welche den Wert 1 haben, etwa (T„ = 0) 6t, = 1, ör, = 1, . . ., ör^_2 = 1, ^r^_i = 1, (Tj, = n) und die Zahlen T^ — T._i = Z,- setzen, so können wir aus den Kj^ ersten Reihen von (p einen Rest 0^, aus den K^ folgenden Reihen einen R«st 02, usw., aus den Kl letzten Reihen von qp eine Form L bilden, und der Rest qo zerfällt für den Modul 2' in X Einzelreste ^ = 01 + 02 T H Oi (med 2'). Die Reste 0, erscheinen als Produkte aus einem Faktor 2'n-i. und einer zu 2 primitiven Form. Bezeichnen wir die K- — 1 Invarianten 6 dieser zu 2 primitiven Form durch P/') und die K.— 1 Invarianten (o(2) dieser Form durch Qf^^'\ so bestehen die Relationen P*« = ^r,_. + *, Q,« = «^,_, + .. (Ä;=1,2,...,Z,-1) Einige besondere Fälle dieser Zerlegungen von cp in Formen 0,. haben wir schon im Früheren untersucht. So bekommen wir erstens die Zerlegung von cp in lauter Formen F=2^«|2 (mod20 von einer Variablen oder Formen F,^2^(a^' + ml + äl^) (mod20 von zwei Variablen, indem wir für die Größen T^ ohne Ausnahme aUe diejenigen Zahlen aus der Reihe 1, 2, . . ., n — 1 wählen, denen eine In- variante ^r = 1 entspricht. Zweitens entsteht die in den Kapiteln III und IV betrachtete Zer- legung von (p in l Formen (Ä;20=/70,(Ä;20 » = i bestimmen. Nach dem Satze K. müssen die Zahlen pW^2^i*-'P4/ (/c==l,2,..,^,-^,_,-l) mit den Zahlen übereinstimmen. Da nun diese letzteren Zahlen unserer Annahme gemäß sämtlich kleiner als 4 sein sollen, so folgt, daß auch die Zahlen ^*-i^*^* ^k+i sämtlich gleich 1 oder gleich 2 sein werden. Wir über- zeugen uns nun leicht mit Hilfe der in Kap. IV, Absatz II aufgestellten Sätze, daß dieses dann und nur dann eintrifft, wenn die Reste 0,. von der Gestalt m lg (28,) 0, ^ 2""'-^ {^'-'2''r'^ ^'•^'^ y"^) ^"^^^ ^'^ (2S,) 0, = 2'''''-'''\a^'-\- ml + ßf) (mod 2') oder von der Gestalt (28, sind. Wir wollen jeder Form 0., je nachdem sie von der Gestalt (28,) oder von der Gestalt (283) ist, eine Zahl t^ gleich 1 oder gleich 2 zu- teilen. Wir haben die Beziehungen oder Wir führen [i -{- 1 Zahlen M^ vermittels der Gleichungen 2^o = ri = ^i, 2^x = r2.2%, 2^^' = Tg • 2"'^^, . . ., 2^^<-i = r^.2%-i, 2^" = 2*, und [i Zahlen M^ vermittels de» Gleichungen 2^o = A.2%-i, 2^1 = — • 2"'^^-^ 2^= = — .2'''/»-i, . . ., ■"^l ''^2 '^8 Grundlagen för eine Theorie der quadratischen Formen. 65 ein. Die Potenzen 2 '"^ werden, wenn r.= 1 ist, gleich 2''''«-i, und wenn T, = 2 ist, gleich 2''''»-i^ ; die Potenzen 2^'-i sind, wenn t,. = 1 ist, gleich 2 "^"'/»-i = 2 "*■"•»■*" »-i^ dagegen wenn r^ = 2 ist, gleich Folglich hat man stets M^_^^ -^-i- Ferner erhält man wegen ^„ 1 2'"'^. ^„ , . > 4 und 2* > -^ • 2'»-^ für ^. < u: 4 4 ^ und 2^," - ^"-1 = , ^* > 1, so daß man die Ungleichungen findet (29) M,£M,£M,£M,£.^.£ M^_, £ M^_, k^.-'^^^-i^K-^>K-^' und es gelten die Relationen für T^ = 1 : Ä,._i = /I,._i + 1 + m^, fürr, = 2: ^•-i = ^_i, und ■*' — g»7. 1 ■ * ff«.J.1 (31) 2'<-.-».-^i^^-^ ttl^l (i<^). *,-. - ^ > 0. Wir wollen für einen jeden Rest ^ von der Gestalt (28i) 0,^ 2^.-i2(2-^2aW|«|W) ^^9'/'^ (mod 2') 3=1 r=l i=l eine Einheit 2 \ / 2 \ / 2 ■fi?-.) U'fits^' ''"><*' i%-'[^] . /-T^ir \ ^ * J.(-l)(r>') + (rV) .* = ! / und für einen jeden Rest 0. von der Gestalt (283) Minkowski, Gesammelto AbUandlungeu. I. 66 Zur Theorie der quadratischen Formen. ^ = 2^i-i{al,' + %U + äi') (mod20 eine Einlieit bilden. Für die Größen f^{h;2') [h = 2''hQ, ^^=1 (mod 2)] ergeben sich jetzt die Formeln (32o) für^^^,_,: 0,(Ä-, 2') = 0,(/.; 2'), (32J für^^^,_,: 0,(Ä; 2') = 4>,(A; 2') • I, ^ ' \**— *V. (322) und für r,^l, h,_,>h> \_, : 0,(Ä; 2') = 0, 0 in welchen die Faktoren Ö^(/i; 2') nicht- verschwindende und allein von den Zahlen h,2^] 6,co(2) abhängige Größen bedeuten. Wir wollen die Zahlen h, welche der Ungleichung genügen, durch U^^ bezeichnen. Eine jede Zahl ^(*) befriedigt infolge (30) außerdem die Ungleichungen (33,) m>h, >K,>-"-^\,,>^\, (332) Ä^*^^^A-l^^A-2^"-^^l ^^0- Demzufolge gehorchen alle Größen ,(2^ Äq-, 2'), deren Index i einer der Zahlen Ä-f 1, Ä; + 2, ..,, ^ gleich ist, den Gesetzen (32o) und alle Größen 4>,.(2^ Ä^; 2"), deren Index i einer der Zahlen 1, 2, ..., Jt gleich ist, den Gesetzen (32i). Wir bekommen demnach für den Quotienten i(2^^*^Äo; 2^ = (fi^'^^^'^K; 2') ergibt sich jetzt die Gleichungen 1 = 1 Grundlagen für eine Theorie der quadratischen Formen. 67 «t)i)-l Ao-l i(2**-lÄo;2') 20 .^(2^.-a„;20n?f^^''^ und -^ ^••^^^-^'•- (34,) g.(2^^*>/v,20= /^^Y^---^^% (2^.-^0; 2^n fff^^'^ '] Ili'^i) i = i 0i(2**-lÄ,;2O gewinnen. Wir nehmen jetzt an, es seien schon alle diejenigen Großen ^ > /'i_i oder der Ungleichung Äi_j ^ Ä ^ Ä^. Ist aber Ti^\_^, so ist die Größe 90(2*^0; 20 schon bekannt, und erfüllt h die Ungleichung h^_i>Ti > h,^_^, so wird ^(2''hQ-2') = 0, also auch 9(2'^Äo: 20 = 0. Es sind mithin in der Tat nur diejenigen Größen 9(2*/jo; 20 zu betrachten, für welche ^t-i^^^K i^^- Wenn hingegen T^ = 2 ist, so wird h^_^ = hf._^, und die Zahlen Ti, welche ^h^ sind, ge- nügen entweder der Ungleichung Ti^hj^_.^, in welchem Falle die Größen qp(2*Äo;20 als bekannt anzusehen sind, oder sie genügen der Ungleichung Mit Hilfe der Gleichungen (34i) und (342) ziehen wir jetzt den fol- genden Schluß: L. Wenn alle Größen g) (2*Äo; 20, deren h^h^_j^ ist, gegeben sind, so bedürfen wir zur Bestimmung der sämtlichen Größen tp (2* ^^^/j^; 20 höch- stens der Einheiten 1^, (—1) * , / — ^ ^\ *~^ , und umgekehrt können diese Einheiten stets durch Größen 9j(2*/ -^ 2"" " i^'^) hängen von den Zahlen 6, 2'"(2) und den 2 (ft + 1) + (v + 1) Einheiten H. (-1) und (ä; = 0,1,2,...,^) [Ho = l], {k = 0,l,2,...,v) [Zo=l], E* = n (nm "i-^-^i-l •r(-iy «-1 i (Ä;==0, 1,2, ...,^) [Eo = l] Grundlagen für eine Theorie der quadratischen Formen. (59 ab, und umgekehrt können diese sämtlichen Einheiten durch die Zahlen 6j 2'"(^) und durch Größen g)(Ä;2') ausgedrückt werden. Die Einheiten E^, Hj, Z^ sind also ebenso wie die Einheiten 1^, (— 1) ^ Charaktere der Form f. Die Anzahl der Reste 0^, denen ein Tj = 2 entspricht, ist gleich der Anzahl aller derjenigen Invarianten 6 der Form f] welche gleich 2 werden. Die Charaktere (—1) ^ , welche einer Form 0^ von der Gestalt (28j) angehören, sind gleich — 1, und die Charaktere 1^, welche einer Form O^ von der Gestalt (283) entsprechen, gleich + 1. Femer erkennen wir aus der am Schlüsse von Kap. YIII gemachten Bemerkung, daß die Einheit Ij den Wert + 1 erhalten muß, so oft der Rest 0^ die Gestalt 0^ = 2^al,^ (mod 2') oder die Gestalt 0,^2^(«|2 + «oio') (niod20; (-1) ' =(-1) ^ =-1 besitzt. Wir drücken jetzt die Charaktere E^, H^, Z^ durch die w + 1 Zahlen g)^ eines Hauptrepräsentanten cp (mod 2') aus. Die in Kap. YI (S. 40) aufgestellte Kongruenz ergibt unmittelbar /i-1 auf einem ähnlichen Wege gelangen wir zu den Beziehungen Also wird 2% »0-1 , j ^ fn -J Ho = (-l) ' , H, = ^^>1(-1) 2^n-l 2 z. und ebenso kann man die übrigen Charaktere H^, Z^ durch die Einheiten ^*(4) = (-l) « und ^.(«) = (4) ausdrücken. Diese Charaktere 6'(4) und 0(8) sind mit den in Kap. VI 70 Zur Theorie der quadratischen Formen. betrachteten Charakteren ( — 1) ^ und ( — j identisch. Die Charaktere E^. lassen sich als Produkte von zwei Faktoren darstellen, von denen der eine [falls o^ == 2'"^ • e,^, e^ = 1 (mod 2) gesetzt wird] gleich » -1 ^fi-J: ^i + ^ -r—r Iti 2""»/? \ ^ 2 ■ 2 f=i yo-i ?xr:_i ^ri ?^ ., , ''\-^-^ %-^"' , %-^"' ^"^ . /'_!') 2 2"^2'2"^'- 2 ■ 2 ■*" 2 *2 ist, während der andere allein von der Ordnung der Form f und dem Charakter 0,(4) = (-1) ^ abhängt. Bei einer Aufzählung sämtlicher Charaktere für den Modul 2' können wir daher die Charaktere E;^ durch die Charaktere ©,(4) ersetzen. Kap.X. [[Bedingungen für die Gültigkeit derKongruenz/~ ^(mod gr')»]] Wir haben gesehen, daß die Kongruenz zweier Klassen f und g nach einem Modul (^j der die höchsten in den Größen ^\^%---^n-\ ^^^ beiden Formen f und g aufgehenden Potenzen von g übersteigt, von den folgenden Bedingungen abhängt: I. Die Klassen f und g besitzen, wenn q = p, dieselben Größen p"'^ und, wenn g = 2, dieselben Größen 2"'*, 6j^. II. Die Determinanten der Klassen f und g sind, wenn ci=p ist, nach dem Modul ^'+^»-2(i')^ und wenn g = 2 ist, nach dem Modul ö„_i- 2'+^w-2(2) einander kongruent. III. Die Hauptreste der Klassen f imd g besitzen, wenn q=p, die- selben Charaktere Q(jp) und, wenn q = 2, dieselben Charaktere E(4), H(4), Z(8); oder (was auf dasselbe hinauskommt): Die Größen f(Ji',q*) und g(Ji]q*) sind identisch. Diese Bedingungen sind aber auch hinreichend dafür, daß die Klassen f und g nach dem Modul g^' kongruent sind; denn es gilt der Satz: M. Genügen zwei Klassen f und g den Bedingungen I, II, III, so kann man jede Form der einen in äquivalente Formen transformieren, welche nach dem Modul q* einem beliebigen Repräsentanten g der andern kongruent sind. Man kann sich zweier verschiedener Methoden bedienen, um diesen Satz zu beweisen, indem man ihn entweder durch einen Schluß von Grundlagen für eine Theorie der quadratischen Formen. 71 **o ("^ **) ^^^ ** bestätigt oder indem man Substitutionen bestimmt, welche einen Hauptrest q) der Klasse f in einen Hauptrest t^' der Klasse g über- führen. — Da die Zeit drängt, muß ich darauf verzichten, diese Methoden hier zu entwickeln.*) Kap. XI. Genera yon Formen. — Bedingungen für die Existenz eines Genus. Die Zahl der Charaktere, welche zu einer gegebenen Form f gehören und nicht von vornherein durch die Ordnung 0: n. / dieser Form bestimmt sind, ist stets endlich. Denn wir sahen, daß allein 2 die in dem Produkt 2 • o^o.^ . . . o„_i = TT(/') enthaltenen Primzahlen n~l derartige Charaktere liefern können. Wir fassen alle diejenigen Formenklassen, welche dieselbe Ordnung und dieselben Charaktere wie eine gegebene Form besitzen, in ein Genus von Formen zusammen. Der Satz M. in Kap. X zeigt uns, daß die Klassen eines und des- selben Genus in bezug auf jeden Modul p* 'i^ p'n-iip) und in bezug auf 4 jeden Modul 2*> 2""-^^^^ kongruent sind, woraus wir mit Hilfe des Satzes n in Kap. VI schließen, daß zwei Klassen desselben Genus in hezug auf jeden beliebigen Modul kongruent sind. Umgekehrt ist klar, daß zwei Klassen f und g von gleichem Index /, welche verschiedenen Genera angehören, nicht in bezug auf jeden Modul N kongruent sein können. Denn wenn die Invarianten oder die Charaktere der Klassen f und g nicht die gleichen sind, so kann, wie man leicht er- kennt, nicht gleichzeitig f^g (modTT(/")) und f^g (modTTC^)) sein. Man kann die sämtlichen Charaktere einer Klasse f mit Hilfe eines Hauptrestes dieser Klasse für den Modul TT herleiten. FolgKch werden zwei Klassen derselben Ordnung 0 die gleichen Charaktere besitzen, so- bald sie in bezug auf den Modul TT einander kongruent sind. Also kann man ein Genus von Formen auch in der folgenden Weise definieren: Ein Genus f besteht aus allen denjenigen Klassen, welche der Ord- nung f angehören und in bezug auf den Modul TT(/') der Klasse /" kon- gruent sind. I. Um zu entscheiden, ob zwei Klassen derselben Ordnung 0 in dem- selben Genus enthalten sind, kann man sich der Grundformen dieser Klassen für den Modul TT bedienen. — Wir behaupten: *) Siehe die Note [[am Schlüsse dieser Abhandlung, S. 136—143]]. 72 Zur Theorie der quadratischen Formen. Jede primitive Formenklasse f der Ordnung 0 besitzt für den Modul TT Grundformen (p, in welchen die Zahlen (pf^ zu den Zahlen (p^^i- ^k^-i relativ prim sind. In der Tat: wir bemerken zunächst, daß eine Form f^^i = {^J'^'^^^} {iyli = 1, 2, . . ., Ä + 1) von h -\- 1 Variablen und von einer Ordnung c stets in eine äquivalente Form {rf^} {i,lc = 1,2, ...,h+l) transformiert werden kann, in welcher die Teilform /"^ — {**aM (ijk = 1,2, . . ., h) von h Variablen eine Ordnung mit einer zu der Zahl TT • qp^^j relativ primen Zahl 9)^ besitzt. Um eine Form von der gewünschten Beschaffenheit zu erhalten, brauchen wir näm- lich nur eine Grundform der Klasse /"^^^ in bezug auf den Modul TT-qP;,^! zu bestimmen. Wenden wir diese Bemerkung für h = n—l, n — 2, ..., 1 an, indem wir von der Form f = fn= {'^^"k) («', ^ = 1, 2, .. ., w) ausgehen, so ge- winnen wir einen Repräsentanten qp == { r^.^ } {i,Jc = 1,2,.. .,n), in welchem die Teilformen {rf^} {i,lc=l,2,...,h) eine Ordnung Mj ^27 • • V ÖA_2; ^h-1 \0i, O2, . .., 0^_2, Ö;i9^-0;._i> besitzen, während die Zahlen (pf^ zu den Zahlen TT^gj^^i relativ prim sind. Dieser Repräsentant cp gibt uns also eine Grundform für den Modul TT mit Zahlen g)^, welche zu den Zahlen (Ph_i • ^j+i relativ prim sind. Eine solche Form cp nennen wir eine charakteristische Form der Klasse /". Es möge irgendeine charakteristische Form tp der Klasse f vorliegen. Wir wollen die Formen von h Variablen, welche aus den h ersten Reihen des Systems von (p gebildet sind, durch {qp^} bezeichnen. Es mögen die Indizes dieser Formen (gp^} {h = 1, 2, . . ., n) gleich Ij^ sein. Dann ist 7^ = 7^ und wir setzen noch 7^ = 0. Wir schreiben (— 1)^* = Sj^. Die n -\- 1 Einheiten «^ stellen die Vorzeichen der Größen g?^ vor, und es werden daher die Größen f^^qp^ sämtlich positiv. Für die Formen { qp^ } erhalten wir nach einem bekannten Satz die Zerlegungen {«,.}=. A_ + A_ + ... + _f^ . *^*' qPoqPi (piqpg 9^-1 «Pa Führen wir jetzt n Einheiten d^, 8^, ..., d„ vermittels der Beziehungen 8^ = «;,£/,_!, ^h^ ^1^2 • • • ^h ^i^? ®^ müssen von den h ersten Einheiten I Grundlagen für eine Theorie der quadratischen Formen. 73 dj, d^, ..., ö^ im ganzen Ij gleich — 1 und h — I^ gleich + 1 sein, und wir bekommen insbesondere W^.^ 7,(7,-1) 1-7,-1 (_l)i<* =(-1) ' =(-l)L2j. Wenn wir diese Einheit durch die Größen s- ausdrücken, so ergibt sich A-l (-1) » =(-1)' = ^ • * -1 f -1 i -X i -X t, .-1 f. ,-1 t —1 «.-1 . / 1\2"28'2 2 * 2 2 *2 ^ Aus der in Kap. VI (S. 43) aufgestellten Gleichung (8) gewinnen wir ^ eine Kongruenz (35) - ff,_i2"/'^,+ie,9),_i9,+i = X^ (med ö^Va); in welcher die Zahl Xj^ zu ß^tp,, relativ prim ausfällt, da nach unserer Voraussetzung über die Form q) die Zahl — ^k-x^h^h + x^h-x^h + x ^^ ^h^h relativ prim ist. Aus dieser Kongruenz folgt auf der Stelle die Gleichung welche wegen /-l\ _ r 1 >.^+^ (^k-x^"'-~— e -1 « -1 « -2 e -1 t ,-1 * ,-1 e ,-1 * -i ■^^ 2 o 1 , .1 1 , , n — i n — l . n — l n (-1)L2J = (-I)" = i .(-1) ''""'^" 2 a ■ 2 2 n-X «= 1 «= 1 w -1 w —t w —1 w —1 w „—1 (B , — 1 m .— 1 0) -1 C ]^\ 2 2 2 2 2 ■ 2 8 ' 2~ Bilden wir das Produkt aus den ersten rj^ oder aus den ersten j^j + 1 der obigen Gleichungen, so erkennen wir, daß der Charakter ©^(4) mit Hilfe der Charaktere C(p), C(4), 0(8) und der Einheit oder der Einheit ^ Vk^»lk^ dargestellt werden kann. Infolgedessen können wir statt der Charaktere ©^ die Charaktere D^ oder D/ einführen. Zwischen den beiden Charakteren D~ und JD^ besteht zufolge der Gleichung (36) die Relation ^w,„ e,,, +1 o),,, —1 (38) i); . D; = ("-' ^ --^) (- 1)~ • -«-(^). Wir können jetzt den Satz aussprechen: Eine charakteristische Form (p der primitiven Formenldasse f hesitzt: I. wenn ^^-i^ä^ä+i == ^ (modp) ist, einen CharaJcter if)'' II. tvenn ^;,_i0^ö^^i :^ 0 (mod 4) ist, drei Charaktere (-1) ' , (t-)(-i) " , (!f^)(-i) ^ , Grundlagen für eine Theorie der quadratischen Formen. III. we)in ö/._iOj(5^^i = 0 (mod 8) ist, einen CharaUer Diese Charaktere sind an die folgenden Bedingungen gebunden: 1. Es sind p — X

• • •; ^«7 ^^^ welchen / gleich — 1 und n — I gleich -f 1 sein mögen, und setzen ^^ dg . . . d;, = £;, . Aus dem bekannten Satz, daß eine jede arithmetische Progression 0S -{■ s (s re- lativ prim zu fi*, ^ = — c» . . ., — 2, — 1, 0, 1, 2, . . . + 00) sowohl unendlich viele positive als unendlich viele negative Primzahlen enthält, erkennen wir (mit Hinzuziehung eines einfachen Schlusses von h—1 auf Ji), daß wir die Zahlen qp^^ = ^^ (mod 80;3 (A = 1, 2, . . ., « — 2, n— 1) derart bestimmen können, daß die Größen s,^(p,^ positive Primzahlen werden, daß die Zahlen q);^ zu den Zahlen 20^03 . . .o„_2 0„_i • qp^_i relativ prim ausfallen und daß n — 1 Kongruenzen der Form x;f{mod6M) Wn-(-m Grundlagen für eine Theorie der quadratischen Formen. 77 statthaben.*) Nachdem wir « — 1 derartige Zahlen 9?^ gefunden haben, suchen wir n—1 Zahlen y^, y^, . . ., y^_x auf, welche den Kongruenzen [2/0 = 0] genügen, und wir setzen die ganzen Zahlen = Vh (mod ^^9?^) Qi = 1, 2, 1) und Die Form 1^2 rTo, Y, ^u L, Y, ^2; '2' '3 fp Y„_2> '»-27 'n-l bildet jetzt, wie man sich leicht überzeugt, eine charakteristische Form für ein Genus G, welches die gegebenen Charaktere besitzt. — Die aus den ersten h Reihen Ton g: gebildeten symmetrischen ünterdeterminanten werden gleich den Zahlen ß;,d^_i(pf^. Das soeben entwickelte Verfahren dient, wie zum Beweise der Exi- stenz eines Formengenus G, so auch zum Nachweise der Existenz einer beliebigen Ordnung. Um ein Beispiel zu geben, zeigen wir, daß es pri- mitive Formen mit 8 Variablen von der Determinante 1 gibt, welche der Ordnung MA _ /2, 1, 2, 1, 2, 1, 2x ... \oJ U, 1, 1, 1, 1, 1, 1/' angehören. Man erkennt, daß die 8 — 1 = 7 Zahlen 9i = 1? ^3 = ^7 9>3 = ^7 9i= ISj 95 = 5; 0 ist, und — 1 -J-, [n = 0(mod2)] sobald jUq — n„ = 0, d. h. jit, = 0, n = 2/t ist. Es wird f=^ C«o — ^^ — ."/.) = 0^ wenn ,Uq — f^, — /i„ > 0 ist oder wenn irgendeine der Zahlen ^a-i^*^*+i (/i = 1, 2, . . ,, « — 1) kein Quadrat ist, dagegen wird 1 n3 (hq — u, — u„) = d(n — 2r) i n-2I= 1 3 ! 5 |7|0 [d(n-2r) = | 1 1-1 -1 l|l 4 6 (modS) -liol !■ wenn ^q — /i, — ^„ = 0 ist und die sämtlichen Zahlen ^a-i^a^*+i Q^^" drate sind. Offenbar besitzt nach dem Satze IL eine Ordnung 0 stets primitive Formen, wenn nicht g = 0 ist. Man erkennt leicht, daß nur in den fol- genden Fällen ^ = 0 werden kann: (Cj = 0) wenn N 0; .«, = 0, .a„ = 0, (- 1)"^ ''/7^i ^ - 1 (mod 4) ist; weder oder oder oder ist. M.A^^'^H- = — 1) wenn alle Zahlen ^k^iO^ö/^^i Quadratzahlen sind und ent- ^0 = 0; iL, = 0, ii„ = 0, n-2I=4: (mod8) .«0 = 1; /*r= 1, f*,. = 0, n — 21= 3, 5 (mod 8) N = ^ /^/ = 0, ^, = 1, n - 2/ = 4 (mod 8) /^o = 2; /x, = 2, .u„ = 0, n- 2/= 4 (mod 8) 80 Zur Theorie der quadratischen Formen. Kap. XIl. Adjungierte Formen. — Reziprozität zwischen den Ordnungen l ^' ^' ' "~^' ""^l, J nnd^-^''"-^'---'"^'''0,J. Es sei f = ^j ci'ikXiX^ eine primitive quadratische Form von der De- terminante A(/"). Der größte gemeinsame Teiler aller (n — l)-reiliigen ünterdeterminanten ^-^ ist gleich d^_2- Setzen wir also ik aA(/) E • «„ dn-i 3«U- -n-i + l,n-k + l, WO « = (— 1)^(-^ ist, so wird die Form n ebenso wie die Form f primitiv sein. Diese Form f soll der Form f adjungiert heißen, und wir schreiben f X f. n N. Wenn die Form f einer Form g =^^ ^imViVm äquivalent ist, so ist die zu f adjungierte Form /" der zu g adjungierten Form g'= ^MmyiVm. äquivalent. i,m=i Denn nehmen wir an, die Form f gehe in g durch eine Substitution über, so wird Ui, m2,...,m„_i hf hi • • ■ } *n-l\ ri^hf \i • ' J K-l) niP^lf ^if ■ • •> '^n-XJ •>*»-i) (^i> K}--} K-i) \ 1 J 2> " ' * } n — l) Die Unterdeterminanten S,.. . . stimmen dem absoluten {ii, «2J • • -j *«_l) O I Ol Werte nach mit den Zahlen ' ,' = g'"~'.t^ überein, und wir erkennen leicht, daß die vorstehende Gleichung sich schreiben läßt n i,k=l Grundlagen für eine Theorie der quadratischen Formen. 81 Demnach wird die Form f in g durch die Substitution n '=1 transformiert. Man findet noch \S"\ = ß\*-'^. Wenn also S =1 und f'^g ist, so wird jS' = 1 und f'^g. Die Substitution S' möge der Substitution S adjungiert heißen {SxS'). Wenn f vermittelst einer linearen Substitution in eine Summe von n Quadraten A=l h=l transfonniert wird, so läßt sich die Form f in der Gestalt /(/) n-lif) r — ^^7+^2^? A = 1 A = 1 schreiben. Es gut also die Beziehung Wir bezeichnen die « — 1 Invarianten 1 sind, so muß — = 1 , d. i. f"=f werden. »i Man kann die Ordnung der Form f aus der Ordnung der Form f herleiten. Wenn wir die symmetrischen //-reihigen Unterdeterminanten der Form f und der Form f durch F,^ und durch F^ bezeichnen, die imsymmetrischen aber durch P^ und durch P/, so bestehen nach einem bekannten Satz zwischen den 2^^, P^, Fj^j P/ die Relationen Infolgedessen muß erstens der größte positive Teiler aller Zahlen {sd^_^''F^, Minkowski, Gesammelte Abhandlangen. I. 6 82 Zur Theorie der quadratischen Formen. (sd^_^''P^ mit dem größten positiven Teiler der Zahlen (£<^„_iy'~^J^„_A> {ß^n-\f~^-^n-h übereinstimmen; zweitens wird der größte positive Teiler der Zahlen {Bd^_^''Fjl, {Bd^_,^^2Pj^ dem größten positiven Teiler der Zahlen (£ <-l = ^1- Dann führt die Kombination der drei Gleichungen (40i) . ■ 1 besitzen, so können wir n{n — v) ganze Zahlen w/ (0 ^ Ä; < w, v ^ Ä < n) so finden, daß die «-reihige Determinante IV! (Jc,h = 0, 1,. . ., « — 1) den Wert 1 erhält.*) Beweis. — Dieser Satz ist evident, wenn v = 0 ist; denn in diesem Fall kann man t 0, so wird der größte gemeinsame Teiler der n Zahlen Uq^, Hj", ...,M^_j in dem größten gemeinsamen Teiler der Determinanten ^(0, l,...,v-l) {Kq, k^, . . ,, k^_j) enthalten und folglich gleich 1 sein. 1. Wir beweisen zunächst, daß, wenn der größte gemeinsame Teuer der n ganzen Zahlen Uq°, h^^, . . ., ii^_^ gleich der Einheit ist, stets eine Substitution *) Gauß, Disquisitiones arithmeticae, art. 279. 34 Zi^ Theorie der quadratischen Formen. S: Vi^^s/'u^ (i,Jc = 0, 1, ...,«- 1) k von der Determinante 1 gefunden werden kann, welche den n Gleichungen k k k genügt, d. h. welche die n Zahlen u^ = u^ durch die n Größen v^ = 1 , ^1= 0, . . ., v^_^ = 0 ersetzt. In der Tat, falls von den n Zahlen u^, u^^, . . ., u^_i nur eine einzige, etwa w,-^, von Null verschieden ist, so stellt diese Zahl offenbar zugleich den größten Teiler der sämtlichen n Zahlen u^!^ vor, und es wird demnach 71 -1 uf^=±:l, ^ (u^^y=l sein. Ist dann ^ = 0, so kann man als Substi- tution S die folgende wählen: «'o = ± **o. % = + \i '^h = «*A (^ =H 0, Q, in der Iq irgend einen von 0 verschiedenen Index bedeutet; wenn aber *.>0 ist, statt dessen die folgende: t7o = ± Wf, «^.•= ± Wo; v^= u^ Qi 4= 0, i). Falls aber unter den n Zahlen u,^, u^, . , ., m°_i mindestens zwei, etwa u^, u^ von NuU verschieden sind, so wird^ (w/)^ > 1, und wenn A = 0 (u^y^iuj^y ist, können wir eine Einheit + 1 so bestimmen, daß (u^Y > {u^ ± u^y ausfällt. Durch Ausübung der Substitution von der Determinante 1 erhalten wir dann w Zahlen ?7o®, ü^,..., U^_i ohne gemeinsamen Teiler, für welche die Ungleichung 2i2wy Ä =0 A = 0 statthat. Nehmen wir an, daß der Punkt 1. unseres Satzes bereits für alle Systeme Üq^, TJ-^, . . ., ?7„°_i ohne gemeinsamen Teiler, für welche die n — 1 n — 1 Größe ^] {J^hY kleiner als ^]{u,^f ist, bewiesen sei, so können wir eine h=ü A=0 Substitution (t) von der Determinante 1 finden, welche die Zahlen Uq, Z7i^ • • •; CC_i durch die Zahlen 1, 0, . . ., 0 ersetzt, und die zusammen- gesetzte Substitution S = (x) - (s) ergibt alsdann das gleiche Resultat für die Zahlen u^, u^, . . ., w,j_i- Grundlagen für eine Theorie der quadratischen Formen. 85 2. Bilden wir das Produkt des Systemes u = 0 1 } •J •*«-! •> "n-l yUl-\ Ul-\ n-X) in welchem die Zahlen tij^{v ^ h < w) vorläufig unbestimmte Größen sein mögen, und des Systemes i So', S = '0 ) 1 <;1 ,n — 1 o» — 1 ' n — 1. 80 ergibt sich ein System von der Gestalt 1, 0, ..., 0 ) u- S = ^'o > '^1 } ' ■ •} ^n-l «,n — 1 «,n — 1 «.n - in welchem die Größen t/'(l ^h <,v) allein von den s/ und den gegebenen Zahlen m/ abhängen, während die Größen Vj*(v^7i v), wenn die Form f vermittels einer Substitution V (r): a;,=^r/|, {i = 1,2, . . ., n), k=l in welcher die Größen r/ ganze Zahlen sind, in (p übergeht. Für die Koeffizienten a^^ ergeben sich die Gleichungen n i,k=l Aus denselben erheUt, daß der größte Teiler d^ der sämtlichen Koeffizienten a,.j in dem größten Teiler der sämtlichen Koeffizienten a^^ enthalten ist und daß die Substitution (r), welche die Form cp durch f darstellt, auch zur Darstellung der Form ^ = | 7p [ durch die primitive Form 4^ = ] "j^ ( dienen kann. Infolge dieses Um Standes dürfen wir uns auf die Unter- suchung der Fälle, in denen die Form f primitiv ist, beschränken. Im Folgenden betrachten wir insbesondere Darstellungen (r), für welche der größte gemeinsame Teiler der i/- reihigen Unterdeterminanten Grrundlagen für eine Theorie der quadratischen Formen. 87 des Systems /^ _i _i\ (vv) finden derart, daß die Deter- minante , .. /• 7 1 o \ den Wert 1 erhält. Die Form f geht alsdann durch die Substitution n R: x,=^rn, (1 = 1, 2,.., n) in eine äquivalente Form O über, in welcher die aus den ersten v Hori- zontal- und Yertikalreihen gebildete Form mit q> identisch ist. Wenn umgekehrt in der Klasse f ein Repräsentant vorhanden ist, in welchem die aus den ersten v Reihen gebildete Form gleich g? wird, so ergibt jede Substitution, vermittelst deren /" in O übergeht, eine eigent- liche Darstellung von cp durch /'. Wir gewinnen aus dieser Bemerkung, in welcher die Form f nur als Repräsentant ihrer Klasse erscheint, den Satz: Durch zwei äquivalente Formen f und g können ebendieselben Formen 95 eigentlich dargestellt werden. Femer ist es leicht den folgenden Satz zu beweisen: 0. Wenn die Form (p = ^_ ft,.^ ^ 1^ durch die Form f eigentlich dargestellt werden kann, so ist auch jede der Form 9? äquivalente Form ^=^ ßikViVk durch f eigentlich darstellbar. In der Tat: es möge 9) durch die Substitution V (r): |,=^T,*i?, (t=l,2,...,v) i = l von der Determinante 1 in die Form tp übergehen. Wenn wir auf f zuerst die Substitution (r) imd darauf die Substitution (t) anwenden, so erhalten wir zuerst die Form 95 und dann die Form ^. Zu derselben Form ^ müssen wir nun offenbar gelangen, indem wir auf/" unmittelbar die zu- sammengesetzte Substitution (»•)'(t), d.i. die Substitution (')•■ ^.= >, >r/'rnVk (»• = 1, 2, . . ., n) 88 Zur Theorie der quadratischen Formen. anwenden. Hiemacli ist die Form ^ durch f vermittels der Substitution (i = l,2, ..., i « = 1 darstellbar, in welcher (42) 5.*=^r/'r/ ist. A = l,2, . \i = h2,. ..,n Nach einem bekannten Satz gelten die Beziehungen 1 *»• 1 K i 1 1 ^A 1 ; \k,h = l, 2, (h2,--.v) (1,2,. .., v) • ., 0 * Diese Beziehungen zeigen uns, daß der größte Teiler der sämtlichen aus V Reihen der Substitution (s) gebildeten Unterdeterminanten gleich dem gi'ößten Teiler der sämtlichen aus v Reihen der Substitution (r) gebildeten Unterdeterminanten ist. Folglich ist die Darstellung (s) eine eigentliche, sobald (r) eine eigentliche Darstellung ist. Wir wollen die Darstellung (s) = (r) • (t) der Form V der Darstellung (r) der Form qp äquivalent nennen und schreiben (r ) r^ (5^). Unter den v- reihigen Determinanten der Substitution (r) gibt es mindestens eine von Null verschiedene; es sei etwa ^''''■■■'^1 + 0. Wählen wir unter den Gleichungen (42) diejenigen v aus, welche den Werten % = i^, \ - • -y \ ^^^ k = k entsprechen und lösen sie nach den Koeffizienten t^^ auf, so erhalten wir i r . . . . « V*l » *2 1 • • • ? *W Also können die Koeffizienten t/ vermittels der Größen r,.^ und s/ aus- gedrückt werden. Daraus schließen wir, daß zwei verschiedene Trans- formationen (t) von (f in xjj niemals dieselbe einer gegebenen Darstellung (r ) äquivalente Darstellung (5^) liefern können. IL Wenn zwei Formen cp und 1^ durch f vermittels zweier Substi- tutionen (r) und (5) dargestellt sind, welche die Bedingungen /A4S (1^2, ...,v) (1,2,..., v) /• 1 o N (^) ''(i i i)^'(i i i) («=1, 2, ...,n) erfüllen, so ist stets qo ~ t^ und (r ) -^ (s^). Grundlagen für eine Theorie der quadratischen Formen. 89 In der Tat: sind die Zahlen r^{h > v) so gewählt, daß die Substitution n B: x,=^rn, (« = 1,2, ...,«) A = l die Determinante 1 besitzt, und setzen wir s^=r^(k^v), so zeigen die Gleichungen (44) unmittelbar, daß die Substitution n S: x,=^s,'r], (i=l,2, ..,n) gleichfalls von der Determinante 1 ist. Die beiden Formen Bf-It = und S 'f- S = ^' können wir schreiben ^=^«ay* nnd ^^^ß,,Viru'. i,k=l i,k = l V r i,k = l i,k=l Offenbar gut Man erkennt also, daß sich vermittels der Substitution n B-^S: i,=^rhk, (i=l,2,...,n) in der ''-2i^"'^' (i,^'=l,2,..,n) ist, die Form v) mit Hilfe der Größen r /. ' . ' ' •>> und mittels Zahlen r/ (/i > v) ausdrücken. Folglich gilt d\B\ d\S\ ..^ . also 1 (i = k) und die Substitution B~^S nimmt die Form an n k=l 90 Zur Theorie der quadratischen Formen. Wir finden sonach V ßin. = 2<^ah'rr, (Z, m = l,2, ..., r) i,k = l und die Form

gleich ^^d^_^ • (gj) und die Determinante von qp' gleich 6'^,d^,_^-{q)'), so gilt die Beziehung (9,) = (9,')-(-iy^. Wir wollen sagen, die Darstellung v' (ry x;==^r;n^ (i=l,2,...,n) k = l der Form qp' durch die Form /" sei der Darstellung (r): a^,-^rn, (i = 1, 2, . . ., «) i = l der Form qp durch die Form f adjungiert, imd woUen uns des Zeichens (»■y)x(r^') bedienen. — Aus der Reziprozität zwischen den Formen f und f erhellt, daß, wenn die Darstellung (r^-) der Darstellung (r<^) adjungiert ist, umgekehrt die Darstellung (r^) der Darstellung (r^-) adjungiert ist. Da die Systeme B und B' adjungiert sind, bestehen für die Dar- stellungen (r) und (r) die sämtlichen Gleichungen (45) (1, 2, ..., v) ,(1, 2, ..., v) = r («1, h, ■■■, K) {hy hy ■■■y Q' 92 Zur Theorie der quadratischen Formen. in denen die Indizes i und i' so gewählt sein sollen, daß die w Zahlen i^; n + 1 — *■/, abgesehen von der Reihenfolge den n Zahlen 1, 2, . . ., n gleich sind und die Permutation (h> Hf " -tK, w + 1 - V, . . ., w + 1 — V, w + 1 — h) aus (1,2,..., n) vermittels einer geraden Anzahl von Transpositionen hervorgeht. IL Umgekehrt sind die beiden Darstellungen (r^) und (r^) stets adjungiert, sobald sie die sämtlichen Bedingungen (45) erfüllen. In der Tat: seien die Zahlen p/* (Je > v') so gewählt, daß die Sub- stitution iQ')-' < =^n' * K +^ ^/* ^*' (*• = 1, 2, . . ., n) k = l * = »■' + ! die Determinante 1 besitzt, und sei V n ((,): x,=^Qn,-\-2^'^^ (^=1,2, ..,n) A- = 1 k=v + l die adjungierte Substitution von (q'). Es wird dann (1, 2, ..., v)_ (1, 2, ..., .;') (^*i, *2, . . ., *j (^*j, «g, . . ., *^,; woraus sich wegen der Gleichungen (45) ^(1, 2, ..., v)_^{\, 2, ..., v) Vij hj ■ ■ ') ^') {hy hy ■ • ■} *»-) ergibt. Wir erkennen nunmehr, daß die Substitution H, x,=^rn,+^Bnk (i=l,2,...,n) die Determinante 1 besitzt und daß die adjungierte Substitution von R die Form erhält: k = l k = v' + l Also ist die Darstellung (/) in der Tat der Darstellung (r) adjungiert. III. Wir können jetzt den folgenden Satz beweisen: Ist (r^) '^ (Sxp) (q)^t) und (>*y) x (v); (^'/') x (v)> ^^ ^^^ ^*®*^ {r!p')^{s^){(p'^t') und (»-9,) x (40; W x (v)- In der Tat ergibt die Voraussetzung ^(1,2,..., t.)_^(l, 2, ..., v)_^,{l, 2, ..., v')^^,(l, 2, ..., v) {h, h, •'-, K) (hf h, • • •, K) (h> h, ■ • •; 0 (»1'; h} ' ' ■> Q ' woraus unmittelbar die Richtigkeit der aufgestellten Behauptung folgt. Grundlagen für eine Theorie der quadratischen Formen. 93 Dieser Satz zeigt, daß zwei äquivalenten Darstellungen stets dieselben adjungierten Darstellungen zukommen. Wir nennen zwei Gruppen von Darstellungen {/), (/) adjungieii, so- bald irgendeine Darstellung der einen Gruppe irgendeiner Darstellung der andern adjungiert ist. Aus dem vorstehenden Satz schließen wir, daß, wenn zwei Gruppen von Darstellungen adjungiert sind, jede Darstellung der einen Gruppe jeder Darstellung der andern adjungiert ist. Den sämtlichen äquivalenten Darstellungsgruppen, welche zu Formen einer bestimmten Klasse 9? von v Variablen gehören, sind äquivalente Darstellungsgruppen einer bestimmten Klasse 9p' von v Variablen adjungiert. Die beiden Klassen cp und (p' besitzen hiernach eine gewisse Reziprozität in bezug auf die Formen f und f, und man kann sehr bemerkenswerte Relationen zwischen den Indizes, den Ordnungen und den Genera dieser beiden Klassen aufstellen. Wir leiten an dieser Stelle nur die Relation zwischen den Indizes her. Q. Bezeichnen wir durch JT den Index von q), durch J' den Index von (f' und durch I den Index von f und f, so hat die Gleichung statt Denn setzen wir die aus den ersten Ä(= 1, 2, . . ., n) Horizontal- und Vertikalreihen von O resp. 0' gebildeten Ünterdeterminanten gleich ß^df^_j^Af^ resp. 6^d^_iA[, so ist die Zahl J resp. J' gleich der Anzahl der sämtlichen negativen Größen aus der Reihe -r— *- (Ä = 1, 2, . . . , v; Aj, = 1) A' resp. aus der Reihe -~- (/< = 1,2,..., v; Aq = 1), während die Zahl I gleich der Anzahl der negativen Größen aus der Reihe * (Ji = 1, 2, . . ., w) A' oder aus der Reihe ^ry^ (Ä = 1, 2, . . ., n) wird. Nun haben wir nach Kap. XII die Relationen A;, = (— iy-A,]_4 Qi = 0, 1, 2, . . ., n); dieselben führen mit Leichtigkeit zu dem angegebenen Resultate. Von besonderem Interesse ist der Fall, in welchem die Form (p eine Ordnung und die Form cp' eine Ordnung /tf/, 02 ', . . ., ö^_J, ö^._i . \o/, 0,', . .., o;,_2, (5>;._i • nij ' besitzt. 94 Zur Theorie der quadratischen Formen. Kap. XVI. Darstellung von ganzen Zahlen durch Formen mit n Variablen. Wir wollen weiterhin insbesondere den Fall betrachten, in welchem eine der Zahlen v, v gleich 1 ist. Es sei v = 1, v = n — 1. Wenn die Form f mit Hilfe der Substitution (t): x, = t,l (^=1,2, ..., n) in eine (einvariablige) Form &|^ übergeht, so wird die Zahl b durch / vermittels der Zahlen dargestellt, und umgekehrt ist die Form &|^ stets durch /" darstellbar^ sobald die Zahl h durch f dargestellt werden kann. Wir nennen die Darstellung a;,. = t. der Zahl h durch die Form / eigentlich, wenn die Darstellung von &|^ durch f eigentlich ist, d. h. wenn der größte gemeinsame Teiler t der n Zahlen t^ gleich 1 ist. So oft der Teiler t größer als 1 ist, muß b den Faktor t^ > 1 ent- halten, und die Darstellung x- = tf der Zahl h durch f liefert die eigent- liche Darstellung x^ = -^ der Zahl ^ durch /". Wir gelangen infolge- dessen zu allen überhaupt möglichen Darstellungen einer Zahl b durch eine Form f, indem wir die sämtlichen quadratischen Divisoren r^ von b aufsuchen und alle eigentlichen Darstellungen der Zahlen ^ durch die Form f bestimmen. Wir setzen die Form f als primitiv voraus. Zwei eigentliche Dar- stellungen (t) und (t^) einer Form &|^ oder einer Zahl b durch die Form f werden nach unseren Definitionen nur dann äquivalent sein, wenn die sämtlichen Gleichungen t^ = tP {i = 1 , 2 , . . ., n) statthaben, d. h. wenn sie identisch sind. Infolgedessen sprechen sich die in Kap. XV aufgestellten Sätze für den Fall v == 1 folgendermaßen aus*): I. Zu jeder eigentlichen Darstellung (t) einer Zahl b durch die Form / sind eigentliche Darstellungen (>•') gewisser Formen g)' von n—1 Variablen und der Determinante {~^yd^^_2 -b durch die Form f adjungiert. r. Zu jeder eigentlichen Darstellung (r') einer Form (p' von n — 1 Variablen und der Determinante (— l)^rf^_8 • b durch die Form f ist eine einzige eigentliche Darstellung (f) der Zahl b durch die Form f adjungiert. IL Zu zwei äquivalenten Darstellungen (/) und (s') zweier äqui- valenter Formen cp' und z/^' von n—1 Variablen und der Determinante ( — iyd^^_2 ' b durch die Form f ist eine und dieselbe Darstellung (f) der Zahl b durch die Form /" adjungiert. *) Siehe Gauß, Disquisitiones arithmeticae, art. 280. Grundlagen für eine Theorie der quadratischen Formen. 95 ir. Wenn zu einer und derselben Darstellung (f) der Zahl & durch die Form f zwei Darstellungen (/) und fs') zweier Formen g?' und rp' mit n—1 Variablen und von der Determinante ( — iyd^_^-h durch die Form f adjungiert sind, so sind die Formen qp' und ^' und die Dar- stellungen (r') und (s) äquivalent. Um die sämtlichen eigentlichen Darstellungen einer Zahl h durch eine primitive Form f zu bestimmen, können wir jetzt in folgender Weise verfahren: wir wählen aus einer jeden Formenklasse mit n — 1 Variablen und von der Determinante {— ^Y d^_2 • i einen Repräsentanten cp' aus, suchen die sämtlichen nicht-äquivalenten Gruppen von eigentlichen Dar- stellimgen dieser Formen cp' durch die Form f auf und bestimmen zu jeder dieser nicht-äquivalenten Gruppen die einzige adjungierte eigentliche Darstellung der Zahl b durch die Form f. Auf diese Weise wird man zu den sämtlichen überhaupt möglichen eigentlichen Darstellungen der Zahl h durch die Form f gelangen und zwar zu einer jeden dieser Dar- stellungen nur ein einziges Mal. Kap. XVII. Darstellnngen von Formen mit n — 1 Tariablen durch Formen mit n Variablen. Wir wenden uns jetzt zu einer näheren Untersuchung der eigent- lichen Darstellungen einer Form mit n—1 Variablen durch eine primi- tive Form mit n Variablen. n — 1 I. Es möge eine Form cp' = ^ 6,4 1/ 1/ von der Determinante ( — ly d^_2 • b durch eine primitive Form /' ==^ «,4 a;/a;/ vermittels einer Substitution /,*=i (^'): <=^^;*i; (* = l,2,...,n) i = i [[eigentlich]] dargestellt werden. Bestimmen wir n Zahlen ^/, so daß die Substitution n-l (0: x:=^^:^^', + t;i' (i=l,2,...,n) Jt = l die Determinante 1 besitzt, so wird die Form (f) - f (f) = JB' der Form /" äquivalent sein und sich schreiben lassen ',i=i f=i 96 Zur Theorie der quadratischen Formen. n Wir bezeichnen durch /' = ^ ^iu^i^k ^^^ ^^ f adjungierte Form, durch »,*=i n-l k = l die adjungierte Substitution von Q') und durch n— 1 n— 1 i = 1 i, i = 1 die zu 5' adjungierte Form. Die n Zahlen t^ drücken sich dabei durch die gegebenen Koeffizienten -O-/* aus. Es gelten die Beziehungen ,=1 Ä=i V ^ y und wir bekommen B = (t) • f • (t), d. i. n und n n (47) ft^^a^^i^*, h-^(^ahK- »,* = 1 »,* = ! Mit Benutzung der Summen h = l können wir die Formeln (47) auch schreiben n n (48) h=^^T,t,, h=^T,^,\ »=i »=i Wir setzen \h;,\ = \^,K,...,h^_^) der Kongruenzen (50), zu welchen die nämliche Darstellung (-9"') der Form tp' gehört, sind nach dem Modul h kongruent. Li der Tat, die Summen 2*:-it. • *« - *:-V.. • *. + ci';. ■*.+■■•+ c^i ■ K-^ h = X nehmen mit Hilfe der Formeln (48) und (46) die Werte an A = l * = 1 i = l A = l Jt = l Es kommt also (51) 2'*'.- + i-'''-J^''"'. = -*C,-..-0 (modi). (/=1, 2, ...,n) Fassen wir irgendwelche n — 1 von diesen n Gleichungen zusammen, etwa alle diejenigen, welche einem Lidex i^g entsprechen, so können wir dieselben nach den n — 1 Größen 6^ auflösen, und es ergibt sich n ^^^''-^{-J^ •2'«"^*) = ^- V-0 (mod&) {i^g). *) Siehe Gauß, Disquisitiones arithmeticae, art. 282. Minkowski, Oesammelte Abhandlangen. I. 98 Zur Theorie der quadratischen Formen. Es ist klar, daß die Größen t., ^- vermittels der Koeffizienten %-,'^ ^^n-. + l der Darstellung {%■') ausgedrückt werden können; es sind daher auch die Reste der Zahlen nach dem Modul h durch diese Zahlen -9-/* vollständig bestimmt. Da die Darstellung (p-') eine eigentliche ist, können die n Zahlen t^, t^, . . ., t^ keinen gemeinsamen Teiler größer als 1 besitzen, und es müssen sich daher unter diesen n Zahlen solche befinden, die zu einem beliebigen Primfaktor q von h relativ prim sind. Infolge dieses Umstandes sind auch die Reste der n — 1 Zahlen &,, für jede in b aufgehende Primzahl- potenz q* und mithin für den Modul h selbst eindeutig durch die Koeffi- zienten -d-/* bestimmt, und hieraus geht unmittelbar das Behauptete hervor. n Setzen wir jetzt voraus, man könne ti Zahlen ^/ [^ k' ^n-i + i ~ ^) i = l so finden, daß die Darstellung (d-') zu der Wurzel (6J der Kongruenzen (50) gehört, und es möge (b,) eine andere, nach dem Modul b der Wurzel (&J kongruente Wurzel dieser Kongruenzen sein. Alsdann kann man n Zahlen n ^.' ( ^ ^/^„_, + i = 1) derart finden, daß die Darstellung (■0'') zu dieser 4=1 Wurzel (&J gehört. In der Tat, es möge b^ = b^ -{■ be^ sein. Für die Zahlen ^/ müssen die Beziehungen (51) 2<-"r*V-2'''.*** = -*-*^-'+' statthaben. Die Differenz der Gleichungen (51) und (51) ergibt sogleich n-l (52) t: = t;-^&;^-'^e,. h = l Daraus geht hervor, daß die Bestimmung der Zahlen t{ jedenfalls nur auf eine einzige Weise möglich sein kann. Führen wir nun für die Zahlen tf die Ausdrücke (52) ein, so ist die Gleichung (51) wirklich erfüllt. Multiplizieren wir dann diese Gleichung mit t^ und bilden die Summe über alle Werte * = 1, 2, , . ., w, so bekommen wir b • 2 K-i+Ji =2 <^ik¥k> Gmndlagen für eine Theorie der quadratischen Formen. 99 d. i. n »■ = 1 Die Darstellung (9-') gehört also in der Tat zu der Wurzel (tj der Kon- gruenzen (50). Ist insbesondere e^= 0, h^= bj^{h = 1, 2, . . ., n — 1), so wird tf = t/{i = 1, 2, . . ., n). Man sieht demnach, daß es nicht zwei ver- schiedene Substitutionen (t') geben kann, welche dieselben Koeffizienten •d','* besitzen und die Form f durch dieselbe Form B' ersetzen, III. Zu den eben bewiesenen Sätzen gelangen wir auch auf folgendem Wege*): Es seien t^'j t^', . . ., t^ irgendwelche Zahlen, welche ebenso wie die Zahlen t^, t^, . . . , t^' der Gleichung n » = 1 genügen, und es möge die Form f durch die Substitution n-l in eine Form »-1 n-l *,*=! « = 1 übergehen. Der Substitution (t') sei die Substitution n-l (t): x, = t,i^^-&,% (»=l,2,...,n) und der Form B' die Form n— 1 n— 1 B^hv^2^bMi-\-2kM, 1=1 i,k = l adjungiert. Wie man aus Kap. XIV (IT) ersieht, geht alsdann die Form B mit Hilfe der Substitution n-l (0-^.(0: l-=l+^\-i„ l.= i, (Ä- 1,2,..., n-l), A = l in welcher ^.=^C-.>i^.* •) Siehe Oauß, DisquisitioneB arithmeticae, art. 282. 100 Zur Theorie der quadratischen Formen, ist, in die Form B über. Wir bekommen daher ^h =\+^ ^h j k = \ (mod 6) , und die beiden Lösungen (&J und (6j der Kongruenzen (50) sind in der Tat kongruent modulo &. Die Substitution {t')~^' (t'), welche die Form B' in B' verwandelt, läßt sich jetzt schreiben (0-^.(0: h-h'-e„.,'l' {h=^l,2,...,n-l), r= f- Durch Zusammensetzung der beiden Systeme (t') und (t'y-^t') müssen wir zu dem System (t') gelangen. Auf diese Weise erhalten wir von neuem die Bedingungen (52). Führen wir aber für die Zahlen tf die Werte (52) ein, so ist die Substitution (t') in der Tat von der Deter- minante 1 und verwandelt die Form f in eine Form B', deren ad- jungierte Form B anstelle der Koeffizienten h,^ die Zahlen b,^ aufweist. IV. Man kann leicht die folgende Relation beweisen, welche später Anwendung finden wird: n — 1 « — 1 n — 1 (53) JJo/ = - (n - 2)W>lJo,+ oX-'2c,,c:-i,n-k- In der Tat hat man n — L . = 1 ^"- M-1 d. i. (54) Oi02...o„_2&'= V6,.-c, y^ , ik n —i,n — k ' k=l Die Determinante der Form B läßt sich schreiben n-l (- 1)' d„_, = b-\(p\-^h,\ ^^_^ d\cp\ . /, k = l daraus ergibt sich n — 1 n — 1 « — 1 /< = 1 A = 1 i,k = l Führen wir hierin statt der Zahlen 6^0^ die Zahlen —o^c^^ -\-^hk ®i^ ^^^ benutzen die Beziehung (54), so bekommen wir sofort die behauptete Gleichung. V. Es ist klar, daß es überhaupt keine eigentlichen Darstellungen der Form (p'={b^\} von der Determinante {—iy-d^^_2'b durch die Form/"' geben kann, sobald nicht die Größen c^_j.„_j;.= (— 1)^-^7 — ^' , ganze Zahlen werden. Sind aber diese sämtlichen Größen ganze Zahlen, Grundlagen für eine Theorie der quadratischen Formen, 101 so wird eine jede eigentliclie Darstellung (&') der Form q)' durch f zu einer einzigen Lösung (&J (mod 6) der Kongruenzen -o,c,, = h,b, (mod 6) gehören, und wir werden sonach alle möglichen eigentlichen Darstellungen (^') der Form cp' durch /" bekommen, indem wir die sämtlichen modulo h in- kongruenten Systeme {\, b,, . . ., h„_i) aufsuchen, welche diese Kongruenzen erfüllen, und für jedes dieser Systeme die sämtKchen eigentlichen Darstellungen (#') bestimmen, welche zu dem- selben gehören. Für ein bestimmtes gegebenes System (&J (mod h) kann dies auf folgende Weise geschehen: Wir bezeichnen die ganzen Zahlen b durch &,^ und untersuchen die Form 1 = 1 «, k—i. Diese Form geht mit Hilfe der Substitution w-l ^-V-^^iVn, In-V^ (A=l,2,...,w-1) A = l in eine Form 71-1 So-W+^'-f'ViVk i. k=l über. Wir ersehen hieraus, daß die Determinante von JB gleich (— l)^-^„_i I ist. Femer gilt ^^— — ^ — = (— 1)^-^„_2*V*7 ^^^ ^i^' setzen n — t, n — k ^ = (- ^y-d„_,-b' und 1^ = (-iy-d^.,-h;. Aus den vorhergehenden Sätzen leuchtet ein, daß wenn die Form B der Form f nicht äquivalent ist, keine eigentlichen, zu der Wurzel (&J der Kongruenzen (50) gehörenden Darstellungen der Form ^' durch /" existieren. Sobald aber B <^ f ist, so wird auch die zu B adjungierte Form B' der Form /" äquivalent sein und sich schreiben lassen -B'=^&.;^;^;+ 2^6,1/1'+ &'r^ «,*=i 102 Zur Theorie der quadratischen Formen. Eine jede Substitution n-l k = l von der Determinante 1, mit deren Hilfe die Form /" in B' übergeht, liefert dann eine eigentliche Darstellung n-l (#'): <=^^/*^; (i=l,2,...,n) von q)' durch f, und wir gelangen, indem wir sämtliche verschiedenen Substitutionen (t') von der Determinante 1 bilden, durch welche /" in B' transformiert wird, zu allen überhaupt möglichen Darstellungen {d-^'), welche zu der Wurzel (&J gehören, und zwar zu einer jeden dieser Dar. Stellungen ein einziges Mal. Denn wir haben gesehen, daß zwei ver- schiedene Transformationen (t') niemals die gleichen Koeffizienten ^•^^ darbieten können. Kap. XVIII. Index, Ordnung und Genus der durch eine Form von n Variablen darstellbaren Formen von n — 1 Variablen. n Es sei eine primitive Form f ^^^ o,i}.0Ci:t/. von einem Index /, einer i,k = l Ordnung 0 : i ''] und einem Genus G gegeben, und es möge die Zahl b . \oJ vermittels eines Systems durch f dargestellt sein. Da die Koeffizienten a.., 2a.,. sämtlich durch (?, teilbar sind, wird die Zahl & den Faktor 6^ enthalten. Es bedeute d das Vorzeichen der Zahl & und m den absoluten Wert von — Dann wird h = d -a.m. Wir betrachten insbesondere Zahlen &, für welche die Größe m zu der Deter- minante A von f relativ prim ist. Wir nennen den größten gemeinsamen Teiler T der n Zahlen n T. =^] a^tj^ den Teiler der Barstellung {t), und sagen, eine Darstellung (t) k = l sei primär, wenn ihr Teiler T gleich 1 ist. Eine primäre Darstellung ist stets eigentlich; denn der größte gemeinsame Teiler t der n Zahlen tg. geht in allen Summen T^ und folglich auch in der Zahl T auf. Ist daher T= 1, so wird auch der Teiler t der Einheit gleich sein. — Aus den Gleichungen (48) erhellt, daß der Teiler T der Darstellung (t) in den sämtlichen Zahlen &, &i, 62, . . ., &„_i aufgehen wird. Andererseits erkennen Grundlagen för eine Theorie der quadratischen Formen. 103 wir aus den Gleichungen (51), daß der größte Teiler der Zahlen h, h^ in den sämtlichen Zahlen T^ aufgeht. Es stimmt demnach der Teiler T der Darstellung (t) mit dem größten Teiler der Zahlen h, b^ überein. Die Kongi-uenzen & = 0, &,. = 0 (mod T) ergeben unmittelbar A = 0 (mod T). Folglich wird, falls die Zahl tn zu A relativ prim sein soll, der Teiler T in 6^ aufgehen, und eine [[eigentliche]] Darstellung (f) der Zahl h wird stets primär sein, außer in dem Falle, daß öj = 2, w = 1 (mod 2) ist und die Zahlen T,. alle gerade ausfallen. Der Darstellung (t) der Zahl h durch die Form f ist eine Darstellung (■&•') n-l einer Form 9 ' = / &a 1/ ^i' ^^^ ^^^' Determinante (— iyd^_^-b durch i,k = l n die Form f'=y' O'ii^i^k adjungiert. Wir wollen die Beziehungen unter- (, it = 1 suchen, welche zwischen den Indizes, den Ordnungen und den Genera der Form (p' und der Form f bestehen. Index der Form q)'. Nach dem Satze Q. (Kap. XV) muß der Index der Form (f' gleich 1 oder 7—1 sein, je nachdem die Zahl h positiv {8 = 1) oder negativ (d = — 1) ist. Da der Index einer Form von w — 1 Variablen stets zwischen den Grenzen 0 und n — 1 eingeschlossen ist, wird die Form (f ' niemals durch die Form f darstellbar sein, wenn 7=0 und & < 0 oder I = n und b>0 ist. Ordnmig der Form q>'. Es sei der größte gemeinsame Teiler der sämtlichen Koeffizienten bU der Form (p' gleich e\ und es seien e/, e/, .,., e^_^ die Invarianten o und T^', Tg', . . ., T^j'_, die Invarianten 6 der primitiven Form ^- Es gilt als- dann die Beziehung (55) e^K-^m = e'^-^-e/"- V'-'- • • <-,■ Wir bezeichnen durch q ^ q'' die höchsten Potenzen einer Primzahl q, welche in den Größen e', e/ aufgehen. Wir wollen jetzt die Zahlen s', e^ durch die Zahlen o,' ausdrücken, 1. Es bedeute zunächst q eine in m aufgehende Primzahl. Wäre die Größe e' oder eine der « — 3 ersten Invarianten c^', c,', .. ., ej_3 durch diese Primzahl q teilbar, so müßten die sämtlichen ganzen Zahlen c,i = (— l)^-j7 g, , ' gleichfalls durch q teilbar sein, und die n Gleichung (53) gäbe //ojj oder A = 0(modg), was gegen unsere Voraus- 104 Zur Theorie der quadratischen Formen. Setzung streitet, daß die Zahl m zu A relativ prim ist. Wir finden sonach für jede in m aufgehende Primzahl «'== 0; e^= 0, e^= 0, . . ., f„'_3= 0. Wegen (55) wird dann die Größe g-'w-s der größten Potenz von q gleich sein, welche in 6^in oder in h aufgeht. Indem wir dieses Resultat für die sämtlichen in m enthaltenen Primzahlen q anwenden, erkennen wir, daß die Invariante e^_2 durch m teilbar sein muß. 2. Es bedeute jetzt q eine ungerade Primzahl p, welche nicht in m aufgeht. Da die Zahl h alsdann zu p relativ prim ist, so können wir die Zahlen (h^, h^, ..., &„_i), zu welchen die Darstellung (d-') gehört, so wählen, daß sie neben den Kongruenzen (50) für den Modul h noch den weiteren Kongruenzen b,^0, b,^0, ..., &„_x^0 (modpO für irgend einen Modul p*(>^''n-i^)) genügen. Es wird alsdann und die Form B besitzt für den Modul p' einen Rest b, 0 ,..., 0 B 0, o.e. 'l%n-l 0, 0. c ' } • • • } , (modpO- Schlüsse, welche denen von Kap. III ganz analog sind, zeigen jetzt, daß die Form ^ c^il,!* primitiv in bezug auf p sein muß und daß die höch- i,k=l sten in den Invarianten o dieser Form aufgehenden Potenzen von p bzw. gleich pK-2, pK-3, . ■ ., p'"i sind. Andererseits müssen diese Potenzen gleich p'^-2, p'n-s, ..., p'i sein; denn die Form {c,.^} ist ein Multiplum der zu ^ adjungierten Form. Wir gewinnen also die Beziehungen ^1 = ß^i'; ^2'= ^2> • • • ; ^« -2 = ^n -2 • Indem wir jetzt diese Werte der Zahlen e^' in die Formel (55) einführen, finden wir noch «'=0. Die Form qp' muß also in bezug auf ^ primitiv sein, 3. Es möge endlich die Primzahl q gleich 2 sein. Gemäß unserer Annahme, daß die Zahl w zu A relativ prim sei, werden wir die beiden FäUe m = 1 (mod 2) und m = 0, A = 1 (mod 2) zu untersuchen haben. I. Wir betrachten zunächst den Fall m = 1 (mod 2). ((?!=!). Ist in diesem FaUe 6^=1, so wird die Zahl b ungerade sein, und wir können infolgedessen die Zahlen (&i, &2j • • ■> ^n-i); ^^ welchen die Darstellung (&') gehört, so wählen, daß sie neben den Kon- gruenzen (50) nach dem Modul b noch den Kongruenzen Grundlagen für eine Theorie der quadratischen Formen. 105 \=0,K = 0, ...,h„_^=0 (mod20 for irgend einen Modul 2' {"> 0^_.^-2'n-i^^^) genügen. Alsdann wird o^c-j^ = hh^j. (mod 2^ und folglich B^ ^6, 0, " y • • ' 7 Oj^Cjj o,c. 0 0, '\^n-l, n-1 (med 20- n-l Aus diesem Rest Ton B ersehen wir, daß die Form > CjX.%^ zu 2 primitir I. it=i ausfallt, daß die Zahlen «', £^' durch die Gleichungen (56) :'= 0, £/= ö/, £3'= Cj/, . . ., f,;. -s gegeben sind und daß die Potenzen ^„'_j-2^''-i mit den kleineren der Potenzen <-*-2'*-S <_,_,. 2^. übereinstimmen oder, was auf dasselbe hinauskommt, daß die Invarianten 6'^ _j mit den kleineren der je zwei Zahlen übereinstimmen. Wir woUen nun annehmen, daß die y^ — 1 (1 ^ '^ ^ ♦*) ersten der Größen cd^, nämlich (Dj, ö^, . . ., cj^ _j gleich NuU seien, während die x^ dieser Zahlen, a^ , von Null verschieden sei. Alsdann ist nach Kap.IV 6^= 1, ög = 1, . . ., ö,^!i= 1; ö^= 1. Die Größe r;_j_i.2"i ■""«+■'"'* wird für h<,x^ gleich t„'_^_i und für h^x^ größer oder gleich 2r^_^_i^T^_^. Für h > X, ist daher immer (?' . = t' .. Die Relationen (56) ergeben Die Xj — 2 letzten Invarianten t/ können infolgedessen nach den in Kap. IV gegebenen Sätzen nur die Werte (57i) oder die Werte (57,) annehmen. ■•«-zi + i ^} ^«-Zi+2 — Ij ^n-Xi + l ~ ^i ^n-Xi + 2 ~~ ^> = 1 = 2 Der letztere Fall (572) ist an die Bedingungen Xj — 1 = 0 (mod 2) und Jt, — 1 > 0 gebunden. Wenn also Xj = 0 (mod 2) und auch wenn x^ = 1 wird, erhalten wir stets r/ = 1, so sind die Fälle (57,) und (57g) alle beide möglich. 106 Zur Theorie der quadratischen Formen. Der zweite dieser Fälle tritt offenbar nur dann ein, wenn die Invariante ■^«-2 gleich 2 ist, d. h. wenn die Zahlen alle kongruent 0 (mod 2) sind, oder, was auf das nämliche hinauskommt, wenn die n — 1 Kongruenzen (58) . &, E= &. . (mod 2) [&=l(mod2)] gelten. Wir können voraussetzen, daß der Rest f (mod 2) von der in Kap. III angegebenen Gestalt f^^^-^ ist. Geht dann /" durch die Substitution n-l (0: .^, = a+2^/1* (i=l,2,...,n) k=l in B über, so wird h. = \^^ -f. ^2^2' + • • • + ^.,^.% \i ^ ^1 + ^2 + ••• + < (mod 2), und der FaU (öTg) ist durch die Bedingungen (59) (^^_l)^^^X^2_l)^2^ + ...+ (^^-l)^^; = 0(mod2) («=l,2,...,w-l) gekennzeichnet. Zu diesen Kongruenzen können wir noch die Kongruenz (60) (t, -l)t,+ {t, _ 1)^2 + • • • + {K - 1) K ^ ö ('^«^ 2), die wegen ^^(^^^— 1) = 0 (mod 2) evident ist, hinzufügen. Da die De- terminante der Substitution (t) ungerade (=1) ist, können die x^- reihigen Unterdeterminanten des Systems \h,K,^n',---,^r'\ (/^=l,2,...,x,) nicht sämtlich gerade sein. Demnach gibt es unter den n Kongruenzen (59), (60) Pfj, deren Determinante ungerade ist. Lösen wir dann diese 7i^ Kongruenzen nach den %^ Größen t^— \, t^ — 1, . . ., ^^ — 1 auf, so bekommen wir ^,-1 = 0, i^2 - 1 = 0, . . . , ^^^ - 1 E= 0 (mod 2). Man erkennt also, daß die Kongruenzen (58) die einzige Lösung ^, = 1, t,^l, ..., t,^^l (mod 2) zulassen. ((?^ = 2.) Es sei jetzt ö^ = 2 und mithin h = d • 6^m ^ee 2 (mod 4)_ Die n — 1 Zahlen (b^, \, . . ., &„_i) sind dann entweder aUe gerade, oder es befinden sich unter ihnen auch ungerade Größen. Im ersteren Falle n wird T^ =^ a./^t^ = 0 (mod 2) (« = 1, 2, . . ., n), und folglich ist die ge- gebene Darstellung (f) der Zahl h nur im zweiten Falle primär. Wir wollen annehmen, von den Größen C3,^ seien die J«i— 1 (1^ J«i^w) ersten, nämlich a^, co^, ..., «;. _i; gleich Null, während die y.^^ dieser Grundlagen für eine Theorie der quadratischen Formen. 107 Zahlen, a^ , von Null verschieden sein möge, und wir wollen annehmen, daß der Rest f (mod 4) von der in Kap. III angegebenen Gestalt /"^^^^ sei. Dann gelten die Kongruenzen ^1 = hy ^2 — ^l; ^3 = hf -^4 — ^3> ■ • ■} ^Zi-l = K^} ^y.^ — %-i5 J, = 0 (mod 2) Qi > Xj), und es werden die Zahlen T^ nur dann sämtlich gerade ausfallen, wenn t^ = 0, U = 0, . . . , t^^ = 0 (mod 2) wird. Diese Kongruenzen bilden demnach die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß die w — 1 Zahlen h,^ sämtlich durch 2 teilbar werden. Diese Kongruenzen sind jedoch mit der Annahme 6 = 2 (mod 4) nur in dem Falle verträglich, daß 2"'^iö^^^i = 2 und also 2"^» = 2, 6^_^_^ = 1 wird. In der Tat, ist 2''''»^^ ^j = 0 (mod 4), so sieht man leicht, daß in dem Rest /"= 0(i) + 2"'^'/'(^>)'(mod 4) aUe Koeffizienten 2'"''^a^^^, r'^^2ai^^r) kongruent Null (mod 4) werden. Infolgedessen ist eine jede Zahl b, welche durch f vermittels gerader Zahlen ti, f.,) ■ ■ • }^x dargestellt wird, durch 4 teilbar. Wenn von den n — 1 Zahlen h^, h^, . . ., 6„_i einige ungerade aus- fallen, so werden sich auch unter den Zablen c,.^= — ( — 6,"+66,-,) ungerade 7i-l Größen befinden. Die Form O ==^,Cjil,ii wird daher in bezug auf 2 pri- j, * = 1 mitiv ausfallen und sich in einen Repräsentanten 0 c 11' • • •' ^1, n-2 verwandeln lassen, in welchem c*^; 1 (mod 2) ist und die Koeffizienten Cj*, . . ,, c*_„ kongruent Null nach einem Modul 2'(>ö„_i- 2""-!^^^) sind. Bedeutet M den größten Teiler der sämtlichen Koeffizienten von 0, so wird die Form -^rj- der Form ^ adjungiert sein. Wir wollen durch ^ die zu i>- adjungierte Form bezeichnen. Dann ist die Form q)' der Form g>' äquivalent. x4.nstatt der vorliegenden Darstellung (9-') der Form tp' durch f können wir jetzt irgendeine äquivalente Darstellung (ß-') der Form q)' durch f betrachten. Für diese Darstellung (&) möge anstelle der Form B eine Form n-2 n-8 I = 0 j, i- = 0 treten. 108 Zur Theorie der quadratischen Formen. Wir erhalten die Gleichungen Da wir & = 0 (mod 2) und c* = 1, c^.* = 0 (mod 2) Yorausgesetzt haben, ergeben sich die Kongruenzen &o=l; &,^0, ...,&;_2^0 (mod 2). Die Darstellung (ß-') bestimmt nur die Reste der Zahlen b- nach dem Modul 6 [= 2 (mod 4)]. Wir können daher die Zahlen so wählen, daß sie den Kongruenzen ^i^^i*, •••, k-2^c^-, (mod2'+0 genügen. Alsdann werden wegen b^b^ ^'K = o^cf' die Kongruenzen 6(j^ = 0 (mod 2') und wegen bj)^— b • &,i= — o^c* die Kongruenzen cf^^O, 2cJ| = 0 (mod 4) statthaben, und die Form B wird für den Modul 2' einen Rest b, b, ^0} ^00 B~ 2_H 6 ' 'l*-!,».-! ^1 ^n - 2, 1 'l''n-2,n-2 (mod 2') 0,C liefern, in welchem 6 = 0, ft^, = 1, ft^j, = 0, -™ = 0 (mod 2) ist. Dieser Rest von B zeigt, daß die höchste in allen Koeffizienten c. der Form /, c^*!,!^ aufgehende Potenz von 2 gleich 2'"«-2 + ^ ist, sowie ^' daß für die in bezug auf 2 primitive Form die Invarianten. 2«(2) gleich 2"'"-3, . . ., 2*"^' und die Invarianten 6 gleich ö,'_3, . . ., ö/ sind. Indem wir dieses Resultat auf den Rest der Form Ö (mod 2') an- wenden, erkennen wir, daß die Invarianten 2'"(^^ dieser Form gleich 0^. 2"^»'-'^, 2"'«-3, . . ., 2"'i' und die Invarianten 6 dieser Form gleich &'„_ir ö^_3, ..., "^2 "^ ^2? • •> "^n-Z '^ ^7!-3> ^n-2 ~ *^ _2 == 1- Grundlagen für eine Theorie der quadratischen Formen. 109 Führen wir diese Werte der Zahlen f/ in die Relation (55) ein, so finden wir noch f' = 0. II. Wir betrachten endlich den FaU, in welchem ?n = 0 (mod 2) und A = 1 (mod 2) ist. Es sei 2' die höchste in m aufgehende Potenz von 2. Wir sahen in 1., daß die Zahlen s', £^' durch die Gleichungen £'=0f'=0 £ ' = 0 e' ,=0 ^*"-2 = 0 . '?" t \J, t^ yj, Co \J, . . ., c„_3 ^7 - "l - gegeben sind. Wir haben sonach nur noch die Invarianten r/ zu bestimmen. Die letzte dieser Invarianten, t,|_2, wird, da 2'"-2 ^ 2 ist, stets gleich 1. Die übrigen ti — 3 Invarianten r^' müssen nach den in Kap. IV gegebenen Sätzen entweder die Werte oder die Werte Ti'=2, T2'= 1, ..., <_3 = 2 erhalten. Der letztere dieser beiden FäUe ist an die Bedingung w — 2 ^ 0 (mod 2), also n ^ 0 (mod 2) gebunden. Außerdem muß, wie wir leicht einsehen, eine jede Invariante t/ die entsprechende Invariante 6^ als Faktor enthalten. Wir gewinnen daher das folgende Resultat: Wenn w = 1 (mod 2) wird, in welchem FaUe stets 6^= 1, ^2'= 1, •• •, ö^_2 = 1, <_i = l ist, so haben wir r/^ 1, r2'= 1, ..., r^.g = 1, r,;_2 = l; wenn dagegen « = 0 (mod 2) ist, so wird, faUs ö/= 1, 6^=-\^ ..., tf„'_2= 1, <_i = 1 ist, entweder r/= 1, t,'= 1, . . ., <_3= 1, <_2= 1 oder ri'= 2, t,' = 1, . . ., x'^_^ = 2, x'^_^ = 1, und falls (?/= 2, ö/= 1, • ■•, 1 ist, die Gleichungen 2 110 Zur Theorie der quadratischen Formen. (H) Ti = 6^, Tq = 6^ ?' = 1 ö' =1 ■'«-Xi + 1 ^i "n-Xi + 2 ^> • 7 ^.- J^i = Ön- -y-x^ ? t -3 = 1, t ■^n- -2 ~ 2, ? < -3 = 1, <- -2 ^ 1, oder, falls x^=n, (?j = 1, m = x^ = 0 (mod 2), Xj > 2 ist, die Gleichungen t^ = J, Tj = 1, . . ., Tj^_3 = 2, ^n-2 ^^ 1? = 1 ''1'= I7 ^2'= 1> ■ ■ -f ^'n-i 1, <-2 (H) erfüllen. Wir wollen die Ordnung der Form 9?', je nachdem die Gleichungen (I) oder (II) statthaben, durch 0/(h) oder durch 0//(&) bezeichnen. Sei jetzt (p die der Form q/ adjungierte Form. Aus dem obigen n—l n—X Satz erhellt, daß (p gleich ^c^^li^j, oder gleich — ^c.^|.|^. sein wird, je i, k=l f, A- = 1 nachdem die Zahl h positiv oder negativ ist. Wir können daher n-l q) == d • ^^ ^ik'^i^k setzen, und die Form g) wird primitiv sein und der i,k = l Ordnung (' ' '\ y .' P'j' '^ K-2=Ö„_2-ÖlW] '^/j-27 Si-3» • • •> '^l / angehören. Wir wählen die Form q)' in ihrer Klasse so aus, daß g) einen Haupt- rest für den Modul h vorstellt. Dann wird d ■ (p = c* Ci* ^2 ; • • 7 C2 c*, ^5; ''12? • • > 4,n-2 f, * ^22' • • 7 V n-2' n-2,1' n-2,2' •••' ra-2,n-2/ ^c* 0, 0, ..., 0^ 0, 0, 0, ..., 0 0, 0, 0, ..., 0 (mod &), 10, 0, 0, ..., Oj wo c* zu h relativ prim ist, und den -^-^ — - Kongruenzen (61) — OiC* = V(mod&), - o^c^ ~\l^{mQ^})), - o^ c* = &.&^ (mod &) (i,jt = l, 2, ...,n-2) kann nicht anders genügt werden, als wenn man (62) _o^c* = V (mod&) und &,^0, 62^0, ..., &„_2^0 (mod&) i hat. Es wird daher die Anzahl der sämtlichen inkongruenten Systeme ' (60, 2'i, •••,&„_ 2) (mod &), welche den n{n — 1) Kongruenzen (61) genügen, Grundlagen füx eine Theorie der quadratischen Formen. 111 mit der Anzahl der inkongruenten Lösungen ö^, (mod h) der einzigen Kongruenz (62) übereinstimmen. Diese letztere Anzahl ist, sobald die Kongruenz {ß2) überhaupt keine Lösungen besitzt, gleich Null, dagegen wenn die Kongruenz (62) lösbar ist und wenn in der Zahl h im ganzen ^i ungerade Primzahlen p aufgehen, gleich 2", falls & ^ 1 (mod 2) oder b ^2 (mod 4) ist, oder gleich 2" + ^, wenn 6^4 (mod 8) ist, oder gleich 2" + 2, faUs & = 0 (mod 8) ist. Genus der Form cp'. Wir wollen jetzt zeigen, daß die Form qp' nur einem einzigen Genus G-/(b) oder Gn{b) der Ordnung 0/(h) resp, Ou{h) angehören kann und daß die Charaktere dieses Genus völlig durch die Charaktere des Genus G^' der Form f bestimmt sind. Vergleichen wir zu diesem Zweck die Charaktere der Form ; Qi £n-2) und (- 1)^ . jB;_^ = A = d • tn. Die Größe ( — l)'^ • T^_29',^i9 stimmt mit dem Koeffizienten c* der Form ö ■ cp über- ein, so daß wir die Kongruenz (62) auch (63) - (- 1)^ • OjT„'_29P;_2 = V (mod ö^h) schreiben können. 1. Bedeutet zunächst q eine ungerade Primzahl p, welche nicht in h und nicht in A aufgeht, so besitzt weder die Form qp' noch die Form B' einen Charakter C^. 2. Zweitens sei q eine ungerade Primzahl p, welche in h aufgeht und mithin zu A relativ prim ist. Alsdann besitzt die Form B' keine Charaktere C^, während die Form 95' den einzigen Charakter (^^^^) liefert, welcher wegen der Kongruenz (63) den Wert ( ~ ^~ ' ' ^^^"-^t erhält. 3. Wenn drittens q eine ungerade Primzahl p ist, welche in A auf- geht und mithin zu & relativ prim ausfällt, so stellt die Form B' eine Grundform für den Modul p vor, sobald wir für 9' eine Grundform für diesen Modul genommen haben. Es besitzt die Form cp' einen Charakter \~p) ' ^^'"^ ^^® Invariante e/ durch p teilbar ist, und die Form B' einen -~), wenn die Livariante 0/ durch p teilbar ist. Nun ist 112 Zur Theorie der quadratischen Formen. offenbar ein jedes e/ Qi ■^n — 2) dann und nur dann durch p teilbar, wenn das zugehörige 0/ durch p teilbar wird. Demnach zieht ein jeder Charakter (— ^) einen bestimmten Charakter /-* | nach sich, und es sind diese beiden Charaktere wegen 6^B,[ = x^(p/^ gegenseitig durcheinander gleich \ -j sein. 4. Endlich untersuchen wir die Charaktere für einen Modul q* = 2K I. Es möge zuerst w = 1 (mod 2) sein. Gehört dann die Form cp' zu der Ordnung 0/(b), gelten sonach die Beziehungen <3j^=r^ Qi^n — 2'), so stimmen die Zahlen cp^ mit den entsprechenden Größen B,l überein, und es werden die Größen T^'_ie/T^'^j Qi ^n — 2) nur dann den Faktor 4 oder 8 enthalten, wenn die entsprechenden Größen 1 oder (?i = 1 , m = x^ = 0 (mod 2), x^ > 2 ist, außerdem ein bestimmtes Genus G^^(&) definiert haben. Wir verschaffen uns jetzt ein vollständiges System von Formen cp' für das Genus GUb) und, falls das Genus Gjj(h) zulässig ist, auch für das Genus G^^{h). Als- dann wird jeder primären Darstellung der Zahl b durch eine der Formen f eine einzige Gruppe von Darstellungen einer einzigen dieser Formen qp' durch eine der Formen f adjungiert sein. Wir erhalten mithin sämtliche möglichen primären Darstellungen der Zahl b durch die /", indem wir für jede der Formen cp' die sämtlichen nicht-äquivalenten Gruppen von Dar- stellungen durch die Formen /" aufsuchen. Für eine bestimmte Form cp' = {b^j^} kann dies auf folgende Weise geschehen: Wir denken uns der Einfachheit halber (p' so angenommen, daß die ihr adjungierte Form cp = ^'{Cij} einen Hauptrest für den Modul b vor- stellt, und bezeichnen durch f— 1)^- <^Tr^'_2 9'„'_2 ^^^ ersten Koeffizienten dieser Form cp. Infolge der besonderen Wahl des Genus G'^(b) oder zu- treffendenfalls des Genus Gj^(b) ist gewiß die Kongruenz auflösbar, und wir schließen hieraus mittels der in Kap. XVIII gegebenen Sätze sofort, daß auch die — ^-- — - Kongruenzen (50) -o^Ciy=bib,^ (mod&) lösbar sein werden. Es sei N die Anzahl der sämtlichen inkongruenten Lösungen (b^^b^ • • •? ^«-i) (modo) dieser Kongruenzen. Enthält der Modul b genau ii verschiedene ungerade Primzahlen, so ist die Zahl N, wie wir sahen, gleich 2", wenn &=1 (mod 2) oder b^2 (mod 4) ist, gleich 2" + ^, wenn & = 4 (mod 8) ist, und gleich 2" + ^, wenn & = 0 (mod 8) ist. Eine jede Gruppe von eigentlichen Darstellungen der Form cp' durch eine der Formen f^, f^, • • -ttg ^i^ß jetzt zu einem und nur zu einem dieser N inkongruenten Lösungssysteme (ft^, b^, . . ., &„_i) (mod b) der Kongruenzen (50) gehören. Um die Darstellungen von q)' zu finden, welche zu einer bestimmten dieser N Wurzeln (b^, b^, . ■ ., &„_i) gehören, können wir folgendermaßen vorgehen: Wir setzen , , , OiCjk + Oih _ 7, b ' ~ ^»* und n-l n-l B^bi'^2^bMi+2b,,U. i,k=l Grundlagen für eine Theorie der quadratischen Formen. 115 Da wir gezeigt haben, daß der Index, die Invarianten und die Cha- raktere des Genus G' auf eindeutig bestimmte Weise durch den Index, die Invarianten und die Charaktere des Genus G'^Q)) oder des Genus Gjj{b) dargestellt werden können, muß jetzt das Genus der Form B mit dem gegebenen Genus G identisch sein. Daher besitzt die der Form B adjun- gierte Form die Gestalt «,Ä=i «=i und gehört dem Genus G' an. Diese Form B' wird daher einer und nur einer der g Formen f^', f^, -••ifg äquivalent sein, die wir mit /" bezeichnen wollen. Es gibt dann keine Darstellung von 9)' durch eine der übrigen g — 1 von f verschiedenen Formen fl, welche zu der Wurzel (&J gehört. Dagegen sind wohl Darstellungen von 95' dui'ch die Form f vorhanden, welche zu der Wurzel (bj) gehören, und es liefert eine jede Substitution n-l von der Determinante 1, welche die Form /"' in B' verwandelt, eine der- artige Darstellung (^'): <-^^'i'li (i = l, 2,...,n) i = l der Form 9' durch f. Ferner ist aus Kap. XVII bekannt, daß zwei ver- schiedene Transformationen (^') von /' in B' stets zu zwei verschiedenen Darstellungen von g)' durch f führen. Infolgedessen ist die Anzahl der sämtlichen verschiedenen Darstellungen von tp' durch /", welche zu der gegebenen Wurzel (&J gehören, gleich der Anzahl der verschiedenen Substitutionen von der Determinante 1, welche die Form f in B\ oder, was auf dasselbe hinauskommt, welche die Form f in sich überführen. Diese sämtlichen Darstellungen lassen sich dann in eine gewisse Anzahl B nicht-äquivalenter Darstellungsgruppen verteilen. Eine jede dieser B Gruppen enthält genau soviel verschiedene Darstellungen ('S"'), als man verschiedene Substitutionen von der Determinante 1 bilden kann, durch welche die Form qp' in sich selbst übergeht. Den B verschiedenen Gruppen von Darstellungen der Form 9)' durch f sind endlich B ver- schiedene Darstellungen der Zahl 6 durch die Form f adjungiert, welche alle zu der Wurzel (6^, &2, • • •; &„-i) gehören. 116 Zur Theorie der quadratischen Formen. Kap. XX. Maß eines positiven Genus. — Maß der Darstellungen einer ganzen Zahl durch die Formen eines positiven Genus. Wir wollen jetzt unsere weiteren Untersuchungen auf den Fall 1=0, d. i. auf den Fall positiver Formen f und /" beschränken. Die Anzahl der ganzzahligen Substitutionen von der Determinante 1, vermittels deren eine positive Form f in sich selbst übergeführt werden kann, ist, wie man weiß, stets eine endliche. Wir bezeichnen diese Zahl durch t(f). Die Größe t(f) nimmt, wie man weiß, für alle Formen f derselben Klasse den gleichen Wert an. Ferner erkennt man leicht, daß für zwei adjungierte Formen f und f die Größen t(f) und t(f') gleich sind. In der Tat, wird die Form f durch eine Substitution S in sich selbst transformiert, so geht die Form f nach den in Kap. XII aufgestellten Sätzen durch die adjun- gierte Substitution S' in sich selbst über. Die Größe 77^ heißt das Maß der Klasse/"*). Bedeuten fiyf^, ••■,(, verschiedene Formenklassen, so wird die Summe der Maße der einzelnen Formen/^ das Maß des Klassensystems fi,f^, ■ • -, fy genannt. Zum Beispiel ist das Maß eines Genus G die Summe der Maße aller in diesem Genus enthaltenen Klassen und das Maß einer Ordnung 0 die Summe der Maße aller in dieser Ordnung enthaltenen Klassen. Hiernach ist das Maß einer Ordnung 0 gleich der Summe der Maße der sämtlichen in dieser Ordnung enthaltenen Genera G. Durch eine positive Form f können nur positive Zahlen h dargestellt werden, und durch eine positive Form f können nur positive Formen tp' dargestellt werden. Wenn eine Zahl h vermittels eines Systems x^ = t^ durch eine Form f dargestellt wird, so wird die Größe jtk als das Maß dieser Darstellung bezeichnet. Wenn mehrere Darstellungen (t) einer oder mehrerer Zahlen h durch eine oder mehrere Formen f vorliegen, so wird die Summe der Maße aller dieser einzelnen Darstellungen (ß) das Maß des ganzen vor- liegenden Systems von Darstellungen genannt. Hat man beispielsweise R verschiedene Darstellungen derselben Zahl h durch dieselbe Form /", so wird T7f- das Maß dieser Darstellungen sein. Wir betrachten jetzt wieder den Inbegriff der sämtlichen primären Darstellungen einer Zahl h = d • 6^m\^ 6^q)^Z^ {modi öqO^g^, m relativ prim zu A] durch ein vollständiges System von Formen f\, f%i • - -■, fg eines *) Eisenstein, Grelles Journal, Bd. 35. [[Math. Abhandlungen, S. 180.]] Grundlagen für eine Theorie der quadratischen Formen. 117 Genus G. Aber wir wollen jetzt die Zahl h und das Genus G als positiv Toraussetzen (d = l,/ = 0). Es sei wiederum g;' irgend eine Form aus dem Genus 6r^(&) oder auch, falls 6^=\, m ^x^^l (mod 2), x^ > 1 oder 2 ist, aus dem Genus Gjj(b)y und es be- deute 9'={c,i} die zu cp' adjungierte Form. Aus jeder Lösung der n(n — 1) ^^ — ^^— Kongruenzen (50) — Ol c,i = &j6j (mod h) entspringen (nach Kap. XIX) K = tt^^ verschiedene Darstellungen der Zahl h durch eine bestimmte Form f aus der Reihe der g Formen t\, f^} ■ • ■, fg- Für das Maß Mq dieser R Darstellungen erhält man daher Die Größe 3Iq ist also gleich dem Maße der Form qp' und fällt demnach unabhängig von der besonderen Form f aus. Infolgedessen liefert jede der verschiedenen Wurzeln (ft^, &2, • • •, &„_i) der Kongruenzeu (50) ein gleiches Maß von Darstellungen der Zahl b durch die Formen des Genus G. Es ist dieses eben derjenige Umstand, durch welchen die Einführung des Maßbegriffes der Formen und Darstellungen eine so hohe Bedeutung ge- winnt. Das Maß aller Darstellungen von 6, welche zu den N verschiedenen N Wurzeln der Kongruenzen (50) gehören, wird nun offenbar gleich -^^r, d.i. gleich dem N- fachen Maße der Form g:'. Demgemäß wird dann das Maß aller derjenigen Darstellungen von &, welche aus den verschiedenen Klassen qp' des Genus Gj{b) oder zutreffendenfalls des Genus G'jjiV) ent- springen, gleich dem N- fachen Maße aller Formenklassen des Genus Gj{b)j resp. des Genus Gjj{b), d.i. gleich dem N -fachen Maße des Genus Gj{b), resp. des Genus G^Jb). Wir gewinnen dadurch den folgenden Satz: Das Maß aller primären Darstellungen einer Zahl b = ö^m (m relativ prim zu A) durch die verschiedenen Formen /" des Genus G ist im all- gemeinen gleich dem N -fachen Maß des Genus (r^'(6) und im besonderen, wenn tf, = 1, w = Xj (mod 2), Xj > 2 wird, gleich dem N- fachen Maß der beiden Genera Gj{b) und G'j^ib). Kap. XXI. Über die Anzahl der Darstellungen einer ganzen Zahl durch eine Summe von fünf Quadraten. Die Anwendimg des zuletzt gewonnenen Resultates auf den Fall n = b, A = 1 verschafft uns einige interessante Sätze über die Darstellung von ganzen Zahlen durch eine Summe von fünf Quadraten. 118 Zur Theorie der quadratischen Formen. Bekanntlich bilden die positiven Formen mit fünf Variablen von der Determinante 1 eine einzige Formenklasse, welche durch die Form /^ == 3?]^ ~r ^2 ~T~ "^3 ~r ^4 "F ^5 repräsentiert werden kann. Diese Form f gehört dem einzigen Geschlecht G der Ordnung ^ /01=1, (?2 = 1, ^3 = 1, ö,= l\ ^^^ \Ol = l, 02 = 1, 08 = 1, 04=1/' an, und sie repräsentiert zugleich, da alle Formen dieses Grenus die Deter- minante 1 besitzen müssen, die einzige Klasse dieses Genus. Der Form f ist die Form adjungiert, welche mit f identisch ist. Das Maß der Klassen f und f oder des Genus G ist, wie man ohne weiteres erkennt, gleich 111 1-2-3.4-5-2« 2''-3-5 1920 M^ Bezeichnen wir für einen Augenblick die Anzahl der sämtlichen Systeme x^ ohne gemeinsamen Teiler, welche einer Gleichung f{x^) = m genügen, mit (m\, so ist das Maß der eigentlichen Darstellungen einer Zahl m durch eine Form des Genus G gleich -^ . Da A = 1 ist, so wird eine jede beliebige Zahl m zu A relativ prim, und es können die Größen ^=^ nach dem in Kap. XX bewiesenen Satze durch das Maß des einen Genus G'jim) oder der beiden Genera Gj{m) und Gj^(m) von Formen mit vier Variablen ausgedrückt werden. Wir haben infolgedessen, um zu einer Kenntnis der Größen {m)r, zu gelangen, nur die Maße dieser Genera auf- zusuchen. Die Form f ist ein Hauptrepräsentant für den Modul 2; es ist 6^==\ und ;cj = 5 ^ 1 (mod 2). Wir müssen demnach für eine Zahl m die Dar- stellungen x^= t(, in welchen die fünf Zahlen t^ nicht alle ungerade sind, und die Darstellungen x- = t-, in welchen ^^ = ^2 — ^3 — ^4 — ^5 ^ 1 (mod 2) ist, voneinander unterscheiden. Die Darstellungen (t) der ersten Art sind mit Darstellungen von primitiven Formen q)' des Genus Tj = i , Tg = 1 , Tg =1 1, 62'=!; 63'= m, adjungiert, während die Darstellungen (t) der zweiten Art mit Darstellungen primitiver Formen 9?' des Genus Pj = 2, Tj = 1, Tg = 2 p ' = 1 p' = \ adjungiert sind. Bezeichnet N die Anzahl der Lösungen der Kongruenz G;{m): ('\ \'\ |'<-M,j'==0; - ^3 = W Grundlagen fiir eine Theorie der quadratischen Formen. 119 X^^l (mod m), so ist infolgedessen die Anzahl (ni\^ der Darstellungen erster Art gleich dem Jlfg- N -fachen Maße des Genus G j{m) und die An- zahl (tnyj der Darstellungen zweiter Art gleich dem Jfj-N -fachen Maße des Genus Gj^{m). Wie man leicht erkennt, giht es für eine Zahl m nur dann Dar- stellungen (t) der zweiten Art, wenn m ^ 5 (mod 8) ist. Denn die Kon- gruenzen t. ^ 1 (mod 2) r/ = 1 , 2, 3 , 4, 5) ergehen unmittelbar t-^ ^ 1 (mod 8) 5 und m = ^ tf^ ^ 5 (mod 8). — Die in Kap. XI aufgestellten Bedingungen für die Existenz eines Genus lassen erkennen, daß das Genus Gj(_m) für jede Zahl m und das Genus Gj^{m) nui- fiir ein in ^ 5 (mod 8 ) Formen enthält. Es wird demnach eine jede Zahl m als eine Summe von fünf beliebigen Quadraten darstellbar sein, während nur die Zahlen w ^ 5 (mod 8) sich als eine Summe von fünf ungeraden Quadraten darstellen lassen. Alle Darstellungen einer Zahl m durch eine Summe von fünf Qua- draten, bei welchen die fünf einzelnen Quadrate abgesehen von ihrer Reihenfolge und den Vorzeichen ihrer Wurzeln x. miteinander überein- stimmen, fassen wir als eine einzige ZerfäUutig der Zahl m in eine Summe von fünf Quadraten zusammen. Bezeichnen wir die Anzahl der Zer- fällungen einer Zahl m in eine Summe von fünf Quadraten durch D^, die Anzahl der sämtlichen Darstellungen von m durch eine Summe niXi^-\- Mja^ä* -\ 1- n^x^^ (n^ -f- n, -| f- w^ ^ 5) durch 22 f«!, n^, . . ., n^), so gilt die Relation ^5= 3^^(1' 1' 1' 1' 1) + i^^(l> 1' 1' 2) + 4iJ(l, 1, 1, 1) + ^^(1, 1, 3) -H ^i2(l, 2, 2) + ^E(l, 1, 2) + ^^^^(l, 1, 1) + Ä^(l' 4) -f Ai?(2, 3) -f ^i2(l, 3) -F ^i2(2, 2) -f Ai2(i, 2) 16 ^ ' ^ ' 48 ^ ' / ' 24 ^ ' '' ' 64 ^^ >' ' 64 4b(1, 1) - iB(5) + iiJ(4) + iB(2) + ^ Kap. XXII. Cl)er die Bestimmang des Maßes einiger positiver Genera. unter Anwendung der von Dirichlet*) gegebenen Prinzipien können wir das Maß eines beliebigen Genus G positiver Formen bestimmen. Ich wollte zeigen, worauf sich allgemein diese Bestimmung gründet; wegen der Kürze der Zeit muß ich mich jedoch darauf beschränken, in dem *) Dirichlet, Recherches sur diverses applications de Tanaljse infinitesimale ä la theorie des nombres, Cielles Journal, Bd. 19 und 21. [[Werke, Bd. LH 120 Zur Theorie der quadratischen Formen. Folgenden nur die Maße einiger spezieller Genera mit drei und vier Variablen zu betrachten. I, Wir gehen dabei aus von Summen der Form S-2 b-' («^2) in welchen f{x^) eine beliebige positive Form von einer Determinante A > 0 und Q eine beliebige positive Größe bedeutet, und in welchen die Variablen x^, x^, . . ., x„ Systeme von n ganzen, nicht sämtlich verschwin- denden Zahlen durchlaufen sollen. 1. Es sei N eine ganze positive Zahl und a^, cc^, . . ., a^ irgend- welche n Reste für diesen Modul N. Wir wollen zunächst für die Größen iCj, iTg, . . ., x^ alle Systeme von ganzen Zahlen einsetzen, welche nach dem Modul N die Reste «j, «g, . . ., «„ lassen, das sind alle Systeme von der Gestalt {x) x,= NVi+a„ (?;,= -oo,..., -1, 0, 1,..-, -l-oo) (wobei das System a^^ = 0, iCg == 0, . . ., x^= 0, falls es gleichfalls von der Form NVi-\- a^ (i = 1,2, . . ., n) ist, stets ausgeschlossen wird). Da die Form f positiv ist, so nimmt für jedes einzelne dieser Wertesysteme (x) n der Ausdruck {/"(^i, x^, . . ., ^J}^ einen positiven und von Null ver- schiedenen Wert an. Wir wollen die Anzahl aller derjenigen unter diesen n Systemen, für welche die Größe {f{x^)} ^ nicht größer ausfällt als eine positive Größe t, durch t bezeichnen. Anstelle der Ungleichung können wir schreiben oder, indem wir setzen, auch / n \ n \i,k=i J i,k=X * " * " i, k =1 Der Grenzwert des Verhältnisses — für ein unendlich wachsendes t wird nach einem bekannten Satze von Dirichlet gleich dem w-fachen Integral Grundlagen für eine Theorie der quadratischen Formen. 121 in welchem die Variablen |. alle diejenigen Wertsysteme zu durchlaufen haben, für welche die Ungleichung erfüllt ist. Dieses Integral erhält nach Dirichlet den Wert in welchem \A.j:\ die aus den w* Größen Ä^j. gebildete Determinante be- deutet. Diese Determinante ist wegen Ä.,^ = a^^N^ gleich \a.^\N'" = A-^*". Ferner wird bekanntlich die Größe r(-j = ^^ , während ^(1 -j- ^^L je nach- dem n gerade oder ungerade ist, den Wert 1.2.3...f = oder den Wert 13 5 n ^/i\ i annimmt. Wir können mithin setzen, und wir bekommen _i T ^ ' n — 2 4 2 Y 2 2 j n n—2 3 1 2 2 2 2 N" Der Grenzwert des Quotienten — für ein unendlich abnehmendes -j- ist hiemach endlich. Infoloje dieses Umstandes konvergiert nach einem weiteren Satze von Dirichlet die unendliche Reihe ,|(x + .) ( für ein jedes positive p, und es wird der Grenzwert von qS für ein positives unendlich abnehmendes q gleich Q = 0 ■" Ist der Modul N gleich 1, so haben die Variablen a;^ alle möglichen I Systeme von ganzen Zahlen mit Ausnahme des einen a^^ = 0, a^j = 0, . . ., aj^= 0 122 Zur Theorie der quadratischen Formen. zu durchlaufen, und der Limes von q-S nimmt seinen größten Wert «„ : ]/Ä an. 2. Wir wollen jetzt annehmen, daß der größte gemeinsame Teiler der n Zahlen a^ zu N relativ prim wird, und wir wollen den w Größen v^ nur solche ganzzahligen Werte erteilen, für welche die n Zahlen x^ = Nv^ + «,. ohne gemeinsamen Teiler ausfallen. Anstatt der Summe S erhalten wir dann eine kleinere Summe Sq. Bezeichnen wir die verschiedenen in N aufgehenden Primzahlen durch ^1} Qi) • ■ '} Um ^^^ setzen wir S = V- = i- + i- + Jl -f . . . ^,W = iV«(l-i,)(l-^)...(l-i) = 2f.W„ 80 wird der Grenzwert von q • 8q für unendlich abnehmendes q gleich Wir bemerken, daß wir den hier auftretenden Ausdruck (p^{N) in ähnlicher Weise definieren können wie die speziellere Funktion .,W = i.(i-±)(i-i)...(i-±). Denn wir haben den Satz: Lassen wir jede der w Zahlen a- die sämtlichen JV Werte 1,2,...,^ durchlaufen, so gibt es unter den iV" sich dabei ergebenden Systemen 1)- ^ ^ m in 3. Wir leiten jetzt eine Umformung her, welche für die weiteren Untersuchungen wichtig ist. Wir wollen mit m oder m^ alle positiven und zu N relativ primen ganzen Zahlen und mit g_', q", • ■ -, g,^^ die ver- schiedenen in einer Zahl m aufgehenden Primzahlen bezeichnen. Es seien ip(m) und Y(m) zwei Funktionen, welche den Bedingungen genügen. Grundlagen für eine Theorie der quadratischen Formen. 123 Die über alle verschiedenen Zahlen m ausgedehnte Summe 2 ist für jedes positive q konvergent. Indem wir die Zahlen m in ihre verschiedenen Primzahlpotenzen q* zerlegen, erkennen wir, daß die Summe ^ gleich dem über sämtliche in N nicht aufgehenden Primzahlen q ausgedehnten Produkt [J[l + (1 + tiqd'Viq) + (1 + i'iqd'Viq') + (1 + ^(g))Y(g^) + • • •] wird. Die Einzelglieder dieses Produktes sind wegen ^{q^ = [^{q)y gleich 1 , (i + i/>(g))V(g) _ i-[^(3).y(g)]' •Li- i_V(g-) [l-M'(2)][l-t(4)-V(3)]' sodaß wir yri^il i-v(g)'ii i-i/.(g)y(g) ^ TT 1 11 l-[^(2)V(3)]« bekommen. Nun gilt, wenn man 0 = Y oder ==tl>-^ oder =t(;^-^* nimmt, stets j iii und hieraus geht sofort die Identität ^V(m).^t^(,H)H'(»») (64) V = "' ^ " hervor. n. (n = 2.) Bekanntlich haben zwei positive binäre Formen f, welche demselben Genus angehören, stets dasselbe Maß -^ [^ 'T ^^^' ^ T oder = —-) • Infolgedessen ist das Maß eines Genus f von Formen mit zwei Variablen gleich der mit der Konstanten -r^r multiplizierten Klassen- anzahl dieses Genus und kann daher mit Hilfe der von Dirichlet auf- gestellten Formeln bestimmt werden. So findet sich z. B., wenn N irgend- eine Zahl kongruent 1 (mod 4) ist und P^, Pg, . . ., P^ die verschiedenen in N aufgehenden Primzahlen sind, das Maß eines beliebigen Genus C::^)' © (*=i.v....) gleich 124 Zur Theorie der quadratischen Formen. WO m ist [h{N)>0]. (n = 3). Wir betrachten jetzt eine Ordnung {m rel. pr. zu 2Ny 0: 6, 6 0, o' von primitiven Formen mit drei Variablen. Dieser Ordnung wird die Ordnung 0': {''; ") \o , oj adjungiert sein. Wir beschäftigen uns insbesondere mit dem Fall, in welchem die In- varianten 0 und o' alle beide ungerade sind. In diesem Falle wird Pdf ^^® Primzahlen, welche in o', aber nicht in o aufgehen, durch p^', p^', . . .,i?/r, endlich die Primzahlen, welche sowohl in 0 als in o' aufgehen, durch r^ == i\, r^ = rg ',..., r^ = r^,(t = t'). Die Zahlen t bestehen aus den Zahlen p und den Zahlen r, die Zahlen t' aus den Zahlen p' und den Zahlen r'; mithin ist d' = d -\- t, 0"'= d'-\- r'. 1. Es möge 0 eine in der Ordnung 0 auftretende Grundform für den Modul 2oo' und O' ihre in der Ordnung 0' auftretende adjun gierte Form sein. Setzen wir den ersten Koeffizienten von gleich cp und den ersten Koeffizienten von 0' gleich qp', so besitzen die Formen 0 und ' die &■ -{- d"' Charaktere welche der Gleichung o'(p + l o(p' + l

), C'(9'') \ 0, 0 / über, in welchem die Charaktere C(q}), C'{q)') gegebene Werte (1 oder — 1) besitzen. Wir bilden zunächst ein vollständiges Formensystem Oj, Og? • • v ^^ für das Genus G. Eine zu 2oo' relativ prime, positive Zahl m, welche = o' (mod 4) ist, kann offenbar nur dann durch die Formen 0 dargestellt werden, wenn die Einheiten C(w) gleich den gegebenen Charakteren ^(95) sind. Sobald aber die sämtlichen Gleichungen C(m) = C((p) statthaben, wird, wenn wir annehmen, daß die Zahl m die fi ungeraden Primzahlen Qi, Qi, • • -y Qf^ ent- hält, das Maß der eigentlichen Darstellungen von m durch die Formen 126 Zur Theorie der quadratischen Formen. gleich dem 2'' -fachen Maße des Genus ^'- („'J-(f) = (f^)'(f) = (-F)' d. i. gleich sein. Wir bilden jetzt die Summe in welcher die Größen ^^, Ig? ^3 ^Ue verschiedenen Systeme von ganzen Zahlen ohne gemeinsamen Teiler durchlaufen sollen, für welche ^i,{^i, Ig? I3) ^lu 200' relativ prim und = 0' (mod 4) ausfällt. Diese Systeme li, I2? ^3 sind, wie sich aus dem in 1. über die Kongruenzen 0^0 (mod f) oder (mod^') und ^ 0' (mod 4) Bemerkten ergibt, in i-(i-i)(W)'(2-'),n[i-(=^.'^)^] p' arithmetischen Reihen li = 4oo' Fi+ =1, ig = 4oo' F2+ Z,, |3 = 4oo'F3 + E3 enthalten. Der Grenzwert von q • ^ für ein unendlich abnehmendes ^ wird infolgedessen gleich L = ^= Pl yo*o'(4oo')»(2oo')8-Äs Jetzt können wir die Summe ^ nach den numerischen Werten der Zahlen 0;(.(^i> ^2> ^3) ordnen, und wir bekommen dadurch einen Ausdruck '^ ^ "S^ { "^ } (m rel. pr. zu 2oo';\ ^^ ^J(^ + ^')' Vo'm ^ 1 (mod 4)/ in welchem die Funktionen [m] die Maße der Darstellungen der Zahlen m durch die sämtlichen Formen O bedeuten werden. Mithin können wir schreiben ^ ' 2'' '^ rJ^' "-'^ W m ^ 1 (mod 4)/ und X = lim (, V ) = -1 . lim (g y V^^-^JPl^] . /^W = C(^) ) ^^oV^^J 2^ V^^ J(^ + <^) I \o'm=l (mod 4)/ Ein Vergleich der beiden für den Grenzwert L gewonnenen Aus- drücke ergibt die Formel I Grundlagen für eine Theorie der quadratischen Formen. 127 (.-i)(-v/7[.-(^)A].n[-(=f^)}]-- p^ p _. 2oo'-(2oo'), -Äj ysMo-»)J7['-{=~)7] P 1_ [p^o'tn = 1 (mod 4); C{m) = 0(9))] Dieselbe verwandelt sich, indem wir '77(i-^)-(i4)-^. r = r' setzen, in {2oo\(2oo'\-e^Mf, ,. / '^ VOTÄ(o*o'm)\ /o^o'w = 1 (niod4)> mit dem Maße des Genus /g^N {2oo\(2oo'\-e^M^ = lim /'o y y^M£Vm)\ /o^o m = 1 (mod 4)\ 2^. (200-), -25, V^ J(i + ?) j' VC(m) = C(g)) / Beachten wir nun, daß das Maß des Genus QUS \o , 0 ) übereinstimmt, so können wir sofort eine zweite Gleichung hinschreiben: ,gg^ (2ooO,.(2QQO,-g,Jtf, _ lij^ / yiy^ft(Q''QfflO\ (o^om=l (mod4)\ 2^^'.(2oo'),.2fif, V ^ «'|(^ + ?) / \G'{m') = C'{tf') ) Wir ersehen jetzt aus der Gleichung (65), daß die Größe Mq von den speziellen Charakteren C(g?') unabhängig ist, und aus der Gleichung (65'), daß die Größe -1/q von den speziellen Charakteren C((p) imabhängig ist. Die Größe Mq kann daher nur von den beiden Invarianten 0 und 0' abhängen. 3. Um den Wert von M^ zu finden, können wir auf folgende Weise verfahren: Bilden wir die Summe der Gleichungen (65) für die sämtlichen Genera der Ordnung 0, welche die nämlichen Charaktere C(gj') besitzen, so ergibt sich die Gleichung {ioo\{2oo'\-e,M^ T / ^Ymh(p'ojn)\ _ f , ,. /o'o'>n= 1 (mod 4)\ (too-)..ssr- -'""^«'Z J,. + „ j-''"'''Ure!.pr.™o'<,'^ 128 Zur Theorie der quadratischen Formen. worin die Summation jetzt über alle zu 2o^o' relativ primen Zahlen m, welche ^o^o' (raod 4) sind, auszudehnen ist. Ebenso erhalten wir aus der Gleichung (65') die Relation {2oo'\-(2oo\-esMo = lim (o ^VKll^^ll^] = (n'2o\ /o'^om'=l (niod4)\ (200'), • 25, [^^ - ^,|(l + ,) ) ^ h[^r ^^^ ^^ ^^ ^,2 J worin die Summation über alle zu 2o'^o relativ primen Zahlen m', welche ^:o'^o (mod 4) sind, auszudehnen ist. Es ergibt sich demnach die Gleichung {o'o'} = {o''o}. In dem Falle, daß eine der Invarianten o, o' gleich 1 ist, gewinnen wir daraus insbesondere die Formel {D^1 = {D}, [7)^1 (mod 2)] mit deren Hilfe wir dann noch {o2o'} = {o'2o} = {oo'} bekommen. Wir woUen jetzt die Größe { D H lim f , y&R:^\ (DB ^ 1 (mod 4)X \ R B^^'"'^^ I \B rel. pr. zu 2B] bestimmen. Es möge r eine in der Größe D nicht aufgehende ungerade Primzahl bedeuten. Wir zerlegen dann [D], indem wir die Zahlen B, nach der höchsten in ihnen enthaltenen Potenz von r ordnen, in eine Summe von Grenzwerten 00 *=o V r: (B.r')^^ ^' ^ \ rT yB,h(DR,r») ^(1 + ^) [Dt'Bq = 1 (mod 4); Rq rel. pr. zu Dr] Die hier auftretenden einzelnen Grenzwerte sind, wenn s>0 ist, gleich {Dr^} = {Dr}. Ist aber s = 0, so können wir die Summe (7); 0) = Hm (, V!^W^\ /^-«o- 1 (-<"ä *)) V ^ B.t" + ^' / U„ rel. pr. zu Dr) in zwei Partialsummen Z/^ und L_ zerlegen, indem wir alle diejenigen Glieder von {D; 0}, für Avelche Rq quadratischer Rest von r ist, in eine Grundlagen für eine Theorie der quadraÜBchen Formen. 129 Summe X^ und alle diejenigen Glieder von {D: 0}, für welche E^ qua- dratischer Xichtrest von /• ist, in eine Summe L_ zusammenfassen. Jeder der beiden Grenzwerte Z^f = + 1, — l"! läßt sich schreiben 1 {Dr'} so daß sich mv {D;0} = L, + X_=i^ ergibt. Demnach finden wir 1 — fürs^l: {Dr'l^jDrl^lD}.^'^^. Durch eine wiederholt« Anwendung dieser Formel gewinnen wir die Gleichung (66) ,2,)=.,l).(5k^. Die Relation ^ ^ (2000,-25, -^^^J nimmt jetzt die Form an Die Größe M^ ist mithin eine Konstante; wir bestimmen dieselbe aus dem Maß des Genus ( ' ) , Bekanntlich ist dieses Maß gleich rj , und \1, 1/ ^ -ä* es wird folglich Mq = — • Dieser Wert von Mq kann auch direkt mit Hufe der Formel (66) hergeleitet werden. In der Tat, nehmen wir an, daß die Größe D die sämtlichen ungeraden Primzahlen enthält, die unterhalb einer Große Q liegen, so werden die Grenzwerte der Ausdrücke \jjr-, C^)»» (^)s ^ ö-oc tew. gleich ^-i-, jj^, ^- Wir finden also |l)-jf^ nnd folglich Jtf„-3f'^^_i. Minkowski, GeMunmelte AbhAndlangea. I. 9 130 Zur Theorie der quadratischen Formen. Wir gelangen auf diese Weise zu dem folgenden Resultate: Das Maß eines Genus C' \), C{cp),C'{sp') [0,0 = 1 (mod2)] \0, 0 I ist gleich M=»^.[i + i(-i)^-^(^)(i;)].^,4-,.]7[i + (=F)7]- ■J7[i+(=f-'-)f]-I7(i-4- p' r = r' Dieser Satz ist bereits von Eisenstein in Band 35 von Grelles Journal angegeben worden. Insbesondere schließen wir hieraus für das Maß eines Genus 1, 1 ^" d; J^ (f)' wenn die Zahl m ungerade ist und im ganzen ft Primzahlen q enthält, die Gleichung r- /ft + 1 -] 1 Mit Hilfe ähnlicher Betrachtungen können wir auch das Maß eines beliebigen Genus von Formen mit drei Variablen bestimmen. Wir erwähnen hier nur noch den besonderen Fall, daß das Maß eines Genus '2, 1 \ .-. '/'-i gleich 1 + m 48 ist. III. (w = 4). Wir werden die Ordnungen 1, 1, 1 ^/(^)= (i;i;J untersuchen, welche eine so wichtige Rolle in der Theorie der Darstellung ganzer Zahlen durch eine Summe von fünf Quadraten spielen. — Es möge 2" die höchste in d aufgehende Potenz von 2 sein. Setzen wir (/ = 2" • ^0 [^0 = 1 (mod 2)] und bezeichnen wir mit p^, p.^, - ■ -^ p<^ die in cIq enthaltenen ungeraden Primzahlen, mit 0' eine Grundform der Ord- nung Oj'{d) für den Modul 2d, so besitzt die Form 0', wenn fp^ den Grundlagen für eine Theorie der quadratischen Formen. 131 ersten Koeffizienten ihrer adjungierten Form O bedeutet, je nach den Fällen v<2, v = 2, v> 2, die ^^ = -9-, ^ + 1, -& + 2 Charaktere (t;<2) CM (?)ja>--. (?:).(- 1) ' > (- = 2) {v>2) ^)'(S)'- m- m- ■ • ■,(?•), (-1) ' Vi— 1 'fö Folglich besteht die Ordnung 0/ (d) aus g = 2*" verschiedenen Genera G^', (r/, . . ., G '. Wir bezeichnen die Maße dieser Genera durch J//, M^', ^;- Ist p eine der # Primzahlen p^^ p^, . . ., p^, so besitzt die Kongruenz 0(^J = 0 (modp) p^ Lösungen (1,) (mod p) und die Kongruenz 0(1,) ^ 0 (mod 2) im ganzen 2^ Lösungen (|,) (mod 2). Infolgedessen wird die Anzahl der inkongruenten Wertsysteme (|,.) (mod p) oder (mod 2) , für welche die Form 0(1,) zu einer der Primzahlen jp oder zu der Zahl 2 relativ prim wird, gleich p^—p^ = p'^\\ j oder gleich 2^ — 2^=2*<1 — — L und die Anzahl der nach dem Modul 2d inkongruenten Wertsysteme (|,.), für welche 0(1,) einen zu 2d relativ primen Wert annimmt, ist gleich (2(0' -(2^)1. Bedeutet jetzt P(gJi) irgendein Produkt der Charaktere C{(f^, so muß die Funktion P{m) {in relativ prim zu 2d) den Bedingungen P(w) • P(w?o) = P(»w • m^, P{m) • P(w) = 1 genügen. Bestimmen wir jetzt ein vollständiges Formensystem O^, Oj, . . . , Ojr für die der Ordnung 0/ adjungierte Ordnung 0/ imd bUden wir die Summe yi _^/^ P^(yi)-{<(»t)} über aUe möglichen ganzzahligen Wertsysteme l^, Igj ^3» ^4 o^^ g^" meiQsamen Teiler, für welche der Ausdruck 0^(|,.) zu 2d relativ prim ausfällt, so wird dieselbe für jedes positive q konvergieren, und der Grenz- wert von (i -^ wird für unendlich abnehmendes q gleich werden. Wir ordnen jetzt die Summe ^^^ nach den numerischen Werten der Zahlen O^. (^j, Ij, ^3, |J. Das Maß der Darstellungen einer zn 2d relativ primen Zahl m, in welcher .u ungerade Primzahlen 2i, Qi, - ■ . , 2u *"^" 9* L=\^2^^Hg^,)M:J 132 Zur Theorie der quadratiachen Formen. gehen, durch die Formen 0^ ist gleich dem 2"-fachen Maße des Genus d. i. gleich - (tl)'(i) = (x)' (-!)■ m — 1 da — 1 idOlrnnm Infolgedessen können wir für die Summe S schreiben ^. m — 1 an— 1 T^iy mP{in) idüi-m+miw^ ^)i = Lj _ \_ j 12 Q 24 (" WO m m ist. 0 Die Summen T und T,, können wir mit Hilfe der in I. gegebenen Formel (64) umformen. Da die Größe P{m) dem absoluten Werte nach gleich 1 ist, ergibt sich \- -^ m P(m) "^"1/ d V P(ot) \m) »«2(1 + ^^4(1+^) \r^{d\ inP{m) ■^i P(m) ^„,Ml+< Es wird also und L = lim (c T ) = ^ lim {qT ) - ^ lim {qJ ) li«^ (^i^ = W^. •S'^^ • 2 i"^i U5' .-TT .> = 0 .p(-)(- ^ Für die Größe P(w) wählen wir der Reihe nach die 2''^» Glieder des über alle Q-^ Größen C{m) ausgedehnten Produktes 7J=JJ(i + ^w) = i + ---- Durch jedesmalige Vergleichung der beiden Ausdrücke des Grenzwertes L erhalten wir dann 2^" lineare Relationen zwischen den 2'^'' Größen _M/, vermittels deren diese Größen eindeutig bestimmt werden können. Denn die Determinante dieser 2'''" Gleichungen ist, wie man leicht erkennt, dem absoluten Werte nach gleich 2'''"'^'"~ . Grundlagen für eine Theorie der quadratischen Formen. 133 Die beiden Grenzwerte / = lim (q y^-^i + o) » ?o = lim \ p V IT?-/ sind bereits von Diricblet angegeben worden. In den Fällen v = 0, rfg = — 1 (med 4) und y = 1 ist der Grenzwert Iq gleich Null, während der Grenzwert l gleich {2d)y oder gleich 0 ist, je nachdem P(wi) mit dem Gliede 1 des Produktes ££ übereinstimmt oder nicht übereinstimmt. In diesen FäUen y = 0, n_2> ^w-1/ mitteilen, für welches die Invarianten o^ sämtlich ungerade sind. Sind u, u", . . . ; v\ v", . . . irgend zwei Reihen ganzer Zahlen, so woUen wir durch das Symbol NP{u', u", . . .; v, v", . . .) aUe Primzahlen be- zeichnen , welche in den sämtlichen Primzahlen u, u", . . . enthalten sind Grundlagen für eine Theorie der quadratischen Formen. 135 und welche gleichzeitig zu den sämtlichen Zahlen y', t?", . . . relativ prim ausfallen. Es sei T^ die Anzahl der verschiedenea Zahlen NP{oj. Die An- zahl aller der Ordnung ( ) angehörigen verschiedenen Genera wird dann » — 1 * gleich g = 2* - ^ sein. Wir wollen mit k die sämtlichen Zahlen der Reihe 1, 2, . . ., — - — bezeichnen und mit i alle Zahlen, für welche k ^i ^n — k ist. Von den Zahlen o,._j und o,-^^. ist dann mindestens eine von Null verschieden, und es sind die Größen k-l + + - gleichfalls von NuU verschieden. — Wir woUen die Zahlen iVP(o,._j, 0,-^^; r/*)) + - durch tö/*) bezeichnen, ferner, wenn k Ol- Das Produkt IT Fl -4- /(-!)*• r,W-qp,_,-y,-+A 1 1 welches über alle Primzahlen ca,W ausgedehnt sei, die einem bestimmten k entsprechen, möge gleich D^ gesetzt werden. Ferner schreiben wir t=i i=i und JJo;'('-*) = A. h-\ 136 Zur Theorie der quadratischen Formen. Endlich führen wir die beiden Einheiten ein "« -A - 1 ^ ,.Jii'..-')-^ (ff..-,)-i ( in *.=/Tfe)-(-i) '" •(-!) ^ '"' // = 1 n Wenn n = l (mod 2) oder w = 0 (mod 2), A = (- 1)^ (mod 4) ist, findet man 8^ = d„, und wir setzen 2 ' dagegen, wenn « = 0 (mod 2), A = — (— 1)^ (mod 4) ist, 8 = 0. Alsdann gelten für das Maß M des Genus G die beiden Formeln: für w = 1 (mod 2): M = ^ - JJ ■ D ■ A^ (1 ^ -/_:- und für n^O (mod 2): worin die Größen s^ gewisse rationale Konstante bedeuten, welche nur von der Zahl n abhängen. — Um diese Formeln für den FaU. n zu bestätigen, falls sie für den Fall n — 1 bereits bewiesen sind, können wir, wenn n^O (mod 2) ist, genau auf dieselbe Art verfahren, wie Dirichlet zur Bestimmung des Maßes eines Genus mit zwei Variablen getan hat, und, wenn w = 1 (mod 2) ist, genau auf dieselbe Art, wie Avir soeben zur Aufstellung des Maßes eines Genus mit drei Variablen verfahren sind. Note über die Kongruenzen /~^ (mod$^). In dieser Note wollen wir einen Beweis des Satzes M., Kap. X, geben. Wir bezeichnen durch q^k-iif) die höchste Potenz einer Primzahl q, Grundlagen für eine Theorie der quadratischen Formen. 137 welche in den sämtlichen A- reihigen Unterdeterminanten einer Form f aufgeht, und wir setzen qt~ k-x=qk^ qk~''k-i= q"k, I. [g == ^ = 1 (mod 2). ] — Zwei Klassen f und g von Formen mit n Variablen sind in tezug auf einen Modul p'{'> p""'^ , >i'*'"~i ) kon- gruent, wenn die Belationen (67) f{m-,p^] = g{m;p'} [m^l,2,...,p' (modpO] statthaben und wenn die Determinanten A(f) und A(g) nach dem Tdeineren der beiden Moduln p*'^^»-^^^^ ^ p*^ n-t^''' J^otigruent sind. Beweis. Wir können voraussetzen, daß die eine der beiden Formen f und g in bezug auf p primitiv ist. Denn ist f = p^ • fo, g = P^ ■ g^ {d>0,c£t), so gilt fih-p^)^f,ih-pS-p^=^p''^-f,Qi',p'-^) und gQi] p') = 2)"^ • gQQi] p^~^)*)', die Beziehungen (67) ergeben also foiMp'-')=9o(Mp'-'y, andererseits liefert die Kongruenz f^ ~ g^ (modp'-^) sofort f'^g (modp*). Ist die Form f primitiv in bezug auf p, so wird die Kongruenz f(Xf)^a(modp^ für gewisse zu p relativ prime Zahlen a lösbar sein. Für diese selben Zahlen u hat dann die Kongruenz g(t^.) ^ a (modj;*) gleichfalls Lösungen; denn wir haben glcc-^p'} = f{ci', p'] vorausgesetzt. Folglich muß die Form g ebenso wie f in bezug auf p primitiv sein. — Da die Zahlen a zu ^ relativ prim sind, können die x^ in einer Kon- gruenz /'(rr,.) = a (mod p') nicht sämtlich durch j; teilbar sein. Es ist demnach möglich, n Zahlen ^.-^a;,- (mod^^O zu bestimmen, deren größter gemeinsamer Teiler gleich 1 ist. Alsdann kann man eine Substitution §i> • • • > - • • ) • - S = I,, §n' von der Determinante 1 finden, welche die Form f in eine Form /jj. über- führt, deren erster Koeffizient kongruent a (mod p^) wird. Nach Kap. 11 läßt sich diese Form f^^^ noch in einen Repräsentanten von der Gestalt /;i) = a|«-FFW (mod 1^0 transformieren. Für die Form f^i^ gelten die Beziehungen und {ah;ji^ *) Siehe Kapitel VH. 138 Zur Theorie der quadratischen Formen. Die nämlichen Schlüsse finden auf die Form g Anwendung. Wir erhalten für diese Form einen Repräsentanten ^(i)^«|^+öW (mod^O. für welchen d,_,{G^'))^c,(g), {h>l); A(G^W) = ^^-^ (mod ^'^^«-2^^)) und ist. Setzen wir jetzt voraus, unser Satz sei bereits für Formen mit n — 1 Variablen als richtig erkannt, so wird i^(i)^(^(i) (mod^O und folglich fiu'^ g^) (modj)'^). Damit wird unser Satz also auch für Formen mit n Variablen bewiesen sein, II. {q == 2.) Zivei Klassen f und g von Formen mit n Variablen sind in hezug auf einen Modid 2'^(> 2*'«-i^^\ > 2"«-!^^^) kongruent, wenn die Relationen f{m; 2'} = g{m; 2*} [m = 1, 2, . .., 2' (mod 2')] und die Kongruenzen (68) 2'"*(^)=2"'A-(^) (mod2) (Ä: = 0, 1, . . ., n- 1) statthaben und wenn die Determinanten A(f) und A(g) nach dem Meineren der beiden Moduln 0„_i(f) • 2 '"'"^«-2^'^^, 6^_^{g) • 2'"^^«-2^^^ kongruent sind. Beweis. Es genügt, den Fall zu betrachten, daß die eine, f, der beiden Formen primitiv in bezug auf 2 ist. 1. Es sei zunächst 6^(f) = 1. Dann können wir ungerade Zahlen « finden, für welche /"{«; 2*} > 0 ist, und für dieselben Zahlen a wird dann g{()C'^ 2'} > 0 sein. Infolgedessen ist die Form g primitiv in bezug auf 2, und es gilt 1. Damit die erste Invariante 6 der Form /"(^> gleich 2 wii'd, müssen die Kongruenzen ll + I, + • • • + ^x, ^ 1, li^i* + l2^2'' + • • • + Ix,«-;,- 0, ^i' + ^2* + - • + ^x,= 0 (mod 2) gelten. Wie man leicht erkennt, können diese Kongruenzen nur in dem Falle bestehen, daß x,^l (mod 2); |, ^ g^ ^ • • • = ^,^^ 1 (mod 2) ist. FäUt also x^ = 0 (mod 2) aus, so wird stets dyif^^^) = 1. Ist aber Xj = 1 (mod 2) und x^ > 1, so finden sich unter den 2*""^ Systemen |,. (mod 2*), welche die Kongruenz /*(!,.) = 1 (mod 2) erfüllen, 2"'~Ml ^~\ Systeme |,. (mod 2'), denen eine Form /'(^^ mit einer Invariante ^i(/"^*)) = l entspricht, und 2"*~^- ^ _j^ Systeme |; (mod 2^, denen eine Form /"^^^ mit einer Invariante 6^ {f^^^) = 2 entspricht. Die Kongruenzen (68) ergeben die Beziehung Xi(/") = y-iig) == i^, und wir gelangen für die Form g zu Resultaten, welche denen für die Form f erhaltenen ganz analog sind. Im Falle x^ = 0 (mod 2) findet sich dem- nach unsere Annahme verwirklicht. Prüfen wir jetzt den FaU, daß x^ = 1 (mod 2) und x^ > 1 ist. Wenn keine der Zahlen a, die man mit Hilfe von Systemen |^ (mod 2'), für welche ö^if^^^) = 1 wird, erhält, mit Hilfe von Systemen rf. (mod 2*) erhalten werden könnte, für welche a^{g^^}) = l ist, so würde man aus den Gleichungen /■{a;2'} =^{a;2'} schließen, daß mindestens 2'"-'(l— -;^) Systeme rj. (mod 2') Formen ^W mit einer Invariante öj( 1 und = 1 (mod 2) stets 2"'-^ ^^^_^ < 2"'-^ (l - -^^ ist. Infolgedessen gibt es in der Tat Zahlen a und Systeme |, (mod 2*) und % (mod 2'), für welche man a^if^^^) = 1 und e^ig^^^) = 1 bekommt. 140 Zur Theorie der quadratischen Formen. Nach Kap. II gelten jetzt die folgenden Relationen: A(FW) ^ ^ (mod ö^_,(f) . 2'^^-^^^>); und wir finden die Formeln F^'^ih] V) G^W(^; 20 ^(Ä;20 {ah; 20-4=0 (mod 20 ist, (^1 = 1) in denen // irgendeine Zahl bedeutet, die inkongruent 2'"^ und die Formeln i^W(/i; 20 = 0, (?W(;^; 20 = 0, F(i)(/^; 20 = 2"', G^«(A; 20 = 2"', wenn /< = 2'~^ (mod 20 ist. Nehmen wir also an, unser Satz sei bereits für Formen mit n—\ Variablen bewiesen, so erhalten wir i'^W ~ ö^^) (mod 20 und daraus f^y^ ~ ^^j^ (mod 20- 2. Es möge jetzt 1. Sobald für eine Zahl 2o; = 2 (mod 4) die Kongruenz /"(l^) = 2« (mod 20 lösbar ist, können wir f vermittels einer Substitution s V-' fc a, 1 Q, » — 1 V 'n? ^n > • • • > "n von der Determinante 1 in eine Form (mod 20 /"«) = 2a , ^1, X J5;. 7t -1 K^n-1} (mod 20 transformieren. Wir nennen das System ^. (mod 20 primär, wenn unter den Zahlen E.^, . . ., E^_^ ungerade vorkommen. Allemal, wenn das System |; primär ausfällt, läßt sich die Form f^^-^ in einen Repräsentanten von der Gestalt verwandeln, in dem ?t = 1 (mod 2) ist. Grundlagen für eine Theorie der quadratischen Formen. 141 Wir wollen jetzt voraussetzen, die Form f sei von der in Kap. III betrachteten Gestalt /^^y Damit die Zahlen JS'i, . . ., E^_^ sämtlich gerade sind, müssen dann die Kongruenzen gelten, deren einzige Lösung \x,^0 (mod2)], ^, = ^2^...^^,^^0 (mod2) ist. Aber diese Kongruenzen sind nur dann mit der Kongruenz 2a ^ 2 (mod 4) verträglich, wenn ö^ ^i(/') • 2'"zi(/) = 2 ist. Also werden, falls ö^ ^j(/') • 2"Vi(/) > 2 ist, die sämtlichen Systeme £,., für welche /'(|j) ^ 2 (mod 4) ausfällt, primär sein. Sobald hingegen 6.^^j^^(^f) ■ 2'"y.x'^^^ = 2 ist, finden wir unter den 2"'~^ Systemen ^^ (mod 2 9, für welche /"(!,.) ^ 2 (mod 4) ist, 2"'"'^[l ^J primäre Systeme und 2"'"^ •— nichtprimäre Systeme. Dieselben Schlüsse finden auf die Form g Anwendung. Indem wir für den Fall 0.^ +i{f) ' 2"'y-i'^-^^ = 2 bemerken, daß die Zahl 2"'-^ < 2"'-^ (1 ) ist, schließen wir wie in 1., daß wir die Zahl 2a SO wählen können, daß einerseits die Kongruenz /"(!,.) ^2« (mod 2') eine primäre Lösung |,. und andererseits die Kongruenz g(r]i) ^2a (mod 2') eine primäre Lösung rj^ besitzt. Ist dies geschehen, so liefert die Form f einen Repräsentanten von der Form /L), und die Form g kann in eine Form von der Gestalt g^,^ = 2{aV- + -4^1 + ai^) + 2-^(^) • g^') (mod 2') verwandelt werden, in der Ä^l (mod 2) ist. Wir können jetzt voraussetzen, daß a ^^ ä (mod 2) ist. In der Tat, es sei zunächst ö^if^^^) ' 2''^»'^^ ^ 4. Alsdann wird die Anzahl der Lösungen der Kongruenz f\^)^2 (mod 4) gleich 2^^'-^\\ --^'(i^r«)]" ^^^ Kongruenz 2'^(/)=2'"»(«') (mod 2) ergibt 2"'» (^)^ 2, und es gilt (?i(^(2)^-2"'»(*)^4. Denn wäre öi(r/(2)) . 2'^"-(») = 2, so bekämen wir 2'"^(») = 2, 6^{ß^^)) = l, und die Kongruenz g^^^-=a2 (mod 4) hätte 2*"~^ Lösungen, so daß f/(2^{2;4}=4=/;2){2;4} wäre. Ist jetzt ffi(^«) • 2'^('') ^ 4, so liefert die Be- ziehung /;2) { 2; 4 } = ^r^jj { 25 4 } sofort {i^-~^.) = (r."^^.) , d. i. « = o (mod 2). Gilt aber 6^(f(^^) • 2-«(/) = ^^(^W) • 2"^(^) = 2 und a = fi + 1 (mod 2), so k()nnen wir die Form 2'^^'J^-g^^^ zunächst derart transformieren, daß einer ihrer mittleren Koeffizienten, rjf, kongruent 2 (mod 4) wird. Durch Anwendung einer Substitution gelangen wir dann zu einer Form, in welcher der Koeffizient a durch 142 Zur Theorie der quadratischen Formen. einen Koeffizienten a^, ^ a -|- 1 ^ a (niod 2) ersetzt ist, und diese Form kann wiederum in eine Form von der Gestalt g,^^ verwandelt werden, in der der Koeffizient Uq der nämliche ist. Demnach ist es stets möglich, anzunehmen, daß a = a (mod 2), ^•^' 4:a&-%^ = 4:aa-A^ (mod 8) gilt. Infolge dieses Umstandes können wir eine Zahl Z finden, welche der Kongruenz 4aä -%^~ (4aa - Ä^)Z' (mod 2' + ^) genügt, und (jr^-. geht vermittels einer Substitution f = Z-i', rr/2) = i . a:,'(2) (mod 2') von der Determinante 1 in eine Form über, welche dieselbe Gestalt be- sitzt, in der aber der Rest ' (mod 20 A, 2a) ^ ^ durch den Rest , _ . „ 2a, AZ \ , , , ' „ (mod 20 AZ, 2aZV ^ ^ ersetzt ist. Dieser letztere Rest verwandelt sich noch durch eine Substitution in einen Rest ;Sfo=( ' 2a \ (mod 20 \0, 1 / <:: i)- ^--')- Für die Form g,^. erhalten wir demnach eine Kongruenz von der Gestalt 9(^,)^X+G^'^ (mod 20- Wir haben jetzt die folgenden Beziehungen: i^(^)(7*;20 = f|f|^, Gi^KM^O-f^y [z(/^5 20H=O] Nehmen wir an, unser Satz sei bereits für Formen mit einer kleineren Anzahl von Variablen als n bewiesen, so finden wir jF'(^) ~ G^^^ (mod 20 und daraus auch /^2) ~ g^^) (mod 20- Grundlagen für eine Theorie der quadratischen Formen. 143 Inhaltsverzeichuis. Kapitel Seite Begleitschreiben an die Academie des Sciences 3 Inhaltsübersicht 4 Erster Teil. Über die Reste quadratischer Formen. I. Klassen quadratischer Formen. — Index, Invarianten und Ordnung einer Form 9 n. Formenreste. — Die Invarianten o(/') sind ganze Zahlen 13 nL Haupt formenreste und Hauptrepräsentanten für einen Modul JV . . . . 21 IV. Bedingungen für die Existenz einer Ordnung 0 26 V. Sätze über Hauptreste. — Grundformen für einen Modul N 32 VI. Formengruppen für einen Modul N. — Charaktere 37 n Vn. über die Anzahl der Lösungen der Kongruenzen f== ^flitXjXi^m {jaoAN) 45 ■1 Vin. Bestimmung der Größen fQi;q^ in den einfachsten Fällen 50 IX. Charaktere der Hauptrepräsentanten und der Grundformen 58 X. Bedingungen für die Gültigkeit der Kongruenz f^g (mod g*) 70 XI. Genera von Formen. — Bedingungen für die Existenz eines Genus . . 71 XII. Adjungierte Formen. — Reziprozität zwischen den Ordnungen \0^,0^, ..., 0„_,, 0„_i/ \On-l, 0„_j, ..., Oj, Ol/ 80 Zweiter Teil. Über die Darstellung ganzer Zahlen durch quadratische Formen. Xin. Hilfssatz 83 XTV. Darstellung einer Form von v V'ariablen durch eine Form von n Variablen {v <; n). — Äquivalente Darstellungen und Darstellungsgruppen .... 86 XV. Adjungierte Darstellungen und adjungierte Darstellungsgruppen .... 91 XVI. Darstellung von ganzen Zahlen durch Formen mit « Variablen ... 94 XVn. Darstellungen von Formen mit n — 1 Variablen durch Formen mit n Variablen 95 XVIIL Index, Ordnung und Genus der durch eine Form von n Variablen dar- stellbaren Formen von n — 1 Variablen 102 XIX. Über den Inbegriff der Darstellimgen einer ganzen Zahl durch die ver- schiedenen Formen eines Genus G 113 XX. Maß eines positiven Genus. — Maß der Darstellungen einer ganzen Zahl durch die Formen eines positiven Genus 116 XXL Über die Anzahl der Darstellungen einer ganzen Zahl durch eine Summe von fünf Quadraten 117 XXll, Über die Bestimmung des Maßes einiger positiver Genera 119 XXTTI. Maß eines beliebigen Genus einer Ordnung ( | [Oyj ^ 1 (mod 2 1] . . 134 Note über die Kongruenzen f^g (modg') 136 144 Zur Theorie der quadratischen Formen. Verzeichnis der liauptsäcliliclisteii vom Herausgeber übersetzten Stellen.*) Das Begleitschreiben (S. 3 — 4) und die Inhaltsübersicht (S. 4—9) finden sich, diese in deutscher, jenes in französischer Sprache, nur im deutschen Manuskript, während sie in den Memoires des Savants etrangers nicht mit zum Abdruck gelangt sind. Erster Teil. Überschrift (S. 9, Z. 21). Kap. I. S. 9, Fußnote. S. 10, Z. 1; Z. 6; Z. 34. S. 12, Z. 28—29. Kap. IL S. 13, Z. 16—22. S. 14, Z. 2—3; Z. 28—30; Fußnote. S. 15, Z. 1; Z. 21; Z. 32—33. S. 16, Z. 20—29; Z. 31 S. 17, Z. 28. S. 18, Z. 5—6; Z. 15-16; Z. 28—31. S. 19, Z. 19—20; Z. 30—33. S. 20. Z. 3. Kap. III. S. 24, Z. 8; Z. 13; Z. 16; Z. 36. S. 25, Z. 25—28. Kap. IV. S. 26, Z. 1; Z. 22—28; Z. 32—34. S. 27, Z. 5—6. Kap. V. S. 33; Z. 9. S. 34, Z. 9—11; Z. 26—27. S. 35, Z. 17—18. Kap. VI. S. 37, Z. 25—31. S. 39, Z. 8; Z. 28 — S. 40, Z. S.'J. S. 41, Z. 5. S. 42, Z. 16—17. S. 43, Z. 22. S. 45, Z. 1; Z. 9—10. Kap. VII. S. 45, Z. 17—18; Z. 24—28. S. 47, Fußnote. S. 48, Z. 11; Z. 16. Kap. VIII. S. 50, Z. 12—13; Z. 19—20. S. 61, Z. 10—13; Z. 16—17. S. 53, Z. 20. S. 68, Z. 8—10. Kap. IX. S. 68, Z. 17—23. S. 62, Z. 13—14. S. 66, Z. 5—10. S. 69, Z. 18; Z. 25. Kap. X. S. 70, Z. 11 — S. 71, Z. 4. Kap. XL S. 71, Z. 5—36. S. 72, Z. 12—14; Z. 22—23; Z. 27—28. S. 74, Z. 21. S. 77, Fußnote. Kap. XU. S. 81, Z. 3—4; Z. 11; Z. 13—15. S. 82, Z. 23—24. Zweiter Teil. Überschrift (S. 83, Z. 9—10). Kap. XIIL S. 83, Z. 24 S. 84, Z. 5; Z. 9—13; Z. 18; Z. 24—30. S. 86, Z. 7—8. Kap. XIV, 3. 86, Z. 24—27. S 88, Z. 13—14; Z. 17—27. S. 89, Z. 1 - S. 90, Z. 2; Z. 5—7; Z. 13—14. Kap. XV. S. 91, Z. 8—10; Z. 25 — S. 93, Z. 2; Z. 6—7. Kap. XVL S. 94, Z. 26—27. Kap. XVIL S. 95, Z. 29 — S. 96, Z. 9. S. 98, Z. 2; Z. 13—22; Z. 26 — S. 99, Z. 8. S. 100, Z. 5—6; Z. 9—10; Z. 17—23. S. 102, Z. 10—12. Kap. XVIIL S. 102, Z. 20—22; Z. 28—30. S. 103, Z. 4—14. S. 104, Z. 20.; Z. 23—25; Z. 33. S. 106, Z. 8; Z. 18—24; Z. 32—33. S. 107, Z. 10; Z. 27—29. S. 108, Z. 6. S. 109, Z. 4. S. 110, Z. 28. S. 112; Z. 18—19; Z. 22. Kap. XIX. S. 114, Z. 3—6; Z. 25—27. S. 115, Z. 18—22. Kap. XX. S. 116, Z. 23—25. Kap. XXI. S 118, Z. 26—29; Z. 37. Kap, XXn. S. 119, Z. 30. S. 120, Z. 15—16. S. 123, Z. 18—19. S. 124, Z. 20—21. S. 125, Z. 31. S. 129, Z. 23— 28. S. 130, Z. 25. S. 131,Z. 6. S. 133, Z. 1—3; Z. 19—21; Z. 29. S. 134, Z. 3—4; Z. 16. Kap. XXIIL S. 134, Z. 22; Z. 27 - S. 136, Z. 6. S. 136, Z. 14—20. Die Note über die Kongruenzen f (^ g (mod q*) (S. 136— 142) und das Inhalts- verzeichnis (S. 143) fehlen im deutschen Manuskript vollständig. *) Vgl. die Vorbemerkung auf Seite 3. — S. bedeutet „Seite", Z. „Zeile". Bei der Abzahlung der Zeilen sind die Symbole für Ordnungen und Unterdeterminanten \0i, o^,...,o„_J \k^,k^,...,Jc,J (^, , ?2,..., ^^) einzeilig, die als Zahlsysteme geschriebenen quadratischen Formen oder Substitutionen hingegen mit der Anzahl ihrer Druckzeilen in Ansatz gebracht. n. Sur la reduction des formes quadratiques positives quaternaires.*) (Comptes rendus de l'Acadeinie des Sciences, Paris 1883, t. 96, pp. 1205 — 1210). (Note de M. Minkowski, presentee par M. Jordan.) M. Charve a publie, aux Comptes rendus de 1881, une «Note sur la reduction des formes quadratiques positives quaternaires. Je prends la Uberte d'ajouter sur cet objet les obserrations suivantes, auxqueUes je suis par venu en etudiant les beaux Memoires de M. Hermite dans le Journal de CreRe t. 40, 41 et 47. (Oeuvres, t. 1, p. 94, p. 100, p. 164, p. 193, p. 200, p. 234.) Les recberches sur la reduction des formes quadratiques positives s'appuient sur le theoreme suivant: I. Une forme guadratique positive f =^ ^hk^h^k ^ determinant D h,k = l nobtient qrn pour un nombre fini de sysümes numeriques (x^ une valeur qui ne surpasse pas une quantite positive donne'e E. Demonstration. En appliquant ä /" la Substitution au determinant 1, dB /" Sera transfonnee en oü g^ represente une forme positive aux n — 1 variables y^. (Je =4= ^)- Par consequent, si la valeur de f ne doit pas etre plus grande que la quan- tite E, nous obtenons un Systeme d'inegalites auqnel ne peut satisfaire qu'un nombre fini de nombres entiers x^. *) Der Text dieser Arbeit, wie er hier veröfiFentlicht wird, folgt einem Manu- skript, das von Minkowski angefertigt wurde, nachdem die Arbeit bereits in den Comptes rendus erschienen war, und das weit korrekter ist, als die dort zum Ab- druck gelangte ältere Fassung. (Anm. d. Herausg.) Minkuwaki, Gesaiumelte Abbandlangen. I. 10 146 Zur Theorie der quadratischen Formen. Nous arrangeons toutes les formes positives en un certain ordre. n Nous disons qu'une forme positive g =^, ^hk^u^k ^^^ placee ä cöte d'une forme f = ^^aj^^x,^Xj., si les coefficients &^^ sont egaux aux coefficients ^hh) P^^ contre au-dessus (ou au-dessoiis) de la forme /", si les coefficients ^AA ®^ ^hh ^® ^^^^ P^^ ^^^^ d'accord, et si le premier coefficient h,^,^, qui n'est pas egal au coefficient correspondant a,^,^, est plus grand (ou plus petit) que a^j^. A l'aide du theoreme I on peut facilement demontrer: P que, parmi toutes les formes qui resultent d'une forme donnee f ä l'aide des sub- stitutions numeriques au determinant 1 et qui donnent la classe /", appa- raissent certaines formes cp qui sont placees au-dessous de toutes les autres formes de cette classe 5 2^ que le nombre de ces formes (p est ordinaire- ment egal ä 1, et que ce n'est qu'exceptionnellement qu'il devient plus grand que 1 ; 3^ que ces formes 9p peuvent toujours etre trouvees par un procede fini. n Les formes cp = ^ «Ai^A^/t ^^^^ ^® ^^® '^- Hermite appelle des formes h,k = l reduites. Les formes reduites 9p de la meme classe ont sürement les memes coefficients «^^. IL Pour n = 2,d, 4, une forme 9p est re'duite, et eile ne l'est que si eile satisfait aux inegalites (I) ß^ii ^ «22 ^ • • • ^ ««« et ä toutes les inegalites (II) y(fl,«2. •••jO^O^AA; dans lesquelles s,^ signifie une unite, et oü les autres £^ (Je =)= h) ont ou les valeurs 0, ou -\- 1, ou — 1. Demonstration. A) Les conditions (I) et (II) sont sürement neces- saires pour que cp soit une forme reduite; car si l'on avait «;,,, > a^^ pour h (Bi, «2? • • •> O ^ ^hh (^a "^ ± 1? ^k = ^) + 1)? P^^ 1^ Sub- stitution Sn: h = hVh> h = Vk + hVk (^ + ä) en une forme qui serait placee au-dessous de 9p; par consequent, 9p ne pourrait pas etre reduite. Des inegalites (II) resultent specialement les conditions a,^^ zt^^hk ~^ ^kk ^ ^aa> c'est-ä-dire («) ^kk>:±^^kk- Sur la röduction des formes qnatemaires. 147 B) Les conditions (I) et (II) sont aussi süffisantes pour que (p soit reduite. Pour le demontrer, nous observons: 1° Que des inegalites (11) resultent toutes les autres inegaHtes (m) (f {m„ m^, . . ., mj ^ a,, {m^ > 0), dans lesqueUes w?^ signifie un nombre quelconque different de zero, et les autres w^ des noinbres entiers tout ä fait ä volonte. Nous designons par Sf. le nombre 0, ou +1, ou — 1, selon que w?^ est egal ä zero, ou positif, ou negatif. Les quantites f^w^ = ^j. repre- sentent les valeurs absolues des no rubres m,^. Si les n quantites w^., ä l'ex- ception du seul nombre m^, sont egales ä zero, 0 et 2V>2K-Si)^ "i nous mettons maintenant ^m^^=M, et si.nous supposons que le point 1° du theoreme B) soit dejä prouve pour tous les systemes w,, »»2; • •, inj, W/, > 0, pour lesquels ^m^^ devient plus petit que M, 10* 148 Zur Theorie der quadratischen Formen. il ressort evidemment (pi^n,^ — s,^'^a^^ et 95 (%) ^ £«;.,.• Sans doute l'inegalite (m) a lieu pour les systemes (wj, pour lesquels on a ^m^^^ 1, W;^ > 0, c'est-ä-dire pour ie seul Systeme m,^=l, m^ = 0 (]c=^h). Ainsi, le point 1® est parfaitement demontre. 2*^ Admettons que pour la forme q) les inegalites (I) et (II) soient satisfaites et, par consequent, aussi toutes les inegalites (m). Alors (p est, en effet, reduite. Demonstration. Supposons d'abord que (p puisse etre transformee n par une Substitution numerique 1/, =^,>*/'»?i ä determinant 1 en une ^■ = 1 forme t =^ißhkVhVk ^^^^ ^^^^ plaeee au-dessous de cp. . h,k = l Soit ßf^ le prämier des coefficients ß^^^, ß^^, ■ ■ -, /3„„ de la forme il) qui n'est pas egal au coefficient correspondant de la forme (p. On aura ßkk = ^kk (^ < 0 et ßu = (p {r,% r^\ . . ., rj) < «.. . Soit r/ la derniere des quantites r^, r^, . . ., r^ qui est differente de zero. On aura ß^. = (p(. . ., r/, . . .) ^ ^^ir Soit a^^ (t ^ l) la derniere des quantites a^.^, a^^, . . ., a^^j qui a encore la valeur a^^ tandis que «^^^ de- vient >«ij, si l'indice }i est > ^. Des relations cCii'> ßa, ßii^^u = ^tt et des inegalites (I) on conclut que le nombre t est < / ; donc pour Tc ^t or\ aura ßkk"^ ^kk'^^tt- -^^^ consequent, toutes les quantites r/, pour lesquelles on a Ä; ^ i et /(• > ^, seront egales ä zero, puisque eliacune de ces quantites, si eile differait de zero, fournirait riuegalito «/.^ ^ a^^,^, tandis que Ton a ccick^<^tt7 ^hh'^ ^tt- I^^ns le determinant , r/ j s'eva- nouissent donc toutes les {t + 1) (w — t) quantites r/ (Ä = 1, 2, . . . , ^; i; A = ^ + 1, . . . , w) qui sont les termes d'un Systeme die n — t series horizontales et de ^ + 1 series verticales. Ce determinant doit donc etre egal ä zero, et Ton ren- contre une contradiction. De ce qui precede on deduit, ä l'aide du theoreme I, que l'on peut determiner pour cbaque forme positive f toutes les formes reduites de sa classe ä l'aide d'un nombre fini de substitutions de la forme Sj ou Sjj. (Toute classe /j pour laquelle aucune des inegalites (I) et (II) ne se cbange en une equation, a une seule forme reduite.) Dans le cas w = 4, j'ai trouve pour la limitation des coefficients des] formes reduites des identites symetriques analogues ä celles que Gauss a| etablies pour les formes ternaires (Gauss, Oeuvres completes, t. II). Je reviendrai sur ces identites dans une autre occasion. » m. Über positive quadratische Formen. (Grelles Journal für die reine und angewandte Mathematik, Bd. 99, S. 1 — 9.) Meine xlbhandlung „Sur la theorie des formes quadratiques ä coef- ficients entiers"*j schließt mit der Bestimmung des Maßes für einige Genera von positiven quadratischen Formen. Das Maß eines Genus ist eine Größe, welche erhalten wird, indem man sämtliche Klassen des Genus abzählt und dabei die einzelnen Klassen in entsprechenden Verhältnissen rechnet, als sie verschiedene Formen besitzen. Ich hatte mich seinerzeit auf die Betrachtung spezieller Genera beschränkt. Mittlerweile bin ich zu einfachen Ergebnissen für das Maß eines beliebigen Genus gelangt. Die schließlichen Formeln sind zu einem Teile bereits von H. J. Stephen Smith veröffentlicht worden**). Das Resultat gewinnt aber außerordent- lich an Klarheit und erlangt eine weitergehende Bedeutung, indem man jene Definition des Genus zugrunde legt, von welcher ich in der er- wähnten Arbeit ausgegangen bin, und zu welcher auch Herr Poincare geführt worden ist***). Ich setze Formen von fester Variablenzahl n und von nichtverschwin- dender Determinante voraus. Dann definiere ich: n A. Das Genus einer Form /" = ^ a^j. x. x^ wird gebildet von allen den 1 Formen g, welche denselben Trägheitsindex wie /' besitzen und welche mit f für jeden beliebigen Modul N kongruent sind. Dabei heißt eine Form // kongruent mit /' in bezug auf einen Modul N, wenn es möglich ist, aus f mit Hilfe einer linearen Substitution von einer Determinante = 1 (mod N) eine Form herzuleiten, in welcher sämtliche Koeffizienten für den Modul N dieselben Rest« lassen wie die entsprechenden Koeffizienten von g. Die Definition A. stellt an die P'ormen g nur scheinbar unendlich viele Anforderungen. In Wirklichkeit gilt der Satz: *; Memoires presentes ä rAcademie des Sciences T. XXIX. Nr. 2. " Unter dem Titel „Grundlagen für eine Theorie der quadratischen Formen mit ganzzahligen Koeffi- lienten", diese Ges. Abhandlungen, Bd. I, S. 3—144. ••) Proceedings of the Royal Society of London. 1868. (Collected Papers, "1. I, p. 510.) ***) Comptes rendus de rAcademie des Sciences a Paris. 1882. 1. 150 Zur Theorie der quadratischen Formen. B. Eine Form g gehört dann und nur dann dem Genus einer Form f an, wenn sie denselben Index I und dieselbe Determinante A wie f be- sitzt und dazu mit f für den Modul 2A kongruent ist. Immer dann, wenn diese Bedingungen erfüllt sind, wird es zugleich (nach Sätzen von Smith) möglich sein, die Form f in die Form g mittels solcher linearer Substitutionen von der Determinante 1 überzuführen, in denen die Koeffizienten rationale Zahlen mit einem zu 2A relativ primen Generalnenner sind. Das Genus einer Form f= {a,.^} ist eindeutig bestimmt, sobald man sein vollständiges System von Invarianten kennt. Dieses System umfaßt die folgenden Größen: 1. Den Index I der Form f. 2. Die größten positiven Teiler der sämtlichen Unterdeterminanten von 1, 2, . . ., w Reihen des Systems \a^^\. Diese Teiler mögen der Reihe nach mit d^, d^, . . ,, d^_^ bezeichnet werden, so daß sich insbesondere A = (-iy. 1, so besitzt jede Klasse unseres Genus das Maß — • Die Größe Jf wird dann gleich der halben IQassenanzahl des betrachteten Genus. Man gewinnt so ein Resultat, welches mit den Dirichl et sehen Formeln übereinstimmt. Ohne mich bei weiteren Beispielen aufzuhalten, will ich nur zeigen, daß der Ausdruck (1) stets einen endlichen Wert besitzt. Für jede ungerade Primzahl q, die nicht in D aufgeht, findet man, wenn n gerade: n.i = (>-^)(i-^)-(i-^)-}i-(#^)-V und wenn n ungerade: m) = (.-i)(i-,i)--(i-A)- Für jede solche Primzahl fällt also die Größe {^-^)(i-?)-(^-^t) besonders einfach aus. Nun kann man leicht in (1) diese Größe als all- gemeines Produktglied einführen. Man braucht nur mit der Identität s.-«,[-]-iT(i-^)(i-^)--(i-^j) über positiTe quadratische Formen. 153 zu multiplizieren, wo S^^ die Summe 1 + ^ + «i* + ' " * bezeichnet, deren Wert in bekannter Weise durch die li^ Bernoullische Zahl, 5^, aus- gedrückt ist. Setzt man, wenn n gerade: n-4 2 und wenn n ungerade: n-3 2 läßt man femer ? die sämtlichen Primzahlen von 2D durchlaufen, so kommt, wenn n ^ 0 (mod 2) : (2) jf=c.i?./7^,.2'f--#^)^, 7t m (wo die Summation alle positiven und zxx 2D relativ primen Zahlen m betrifft), und wenn « = 1 (mod 2), so kommt: (2) m = c-Vd.YJe,. Diese Ausdrücke sind denen ähnlich, welche Smith angegeben hat, und man kann wohl aus der erwähnten Note von Smith die Werte der Größen Eg für ungerade Primzahlen c, sowie in einigen speziellen Fällen auch für die Primzahl c = 2 entnehmen. Doch tritt dort nicht die hier entwickelte einfache Bedeutung dieser Größen zutage, und diese gerade ist es, welche erkennen läßt, daß ähnliche Verhältnisse auch für allge- meinere Formen bestehen. Vor allem fäUt auf, daß der Ausdruck (1) nichts enthält, was an positive quadratische Formen gebunden ist. In der Tat besitzt dieser Ausdruck auch für alle indefiniten Genera (von nicht zerlegbaren Formen) einen endlichen Wert. Indem man nach der Be- deutung dieses Wertes forscht, gelangt man zu einer interessanten Erklärung des Maßbegriffes für indefinite Formen. Ich wiU noch einige Sätze in betreff der Reduktion der positiven Formen mit beliebigen reellen Koeffizienten hinzufügen. Ist diese es ja, welche die Mittel gibt, um in jedem einzelnen FaUe die Klassen eines Genus zu sondern und deren Maß zu berechnen. Ich wende (in etwas veränderter Form) diejenige Reduktionsraethode an, welche Herr Hermite im 40. Bande des Crelleschen Journals S. 302 (Oeuvres, T. I, p. 149) aufgestellt hat. 154 Zur Theorie der quadratischen Formen. „In einer gegebenen Klasse von positiven quadratischen Formen soUen diejenigen Formen reduzierte heißen, welche vor allen anderen Formen den kleinsten Wert der Verbindung j^_ ^^^^ ^ ■ a,, + ö^ ■ a,,^ ■ ■ ■ + S-^ ■ a„ ergeben, wo d eine positive unendlich kleine Größe bezeichnet." Gemäß dieser Definition werden alle reduzierten Formen einer Klasse in den n Koeffizienten . übereinstimmen. Der Koeffizient a.^^ insbesondere wird das Minimum der Klasse /' vorstellen. Die charakteristischen Bedingungen solcher reduzierten Formen rühren für n = 2 von Lagrauge und für w = 3 von Seeber her. Für den Fall w = 4 habe ich einen diesbezüglichen Satz in den Comptes rendus vom April 1883 [[diese Ges. Abhandlungen, Bd. I, S. 145 — 148]] mitgeteilt. (Der Beweis ist dort, namentlich am Schluß, durch eine Menge' Druck- fehler sehr entstellt.) Ein weiterer Satz existiert nun für den Fall n =.5. Ich fasse das Resultat für alle vier Fälle w = 2, 3, 4, 5 zusammen. „In diesen Fällen ist eine Form ^=2»' k^i^k immer und nur dann eine positive und reduzierte Form, wenn sie einer Reihe von Ungleichungen (I) f{m„ m„ . . ., mj > a,.,. («= 1, 2, . . ., w) genügt, wo die w^^, je nach den vier Fällen, den folgenden Tabellen gemäß zu wählen sind: n = 2, w = 3, m. I + m.. m- ± ^i' + m^„ 1 1 0 1 1 m. n = 4, 4: m^,„ 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 w = 5, m, ±m., ± »h" ± in-,, ± m-xy 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 2 « über positive quadratische Formen. 155 und wenn ferner (11) «11 ^ «82 ^ • • • ^ «nn ist." In allen diesen Fällen wird also eine Hermitesche reduzierte Form durch eine endliche Anzahl einzelner linearer Ungleichungen definiert. Genügt eine Form allen Bedingungen (l), so ist sie entweder selbst reduziert oder läßt sich doch durch eine oder mehrere Substitutionen von der Art ^i = Vky ^k=- Vi in eine reduzierte Form überführen. Jedenfalls stimmen ihre n Haupt- koeffizienten, abgesehen von der Reihenfolge, mit den n Koeffizienten a^^ einer ihr äquivalenten reduzierten Form überein. Nun erkennt man leicht, daß den Bedingungen (I) aUe solchen Formen genügen müssen, welche in ihrer Klasse den kleinsten Wert der Verbindung ^1 = «11 + «M 4 + «»n oder der Verbindung 3t„ = aji a22 . . . a„„ oder gewisser ähnlicher Verbindungen 9t ergeben. In den Fällen w = 2, 3, 4, 5 liefern sonach die Her miteschen redu- zierten Formen einer Klasse für jede einzelne der Größen a^^^-\-a^^-\ !-«„„, «11 «22 + «ii«33 + ■ "j «ii«22---«nn7 • • • *^®^ kleinsten Wert, welchen diese Größe für Formen der betrachteten Klasse überhaupt annehmen kann. Umgekehrt, wenn eine Form von n (= 2, 3, 4, 5) Variablen für irgendeine der Verbindungen 3t einen kleinsten Wert ergibt, so geht diese Form bei geeigneter Permutation ihrer Koeffizientenreihen in eine Hermitesche reduzierte Form über; sie liefert also auch für aUe anderen Verbindungen 9t einen kleinsten Wert. " Diese Sätze, welche für w = 2 und w = 3 interessante Eigenschaften ebener imd räumlicher Gitter ausdrücken, scheinen um so bemerkenswerter, als sie nicht mehr für größere Werte des n gelten. Im allgemeinen ist eine reduzierte Form um so eigentümlicher, in je mehr von den Ungleichungen (I) und (H) das Gleichheitszeichen statt- hat Es gibt nun positive reduzierte Formen f, für welche ■ J~ - — 1 linear unabhängige von den Ungleichungen (Ii und (II) in Gleichungen übergehen, durch die dann die Verhältnisse der — ^-^"^ Größen a,^ voll- ständig und zwar in rationaler Weise bestimmt sind. Solche reduzierten Formen mögen Grenzformen heißen. Unter allen Grenzformen, denen die- selben Verhältnisse der Koeffizienten zukommen, wird es offenbar eine geben, deren Koeffizienten ganze Zahlen ohne einen gemeinsamen Teiler sind. Diese heiße eine primitive Grenzform. 156 Zur Theorie der quadratischen Formen. „Da die Anzahl der Ungleichungen (I) und (II) eine beschränkte ist, so existiert (für n = 2, 3, 4, 5) immer nur eine beschränkte Anzahl von primitiven Grenzformen." Um dieselben wirklich darzustellen, will ich mit (a)^ diejenige qua- dratische Form von v Variablen bezeichnen, deren v Hauptkoeffizienten sämtlich gleich a, und deren übrige Koeffizienten sämtlich gleich 1 sind. Die Determinante dieser Form ist (a— iy~^ • (a — 1 -\- v). Ich finde dann folgende primitive Grenzformen: Wenn n = 2 ist, die Form qp = (2)2 = 2{x-^^ -\- x^^x^ +^2^) ^^^ deren Nebenreduzierte 2 (iCj ^ — x^x^ + x^). Wenn w = 3 ist, die Form (p = (2)3 und die Nebenreduzierten dieser Foi*m. Wenn w = 4 ist, die Form cp = (2)^ und deren Nebenreduzierten; ferner die Form z/;, welche durch die Substitution ^h = !/a + ?/4, a?4 = 2^4 0^=^, 2, 3) in {2\ + (2X + (2X + (2X = 2(i/,^4-ys^ + 2/3^ + y/) übergeht, und die Nebenreduzierten dieser Form 1^. Wenn w = 5 ist, die Form (p = (2)5 und deren Nebenreduzierten; weiter die Form t^, welche durch die Substitution ^Ä = ^Ä + 2/5. ^5 = - ^4 + ?/5 (^ = 1, 2, 3, 4) in (2)^ + {2\ 4- (2)3 übergeht, und deren Nebenreduzierten; endlich die Form %, welche durch ^A = ?/. + (-iy'y5, ^5 = 2i/5 (Ä=l,2,3,4) in (4)5 übergeht, und die Nebenreduzierten von i. Ohne Mühe wird man erkennen, daß die Klassen dieser Grenzformen identisch sind mit den „formes extremes", welche die Herren Korkine und Zolotareff in ihren interessanten Aufsätzen im 6. und 11. Bande der Mathematischen Annalen eingeführt haben. Es sind darunter positive Formen verstanden, welche die Eigenschaft besitzen, daß ihr Minimum ab- nimmt, so oft den Koeffizienten unendlich kleine Variationen beigelegt werden, welche die Determinante der Form nicht vergrößern. Die nahe Beziehung zu diesen „Formen mit größtem Minimum" ist für die Reduk- tionsmethode von Herrn Hermite charakteristisch. Wiesbaden, den 31. Januar 1885. IV. Untersuchungen über quadratisclie Formen. Bestimmung der Anzahl verschiedener Formen, welche ein gegebenes Genns enthält. (Inauguraldissertation (Königsberg 1885); Acta Mathematica, Band 7, S. 201 — 258.) Dem Andenken meines teuren Vaters. In meiner Arbeit <'Sw la the'orie des formes cßiadratiques ä coefficients entiers»'^) habe ich den Begriff des Genus lediglich aus dem Begriffe der Formenkoncrruenz hercjeleitet. Ein solches Verfahren erwies sich bereits dort als äußerst vorteilhaft. Seine Berechtigung wird vielleicht noch schärfer durch die folgenden Entwicklungen hervortreten. Ich werde mich hier mit jenen Zahlen beschäftigen, welche im Falle allgemeiner Genera dieselbe Rolle spielen, wie im Falle binärer Genera die Klassen- anzahlen. Gewisse Sätze über Formenkongruenzen werden zunächst er- raten lassen, in welcher Gestalt sich die Ausdrücke jener Zahlen darbieten müssen. Unter Anwendung Dirichletscher Prinzipien soU alsdann ge- zeigt werden, daß die erratenen Formeln in Wirklichkeit richtig sind. Einleitung. 1. Ein Genns und seine Fornienanzahl. n Unter den Resten einer quadratischen Form f = x, ^ik^i^k ^ bezug 1 auf einen Modul N verstehen wir alle diejenigen Formen, welche aus /" hervorgehen, indem die Koeffizienten rt,;^ ^^ beliebiger Weise um Viel- fache des Moduls N geändert werden. *) Memoires presentes par divers savants u l'Academie des Sciences de Flnstitut de France. Tome XXIX, N°. 2 (1884). Ich zitiere diese Arbeit im folgenden kurz mit F. Q. — Den auf F. Q. bezüglichen Zitaten fügen wir stets in [[ ]1 den entsprechenden Hinweis auf die hier (Bd. I, S. 3 — 144) veröffentlichte deutsche Ausgabe hinzu. (Anm. d. Herausg.) 158 Zur Theorie der quadratischen Formen. Wir nennen zwei Formen f und g (von derselben Variablenzahl n) kongruent in bezug auf einen Modul N, f^g(modN), wenn es lineare Substitutionen von einer Determinante = 1 (mod N) gibt, durch welche die Reste der einen Form für den Modul N in Reste der anderen Form für den Modul N übergehen. Wir betrachten ausschließlich Formen von nichtverschwindender De- terminante. Es kann der Fall eintreten, daß zwei Formen /* und g für einen jeden beliebigen Modul kongruent sind. Solches findet offenbar immer statt, wenn f und g derselben Klasse äquivalenter Formen angehören, d. i, durch ganzzahlige Substitutionen von der Determinante 1 ineinander übergehen. Es ereignet sich überhaupt dann und nur dann, wenn f und g dieselbe Determinante A besitzen und in bezug auf den Modul 2A kongruent sind. Immer und nur dann, wenn die Formen f und g diesen Bedingungen genügen und dazu einen gleichen Trägheitsindex liefern, wird es möglich sein, die eine dieser Formen in die andere durch solche linearen Substitu- tionen von der Determinante 1 überzuführen, in welchen die Koeffizienten rationale Zahlen mit einem zu 2A relativ primen Generalnenner sind.*) Alle Formen, welche denselben Trägheitsindex I haben wie eine gegebene Form, und welche mit dieser Form für einen jeden beliebigen Modul kongruent sind, fassen wir in ein Genus zusammen. Da die Formen eines Genus eine feste Determinante besitzen, so können sie, nach be- kannten Sätzen, nur in eine endliche Anzahl verschiedener Formenklassen zerfallen. Es ist aber im allgemeinen nicht sowohl die Anzahl dieser Klassen, welche sich durch einfache Formeln ausdrücken läßt, als vielmehr die Anzahl der in einem Genus enthaltenen Formen. Zwar ist die letztere Anzahl stets eine unendliche, denn schon jede einzelne Formenklasse be- sitzt unendlich viel Formen. Doch zeigt es sich bald, daß für ein jedes Genus eine gewisse, positiv unendliche Größe Q existiert, welche nur von den einfachsten Invarianten des Genus abhängt, und zu welcher alle die Formenanzahlen der einzelnen Klassen des Genus in endlichen Verhält- nissen stehen. Dieses Q bestimmt dann auch den Grad, in welchem die Formenanzahl des gesamten Genus unendlich wird. Fällt die Formen- anzahl in einer oder in mehreren Klassen des Genus gleich M • Q aus, so bezeichnen wir die positive endliche Größe M als das Maß der be- treffenden Klassen, *) Henry I. Stephen Smith, Philosophical Transactions, CLVII, 1867 (On the Orders and Genera of Ternary Quadratic Forms, art. 12) und : Proceedings of the Royal Sorfiiety of London, XVI, 1868 (On the Orders and Genera of Quadratic Forms containing more than three Indeterminates, p. 202). (Collected Papers, vol. I, p. 480 und p. 516.) Anzahl der Formen in einem Genus. 159 Am einfachsten gestaltet sich der Begriff des Maßes für definite Formen, also in den Fällen /=0 und I=n, mit welchen wir uns später hauptsächlich beschäftigen werden. Man weiß, daß eine definite quadratische Form f immer nur eine endliche Anzahl von Transforma- tionen von der Determinante 1 in sich zuläßt. Sei t(f) diese Anzahl. Xennen wir femer Qq die Anzahl aller möglichen linearen ganzzahKgen Substitutionen S von n Reihen und von der Determinante 1. Würden wir alle diese S auf die Form f anwenden, so müßten wir zu einer jeden Form der Klasse f gelangen, und zwar zu einer jeden genau ^(/)-mal. Die Anzahl der verschiedenen Formen der Klasse f wird daher -tf • Q» betragen. Wählen wir demnach, was in der Tat geschehen soll, im Falle definiter Formen die erwähnte Größe Q = Q^, so können wir als das Maß einer definiten Klasse f die Größe 777^ erklären. Das Maß für die Formeuanzahl eines definiten Genus wird dann ^.-itk sein, wo die Summe über alle verschiedenen Klassen f des Genus zu erstrecken ist. In solchen speziellen Fällen, wo die Größe t{f) konstant ausfällt für alle Formen eines Genus, ergibt die vorstehende Summe einfach den t(j'y^^ Teil der Klassenanzahl des Genus. Derartige Fälle sind Regel bei binären Formen. Man hat da gewöhnlich t(f) = 2. Nur für die Klassen f=d{x^-\-i^) wird t(f) = 4, und für die ElsLSsen f= 2d(x^ -\- xy -{- y^) wird t(f) = 6. Ich bemerke noch beiläufig, daß die Größe Qq sich mit der (n*— 1)**'' Potenz der Anzahl o aller möglichen ganzen Zahlen von — 00 bis -|- c» vergleichen läßt. Es gilt nämlich in gewissem Sinne die Beziehung: Q °-' ^ S,S,...S„' wo ^*==^+? + ? + 7 + -- (* = 2,3,...,n) Eine Deutung des Maßbegriffes für indefinite Formen soll den Gegen- stand einer späteren Arbeit bilden. Ich erwähne nur, daß als Maß einer primitiven binären Form ax^ -f 2bxy + cy- von einer negativen, nicht quadratischen Determinante ac — 6- = — D<0 am passendsten der Aus- dr^ck / r T r/i/TTx festgesetzt wird, wo ^(=1,2) den größten Teiler der Koeffizienten a, 2h, c bedeutet,, und wo T und U die zwei kleinsten positiven Zahlen sind, welche der Gleichung T^— DT* = • • •; <^n-ij ^^^ ^^^ n — 1 Invarianten ^1? ^2; • • -7 ^ dürfen nicht zugleich durch 2 teil- bar sein. n. Die Quotienten ^~^ '' und ^ ^"^^ müssen ganz sein. Wir führen noch die Invarianten ein: ö^ = 1, ö„ = 1 und Oq = 0, o„ =0. Anzahl der Formen in einem Genus. 161 3. die CharaJdere der Form f. Dieses sind eine Reihe von Einheiten + 1, welche in Gestalt Legendr escher Symbole auftreten. Um sie mög- lichst einfach darzustellen, trifft man am besten folgende Voraussetzung über die repräsentierende Form f: Die aus den ersten /<(= 1, 2, . . ., w— 1) Reihen Ton /' gebildeten symmetrischen Minoren sollen Werte ^f^d,^_i(p^ ergeben von solcher Art, daß ein jedes cp^ relativ prim zu 2o^o^ ... o^_i und zu 9a_i und (f^^i ausfällt. Dabei hat man sich noch (p^ = l und q)^ = (— 1)^ zu denken. Nach F. Q., p. 83 [[S. 72]], lassen sich in jeder Klasse des Genus Formen f von dieser Eigentümlichkeit finden; man nennt sie charalieristische Formen. Es sei allgemein e^^ das Vorzeichen von qp^^; ferner mag I^ angeben, wie viele von den Einheiten — , — , . . . , — ~ negativ ausfallen , so daß insbesondere Iq = 0 und J^ = / zu nehmen ist. Für eine charakteristische Form f erweisen sich folgende Einheiten C als Charaktere: Ij wenn «^a.iOj^ö^^i durch eine ungerade Primzahl p teilbar ist, die Einheit (?)■' 2) wenn tfj_i04Ö^^i = 0 (mod 4) ist, die Einheiten 3) wenn ö;i_iO^^A+i — ^ (mod 8) ist, die Einheit Diese Einheiten C bilden zusammen mit den Größen /, cIq, o^, 6^ wirklich ein vollständiges System von Invarianten für das betrachtete Genus, so daß kein zweites Genus da sein kann, welches zu eben diesen Invarianten führt. Die Einheiten C müssen alle Bedingungen erfüllen, welche sich für sie aus den quadratischen Kongruenzen (1) - ^h-iOK^h+i9>h-i9k+i = ^h^ (mod tf^VJ erschließen lassen. Man findet diese Bedingungen in F. Q., pp. 87 — 88 [[S. 75 — 76]] zusammengestellt. Es gilt der Satz: (A) Wenn die Invarianten I, d^, o, 6 und die Charaktere C in be- liebiger Weise festgesetzt werden, doch so, daß sie den Bedingungen i., II. genügen, ferner allen Bedingungen, welche aus den Kongruenzen (1) folgen, so existiert wirklich ein Genus, welches zu diesen Invarianten und Charakteren Veranlassung gibt. Minkowäki, Geaammelto Abliandlungen. I. H 162 Zur Theorie der quadratischen Formen. Ein Beweis dieses Satzes ist F. Q., pp. 89—90 [[S. 76—77]], mit Hilfe des bekannten Theorems über die arithmetischen Progressionen 'Sit zusammengefaßt. Wir beschäftigen uns meist mit Formen f, deren d^ gleich 1 ist, und die man primitive Formen nennt. Im Falle die Größe d^ einer Form /' relativ prim zu einer Zahl N ist, heißt diese Form primitiv in bezug auf N. Erster Teil. 3. Die Anzahl der Reste eines Genus in bezug auf einen Modul N. Wir wollen zunächst untersuchen, wieviel verschiedene Formenreste ein gegebenes Genus in bezug auf einen gegebenen Modul N liefert. In der Anzahl dieser Formenreste finden wir einen Divisor der Formenanzahl des Genus, und wir werden so alle wesentlichen Faktoren kennen lernen, aus welchen sich die Ausdrücke für die Formenanzahl zusammensetzen. Das Genus möge durch eine beliebige seiner Formen, /", repräsentiert werden. Es ist dann klar, daß wir die Reste des Genus nach dem Modul N nur unter denjenigen Formen suchen dürfen, welche 5i/"(mod JV) sind. Man gelangt zu diesen Formen, indem man auf f ein vollständiges System von lauter inkongruenten Substitutionen T von einer Determi- nante ^ 1 (mod N) anwendet. Ein solches System wird leicht bestimmt. Man braucht beispielsweise nur von den JV''' inkongruenten Substitutionen ^i=^^/2/*(modiV), ^/=l,2,...,iV {1,1=^1,2,. ..,n) k alle diejenigen fortzulassen, in welchen die Determinante nicht ^ 1 (mod N) ausfällt. In dem Systeme der T mögen sich im ganzen 9^1 Substitutionen finden lassen, — etwa die folgenden: T^,T^,..., T^^ — , durch welche f in 9^ verschiedene Reste: y^, y^, . . ., gs^ (mod N) übergehe. Das gegebene Anzahl der Formen in einem Genus. 163 Genus enthält dann sicher nicht mehr als diese ^l Reste. Wir behaupten aber, daß diese Reste wirklich aUe dem gegebenen Genus, ja schon der (ganz beliebigen) Klasse f eigen sind. In der Tat, zu jeder Substitution T = I.J, ^nr 1 (modiV) läßt sich immer eine nach dem Modul N kongruente Substitution S von einer Determinante 1 bestimmen. Im Falle w = 1 leuchtet dieses un- mittelbar ein. Wenn w > 1 ist, so bedienen wir uns zum Beweise eines Schlusses von n — 1 auf n. Offenbar muß der größte Teiler der n Zahlen Xf zu N relativ prim sein. Man kann daher >? Zahlen ^,. = x^ (mod N) finden, deren größter Teiler gleich 1 ist. Alsdann läßt sich bekanntlich eine Substitution O 52' fen? von der Determinante 1 bilden (F. Q., p. 98 [[S. 83]]). Das Produkt Sq~ ^ • T gewinnt jetzt die Form I 1> ^17 ü= ' ^' " 1 ? u n-l n-1 = 1 (mod N). u n-l n — 1 1 0, u„L„ . Ist unser Lemma bereits für den Fall n — 1 erwiesen, so können wir anstelle der m/ solche kongruente Zahlen einführen, daß |m/| in 1 übergeht. Femer setzen wir anstelle der ersten Vertikalreihe von ü einfach die Zahlen 1, 0, . . ., 0. Auf diese Weise wird U in eine kon- gruente Substitution V von der Determinante 1 übergehen, und das Pro- dukt Sq- V = S erscheint als eine mit T kongruente Substitution von der Determinante 1. Wir können so zu allen Substitutionen T^, T^, . . ., Tgj kongruente Substitutionen S^, S^, . . ., S^i von der Determinante 1 bilden. Durch diese muß sich f in äquivalente Formen mit den Resten g^, g^, . . ., g^ • rwandeln, was zu beweisen war. Es ist nun leicht plausibel zu machen, daß die Formenanzahl der Klasse f ein Vielfaches der Zahl 91 wird. Man denke sich zu dem Be- hufe in der Klasse f alle verschiedenen Formen gekennzeichnet, welche 11* 164 Zur Theorie der quadratischen Formen. nach dem Modul 3/" den Rest /' lassen, und für jede dieser Formen je eine Substitution S notiert, durch welche dieselbe aus f entsteht. Durch Anwendung aUer S • S^, 8-82, . . ■, S - Syi müssen dann aus f die sämt- lichen Formen der Klasse /" hervorgehen, und zwar eine jede ein ein- ziges Mal. Die Zahl SR teilt somit wirklich in gewissem Sinne die (un- endliche) Formenanzahl der Klasse /", und da diese Klasse eine beliebige ist, auch die Formenanzahl des gesamten Genus, wie am Anfange aus- gesprochen war. Um einen Ausdruck für die Zahl 9{ zu gewinnen, verfährt man fol- gendermaßen. Es sei ^/'„(iV) die Anzahl der Individuen eines voUständigeii Systemes von inkongruenten Substitutionen T von einer Determinante ^ 1 (mod N). Alle diejenigen T, welche auf den Rest f (mod N) ohne Wirkung bleiben, nenne man T, und es sei f{N) die Anzahl der ver- schiedenen T. Die Substitutionen T • Tj, T • T^, . . ., T • T,ji müssen das gesamte System der T erschöpfen, und man erhält so: 91 = ^„W In welcher Weise die Größe i^ni-^) gefunden wird, ist bekannt*). Damit ein T ~ 1 (mod N) ausfalle, ist zunächst erforderlich, daß die »j Zahlen x^, x.^, . . • , x^ der ersten Vertikalreihe ohne gemeinsamen Teiler mit N gewählt seien. Eine solche Wahl kann auf iV" • (N)^ Arten ge- schehen, wenn {N)^ das über alle verschiedenen Primzahlen q von N aus- gedehnte Produkt 1 1(1 ^j bedeutet. Man sieht leicht, daß zu jedem, ohne Teiler mit N gewählten Systeme x^ mindestens ein T gehört. Alle möglichen T mit der ersten Vertikalreihe x^ folgen dann durch Zusammen- setzung dieses einen mit den verschiedenen Substitutionen ü^l (mod iV). In U unterliegen die w — 1 Zahlen U^ gar keiner Beschränkung. Es lassen sich also im ganzen N'^"^ • i^n-ii-^) inkongruente U bilden, und man erlangt die Beziehung: Da nun T/'i(iV) == 1 ist, so entsteht ' ^ Es handelt sich also wesentlich um die Bestimmung der Größen f{N). Dabei genügt es, den Fall zu untersuchen, wo N eine Primzahl- potenz q' ist. Denn setzt N sich aus mehreren Primzahlpotenzen q' zusammen,; N-IIg!, so tat man f(N) = Ufist)- *) Jordan, Trait^ des substitutions, 120 — 124, Anzahl der Formen in einem Genus. 165 So oft nämlich eine Substitution T = 1 (mod N) ist, ergibt sich dieselbe auch = 1 nach jedem der Moduln q', und ändert sie den Rest /■ (mod N) nicht, so ändert sie auch keinen der Reste f (mod q'). Liegt andererseits für einen jeden Modul q' ein T^ vor, von einer Determinante = 1 (mod q'), welches auf /' (mod q') ohne Wirkung bleibt, so wird die Substitution T (mod N), welche allen Kongruenzen T^T, (modgO genügt, = 1 (mod JSl) ausfallen, und den Rest f (mod N) nicht ändern. So geht die behauptete Relation hervor. 4. Hilfssätze zur Bestimmung der Zahlen f{q'). Wir brauchen in betreff der Größen f(q*) nur den Fall zu betrachten, wo f primitiv in bezug auf q ist, also die Koeffizienten a,.^ von f nicht sämtlich den Teiler q haben. Denn sei etwa f = q^^ • g und 0. So lange man (7 ^ ^ > 0 hat, bleibt der Rest f (mod q^) bei jeder Substitution ungeändert, und man erhält f{g^) = tnio^- Wenn aber d <. t ist, so gilt die Relation (2) W) = ^^"^-'^'-^(2'-')- In der Tat, eine jede Substitution T = 1 (mod q'), welche auf f (mod q') ohne Wirkung ist, ändert auch g (mod q'~'^) nicht; und ebenso wird ein jedes 2^ = 1 (mod g'"''), welches auf g (modq^~'^) ohne Wirkung bleibt, auch f (mod q') nicht ändern. Aus einem jeden X lassen sich aber g(n»-i)rf^ nach dem Modul q' verschiedene Substitutionen T herleiten. Denn in einem % ist immer mindestens ein Koeffizient c da, für welchen ^- zu ö relativ prim ausfällt. Wir können nun, um eine Substitution T zu ge- winnen, erst jeden der w* — 1 übrigen Koeffizientenreste (m.odq*~'^) von % durch g^ verschiedene Reste (mod q^) ersetzen. Der Rest von c für den Modul q' folgt hernach eindeutig aus der Bedingung, daß die verändei*te Substitution eine Determinante = 1 (mod q^) ergebe. Insofern es uns um Faktoren für die Formenanzahl eines Genus zu tun ist, reicht die Betrachtimg solcher Moduln q' aus, welche gewisse Frenzen q^'^^'^ überschreiten. Denn ist t^t—d^O, so beweist man leicht, daß die Zahl i'M''^) : fiq'-") einen Divisor der Zahl ^ = '^^^ vor- stellt. Beachtet man die oben gegebenen Werte von ^^{q% so läuft dieses darauf hinaus, daß die Zahl f{q') in der Zahl q^"' -'')''■ f(q'-'^[t- d>0] aufgeht. Für eine mit q primitive Form f machen wir von folgenden Bezeich- nungen Gebrauch. Die höchsten in den Invarianten Oj, o,, . . ., o„_i ent- 166 Zur Theorie der quadratischen Formen. haltenen Potenzen von q sollen die Exponenten besitzen: gj^, cog, • • , k)„_i, und es sei allgemein ^A = «1 + »2 H 1- «A» '^h = ÄK>1 4- (/i — l)ö2 H 1- "a- Ferner nehmen wir an, von den n — \ nicht negativen Zahlen o^ seien im ganzen A — 1 größer als Null, nämlich die folgenden: (^0 = 0) ö^^, c)^^, . . ., 03^^ _ ^ (^^ = n) und wir bilden die Grleichungen #1 = J«l, ^2 = ^1 + ^2» • • •> -Ö-A = >Ci 4- 3<2 H 1- »f^lJ d. i. ^k = ^h — ^k-x- Der Quotient aus der Determinante A von f und der Potenz q^n- 1 mag für einen Moment Aq heißen. Wir werden weiterhin voraussetzen, daß unsere Moduln q\ wenn q einer ungeraden Primzahl p gleich ist, die Potenz p^=p^n-\^ und wenn g = 2 ist, die Potenz 2^ = 2^'^^»-'^ über- schreiten. Die Folge davon wird sein, daß ein jeder Rest f (mod q^) uns, wenn q= p ist, den Wert der Einheit [-— j , und wenn q = 2 ist, den Wert der Einheit (—1) ^ , sowie im Falle ß^-i = ^ ^^^^ ^^"^ Wert der Einheit {-^\ liefert. Denn es gilt der Satz: Genügt eine Form g schon der Kongruenz 9^f (mod 9»^+^) und soll noch g^f (mod q*) sein, so ist notwendig und hinreichend, daß, wenn q=p, die Beziehung A (^) = A if) (mod p' + ^«- «), und wenn q== 2, die Beziehung A(^)^A(/-) (mod^„_,-2'+^«-) bestehe. Ich erwähne noch einige, zum Teil bekannte Sätze über Kongruenzen, welche bald ihre Anwendung finden werden. (B) Ist eine Form f und eine Zahl a prim in bezug auf eine ungerade Primzahl p, und hat die Kongruenz /"(!,.) ^a (modp) A-p*'~^ Lösungen, so besitzt die Kongruenz (3) m^a (modi^O (<>!)■ J. . p(« - 1) « Lösungen. Denn genügt ein System |,- der Kongruenz (4) m^^c, (mody-i), und setzt man x^^^i,■-\- p*~'^u^ (mody), so kommt, da ^ > 1 sein soU, Anzahl der Formen in einem Genns. 167 Nun können die Zahlen ~ nicht sämtlich durch p teilbar sein, da man — ^ Ij. Try = « (mod p) hat. Also ergibt die Kongruenz p"~^ Lösungen u^ (mod p), und eine jede Lösung von (4) liefert p"~^ Lösungen von (3), woraus unmittelbar unser Satz folgt. Jetzt sei f= ^a^^x^x,. eine in bezug auf 2 primitive Form, und a eine ungerade Zahl. Wir unterscheiden zwei Fälle, je nachdem die Lq- variante 6^ von f den Wert 1 oder 2 hat, die Zahlen a,,. also zum Teil ungerade oder sämtlich gerade ausfallen. (C) Ist 6^ = 1, und besitzt die Kongi-uenz /Xl,) = a (mod 8) jl . 2^("-^) Lösungen, so liefert die Kongruenz (3) /■(!,) ^c. (mod 20 (<>3) J^ . 2(*'-i)' Lösungen. In der Tat, es genügen der Kongruenz (4) m,)^c, (mod 2*-^) zusammen mit einem Systeme |,. (mod 2'~ ^) immer alle die 2" Systeme X- (mod 2'~^), für welche x^^%^ (mod2'~^) ist. Denn jedes dieser Systeme läßt sich in die Form x.^i,^-\- 2^~^ 8^ (mod 2'~^) setzen, wo die n Größen Ö^ entweder 0 oder 1 bedeuten; man hat also wirklich: fe) ^ /-(Ij + 2- ^ .^ ^4- II ^ a (mod 2-^). Bildet man nun mit Hilfe einer Lösung S, (mod 2'"^) von (4) ein System a:,. = |,- + 2^~^u^ (mod 2'~^;, so kommt und die Kongruenz ergibt 2""^ Lösungen m,. (mod 2). So führt eine jede Lösung |,. (mod 2'"') von (4) zu 2"~^ Lösungen |. (mod 2'"^) von (3), woraus die Richtigkeit unserer Behauptung erhellt. Es ist auch klar, daß unser Satz gültig bleibt, wenn wir aUe solchen Lösungen i,- ausschließen, die zugleich gewissen gegebenen linearen Kon- gruenzen nach dem Modul 2 genügen. (D) Ist zweitens 6^ = 2, und hat die Kongruenz /•(!,) ^2« (mod 4) 168 Zur Theorie der quadratischen Formen. 2Ä-2^^^~^^ Lösungen, in welchen die n Zahlen - ^j nicht sämtlich gerade sind, so liefert die Kongruenz (3) /•a) = 2« (mod20 (t>2) 2^4. • 2(''~^)' Lösungen, bei welchen die n Zahlen -^ ^ nicht sämtlich gerade sind. Denn setzt man y/ = ^, so gruppieren sich je 2" Lösungen ^^ (mod2') von (3) zu je einer Lösung 1^ (mod 2'~^) von g'(|,-) ^ u (mod 2'~^). Unser Satz geht so in einen analogen Satz in betreff des Ausdruckes (p über, welcher dann ähnlich bewiesen wird wie der Satz (B). Wir schreiten nun zur Bestimmung der Größen ficf)'^)- Dabei werden wir uns hauptsächlich auf diejenigen Resultate stützen, welche in der Note zu meiner am Anfange zitierten Arbeit enthalten sind {F. Q., pp. 169 — 178 [[S. 136—143]]). 5. Der Fall einer ungeraden Primzahl. Wir betrachten zunächst den einfacheren Fall, wo q gleich einer un- geraden Primzahl p ist. Die Form /' sei primitiv in bezug auf p. Der Modul p* möge die Potenz p^n-i überschreiten. Da wir f durch jeden nach dem Modul p' kongruenten Rest ersetzen dürfen, so können wir annehmen {T . Q., p. 7 [[S. 14]]), f habe den Typus f=Rl^-\-F (modp'), wo a zn p prim ist und F einen Rest von n—1 Variablen vorstellt. Die Koeffizienten von F müssen den Faktor jp'"i enthalten, und setzen wir F^p'"^f^^^ (mod^)'), so fällt der Rest /"(^^ primitiv in bezug auf p aus, und die w — 2 In- varianten p"'/' , welche diesem Reste angehören, erfüllen die Gleichungen: G,/i\ = «,. (Ä = 2,3,...,w-1) Wir denken uns die f{p*) verschiedenen Substitutionen T von einer Determinante = 1 (mod p*) aufgestellt, welche den Rest f (mod p') in sich selbst überführen. In jeder dieser Substitutionen muß die erste Vertikal- reihe aus 71 Zahlen |^ (modp^) bestehen, welche fik) = ^ (mod^O ergeben. Der vorstehenden Kongruenz mögen A •^('*-^)* verschiedene Systeme ^^ (mod^') Genüge leisten. Die Betrachtungen aus F. Q., p. 170 *) In einem ausgezeichneten Falle, nämlich for die Form f = x^^ -\- x^' -\ \-Xn> sind die Zahlen f{q) von Herrn Jordan gegeben (Traitä des substitutions, 201 — 214, , Ordre du groupe orthogonal). fl Anzahl der Formen in einem Genus. 169 [[S. 137]], lassen erkennen, daß jedem dieser Systeme |,. wirklich Sub- stitutionen T zukommen, welche den Rest f in sich selbst transformieren. Es fragt sich, wie viele verschiedene T können aus einem bestimmten Systeme £,. hervorgehen. Ist T^, eine erste dieser Substitutionen, so wird jedes überhaupt vorhandene T mit der ersten Vertikalreihe |^ in ganz be- stimmter Weise zusammengesetzt sein als Produkt aus T^ und aus zwei Substitutionen CT und ^ von der Form , 0, ..., 0 I 1, C7„ . 0, 1, . .., 0 , X- 1, 0, . 0, t,\ . 0, 0, . .., 1 0, C-1, . -; t:-r' SoU nun T den Rest /' in sich selbst überführen, so ist nötig, daß auch U • % diesen Rest in sich selbst transformiere. Hierzu wieder ist erforder- lich, daß die Relationen JJ^^O (mod p*) gelten, und daß die Substitution % auf den Rest F (mod j)') ohne Wirkung bleibe. Die Anzahl der ver- schiedenen T mit der ersten Vertikalreihe |,., welche f (mod p^) nicht ändern, wird daher gleich der Anzahl der verschiedenen % sein, welche auf F (mod^') ohne Wirkung sind, also gleich F{p*). Zieht man noch die Formel (2) in Betracht, so kommt schließKch /•(p') = p(«-i)' +'»![(« -1)^-1] . A . f{i)(jpt-io,y Wir setzen nun allgemein: A = l Für den Rest /^*) bilden wir eine entsprechende Größe f^^^p}. Die vor- stellende Belation verwandelt sich cäsdeinn in: (5) f{p)-A-r^){p], und diese Formel bleibt auch für w = 1 gültig, falls nur für eine Form F von NuU Variablen F[p] = — genommen wird. Es handelt sich jetzt um die Bestimmung der Größe A. Nach dem Satze (B) muß A ■ p"-^ die Anzahl aUer Lösungen von /"(^ = « (mod/)) ausdrücken. Bedeutet x den Index der ersten von den Zahlen Oi,©,, ..., o„_i, w^ (= — oo), welche nicht verschwindet, so können wir f von dem Typus voraussetzen: wo ein jedes «ußs, ...,a^ und ebenso der Rest /'W primitiv in bezug auf p ist (F. Q., p. 19 [[S. 22]]). Wir erhalten dann f= {modp\ und 170 Zur Theorie der quadratischen Formen. Äp''~^ muß die Anzahl der Lösungen von ct> = a (mod^)) geben. Nun läßt sich diese letztere Anzahl nach bekannten Sätzen herleiten.*) Man gelangt so zu folgenden Beziehungen: 1. wenn x = 0 (mod 2), Ä={i-e.p'^), e=={^^^^^--'^^-—^)- 2. wenn x = 1 (mod 2), Im Falle x = 1 hat man sich ö^ = 1 zu denken. Wir können weiter die Größe f{p} auf f^''^p} zurückführen. Man findet : wenn 5( den folgenden Ausdruck bedeutet: im FaUe x = 0 (mod 2), « = 2(i-i)(i-J,)...(i-^-^,)./i-Av und im FaUe x = 1 (mod 2), Für ein x = 1 stimmt diese Gleichung unmittelbar mit (5) überein, während sie für ein x > 1 leicht aus (5) mit Hilfe eines Schlusses von X — 1 auf X hervorgeht. Man braucht nur zu beachten, daß dem Reste /"(^^ in derselben Weise . die Zahl x — 1 angehört wie dem Reste f die Zahl X. Für alle ungeraden Primzahlen p, welche nicht in der Determinante A der Form f aufgehen, wird x = w, also a^^a^ . . . a^ = A (mod^), wäh- rend /■('*) sich als ein Rest von Null Variablen erweist. Für alle diese Primzahlen p kommt daher: 1. wenn w ^ 0 (mod 2), 2. wenn w = 1 (mod 2), ,o,o=."=--'.(i-i,)(i-i)-.(i--^) p' *) Lebesgue, Recherches sur les nombres, § 5 (Journal de Liouville, T. 2, pp. 266— 275). — C.Jordan, Comptes rendus, 1866, I, pp. 687—690; Traite des substitutions, 197—200; Journal de Liouville, 2°"' serie, T. 17, p. 372. — F. Q. artt. VU-Vin [[S. 45-58]]. Anzahl der Formen in einem Genus. 171 Um die Größen f{p} vollständig darzustellen, wollen wir endlich f als Hauptrest für den Modul p' voraussetzen. Falls die Bezeichnungen aus 4. gelten, so heißt dieses, f soll den Typus haben: O, ^ a f)| W|f ) + • • • + <>li*^lif (mod p*- '^i-i) , wo die a/*' sämtlich zu p prim sind (F. Q., p. 19 [[S. 22]]). Für einen Hauptrest f tcird die Größe f{p] gleich einem Produlde aus der Potenz 2'—^ und aus X Faktoren %, icddie den k eimdnen Besten O^ entsprechen und folgende Bedeutung hohen: wo r^l die größte in ^ enthaltene ganze Zahl vorstellt, und a^ = 1 ist im Falle Xi = 1 (mod 2), dagegen: wenn x^ ^ 0 (mod 2) ist. Die Richtigkeit dieser Formeln ergibt sich sofort mit Hilfe eines Schlusses von Jl — 1 auf X. Man bemerkt nämlich, daß dem Reste p*){x = Xj) in derselben Weise die Zahl >l — 1 zukommt wie dem Reste f die Zahl A. 6. Der Fall der Primzahl 2. Wir behandeln jetzt den Fall 3 = 2, welcher auf etwas umständ- licherem Wege zu gleich einfachen Resultaten fuhrt. Die Form f sei primitiv in bezug auf 2. Wir machen für dieselbe von den in 4. an- gegebenen Bezeichnungen Gebrauch. Der Modul 2' sei größer als die Potenz 2^"*''''-i; man hat dann immer ^^2, und wenn ^'„_i > 0, auch Wir werden die Größen /'(2') finden, indem wir f als Hauptrest für den Modul 2* annehmen, also für f den Typus zulassen: /•^{(t>,-F- 2'^^x[(D^ + . . . + 2"'^i-i(0,)..]} (mod 20, wo die einzelnen O^ Reste vorstellen, die in bezog auf 2 primitiv sind, und entweder dem Typus oder, wenn x^ gerade ist, auch dem Typus a(*) (raod2*"***-i) 172 Zur Theorie der quadratischen Formen. (Rh) O. >tk ' Xk V7. ' V7. (mod2'"*'^t-i) angehören {F. Q., p. 23 [[S. 25]]). Dabei bedeuten die a^W ebenso wie die A^^\ lauter ungerade Größen. Wir geben jedem Reste 0^5. vom Typus (Ri) eine Zahl t^ = 1 und jedem Reste 0^ vom Typus (Rn) eine Zahl r^. = 2. anten 6 eines Restes 0^ nennen wir q'^\ q^\ . Die x^ — 1 Invari- folgende Beziehungen (F. Q., art. IV [[S. 28—29]]): wenn r^ Es gelten dann 1: wenn tr^ = 2: ferner: und: o (*^) =2 o (*> = 1 • Ö .->*_! + A (>n (Ä=l,2,...,x,-1) = 1, so daß die Zahlen t^ durch die Invarianten (?^ bestimmt sind. In der Tat erhält man insbesondere: Ein Ausdruck von der Gestalt —0 mag, je nachdem r = l oder t = 2 ist, kurz mit (I) oder mit (11) bezeichnet werden. Wir schicken zunächst einige Bemerkungen über die Kongruenzen (I) = m (mod 4) und (11) = m (mod 2) voraus. I. Für einen Ausdruck V ^ «J,2+ cc,l,^^ • . • + «J,2 (j^od 4) mögen Vj,, H^j, Yg? ^3 die Anzahlen der Lösungen von Y = 0, 1, 2, 3 (mod 4) vorstellen. Diese 4 Anzahlen können leicht nach F. Q., art. VIII [[S. 50 bis 58]], gefunden werden. Man setze nämlich 4^1 = ^0 — *^l — ^8 + *V'3 , 4^2 = ^0- ^1+^2- ts, 4^3 = i^'o + ii^'i - 1^2 — i% , Anzahl der Formen in einem Grenus. wo i = ]/ — 1, und bilde die Einheiten: (6i) X , = (_1)[t].(_i). = i ' , d = (- 1)14 j . (_ 1) *=i . (_ i)*'. 3x + l 3) 4Y<, = 4Vi = 22''+d.2 2 , 3x + l 4Y3 = 4Y3 = 22>^-d-2 » B)£ = -l; ^, = d.i^.2^, ^3==d.^.2¥. 4Yo = 4¥5 = 22''+d-2 * , 3x + l 4V, = 4Vi = 22>=-d-2~«'". In betreflF der Einheiten s und d erwähnen wir noch einige Punkte. 174 Zur Theorie der quadratischen Formen. mithin : 1. Der Rest l ^ a^ -\- a^ -\- •••-{- a^ (mod 4) ist durcli die Einheit e bestimmt. Da nämlich immer «jt = 1 (mod 2) ist, so kommt zunächst l~x (mod 2), (-iy = (-l)^ Sind ferner von den Zahlen a^, «3? • • •; ^x ^^ ganzen Xq kongruent — 1 (mod 4) und a — Hq kongruent 1 (mod 4), so folgt einerseits: andererseits : l^ (x — Xq) — Xq^ X — 2xq (mod 4), (_1)M=(_1)[t] -"»=£. Im speziellen findet man^ wenn x^l (mod 2): l = s (mod 4). 2. Ersetzt man Y durch — Y, also «^ (mod 4) durch — a^ (mod 4), so mögen an die SteUe von s und d die Einheiten s~ und d~ treten. Man erhält unmittelbar: £- = £•(—1)", d-^Ss"-', also l)x = 0(mod2): £- = s, ö- = d ■ e-, 2) ;f = l (mod2): £- = -«, d" = d. Dasselbe Resultat erschließt man auch leicht aus der aufgestellten Tabelle, indem man die Beziehungen M'. /,==(— M')^ beachtet. 3. Wir wollen setzen und die Einheiten s und d, welche zu W^ gehören, mit s^ und d^ bezeichnen. Mit Hilfe der Relationen [|] - l'P] — 1. [t] - Fi-^] - (" - i)Fi^] (-1 2) findet man: « -1 , a -1 U = Kj) £ = (_1)''-1.(_1) 2 .^1^ ^ = (_!)• 2 .£ also 1. x = 0(mod2); A) 6 = 1: ö = d\ a = -s'- (mod 4); g-l ^ = _ (_ 1)"2" . ^1, a^a' (mod 4). B) £ = -1: 2. x = l (mod 2); A) cn^ — £ (mod 4): £^==— 1, B) «^£ (mod 4): £^=1, Anzahl der Formen in einem Genus. 175 IL Jetzt liege ein Ausdruck vor: X ^ («1 1,« + ^ J J, + ö, i,') + ■■■ + /« Ji + -1.1 J.+ äjl] (mod 2), \22 232 2 2/ und es bedeute Xq und X^ die AnzaU der Lösungen von X = 0 und X ^ 1 (mod 2). Setzt man 2Xo = zo + a:i; ^Xi = Zo-Zo femer: \ 2 2 2/ so kommt nach F. Q., p. 65 [[S. 58]]: also: 2Xo = 2'' + ö.2% 2Xi = 2'^-ö-2^ Nach diesen Vorbereitungen wollen wir versuchen, eine Formel auf- zustellen, mit deren Hilfe die Größen f(2^ für Reste von w(> 1) Vari- ablen auf entsprechende Größen für Reste von weniger als w Variablen zurückgeführt werden können. Für Reste f von einer Variablen hat man einfach f(2') = 1. Da wir /' als Hauptrest für den Modul 2' voraussetzen, so gilt jeden- falls eine Kongruenz /• = 0, -f 2'""^/^'^^ (mod 20, (ö^^ > 1) wo cj)^ einen Rest vom Typus (Ri) oder (Rn) bedeutet. Wir unterscheiden zwei Fälle, je nachdem die Invariante r^ = 6^ den Wert 1 oder 2 erhält. (^1 = !)♦ Ist zunächst ö^ = 1, so läßt f sich zugleich in der Form schreiben: /•=af -h2-x/-W (mod 2'), wo u ungerade ist und p^^ einen in bezug auf 2 primitiven Rest vorstellt, welcher im Falle w^ = 0 (x^ > 1) eine erste Invariante 6 gleich 1 ergibt. Überhaupt folgen die Invarianten 6^^^ und 2'"*^^ von f-^^ aus den Glei- chungen: «."-',-«., '»ff.-'».. (A-2,3,...,«-l) Die Anzahl f{2^) der inkongruenten Substitutionen T von einer De- terminante = 1 (mod 2'), welche den Rest f in sich selbst überfuhren, drückt sich in ähnlicher Weise aus wie oben die Zahl /"(j)')* ^^ ^^^ '^^^j die erste Vertikalreihe einer Substitution T muß immer von n Zahlen |^ mod 2') gebildet sein, welche •^) /•(^) ^ a (mod 20 176 7j\ir Theorie der quadratischen Formen. liefern. Dazu tritt in den Fällen, wo Xj > 1 ist, noch die Bedingung, daß nicht zu gleicher Zeit die sämtlichen Kongruenzen (7) ^,^1,1,^1, ...,|,^^1 (mod2) bestehen dürfen (F. Q., p. 172 und 128 [[S. 139 und 106]]). Wir bezeichnen mit J.-2("~^)', je nachdem a^ = 1 oder >1 ist, entweder die Anzahl aller möglichen Lösungen |^ von (3) oder nur die Anzahl aller derjenigen Lösungen ^., welche nicht zugleich die Kongruenzen (7) erfüllen. Die Betrachtungen in F. Q., p. 172 [[S. 139]], zeigen, daß wirklich jedem dieser Systeme t,^ Substitutionen T entsprechen, welche den Rest /' in sich selbst transformieren. Ebenso wie in 5. schließt man dann, daß jedes solche System i,^ zu genau soviel verschiedenen T Veranlassung gibt, als verschiedene Substitutionen von einer Determinante ^ 1 (mod 2'j exi- stieren, welche auf den Rest 2'"i/'(^) ohne Wirkung sind. So gewinnt man die Beziehung: f(2*) = 2("-i)'+'"it(''-^)'-iJ • A • /'W(2'-"'i). In betreff der Größe A unterscheiden wir die Fälle x^ = 1 und x^ > 1. 1. Ist zunächst x^ = 1, so gibt unsere Annahme über t (wenn m>1) jedenfalls t ^ 3. Nach dem Satze 4. (C) muß daher A ■ 2^^''-'^^ die Anzahl der Lösungen von /"(l^) ^ a (mod 8) ausdrücken. Indem man in f alle Glieder fortläßt, welche durch 8 teilbar sind, erlangt f entweder den Typus: (8) f=al^ (mod 8). In diesem Falle hat man f^a (mod 8), sobald | = 1 (mod 2) ist. Die Anzahl der Lösungen von f^a (mod 8) beträgt demnach 4-2^^""'^ und man findet: ^ = 4. Oder f gehört einem der beiden Typen an: (9) f-«l' + 4(I) . ^' /■^«|' + 4(11) + 4(1) '^ ' In dem Ausdrucke 4 (I) erscheint mindestens ein Glied 4a5^=4j; (mod 8). Durch Änderung des Restes von j (mod 2) können wir aus jeder Lösung von f^a (mod 8) eine solche von /" ^ a -f- 4 (mod 8) herleiten, und um- gekehrt. Diese zwei Kongruenzen besitzen also gleich viel, nämlich 2 . 2^('*~^) Lösungen, und man erhält: A = 2. Oder f gehört dem Typus an: (10) f=a^' + 4:(ll) (mod 8). In diesem Falle hat f^cc (mod 8) stets | ^ 1 (mod 2) und (11) = 0 (mod 2) zur Folge. Bildet man für den Rest (II) von Xg = x Variablen, Anzahl der Formen in einem Genus. 177 nach der Formel (6n), eine Einheit 6, so ergibt sich die Anzahl der Lösungen von (11) = 0 (mod 2) gleich 2^-^\l + Ö • 2 V, und man bekommt 2 . Oder f gehört dem Typus an: (11) /-^ «1^4- 2(1) (mod 8). Dann ist f^cc (mod 8) identisch mit | = 1 (mod 2) und (I) = 0 (mod 4). Gehören zu dem Reste (I) von x, = x Variablen, gemäß der Formel (6i), zwei Einheiten s und ö, so liefert die obige Tabelle: 1) X = 0 (mod 2), .... ..(.H.^), £ = -1: Ä = l. 2) X = 1 (mod 2), Ä = rM Oder f gehört endlich dem Typus an: (12) / = «|2 _^ 2(1) 4- 4(1), (mod 8). In diesem Falle enthält 2(1) mindestens ein Glied 2aic^^2T^ (mod 4), mit dessen Hilfe die Lösungen von f^l und /"= 3 (mod 4) einander eindeutig zugeordnet werden können; und ebenso erscheint in 4(1), min- destens ein Glied 4qj^ ^:; 4j (mod 8), infolge dessen die Kongruenzen f^a und f^u-\-4 (mod 8) gleich viel Lösungen zulassen. So findet man leicht: 2. Jetzt sei x, > 1. Wir teilen für einen Moment die Systeme |,., welche /"(§,) ^ 1 (mod 2) ergeben, in Systeme erster oder zweiter Art ein, je nachdem sie den Bedingungen (7) entgegen sind oder mit denselben harmonieren. Irgendein System |,. (mod 4) erster Art möge die Kongruenz (13) m.)^« (mod 4) erfüllen. Da ein solches System zugleich einen bestimmten Wert des Restes /"(!,•) (mod 8) ergibt, so wird es nur einer der beiden Konginienzen /"(!,) ^ a (mod 8) und /"(l,) = a + 4 (mod 8) Genüge leisten. Ist nun von den Zahlen ^j, Ig, ..., |^ etwa ^^ die erste, welche nicht ungerade ausfällt, und ändern wir den Rest |j (mod 4) in Ij + 2 (mod 4), so geht aus dem Systeme |,. (mod 4) ein anderes System erster Art hervor, welches offenbar der anderen von diesen beiden Kongruenzen genügen muß. So erhellt, daß diese zwei Kongruenzen gleich viel Lösungen erster Art zu- lassen. .M inkowski, Geaamnielto Abhaii+^ • a • /•(«)(,?,, . . . , v,_,) (mod 2'+^), 12* 180 '^iir Theorie der quadratischen Formen, so entsteht zunächst die Bedingung Dieser Kongruenz mögen --^(^)- 2 (''"^^^ verschiedene Systeme rj. (mod 2') Genüge leisten. Durch Überlegungen, wie sie in F. Q., pp. 176 — 177 [[S. 141 — 142]], angestellt sind, überzeugt man sich, daß wirklich jedem dieser Systeme 'rj^ Substitutionen T zukommen, welche den liest f in sich selbst transformieren-, es fragt sich wieviele. Die Gesamtheit aller solcher T wird hervorgehen, indem man eine beliebige unter ihnen, etwa Tq, mit allen Substitutionen 1, c/, n , . 0, 1, F, ,. %^ 0, 0, ti , . in-i /«-2 1 (mod 2') 0, 0, ti_„ zusammensetzt, welche f (mod 2 ') in sich selbst überführen. Für % findet man 211^^0, F;, = 0, F,^ = 0 (mod 2'') 5 und man erkennt, daß die An- zahl der verschiedenen % durch 2F(2') ausgedrückt ist, falls F den Rest 2"'2/"(2) bedeutet. So ergibt sich die Beziehung f(2') = 2(«- !)'+('*- 2)'+ ^+'"^[(''- 2)'-!]. A • ^w -/"^^^ (2 '"'"'') • Nun hat man zugleich fW(2^+^) = 2("-^)('+^) + ("''-+^)f(''-2)'-^J- vlW- /■(2) (2 '-'""-); also kommt endlich: /■(2') = 2("-^)'-"("-2)- Ä •/'W(2'+i). Um die Größe A zu finden, beachte man, daß das System der 1 ^f Xj Kongruenzen (7) sich als identisch mit dem Systeme — ^ ^ 0 (mod 2) {i = 1, 2, . . ., n) erweist. Nach 4. (D) muß infolgedessen ^ • 2"~^ die An- zahl aller Lösungen von (13) I /•(!,) ^1 (mod 2) 1 ri f vorstellen, bei welchen die n Zahlen - - „^ nicht sämtlich gerade sind. Wir 2 dij ° woUen für x^ einfach oc setzen. Entweder ist —f vom Tjrpus: [14] /■=(II) (mod 2). In diesem Falle liefern die Kongruenzen (7) stets ^=0 (mod 4); sie sind also nicht mit (13) verträglich. Gehört zu (II) wie oben eine Ein- heit ö, so kommt demnach: Anzahl der Formen in einem Genus. 181 e (-.t Ä= fl- 2 Oder — f ist vom Typus : [15] 4/-^(II) + (I) (mod2). Dann erscheint in (1) ein Glied aj;- = J (mod 2), welches zur Folge hat, daß — /"= 0 und — /"^ 1 (mod 2) gleich viel Lösungen zulassen, man betrachte diese Kongruenzen für sich oder zusammen mit den Kon- gruenzen (7). Man erhält also: Die Größe A^^^ bestimmt sich mit Hilfe der Formeln aus (ö^ = 1) Im Falle [14] findet man, wenn z = 2: Ä^^^ = 4, und wenn x > 2: ^<., = 2/l + -|i-j, wobei e = (j-^).fl.; im Falle [15] wird immer A'^^^ = 2. Wir setzen jetzt allgemein: n-l Unsere Bßkursionsformeln gehen dann in /■{2} = ^./-W{2} über, und auf Gnmd der gefundenen Werte von A können wir den voll- ständigen Ausdruck der Größe f{2} hinschreiben. Es bedeute, wie bisher, f einen aus l Gliedern bestehenden Haupt- rest, wo A gleich ist der um 1 vermehrten Anzahl aller durch 2 teil- baren Größen 2'"'* (A = 1, . . ., n — 1). Femer bezeichne [i — 1 die An- zahl aller Größen aus der Reihe ö^_i2'"/'ö,,^i (A = 1, . . ., w — 1), welche den Faktor 4 enthalten, und v — 1 die Anzahl aller Größen dieser Reihe welche durch 8 aufgehen. 2(8iU-l)+(r-l) Die Größe f{2} ist dann gleich einem Produlie aus der Potenz jj und aus X Faktoren 51^, welche den k einzelnen Besten O^. entsprechen und fdgenderniaßen hestimmt werden: (I). So oß 0^ ein Rest vom Typus (Rj) ist, nelime man: 182 Zur Theorie der quadratischen Formen. und setze 0^= 1, falls die Zahlen t^_^- 2'"'^* i und 2''''^< ■ "f^k+i 'i^icht beide durch 4 ieilbar sind: andernfalls aber bilde man für O^, gemäß den Formeln (6i), zwei Einheiten e^ und d,., und setze: 1) wenn x^^ = 0 (mod 2), je nachdem €^ = 1 oder = — 1 ist, a^ = \l + d,-2 ' ) oder =1; 2) wenn »tj = 1 (mod 2), a, = (l + d,.2""^r. (II). So oft <^^ ein Best vom Typus (Rn) ^^^j nehme man: «' = (i-F^)(i-?)-(i-i'.)-.' und setze (Xj^= \, falls die Zahlen t^_^- 2"'^*-i und 2*"^*- r^^^ nicht beide durch 4 teilbar sind; andernfalls aber bilde man für • = x^ :^ 0 (mod 2), so nimmt eine solche Einheit len Wert an: • * — r /(— 1) Or+lOr+S • • • 0,-iO*-\ ' ffr^r^/yA Endlich sei q = 2. Nach Voraussetzung sind alle Zahlen (pj^ ungerade, id f stellt eine Grundform für den Modul 2 vor. Man gewinnt daher, ih F. Q., pp. 34—36 [[S. 33—35]] einen Hauptrest

^ in folgender Weise auswählt. Sur Abkürzung sei 9-^.^ = r, d'^ = S] dann nehme man, wenn t^ = 1: 0,Oj...O^ ^l + Or + lt, + • • • + 0^ + iO^ + 2 • • • 0,-1'^,-r (mod 2'-"'-), und wenn r^=^2, also jedenfalls s — r = 0 (mod 2); (mod2'-'''), 184 Zur Theorie der quadratischen Formen. 2"'- . 0 0 ...0 •^k = '^l + 0, + lO, + 2^2 H + 0^ + 10^ + 2 • • • 0*-2^._^r 1 2 r 2 . _ 2qPr + 2i-l fc 2 1 O ^ fc „ j_ ^r + ii-l'Pr + ii — ^?Vr + 2i-2 2 fr + 2i-2 ^^r + 2i-l WO die Ä^ irgendwelche ungerade Zahlen bedeuten sollen. So oft nun r^,. = 1 ist und die Zahlen 6^_^2^'- und 2"*er^^j beide durch 4 teilbar sind, kommen für den Ausdruck /'{2} zwei aus den Koeffizienten von 0^. gebildete Einheiten' e und 8 in Betracht. Indem man wiederholt die für ungerade a und a geltende Kongruenz anwendet, ergibt sich s als eine Potenz von — 1 mit dem Exponenten: %--l I y.-^ , -^Q.-2« + iH-l / .„ R-n\ -T- + -2-+Z- ^ ' (^=1'^^-^L 2-J) während 8 aus zwei Potenzen von — 1 zusammengesetzt erscheint, von denen die eine den Exponenten: 2' 2 "^ 2 ' 2 +•••+ 2 '2 +2 * %A-1 »A+l 2 und die andere den Exponenten y. + C-iy-" ^ />.-! yr ^izi" + L+l") . ^■^"^ . V ^izudli erhält. Die erste Potenz aus 8 findet man mit Hilfe der Formeln aus F. Q., p. 85 [[S. 73]] gleich l > [ } h=r+l während die zweite, ebenso wie die Einheit £ sich unmittelbar durch die Charaktere (— 1) ^ und (—1) ^ ausdrückt. Es verdient beachtet zu werden, daß in /"{ 2 } die Einheiten £ und 8 nur in der Verbindung -^ — auftreten, wo 8~ = 8 • s"/^'^ die zu — O^ gehörige Einheit 8 bedeutet. So oft ferner tj^=2 ist, und die Zahlen 6^_.^2''r und 2''*0^_^^ beide Anzahl der Formen in einem Genus. 185 durch 4 teilbar sind, begegnet man in f{2] einer aus den Koeffizienten Ton 0^ gebildeten Einheit e = ( ' ). Wir bemerken schließlich, daß die mit f ^^^ik^i^k adjungierte Form r = ^^^— • >^r x-xü lauter Größen f {q.\ liefert, welche mit den Größen /"{g} identisch sind. Es erhellt dieses leicht aus dem Umstände, daß die Invarianten o/, 6,^ und die Zahlen cp^ der Form f die Gleichungen erfüllen: 8. Ausdruck für die Formenanzahl eines Genus. Irgendein primitives Genus f sei definiert durch seine Invarianten /, 0^, Gf^, C, welche aUen für die Existenz des Genus notwendigen Be- dingungen genügen mögen. Wir büden nach den in 5., 6. und 7. an- gegebenen Regeln die verschiedenen Größen f{q}, welche zu unserem Genus gehören. Wir setzen ferner und 2 wo r(|) = }/«, r(i) = i, r(«-Hi) = wr(M). Wir wollen von dem Falle absehen, wo n = 2 und (— Ij'Oj = A eine negative Qaadratzahl ist, das Genus also lauter zerlegbare Formen enthält. Schließt man diesen Fall aus, so besitzt das über alle möglichen Primzahlen q = 2, o, Ö, . . . erstreckte Produkt (16) M=c ■ y^—.-l L_._ 1 L_... stets einen endlichen Wert. Um dieses nachzuweisen, wollen wir in M die Größe (.-.■.)(.-;)-(.-^) f{2} ^« 186 Zur Theorie der quadratischen Formen. als allgemeines Glied einführen. Solches kann leicht geschehen, indem man mit der Identität 1 = S. S, . . . S,^„_..j • 17 (^ - ^) (' - ■.) •■•['- , p^rj j multipliziert, wo /Sg^ die Summe ^ -^ bedeutet. Man weiß, daß diese Summe den Wert ir-^*' f2Ä;f' ^^^? ^^^^ unter B^. die Jc^ BernouUische Zahl verstanden wird. Für jede nicht in 2A enthaltene Primzahl 2^ kommt, wenn n — l (med 2): ^^ ' und wenn « = 0 (mod 2) : ^;Hi-^^'V^r' (f) = ^F) Sind also die nicht in A aufgehenden, angeraden Primzahlen, ihrer Grröße nach geordnet: p, p', p" usw., so wird das unendliche Produkt: E„E-,E„„ .... p p p ' je nachdem w = 1 (mod 2) oder « = 0 (mod 2), gleich 1 oder gleich der Summe: n yi/(-l)^A\ 1 wo m alle positiven und zu 2A relativ primen ganzen Zahlen durchläuft. Zur Bezeichnung dieser Dirichletschen Summe mag das Symbol i)i(-l)^A] 2 dienen. Man setze nun: ^ _, ^ d. i., wenn w = 1 (mod 2): » — 3 *-» ^ (y) • A ^2 • • • ^«_- 1 und wenn w ^ 0 (mod 2): 2 1 2 ••• - — 2 •^n = (t) • A ^2 • • • ^«-2 • ^ ; 2 2 und lasse ferner 0 alle Primzahlen aus 2% durchlaufen. Dann können wir endlich schreiben, wenn n^l (mod 2) : i Anzahl der Formen in einem Grenus. 187 (17) J^=c, '^ /T^Ä' und wenn » = 0 (mod 2): » (17) M=c..-^-^^ ■ /7£,.Di(-l)T-'.s]. Diese Ausdrücke zeigen in der Tat, daß M einen endlichen und positiven Wert annimmt. Für ein Genus von binären zerlegbaren Formen gewinnt man ein 1-1 ähnliches konvergentes Produkt M, indem man ^i — f *° ^^^ Stelle von -., . treten läßt. Wir behaupten nun: Dk FormenamaJil unseres Genus besifef den Ausdruck: MQ, wo M das angegebene Produkt und Q eine positive unendlidie G~röße bedeutet, die nur von n und I und von der Anzahl der Darstdlungen der Zahl 0 durch die Formen des Genus abhängt. In den Fallen eines definiten Genus (1=0 oder I = n) ist ins- besandere dieses Q ghich der Anzahl aller ganzzahligen n-reihigen Substitu- tionen von der Determinante 1, und mithin M gleidi der über aUe Klassen Gl des Genus erstreckten Summe ^ jr^ • Wir werden uns begnügen, das vorstehende Resultat für die FäUe defiuiter (und zwar positiver) Genera zu erweisen. Dabei werden wir von den Dirichlet sehen Methoden*) Gebrauch machen, und in den Fällen » > 2 einen Schluß von n — 1 auf n zu Hilfe nehmen. Zweiter Teil. 9. Das Maß eines positiTcn Genus dargestellt durch einen gewissen Grenzwert. Ein positives Genus G von n (^ 2) Variablen sei definiert durch seine Ordnung 0: d„ /^- ^- • • ^-- ^"-A 7^0 und seine Charaktere C. Wir setzen voraus, daß dieselben den für die Existenz des Genus notwendigen Bedingungen genügen, d^ sei gleich 1 . das Genus also primitiv. •) Dirchlet, Recherches sur diverses applications de l'analyse infinitesimale .» la theorie des nombres. (Grelles Jonmal, Bd. 19, und Werke, Bd. I.} 1 188 Zur Theorie der quadrätisclien Formen. Es sei A die Determinante des Genus, und B eine beliebige zu 2A relativ prime ganze Zahl. Durch die Kenntnis der Invarianten 0 und C sind wir befähigt, die Reste unseres Genus für einen jeden beliebigen Modul hinzuschreiben. Insbesondere können wir also irgendeinen Haupt- rest 9) in bezug auf den Modul ö^ ■ SAB angeben. Der erste Koeffizient von (p heiße ö^a. Die Zahl a ist dann sicher relativ prim zu 8AJB. Wir richten unser Augenmerk auf den quadratischen Charakter von a in bezug auf den Modul SAB. Enthält A im ganzen b ungerade Prim- zahlen d, und B im ganzen r ungerade Primzahlen r, so wird dieser Cha- rakter durch die Gesamtheit der folgenden 2 + b -f- r Symbole definiert: ^w (-1)"^. O' ii)' iv)- Diese Symbole können zum Teil Charaktere des Genus vorstellen, zum Teil können sie bei anderer Wahl des Restes cp andere Werte erlangen.*) *) Man überzeugt sich leicht, daß in dieser Beziehung die nachstehenden Sätze gelten : Eine jede Einheit i — | kann sowohl gleich -|- 1 wie gleich — 1 ausfallen. Eine Einheit l-^\ hat einen festen Wert, wenn o^^O (mod^), also qo von dem Typus G^a^^ (mod d) ist. Sonst kann dieselbe beide Werte +1 annehmen. Was die Einheiten ( — 1) 2 und 1 — j anlangt, so unterliegen dieselben keiner Beschränkung, wenn e^ == 2 ist. Ebenso im allgemeinen , wenn a^ ■= 1 ist ; nur be- stehen hier die folgenden Ausnahmefalle: « -1 / 2 \ 1. Ist qp^al* (mod 8), so sind beide Einheiten ( — 1) 2 und I — | Charaktere. 2. Ist qp^a|* (mod 4), oder q>^a^^ -\- ßri' (mod 4) und a^ß (mod 4), oder cc-l qoE=a^^-|-ß7]* + yJ^ (mod 4) und a^ß^y (mod 4), so hat die Einheit (— 1) 2~" einen festen Wert. aß+l a-1 3. Ist qp ^ ci^^-\- 2ßr]" (mod 8) und setzt man ( — 1) 2 ^= j ^ go können ( — 1) 2 und I — I sich nur mit qp so ändern, daß s 2 . | — | fest bleibt. a-l 4. Wenn qp ;^ a;|- 4- 2(|3j]^ -f- y^*) (mod 8), so sind für die Einheiten (—1) 2 und ( — I nur drei von den vier Systemen +1? ifcl zulässig. Ist nämlich ß^ — y (^mod 4), so kann der Fall nicht eintreten, daß ( — 1) 2 ungeändert bleibt, während I — I in — ( — ) übergeht, und hat man ß^y ^6 ■ a (mod 4), ö = + 1, so ist der Fall ausgeschlossen, daß ( — ^ 1) 2 ins Gegenteil umschlägt, während ( — ) sich in 6 ■ i -j verwandelt. Anzahl der Formen in einem Genus. 189 Wie in 6. bezeichnen wir mit x den Index der ersten von den n Zahlen o^, o^, . . ., o„_i, o„ (=0), welche gerade ausfällt. Wir denken uns in jeder überhaupt existierenden Klasse des Genus je eine Form ausgesucht, welche nach dem Modul 6^ ■ SAR den Rest (p läßt. Eine beliebige der so gewonnenen Formen sei f. Wir bestimmen für die Variablen von f alle Systeme 1^, ^^t • • -j Kj welche dem Ausdrucke /"(l,) einen Wert öjW erteilen, wo m prim zu 8AJ2 ist und den Gleichungen C(m) = C{u) genügt, welche aber dabei, falls x > 1 ist, nicht die Bedingungen (7) |,^^,^...^^,^ö, (mod2) erfüllen. Über alle diese Wertsysteme ^,. (4= 0, 0, . . ., 0) erstrecken wir alsdann die Summe {vm\ v(i + ?) und wir wollen den Grenzwert ermitteln, welchen diese Summe für ein positives, unendlich abnehmendes q erreicht. Die definierten Wertsysteme ^. werden in einer gewissen Anzahl A von arithmetischen Progressionen I, = SAR . X, + V,, is = SAR ■X. + v^, . . ., §„ = SAR • X„ + v„ enthalten sein. Man bezeichne mit 2^^'"~^^ • A^, wenn jc>1, die Anzahl aller derjenigen Lösungen ^- (mod 8) von -^9P(i.) = « (mod 8), welche nicht zugleich den Bedingungen (7) genügen, und wenn x = 1, Ldie Anzahl aller möglichen Lösungen dieser Kongruenz; femer mit l2'^~^ ' Ä die Anzahl aller Lösungen von [wenn p eine der ungeraden Primzahlen aus AR bedeutet. In den Aus- Irücken von A^ und A erscheint a, wie wir wissen, nur in den Einheiten a?(a). Dieser Umstand läßt erkennen, daß die Anzahl A den Wert hat: A-(8AK)». 1/7(^(1- 1)^4,), (i--2,c,r) wo (/ die 1 -]- b 4- r Primzahlen von 8AjB durchläuft. Setzt man für die 1^ zunächst nur alle diejenigen Systeme, welche in einer der A Progressionen vorkommen, so ergibt sich der Grenzwert der entstehenden Summe für ein () = + 0, nach F. Q., p. 148 [[S. 121]], gleich 190 2ur Theorie der quadratischen Formen. (8A-B)-" WO ..MT.ji] jm Für die ganze Summe H wird daher n wo {SAR\ das über alle Primzahlen q von SAR erstreckte Produkt /7(l-— ) bedeutet. Eine Summe X, von ähnlicher Beschaffenheit wie E, mag jetzt nur alle solchen Systeme ^i = Xj umfassen, in welchen die n Zahlen i,^, Ig, ..., |„ keinen gemeinschaftlichen Teiler haben. Offenbar entstehen alle mög- lichen Systeme 1^., wenn wir diese besonderen Systeme x^ mit allen posi- tiven und zu SAT? relativ primen Zahlen / multiplizieren. Man findet daher und in der Grenze für ^ = 0: Die hier auftretende Summe hat bekanntlich den Wert: wenn S.^ die Summe 1 -|- -^ -f -^ -r • • • und (8AE)^^ das über alle Prim- zahlen q von 8AJB erstreckte Produkt / 1(1 ^j ausdrückt. Wir bemerken noch, daß die Summe X sich in t(f) untereinander identische Summen X.q zerlegen läßt. Dabei ist unter tif), wie in 1., die Anzahl aller Substitutionen von der Determinante 1 verstanden, welche die Form /' in sich selbst transformieren. (Solche Summen X^ haben dann auch in Fällen indefiniter B^ormen einen Sinn.) Wir bilden endlich die Doppelsumme: ^-^•^m-^ T(^,/ erstreckt, einmal: über alle die inäquivalenten Formen /"(= g), mod 1, nicht alle Bedingungen (7) iTj = a:^ = • • • = a;^ = ^1 (mod 2) erfüllen. Der Grenzwert l der früheren Summe X hatte sich als unabhängig von der speziellen Form /' erwiesen. Infolgedessen muß der Grenzwert L dieser Doppelsumme gleich lx^\ -^ sein. Durch die hier erscheinende einfache Summe ist aber das Maß M unseres Genus dargestellt; man erhält demnach: n Wir werden jetzt für L einen zweiten Ausdruck ableiten, und durch Vergleichung der beiden Ausdrücke werden wir dann die in 8, auf- gestellten Formeln als richtig erkennen. 10. Bestimmnnfi: desselben Grenzwertes auf anderem Wege. Wir haben soeben den Grenzwert L gefunden, indem wir uns die Summe S erst nach den einzelnen Formen /, und dann nach der nume- rischen Größe der Zahlen ^^-^- geordnet dachten. Nun handelt es sich in S um lauter positive Glieder; wir müssen daher zu demselben Grenz- wert L gelangen, wenn wir die Summe S direkt nach der Größe der Zahlen — t{^i) = *>» anordnen. Durch ein solches AiTangement entsteht für >S' zunächst ein Ausdruck von der Gestalt: »»* wo die Summation alle positiven Zahlen m betrifft, die zu 8 Aß relativ prim sind und den Gleichungen G{m) = Cia) genügen. Für jede dieser Zahlen m hat die Größe itf(m) folgende Bedeutung. Es bezeichne m(f\ wie oft eine bestimmte Form f die Zahl 6^m mit Hilfe von Systemen x^ darzustellen vermag, welche keinen gemeinsamen Teiler > 1 haben, und außerdem, falls x > 1 , nicht aUe Bedingungen (7) erfUlen. Dann ist: 192 Zur Theorie der quadratischen Formen. wo die Summe sich über alle die Formen f erstreckt. Die Größe M{m) bildet also, wie wir uns nach F. Q., p. 142 [fS. 116]] ausdrücken, das Maß für alle die definierten Darstellungen x^ der Zahl iS^m durch die ver- schiedenen Formen f des Genus G. Treten in der Zahl m im ganzen ft ungerade Primzahlen p^, p^, ..., p auf, so erscheint, nach F. Q., p. 143 [[S. 117]], dieses Maß M(in) als das 2^ -fache von dem Maße eines bestimmten positiven Genus G{m) von Formen mit n — 1 Variablen, welches enge mit dem Genus G zusammen- hängt. Von den Sätzen, welche diesen Zusammenhang feststellen, wollen wir hier soviel anführen, als für die Bestimmung der Größe M(m) von Wichtigkeit ist (vgl. F. Q., art. XVIII [[S. 102—113]]). 1. Es sei zunächst w = 2, in welchem Falle A und o^ identisch sind. Je nach der Beschaffenheit der Zahl m bieten sich zwei Möglich- keiten dar. Entweder ist für die Zahl m die quadratische Kongruenz — A = ^^ (mod ^1 m) nicht lösbar. In diesem Falle existiert auch das Genus G{m) nicht, und man hat sein Maß gleich 0 zu setzen. Oder diese Kongruenz ist lösbar und besitzt 2"" Lösungen z (mod a^m). Alsdann wird das Genus G{m) von der einen Form g = ^^ gebildet und liefert das Maß 1. In beiden Fällen kann man schreiben: ^W = |i + (-K^))|i + (^))-li + (~-")|- Der zweite Fall ereignet sich beispielsweise, wenn man für 6^m den ersten Koeffizienten einer der Formen f wählt, was man tun darf. Denn nach Voraussetzung ist ein solcher Koeffizient = ^^o; (mod ö^-SAi?). Man hat dann jedenfalls ( j = 1, worin eine Bedingung für die Einheiten C{m) - 0(«) liegt. 2. Ist w > 2, so erkennt man zunächst, daß die Invarianten von G{m) durch die Zahl m\C{m) = C(a)~\ und die Invarianten von G stets in solcher Weise ausgedrückt sind, daß das Genus G{m) wirklich existiert. Wir haben bereits bemerkt, daß dieses Genus sich als positiv erweist. Man findet es auch primitiv. Seine Invarianten o und 6 erlangen die Werte : / Ö2, 0, {i>^ wo die Grüßen c, c^, . . ., c^_j sämtlich zu p prim sind. Aus den Kon- '.rruenzen (18) erschließt man das Bestehen einer Kongruenz: Minkowski, GeMnunelte Abhandlougea. L 13 194 Zur Theorie der quadratischen I'oraieil. — Oj^c = ^^ (modjp"'); ,n-2 man findet femer: ce,...c,_,^{'-^)"-'-A^ {moip--). Im Falle eines n~0 (mod 2), wo zugleich (- — j = (— K kommt also Die Formeln aus 5. und 8. geben in diesem Falle: P 2 i + ( (-1) Cn-2 dagegen, wenn « = 1 (mod 2): i>^ J 2 3) Ist endlicli q eine der Primzahlen aus 8AjR, so besitzt das ge- gebene Genus G für einen jeden Modul c/ Hauptreste /i mit einem ersten Koeffizienten ß^m. Aus diesen Hauptresten entspringen, nach den Sätzen aus F. Q., art. XVIH [[S. 102 — 113]], in einfacher Weise Hauptreste des Genus 6r(w). Bedeutet q zunächst eine der ungeraden Primzahlen r , r, so hat ein /*! den Typus: /; = öim|2 + ^^-^ (modffO- Der hier auftretende Rest /'(^) (mod q'~'"^) bildet dann einen Rest des Genus G(m). Ist q = 2, so müssen die Fälle 6^ = 1 und 6^ = 2 unterschieden werden. Im ersteren Falle hat ein f\ den Typus: f^^nie + ^'i^ (mod 2'), wo /"(^^ einen in bezug auf 2 primitiven Rest vorstellt, welcher im Falle Ol = 1 (mod 2) eine erste Invariante ö gleich 1 liefert. In diesem f^^' (mod 2'~"'i) finden wir einen Rest von G{m). Im zweiten FaUe (^j = 2) hat f\ den Typus: f\,^2{mi'-{-AÜ+^n\') + ~'^f^' (mod 2'), wo A ungerade und /"(^^ primitiv in bezug auf 2 ist, und man gewinnt in ^(1) = (i^i^ir:^ t?^ + 2 o^ f^^ (mod 2^+ ') einen Rest des Genus G(m). I Anzahl der Formen in einem Genus. 195 In allen Fällen ergibt sich nun, nach 5. und 0., wenn t groß genug gewählt ist, die Beziehung: wobei A mit der in 9. auf diese Weise bezeichneten Große identisch ist. Für die Ausdrücke E^ und E,^ folgt hieraus, wenn >i = 0 (mod 2) und > 2, die Gleichung: und wenn w ^ 1 (mod 2): 1 _ ^-E's E. 1— L- gn-l Im Falle n = 2 findet man in ähnlicher Weise: f{q] = -4 , also, da Fassen wir alles Vorhergehende zusammen, so können wir die Größe M{m), wenn «>2 ist. in folgender Form schreiben: «-2 »-8 --•^.:-'L:7-j7-^A •(»')> («=2'^''-) 7 wobei im Falle eines geraden n: W-/7 und im Falle eines uncreraden n: ^(^^)-h P' y (P=PvPif;Pu) 1 Dieser Ausdruck bleibt nun auch för n = 2 gültig, wenn c^ = 1 ge- nommen wird. Wir vergleichen jetzt den früher gefundenen Ausdruck von L mit ! dem Grenzwerte Lim ( q ^ ^- \ • Dadurch erhalten wir eine Be- j «iehung für das Maß 3£ des gegebenen Genus. lu dieselbe setzen wir ^-^- ..».^..„•jrz-^.-p"-^» (9-2,»,'-) I wo Dyf = 1 sei für ein ungerades n, und gleich i)„L(— 1)- AJR'J für ein ' gerades n, und wo ^ = A • ^^ und ^ ^, = 2f fw = 2); =f^.A(n^O, mod2; n>2): '-^•|-Ä,-i("^l,mod2) 196 Zur Theorie der quadratischen Formen. die Größen aus 8. bedeuten sollen. Die Größe 3Iq erweist sich dann als unabhängig von der Zahl B, und es wird ütf^ = 1 sein müssen, damit die in 8. für M aufgestellten Ausdrücke in Wirklichkeit gelten. 2 Schreibt man noch ~q für q, so lauten die Endformeln: wenn w = 2, p wenn w ^ 0 (mod 2) und > 2, (20) = Lim wenn w = 1 (mod 2), (21) gS + b+t • Jf« ^Zj^hU. gS + b + r-- (8A"Ji)„.S„ •^''o = Lim I Q^ -^ D„^[(- 1)"« '^,,« AJ?^]|. Dabei durchläuft w, wie erinnert werden mag, alle positiven und zu 8AJ? relativ primen ganzen Zahlen, für welche die 2 + b + r Ein- heiten gewisse feste Werte annehmen, die für ein n = 2 jedenfalls der Bedingung (— -— j = 1 genügen. . ... (8AJKX Diese Zahlen m bilden offenbar die Individuen von (SAR)" • 2 + b+t arithmetischen Progressionen SAR- U -\- m^, {U=0, 1, . . ., oo) von der Differenz SAR. Infolgedessen muß nach Dirichlet die Gleichung bestehen : (22) ?^ = Lim ,2+b + r (^2J^) * Von derselben werden wir sofort Gebrauch machen, um in allen Fällen das Resultat Mq = 1 abzuleiten, 11. Beweis, daß Mo = 1 ist. Wir schicken die folgende Betrachtung voraus: Es sei eine ganze positive oder negative Zahl N teilbar durch alle ungeraden Primzahlen, die unter einer gewissen Grenze G -\- 1 liegen; Anzahl der Formen in einem Genus. 197 ferner soll p die sämtlichen Primzahlen irgendeiner z\x. 2N relativ primen Zahl m durchlaufen: endlich sei v> 1 und y= -— ri dann gelten die Ungleichungen: l-y-0 < 1 + [(ö + 1)- + ((? + 2)- + ...]<]+ y, imd dann /Z.>n(i-p-')>x+[(g + .)->+V+sr'T::^]>rTT>^->-- Auf Grund der vorstehenden Ungleichungen können wir jetzt in allen Fällen, wo « > 4 ist, die Beziehung Mq = 1 nachweisen. Wir wählen einfach die Zahl B, derart, daß in A^ sämtliche un- geraden Primzahlen auftreten, die kleiner als eine Zahl G -[■ \ sind. Unsere Ungleichungen liefern uns dann, wenn n ungerade und > 3 ist, för alle Größen: 198 2ur Theorie der quadratiBchen Formen. und wenn n gerade und > 4 ist, für alle Größen: U » i+\^.. ,.., (8AR)..Ä',„ -, ' n-i 7 \ — /n-«7 r- „ -| 8 einmal obere und dann untere Grenzen. Indem wir erst diese oberen und dann diese unteren Grenzen einsetzen und jedesmal die hervorgehende Ungleichung durch die Gleichung (22) dividieren, bekommen wir, wenn w ~ 1 (mod 2) und > 3 : und wenn n ~0 (mod 2) und > 4: 1-7^4 /i + yn-^\(i + y„-i) L_ <^ M < 1 ' ' 2 3 wobei 7;, für --j gesetzt ist. Lassen wir jetzt die Zahl G ins Unend- hG liehe wachsen, so folgt in der Tat: Mq = 1. Es bleibt uns noch übrig, die Fälle n = 2, 3, 4 zu untersuchen. Ist n = 2, so nehme man B = 1 und betrachte zu gleicher Zeit alle die Grenzwerte L{ni), welche die rechte Seite der Gleichung (19) dar- stellt, wenn man den 2 -f b Einheiten C'(;w) alle die Wertsysteme bei- legt, die der Bedingung ( — j = 1 genügen. Man bilde aus diesen 21+b Grenzwerten ebensoviele lineare Kombinationen: ^c(m) L(m) == L^; c(m) bedeute hier ein beliebiges Glied des über alle Einheiten C{m) er- streckten Produktes JJ\^ + ^^(^w)]; von je zwei Einheiten c(wi), die ein Produkt gleich ( ) geben, soll aber immer nur eine beibehalten werden. Aus den Summen L^ folgen umgekehrt die Größen L(m) mit Hilfe der Gleichungen 2^-^^ - L(ni) = ^c(m)-L^. Die Grenzwerte L^ sind von c Dirichlet angegeben. Unter ihnen ist nur einer von Null verschieden, nämlich derjenige, welcher zu 6 = 1 = ( j gehört; dieser besitzt einen Ausdruck, aus welchem sofort Mq = 1 hervorgeht. In den FäUen w = 3 und w == 4 gebe ich für die Relation Mq= 1 einen Beweis, welcher sich auf die Sätze aus der Anmerkung zu 9. stützt. Übrigens ließe sich für diese Fälle noch dieselbe Methode verwerten, welche in den Fällen n >4 angewandt wurde. Für w = 3 sehe man auch: Smith, On fhe Orders and Genera of Ternary Quadratk Forms, artt. 13 I Anzahl der Formen in einem Genas. 199 —21 (Phil. Trans. GLVn, 1867; CoUected Papers, vol. I) und: F. Q., pp. 156 —159 [[S. 127—129]]; für n = 4: F. Q., pp. 162—163 [[S. 131—133]], und: Smith, Sur la representation des nomhres par une somme de cinq carres (Meni. pres. T. XXIX; Collected Papers, vol. U). Ist w = 3, so konstatiere mau zunächst, daß dem speziellen Genus G von der Ordnung c :)• welches die Formen von der Determinante 1 enthält, ein 3Iq = 1, d. i. ein M=^, zukommt. Bekanntlich bilden alle Formen von G eine ein- zige Klasse, welche durch f = x^^ -\- x^^ -\- x^ repräsentiert wird*), und dieses /' läßt in der Tat genau 24 Transforaiationen von der Determi- nante 1 in sieh selbst zu. Die Anwendung der Gleichung (21) auf G liefert: wo m alle positiven und zu2K relativ primen Zahlen mit festen Einheiten: (-i)"^'> (.1). ("). (")' -. (^) zu durchlaufen hat. Dabei ist nach 0. Anm. die Einheit ( — 1) * stets gleich -|- 1 zu nehmen, während die übrigen Einheiten ganz nach Be- lieben gewählt werden dürfen. Die vorstehende Formel benutzen wir, um für ein beliebiges ternäres Genus G von einer Ordnung (A = o,»o,) \0i, oj die Relation M^ = 1 abzuleiten. Nach (21) genügt die Größe Mq eines solchen Genus jedenfalls einer Gleichung f 24) '^; • ^;-;|; • j/. - Lim { p^-i^ »,[-»■ ^»o j - 1 ») , wo m alle positiven und zu 2A relativ primen Zahlen mit bestimmten festen Einheiten «<-"' (-1)"^. O' (ü). (i)- ■•- © durchläuft. Wir betrachten zuerst den Fall, wo (?iOj und rf,Oj beide vollständige < Quadrate sind. Das Genus G werde durch eine charakteristische Form f repräsen- •) Vgl. z. B. Dirichlet in Grolles Journal, Bd. 40, S. 228. (Werke, Bd. II, S.W.) 200 Zur Theorie der quadratischen Formen. tiert. Der erste Koeffizient von /' heiße \l,d)' denken uns aber im Falle (^ = 1 (mod 4) (was dann sicher gestattet ist), die Charaktere (^j dieses Genus so ausgesucht, daß die Einheit d+l Hi!/i -f «^8^2 + • • • + a^„y„ {h = 1 , 2, . . ., H) *) Grelles Journal, Bd. 92. .Werke, Bd. II, S. 370.) ••) Abhandlungen der Berliner Akademie, 1883. (Werke, Bd. U, S. 129.) 204 Zur Theorie der quadratischen Formen. eine solche Substitution, es mögen also die Kongruenzen gelten: »AA^l, «u-^0 (mo(i4) (h^k). Damit Ä eine endliche Ordnung besitze, ist notwendig und hinreichend, daß die Elementarteiler der mit einem Parameter r gebildeten charakte- ristischen Determinante nur für Wurzeln der Einheit verschwinden und sämtlich linear seien*). Bedeutet f^{r), für irgendeine ganze Zahl v>l, diejenige irreduk- tible ganze Funktion cpivy^^ Grades, welche für die primitiven v*^"^ Einheits- wurzeln Null wird, und deren höchster Koeffizient gleich 1 ist, so wird also die Determinante A jedenfalls einen Ausdruck erhalten (1) (r - iy%(r)f^S^) . . . f^Ar), (m ^ 0, i. > 1) wo die ganzen Zahlen m, v der Bedingung genügen werden (2) w = m + qp(vi) + cp{v^) + • . • + (p{vg) ^m + g. Man setze nun für r irgendeine ganze Zahl c = 1 + 4 (mod 8) ein. Dann muß die Determinante A durch 2^" aufgehen, weil jeder ihrer Koeffizienten durch 4 teilbar wird. Untersuchen wir die höchste Potenz von 2, welche in (1) erscheint. Greht in einer Zahl v die Potenz 2"; aber nicht mehr 2"+^ auf, so folgt c^ = c2''=l4-2''+2 (mod 2'' + »); also wird c* — 1 genau die Potenz 2*"+^ aus 4v enthalten. Nun hat ein f^(r) bekanntlich den Ausdruck V V {r^ — l)(r"^— l)(r"^— 1) . . . V V V f (r«— l){r'*— l)(r>' —1)... wenn cc, ß, y, . . . die verschiedenen Primzahlen aus v vorstellen; also ent- hält /■,(c) dieselbe Potenz von 2 wie V V 4j, . 4 __ . 4 . . aß ay V V V a ß y Die letztere Zahl ist gleich 1, wenn die Zahl v sich aus mehreren verschiedenen Primzahlen zusammensetzt, dagegen, wenn v Potenz einer einzigen Primzahl ist, gleich dieser Primzahl, also entweder ungerade oder *) Hermite, Grelles Journal, Bd. 47, S. 312 (Oeuvres, T. I, p. 199); C. Jordan, Grelles Journal, Bd. 84, S. 112. I über die endlichen Gruppen ganzzaliliger Substitiitionen. 205 gleich 2. Irgendein /",(c) ist also höchstens durch 2, das ganze Produkt (1) für r = c also höchstens durch die Potenz 2*"'+«? teübar, die wegen (2) stets < 2^" ausfällt, außer im FaUe m = n, wo dann überhaupt kein Faktor /"^(r) in A auftritt. Demnach verschwinden die Elementarteiler von A nur für r = 1, und da sie sämtlich linear sein sollen, so müssen in A für r = 1 selbst die Koeffizienten verschwinden, d. h. A ist die identische Substitution, w. z. b. w. Ein Quotient aus zwei verschiedenen, modulo 4 kongruenten ganz- zahligen Substitutionen von endlicher Ordnung ist eine ganzzahlige Sub- stitution von unendlicher Ordnung. §2. Zwei ganzzahlige Substitutionen A und S~^AS sollen im folgenden nur dann als ähnlich bezeichnet werden, wenn die transformierende Sub- stitution S cranzzahlicr und von einer Determinante — 1 ist. Ist A modulo 2 der identischen Substitution kongruent, so gilt das- selbe von jeder ähnlichen Substitution. Hat für eine Substitution A die charakteristische Determinante A einen Ausdruck {r — lY(r-\- 1)"-"», dann gibt es ähnliche Substitutionen, in welchen: Denn ist A nicht selbst eine solche Substitution, so sei in .4 v der kleinste Wert von /*, für welchen diese Gleichungen nicht mehr statthaben. Dann bildet die Determinante r^kk-^kk {h,h = v,...,n) einen Divisor von A und verschwindet, wenn v ^ m, noch für r = £ = 1, wenn v > «», für r = £ = — 1. Man kann daher n — v -\- \ ganze Zahlen s,, . . . s„ ohne gemeinsamen Teuer bestimmen, so daß '* = 2^o»iSji (A, /r = V, . . ., w) wird, und ferner eine Substitution S mit einer Determinante ± 1, so daß man in S~'^ Vh {h m) ist. Damit die Elementarteiler von A* linear ausfallen, muß noch rt* = 0 (^m ^ // > J^), a* =^0 {h>k>m) sein, so daß man in ^* hat: ^h = Vh (^' £ »>0 ; ^1. = ^^PkkVk - Vk {]^>m, A- = 1 , . . . , m). Dann findet man A* = P~^%P, wenn P die Substitution ^h = Ph (^' £ *>0 > ^h - -^PhkVk + Vk (h>m, l'==l,...,m) und 31 die Substitution ^n = ?/;. {h=-l,..., m), x, = - y, (h =m -\-l,..., n^ bedeutet, womit unser Satz bewiesen ist. Ist 0 < wi < n, so zerlegt sich jede quadratische Form, welche durch % in sich selbst transformiert wird, in fi + f^, wo f\ nur von ^r^, ..., x^ und /2 nur von x^^^,. . .,x,, abhängt. Um zu erkennen, inwieweit die gefundene Darstellung von A will- kürlich bleibt, untersuchen wir eine Gleichung: s-'%s = %, ]S\ = ±1. Man denke sich S und % als bilineare Formen mit zwei Reihen von n Variablen, teile jede Reihe in m und n — m Variablen ein, und zerlege entsprechend S in vier Teile und % in %^~%^, dann ergibt sich {S,, -f S,, + S,, + S,,){%, ~ %) = (2t, - %){S,, -f- S,, -f S,, + S,,), ^Xl — ^12 ^f ^21 '^22 ^^ '-'ll "i" '^12 ''^21 '^22; also ,Sij=0, ^21 = 0 und 5 = Äi, -1- /S32, 6\i =±1, ,^82 =±1. über die endlichen Gruppen ganzzahliger Substitutionen. 207 §4. Es bedeute wieder A eine, modiüo 2 der identischen kongruente Sub- stitution, und es werde gesetzt: a^i^=£^ (mod 4), s,,= +1. Dann sind in £Ä, wenn e die Substitution vorstellt, alle ungeraden Koeffizienten = 1 (mod 4). Hat femer letzteres für irgend zwei Substitutionen statt, welche modulo 2 der identischen Substitution kongruent sind, so findet es sich auch im Produkte der- selben erfüllt. Jede ganzzdhlige Substitution Ä: ^k-^^ihkVk (Jh A- = 1, 2, . . ., n) von einer Determinante 1, welche den Koyigruemen a,,^l (mod 4), a,,= 0 (mod 2) Qi 4= Je) (jenügt, läßt sich als ProduJd von lauter Substitutionen Sf^ von der Form: j\-=yu--', ^h-i-Vh-x, ^k=yk±^yky ^k+i-yk+i,--} ^»=y« (h^k) darstellen. Man kann beim Beweise dieses Satzes sich einer Methode bedienen, ähnlich derjenigen, welche Herr Kronecker für die Zerlegung beliebiger ganzzahliger Substitutionen in elementare aufgestellt hat*). Es genügt, zu zeigen, daß Ä durch wiederholtes Zusammensetzen mit Substitutionen S^^. auf die identische Substitution reduziert werden kann. Sei in Ä x^ die erste Variable, welche nicht einfach in y,^ übergehe, dann ergibt die Determinante von A: 1=0 (modd a^^, a,^,,.+i, ■ • ■, «a«), also a,^,^ = 1, sobald" alle Zahlen a^ ^^j, . . ., a,,„ verschwinden. Sei aber noch eine dieser Zahlen, z. B. ct/tiQi ^i.n allmählich auf 1, 0, . . ., 0 reduziert werden. Ist alsdann eine der Zahlen a^^, . . ., «a^j.i, etwa a^^{h'>k), von Null verschieden und + 1 ihr Vorzeichen, so erscheint diese Zahl in AS^f.^ *) Monataberichte der Berliner Akademie, 1866, S. 608 ff., oder Grelles Journal, Bd. 68, S. 282 ff. (Werke, Bd. I, S. 158 ff.) 208 Zur Theorie der quadratischen Formen. durch a^j + 2 ersetzt, also, absolut genommen, verkleinert. AUe diese Zahlen können daher zum Verschwinden gebracht werden. In der auf solche Weise reduzierten Substitution erfährt auch die h^ Variable keine Änderung, und damit ist, unter Zuhilfenahme eines Schlusses von h auf ä -j- 1, unser Satz verifiziert. §5. 1. Es sei G irgendeine endliche Gruppe von homogenen linearen ganzen ganzzahligen Substitutionen mit n Variablen. In derselben bilden diejenigen Substitutionen, welche modulo 2 der identischen Substitution kongruent sind, eine ausgezeichnete Untergruppe, welche @ heißen möge. Die Ordnung von % ist eine Potenz 2", 0 ^ n ^ w. Die Gruppe @ ist ähnlich einer Untergruppe der Gruppe der 2" Substitutionen 3: a^A^i^/,. (A = l,2,...,w) Eine jede Substitution © von @ genügt nämlich nach § 3 der Glei- chung 2 ist, sich in —Tvr oder in -ttt. verschiedene Klassen von uuter- einander vollständig äquivalenten Formen auflösen. N bedeutet hier die Zahl aus § 5. Da t{f) stets in 2"N aufgeht, so werden in den Fällen w ^ 3 die Klassenanzahlen den Faktor 2"" ~ '^ enthalten. Auf Grund der Untersuchungen von Herrn Camille Jordan über die Zusammensetzung der linearen Gruppe {Traite des Subsiitutions, 127 — 140) läßt sich ferner nachweisen, daß man nicht durch eine von der hier ge- gebenen abweichende Fassung des Begriffs der vollständigen Äquivalenz zu kleineren Klassenanzahlen, d. i. zu einer größeren konstanten Dichtig- keit in den Klassen gelangen kann, wenn man nur folgendes voraussetzt: Die Gesamtheit der Substitutionen, welche vollständige Äquivalenz hervor- rufen, soll eine ausgezeichnete Untergruppe der Gruppe derjenigen Sub- stitutionen sein, welche Äquivalenz hervorrufen; oder (was dasselbe ist): *) Kronecker, Über bilineare Formen mit vier Variabein, S. 9. (Werke, Bd. II, S. 434.) über die endlichen Gruppen ganzzahliger Substitutionen. 211 Zwei vollständig äquivalente Formen sollen, irgendeiner äquivalenz- erzeu- genden Transformation zu gleicher Zeit unterworfen, vollständig äquiva- lent bleiben. Wollte man indes von dieser Voraussetzung absehen, so könnte man in den Fällen w ^ 3 dem Begriffe der vollständigen Äquivalenz z. B. die Gruppe derjenigen Substitutionen von der Determinante 1 zugrunde legen, in welchen a^j = 1 (mod 4), «^^ = 0 (mod 4) (h < k), a^^ = 0 (mod 2) (Ä > k) ist; dann würden sich Klassen von einem 2 * -mal so großen Formen- inhalte ergeben. Königsberg i. Pr., 1886. U* VI. Zur Theorie der positiven quadratischen Formen.*) (Grelles Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 101, S. 196—202). Eine wesentlich positive quadratische Form von n Variablen, mit reellen Koeffizienten und nichtverschwindender Determinante, kann — wie eine Darstellung der Form als Summe der Quadrate von n unabhängigen reellen linearen Formen leicht erkennen läßt — nur bei einer endlichen Anzahl ganzzahliger linearer Transformationen ungeändert bleiben. Jede einzelne von diesen Transformationen muß daher eine endliche Ordnung besitzen, d, h. nach einer endlichen Reihe von Wiederholungen zur iden- tischen Transformation führen, und kann deshalb, nach § 1 meines Auf- satzes über den arithmetischen Begriff der Äquivalent, niemals der iden- tischen Transformation modulo 4 kongruent sein, wenn sie nicht mit derselben übereinstimmt. Das Gleiche gilt nun in bezug auf eine jede ungerade Primzahl als Modul; und aus diesem Umstände ergeben sich einige Aufschlüsse über die gesamte Anzahl der in Rede stehenden Transformationen, eine Anzahl, von welcher zuerst Herr Camille Jordan bewiesen hat, daß sie eine nur von der Zahl n abhängende Grenze nicht überschreiten kanu.**) §1- Eine lineare Transformation von endlicher Ordnung ist dadurch charakterisiert, daß die mit einem Parameter r gebildete Determinante / h,lc-l,2,...,n \ ^ = "■*"-""' W=l, S,,~0, h+k) nur für Einheitswurzeln verschwindet, und zwar für einen mehrfachen, *) Der nachfolgende Aufsatz wurde in Verbindung mit dem Aufsatze Über den arithmetischen Begriff der Äquivalenz (Grelles Journal, Bd. 100, S. 449—458; diese Ges. Abhandlungen, Bd. I, S. 201— 211) vom Verfasser im März 1887 der philosophischen Fakultät zu Bonn als Habilitationsschrift vorgelegt. **} Journal de l'lEcole polytechnique, cah. 48, p. 133. Zur Theorie der positiven quadratischen Formen. 213 etwa w- fachen Nullwert zusammen mit allen ihren (w — ij'*° Unter- determinanten*). Bei ganzzahligen Koeffizienten a^^ liefert daher eine Zerlegung in irrednktible Faktoren für A einen Ausdruck: (1) (r - lYfAr)fAr) ■ • -, («' ^0, v>l) wenn mit /,.(>') für eine ganze Zahl v > 1 diejenige ganze Funktion (p(vf^ Grades bezeichnet wird, welche für die primitiven v**" Einheits- wnrzeln verschwindet und als Koeffizient des höchsten Gliedes die Zahl l hat. Der Grad von (1) ist: n = m -{^ (p {v) -\-

l) auftrete, daß also (r — 1)" sei. Denn (c — l)"" enthält zwar genau p"*, irgendein f^{c) )er, wenn v > 1 ist, niemals die Potenz 2>*<''l Letzteres sieht man in folgender Weise ein. Ist eine Zahl v ein Vielfaches von ;>^, aber nicht mehr von p"'^^, so findet man: c' = 1 -r vp (modp'' + ^); 'also enthält c' — 1 dieselbe Potenz von p wie pv. Ein f^(r) hat den Ausdruck : (;.^_l)(r7_i)v7_i)... wenn a, ß, y, ■ . ■ die verschiedenen Primzahlen aus v sind: also geht in fjc) dieselbe Potenz von p auf wie in V V pp.p p aß ay 9 V V et ß y Diese Zahl ist 1, wenn v sich aus mehreren ungleichen Primzahlen zu- sammensetzt, dagegen, wenn v Potenz einer einzigen Primzahl ist, gleich *) Hermite, Grelles .Journal, Bd. 47. S. 312 (Oeuvres, T. I, p. 199); C. Jordan, 'relles Journal, Bd. 84, S. 112. 214 Zur Theorie der quadratiacheu Formen. dieser Primzahl. Die höcliste in f^{c) enthaltene Potenz von p ist dem- nach pi^ oder p^, je nachdem v eine Potenz von p ist oder nicht. Im ersteren Falle ist aber, v > 1 vorausgesetzt, (p{y) mindestens gleich p — 1^2, im letzteren mindestens gleich 1. Hat man nun A = (r — 1)% so müssen, damit A eine endliche Ord- nung besitze, auch alle {n — Vf^"^ Unterdeterminanten, also die Koeffizienten von A für r = 1 verschwinden, d. h. A ist die identische Transformation. §2. Es bezeichne f irgendeine positive quadratische Form mit n Variablen, reellen Koeffizienten und nichtversch windender Determinante, und es sei t{f) die Anzahl der verschiedenen ganzzahligen Transformationen, durch welche die Form in sich selbst übergeht. Sollten in f die Koeffizienten nicht sämtlich in rationalen Verhält- nissen zueinander stehen, so kann man immer leicht eine beliebig wenig von f verschiedene positive Form herstellen, in welcher solches der Fall ist, und welche dabei genau dieselben ganzzahligen Transformationen in sich zuläßt wie f. Letzteres tun femer alle Formen, welche in den Ver- hältnissen ihrer Koeffiizienten mit f ganz übereinstimmen. Im folgenden können wir deshalb voraussetzen, die Koeffizienten von /' seien ganze Zahlen ohne gemeinsamen Teiler. Die t{f) Transformationen bilden eine Gruppe, und an anderer Stelle werde ich nachweisen, daß man, ausgehend von positiven quadratischen Formen, wenn auch nicht zu allen möglichen endlichen Gruppen ganz- zahliger linearer Transformationen, so doch im besondern zu allen den- jenigen gelangen kann, welche nicht in umfassenderen Gruppen als Unter- gruppen enthalten sind. Die in Rede stehende Gruppe ist einstufig isomorph zur Gruppe der Reste ihrer Transformationen in bezug auf irgendeine ungerade Prim- zahl p. Denn lieferten zwei ihrer Transformationen, etwa A und B, gleiche Reste modulo p, so würde die Transformation A~^ - B, welche, als Angehörige der Gruppe, ebenfalls von endlicher Ordnung wäre, der identischen Transformation modulo j9 kongruent, aber von ihr verschieden sein, was nach § 1 nicht angeht. Die Gruppe der t{f) Transforraationenreste ist offenbar eine Unter- gruppe der Gruppe sämtlicher inkongruenter Transformationenreste modulo p von einer Determinante = ± 1 (modp), und ihre Ordnung, die Zahl t(f), daher ein Divisor der Ordnung der letzteren Gruppe, d. i. der Zahl (2) 2(i>« - l)^«-i(i)«-i- l)i)»-2. . . {p^-\)p *). *) Galois, Journal de Liouville, T. XI, 1846, p. 410. (Oeuvres, p. 27.) Zur Theorie der positiven quadratischen Formen. 215 Jene Gruppe ist aber ebenso schon eine Untergruppe der Gruppe aller derjenigen Transformationenreste moduloj?, welche die Form /"modulo^? ungeändert lassen. Die Ordnung dieser Gruppe hat für alle ungeraden Primzahlen p, welche nicht in der Determinante D der Form f aufgehen, also jedenfalls für sämtliche Primzahlen über einer gewissen Grenze Z, den folgenden Ausdruck*), wenn n gerade ist: (3) wo s - \ / 1) *2) I ^ ^ / eine Einheit bedeutet; wenn n ungerade ist: 1, (4) p^'^"-'^-2{p'-l)(p*-l)...{p^-'-l). Als Divisor sämtlicher Zahlen (3) oder (4) für ungerade Primzahlen py-l ist die Zahl t{f) auch ein Divisor des größten gemeinschaftlichen Divisors aller dieser Zahlen. Um ein Resultat zu erhalten, das von der speziellen Form /" unab- hängig ist, denken wir uns in (3) den Faktor p- — s durch sein Vielfaches ^ {p" — 1) ersetzt; ferner möge l mindestens gleich « + 1 sein. Dann ist jener größte gemeinsame Divisor dargestellt durch: n\ = [Jql^i "^ [I(^^)\ ■*" b(^^J ""■■■, (^ = 2, 3, 5, 7, 11, . . .) 7 wenn unter der Bezeichnung [a] die größte in a enthaltene ganze Zahl verstanden wird, und wenn q die Reihe der Primzahlen soweit durchläuft, bis das Produkt von selbst abbricht, d. i. bis zur größten Primzahl, welche noch ^ w + 1 ist. Man hat, um dieses einzusehen, für eine jede Primzahl q eine Zahl (3) bzw. (4) aufzusuchen, welche eine möglichst niedrige Potenz von q enthält. Man gelangt zu einer solchen, indem man die Primzahl p in folgender Weise wählt: wenn g > w + 1 ist, als primitive Wurzel in bezug auf q: wenn q^n -\-l und ungerade ist, als primitive Wurzel für den Modul g'; wenn q = 2 ist, als Zahl der Form = T 1 + 4 (mod 8). Die Existenz von Primzahlen p dieser Formen über der Grenze l ist eine Folge des bekannten Theorems über die arithmetischen Progressionen. Im ersten der drei unterschiedenen FäUe ist dann die in Betracht kommende Zahl (3) oder (4^ durch q überhaupt nicht teilbar; im zweiten •) Vgl. Untersuchungen über quadratische Formen, Acta Mathematica, Bd. 7, S. 218. Diese Ges. Abhandlungen, Bd. I, S. 170. 216 Zur Theorie der quadratischen Fornien. geht q in p' — 1 nur auf, wenn v ein Vielfaches von q — i ist, und zwar dann in derselben Potenz wie in q • -^^^ , mithin in der Zahl (3) bzw. (4) in derselben Potenz wie in ^L?-iJ . 1 -2 • • • r--^1; im dritten enthält p^" — 1 dieselbe Potenz von 2 wie Sv, also die Zahl (3) bzw. (4) die- selbe wie 2"^W.i .2...[|-]. Die Identität der hier auftretenden Primzahlpotenzen mit denjenigen aus n\ ergibt sich durch Anwendung der bekannten Relation: 1 . 2 ' ■ ■ n ==^ n\ ^IJqi^yi^yi^y''', (3 = 2,3,5,7,...) und man erhält damit in der Tat den Satz: Die Änsahl der ganzmlüigen Transformationen einer positiven quadror tischen Form mit n Variablen (und von nichtverschtvindender Determinante) in sich selbst ist ein Divisor der Zahl n\. TiLl Als größter gemeinsamer Divisor aller Zahlen (2) würde sich 2L ^ J . ^ ergeben haben. Die Zahl wi selbst ist ein Divisor von (2w)!; denn in ihrem Aus- drucke verkleinert man keinen der Exponenten, wenn man in denselben anstatt g — 1 überall —q schreibt. Als spezielle Fälle seien die folgenden erwähnt: die Form geht durch 2** • w! , die Form ®" = (^^a)'+^^/*) ('^=1. 2, . .., n) von der Determinante n-\-\ durch 2(w+l)! ganzzahlige Transforma- tionen in sich selbst über. Die Zahl n\ ist ferner das kleinste gemeinsame Vielfache aller mög- lichen Anzahlen t{f). Denn zunächst enthält die der Form O^ angehörige Zahl ^(C„) die- selbe Potenz von 2 wie w|. Ist ferner q eine der ungeraden Primzahlen ^«4-1, und bildet man eine Form /' als Summe von [-^zi;] Formen % i und der Form D / r -,n = D mit fortlaufend numerierten *) Die Form 2)„ ist von den Herreu Korkine und Zolotareff eingehender untersucht worden, vgl. Mathematische Annalen, ßd. 6 und 11. Zur Theorie der positiven quadratischen. Formen. 217 Variablen, so ist für diese Form f die Zahl ^(/) = (2.2!)L^]-[^]!KO) durch dieselbe Potenz Ton q teilbar wie n. Man hat im einzelnen 2 = 24, 3 = 48, 4 = 5760 usw. und all- gemein: 2«+li =2 2n, 2n = 2ft,. • 2« - 1 , ^ = 2« •&,&... .6|-., wenn unter b„ eine Zahl verstanden wird, welche alle und nur solche Primzahlen q enthält, für welche 2n durch q — 1 aufgeht, und jede der- selben in einer Potenz q-^ + \, falls sie in n in der Potenz q^ (x ^ 0) auftritt. Bezeichnet B^ die n^ BernouUische Zahl, so stellt 6„ den Nenner von — -ß. vor*). Die Bestimmung der ganzzahligen Transformationen einer positiven Form /'= ^ ^kk^h^k ^^ si^^ selbst geschieht durch Vermittlung der äqui- 1 valeuten reduzierten Formen. Nach der Definition von Herrn Her mite**) gelten in einer positiven Klasse f diejenigen Formen als reduziert, welche das kleinste System (d. i. kurz ausgedrückt den kleinsten Wert von «ii^"-' + «22^"-'+ ••• + «„„ bei hinreichend großem positivem g) ergeben. Den Sätzen, welche ich in Grelles Journal, Bd. 99 [[diese Ges. Ab- handlungen, Bd. I, S. 153 — 156]] mitgeteilt habe, schließen sich die folgen- den für den Fall von sechs Variablen an. Eine Form /"mit sechs Variablen ist immer und nur dann positiv imd reduziert, wenn sie allen Ungleichungen f(m^, w,, . . ., mj ^ a^, {h = 1, 2, . . ., 6) genügt, für welche die Zahlen m in folgender Tabelle enthalten sind: *j Vgl. Lipschitz, Crelleti Journal, Bd. 96, S. 4. ••) Grelles Journal, Bd. 40, S. 302. Oeuvres, T. I, p. 149.; 218 Zur Theorie der quadratischen Formen. 11111 11112 111111 111112 11112 2 11112 3 (die nicht aufgefülirten Größen m sind gleich Null zu setzen), und ferner den Ungleichungen: ^11 ^ %2 = *66' Nur für die reduzierten und die aus denselben durch Permutation der Variablen hervorgehenden Formen nehmen die Verbindungen <*11 + 0^22 + • ■ ■ + »66? ■ ■ ■> ^11^22 • • • »66 ihre kleinsten Werte an. Die Her miteschen reduzierten Formen mit sieben Variablen lassen sich nicht mehr durch eine Reihe einzelner linearer Ungleichungen voll- ständig charakterisieren. Berlin, den 15. Februar 1887. [ vn. r über die Bedingungen, unter welchen zwei quadratische ' Formen mit rationalen Koeffizienten ineinander rational l transformiert werden können. I (Auszug aus einem von Herrn H. Minkowski in Bonn an Herrn 1 Adolf Hurwitz gerichteten Briefe.) f" (Grelles Joamal für die reine und angewandte Mathematik, Band 106, S. 5 — 26.) ' Bei unserem letzten Zusammensein interessierten Sie und Herr Hubert *. sich für die Frage, unter welchen Umständen zwei diophantisehe Glei- ^chungen zweiten Grades sich rational ineinander transformieren lassen*). In den folgenden Zeilen will ich eine Entscheidung dieser Frage 7,u geben versuchen. Es liege irgendeine quadratische Form mit rationalen Koeffizienten ^or, f. Die Anzahl ihrer Variablen heiße n, und bei dieser Variablen- Kahl habe die Form eine nichtversch windende Determinante; als Aggregat von n Quadraten reeller linearer Formen dargestellt, möge f im ganzen I Quadrate mit negativem, und also n — I mit positivem Vorzeichen auf- weisen. Unterwirft man die Form einer beliebigen linearen Transformation mit rationalen Koeffizienten und von nichtversch windender Determinante, so bleibt dabei zunächst außer den Zahlen w und I, da die Determinante *) Bei der Untersuchung der temären diophantischen Gleichungen vom Geschlechte Null wurden Herr Hilbert und ich auf diese Frage geführt. Wenn zwei diophan- tisehe Gleichungen durch rationale eindeutig umkehrbare Transformationen ineinander übergeführt werden können, so lassen sich offenbar die Lösungen einer jeden dieser Gleichungen aus den Lösungen der anderen ableiten; beide Gleichungen repräsentieren also im wesentlichen dieselbe Aufgabe. Wir rechnen deshalb alle diophantischen Gleichungen, welche aus einer durch die genannten Transformationen hervorgehen, in eine Klasse. Unsere Untersuchung, welche demnächst in den Acta matliematica er- scheinen wird, [[Acta mathematica Bd. 14, S. 217—224]] ergab nun, daß in jeder Klasse ternärer diophantischer Gleichungen vom Geschlechte Null auch quadratische Gleichungen enthalten sind. Die sich hier anknüpfende Frage nach den Invarianten einer solchen Klasse findet daher durch die allgemeinen Sätze, welche Herr Minkowski aufstellt und beweist, ihre Erledigung. A. Hurwitz. 220 Zur Theorie der quadratischen Formen. der Form sich um das Quadrat der rationalen Transformationedetermiuante vervielfacht, die Gesamtheit aller der Primzahlen ungeändert, welche iu der Determinante der Form in ungeraden Potenzen aufgehen. Das Produkt aller dieser Primzahlen, mit dem Vorzeichen (— 1)^ der Determinante ge- nommen, heiße J.; sind Primzahlen der bezeichneten Art nicht vorhanden, so werde ^ = (— 1)^ gesetzt. Weiter werde ich nun zeigen, daß, wenn p eine ganz beliebige Prim- zahl bedeutet, immer aus den Resten der Form / für genügend hohe Potenzen von p als Moduln in gewisser Weise eine im allgemeinen nicht schon durch A allein bestimmte Größe sich herstellen läßt — ich werde sie Cp nennen — , welche ihrer Bildung nach nur der Werte 1 oder — 1 fähig ist, und welche den Wert, den sie für /' hat, bei keiner rationalen umkehrbaren Transformation von /" verändert (vgl. unten Gleichung (1) und (2)). Für alle diejenigen ungeraden Primzahlen, welche weder in der Determinante noch in dem Generabienner der Koeffizienten von f wirk- lich vorkommen (d. h. in nichtversch windenden Potenzen), findet sich diese Einheit von vornherein gleich +1, so daß sie überhaupt nur für eine endliche Anzahl von Primzahlen — 1 sein kann. Diese Bemerkunir vorweggenommen, besteht für die Gesamtheit der Einheiten C von vorn- herein eine Beziehung zu den Werten n, I und A, nämlich ihr Produkt, also C^C^C^C^Ci^ . . ., erweist sich, wenn j die Anzahl der verschiedenen Primzahlen von der Form 4Ü -f- 3 aus A bedeutet, gleich 1 oder — 1, je nachdem die Zahl n — 21 — 2j modulo 8 den Rest 0, 1, 6, 7 oder 2, 3, 4, 5 läßt. Auf diese Beziehung gründe ich eben den Nachweis für die invariante Natur der Einheiten 0^: ich mache zuerst klar, daß jedesmal bei einer Transformation höchstens diejenigen Einheiten C^ sich ändern könnten, welche den in der Determinante und dem Generalnenner der Transformation vorkommenden Primzahlen entsprechen, und dann nehme ich zu Hilfe, daß eine jede rationale umkehrbare Transformation aus solchen besonderen zusammengesetzt werden kann, in deren Determinante und Generalnenner höchstens eine einzige Primzahl aufgeht. Da nun das Produkt aller Einheiten C invariant sein soll und deshalb sich nicht eine allein ändern kann, so bleiben bei derartigen Teiltransformationen und also auch bei jeder Transformation die Einheiten C^ ausnahmslos ungeändert. Im Falle m == 2 gelten außerdem noch folgende Beziehungen der Einheiten C^ zu dem von quadratischen Teilern befreiten Kern der Deter- minante: Sowie eine Primzahl p in A nicht vorkommt und — A quadra- tischer Rest von p bzw., im Falle p = 2, von 8 ist, ist immer C^=l. — Im Falle n — \ sind durch die Zahl A bereits sämtliche Einheiten C^ be stimmt: Für die in A nicht aufgehenden Primzahlen ist immer C^= 1, Rational ineinander transformierbare quadratische Formen. 221 A für die in Ä aufgehenden gleich 1 oder — 1, je nachdem — quadratischer Rest oder Nichtrest ron p ist bzw., im Falle p = 2, die Form 8Z + 1 oder 8? + 3 hat. Nach dem, was über die Einheiten 0^ bereits gesagt ist, müssen auch aUe solchen ungeraden Primzahlen sich nach jeder rationalen Trans- formation von f beständig in der Determinante oder dem Generalnenner der transformierten Form wiederfinden, welche zwar der Zahl A nicht an- gehören, aber ein ^» = — 1 ergeben; ist B das Produkt aller dieser Prim- zahlen, so wird daher, weun die transformierte Form ganzzahlige Koeffi- zienten erhalten sollte, ihre Determinante den Faktor ^BB haben müssen. Durch eine Reihe von sehr einfachen ganzzahligen Transformationen mit der Determinante 1 und von solchen rationalen Transformationen, welche jede darin bestehen, daß sie eine einzelne Variable rational ver- vielfachen, gelingt es nun stets, wie ich zeigen werde, die vorgelegte Form in eine Form mit ganzzahligeu Koeffizienten und genau von der Deter- minante J^BB überzuführen. Dabei erweisen sich dann diejenigen arith- metischen Funktionen dieser Form, welche, wie man sich ausdrückt, ihr GeschlecJä definieren, im allgemeinen als eindeutig durch I, Ä und die Einheiten C bestimmt. Nur, wenn zwischen n, Ä und dem Werte der Einheit C^ eine gewisse Beziehung statthat, könnte noch die erhaltene Form zwei verschiedenen Geschlechtem von der Determinante ABB an- gehören; dann ist von diesen nur eines ungerade Zahlen darzustellen fähig, imd sollte man nicht gerade zu einer Form dieses uncreraden Geschlechts gekommen sein, so kann man zu der erhaltenen Form stets solche äqui- valente Formen finden, welche sich in Formen dieses Geschlechts in der einfachen Weise überführen lassen, daß man eine gewisse ihrer Variablen mit 2, eine gewisse andere mit -- multipliziert. Nun hat zuerst Henry John Stephen Smith*) ausgesprochen, daß irgend zwei Formen eines Geschlechts immer durch rationale Transformationen von der Determinante 1 und mit einem, zu einer beliebig vorgeschriebenen Zahl relativ primen Generalnenner ineinander übergeführt werden können, eine Eigenschaft, welche sie umgekehrt auch als zu demselben Geschlecht gehörig charak- terisiert. Smith hat diesen fundamentalen Satz der Lehre von den quadratischen Formen in der Abhandlung „On the Orders and Genera of Ternary Quadratic Formst' art. 12**) für ternäre Formen bewiesen, und auf Grund derselben Prinzipien und unter Zuhilfenahme gewisser Resultate aus meiner Arbeit ,fSur la thearie des formes quadratiques ä coefficients *) Proceedings of the Royal Society of London, XVI. 1868. p. 202. (Collected i'apers, vol. 1, p. 516.; **; Philosophical Transactions, CLVII. 1867. (Collected Papers, vol. I, p. 4»0.; 222 Zur Theorie der quadratischen Formen. entiers^'*) kann der Beweis für Formen mit beliebiger Variablenzahl geführt werden. Demnach wird es immer möglich sein, unsere Form f in eine bestimmte Form eines, durch die Einheiten Cp (und durch w und J) völlig bestimmten Geschlechts von der Determinante ^BB rational zu transformieren. Nun bezeichne B das Produkt aller überhaupt vorhandenen ungeraden Primzahlen, für welche 0^ = — 1 ist; dann sind aus dem Werte von B die Werte sämtlicher Einheiten C^ ersichtlich — der Wert von C^ bei Be- nutzung der Relation für das Produkt aller C^ — , und man wird den Satz aussprechen dürfen: Theorem L Zwei rationale quadratische Formen mit n Variablen und nichtv er schwindenden Determinanten können dann und nur dann rational ineinander transformiert werden, wenn sie gleiche Invarianten I, Ä und B haben. Die vorher definierte Zahl B ist offenbar der Quotient aus B und dem größten Divisor von Ä und B. Der Trägheitsindex I ist eine Zahl zwischen 0 bis n. Ä hat das Vorzeichen (— 1)^, B ist positiv; vom Vorzeichen abgesehen, sind Ä und B Produkte von lauter verschiedenen Primzahlen bzw. 1 ; 5 ist ungerade, in Ä kann unter Umständen die Primzahl 2 eingehen. — Im Falle w = 2 enthält B niemals eine ungerade Primzahl, welche in Ä nicht vorkommt und von welcher — A quadratischer Rest ist, weil für jede solche Prim- zahl hier i—j = 1 oder = — 1 ist, je nachdem die Charaktere G^ für cp und ip n gleich oder verschieden sind, und daß, wenn nicht (— 1)^ J.= 1 (mod 4) ist, das Symbol \—jrf) = 1 oder = — 1 ist, je nachdem g) und ip gleiche oder verschiedene Charaktere C^ haben, so kann bei J/^ und (p ein Zweifel über die Gleichheit der Einheiten 6^ nur noch hinsichtlich der in M auf- gehenden Primzahlen möglich sein. Die genannten Bedingungen für M sind aber derart, daß man ihnen durch eine Primzahl gerecht werden kann, in welchem Falle es sich nur noch um den einen Charakter 0^ handeln wird; und dieser wird dann für Mij) und (p deshalb nicht ver- schieden sein können, weil er sich für beide Formen in gleicher Weise durch das Produkt der übrigen Charaktere C ausdrücken läßt. 2) Ist n ungerade, so multipliziere man jede der vorgelegten Formen mit ihrer Zahl A, und man erhält so zwei Formen, für die alle Bedin- gungen dafür erfüllt sind, daß sie sich rational ineinander transformieren lassen. Es mögen noch einige spezielle Folgerungen aus den Sätzen I und II Erwähnung finden. Eine rationale Form kann dann und nur dann in irgendwelche negative, rationale Multipla von sich selbst rational transformiert werden, wenn ihre Variablenzahl n gerade und ihr Trägheitsindex gleich \n ist. Eine Form f ist dann und nur dann in — f rational zu transformieren, wenn ihre Varidblenzahl n gerade, ihr Trägheitsindex gleich \n ist und ihre Determinante Jceine Primzahl von der Form 4Z + 3 m ungerader Potenz enthält. Durch welche quadratische Formen mit n Variablen können von Null verschiedene, rationale Quadratzahlen dargestellt werden? Ist durch irgend- eine Form eine von Null verschiedene Zahl N darstellbar, so läßt die Form sich stets so rational transformieren, daß sie die Zahl N als ersten Koeffizienten erhält, und dann geht sie bei dem ersten Schritte der ge- wöhnlichen Methode, eine quadratische Form in Einzelformen mit einer Variable zu zerlegen, über in .A'^x^-f einer Form, welche die Variable x nicht mehr enthält. Es handelt sich also hier um die Kriterien für solche Formen mit n Variablen, welche sich rational transformieren lassen in ßational ineinander transformierbare quadratische Formen. 227 das Quadrat einer Variable + einer Form mit w — 1 Variablen, und man findet: Von Null verschiedene rationale Quadratsahlen sind darstellbar durch jede nicht ivesentlich negative Form mit 4 oder mehr Variablen; durch jede nicht wesentlich negative Form mit drei Variablen, deren Invarianten A und B auch bei Formen mit zwei Variablen vorhommen Jcönnen (die hierfür zu erfüllenden Bedingungen s. oben); durch jede nicht wesentlich negative Form mit zivei Variablen, deren Invarianten A und B auch bei einer Form mit einer Variable vorhomjnen Jcönnen. Wann kann durch eine rationale Form f die Zahl Null rational dar- gestellt werden (natürlich, ohne daß alle Variablen verschwindende Werte erhalten)? Es sei f irgendwie in eine Summe von n Formen mit einer Variablen transformiert, und in einer Lösung von f=0 etwa die Variable einer dieser Formen, welche Nx^ heißen möge, von Null verschieden und = x^. Die Form f besteht dann aus Nx^ und einer Form mit n — 1 Variablen; durch letztere wird, während durch f die Zahl Null dargestellt wird, die Zahl — Nx^^ dargestellt, und diese Form läßt sich daher nach dem vorher Bemerkten rational transformieren in eine Form — Ny^ -f einer Form mit n — 2 Variablen. Da nun N(x^ — y^) stets in x^ — y^ rational zu transformieren ist, so muß also /"in x^ — y^ + einer Form mit w — 2 Variablen zu transformieren sein, wenn/"=0 lösbar sein soll; so ergibt sich: Die Zahl Null ist rational darstellbar durch jede indefinite Form mit fünf oder mehr Variablen, durch jede indefinite Form mit vier Variablen, deren Invariante D nur erste (keine ziveiten) Potenzen von Primzahlen enthält, durch jede indefinite Form mit drei Variablen, deren Invariante D gleich 1 ist, durch jede (indefinite) Form mit zwei Variablen, deren Invariante D = -l ist. Betreffs der über die Gleichung ax^ -f by^ + cz^ = 0 existierenden Lite- ratur sei auf die Vorlesungen über Zahlentheorie von Dirichlet, heraus- gegeben von Dedekind, III. Aufl. Suppl. X [[IV. Aufl. Suppl. X, S. 418 ff.]] verwiesen. Kriterien für die Darstellbar keit der Zahl Null durch beliebige ternäre Formen sind von H. J. St. Smith*) ohne Beweis publiziert: die- selben sind dann später von Herrn A. Meyer**) begründet worden. Ferner bat Herr Meyer***) die notwendigen und hinreichenden Bedingungen für *) Proceedings of the Royal Society of London, XIII, p. 110. (CoUected Papers, >ol. I, p. 410.) ••) Grelles Jonmal für Mathematik, Bd. 98, S. 177. •**) Mathematische Mitteilungen, Vierteljahrsschrift der naturforschenden Qesell- haft in Zürich, XXIX. S. 209. 16* 228 Zur Theorie der quadratischen Formen. die Auflösbarkeit der Gleichung ax^-\- hy^ -{■ cz^-\- du^ = 0, doch in einer umständliclieren Fassung als der hier gegebenen, aufgestellt und bewiesen, daß durch eine jede indefinite Form mit mehr als vier Variablen die Zahl Null rational darstellbar ist. — Endlich ist zu erwähnen, daß Eisenstein*) die Frage behandelt hat, welche ternären Formen sich rational in ein Multiplum von x^ -\- y^ -{■ z^ transformieren lassen. Ich werde nun zunächst das Bildungsgesetz der Einheiten C ableiten. Jeder rationalen quadratischen Form f{x^ , x^, . . ., xj mit gebrochenen Koeffizienten kann in ganz bestimmter Weise eine aus ihr durch eine rationale Transformation abzuleitende Form mit ganzen Koeffizienten zu- geordnet werden, nämlich, wenn N den Generalnenner der Koeffizienten von f bedeutet, die Form NN/", in welche f durch die Substitution Xj,== ^yii {h = 1, 2, . . .,n) übergeht. Wir können uns deshalb auf die Betrachtung ganzzahliger Formen beschränken, und brauchen mit den- selben auch nur solche Transformationen vorzunehmen, durch welche wir wieder auf ganzzahlige Formen kommen. Es ist klar, daß wir solche Funktionen einer quadratischen Form, welche für alle rationalen umkehrbaren Transformationen der Form in- variant sein sollen, nur unter den, das Geschlecht der Form definierenden Größen zu suchen haben; Größen nämlich, die nicht einmal für alle Formen eines Geschlechts gleichwertig sind, erleiden immer schon bei gewissen rationalen Transformationen von der Determinante 1 Änderungen. Die Invarianten des Geschlechts einer quadratischen Form sind ihre Ordnung und ihre Charaktere. (Die nun zunächst folgenden Bemerkungen sind meinem Aufsatze „Sur la theorie des formes quadratiques" ent- nommen, den ich weiterhin kurz mit F. Q. zitieren wiU.)**) Heißt die n Form f =^^aj^^x^Xf^(a^^= %^), und sind alle Koeffizienten ganze Zahlen 1 und die Determinante \a^^\ = A von Null verschieden, so rechnet man zu den Bestimmungsstücken der Ordnung der Form ihre Zahl n, ihren Träg- heitsindex /, ihre Determinante A, ferner die größten gemeinsamen Teiler aller einreihigen, aller zweireihigen usw. bis aller {n — l)-reihigen Unter- determinanten von \aj^^\ — diese Teiler mögen der Reihe nach ^o> ^u • • •> ^n-a heißen, endlich diejenigen größten gemeinsamen Teiler, welche an die Stelle dieser Teiler treten, wenn von den betrefi'enden Unterdeterminanten die unsymmetrischen mit dem Faktor 2 multipliziert genommen werden *) Journal de Liouville. XVII. 1852. S. 473. **) In [[ ]] fügen wir diesen Zitaten den entsprechenden Hinweis auf die in diesen Gesammelten Abhandlungen, Bd. I, S. 3 — 144, veröffentlichte deutsche Aus- gabe hinzu. (Anm. d. Herausg.) Rational ineinander transformierbare quadratische Formen. 229 — diese letzteren Teiler bezeichne ich mit ö^cIq, G^d^, . . ., ^„_irf,_2, so daß eine jede Zahl 6^ gleich 1 oder gleich 2 ist; ich setze noch A = ( — l)^(^„_i und 6q=1, 6^=1. Die durch die Gleichungen d,= d,^^^o,'oi-K..o, (A=l,2,..,n-1) bestimmten ti — 1 Größen o^ erweisen sich immer als ganze Zahlen (F. Q., p. 6 [[S. 13]]j, und femer sind die Zahlen 6,^ immer so beschaffen, daß ein Produkt in welchen N und cc zueinander relativ prime ganze Zahlen bedeuten und die Variablen Restsjsteme modulo JV zu durchlaufen haben; e ist hier die Basis der natürlichen Logarithmen, a; die Ludolphsche Zahl, i=y — 1. Die Werte solcher Summen f(a,N) hängen offenbar nur von den Resten von f in bezug auf die Moduln JV ab. Indem man die Betrachtungen, welche F. Q., p. 60 beziehungsweise p. 65 [[S. 54 und 58]] abgebrochen sind, fortführt, gelangt man in betreff dieser Summen insbesondere zu folgendem wichtigen Resultat«: Zu jeder Primzahl p gehärt eine gewisse Einheit C von solcher Art, daß für jed€ Potenz p*, tcdche nicht niedriger als die in ^ — auf- *'n-l<*n-2 geilende Potenz von p ist, und jede hdiehige zu p relativ prime Zahl a, tccnn noch pP die höchste in A entJmltene Potenz von p bedeutet und die Einheiten Cp und c in der bereits oben festgesetzten Beziehung zur Determinante stehen, die Gleichung gilt: tcenn p ungerade ist, /pg + '»f_l\2 d + nt (1) ««.pO - (^,) G^^-iy-^) p—; icenn p = 2 ist, Die erste Klammer auf der rechten Seite ist jedesmal ein Legendresches Symbol. Ich bemerke noch, daß ö„_irf„_2 den größten gemeinsamen Teiler 1er sämtlichen Zahlen :^— und 2^ — (h4-k) vorstellt •) Diese Summen bilden auch den Gegenstand des Aufsatzes von Herrn H. Weber: üeber die mehrfachen Gaußschen Summen, Grelles Journal, Bd. 74, S. 3U— 256. 230 Zur Theorie der quadratischen Formen. Da für solche ungerade Primzahlen, welche in der Determinante A nicht vorkommen, der Exponent t in (1) bereits gleich Null genommen werden darf, so ist für alle diese Primzahlen offenbar C == 1 . Überhaupt haben wir hier diejenigen Einheiten vor uns, von welchen oben die Rede gewesen ist, wenn wir nur noch festsetzen, daß unter den Einheiten C einer Form f mit einem Generalnenner N > 1 die entsprechenden Ein- heiten der gaazzahligen Form NN/" verstanden werden sollen. Daß eine jede der vorstehend definierten Einheiten C ungeändert bleibt bei allen solchen rationalen umkehrbaren Transformationen von /", bei welchen Determinante und Generalnenner zu der betreffenden Prim- zahl p relativ prim sind, und welche aus f wieder ganzzahlige Formen hervorgehen lassen, ist ohne weiteres ersichtlich. Denn da durch solche Transformationen aus zwei, für einen Modul p^ inkongruenten Systemen der Variablen von f immer wieder inkongruente Systeme der neuen Variablen, und also aus vollständigen Restsystemen in bezug auf einen Modul p* wieder solche Systeme entstehen, so erfahren dabei die Summen f{a, p') keine Veränderung, nnd da offenbar auch die Potenz p^ sich nicht ändert, so behält auch die Einheit C ihren Wert bei. Sehen wir nun zu, wie diese Einheiten C zu berechnen sind. Zer- fällt eine Form f, in bezug auf einen Modul p* betrachtet, in die Summe zweier Formen, f, f", mit verschiedenen Variablen, so ist jede ihr zu- gehörige Summe f(cc,p'^) das Produkt der analogen Summen für /" und /"', und so folgt aus (1) für ein ungerades p: -1 p' ß"-^ (3) G, -(- -1) 2 2 ^; c>' und aus (2) für P- -2: n n - -1 c'-l ;"-l (4) ^B = (-l) ' ' ' C,'C-', die gestrichelten Buchstaben sind auf die Formen f und f" zu beziehen. Nun kann man jede Form /", wenn von ihren Zahlen o^, o^, ..., o„_i im ganzen X — 1 durch eine Primzahl p teilbar sind, durch höchstens n — l Substitutionen, welche darin bestehen, daß sie eine Variable um eine zweite vermehren, und höchstens w — 1 Substitutionen, welche darin bestehen, daß sie zwei Variablen miteinander permutieren und gleichzeitig eine derselben mit — 1 multiplizieren, in eine solche Form qp transformieren, in welcher die aus den ersten /i == 1, 2, . . ., w— 1 Horizontal- und Vertikal- reihen der Determinante gebildeten Unterdeterminanten möglichst niedrige Potenzen von p als Faktoren haben, d. h. Werte ^a^a-i^'a besitzen, in denen die Zahlen qp^ zu p relativ prim sind (F. Q., p. 36 [[S. 35]]); es werde noch q)Q=l, g)^ = (—iy gesetzt. Eine derartige Form cp nenne ich eine Grundform in bezug auf p, und eine Grundform kann weiter für Bational ineinander transfonnierbare quadratische Formen. 231 jeden Modul p' mit Hilfe von solclien Substitutionen, in deren Determinante alle Glieder links von der Diagonale Null und aUe Glieder in der Diago- nale 1 sind und welche daher die Werte der Zahlen (Ja^ä-i^'ä (^' = 1? 2, ..., n) sämtlich ungeändert lassen, in sogenannte Hauptreste umgewandelt, d. h, dergestalt transformiert werden, daß sie modulo pt' in eine Summe von Formen mit einer Variable oder, wenn p = 2 ist, in Formen mit einer Variable und Formen zweiter Art mit zwei Variablen zerfällt. Bringt man dann die Formeln (3) und (4) in Anwendung und benutzt zugleich die bereits oben auseinandergesetzten und nun aus (1) und (2) fast un- mittelbar zu entnehmenden Relationen, welche die Einheiten C„ zweier Formen verbinden, die rationale Vielfache voneinander sind, so wird man in letzter Instanz auf die Einheiten C^ der Form xx geführt, die sich sämtlich gleich 1 erweisen (vgl. Gauß, Summatio quarumdam serierum singu- larium, Werke, Bd. 11), und auf Einheiten Q für Formen ccxx-{- ßxy -\- yyy mit ganzen a, ß, y und ungeraden /3, die ebenfalls gleich 1 sind {F. Q., pp. 57—59 [[S. 51—53]]). Die Exponenten der in den Zahlen d^, Oj, o^, . . ., o„_i der Form f aufgehenden Potenzen von p mögen Vq, cJj, cog, . . ., cj^_i heißen, und es werde noch gesetzt r^ -\- a^ -\- a^ -\- • • ■ -\- a,^ = v^ [h == 1, 2, . . ., »i — 1); femer mögen mit D^ (A = 1, 2, . . ., n) diejenigen, zu p relativ primen Zahlen bezeichnet werden, die sich ergeben, wenn die Zahlen 0j^df^_j^q)^ einer mit f äquivalenten Grundform cp in bezug auf p von ihren Potenzen von p befreit werden. Die aus einer solchen Grundform entstehenden Hauptreste lauten dann, wenn j) ungerade ist (F. Q., p. 34 [[S. 34]]): (5) p'o Z)i Xj^ -f i/> -jy^x^^+ ■•• + p''n-i j^ x^ (mod p*), und man findet auf dem soeben angegebenen Wege: ^^ ^ KpZ^J (i^'n-O i i (T^ ) • [k ==0, !,...[ h-l) Wenn p = 2 ist, so können die aus einer Grundform entspringenden Hauptreste so geschrieben werden: (6) 2'{2'"'^^^*' bzw. -r'-'^-'i^^x,^ -F u,x,x,^, + ^^'- I;;; ^^-^^^i)} (mod 20, {"h = i\ «A-l = l.öA + i=l) worin die binären Formen denjenigen Größen 6^ entsprechen, welche gleich 2 sind (und welche immer die Relationen öa_i=1, Öa+i = 1 und — -D^-x = -^A + i (mod 4) im Gefolge haben), und wobei die u^ in diesen binären Formen beliebige ungerade Zahlen bedeuten; man erhält dann: 232 Zur Theorie der quadratischen Formen. (A=l,2,...,n-1) Für die Gesamtheit dieser Einheiten C besteht eine Beziehung zur Determinante von f, die sieh folgendermaßen herleiten läßt. Man kann zu f immer solche äquivalente Formen (p finden, welche sowohl für die Primzahl 2 wie für alle in der Determinante von f aufgehenden ungeraden Primzahlen Grundformen sind und in welchen außerdem je zwei auf- einanderfolgende der Zahlen cp^, (p^, . . ., (Pn-t zueinander relativ prim sind (F. Q., p. 83 [[S. 72]]). Für solche Formen (p führen die quadra- tischen Kongruenzen: - ^Ä-iOft^Ä+i ^h-i'Ph+i = ^/ (mod ö,V,), (Ä= 1, 2, . . ., w- 1) welche leicht aus einem bekannten Determinantensatze zu erschließen sind, zu Gleichungen: ^-(r,_,o,.,,,y,_,qp^^ _ ^^ ^j^_^^ 2, . . ., W- 1) die £j^ sollen hier die Vorzeichen der Größen 9?^^ vorstellen; und das Produkt dieser n — 1 Gleichungen kann durch wiederholte Anwendung des quadra- tischen Reziprozitätsgesetzes, wenn man noch zu Hilfe nimmt, daß der Trägheitsindex I mit der Anzahl der Zahlen — 1 in der Reihe «i, — , g f IV . . . -^, • • •, -^^ identisch ist, und wenn man mit j die Anzahl der in der *2 ^n - 1 Determinante von f in ungeraden Potenzen aufgehenden Primzahlen von der Form 4:1 -\- 3 bezeichnet, in die Relation umgewandelt werden: (7) _ [-n-2I-2J-\ , r«-2/-2J"l wo das Produkt über die Primzahl 2 und alle in der Determinante von f vorkommenden ungeraden Primzahlen zu erstrecken ist und noch über beliebig viele weitere Primzahlen ausgedehnt werden kann; die eckige Klammer bedeutet das Symbol für größte ganze Zahlen. Diese Relation verhilft uns nun zu dem noch fehlenden Nachweise, daß eine Einheit C auch bei allen solchen rationalen umkehrbaren Trans- formationen von f in andere ganzzahlige Formen ungeändert bleibt, bei welchen nicht sowohl Determinante wie Generalnenner zu p relativ prim sind. Eine jede solche Transformation läßt sich nämlich, worauf ich sofort noch näher eingehen werde, darstellen als Produkt aus einer ersten Trans- formation, in deren Determinante und Generalnenner die Primzahl p aus- schließlich eingeht, und aus einer zweiten Transformation, in welcher Determinante und Generalnenner zu p relativ prim sind. Führt die ganze Transformation die Form f wieder in eine ganzzahlige Form über, so Rational ineinander transformierbare quadratische Formen. 233 muß solches auch die erste Teiltransfonnation tun, weil die zweite nicht imstande sein würde, einen durch die erste in f hineingebrachten General- nenner wieder herauszuschaffen. Die erste Teiltransformation ändert C nicht, weil sie nach dem bereits Bewiesenen nur diese Einheit allein ändern könnte, nun aber infolge von (7) eine einzelne solche Einheit sich nicht ändern kann; die zweite ist auf C^ sicher ebenfalls ohne Einfluß, also gilt dasselbe von der ganzen Transformation. Von der Gleichung für das Produkt aller Einheiten C^ läßt sich noch eine interessante Anwendung machen. SteUt man eine positive Zahl N, in ihre verschiedenen Primzahlpotenzen zerlegt, in der Form N = JJp* dar, so ist nach F. Q., p. 52 [[S. 48]]: f{cc,2r)=llf(af,p) Bringt man diese Relation mit den Gleichungen (1), (2) und (7) in Ver- bindimg, so folgt: Für jeden positiven Modul N, ivdcher durch ^ — teilbar ist, und für beliebige zu ihm relativ prime Zahlen a ist: ^e = C \ ) ^ ^ ^ ^ ^L ^ J (^) L^ Y(- iyA{2X)''. fx, = 1, 2, . . ., N\ U = 1, 2, . . ., n ; Die erste Klammer auf der rechten Seite bedeutet das Legendresche Symbol. Bemerkenswert ist namentlich, daß diese Summe nur von der Determinante A und dem Reste von I (mod 4) abhängt, im übrigen aber von den Charakteren der Form f völlig unabhängig ist. Wegen des soeben herangezogenen Hilfssatzes über die Zerlegung beliebiger rationaler Transformationen in solche, deren Determinante und Generalnenner nur durch eine Primzahl aufgehen, kann auf die Aufsätze von Smith „(hi Systems of linear indeterminate equations and con- fjruences"*) und von Frobenius über die „Theorie der linearen Formen mit ganzen Koeffizienten"**) verwiesen werden; doch sind vielleicht auch die folgenden Bemerkungen über jenen Satz nicht uninteressant. Es ge- nügt offenbar, wenn man die in Rede stehenden Zerlegungen für ganz- *) Philosophical Transactions, vol. 151. 1861. (Collected Papers, vol. I, p. 367.) **) Grelles Journal, Bd. 86. 234 Zur Theorie der quadratischen Formen. zahlige Transformationen auszuführen imstande ist, da man einen etwa vorhandenen Generalnenner jederzeit in angemessener Weise in Faktoren zerlegen und diese dann unter die Teiltransformationen verteilen kann. Jede ganzzahlige Transformation läßt sich nun immer (und zwar auf un- endlich viele Arten) darstellen als Produkt aus einer solchen ganzzahligen Transformation, für welche alle Elemente, die in ihrer Determinante rechts von der Diagonale stehen. Null sind und die ich deshalb für einen Moment eine rechts reduzierte Transformation nennen will, und einer ganzzahligen Transformation von der Determinante 1; dieses erhellt aus dem Umstände, daß man eine jede ganzzahlige Determinante auf die in Frage kommende Gestalt in der Weise bringen kann, daß man in ihr wiederholt Vertikal- reihen zueinander addiert oder voneinander subtrahiert. Das Produkt zweier rechts reduzierter Transformationen: M\ iP,'-0,h^ \ h h h h-d '^1 h-d h-d /■, -. n 7 ^ \ \d = 0,l,...,d J Umgekehrt ersieht man aus diesen Gleichungen, daß jede rechts reduzierte Transformation in zwei andere zerlegt werden kann, sowie für die Zahlen r^ ihrer Diagonalreihe eine Zerlegung in Zahlenpaare p^ , q,^ von solcher Art vorliegt, daß ein jedes p^ zu q^ , q,^ , . . ., g^ J^ relativ prim ist; denn alsdann kann man der Reihe nach für fZ=l, 2, ..., Ä — 1 alle Größen Ph~'^ y ^h~^ ^^^ ganze Zahlen finden, indem man immer zuerst jp^ ~ der Kongruenz d-X %-d gemäß wählt und hernach d C '-^K {h = d + \,d + 2,...,n) setzt. Beispielsweise kann man für die Zahlen pj^ die höchsten in den Zahlen r^ überhaupt aufgehenden Potenzen irgendeiner Primzahl p nehmen, wodurch man auf die für uns wichtige Zerlegung kommt. Bational ineinander transformierbare quadratische Formen. 235 Mit dem Nachweis der invai-ianten Natur der Einheiten Cp ist zu- gleich die Existenz der oben vermittels dieser Einheiten definierten Zahl B sichergestellt, und es erübrigt nur noch zu zeigen, daß in der Tat mit den Zahlen n, I, A, B das System derjenigen Funktionen einer quadra- tischen Form, welche bei allen rationalen umkehrbaren Transfoimationen der Form ungeändert bleiben, y ollständig erschöpft ist. Zu dem Ende gehe ich wieder von irgendeiner ganzzahligen qua- dratischen Form f aus, und ich suche dieselbe rational in eine ganzzahlige Form mit möglichst kleiner Determinante zu transformieren. Es fragt sich, kann dabei ein bestimmter Primfaktor p der Determinante in Wegfall kommen oder nicht. Es sei zunächst p eine ungerade Primzahl. Man bestimme irgend- eine mit f äquivalente Grundform in bezug auf j); aus einer solchen folgt für einen jeden Modul. |>' ein Hauptrest von dem unter (5) angegebenen Typus; es werde eine solche Potenz p^ gewählt, welche die zu /* gehörige Potenz ^"""^ überschreitet. Sowie dann in dem betreffenden Hauptreste (5) einer der Exponenten i\_-i^ sich ^ 2 erweisen sollte, kann derselbe um 2 verringert werden, dadurch daß man die zugehörige Variable dem p^^ Teüe einer neuen Variable gleich setzt, bei welcher Operation alle Koeffi- zienten des Hauptrestes ganze Zahlen bleiben werden. Indem man diese Reduktion so oft als angänglich wiederholt und am Schlüsse nötigenfalls noch eine Umstellung der Variablen vornimmt, kommt man zu einer Form mit einem Reste: worin alle «^ zu p relativ prim sind. Die Determinante dieser Form ent- hält genau die Potenz p"* als Faktor, und m ist eine Zahl zwischen 0 und n. Ob m gerade oder ungerade ausfällt, wird davon abhängen, ob die Primzahl p in der Zahl A von f nicht enthalten war {ß = 0) oder in ihr vorkam {d = 1). Die Einheit C^ erhält hier den Ausdruck r-1 /(-l)L^-lof,_^^i...tt.\ (8) Im Falle n = 2 ist daher, sowie p in A nicht vorkommt und — A quadra- tisdier Best von p ist, immer Gj,= 1 (nämlich sowohl für m = 2 wie für m = 0). Die erhaltene Form kann nun unter Umständen so transformiert werden, daß an die Stelle von tn eine kleinere Zahl tritt. Hat man näm- lich eine binäre Form r;;)(-^") 236 Zur Theorie der quadratischen Formen. (ich bezeichne hier die Form durch das quadratische Schema ihrer Koef- fizienten), in welcher a und ß znp relativ prim sind, und ist — ccß quadra- tischer Rest von p, so kann man eine Zahl rj finden, so daß a -{- ßrj^ durch p, aber nicht durch p^ aufgeht, und jene Form verwandelt sich durch die Substitution V 0 P in eine andere Form, deren Deter- minante genau die Potenz p^ enthält, von der sich aber der quadratische Faktor p^ ablöst, den man durch die Substitution 0 P' beseitigen kann; es resultiert dann eine Form, deren Determinante überhaupt nicht durch p aufgeht und welche wieder eine Grundform in bezug auf p ist. Ist aber in jener binären Form —aß quadratischer Nichtrest von p, so fällt a -{- ßrj^ (modp) für alle ^-^ — modulo p inkongruenten und von Null verschiedenen Quadrate rj^ von Null und von a verschieden aus, und muß deshalb für mindestens eines dieser rj einen anderen quadra- tischen Charakter in bezug auf jp liefern als a. Durch die mit dem be- treffenden r] gebildete Substitution 1 0 V 1 wird dann aus "opl)^'""^"'') eine Grundform in bezug auf p, die sich in einen analogen Hauptrest überführen läßt, in welchem aber die anstelle von a tretende Zahl einen anderen quadratischen Charakter in bezug auf p hat als a. Aus dieser letzten Bemerkung ersieht man, daß, wenn die Zahl m oben ^ 3 ist, man es immer so einrichten kann, daß unter den letzten m Zahlen a^ sich zwei solche befinden, deren negativ genommenes Produkt quadratischer Rest von p ist, und welche also zu der vorher beschriebenen Reduktion Gelegenheit bieten. Ob dann, wenn m gerade und bereits auf 2 gebracht ist, jene Operation noch einmal anwendbar erscheint, ob also die Prim- zahl p durch rationale Transformation aus der Determinante ganz heraus- geschafft werden kann oder aber die Determinante immer durch p* teil- bar bleiben muß, wird davon abhängen, ob 0^=1 ist oder = — 1. Man sieht demnach, daß, je nachdem die Determinante von f eine gerade Potenz von p enthält und 0^= 1 ist, oder sie eine ungerade Potenz von p enthält, oder eine gerade und Cp = — 1 ist, man von f zu einer Form g gelangen kann, deren Determinante überhaupt nicht durch j) aufgeht, oder den Faktor p enthält, oder den Faktor p^. Für diese Form g existieren dann außer c und C keine weiteren quadratischen Charaktere in bezug auf die Primzahl p. Denn alle derartigen Charaktere müßten sich, wie bereits oben bemerkt wurde, aus den Werten der dieser Form zugehörigen Gaußschen Summen g{cc,p^) erschließen lassen; für diese gilt hier aber bereits von ^ = 1 an (in dem ersten der drei unterschiedenen Fälle sogar von t = 0 an) die Formel (1). Rational ineinander transfonnierbare quadratische Formen. 237 welcher aus Formen mit einer Variable und aus binären Formen 2" Mit der so gewonnenen Form können nun entsprechend den weiteren in ihrer Determinante etwa enthaltenen ungeraden Primzahlen analoge Operationen vorgenommen werden, und Potenzen dieser Primzahlen nach Möglichkeit aus der Determinante entfernt werden. (Bis man dabei zur Betrachtung einer bestimmten Primzahl p gekommen ist, hat man lauter Substitutionen angewandt, deren Determinanten zu dieser Primzahl relativ prim sind, und sind deshalb die auf diese Primzalü bezüglichen Potenzen ifh-iQi = 1^2, ..., n) von f völlig unberührt geblieben.) Jetzt betrachte ich das Verhältnis der vorgelegten Form f zur Prim- zahl 2. Es werde zu f oder zu einer der späteren Formen eine äquiva- lente Grundform in bezug auf 2 aufgesucht; aus einer solchen entspringt für jeden Modul 2' ein Hauptrest von dem unter (6j angegebenen Typus, /2a ß \ ß 2y mit ungeraden ß und a zusammengesetzt erscheint. Eine jede dieser 1 Ol binären Formen geht durch die Substitution in eine Grundform in ^ jO 2| bezug auf 2 über, deren zugehörige Hauptreste sich noch weiter in je zwei Formen mit einer Variable auflösen. Man kann so zu einer Grund- form in bezug auf 2 gelangen, welche in bezug auf Moduln 2' Haupt- reste ergibt, die in lauter Formen mit einer Variable zerfallen, und von diesen Hauptresten kommt man, ähnlich wie bei ungeraden Primzahlen, zu Formen mit Resten: «lli*+ • • • + ^n-JL,n+2K-m^,^Lm^^ + • • ' + «„!„*) (mod 16), worin alle a,^ ungerade sind. Hier erhält die Einheit C^ den Ausdruck h = l,2, (9) (-1)1 /h = l,2,...,n \ U = 1,2,...,Ä-1/ ( ' ) Um eine möglichst kleine Zahl m zu erzielen, bemerke ich zunächst, daß eine binäre Form ( ^ ^ ) (mod 8), in welcher a und ß ungerade und ß = /3 (mod 4) ist, durch die Substitution 1 0 1 1 Form mit dem quadratischen Faktor 4 übergeht; entfernt man diesen 0 2 in eme durch die Substitution 1 0 '2 0 1 ^ y 80 bleibt eine Grundform in bezug auf 2 mit ungerader Determinante übrig, die gleichfalls zu zerfallenden Haupt- 238 Zur Theorie der quadratischen Formen. resten, aber mit ungeraden Koeffizienten in der Diagonale Veranlassung gibt. Diese Reduktion ist immer möglich, wenn m ^ 3 ist, weil dann unter den m letzten Zahlen a^ sich immer mindestens zwei modulo 4 kongruente finden müssen. Ist man so in den Fällen w ^ 3 und, wenn m gerade ist, bis zu einem w = 2 gelangt, und ist diese Reduktion dann zunächst nicht weiter möglich, po kann man aus dem Hauptreste, den /o; 0 \ man gerade vor sich hat, gewiß einen Teilrest 1 (mod 16) mit un- geraden Zahlen a und /3 herausnehmen, und ein solcher geht durch die 10.. Substitution in eine Grundform über, welche Hauptreste ergibt, die anstelle der Zahl ß ungerade Zahlen von anderem quadratischen Cha- rakter in bezug auf 4 als ß enthalten, wodurch die beschriebene Reduk- tion noch einmal anwendbar wird. So kann man in den Fällen w ^ 3 von f stets zu einer Form g gelangen, deren Determinante entweder un- gerade ist oder den Faktor 2 höchstens einmal enthält, und zwar zu einer solchen Form, welche auch ungerade Zahlen darstellt. Im Falle n = 2 würde die hier benutzte Methode zur Verringerung /2a 0\ der Zahl m ihren Dienst bei einem Reste 1 j (mod 16) versagen, für welchen — aß^l (mod 4) ist. Ist dann — aß^^l (mod 8), so kann man eine Zahl ri finden, so daß a + ßri^ durch 8, aber nicht durch 16 aufgeht, und dieser Rest geht durch die Substitution 1 0 r] 1 1 0 0 8 m einen Rest über, von welchem sich der quadratische Faktor 16 rational abtrennen läßt, so daß eine Form g übrig bleibt, die in einen Hauptrest mit einer Zahl m == 0 überzuführen ist. In diesem Falles also wenn — A^ 1 (mod 8), ist daher immer Cg = 1. Hat man aber — ^ = 5 (mod 8), so sind die Fälle m = 0 und m = 2 wesentlich verschieden, und der erste ist mit Cg = 1, der zweite mit Cg = — 1 verbunden. Auch der im zweiten Falle sich ergebende Rest /2a 0\ (1 (mod 16), — a/3 = 5 (mod 8) kann in eine Form g mit un- gerader Determinante transformiert werden, nämlich durch die Substitu- tion 1 0 1 1 1 0 0 2 und nachherige Abtrennung des Faktors 4; diese Form ist dann aber notwendig von der zweiten Art (sie stellt nur gerade Zahlen dar). Die Formen g, auf welche man so in jedem Falle kommt, deren Determinanten nicht durch 4 aufgehen, besitzen außer den Einheiten c, Cg Rational ineinander tiansformierbare qnadratisclie Formen. 239 und Cj keine weiteren Charaktere in bezug auf die Primzahl 2, wie aus dem Umstände zu entnehmen ist. daß für sie die Gauß sehen Summen g(a,2^), soweit dieselben für ein J > 0 sich noch nicht der Formel (2) anpassen, einfach NuU sind. Fassen wir alle diese Resultate zusammen, so ist in der Tat gezeigt, daß jede vorgelegte Form f rational in eine Form eines durch ihre Zahlen A und B völlig bestimmten Geschlechts von der zu diesen Zahlen gehörigen Determinante J.BB (B bedeutet den Quotienten aus B und dem größten Divisor von Ä und B) transformiert werden kann, und zwar, mit Ausnahme des Falles n = 2, — J. = 5 (mod 8 ^, Cj = — 1, in eine Form der ersten Art. Wenn n^ 2 ist, kann unter Umständen noch ein zweites Geschlecht von der Determinante ABB und mit denselben Invarianten I, A, B vor- handen sein, nämlich wenn diese Determinante imd diese Invarianten ganz- zahligen, uneigentlich primitiven Formen angehören können; die Haiipt- reste dieses Geschlechts in bezug auf Moduln 2- müßten dann aus lauter /2u ß\ . Formen ( ) mit ungeraden a und ß und eventuell noch einer Form \ß 2yJ 2a|- mit ungeradem a zusammengesetzt sein, was zu den Bedingungen n = 0, J. = 1 (mod 2), c = 1 , c^= C^ oder n = 1 , ^ = 0 (mod 2), c^ = C^ führen würde. Haben diese Beziehungen statt, so existiert jenes zweite Geschlecht wirklich, und wählt man dann, was für n^ 2 immer möglich ist, einen jener Hauptreste so, daß die Zahl y in irgendeinem seiner binären Teilreste durch 2, aber nicht durch 4 aufgeht, so kommt man durch eine mit den Variablen dieses Teilrestes vorgenommene Trans- 2 0 i formation ^ i \ auf eine Form des ersten, eigentlich primitiven Ge- Tl ichlechts zurück. ZUR GEOMETRIE DER ZAHLEN j Über die positiTen qnadratisclieii Formen und über kh4tHn1»riicliii]iiiliche Akoritlimeii. rellea Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 107, S. 278—297.) Die wesentlich positiven quadratischen Formen verdienen und ge- siatt«^n eine besondere Behandlung durch den Umstand, daß sie die ein- fachsten Formen sind, bei welchen durch den Wert der Form zugleich die Werte sämtlicher Veränderlichen b^renzt sind. Aus diesem Grmnde erseheinen sie als ein naturgemäßes HiUEsmittel für die Untersuchung von Reihen diskret«- Größen, und in diesem Sinne sind sie namentlich von Herrn Her mite zu wiederholten Malen mit bedeutendem Erfolge ver- wendet worden. Wenn ihren Koeffizienten audi ganz beliebige reelle Werte, nicht iurchaus rationale beigel^ werden, so stellen sie doch immer geeignete Formen for Zahlen vor, d. h. es hat einen Sinn, die Unbestimmten in ihnen anf die Reihe der ganzen 2jahlen zu beschränken. Bei einer solchen Aufiassung können diese Formen im speziellen als der analytische Aus- druck gewisser einfacher geometrischer Gebilde gelten, der parallelepipe- isch angeordneten regelmäßigen Punktsysteme, und es müssen irgend zwei ormen als äquivalent betrachtet werden, welche auseinander durch lineare -Substitutionen mit ganzzahligen Koeffizienten und von einer Determinante — 1 hervorgehen. Nun entsteht die Angabe, eine Vereinigung äquivalenter Formen, -me Klasse, vollständig durch Invarianten zu charakterisieren. Erst für binäre Formen hat durch die Untersuchungen von Herrn Kronecker diese Aufgabe insofern eine vollkommene Lösung gefunden, als hier in hinreichender Anzahl LQvariante Bildungen als explizite Funktionen eines beliebigen Elements der Klasse und in einer Gestalt, welche die In- varianteneigenschaft unmittelbar in Evidenz treten läßt, gewonnen sind Ähnliche Aufschlüsse hinsichtlich der Formen mit höherer Variablenzahl mögen aus den jüngsten Arbeiten dieses Forschers zu erwarten sein. Indes ist die genannte Aufgabe einer Lösung noch in einem anderen 244 Zur Geometrie der Zahlen. Sinne fähig. Gelingt es, aus den unendlich vielen Formen einer Klasse durch hestimmte Bedingungen eine einzige auszusondern, so stellt eine solche sogenannte reduzierte Form gewissermaßen ebenfalls ein vollstän- diges Invariantensystem der Klasse vor, nur daß der Ausdruck dieses Systems von irgendeiner gegebenen Form der Klasse auch jedesmal erst durch ein gewisses besonderes Verfahren (das dafür aber nur arithmetische Operationen in beschränkter Zahl erfordern darf) hergeleitet werden kann. In solcher Art hat Lagrange*) die Theorie der binären quadrati- schen Formen in Angriff genommen und zu einem glänzenden Abschlüsse gebracht. Seine Resultate über die definiten Formen erhielten durch Legendre**) eine Fassung, welche wohl auf ihre Verallgemeinerungs- fähigkeit hinweisen konnte. Aus der fünften Sektion der „Disquisitiones arithmeticae'' entnahm Seeber***) die Anregung zu einem Studium der analogen Fragen be- treffs der ternären definiten Formen. Seine äußerst mühsame und nicht erfolglose Arbeit fand eine angemessene Würdigung in einer von Gaußf) herrührenden, höchst bemerkenswerten Anzeige. Namentlich durch zweierlei ist diese Anzeige ausgezeichnet: einmal durch den Hinweis auf das von uns schon erwähnte geometrische Äquivalent einer Klasse von positiven quadratischen Formen, dann durch eine eigentümliche Identität, mittels deren eine wichtige, von Seeber nur durch Induktion gefundene Grenze für die Koeffizienten seiner reduzierten Formen direkt in Erscheinung tritt. Die beschwerliche Methode und die verwickelten Beweise von Seeber veranlaßten Dirichletff), für den das nicht Einfache überall nur ein Zeichen des Unvollkommenen war, zu einer von Grund aus neuen Be- handlung, bei welcher er besonders auch durch die von Gauß nur mehr in ihren. Umrissen angedeutete geometrische Einkleidung eine außerordent- liche Durchsichtigkeit erzielte. Der große Fortschritt von Dirichlet bestand darin, daß er nicht mit dem schwerfälligen rechnerischen Aus- drucke der Ungleichungen operierte, durch welche Seeber reduzierte Formen definiert hatte, sondern mit deren wohlerkannter innerer Bedeutung, welche darauf hinausging, die reduzierte Form von gewissen in dem zu- *) Recherches d'Arithmetique. Memoires de l'Academie de Berlin, 1773, p. 265. (Oeuvres, T. III, p. 695.) **) Theorie des Nombres, S'^" ed., T. I § VIII. ***) Untersuchungen über die Eigenschaften der positiven ternären quadratischen Formen, Freiburg i. B., 1831. t) Göttingische gelehrte Anzeigen, Jahrg. 1831, 2. S. 1065 (auch Grelles Journal, Bd. 20, S. 312 und Werke, Bd. II, S. 188). tt) Ueber die Reduction der positiven quadratischen Formen mit drei unbestimmten ganzen Zahlen, Grelles Journal, Bd. 40, 1850, S. 209. (Werke, Bd. II, S. 21.) über kettenbruchähnliche Algorithmen. 245 gehörigen Punktsysteme vorkommenden kleinsten Entfernungen abhängig zu machen. Dasselbe ebenso einfache wie sachgemäße Prinzip, doch in rein arith- metischer Fassung, befolgte Herr Hermite*) in seinen zahlentheore- tischen Briefen an Jacobi, welche in demselben Bande von Grelles Journal gedruckt sind, in dem die ausführlichere Darstellung Dirichlets nach einem bereits vorher im Monatsbericht der Akademie (Jahrg. 1848) ge- gebenen Auszuge erschien. Die Untersuchungen von Herrn Hermite beziehen sich auf Formen mit beliebiger Variablenzahl; sie beginnen mit der Aufstellung des Fundamentalsatzes der Reduktion, wonach die kleinste, durch eine positive quadratische Form von n Variablen mittels ganzer Zahlen darstellbare, von Null verschiedene Große in ihrem dimensions- losen Verhältnis zur n^^^ Wurzel aus der Determinante der Form niemals einen gewissen, nur von der Zahl n abhängigen Betrag übersteigt; und ,sie stellen sich in ihrem Verlaufe als ein ununterbrochenes Zeugnis für die Fruchtbarkeit dieses Satzes in fast jedem Abschnitte der Zahlenlehre dar: es seien nur die Anwendungen auf Kettenbrüche, komplexe Einheiten und approximative Auflösung von Gleichungen hervorgehoben. Insbesondere ergibt sich aus jenem Satze mit Leichtigkeit und noch auf mannigfache Weise die Endlichkeit der Klassenanzahl bei Beschrän- kung auf ganzzahlige Werte der Koeffizienten und einen festen ganz- zahligen Wert der Determinante. Für diese spezielle Folgerung mußte offenbar bereits ein Verfahren genügen, um aus jeder Klasse überhaupt nur eine endliche Anzahl von Formen, nicht gerade eine einzige auszu- sondern. Eine wertvolle Ergänzung lieferte deshalb Herr Camille Jor- dan**) durch den Nachweis, daß bei gewissen Festsetzungen wenigstens eine bloß von der Variablenzahl abhängige Grenze für die Anzahl der im Maximum aus einer Klasse ausgesonderten Formen besteht, indem über- haupt die Substitutionen, durch welche die ausgesonderten Formen inein- ander bei Äquivalenz oder in sich selbst übergehen könnten, von vorn- herein mit der Variablenzahl und zwar in beschränkter Anzahl angewiesen erscheinen. Neue Gesichtspunkte eröffneten Korkine und Zolotareff***), indem ie jene besonderen Formen heranzogen und bis zur Variablenzahl fünf vollständig bestimmten, für welche das in dem Fundamentalsatze von Hermite genannte Verhältnis (des durch ganze Zahlen erreichbaren Mini- mum zur n^^ Wurzel aus der Determinante) ein Maximum ist *) Grelles Journal, Bd. 40, 1860, S. 261—315. (Oeuvres, T. I, pp. 100—163.) •*) Memoire sur l'equivalence des formes. Jovimal de l'^cole Polytechnique T. XXIX, Gab. 48, 1880, p. 111. ***) Mathematische Annalen, Bd. 6, 1873, S. 366 und Bd. 11, 1877, S. 242. 246 Zur Geometrie der Zahlen. In dem vorliegenden Aufsatze versuche ich hauptsächlich, gewisse Lücken auszufüllen, welche sich in der Theorie der positiven quadrati- schen Formen gegenwärtig noch fühlbar machen. So geht bei den bisher eingeführten reduzierten Formen mit höheren Variablenanzahlen der den ursprünglichen binären reduzierten Formen von Lagrange innewohnende Charakter verloren, durch eine Reihe von linearen Ungleichungen in den Koeffizienten definiert zu sein. Es erscheint mir aber theoretisch als eine Tatsache von ganz hervorragender Bedeutung, daß man imstande ist, aus der ~n{n -\- l)-fachen Mannigfaltigkeit, in welcher eine jede quadratische Form von n Variablen durch einen Punkt, unter Zugrundelegung der Werte der Koeffizienten als Koordinaten, repräsentiert wird, aus dieser Mannigfaltigkeit mit Hilfe einer beschränkten Anzahl von lauter ebenen ( — n{n 4- 1) — 1) -fachen Mannigfaltigkeiten ein zusammenhängendes Gebiet abzugrenzen, in welchem — die Grenzen sind nur teilweise mit einzu- rechnen — jeder Punkt je eine Klasse von positiven Formen vertritt, und jede solche Klasse auch einmal und nur einmal vertreten ist. Ein solches Gebiet wird durch die (—^(''^~^^)~^)~^^^^^ Mannig- faltigkeit aller Formen von einer festen positiven, im übrigen beliebigen Determinante in zwei Teile geschieden, von denen der am Nullpunkt be- findliche einen endlichen Inhalt hat. Der Ausdruck dieses Inhalts wird hier allgemein mitgeteilt. Es steht dieser Inhalt mit interessanten mitt- leren Werten der Zahlentheorie im Zusammenhang. Die Überführung irgendeiner gegebenen Form in eine reduzierte muß durch ausschließliche Verwendung einer beschränkten Zahl a priori anzu- weisender Operationen geleistet werden können, und die Ausgangsform darf jedesmal nur in bezug auf Reihenfolge und Wiederholung der Operationen maßgebend sein; dieser berechtigten Forderung wird hier genügt werden. Mit Hilfe einer auch auf Formen mit mehr als drei Veränderlichen übertragenen geometrischen Ausdrucksweise gelingt es, den Fundaraental- satz von Hermite über das Minimum einer positiven quadratischen Form nicht allein als in gewissem Sinne evident hinzustellen, sondern auch die in diesem Satze und in Erweiterungen desselben benötigten Grenzen den bisher angezeigten gegenüber beträchtlich zu verengern. Dadurch werden dann neue, folgenreiche Anwendungen dieses Satzes möglich. — i. 1. Die Orundeigenschaft der wesentlich positiven quadratischen Formen. jl Eine wesentlich positive quadratische Form kann nur fü/r eine endliche Anmhl von ganzmhligen Wertsystemen ihrer Veränderlichen Werte an- nehmen, die eine gegebene Größe nicht überschreiten. ■3^ über kettenbruchähnliche Algorithmen. 247 Denn eine solche Form f mit w Variablen x^, x^, . . . , x^ \%i bekannt- lich immer als Summe der Quadrate von n unabhängigen reellen Linear- formen ihrer Variablen darstellbar: (la) Ia = 3r„i^i + ^a8^2+ ••• + ^a»^n» ^^«6+0. (fl, 6 = 1, 2, . . ., n) Eine Ungleichung f ^ Cr mit positivem G hat nun für jede der Linear- formen abs. 1^ ^ YG zur Folge. Lautet die Auflösung dieser Formen nach ihren Variablen: (Ib) ^6 = (& == 1; 2, . . ., «) SO muß daher abs. Xf,^yG (abs. qp^ ^ -f abs. |ß(") bezeichnen. Ein System ^ besetzt nach irgendeiner Parallelverschiebung entweder vollständig neue Punkte oder tritt wieder ganz in die anfänglichen Lagen seiner Punkte ein. Da die zu konstruierenden Parallelepipeda den ganzen vorausgesetzten n-dimensionalen Raum lückenlos erfüllen werden, und da sie überdies nach den Punkten des Systems zählbar, d. h. ihnen eindeutig zugeordnet sind — nach unseren Festsetzungen über den Bereich dieser Parallelepipeda ist ein jeder Punkt des Raumes einem und nur einem der Parallelepipeda zu- zuteilen — , so wird innerhalb eines, überallhin gleichmäßig ins Unend- liche ausgedehnten Gebiets (man denke beispielsweise an einen w-dimen- sionalen Würfel mit unendlich großer Kante) im Durchschnitt ein Punkt des Systems auf einen Raumteil gleich dem Volumen des Grundparallel- epipedum kommen. In der Maßzahl dieses Volumens erkennen wir hier- nach eine für das Punktsystem an sich charakteristische und von der Wahl des Gerüsts, durch welches wir die Punkte verbunden haben, völlig unabhängige Konstante; und den reziproken Wert dieser Maßzahl werden wir passend als die mittlere Dichtigkeit des Punktsystems bezeichnen können. Zu jedem Punktsysteme gibt es offenbar ein geometrisch ähnliches Punktsystem von der mittleren Dichtigkeit 1. über kettenbruch ähnliche Algorithmen. 249 3. Erneuter Beweis der Grundeigenschaft. Die in 1. bewiesene Grundeigenschaft der wesentlich positiven qua- dratischen Formen läßt sich nun auch leicht geometrisch einsehen. Die gesamten Begrenzungsflächen der vorhin konstruiert gedachten Parallel epipeda sind enthalten in n verschiedenen Scharen von lauter parallelen und äquidistanten (n — l)-dimensionalen Ebenen, als deren Durchschnitte eben die Punkte unseres Systems sich ergeben. Die Di- stanzen in den einzelnen Scharen werden durch die ii Höhen des Grund- parallelepipedum geliefert-, die Längen dieser Höhen mögen \,h^,...,h,^ heißen. In jeder einzelnen Schar sind die Elemente nach einer bestimmten der n Zahlen x^, x^, . . ., x^ zu numerieren. Im Nullpunkte 0 kreuzen sich die Nullelemeute aller Scharen; in einem Punkte P mit ganzzahligen Be- stiramungsstücken x^, x^, . . ., x„ das x^^ Element der ersten, das jTj'® der zweiten, . . ., das a:^** der «*^° Schar. Xun kann der Abstand OF nicht kleiner sein als der senkrechte Abstand zweier durch 0 und P gehenden -' — l)-dimensionalen Parallelebenen. Soll also der Abstand OP eine ^egebene Länge YG nicht überschreiten, d. h. soll: f(x,,x^,...,x„)£G sein, so müssen um so mehr die Ungleichungen statthaben: (3) h^^hs.x^SVG, (a=l,2,...,n) imd diesen kann wieder nur eine beschränkte Anzahl von ganzen Zahlen genügen. 4. Positive quadratisclie Form und Parallelepipeduiu. Die mit Ausnahme des Falles n = 1 immer vorhandene Willkür in der Darstellung einer positiven quadratischen Form /" als Summe von )i Quadraten linearer Formen betrifft geometrisch nur die Xeignng der Ele- mentarparallelepipeda gegen die rechtwinkligen Koordinatenachsen, auf welchen die linearen Formen ihre Auslegung finden: es sind nämlich die Projektionen der Strecken p^ auf die Achsen der |j, Ij, . . ., |„ genau die Koeffizienten ;rij, ;rgj, . . ., nr^^j, der zugehörigen Variableu Xf, in den linearen Formen li, Ig, . . ., |„. Die Figur des Elementarparallelepipedum, ohne Rücksicht auf ihre Stellung im vorausgesetzten «dimensionalen Räume, aber mit Kennzeich- mug ihrer ürsprungsecke und der Reihenfolge der Kanten an dieser Ecke, 'estimmt eindeutig den Ausdruck der Form f in ihren Koeffizienten. Soll üeser: «^ /rt, 6=1, 2, . . . ,r ».=]/- 250 Zur Geometrie der Zahlen. lauten, so bedeutet jedesmal ein Koeffizient q^^^ mit gleichen Indizes das Quadrat der Länge der Strecke p^, und ein Koeffizient 7^,^ mit verschie- denen Indizes das Produkt aus den Längen der Strecken p^ und p^ und dem Kosinus des Neigungswinkels dieser Strecken. Ferner bedeuten: 1. die Determinante der Form, g'^ji==A, das Quadrat des Inhalts des r A Parallelepipedum, 2. die symmetrischen Unterdeterminanten ^^ — die Qua- 3a a drate der Inhalte seiner paarweise einander gleichen Begrenzungsebenen, so daß für die n Höhen des Parallelepipedum die Ausdrücke resultieren: J^- (a-l,2,...,n) Alle diese Beziehungen sind am einfachsten durch ein Zurückgehen auf das rechtwinklige Koordinatensystem der |j. Ig? • • •> In einzusehen, werden übrigens sofort noch klarer hervortreten. Umgekehrt gehören dagegen zur gegebenen wesentlich positiven Form f (Formel (4)) in dem gleichen Räume von n Dimensionen immer zwei ver- schiedene Arten von w-kantigen begrenzten Ecken, und dementsprechende ParaUelepipeda. Denn zunächst haben wir jedenfalls in 2. eine solche Art gefunden, und zwar auf Grund irgendeiner Darstellung von /" als Summe der Quadrate von n linearen Formen. Um das dabei angewandte Ver- fahren beschreiben zu können, ohne auf die Bedeutung der | - Koordinaten wieder eingehen zu müssen, wollen wir uns auf den positiven Seiten der rechtwinkligen Koordinatenachsen der |j^, Ig? • • •? I„ f^ie ** Punkte E^,E^,. . ., E^^ markiert denken, welche in der Einheit der Entfernung von 0 abliegen, und die geometrischen Strecken nach diesen Punkten mit C^, 63, • • •, C„ be- zeichnen. Dann entsteht die erste, zur Form /"gehörige Ecke 0{F^P^ . . ., P„) aus 2. einfach, indem in 0 die Strecken: (4a) Vb- ^ii>h+ ^2b^^+ • • • + ^nb^n (P= 1;2, ...,n) angefügt werden. Der günstige Erfolg dieser Operation läßt sich am besten mit Hilfe einer von Graßmann eingeführten Symbolik übersehen: Das Produkt aus den Längen zweier Strecken I und m und dem Kosinus ihres Neigungswinkels mag das innere Produkt dieser Strecken heißen und Im geschrieben werden. OflFenbar gilt für diese Art von Multi- plikation neben den Regeln e„|e^=l, e^iej= 0 (a 4= &) das distributive Gesetz, und daraus geht sofort ^„IPö^ ^ab hervor. Andererseits aber folgt allein aus den Beziehungen p^iPb"^ 9.abi sowie man mit Hilfe der aus (Ib) entnommenen Koeffizienten n Strecken: (4b) e,= CPa.V, + «5Pa2p2+ • • • + ^an^n (« = 1, 2, . . ., n) bildet, mit Notwendigkeit: e^ e^= 1, 6^:6^= 0(a 4= ^)j und also jedesmal eine rechtwinklige Ecke mit n Kanten gleich der Längeneinheit. über kettenbruchähnliche Algorithmen. 251 Von solchen rechtwinkligen Ecken gibt es nun in einem Räume von n Dimensionen (genau so wie im speziellen Falle n = 3) immer zwei Arten, die innerhalb dieses Raumes nicht in allen ihren entsprechenden Kanten zugleich zur Deckung zu bringen sind. Eine Art können wir als durch die Ecke 0{E^E^ . . . EJ der Koordinatenachsen definiert betrachten. Dann entsteht die zweite Art durch Spiegelung dieser Ecke an irgend- einer (m — l)-dimensionalen Ebene, und durch die nämliche Spiegelung muß aus der zuerst gefundenen Ecke 0{P^P^ . . . F,^ eine zweite zw f gehörige Ecke hervorgehen. Der Spiegelung an einer Ebene: entspricht die Umwandlung der Koeffizienten n^^ in: Man überzeugt sich leicht, daß dabei die Quadratsumme der linearen Formtei ^j, ^g, . . ., |„ den Ausdruck f ungeändert beibehält, die Deter- minante jsr^j hingegen in den entgegengesetzten Wert übergeht, was eben das Zeichen dafür ist, daß in der Tat eine Ecke neuer Art gewonnen ist. Überhaupt können wir nämlich in « Dimensionen zwei Arten von »i-kantigen wirklichen Ecken unterscheiden, in diesem Sinne: w-kantige Ecken gleicher Art sind durch kontinuierliche Abänderungen, ohne daß sie aufhören, wirkliche Ecken zu bleiben, zum Zusammenfallen in allen ihren entsprechenden Kanten zu bringen: bei w-kantigen Ecken ungleicher Art ist solches nicht möglich. Daß n Strecken Pi, ^2? • • •> Pn ®i°^ tvirkliche Ecke bilden, heißt soviel, wie daß sie auf ein ParaUelepipedum von nicht- verschwindendem w-dimensionalem Inhalte führen. Den fraglichen Inhalt können wir als eine Art von Produkt auffassen und Pipg • . . p„ schreiben. Wir haben es alsdann mit der sogenannten äußeren Muitiplilation von Strecken zu tun (es ist das wieder eine Bezeichnung von Graßmann), für welche neben dem distributiven und dem assoziativen Gesetze offenbar die Regel gilt, daß das Produkt einer Strecke in sich selbst Null ist, woraus für zwei Strecken I und m durch Betrachtung von (I + m)(I -|- m) sich Im = — ml ergibt; und mit Hilfe dieser Regeln folgt aus (4a): P1P2 • • • Pn^ ^ab^i^i • • • ^n- ^^^ Nichtvcrschwindeu der Determinante ;r„j, ist hiemach für die Bildung einer wirklichen Ecke charakteristisch, und nach dem Vorzeichen dieser Determinante richtet sich dann, wie man leicht einsieht, die Art der Ecke. In dem aus einer Ecke (Pi, pj, . • •, pj folgenden ParaUelepipedum be- findet sich der betreffenden Ecke diametral gegenüber eine Ecke mit den Kanten — p, , — pg, . . ., — p^/. diese zweite Ecke gehört offenbar zu der- selben quadratischen Form, ergibt aber bei ungeradem n ein entgegen- 252 ^ur Geometrie der Zahlen. gesetztes Kantenprodukt. Bei ungeradem n sind demnach die Parallel- epipeda, welche aus zwei zusammengehörigen Ecken ungleicher Art ent- stehen, im wesentlichen identisch, sie erscheinen nur verschieden aufgefaßt, während bei geradem n eine Deckung solcher zweier Parallelepipeda in der Regel erst innerhalb eines dimensionsreicheren Raumes zu erzielen sein wird. — Da die quadratische Form /' als Ausdruck eines parallelepipedisch geordneten, regelmäßigen Punktsystems in einem gegebenen Räume, wie wir sehen, eine Zweideutigkeit bestehen läßt, so erscheint es vielleicht angebrachter, als solchen Ausdruck die lineare Form: zu nehmen. In dieser sind die Koeffizienten allerdings nicht reine Zahlen, sie bedeuten vielmehr Strecken, bestimmt in Richtung und Länge; aber durch ausschließliche Betrachtung dieser Strecken sind keine weiteren Zahlgrößen zu entnehmen, als eben die Koeffizienten von /". Das Volumen PiPi- - -Pn setzen wir immer als von Null verschieden voraus. Nach der vorhin erklärten Ausdrucksweise würde f als das innere Produkt dieser linearen Form p in sich selbst, als ihr inneres Quadrat, zu bezeichnen sein. 5. Anschauliclie Auslegung des Äquivalenzlbegriffs. Ist ein, auf irgendeine Weise in paraUelepipedischer Anordnung gegebenes regelmäßiges Punktsystem ^(") noch weiterer solcher Anord- nungen fähig? Bei jeder solchen Anordnung müßte jeder Punkt des Systems als Ausgangspunkt einer, in n anderen Punkten des Systems endenden Ecke eines jedesmal gleichen Parallelepipedum erscheinen, in dessen Bereich — wenn die dem Punkte nicht anliegenden Begrenzungsflächen immer voll- ständig ausgeschlossen werden — kein weiterer Punkt des Systems fallen dürfte. Verbinden wir also zunächst einen beliebigen Punkt 0 des Systems mit n beliebigen anderen Punkten des Systems, die nur nicht sämtlich mit 0 zusammen bereits in einer (w — l)-dimensionalen Ebene liegen sollen. Die Strecken von 0 nach diesen n Punkten mögen C{i, C\z, • • •, (\„ heißen. Da diese Strecken lauter Punkte des Systems verbinden, so werden sie mit den für die gegebene Anordnung charakteristischen Strecken Pij p2}- • -tVn durch irgendwelche Relationen: q^ = ^'16^1 + «26^2 + • • • + S„,p,, (&= 1, 2, . . ., W) mit lauter ganzzahligen Koeffizienten s^j verbunden sein, die nur ein nichtversch windendes Volumen PiCjg . • . C|„ (d. i. eine nichtverschwindende Determinante js^öl) ^^ ergeben haben; und deshalb wird dann weiter auch über kettenbruchähnliche Algorithmen. 253 jede beliebige, von 0 aus konstruierte Strecke qi2/i + ^2^/2 + • • • + ^«^7.= P mit ganzzahligen Bestimmungsstücken !/i, y-2t ■ ■ -j l/n ^^^ einen Punkt des Systems auslaufen müssen. Ein von 0 aus, der eben genannten linearen Form q gemäß, in par- allelepipedischer Anordnung aufgebautes Punktsystem D wird also ganz in dem vorausgesetzten Punktsysteme ^ enthalten sein. Dieses System O wird mit ^ zusammenfallen, also eine neue parallelepipedisehe Anordnung von ^ darbieten, wenn die Parallelepipeda von £1 in ihren Bereichen — dieselben in dem früher festgesetzten Sinne genommen — außer ihrer jedesmaligen Hauptecke keine weiteren Punkte von ^ enthalten. Jeden- falls enthält nun jedes dieser Parallelepipeda gleich viele Punkte aus ^, sagen wir 5, und an lauter entsprechenden Stellen, da die Parallel Ver- schiebungen, durch welche D, mit sich selbst zur Deckung kommt, ja nichts weiter als ein Teil der Deckbewegungen von ^ sind. In 2. sahen wir, daß innerhalb eines unendlich großen w-dimensionalen Würfels aus dem Punktsysteme ^ im Durchschnitt ein Punkt auf einen Raumteil gleich dem Volumen P1P2 • • ■ Pn kommt und nun sollen offenbar s solcher Punkte im Durchschnitt auf einen Raumteil gleich dem Volumen q^ qg ... q„ = 5^j P1P2 • ■ • Ph kommen. Mithin kann die Zahl s nur den absoluten Wert der Determinante s^^' vorstellen, und die Bedingung für eine neue parallelepipedisehe Anordnung des Punktsystems ^ lautet: js^^ = ± 1- Es ist geometrisch evident, daß bei Erfüllung dieser Bedingung umgekehrt auch pi, P27 • • •; P« ^1^ lineare Funktionen von qi, qg? • • •? q„ lauter ganz- zahlige Koeffizienten werden aufweisen müssen. Die Form q geht aus der Form p = p^iCi -f p2^2 + * ' ' + P„^« ^"^i" mittels der Substitution: hervor, und es ist klar, daß durch dieselbe Substitution aus der quadrati- schen Form p\p = f eine quadratische Form ^ entsteht, welche als das innere Quadrat von q erscheinen wird. Die Eigenschaften der zugehörigen Punktsysteme machen es verständlich, daß man die, durch eine solche lineare Substitution mit ganzzahligen Koeffizienten aus einer Form f her- vorgehende Form g als enthalten in der Form f bezeichnet, ebenso, daß man sie der Form f äquivalent nennt, wenn die Determinante s^^ =+1 ist. Man spricht von eigentlicher oder uneigentlicher Äquivalenz, je nach- dem js^,, =1 oder = — 1 ist, je nachdem also die für f und g überein- stimmenden Punktsysteme aus Ecken gleicher oder ungleicher Art her- zuleiten sind. Da bei ungeradem n vermöge der Substitution 2\ = — y,, ajj = — i/g, . . ., ic,, = — y, jede Form sich selbst auch uneigentlich äquivalent ist, so hat diese letztere Unterscheidung nur bei geradem n einen Wert; 254 Zur Geometrie der Zahlen. natürlich können auch hier unter Umständen Formen einander eigentlich und uneigentlieh äquivalent zu gleicher Zeit sein. Eine Klasse von äquivalenten Formen entspricht nun dem Inbegriff aller möglichen parallelepipedischen Anordnungen eines Punktsystems ^. 6. Ton dem Minimum einer wesentlich positiven quadratischen Form. In einem paraUelepipedisch geordneten, regelmäßigen Punktsysteme ^W denken wir uns um irgendeinen Punkt 0 des Systems als Zentrum zwei w-dimensionale Kugeln konstruiert; der Radius der einen sei die kleinste der Höhen des Elementarparallelepipedum, der Radius der anderen die kleinste der Längen seiner Kanten. Nach (3) kann in das Innere der ersten Kugel außer 0 kein weiterer Punkt des Systems fallen; dagegen liegen gewiß zwei solcher Punkte an den Enden eines bestimmten Durch- messers der zweiten, mithin jedenfalls nicht kleineren Kugel. Nach 1. oder 3. können wir alle Punkte bestimmen, welche in der Schicht zwischen den beiden Kugeln, die Begrenzungen mit eingerechnet, sich vorfinden; ihre Anzahl ist nach den dortigen Sätzen eine beschränkte. Unter diesen Punkten werden dann ein oder vielleicht mehrere Paare vorhanden sein, welche dem Punkte 0 am nächsten liegen. Die Entfernung dieser nächst- gelegenen Punkte von 0 bezeichnen wir mit Vllf; wegen der Regel- mäßigkeit des Punktsystems ist dieses dann überhaupt die kleinste Ent- fernung zweier Punkte, welche im Systeme vorkommt. Zugleich ist M die kleinste, von Null verschiedene Grröße, welche durch die, zur gegebenen Anordnung des Systems gehörige quadratische Form f mittels ganzer Zahlen darstellbar ist; wir nennen M das Minimum dieser Form f. Fast evident erscheint nun die folgende wichtige Eigenschaft: Die kleinste Entfernung zweier FunMe in einem regelmäßigen Funkt- systeme kann nicht einen gewissen, durch die mittlere Dichtigkeit de^ Systems bestimmten Betrag übersteigen. Denn denken wir uns um jeden Punkt des Systems einen w-dimen- sionalen Würfel von der Kante —=-YM abgegrenzt, indem wir jedesmal yn den Punkt als Mittelpunkt des Würfels nehmen — wir können uns etwa alle diese Würfel parallel orientiert vorstellen — , so sind die vom Mittel- punkte am weitesten abliegenden Punkte eines solchen Würfels jedesmal seine Eckpunkte, und die Entfernung dieser vom Mittelpunkte beträgt das — y^-fache der Kante, also hier . "j/^. Wegen der Bedeutung der Länge YM können daher diese Würfel sich niemals durchdringen, sie können höchstens unter Umständen in ihren Eckpunkten zusammentreffen, müssen im übrigen aber außerhalb ihrer Seitenflächen noch einen freien über kettenbruchähnliche Algorithmen. 255 Raum zwischen sich lassen. Ziehen wir diesen freien Raum in Betracht, so kommt also in einem, überallhin gleichmäßig ins Unendliche ausge- dehnten Räume auf einen Raumteil gleich dem Volumen eines der Würfe] im Durchschnitt weniger als ein Punkt des Systems. Dieses Volumen muß also nach den Betrachtungen in 2. kleiner sein als das Volumen des ElementarparaUelepipedum, d. h. wir haben: oder: (6a) M/A eine sehr viel engere Grenze für dieses Minimum gefunden, als sie, die kleinsten Zahlen n ausgenommen, bisher bekannt ist (s. unten 10.). Wir können aber sofort auch diese Grenze noch ein- schränken. Konstruieren wir nämlich um jeden Punkt des Systems als Mittelpunkt eine w-dimensionale Kugel mit dem Radius -^ ]/j^, so müssen auch diese, den vorhin konstruierten Würfeln umschriebenen Kugeln sich gegenseitig vollständig ausschließen und zwischen sich noch einen freien Raum lassen, und es muß also auch das Volumen einer solchen Kugel kleiner sein als das Volumen des ElementarparaUelepipedum. Nun beträgt das Volumen einer w-dimensionalen Kugel vom Radius 1 bekanntlich: mr ^(•+1)' d. h. je nachdem n gerade n oder ungerade oder ist: n+l N — 1 1 ^-a- n 1 3 5 • • n SO finden wir: (6b) Durch Benutzung des asymptotischen Ausdrucks der f -Funktion folgt daraus leicht: - 256 Zur Geometrie der Zahlen. M< so daß diese zweite Grenze für das Minimum bei großen Werten von n 2 ungefähr das — = 0,234 . . .-fache der früher gefundenen ausmacht. S])äter werden wir noch engere Grenzen für das Minimum kennen lernen. 7. Anwendung auf die Theorie der algebraischen Zahlen. Eine der ersten Anwendungen, welche Herr Hermite von der Existenz einer Grenze für das Minimum positiver quadratischer Formen gemacht hat, betraf die Theorie der algebraischen Zahlen. Die großen Fortschritte, welche auf diesem Gebiete seitdem erzielt sind, und anderer- seits die im vorhergehenden gefundene natürlichere Grenze für das Minimum ermöglichen es uns, diese Anwendung wesentlich zu vertiefen und sie zugleich in vollkommenerer Form zur Darstellung zu bringen. Es sei 6 eine Wurzel einer irreduktiblen ganzzahligen Gleichung von einem Grade n, welcher größer als Eins sei; und es bedeute 0 das System aller ganzen algebraischen Zahlen, welche unter den rationalen Funktionen von 6 mit ganzzahligen Koeffizienten überhaupt zu finden sind. Es sei ferner 03^, cj^, . . ., co^ irgendeine Reihe von n Zahlen aus o, für welche das Quadrat der Determinante KM {h,h = l,2,...,n) aus den n konjugierten Reihen von Null verschieden und dazu dem absoluten Betrage nach möglichst klein ausfalle, und der dabei eintretende Wert dieses Quadrats, die sogenannte Diskriminante von o, heiße T). Das System o stimmt dann genau überein mit den Werten der Form (Oy^X^ -f- OX^X^ H V CO^X^ = 03 für alle möglichen ganzen Zahlen x^, x^, . . ., x^^, und diese Werte sind untereinander alle verschieden*). Wenden wir dieselben Zeichen x^, x^, • • •, ^n für die Unbestimmten einer beliebigen, wesentlich positiven Form f mit entsprechender Zahl n an, so kann daher ein, dieser Form f gemäß parallelepipedisch aufgebautes regelmäßiges Punktsystem D gewissermaßen *) Kronecker, Grundzüge einer arithmetischen Theorie der algebraischen Größen. Pestschrift zu Herrn Kummers Doktorjubiläum. Grelles Journal Bd. 92, S. 99. (Werke, Bd. II, S, 360.) — Dedekind, Allgemeine Zahlentheorie (Suppl. XI zu den Vorlesungen über Zahlentheorie von Dirichlet, III. [[oder IV. J] Aufl.). — Für unsern speziellen Zweck liegen die Dedekind sehen BegriflFsbestimmungen besonders günstig; auf das soeben genannte Werk beziehen sich im folgenden die ^Zitate mit dem Buchstaben I). über kettenbmchähnliche Algorithmen. 257 als Träger des gesamten Zahlensystems 0 betrachtet werden; wir haben nur festzusetzen, welcher Punkt der Zahl ra = 0 entsprechen soll. Unter einem Idecü des Gebietes o versteht man nach Herrn Dede- kind jedes in o enthaltene und nicht aus der Zahl Xull allein bestehende Zahlensystem a, dessen Inhalt keine Bereicherung erfahren könnte, weder wenn man Summen und Differenzen aus seinen Zahlen, noch wenn man Produkte aus seinen Zahlen in Zahlen aus 0 hinzunehmen wollte {D. § 168 [[IV. Aufl., §177]]). Als Träger eines Ideals o erscheint ein, im Punktsysteme 0 im Sinne von 5. enthaltenes, ebenfalls parallelepipedischer Anordnungen fähiges, regelmäßiges w-dimensionales Punktsystem 51; der Quotient aus der mittleren Dichtigkeit des Punktsystems D und der mittleren Dichtigkeit dieses darin enthaltenen Punktsystems % heißt die Norm des Ideals Q, in Zeichen: Nm(a). Es gibt immer nur eine beschränkte Anzahl von Idealen, welche dieselbe Norm haben. Das System 0, selbst ein Ideal, ist offenbar das einzige von der Xorm 1. Die Gesamtheit aller Zahlen in 0, welche durch eine bestimmte, von Null verschiedene Zahl r^ aus 0 teilbar sind, konstituiert ein sogenanntes Hauptideal 0?/; die Norm eines solchen ist der absolute Wert der Norm von t; , d. i. des Produkts der n konjugierten Zahlen ri, ri", . . ., ij("), welche zu den einzelnen n Wurzeln der irreduk- tiblen Ausgangsgleichung in derselben Beziehung stehen wie die Zahl ri zu der Wurzel 0 dieser Gleichung. Unter dem Produkte ah zweier Ideale a und h versteht man den In- begriff aller Zahlen, welche sich als ein Produkt aus einer Zahl in a und einer Zahl in b oder als Summe mehrerer solcher Produkte darstellen lassen; das Produkt ab ist wieder ein Ideal und seine Norm das Produkt der Normen von o und von b (D. § 170 [[IV. Aufl., § 177 u. § 180]]). Beziehungen zwischen Produkten aus Idealen lassen ganz analoge Folge- rungen zu wie Beziehungen zwischen Produkten aus rationalen ganzen Zahlen; das Ideal o spielt dabei die RoUe der Zahl 1. Zu jeder von Null verschiedenen Zahl fi eines Ideals a gibt es ein bestimmtes Ideal nt, welches die Gleichung O/i = am befriedigt und also die Fähigkeit besitzt, durch sein Hinzutreten als Faktor das Ideal a in ein Hauptideal zu verwandebi (D. § 175 [[IV. Aufl., § 178]]). Die Ideale werden nach den Multiplikatoren klassifiziert, welche geeignet sind, sie in Hauptideale zu verwandeln und über diese Multiplikatoren woUen wir nun einen wichtigen Satz ableiten. Zu dem Ende legen wir jedoch eine quadra- tische Form f von besonderer Beschaffenheit zugrunde, nämlich wir setzen: f=2 '^*(*^'- '^i^*^^! + ^^''^ + • • • + '^i*^^«)' ■ ('* = 1. ^» • • V «); die linearen Formen in diesem Ausdrucke sollen die n mit der Form a Minkowski, Gesammelte Ab handlangen. I. 17 258 Zur Geometrie der Zahlen. konjugierten Formen vorstellen; unter (abs.)^ soll das Quadrat des abso- luten Betrags einer solchen Form verstanden werden, die Variablen als reelle Größen gedacbt; ferner sollen die Xj^ beliebige positive Konstanten bedeuten. Ein solches f ist eine wesentlich positive quadratische Form, und die Determinante dieser Form hat den Ausdruck jT/vl^ abs. D, unter h abs. D den absoluten Wert der Diskriminante D verstanden. • Die mittlere Dichtigkeit in dem, zu einem Ideal Q gehörigen Punktsysteme 5t wird demnach 1 :Nm(a)l//7^A-abs.i) h betragen. Fassen wir nun in dem Punktsysteme % einen Punkt ins Auge, welcher möglichst nahe dem Nullpunkte liegt, und benutzen wir die in (6a) gegebene Grenze für die kleinste Entfernung zweier Punkte in einem regelmäßigen Punktsysteme, so können wir aus dem Orte dieses Punktes n Zahlen x^, x^, . . ., x^ erschließen, für welche eine Zahl in a ist, und zugleich erweist sich für diese Zahlen der Ausdruck y A, (abs. /i(^))2 < n F/Z;i,-(Nma)2abs.i). (Ä = 1, 2, . . ., w) Ein besonderer Nachdruck ist aus einem bald ersichtlichen Grunde darauf zu legen, daß hier das Zeichen < und nicht etwa ^ sich einfindet. Be- nutzen wir nun, daß eine Summe von n positiven Größen niemals kleiner ist als das w- fache der n}^^ Wurzel aus dem Produkte der n Größen, und setzen wir zugleich (Nm ^if für JJ(&hs. /a^*^)^, so können wir aus h der vorstehenden Ungleichung die weitere entnehmen: n Vllh-i^^i^y < « VHh ■ (Nm ay abs. D. {h = l,2, ...,n) h h Ist tn das Ideal, welches die Gleichung o/x- = am befriedigt, so haben wir Nm(a)Nm(m) = + Nm(^), und wir finden demnach: Nm(nt)l — 3) nante des Systems dieser letzteren Zahlen hat den Ausdruck X^ ; setzen wir in die Ungleichung (7 b) diese Größe für D und zugleich — ^ — für n, so erlangt die rechte Seite dort folgende Werte: für A = 5, 7, 11, 13, 17, 19, 1,..., 2,..., 13,..., 34,..., 311,..., 1027,.... Bis zu diesen Grenzen hätten wir also höchstens die Normen der Multi- plikatoren zur Hervorbringung wirklicher Zahlen zu suchen, und wenn alle Zahlen bis zu diesen Grenzen sich in wirkliche Faktoren zerlegen lassen sollten,- so kommen in den hier betrachteten Fällen ideale Multi- plikatoren und demgemäß auch ideale Zahlen überhaupt nicht vor. Nun entnehmen wir aus den Reuschieschen Tafeln, daß für die soeben auf- gezählten Werte von X alle Zahlen unter 1000 sich in wirkliche Faktoren zerlegen lassen. Wir haben also nur noch in bezug auf X = 19 fest- zustellen, daß hier die Primzahlen z «vischen 1000 und 1027, das sind 1009, 1013, 1019, 1021, ebenfalls einer solchen Zerlegung innerhalb des durch die entsprechenden zweigliedrigen Perioden bestimmten Gebiets fähig sind. Nun gehören in bezug auf die Primzahl 19 die Zahlen 1009 und 1021 zum Exponenten 18, die Zahl 1013 zum Exponenten 9; diese Zahlen sind also in dem fraglichen Zahlengebiet der zweigliedrigen Perioden selbst noch Primzahlen. Die Zahl 1019 endlich gehört modulo 19 zum Exponenten 6, ihre Primfaktoren werden also von den drei sechs- gliedrigen Perioden der 19'®^ Einheitswurzeln abhängen. Diese sind die Wurzeln der Gleichung if -{■ iq^ — Qiq — 1 = 0 , deren Diskriminante den Wert Z) = 19^ hat. Da nun in dem durch diese Wurzeln bestimmten Gebiete nach den Reu schl eschen Tafeln die Zahlen bis zu YD = 19 in wirkliche Faktoren zerlegbar sind, so können in diesem Gebiete ideale Teiler nicht existieren, und demnach muß auch 1019 in drei wirkliche Faktoren zerlegt werden können. IX. Theoremes arithnietiqnes. Extrait d'une lettre de M. H. Minkowski ä M. Hermite. (Comptes rendus de TAcademie des Sciences, t. 112, pp. 209 — 212.) »La methode geometrique de mon travail*), traduite en langue purement analytique, conduit ä ce theoreme susceptible d'une application tres etendue: •» Soit n un nonihre plus grand que 1; soient |, ri, l, . . ., n formes lineaires independantes ä n variables x, y, z . . . . Parmi ces formes, soient ß patres d'imaginaires conjugees et les autres n — 2ß = a formes reelles. L'un ou Vautre des nombres u et ß peut aussi etre egal ä zero. Soit A le determinant des formes |, ly, ^, .... Soit enfin p une quantite quelconque ^1. On peut toujours assigner ä x, y, z, . . . des valeurs erdieres, de sorte que la somme (abs. 1)^ + (abs. ri)P + (abs. ty+--' soit differente de zero et en meme temps plus petite que la quantite m (^+7) abs. A qui est dle-meme plus petite que p w(abs. A)". Ici abs. signifie «valeur absolue de» et V designe la fonction gamma. » En suivant une voie indiquee dans vos admirables lettres ä Jacobi, je tirerai du theoreme que je viens d'exposer plusieurs conclusions funda- mentales sur les nombres algebriques. *) Vher die positiven quadratischen Formen und über kettenhruchähnliche Algo- rithmen (Journal de Grelle, t. 107, p. 278). Diese Ges. Abhandlungen, Bd. I, S. 243—260. 262 Zur Geometrie der Zahlen. »Soit im Corps algebrique quelconque, irreductible et d'ordre n, et soit I une forme lineaire qui, pour toutes les valeurs entieres de ses n variables x, y, z, . . ., represente tous les entiers algebriques de ce corps; soient, de plus, i^, ^, . . . les w — 1 formes conjuguees ä |. Le discriminant du Corps est represente par le carre du determinant A, et ce carre est un entier ratiomiel D du signe (— 1)/*. En faisant usage de l'inegalite (abs. |^^^ . .y < p^^»-^)^ + ^^^^-nf + (ab8.g)P + • • .j^ et en remarquant que abs. I^y^. . . est un entier ^ 1, pourvu que x,y,z, ... soient des entiers et qu'ils ne s'evanouissent pas tous, les inegalites du theoreme enonce entraineront celles-ci: K 2\/* Q n p V ('+f) [r(. + i)J.--[r{.+l)JJ abs. D < abs. D . »Faisant d'abord abstraction du terme intermediaire, nous avons ainsi demontre le postulat profond de M. Kronecker*), que chaque discriminant est difPerent de + 1> c'est-ä-dire que chaque discriminant contient des nombres premiers comme facteurs. C'est lä un detail bien digne d'attention. Tout nombre algebrique irrationnel a ainsi ses nombres premiers critiques, comme toute fonction algebrique irrationneUe a ses points d'embranchement. »Le terme dont nous n'avons pas tenu compte nous fournit pour la valeur absolue d'un discriminant des limites inferieures plus completes. Ces autres limites, oü figure encore le nombre /3, s'accroissant indefiniment avec l'ordre w, 11 est evident qu'ww nombre donne quelconque ne peut etre discriminant que pour un nombre fini d^ordres n. » De quelle maniere fixera-t-on le mieux la quantite p, assujettie jus- qu'ä present ä la seule condition de ne pas etre moindre que l'unite? On se convaincra aisement que les limites dont nous venons de parier devront s'agrandir aussi longtemps que la valeur de p decroit. Ce n'est donc pas quand p est egal ä 2, valeur qui repond aux formes quadratiques, mais dans le cas de p = 1, que ces limites seront le plus avancees. II en resulte enfin ce theoreme: » Le discriminant d'un corps algebrique, faisant partie de n corps con- jugues dont 2ß sont imaginaires et n — 2/3 reels, est en valeur absolue tou- jowrs plus grand que T) 2 • 3 . . . w J *) Journal de Grelle, t. 92, (Werke, Bd. 11, S. 269). *' Theoremes arithmetiques. 263 »Par exemple, im discriminant du deuxieme ordre doit etre ou >• 4 ou < — 2, .... Les valeurs les plus petites 5 et — 3 se trouvent dans les equations o'+o — 1=0 et aj'+(D-f-l==0. » ün discriminant du troisieme ordre doit etre ou > 20, ... ou < — 12, .... De la limite precise du minimum des formes quadratiqaes positives temaires on aurait tire, en suivant une marclie tout analogue, les inegalites D ^ 13,5 ou ^ — 13,5. La limite que nous avons trouvee plus haut n'est donc pas, il est vrai, une limite precise, mais malgre cela eile nous foumit dejä des resultats que les formes quadratiques n'ont pas encore donnes, » X. über Geometrie der Zahlen. Bericht über einen Vortrag zu Halle. (Verhandlungen der 64. Naturforscher- und Ärzteversammlung zu Halle, 1891, S. 13 und Jahresbericht der Deutschen Mathematiker -Vereinigung, Band 1, S. 64 — 65.) Wenn man für den Raum rechtwinklige Koordinaten einführt, so ent- sprechen den Systemen von drei ganzen Zahlen diskrete Punkte, welche derart über den Raum verstreut liegen, daß sie eine gewisse Nähe in bezug auf jede beliebige Raumstelle erreichen. Den Inbegriff aller dieser Punkte mit lauter Koordinaten, die ganze Zahlen sind, nennt der Vor- tragende das dreidimensionale Zahlengitter] unter dem Titel „Geometrie der Zahlen" begreift er geometrische Studien über das dreidimensionale Zahlengitter und über das entsprechende Gebilde in der Ebene, und in weiterem Sinne auch die Ausdehnung der Ergebnisse solcher Studien auf Mannigfaltigkeiten beliebiger Ordnung. Natürlich besitzt jede Aus- sage über die Zahlengitter einen rein arithmetischen Kern. Das Wort „Geometrie" erscheint aber durchaus am Platze im Hinblick auf Frage- stellungen, zu welchen die geometrische Anschauung verhilft, und auf Untersuchungsmethoden, welche fortwährend durch geometrische Begriffe ihre Richtung angewiesen erhalten. Der Vortragende hat sich in betreff der Zahlengitter hauptsächlich zwei Fragen gestellt; sie ergänzen einander in gewisser Beziehung, und folgendes ist ihnen gemeinsam: Es handelt sich, wenn speziell vom Räume gesprochen wird, jedesmal um eine sehr allgemeine Kategorie von Körpern, welche so konstruiert werden, daß sie einen bestimmten Punkt des Zahlengitters — es sei dies etwa der NuUpunkt — in gewisser Weise umschließen, und es soU dann jedesmal bei diesen Körpern eine gewisse Eigenschaft in bezug auf das Zahlengitter allein durch die Größe des Inhalts der Körper zustande kommen. Die erste Kategorie von Körpern besteht aus allen denjenigen Körpern, welche im Nullpunkte einen Mittelpunkt haben, und deren Be- grenzung nach außen hin nirgends konkav ist; und die fragliche Eigen- über Geometrie der Zahlen. 265 Schaft für diese Kategorie lautet: Wenn der Inhalt eines Körpers dieser Kategorie ^ 2^ ist, so schließt der Körper notwendig noch weitere Punkte des Zahlengitters außer dem Nullpunkte ein. Die zweite Kategorie von Körpern ist noch umfassender; sie besteht aus allen Körpern, welche den Nullpunkt enthalten, und deren Oberfläche, vom Nullpunkte aus gesehen, nach jeder Richtung hin nur einen Punkt darbietet; und die fragliche Eigenschaft für diese zweite Kategorie lautet: Wenn der Inhalt eines Körpers dieser Kategorie 0, si l'on n'a pas x^= 0^ X2= 0, . . ., x^ = 0, 9)(0,0,...,0)^0, (p{txi,tx2,...,txj = t(p(x^,x.^,...,xj, si ^>0, (B) (pioo^-\-yi,oc,-\-tj2,...,x^-{-y„)<:(p{x„X2,...,xJ + (p{y^,y2,...,yJ, (C) (p (- x^, -x^,..., — x„) = (p (x^, x^, . . ., x„) . Soient li, |2> • • -7 ^v ^^ nombre fini de formes lineaires ä coefficients reels et aux variables x^^, x^, . . ., x„, et parmi ces formes soient n formes ä determinant different de zero. Soit (i>(x„x^,...,x^) le maximum parmi les valeurs absolues de Ij, Ig, ..., |^. Une teile fonc- tion 0 satisfera evidemment aux conditions d'une fonction cp, J'etablis d'abord ce tbeoreme: cp etant une Solution quelconque de (A), (B), (C), et d une quantite positive choisie ä volonte, on peut toujours trouver des fonctions 0 comme je viens de les caracteriser, de sorte que, pour toutes les valeurs possibles de a?!, x^, . .,, a;„, on ait II en resulte que V'miegrale ff . . . fäx^^dx^ ... dx^^ etendue sur le domaine qp (iCj, a?2, .. •, ^n) ^ 1 ^^^^ toujours une valeur determinee. Soit J cette valeur. Je demontre alors que Von peut toujours trouver des nombres entiers x^jX^, ...jX^ pour lesquels on ait (I) ^<^{^U^2,---1^r)--->^n etant n formes lineaires ä coefficients reels quelconques et ä determinant egal ä + 1, on peut toujours donner a x^, x^, ..., x„ des valeurs entieres qui ne s'evanouissent pas toutes et de sorte que les valeurs absolues de 1^, Ig» • ••> ^n soient toutes < 1. L'enonce plus exact de ce theoreme est que Ton peut trouver des nombres entiers x^,x^,...,x^, qui ne s'evanouissent pas tous, et de sorte que les valeurs absolues de |^, Ig, ..., ^„ soient toutes < 1, excepte le cas oü les formes §j, Ig, ..., |„, par une Substitution lineaire ä coefficients entiers et ä determinant + 1, peuvent etre transformees de maniere que, abstraction faite de l'ordre, elles deviennent x^, a^.^x^-\- x^, ..., «„1 ^1 + »„5s^2+ ■ ■ ' + ^«' Ainsi, par exemple, «i, %, • •-, ^n-i ^tant des quantites reelles quel- conques et T une quantite > 1, il y aura des nombres entiers x^, x^, ..., rc„_i, x^, parmi lesquels x^ est different de zero, de sorte que les valeurs absolues de X^ dlX^, X^ ^2^«J •••> ^n-l~^n-l^n7 ^ soient toutes < -= , excepte le cas oü T est un nombre entier, et Oj, ttj, ..., «„_!, abstraction faite de l'ordre, ont des expressions TT T _ ■j > 2^> • • •> j"-\> dans lesquelles T^, Tg, . . ., T^_^ sont des nombres entiers premiers ä T. En appliquant le jbheoreme (I) ä la fonction 0 qui est definie ä l'aide des 2n — 2 formes ■ — <»9 > • • • , -^-^ — «- 1 268 Zur Geometrie der Zahlen. soient plus petites qu'une quantite positive s choisie ä volonte, et en meme temps < w — 1 A l'aide de certaines autres fonctions tp, on obtient les theoremes analogues pour les quantites complexes. Les theoremes que j'ai exposes dans ma derniere lettre sont aussi des consequences speciales du tlieoreme (I). De ce theoreme decoulent enfin les theoremes de Dirichlet sur les unites complexes. Ensuite j'etablis cette generalisation du tlieoreme (I): Pour toute fonction (p, satisfaisant aux conditions (A), (B), (C), on peut trouver n^ nombres entiers l,^,^ ä determinant different de zero, de Sorte que l'on ait 2» Le determinant | Ij^j^ sera alors toujours ^1 • 2 ... n. Je fais aussi quelques remarques sur les cas extremes de cette relation. Des applications de ce tlieoreme, je ne cite ici que ces deux: Soient a^^j^Qijk = 1,2 ,.. .^n) n^ quantites reelles ä determinant different de zero, et soit D la valeur absolue de ce determinant. II j aura ou n^ nombres entiers l^j^ & determinant different de zero, de sorte que le Systeme compose ( l In ''11 1^1 1 n nn j K ^nl ••• ^nn ) \ hn •'• Kn J satisfasse ä toutes les w" inegalites ±\iK^---Kn> (Äi = l,2, ...,w;A2 = l,2, ...,w;...;\ = l,2,...,w), ou n^ nombres entiers Z^^ ä determinant ± 1> de sorte que ce Systeme compose, apres une permutation convenable des lignes, prenne une forme l ^nl satisfaisant aux conditions ■'hk = 0, h>'k, 0 + 2) + ... + ;t(^ + ^, ;t(A) designant le nombre des classes de formes ä coefficients entiers et h determinant A, il existe une expression asymptotique w-l yD ^ d. Je demontre que Ton a ^(l)^(l)--(f) m] 2+3+-+n ^2^3 ••• ^nf 270 Zur Geometrie der Zahlen. S^ designant la somme 1 + 2Ä+3Ä+4Ä+'"- A l'aide de ce resultat, j'arrive enfin au theoreme suivant: tjfix^j ..., xj etant une fondion quelconque, continue aux variables x^,...,x^ et satisfaisant aux conditions (A) des fonctions qp [ou aux con- ditions (A) et (C)], et J designant la valeur de Vintegrale f . ..fdx^...dx^ etendue sur le domaine ^(iCi, . . ., a;„) < 1, on peut toujours trouver n^ quan- tite's reelles a,^j^ ä determinant 1, de sorte que la relation 0 ^ 1, so gibt es immer ganze Zahlen x, y, z, die nicfit sämir lieh Ntdl sind und für welche man fp\p H ^ 0 kontinuierlich ab sogar für alle p, wenn keine der Größen j|',jjy|, |^| Null ist). Es wird danach ein jeder Körper K in allen anderen von diesen Körpern mit kleinerem p enthalten sein und also y ^^^ ^p ^^ V kontinuierlich zunehmen; für p = c» konvergiert A| nach 1, bzw. — • Für ^ = oo geht Kj, in das Parallelepipedum -1 1. Die Anwendung der Sätze in III. auf das Parallelepipedum -l^x-az^\, -l£y-hz£l, - 1 < f ^ 1 führt dazu, daß es immer ganze Zahlen x, y, z gibt, für welche 2 1 1 0 0 ist, und für solche Zahlen findet man dann noch: ^ 1^2 \ y ,1^2 ^ I 3^1' U I 3;,! Diese Sätze weisen auf einen Weg, auf dem mit Erfolg die Ergeb- nisse der Lehre von den Kettenbrüchen zu verallgemeinern sind. VI. Betrachtet man beliebige einhellige und wechselseitige S(ah), so erscheint 2^ als kleinste obere Grenze für M^J. Beschränkt man sich auf solche S^ai), deren Eichkörper aus einem gegebenen Körper durch Aus räumlicher Anschauung erschlossene arithmetische Sätze. 277 alle möglicheii linearen Transformationen hervorgelien, so findet man ancli in dieser beschränkten Klasse von Funktionen bereits immer solche, für welche ist. Der Nachweis dieses Satzes erfordert eine arithmetische Theorie der kontinuierlichen Gruppe aus allen linearen Transformationen. Endlich ist zu erwähnen, daß die Ungleichung 21^ J^ 2^ für die nirgends konkaven Körper mit Mittelpunkt noch eine wesentliche Ver- allgemeinerung zuläßt, auf die ich indes hier nicht mehr eingehen will. Bonn, im Juni 1893. xni. Zur Theorie der Kettenbrtiche .*) (Annales de l'^ficole Normale superieure, 3® serie, t. XTII, pp. 41—60.) Durcli das Studium der Aufsätze von Herrn Hermitein den Bänden 40, 41 und 47 des Crelleschen Journals (Oeuvres, T. I, p. 94, p. 100, p. 164, p. 193, p. 200) bin icli zu einigen Verallgemeinerungen der Theorie der Kettenbrüche geführt, über die ich im folgenden kurz berichten will. I. Ich werde zunächst von den Annäherungen an eine einzelne reelle Größe mittels rationaler Brüche sprechen. Es sei Q irgendein Wert ^ 1. Für eine beliebige reelle Größe a, welche weder eine ganze Zahl noch die Hälfte einer ganzen Zahl ist, kann man in folgender Weise eine Folge von ganzen Zahlen ^^, q^ (n = 0, 1, 2, . . .) bestimmen. Zuerst sei 1^q=^ ^, % = 0'^ es sei ^ die nächste ganze Zahl an a und Px == fo, 2^ = 1. Sodann sei für ein n^l und solange als P« — ciQ^=¥0 ist, E„ das Vorzeichen von -^^^ yLn:zl y^d gg vverde der Ifn "''in absolute Betrag dieses Quotienten = e„ + »*„ gesetzt, so daß e„ eine ganze Zahl und 0 ^ r„ < 1 ist; hernach mache man s„= e„ — £„^^^^, und, wenn r„ = 0 ist, /„ = e„, wenn aber r„ > 0 ist, /"„ = e„ oder =e„ + l, je nachdem (A) ^^^^^^ oL ^ ist, endlich Pn + l= fnPn- ^nPn-l, ^n + 1 = fnQn - ^n^n-l' ^^U hat als- dann: f-fo--r=: (n=l,2,...), In 11 ln-2 f ln — 1 und die Reihe der Zahlen p^, q^ besitzt folgende Eigenschaften: *) Statt der a. a. 0. veröffentlicliten, von L. Laugel herrührenden Übersetzung, welche den Titel trägt: Generalisation de la theorie des fractions continues, gelangt hier das deutsche Originalmanuskript des Verfassers zum Abdruck. (Anm. d. Herausg.) Zur Theorie der Kettenbrüche. 279 1. Wenn a rational ist, bricht die Reihe mit irgendeinem Index v ab, for den ^^ = a ist. 2. Man hat 0 < g^ < g. < • • • . 3. Die Zahlen p^ und q^ sind immer relativ prim; man hat Pn2n + 1 - QnPn + l = ^n = h'-'^n' 4- Man setze /(, = oo, und, wenn « ^ 1 ist, es sind dann (q, t^, t^, . . . und T^, T^, ... Reihen von fortwährend ab- nehmenden positiven Größen, und sie konvergieren nach Null, wenn a irrational ist. Dabei ist immer*) Ist a rational, so werde noch ^^^i = 0 gesetzt. 5. Ist t irgendein positiver Wert, der nicht in der Reihe ^o» ^i> ^2) •• • vorkommt, und ^, > ^ > ^„+i, und ist x, y irgendein von 0, 0, von jp„, q^ und von — i?„, —2» verschiedenes System von ganzen Zahlen, so hat man immer Besonders bemerkenswert sind folgende Spezialfälle dieser Ent- wicklung: 1) Q = oo. Alsdann hat man für ein n > 1 immer /"„ = e„, f„ +i = — 1 > und — , — , ... sind die Näherungsbrüche der gewöhnlichen Kettenbruch- entwicklung für a, mit Ausschluß des ersten Näherungsbruches, faUs der Überschuß von a über die größte in a enthaltene ganze Zahl > — ist. 2) Q = 2. Die Ungleichungen (A) werden hier i oS^r ^^, und nach der Eigenschaft 5. wird man diejenige Entwicklung in einen Kettenbruch vor sich haben, auf welche Herr Hermite im 41. Bande des Crelleschen Journals, S. 195 (Oeuvres, T. I, p. 108) gefuhrt wurde. *) Vgl. hierzu „Geometrie der Zahlen" S. 122. (Anm. d. Herausg.) **) In der französischen Übersetzung findet sich noch folgender Abschnitt: 6. Lorsque a est irrationnel et racine d'une equation du second degre ä coeffi- cient« rationnels, il existe un indice Z et an nombre ft tels que, ä partir de n = Z, >n aura toujours f =f , e . ^ f . . (Anm. d. Herausg.) 280 Zur Geometrie der Zahlen. 3) Q = 1. Die Ungleichungen (A) gehen dann in " + - oder 2 über. Man hat immer T^ < y2^ und tritt hier das Zeichen = nur ein, wenn man a = — -^7" (ö > ö) 1^8,t und dabei P, Q ganze Zahlen ohne gemeinsamen Teiler sind, und zwar alsdann nur für einen Index w, für welchen Index w: 2PÖ T 1 wenn man a = — -^7" (ö > ö) 1^8,t und dabei P, ^ ganze Zahlen ohne 2 y il welchen ^„ = s^t^j, Q'«_i < ^ < ö*» wird. Man wird danach für jeden 2 ^ 2n haben. — Ist weiter 6 eine beliebige reeUe Größe, so erfüllen für min- destens ein System von ganzen Zahlen X, Y, für die man X-1<-|^ = + ^ I t 5 darin seien ^, tj, ^ drei lineare Formen mit drei Variablen x, y, z^ mit lauter reellen Koeffizienten und einer von Null verschiedenen Determi- nante A, und Qy 6, T positive Parameter. Indem man anstatt ^, rj, t auch das System — ^, — rj, — ^ behandeln kann, möge A > 0 vorausgesetzt werden. Auf diesen Ausdruck (p lassen sich dieselben Gesichtspunkte in Anwendung bringen, die mich zu den Sätzen in I. geführt haben. Man deute x, y, z als Parallelkoordinaten (z. B. rechtwinklige) für die Punkte im Räume. Durch die Bedingung 9) < 1 wird dann, so oft Q einen Wert ^ 1 hat, jedesmal ein lionvexer Körper definiert, z. B. für Zur Theorie der Kettenbrüche. 281 Q = 1 ein Oliaeder, für Q = 2 ein Ellipsoid, für Q = c» das Pardllel- epipedum, das von den sechs Ebenen begrenzt wird. Dieses Parallelepipedum werde icb mit {(>, tf, t} bezeichnen und seine drei begrenzenden Ebenenpaare der Reihe nach seine |-, r^-, t- Seifen nennen. Im vorhergehenden trat die gewöhnliche Kettenbruchentwicklung ge- rade bei der Annahme Q = oo zutage: im folgenden will ich mich des- halb auf diese Annahme beschränken. 1. Das System aller Punkte mit ganzzahligen Koordinaten x, y, z heiße das GiiW und ein einzelner Punkt daraus ein GitterpunM. Die Substitution x = — x^, V = ~ V*} z = — ^ führt das Gitter und des- gleichen ein jedes {^, ö, t} in sich über. Ein {q,6,x\ heiße frei, wenn es in seinem Inneren keinen Gitterpunkt außer dem Nullpunkte enthält. Ein freies {Q,6,r}, welches diese Eigenschaft bei noch so kleiner Ver- größerung eines beliebigen seiner Parameter jedesmal verliert, werde ein äußerstes ParaUelepipedum für ^, rj, ^ genannt; ein solches wird also mit mindestens einem Gitterpunkte im Inneren einer jeden Seitenfläche ver- sehen sein müssen. Nach einem Satze, den ich im Bulletin des Sciences mathematiques, janvier 1893, Lettre ä 31. Herrn ite (diese Ges. Abhand- lungen Bd. I, S. 266) zum ersten Male ausgesprochen habe, hat man in einem freien {q, 6, r] immer Q6T ^ A, d. h. ein {Q,6,t}, wofür q6t = A ist, muß immer außer dem Nullpunkte noch weitere Gitterpunkte, sei es im Inneren, sei es nur an der Grenze, enthalten. Auf diesen Umstand kann man die Ermittlung eines äußersten {q, 6, r] gründen. 2. Eine lineare Substitution werde ich hier, ohne die Variablen zu benennen, bloß durch das quadratische System der Koeffizienten be- zeichnen, wobei aus den einzelnen Gleichungen die Horizontalreihen ent- stammen sollen; und ein System von linearen Formen denke man sich zum Zwecke seiner Bezeichnung als eine lineare Substitution. Um einige Besonderheiten auszuschließen, deren Berücksichtigung nur etwas mehr Raum erfordern, aber keinerlei Schwierigkeiten bereiten würde, setze ich von nun an voraus, daß von den drei Formen ^, rj, ^ keine einzige für ganzzdhlige Werte x, y, z außer für 0, 0, 0 verschwinde. Es gelten dann folgende Sätze: Ist [a, g,l] ein äußerstes Parallelepipedum für |, ly, f;, so hat man immer (1) agKA. 282 Zur Geometrie der Zahlen. Es enthält {a,g,l} genau einen Gitterpunkt auf jeder Seitenfläche, auf den gegenüberliegenden Flächen GitterpunJcte mit entgegengesetzten Koordinaten. Man kann darunter immer auf eine und nur eine Weise drei GitterpunJcte r, s, ^; /, s', t':, r", s", t" auf nicht gegenüberliegenden Flächen | == ea, r] = s'g, ^ = «'7 finden, so daß ££'£"=» -j-l ist, und wenn das System «I, s'r], e"^ durch r r, r, r" 1 \ a, ± &, ± c " s , s, s" in (D = + /", 9, ±^ i, t', i" . . ±h ±^, Z . übergeht, die Größen a, b, c, f, g, h, j. Je, l sämtlich positiv sind und ihre Vorzeichen eines der folgenden sechs Systeme ergeben: I. n. I m. IV. V. VL + + + + — + - + + + - + + + + - + + - + + + — - + - + + — + + - - + - - + + + + + I + - + Dabei erweist sich dann die Determinante von P in den Fällen I. bis V. gleich 1, im Falle VL gleich 0, und hat man (2) a>&, a>c; g>h, g>f] l>j, l>k, und dazu noch je nacJi den einzelnen Fällen, die hier durch ihre Nummer Jcennüich gemacht sind, folgende weitere Bedingungen: I. n. I m. b -{• c> a, f "> h oder j '> Je rv. k>j Z)>c oder A>/' oder j>Ä; c>& oder /^Ä oder jfc>j b-\-c=a,h-{-f=g,j-\-li=l. Von den hier durch das Wort oder verbundenen zwei oder drei Be- dingungen hat jedesmal wenigstens eine statt. Es heiße {a,g,l\ in den Fällen I. — V. von der ersten, im Falle VI. von der zweiten Art, und von der Substitution P, welche ihrerseits {a,g,l] vollkommen bestimmt, sage man, sie sei eine zu |, ri, ^ geJiörende Sub- stitution. Ist eine ganzzahlige Substitution P mit der Determinante 1 so beschaffen, daß durch sie e^, sri, s't, mit geeigneten Vorzeichen e, e, s" in ein System 0 übergehen, welches eine der vorsteJienden Bedingungen I. bis V, erfüllt, so ist sie stets eine zu ^, rj, ^ gehörende Substitution. 3. Man bilde für ein äußerstes {a,g,l} die Systeme P und (^. Ist darin b^ c, so befindet sich in {b,g,l] der Gritterpunkt r, s', f auf dem Zur Theorie der Kettenbrüclie. 283 Bande einer §- und einer j^- Seite und der Gitterpunkt r", s", t" im Inneren einer ^- Seite. Es muß dann |^>r7j^|j dem in (1) liegenden Satze zu- folge, ein bestimmtes äußerstes {h,gi,l} mit einem Parameter gi'> g ent- halten, und dieses wird dann unter allen möglicJien äußersten {%, go)h]t in welchen g^^g, ?o ^ ^ "*^^ o.q<.cl ist, dasjenige mit größtem Farameter a^ sein. Wenn & < c ist, kommt die nämliche Eigenschaft einem gewissen äußersten { c, g, l^ } (l^ > l) zu. Dieses so in jedem Falle bestimmte { 6, 5^1 , ? } , beziehlich {c,g,Ji} heiße der i,- Nachbar von {a,g,l]. Zu diesem ^-Xachbar kann man wieder den |- Nachbar bilden usf. ins Unendliche, dabei kommt man offenbar auf lauter verschiedene äußerste Parallelepipeda für 1, 7?, ^ Analog kann man sodann einen rj- Nachbar und einen ^-Nachbar Ton {a,g,l} definieren. {a,g,l} selbst wird, je nachdem &>c oder & < c ist, der i^-Nachbar oder der §- Nachbar seines ^-Nachbars sein. Nun besteht der folgende Hauptsatz: Von einem beliebigen äußersten ParaUelepipedum für ^, rj, ^ ausgehend kommt man durdi fortgesetzte Bildung aller NacJibarn zu allen vorhandenen äußersten Parallelepipeda für ^, ?j, ^. Denn es seien irgend zwei verschiedene äußerste Parallelepipeda {afg,l\ und {«ojS'oj^o} gegeben. Da keines im anderen enthalten sein kann, ist bei jedem mindestens ein Parameter größer und also auch bei einem nur ein Parameter größer; so sei etwa a > öq, gc oder aber 69) oder {c,g,l^} (Z, >?) lautet, mit {«o^S^o^^o} ein ParaUel- epipedum TTi gemein haben, tielches TT enthält und dabei größer ist. Ist aber & 0 lautet, zwar mit {«oj^'o^^ol "wieder nur TT, aber, indem dann c > öq, g <. go, ?i > ?o i^^> dem eben behandelten Falle gemäß, mit dem ij-Nachbar von {ao,gQ,lo] gewiß ein ParaUelepipedum TT^ ge- mein, das TT enthält und dabei größer ist. Die zwei ParaUelepipeda, die hier jedesmal auf das mit TTi bezeichnete ParaUelepipedum führen, können nun identisch sein, anderenfaUs operiere man mit ihnen wie mit den beiden, von welchen man ausging, usw. Dem in (1) enthaltenen Satze zufolge muß nun jedes äußerste ParaUelepipedum, das TT enthält, ganz im Inneren von |-y, ^— , — j Uegen. Für die drei Parameter bei TT, TT,, usw. kommen daher nur eine endUche Anzahl von Werten in Frage, und eine endliche Anzahl von Schritten, wie der hier bezeichnete, muß zu einer 284 Zur Geometrie der Zahlen. vollständigen Verbindung von {a,g,l} und {a^j^fo, Zq} durch Nachbarn führen. Es bilden so aUe vorhandenen äußersten { a,g,l} eine bestimmte Keüe, in welcher an jedem Gliede in gewisser Weise unmittelbar seine drei Nachbarn haften und dadurch ein Zusammenhang aller Glieder zustande Tiommt. Man findet die Nachbarn eines äußersten {a,g,l} zweiter Art stets sämtlich von der ersten Art. Um die ganze zu ^, ri, t, gehörige Kette von äußersten Parallelepipeda zu bilden, wird man nun von einem Gliede der ersten Art in ihr ausgehen; dann bedarf man nur des Algorithmus, durch den man von einem äußersten {a, g,l} der ersten Art zu einem be- liebigen Nachbar, und, falls dieser von der zweiten Art wird, weiter direkt zu den Nachbarn dieses Nachbars gelangt. Man bilde die Systeme P und 0 für {a,g,l}, und es sei ( A, F, J'i B, G, K C, H, L das adjungierte System zu 0, das System, welches symbolisch durch A0~^ anzudeuten wäre. Es wird hinreichen, den ^-Nachbar von [a,g,l] und noch unter der Annahme & > c zu behandeln, indem die übrigen möglichen Fälle aus diesem durch die geeigneten Permutationen von |, ■)?, ^ und der zugehörigen Bezeichnungen hervorgehen; dabei ist zu beachten, daß in 0 den Formen i>, tj, t, nicht bloß die Horizontalreihen, sondern ebenso die Vertikalreihen einzeln zugeordnet sind. Man erhält, wenn 6>c ist, den | -Nachbar von [a,g,l] durch den nachstehend dargestellten Algorithmus. Voran steht dabei jedesmal, welcher von den Fällen I. bis V. aus 2. bei dem Systeme 0 zutreffen soll. Die Klammer [ ] dient in der bekannten Weise als Zeichen für größte Ganze. Die aufgeschriebene Substitution ist jedesmal die, mit welcher P rechts zu multiplizieren ist, um die zu dem |-Nachbar gehörende Substitution zu erhalten; die drei Einheiten daneben sind die Quotienten aus den Ein- heiten £, £, e" für den ^-Nachbar und für {a,g,l]] die römische Nummer darunter besagt, welche von den sechs Vorzeichenkombinationen aus 2. sich bei dem ^-Nachbar einstellt. Fall IL und Fall V. Von den doppelten Vorzeichen bezieht sich das obere auf den Fall 11., das untere auf den FaU V. [^] = J/, \^] = N- a-bM-cN=u, ±j + 1cM-lN=v. Zur Theorie der Kettenbrüche. I m 285 n 1) u h M-l N+l + 1 2) u0 4) t'<0 M N -1 + 1 5) u>b, i;>0 M iV^+1 + 1 6) u>h, t;<0 Jf+l N - l 1) 1) \ ^' Tö, Ol ±*, + dm, 0 i 0, -ön, 1, i>^-, 0, -1, 1, 1, j<^, 10, 0, 0, 1, 1, -1, 0, -1, a-{- c< 26, + d, Td, +1; d = 4-l, I; d = -l, IV. Fall L Ol 0 1 0 ^ 0 - 1 +, +; +; V. +, - -; in. fo, 1, 0 ] 1, 1, 0 [o, -1, -ij 1) a<2b, fC] a— (h — c)M—cN=u, —j-\- (J — lijM -IN = v^ h-c c = u. l — ]c = v'. m n d 1) u< u, V > v' M-1 iV + 1 + 1 2) u< u, v>v>0 M N-hl -1 3) w > u, v>0 M N-^-l + 1 4) u< < v<0 M N + 1 5) u> < v^-, + 1 + 1, -d, ±1 IV.; d = -l, I. 2)2 i<^, im FaUe IE., 2): iinFaUeIY.,2): ±1, -1, 1, 0, - 0, 1, 0, -1, 1, 0, 0^ 1, 1 n. ±; -, -, +; +, -, -; V. lO, -1, oj 4. Es sei ein reeller algebraischer Zahlkörper dritten Grades 0 ge- geben, dessen konjugierte Körper 6', 0" ebenfalls reell sind, also mit einer positiven Diskriminante D. Es seien a, ß, y drei ganze Zahlen aus 0 von solcher Art, daß die Form % ■=■ ax -\- ßy -{■ y z für die rationalen ganzzahligen Werte von ä", y, 3 alle ganzen Zahlen aus 0 darstellt; rj = ^' und ^ = ^" seien die konjugierten Formen zu | in den Körpern 0' und 6". Die Determinante von i, rj, ^ ist dann YD, und zwar möge sie gleich dem positiven Werte dieser Wurzel angenommen werden, indem auch — «, — ß, — y die Stelle von a, ß, y übernehmen können. Das Produkt l^fi^ = Nm^ ist eine Form in x, y, z mit lauter rationalen ganzzahligen Koeffizienten von der Diskriminante D. Wendet man auf diese Form eine Substitution P der zu ^, ri, i, gehörigen Kette an, so entsteht eine Form qp, wieder mit rationalen ganzzahligen Koeffizienten, von der Dis- kriminante D oder 0, je nachdem die Determinante von P Eins oder NuU ist; dabei ergeben sich aus den Ungleichungen 2.(1) und 2.(2) gewisse, nur von 2) abhängige obere Grenzen für die Beträge aller Koeffizienten in (p. Es gehen danach aiis Nm^ durch die sämtlichen unendlich vielen Suhstitutionen P überhaupt nur eine endliche Anzahl verschiedener Formen 288 Zur Geometrie der Zahlen. g) hervor. Unter einer Einheit des Körpers 0 soll eine ganze Zahl aus 0 mit der Norm 1 verstanden werden. . Es seien nun P und Q zwei verschiedene Substitutionen -der Kette zu I, 7], t„ welche |^^ in ein und dieselbe Form qp transformieren. Durch P mögen |, r}, i, in E, H, Z übergehen; durch (^ müssen dann |, t;, ^ in die- selben Formen bis auf Faktoren übergehen, und dabei kann mit Rücksicht auf die Ungleichungen 2.(2) auch Iceine Änderung in der Beihenfolge der Formen eintreten, so daß aus |, rj, ^ durch Q der Reihe nach wird coZ, cj'H, G)"Z. Dabei erweisen sich dann ra, o', co" als konjugierte Zahlen aus den Körpern 0, 0', 0" und hat man (0(o'(o"= 1. Der Faktor (o wird also eine Einheit darstellen, sowie er eine ganze algebraische Zahl ist. Dies wird nun immer der Fall sein, wenn P und Q die Determinante 1 haben. Denn alsdann geht durch QP~^ das System ^, tj, ^ in (a|, a'rj, a"^, und also, wenn E die identische Substitution, w einen unbestimmten Parameter bedeutet, durch QP~^— wE (bei Anwendung einer bekannten Symbolik) |, rj, ^ in (a — w)^, («'— w)rj, (ra"— w)^ über; danach ist die Determinante von QP~^ — m;jE gleich (o — w)(g)'— w)(ci" — w) und diese Relation erweist co als ganze Zahl. Auf zwei verschiedene Substitutionen P und Q von der Determinante 1, welche iVm| in ein und dieselbe Form q) transformieren, wird man z. B. mit Hilfe einer hinreichend verlängerten solchen Reihe von äußersten ParaUelepipeda kommen können, in welcher jedes Parallelepipedum der |-Nachbar des vorhergehenden ist. Dabei stellt sich dann offenbar eine Einheit co heraus, für welche von den Beträgen der Zahlen o, a>', ca" der erste < 1, der zweite und dritte > 1 sind. Analog kann man eine Ein- heit C3 finden, für welche von diesen Beträgen der zweite < 1, der dritte und erste > 1 , oder endlich der dritte < 1 , der erste und zweite > 1 sind. Es leuchtet ein, daß von solchen drei Einheiten je zwei immer unabhängig, d. h. nicht als Potenzen einer einzigen Einheit darstellbar sind. Durch eine Substitution 0 von der Determinante 1 geht das Gitter immer in sich selbst über, und wird aus einem äußersten ParaUelepipedum mit einer Substitution P daher wieder ein äußerstes Parallelepipedum, mit der Substitution 0~^P, das freilich nicht derselben Kette anzugehören braucht. Ist andererseits a eine ganze Zahl aus 0, so geht immer co^ aus ^ durch eine bestimmte ganzzahlige Substitution 0 hervor; durch dieselbe geht dann o'r] aus tj und ra"^ aus ^ hervor, und wird dabei die Determinante von 0 also gleich cjo'oj", d. i. gleich 1, sowie (o eine Ein- heit vorstellt. Daraus ersieht man nun: Ist {X, {i, v) irgendein äußerstes Parallelepipedum für |, tj, ^, P die dazu gehörige Substitution, co irgendeine Einheit aus 0, 0 die ganzzahlige Substitution, welche ^ in col transformiert, Ü Zur Theorie der Kettenbrüche. 289 SO ist auch l. — f, jA-^j r-^l immer ein äußerstes Farallelepipedum für ^,,1^,^, es gehört dazu die Stibstitutioti 0~^P und transformiert diese X;w| in genau dieselbe Form (p tvie P. Zwei in der hier erörterten Beziehung zueinander stehende äußerste Parallelepipeda mögen äquivalent heißen. Es entspringt daraus nun folgendes Verfahren, alle Einheiten des Körpers 0 zu finden. Man gehe von irgendeinem äußersten Farallel- epipedum für I, r„ ^ aus, bilde die Form (p dazu, konstruiere einen Nachbar, bilde die Form g) für ihn, und man setze immer von den erhalteneu Parallelepipeda aus die Bildung Ton Nachbarn und der Formen cp dazu fort, soweit als dies angeht, ohne daß man zwei Parallelepipeda erster Art mit derselben Form qo und zudem beide mit zwei gleichbenannten Nachbarn in der Reihe hat. Man kommt so notwendig auf eine begrenzte Anzahl von äußersten Parallelepipeda, welche man eine Fundametitalreihe für die zu i,, r^, t, gehörige Kette nennen kann. Man bilde nun für zwei unter den erhaltenen Parallelepipeda [l, [i, v), welchen dieselbe Form (p ent- spricht, immer den Quotienten aus ihren Parametern /•, falls dieser eine ganze Zahl wird, stellt er, mit einem geeigneten Vorzeichen versehen, eine Ein- heit vor; man kommt so auf eine endliche Anzahl von Einheiten, aus welchen durch Multiplikation und Division alle vorhandenen Einheiten des Körpers 0 abzuleiten sind. Es müssen sich nach dem Obigen darunter gewiß zwei unabhängige Einheiten finden, und kann man immer leicht auch zwei solche Einheiten ermitteln, aus welchen allein schon durch Multi- plikation und Division alle Einheiten hervorgehen. — Der in diesem Aufsatze dargelegte Algorithmus, um die Einheiten in einem kubischen Körper mit positiver Diskriminante zu finden, ist durchaus analog der Lösung der Feilschen Gleichung durch Bildung einer Periode reduzierter indefiniter binärer quadratischer Formen, wofern man die Reduktionsbedingungen von Gauß verwendet. Auf die kubischen Körper mit negativer Diskriminante kann ich an dieser Stelle nicht mehr eingehen. Der einfachste Körper 0 wird durch 2cos^ bestimmt*); '9' = 2cos- , ^ 7t G It ^ = 2cos— , ^"= 2cos-;^ sind drei konjugierte ^aw^e algebraische Zahlen; sie haben angenähert die Werte » = 1,25, &'=- 0,45, ^" = - 1,80 *) In der Abhandlung De la reducti&n des formes quadratiques temaires positives ei de son application aux irrationnelles du troisieme degre (Annales de l'ficole Nonnale ■uperieore, 2" serie, Supplement au tome IX) hat Herr L. Charve unter anderen Bei- spielen diesen Körper ebenfalls behandelt. Minkowski, rresammclte Abhandlungen. L 19 290 Zur Geometrie der Zahlen und sind danach die Wurzeln der Gleichung ^3-f ^2_2,^_ 1 = 0. Die Diskriminante dieser Gleichung ist 49, also ein Quadrat, 0 somit ein Abel scher Körper. Man hat (^' - Q-) {Q-" - d-) (d-" - ^') = - 7 , und entnimmt daraus und die aus diesen durch zyklische Permutation von -O", ^', ^" hervor- gehenden Relationen. Man kann nun oben u,ß,y = -l, -&, -^' nehmen. Dann sind die Koeffizienten in |, rj, §: f -1, -1,25, -1,55 ^ -1, 0,45, -0,20 . -1, 1,80, -3,25 . Es gehen jetzt — |, —rjjt durch m ^0, 1, 1 ■ P = 1, 0, . 0, 0, 0 — 1 . 1,25, 1 , - 0,55 ■ ■ d- , 1, 1-^2 - 0,45, 1 , 0,80 == d-' 1, l-d-'^ 1,80, -1, 2,25 j -&' , -1, - 1 + -^"2 . et) über. Dieses System 0 genügt den Bedingungen 2. IV. und ist somit (O-, 1, — 1 + 0'"^}= () ein äußerstes Paraüelepipedum zu |, r}, ^ und P die dazu gehörige Substitution. Es geht sodann ^rj^ durch P in g) = — ic^ — «/^ — 0^ + 2x^y 4- 2y^ß + 2z^x + xy^ + yz^ + 0X^ + xys über. Der Umstand, daß diese Form cp bei den zyklischen Permutationen von X, y, 3 ungeändert bleibt, setzt in Evidenz, daß 0 ein Abelscher Körper ist. Man nimmt hier auch sofort eine charakteristische Eigenschaft aller in analoger Weise in hezug auf Ahelsche Körper gebildeten Ketten wahr. Bei der Bestimmung des |-, wie des ri-, wie des ^-Nachbars von (O) wird nun jedesmal die gleiche Regel Anwendung finden, hier die Regel für den FaU IV., 2), so daß diese Nachbarn sämtlich von der zweiten Art werden. Dabei wird aus : Zur Theorie der Kettenbrüche. 291 Y = r= Y' = 1, -1, 1,25, , -0,45, l -1,80, 2,25, — 0,55 , . -0,80, -0,45, 1,80, -1,25, — 0,55 , 0,80, -2,25, -1, 1, -1, — 0,55 -0,80 2,25 } — 0,10 ] — 0,35 4,05 -1,25 -0,45 1,80 und cp geht jedesmal in dieselbe Form i^ = x^ -\- y^ -{- z^ — x^y — y'^z — z^x — ^xy"^ — 2yz^ — 2zx^ + 2xyz von der Diskriminante Null über. Der | -Parameter in den zugehörigen äußersten Parallelepipeda (H'), (T), (V") ist 1, -Ö-, 1 + d-, und indem die Quotienten dieser Größen sich als ganze Zahlen erweisen, sind diese Parallelepipeda äquivalent. Nun ist umgekehrt (0) der ij-, ^-, |-Nachbar von (V), (Y'), (Y") und werden daher aUe Nachbarn von (Y), (¥'), (Y") mit (0) äquivalente Parallelepipeda sein. In (0), (Y), (Y'), (Y") hat man somit bereits eine Fundamentalreihe der zu |, tj, ^ gehörigen Kette erlangt, und man kommt zu dem Resultate, daß die Einheiten -9', r— p-^ = -O"', ' 1 -j-lT 1 & „ . ö~~ ~ ^ ' zwischen denen noch die Beziehung '0-'9'''9'"= 1 besteht, durch ihre Potenzen und deren Produkte alle Einheiten des Körpers 0 rgeben. Es entsprechen diesen Einheiten die Transformationen 0, 1, -1 0, 0, 1 -1, -1, 0" 1, 0, 0 7 0, -1, -1 } -1, 0, 1 1, 0, -1 1, -1, 0, l 0, 1, 0. der Form g? in sich selbst. — Mit leichten Modifikationen lassen sich die Sätze der Abschnitte 2. und 3. auch auf solche lineare Formen ausdehnen, durch welche die NuU rational darstellbar ist. Für drei Formen von der besonderen Gestalt x-\-ay-\-b2, y + cz, z bat man offenbar immer in {1, 1, 1} ein äußerstes ParaUelepipedum und damit einen ganz bestimmten Ausgangspunkt für die zu den Formen gehörige Kette. Aus den Sätzen dieses Abschnittes entnimmt man leicht, daß, wenn a, ß, y, %, r}, ^ die oben festgesetzte Bedeutung für den kubischen Körper 6 haben, jede Substitution P der zu |, tj, ^ gehörenden Kette, in deren ParaUelepipedum {X, (i, v) die Quotienten -^, — gewisse Größen 19* 292 Zur Geometrie der Zahlen, übersteigen, auch in der zu den Formen ' (X ^ a ' ^ ccß — aß' gehörigen Kette auftreten muß. Derjenige Satz, welcher diesem bei zwei linearen Formen entspricht, ist genau der Satz von Lagrange, daß für eine reelle quadratische IiTationalzahl die Entwicklung in eiaen gewöhn- lichen Kettenbruch sich periodisch gestaltet. Ich werde bei nächster Gelegenheit auf die Untersuchung dreier Formen von der Gestalt X — as , y — hz , z , worin a, h beliebige reelle Größen sind, und eine andere, damit zusammen- hängende und weit bemerkenswertere Verallgemeinerung dieses Satzes von Lagrange zurückkommen. Königsberg, den 15. Oktober 1894. XIV. Ein Kriterium für die algebraischen Zahlen. (Nachrichten der K. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Mathematisch-phTsikalische Klasse. 1899. S. 64—88.) (Vorgelegt in der Sitzung vom 11, Februar 1899 von D. Hilbert.) Im Jahre 1770 hat Lagrange*) gezeigt, daß die Entwicklung einer reellen irrationalen Größe in einen gewöhnlichen Kettenbruch immer dann und nur dann periodisch ausfallt, wenn die Größe Wurzel einer quadrati- schen Gleichung mit rationalen Koeffizienten ist. Dieser Satz gibt offen- bar ein vollständiges Mittel zur Unterscheidung der reellen algebraischen Zahlen zweiten Grades von allen anderen Größen. Seit jener Entdeckung von Lagrange durfte man vermuten, daß ein allgemeinerer Satz existiere, der ein vollständiges Kriterium für die reellen (oder komplexen) algebrai- schen Zahlen beliebigen w**° Grades gibt und der für n ^ 2 und reelle Zahlen eben auf jenen Satz von Lagrange hinauskommt. Eine solche Verallgemeinerung wird zum ersten Male**; im folgenden dargelegt. § 1. Arithmetische Hilfssätze. 1. Ich beginne mit der Ableitung einiger Hilfssätze, auf welche sich die späteren Beweisführungen gründen werden. Es seien S^, . . ., |,, eine Reihe linearer homogener Formen mit den n reellen Variablen x^, . . ., x^ und mit irgendwelchen reellen oder kom- plexen Koeffizienten; nur soll das System der Gleichungen 1^ = 0, . . ., ^^ = 0 bloß durch das eine reelle Wertsystem x^ = 0, . . ., x^= 0 befriedigt werden können. Der größte unter den absoluten Beträgen von Xj^, . . ■, x„ vorkommende Betrag soll mit maxjajij bezeichnet werden. Setzt man für x^j.-.yX^ irgendwelche reellen Werte, so soll der größte unter den absoluten Be- *) Abhandlungen der Akademie zu Berlin, Bd. XXIV, 1770; Werke, Bd. U, S. 603 ff. **) Über bisherige Versuche in dieser Richtung b. P. Bachmann, Vorlesungen über die Natur der Irrationalzahlen, 1892, Vorl. II und Vorl. X. 294 Zur Geometrie der Zahlen. trägen von ^^, . . ., |^ vorkommende Betrag mit max | l;,(^i, . . ., rcj | und zugleich mit f{x^, • • •, ^J bezeichnet werden. Man hat dann (2) fitXu-- ; tx„) = tf{xi ,..., x^), wenn t > 0 ist. Die Funktion f{x^, . . .,x^ isi eine stetige der Argumente x^, . . ., x^ und hat daher in dem durch max | a;^ | = 1 definierten abgeschlossenen Be- reiche (d. i. auf der Begrenzung des durch — l^^i^l, ..., — I^ä; ^1 definierten Würfels) ein bestimmtes Minimum g, das wegen der an die li, . . ., ^^ oben gestellten Anforderung gewiß > 0 ist, und ein bestimmtes Maximum G. Sodann ist wegen (2) stets (3) g max \xj^\:^ f{x^, • . .,x^ ^G max \x^\. Endlich hat man, wenn a^, . . .,a^ und \, . . .,h^ zwei reelle Systeme sind, stets (4) /"K + &!,.. ., a„ + K) £ f{a„ . . ., aj + fi\, . . , &J. Denn für jede einzelne der linearen Formen |^ gilt I l{a, + \,.. , a, + &J I ^ I §,(a,, . . ., «.J | + | l(b^, . . ., JJ | ^ max I i^(a„ . . ., aj [+ max | |^(6j, . . ., &J | und daher auch max 1 1^ («1 + &i, . . ., a„ + &J I ^ max \l,{a^,.. ., aj 1 + max 1 1^ (6,, . . ., &J | . Hat man f{a^, . • ., aj ^ 1 und f(b^, ...,&„) ^ 1 und ist 0 < ^ < 1, so folgt nach den Regeln (4) und (2) (5) A(i-Oö^i+^&p---,(i-0«.+^&n))^(i-0/"K.-,«„)+^/'(^vv&J^i- Nach den Eigenschaften (5) und (1) ist der durch f{x.^, . . ., x^) ^ 1 definierte Bereich K in der Mannigfaltigkeit der x^,...,x^ ein nirgends konkaver Körper und hat das System x^ = 0, . . ., x.^ = 0 (den Nullpunkt) als Mittelpunkt. Der Bereich K liegt wegen (3) ganz im Würfel max j x^\ ^ - eingeschlossen und enthält in sich den Würfel max j ic^ | ^7^- Das w-fache Integral / dx^ . . . dx^, über den Bereich K erstreckt, (das Volumen von K) hat einen bestimmten positiven endlichen Wert J".*) 2. Der Inbegriff aller Systeme Xj^, . . ., x^, bei welchen sowohl x^^, wie x^, . . ., wie x^ ganze Zahlen sind, soll das ZaMengiUer, die einzelnen Systeme daraus sollen Gitterpunkte heißen. *) Man kann die Zahl v oben auch unbegrenzt wachsen lassen, wenn man die Bedingung hinzufügt, daß in allen Formen |j die Beträge der Koeffizienten unter einer Grenze bleiben, und kommt dadurch zu dem Begriffe eines beliebigen nirgends konkaven Körpers mit dem Nullpunkt als Mittelpunkt. Alle im § 1 abgeleiteten Sätze gelten unverändert für jeden solchen Körper. Ein Kriterium für die algebraischen Zahlen. 295 Eine Reihe von Systemen x^ =Pi\ • • •? ^« ""Pn^ (Ä = 1, . . ., ?» und m ^ w) soll unabhängig heißen, wenn in der aus ihnen zu bildenden Matrix \j/^ ■ nicht jede m-reihige Determinante Null ist. Es seien p^^\ . . .,p^^ für Ä = 1, . . ., n irgend n unabhängige Gitter- punkte, also die Substitution P: (6) x,=pfz, + ---+p^X, (Ä; = l,..,n) eine ganzzahlige mit von Null verschiedener Determinante. Dann gibt es bekannthch eine ganzzahlige Substitution A mit einer Determinante = ±1: (7) a:, = 4^y + --- + 4"V, (*=l,..,n) 80 daß die Formeln P~^Ä werden: (8) ^. - rt\+ ■■■ + rfy., ■■■,', = rTn. (rT = <>.'>> *') und dabei femer die Ungleichungen erfüllt sind: (9) 0 ^i = yi^"\ ^t ^ ^k^"^- Nunmehr wird man, wenn x,^ (Je = 1, . . ., «) ein beliebiger Gitter- punkt ist, sukzessive y„, y„^i, • ■ -, yi als ganze Zahlen so bestimmen können, daß in der Umformung ^k-iy.a,^"^ + 2/„-i«i<-'^ + --- + yi«*^'0 = rnPk^'^+rn-iPk^''-'^ + "-+nPk^'^ (A:=l,...,n) sich 0 < j/„ < j/^(»), 0 ^ 7, _ 1 < y^^Zi^ , . . . , 0 ^ y < y^^^^ ergibt. Dann muß, da die linken Seiten jedenfalls Koordinaten eines Gitterpunktes sind, nach der Bedeutung von yj'"\ . . ., 7/^) hier notwendig y^ ==^ 0, y^_.^ = 0, . . ., 7^ = 0 sein; es folgen also die Relationen von der Form (7), woraus nach den Ausdrücken der o^^*) weiter die Formeln (8) hervorgehen. Zu jedem Systeme von ganzen Zahlen x^^, . . ., x„ gehören so vermöge (7) bestimmte ganzzahlige Werte l/i, . • •, y„. Es müssen also in der Auflösung von (7): (10) y, = b,^'% + . • . + fe.Wa;. (Ä = 1, . . ., n), 296 Zur Geometrie der Zahlen. wie die Einführung der n Systeme Xj = 1, x^ = 0 {k =4= j) für j = 1, . . ., w zeigt, alle Koeffizienten b^^^ ganze Zahlen sein. Somit ist auch ihre Determinante j bf^^') \ eine ganze Zahl, und da dieselbe der reziproke Wert der ebenfalls ganzzahligen Determinante | a/'^ ] ist, so folgt notwendig, daß diese: | «/*) | = ± 1 ist. 3. Betrachten wir wieder die in 1. definierte Funktion f==f(3C^,...,x^. Es gibt wegen (3) nur eine endliche Anzahl von Gitterpunkten, für welche f eine gegebene Größe nicht überschreitet. Andererseits gilt nach (3) f ^G jedenfalls bei den n unabhängigen Systemen x^ = 1, Xj^ = 0 (Je =4= j) für j = 1, . . ., n. Man bestimme nun unter allen vom Nullpunkte ver- schiedenen Gitterpunkten, bei welchen f ^G ist, einen ersten Gitterpunkt Px^\ • • '} Pn^\ SO daß f{Pi^^\ . . ., Jö„^^^) = F^ möglichst klein ist, sodann einen zweiten, von diesem ersten unabhängigen Gitterpunkt p^^^\ . . .,p^^\ so daß f{Pi^^\ ' - •> Pn^^) = -^2 möglichst klein ist, usf. bis zu einem n^^ Gitter- punkt i>/"^, • • ., JP/"\ so daß schließlich die Determinante liJ^^'^^l+O ist und für diesen letzten f{p-^^''\ . . ■,Pn^"^) = F^ möglichst klein ausfällt. Bei jedem einzelnen der zu wählenden Gitterpunkte hat man jedenfalls die Auswahl zwischen einem Paare entgegengesetzter Systeme (i?i, . . .,p„ und — Pi, - • •, — Pn)f unter Umständen aber zwischen einer gewissen Anzahl solcher Paare; trotz der dabei zugelassenen Willkür aber ist das System der n Werte F^, F^, . . ., F^ von vornherein ein völlig bestimmtes. In der Tat, jedenfalls ist (11) F,£F,^,..£F^. Wir denken uns nun für die n Gitterpunkte pjj-''\ . . .,Pj}''^ {h=l, . . ., n), an welche die Betrachtungen in 2. anknüpften, die hier ausgewählten n Gitterpunkte gesetzt und können alsdann sämtliche dort eingeführten Bezeichnungen hier übernehmen. Vermöge der Substitution Ä entsprechen sich genau die Gitterpunkte x^,...,x^ und die ganzzahligen Systeme yij ' ' -^Vn- N^ach der Bedeutung der Werte Fj hat man für einen Gitter- punkt, bei dem Zj, Zj^i, • ■ ■, ^n nicht sämtlich Null sind oder also Vj^Vj+ii • • -^yn nicht sämtlich Null sind, stets f(Xi,--',oc^)'^Fj. Hat man nun irgend n unabhängige Gitterpunkte x^^^\ . . ., xj^^ für h=l,...,n, so daß also die Determinante | x^''"' \ 4= 0 ist, und entsprechen ihnen ver- möge der Substitution (7) die Systeme y-^^^'\ . . ., yj'^\ so ist auch die Determinante \ y^''^ i 4= O5 es können daher, wenn j einen der Werte 1, . . ., w bedeutet, nicht bei j oder gar mehr der Punkte alle n — j ■\- 1 Größen yijVj+n • • -yVn gleich Null sein, es sind also stets für mindestens n—j-\- 1 der Punkte die Werte /"(^i, • • •, ^„) ^ Fj. Ordnet man also die n Werte f(Xj^''\. .,^n^*0 ^^^ Größe nach in die Reihe F*,...,F.*, so ist stets Ein Kriterium für die algebraischen Zahlen. 297 n Fr > Fj (j = 1, . . ., n), [also auch ///"(a:/''), . . ., a;/)) >F,...F„, wobei A = l das Gleichheitszeichen nur statthat, wenn die nWerte f(Xj^''\ .. ., x^^''^) abgesehen von der Reihenfolge mit F^, . . ., F^ zusammenfallen]. Danach sind die Werte F^, . . .,F^ vollkommen bestimmt als das kleinste mög- liche System von n Werten der Funktion f{x^, . . ., a;J für n unabhängige Gitterpunkte. In dem fünften Kapitel meines Buches „Geometrie der Zahlen" (I. Heft, Leipzig, 1896; nun habe ich nachgewiesen, daß stets die Un- gleichung F^...F„J£2'' gilt, wo J das Volumen des Bereichs /"(^i, . . ., x^) ^ 1 ist. Der Beweis dieser Ungleichung erfordert mancherlei Ausführungen. Für die im fol- genden beabsichtigten Folgerungen kommt es jedoch nur darauf an, daß sich für F^ . . . F^J überhaupt irgendeine, nur von n und nicht weiter von der Funktion f(x^,...,x^ abhängende obere Grenze angeben läßt. Durch wesentlich einfachere Überlegungen als a. a. 0. läßt sich nun fol- gendes nachweisen. H i 1 f s s a t z I. Es gilt für den nirgends Tconlcaven Bereich /"(a^i , • • • , a:„) ^ 1 die Ungleichung: (12) F^ .'i.F^J£nl2\ 4. Um den Beweis dieser Ungleichung anzubahnen, ennitteln wir zunächst zu den einmal gewählten n Gitterpunkten Pi^''\ • • ., pj^^ für h = 1, . .., n die Substitution (7) und führen damit gewisse neue Variablen Vif ■ • •} yn ®^- ^^ ^^^ -^ ^^^ Körper f{Xi, • . •, a:J ^ 1, und wir wollen für j = 1, . . ., w unter Ä}+ bzw. Kj~ das Gebiet aus K verstehen, für das Vj ^ ^} hz\ir. ifj ^ 0 und zudem, (wenn j <.n ist), y^.^j = 0, . . ., y^ = 0 ist; die Vereinigung von Kj^ und Kf heiße JE}; der Bereich K^ wird nichts anderes als K selbst. Es sei ?/i = d/^^, y^ = 0, . . ., y„ = 0 der Punkt (das System ^i, . . ., y«) aus K{^, für den y^ am größten ist, sodann y^ = dj^^^, y^ = ö^^^, i/3 = 0, ...,?/„ = 0 ein solcher Punkt aus K^^, für den y^ möglichst groß ist, usf., schließlich y^ = dj^''\ y^ = dgW, . . ., y„ = dj") ein solcher Punkt aus Jr^+, für den y^ möglichst groß ist. Dabei sind natürlich di^^\ dj^^\ ..., d^ positiv. Diese Systeme mögen auch kurz die Punkte b^, bj, . . ., b, und die ihnen entgegengesetzten Systeme die Punkte — b^, — bj, . . ., — b„ heißen. Wir führen nun die Substitution ein: 13) yi = <5i(^^t'i + -- + tfi^"^^'„,...,i/„ = dWv, (k), und wir setzen ihre Determinante d^^^^ d^^*) . . . d„W = A. Für den Punkt b/ 298 Zur Geometrie der Zahlen. hat man dann Vj =■ 1, v^ = 0 (k=^j); als ein Körper, der den Nullpunkt zum Mittelpunkt hat, enthält K mit bj jedesmal auch den Punkt — b>, d. i. Vj = — 1, v^ = 0 (Je =^j), und mit diesen 2n Systemen ± b^, . . ., + b^ enthält K als ein nirgends konkaver Körper (wegen (5)) sogleich den ganzen durch (14) l^il + 1^2l + --- + it^„l^l definierten Bereich. (Für w = 3 stellt dieser Bereich ein Oktaeder vor.) Es läßt sich nun ein zweiter einfacher Bereich (ein Parallelepipedum) angeben, welcher seinerseits ganz den Körper K in sich enthält. Es habe j einen der Werte 1, . . ., n — 1. Wir suchen einen Ausdruck cp = vj -|_ £(; + !) t^^.^j^ -[-... -|- fWi)^ mit geeigneten Konstanten «^•^ + ^), . . ., a^") her- zustellen, so daß in K durchweg qp < 1 ist. Zunächst gilt in Kji Vj ^ 1. Wir bilden nun tp = Vj -\- svJ_^_^ mit irgendeiner Konstante s. In Kj ist v^ + j == 0, vj^l, also 9 ^ 1. So- wie £ < — 1 ist, hat man für den Punkt — b^.,.j, für den Vj_^_^ = — 1, vj = 0 ist, 9? ^ 1 ; dann muß in K.'^ ^ durchweg cp ^^ sein. Denn hätte man ^ > 1 für irgendeinen Punkt in -K^, i, so würde die Strecke von diesem Punkte nach — ^j+i das Gebiet Kj in einem Punkte treffen, für den ebenfalls qp > 1 wäre. Sowie andererseits £ > 1 ist, hat man in K^^^ für den Punkt b^^^ jedenfalls 9) > 1. Danach ist das Maximum des Aus- drucks (p = Vj -\- £Vj_^_^ für ein gegebenes € im Bereiche K'^^ sicher > 1, wenn £ > 1 ist, und sicher ^ 1 , wenn s <. — 1 ist. Dieses Maximum aber ist offenbar eine Funktion von s, die sich mit s stetig ändert, und wird es daher einen bestimmten größten Wert « = £^A-' + ^ geben, im Inter- valle — 1 ^ « ^ 1 gelegen, für den dieses Maximum noch ^ 1, d, h. für den in K:^,^ noch durchweg 90 ^ 1 ist. Dann ist für jeden Wert s, der >■ Ej^'^^'> ist, in K.'^^ notwendig irgendwo auch qp > 1 und daher, weil in Kj überall ^<1 sein muß, in ÄJ+i notwendig überall g?^l; letzteres muß dann auch noch für den Grenzwert £ = £^^' + ^) gelten, und also ist für diesen Wert im ganzen Bereich Ä^ + i stets tp ^1. Falls auch noch J -f 1 < w ist, betrachten wir den neuen Ausdruck

1 in -^^^.2 insbesondere qp > 1 für den Punkt b^-^g- Nun- mehr wird es einen bestimmten größten Wert £==£;-^ + ^) geben, im Inter- valle — 1^«^1 gelegen, für den in Kj*^^ noch überall 90 ^ 1 ist. Dann ist für jeden Wert £> £^<^'+^) in -£^+2 irgendwo

1 und daher in Ky+ 2 überall cp ^1, und dieses letztere muß schließlich auch für den Orenzwert £ = Sj^+^^ gelten. Mithin ist cp =^ vj -{- f^^'"^^^ v_,+i + Sj^'^^^^j+i^ in -K^^2 durchweg ^ 1. Ein Kriterium für die algebraischen Zahlen. 299 Es ist nun klar, wie man fortzuschreiten hat, wenn noch j + 2 < w ist, und daß man schließlich zu einem Ausdrucke cp, = vj + aj(J+')v^^,-^--'-\-s}")v^ mit bestimmten Koeffizienten Sj^'^^\ . . ., f/"^ kommen wird Ton solcher Art, daß in K^, d. i. in ^ überall q>j ^ 1 ist. Weil K ein Körper mit dem Nullpunkt als Mittelpunkt ist, nimmt — q)j in K dieselbe Wertmenge an wie cpj, und also ist dann in K auch — (p^ ^ 1, d. h. q)j ^ — 1- Endlich hat man noch für gp„ = v„ in ^ stets + gD„ ^ 1. Man kann auf solche Weise n Formen herstellen: (15) ^1 = 1^1 + «i^^^uj + • • • + h^^^v^, <3P, = vg + . . . + fgWv^, ...,g)„ = t',., so daß K ganz in dem Bereiche (16) -l£(p,£l, -l£h). Da nun dieser Punkt zum Bereiche /"( ^ ? •••>#) ^ 1 gehört, muß für ihn nach der Bedeutung der Größen d^W in 4. sich ^ ^ d^^*) erweisen. Also ist -^ un- abhängiges System Xi=Pj^^\ . . ., x^=p^^^ aus, wofür nächstdem der Betrag von | möglichst klein ausfällt, und es sei wieder unter den Zahlen p^^^"* die letzte nichtverschwindende > 0. Für dieses zweite System sei | = <^2- ^^^ fahren so fort, bis wir schließlich unter jenen Systemen ein n^^^ von den früheren unabhängiges System x^=p^^"\ . . ., Ein Kriterium für die algebraischen Zahlen. 303 a-^=^(«) erlangen, wofür wieder der Betrag von | möglichst klein ist, und es sei aucli von den Zahlen p^^"^ die letzte von Xull verschiedene > 0. Für dieses n^ System sei | = a„. Dann hat endlich die Substitution P: (27) X, = p^'h, + Ih^'^h + • • • + P.^^^^n (^- = 1- 2,- • • •, n) eine von Null verschiedene Determinante, und es geht | durch P in (28) |P = ;|r = u,Z^ + «2^2 + • • • + «„^n über. Dabei ist jedenfalls (29) !«il^l«2i^---^i««l- Unter speziellen Umständen in bezug auf die Größe a ist es möglich,, daß die Systeme Py^^'\ . . ., p^''^ durch die angegebenen Bedingungen noch nicht eindeutig bestimmt sind, die Festsetzung von P für das gegebene r also noch in mehrfacher Weise geschehen kann. Durch entsprechende Betrachtungen wie in 3. aber erkennt man, daß jedenfalls das System der n absoluten Beträge j Oj |, \cCi\, ■ . -, ] «„ | durch die Zahl r vöUig eindeutig bestimmt ist. Es heiße P eine zur Zahl r gehörende Substitution, Man bilde nun eine zur Zahl r^ = 1 gehörende Substitution P^. Diese kann auch noch zu r = 2, 3, . . . gehören. Gehört sie nicht zu jeder Zahl r, so sei der größte Wert r, zu dem sie gehört, r = r^— 1 (wo ^2 ^ 2 ^s^)- -^s s^i sodann Pg eine zu r^ gehörende Substitution, und sie gehöre zu den Zahlen r, die ^ r^ und < r^ sind. Sodann sei Pg eine zu r^ gehörende Substitution usf. Wir woUen noch die Festsetzung treffen, daß, wenn für eine dieser Substitutionen P^ in der zugehörigen Form ^P, = ;j ein Teil der Koeffizienten «j, . . ., a, (etwa a^, ..., Uj) =0 wird, die betreffenden Vertikalreihen p^W^ . . ., p^''^ (Ä = l, ...,/) für aUe folgenden Substitutionen P^ (x > i) unverändert beibehalten werden soUen. Die so entstehende (sei es abbrechende, sei es unendliche) Reihe von Substitutionen P^, Pg, P3, . . . soU die zu a gehörende Kette von. Substitutionen heißen. Es sei allgemein x, = «i^'^^i + • • • + ^^'^^n ^^^ Form, in welche | durch Pj übergeht. Man hat für zwei aufeinanderfolgende Substitutionen P„ P,^.i der Kette: (30) I a,('+i) I ^ KW I, . . ., I «J.+o I ^ I „ w I (t = 1, 2, . . .), wo jedenfalls nicht alle n Gleichheitszeichen auf einmal gelten können j denn sonst würde ja P, auch zur Zahl r^^^ gehören, während sie nur zu den Werten r ^ r, und ^^,+1— 1 gehört. In P, sind jedesmal die Be- träge aller Koeffizienten ^r, und ist wenigstens einer darunter >r,— 1,^ also eben = r,. Man erkennt nach diesen Umständen, daß die Reihe der Zahlen r^, r^, r^, ... eine durch die Größe a vöUig bestimmte ist. k 304 Zur Geometrie der Zahlen. 9. Ohne an die Aufgabe der einfachsten sukzessiven Ermittlung der Kettenglieder näher heranzutreten, beweise ich nur den folgenden Satz, der bei der Behandlung dieser Aufgabe die wesentlichsten Dienste leistet. Für eine jede Substitution der Kette ist die Determinante dem Betrage nach ^ n\. Es sei P in (27) eine Substitution der Kette, zu einer Zahl r ge- hörend, und 1 in (28) die Form, in welche | durch P übergeht. Dann kann der durch * (31) i^il + --- + kJ^l definierte Bereich im Inneren (d. h. soweit das Zeichen < gilt), keinen Gitterpunkt außer dem Nullpunkte enthalten. Denn ist z-^, . . ., ^„ irgend- ein, von 0, . . ., 0 verschiedenes System im Inneren dieses Bereichs (31) und von diesen Größen z^ die letzte von NuU verschiedene, so hat man dafür I = «1^1 -f . • . + a^z^, x^ = p^^^h^ + • • • + Pk^'^z^. Ist erstens | aj > 0, so folgt 1 1 1 ^ | «J (|^i | H V \^j\) <\t>^}\, I ^i 1 ^ ^'(ki I H ^" ki I) ^ *'5 alsdann ist das betreffende System x^, • • •? ^a kein Gitterpunkt, denn für einen Gitterpunkt, bei dem die Beträge | a:^ | ^ »* sind und Zj =H 0 ist, muß 1 1] ^ | a^- 1 sein. Ist zweitens Uj = 0, so sei P^ die erste Substitution der Kette, für welche sich «/'') = ••• = cc.^'^^ = 0 findet, während, wenn % > 1 ist, in der zu Px_i gehörenden Form x^-i ^^^ erste nichtversch windende Koeffizient «y/""^^ mit einem Index j' ^j sei. Dann ist also r^ die kleinste Zahl, für welche die ersten j' Vertikalreihen einer zugehörigen Substitution sämtlich | = 0 machen. Nun gehören zufolge einer in 8. getroffenen Festsetzung die ersten j Yertikalreihen von P bereits zu P.^ und, wenn 3t > 1 und j'> 1 ist, die ersten j'—l Vertikalreihen von P bereits zu P^_i. Für das System z^,...,z^ folgt jetzt ^ = 0, | ^J ^ ^^.(ki | H H k> |) < ^x- Im Falle oc = 1 ist r^ = 1 und kann also x^, . . ., x^ hier kein Gitter- punkt sein. Ist aber x>l und wäre x^, . . ., x^ hier ein Gitterpunkt, so wäre derselbe, da Zj-^0 ist, ja vom Nullpunkte verschieden und zudem, falls i' > 1 ist, auch von den Gitterpunkten in den ersten j' — 1 Vertikal- reihen von Py_i unabhängig; also würde bereits zu einer gewissen Zahl 1. Ferner wollen wir von dem Falle absehen, daß n = 2 und a komplex ist; alsdann würde 1 1 1 = ja:^ -f aa^g | unter einer Ein Kriterium für die algebraischen Zahlen. 305 gegebenen Grenze nur für eine endliclie AnzaM von ganzzahligen Systemen rTj, Xg Hegen, vräre also die Substitutionenkette zu a jedenfalls eine ab- brechende; andererseits ist eine komplexe Größe a == & -f- /c dann und nur dann eine algebraische Zahl zweiten Grades, wenn & sowie c- rational sind. Auf Grund der in 8. entwickelten Begriffe entsteht nun folcrendes vollständige Kriterium für die algehraisclien Zahlen n*^ Grades: Es sei a eine beliebige reelle oder komplexe Größe, im ersten Falle 6=1, im zweiten 6 = 2 und n > ö . Es sei ^ = x^ + ax^^ H a"-^a;„, sodann P^, Pg, Pg, ... die zn a gehörige Kette von Substitutionen mit n Variablen, und iiy Xu Za» • • • seien die Formen, in welche | durch Pj, Po, Pg, ... übergeht. 1'^ Ist a nicht eine algebraische Zahl n^ oder niederen Grades, so bricht die Kette niemals ab, und alle Gleichungen jji = 0, Xi = ^f • • • ^*^'f^ verschieden (d. h. keine zwei der Formen Xi} Zsj • • • unterscheiden sich bloß durch einen Faktor). In jeder Form Xx sind alle Koeffizienten von Xull verschieden. 2° Ist a eine algebraisclie Zahl n*^ Grades, so bricht die Kette niemals ab, unter den Gleichungen Xi = ^) Za = ^j • • • l^ommen nur eine endliche Amahl verschiedener vor (d. h. alle diese unendlich vielen Formen ent- stehen aus einer endhchen Anzahl unter ihnen durch Multiplikation mit Faktoren), in jeder Form Xx sind alle Koeffizienten von Null verschieden. 3° Ist a eine algebraische Zahl n — w*®'' Grades, wo m > 0 und w — w» > • • • kommen nur eine endliche Anzahl verschiedener vor, in den Formen Xx sind von einer gewissen an stets die m ersten Koeffi- zienten = 0, die übrigen n — m sind beständig von Xull verschieden. 4° Ist a eine algebraische Zahl a^^'^ Grades (also reell und rational oder komplex und vom zweiten Grade), so bricht die Kette nach einer endlichen Anzahl von Gliedern ab. 11. Wir beginnen den Nachweis dieses Satzes mit der Feststellung, daß, wenn zwei der Gleichungen j(^^ = 0, Xs = 0? • • • identisch sind, die Größe a notwendig eine algebraische Zahl n*^ oder niederen Grades ist. Es seien also Xi und Xx zwei unter jenen Formen, die sich bloß durch einen Faktor 9 unterscheiden, so daß Xx'^^ ^Xi ist. Es sei t < x, so ist zufolge der Bemerkungen bei (30) der Betrag j 0 j < 1. Es seien P, und P^ die Substitutionen der Kette, welche ^ in x, und Xx überführen. Durch ^x-P."^ geht dann g in Qx,P,~\ d. i. in 65 über. Es sei Minkowski, Gesammeit« Abhandlungen. I. 20 306 Zur Geometrie der Zahlen. (32) |g,«| (/.,/. = l,..,n), h als den Index der Horizontal-, Je als den Index der Vertikalreihen ge- dacht, das Koeffizientensystem der Substitution PyP~^, so ergibt die Ver- gleichung der Koeffizienten in den Formen 6| und ^P.^P~^: (33) ea*-i = ^1« + aq,^') + • • • + a"-iff ^ (/c = 1, . . ., w). Die Koeffizienten g,/*) sind sämtlich rationale Zahlen. Man entnimmt aus diesen Gleichungen, daß die Determinante (34) . |ee/.-,/)| = 0 /.<"^0 '. + .;. r = l \ h, k=l, . .., n ist, eine Gleichung, die symbolisch \QP^P~^ — PyP~^\ = 0 geschrieben werden kann. Nimmt man zwei aufeinanderfolgende der Gleichungen (33), für 1c =j und Ä; = j -f 1 (j== 1, . . ., w— 1), so entsteht aus ihnen durch Elimination von 0: (35) g,(^ + ^) -f a(g,y+i)-^/») 4- . . . + a-\qO+^)-qifi;) - a'^qjp = 0. Man hat n — 1 solcher Gleichungen für j = 1, . . ., n—\. Entweder ist nun wenigstens eine unter ihnen so beschaffen, daß in ihr nicht aUe Koeffizienten der Potenzen von a Null sind; dann erweist sich durch die betreffende Gleichung die Größe a als eine algebraische Zahl n^^^ oder niederen Grades. Oder aber, es wären die Ausdrücke in a auf den linken Seiten der Gleichungen (35) für i = l, . . ., n—1 sämtlich identisch gleich NuU; dann hätte man (36) ^,o+^) = 0, ?,(^-+^) = gÄ . . ., gi^'+^) = gi!)„ 0 = ^ w für J==l, ..., n — 1, also zuvörderst ^^(2) = 0, g/^) = 0, . . ., g,W = 0; qj^) = 0, gj^) = 0, . . ., gi«"^) = 0, sodann allgemein, wenn Ti^-Ti ist, g^W = g^(^-i) = • • • = g'^(*-''+^) = 0, und wenn h r^ und | 0 | < 1 im Widerspruch stünde. Die zweite Annahme, daß keine der Gleichungen (34) eine Bedingung für a gibt, ist danach unzulässig, und mithin ist notwendig a eine algebraische Zahl w*®"^ oder niederen Grades. Ein Kriterium für die algebraischen Zahlen. 307 12. Wir ziehen jetzt die Ergebnisse des § 1 heran. Es sei s eine beliebige positive Größe; wir nehmen für die linearen Formen 1^, Ig» •••> an welche die Betrachtungen in § 1 anknüpfen, die w + 1 Formen x„...,x„ und — = ^{x^i-ax2 + '-- + a^-''x„). Der Körper K wird dann der durch (37) -l = 2, wenn a komplex ist, und im letzteren Falle setze man | = »? + *^, so daß ri und t, Formen mit reellen Koeffizienten sind. Die Bedingung j | { ^ £ kommt für 6=1 auf — « < I ^ £, für 6 = 2 auf i/^+^"^£^ hinaus. Denkt man sich zu I, bzw. zu 1^, ^ weitere n — 6 reelle lineare Formen v^, . . ., v„_^ hinzu- genommen, so daß n Formen mit einer Determinante 1 entstehen, so er- kennt man, daß mit nach Null abnehmendem s das Verhältnis -^ für 6=1 oder — 5 für 6 = 2 nach dem Werte des über den Bereich 1^1 = 0, -l^a:, 0. Wir zeigen, daß alsdann im Verlauf der Kette der Betrag | a^ \ schließlich unter jede Grenze sinken muß. Es sei P in (27) eine zur Zahl r gehörende Substitution, i in (28) die zugehörige Transformierte von |. Wir nehmen in 12. den Para- meter £ = J— ^; (diese Größe ist < 0*, weil |i?i^^^|, . . ., \'9^^\^y ist). Man hat hier ein von 0, . . ., 0 verschiedenes ganzzahliges System x-^, ..., x^, wofür I ä;^ ^ r (k=l, ...,n) und — = -f- ^r = r ist, aber kein System ^ — I *■ I dieser Art, wofür stets | a;^ | w(^o"~^|) = 5ro"^"-^^|(|^)|' . . ., I^""''^ dem Betrage nach ^1; der eingeklammerte Faktor ^" kommt für (5 = 2 in Betracht und dann ist ||° | = ; 1 1 . Es sei C der größte Wert unter den n — 6 Ausdrücken 1 + | a^^j H [- j «^^1""^ für j = 1, . . ., n — o. Sind x^, . . ., x^ in ihren Beträgen ^ r, wo r eine positive Größe ist, so hat man (44) |r^)j^Cr {j = h--;n-o) und entsteht nunmehr die Ungleichung 5rjj'»(»-i)C'*-'' j§ j^'r"-" ^ 1 oder (45) |||''r"-''^&'', wo h eine gewisse, nur von a, nicht von der Größe von r abhängende Konstante vorstellt. Es sei wieder P die zu einer ganzen Zahl r gehörende Substitution der Kette und x in (28) die Form |P. Dann geht, wenn für x^, . . ., x^ die erste Vertikalreihe von P genommen wird, aus (45) zuvörderst hervor. Es sei sodann s wieder eine beliebige positive Größe ^ C* und be- trachten wir die Ungleichung (41) dafür. Nach der Bedeutung von F^ 310 Zur Geometrie der Zahlen. in 12. hat man ein von 0, . . ., 0 verschiedenes ganzzahliges System x^, • ■ •, x^, wofür |a;,| ^ i^i(Ä;=l,...,w) und | ^F^, also \l\^sF^i^i. Die Un- gleichung (45) ergibt daher {sF^yF^'*-"'^^ oder (47) sF,~">-b. Führt man die hierdurch angewiesene untere Grenze in (41) ein, so folgt n (4^) sF/£B, wo J5 = j—i wieder eine nur von a, nicht von s abhängende Konstante vorstellt. Nunmehr woUen wir speziell s = ^—^ nehmen, wo a^ der letzte Ko- effizient in X ist. Dann ist F^ = r; denn man hat hier n unabhängige ganzzahlige Systeme x^, . . .,x^, für welche \x^\^r (Ä; = 1, . . ., w) und < a. = r ist, aber nach der Bedeutung von | a„ [ jedenfalls nicht n unabhängige ganzzahlige Systeme X]^,...,x^, für welche | ic^ | < r(Ä; = 1, . . ., w) 16 und |— < »* wäre. Die Formel (48) ergibt nunmehr I * Wir stellen (46), (49) und (29) zusammen in: n — a n — a Man ersieht daraus zunächst, daß im Verlauf der Kette selbst | a^^ \ schließlich unter jede Grenze sinkt. Die Kette bricht also jedenfalls niemals ab. Gewisse weitere Ungleichungen erschließen wir für die Normen der Zahlen a^{k = 1, . . .,n) und für ihre konjugierten Zahlen a^^^\ Nach (44) werden wir, da die Zahlen der h^^^ Vertikalreihe von P, welche i = ccj. machen, ^ r sind, (51) \a,^^^cr (j=l,...,w-(?), wo c = — ; — TT r wieder nur von a, nicht von r abhängig ist. gn{n-X)-^afjn-a-l Sind nun h, Je irgend zwei der Indizes 1, 2, . . ., w, so hat man wegen (50): und aus (51) und (54): (56) l^k- U = h--.n-a). Zudem sind g^~^ccj^ und gQ^^'^cCj^ und alle ihre konjugierten Zahlen ganze algebraische Zahlen und liegt nach (52) die ganze rationale Zahl | ^^w(^o"~ ^aj| unter einer bestimmten von a aUein abhängenden Grenze. Aus diesen Umständen geht hervor, daß in der algebraischen Gleichung n^^^ Grades für t: (57) ^„(,..-...).(._^)((.-^))(.-«^)...(.-j;;:)=o aUe w + 1 Koeffizienten der linken Seite ganze rationale Zahlen sind und in ihren Beträgen unterhalb bestimmter nur von a abhängender Grenzen liegen. Danach kommen für die Koeffizienten dieser Gleichung von vorn- herein für alle r nur eine endliche Anzahl von Wertsystemen und also a für ein iedes Verhältnis — von vornherein für alle r nur eine endliche . "ä . Anzahl von algebraischen Zahlen in Betracht. Mithin können in der Tat die sämtlichen unendlich vielen Linearformen %^, %%y • • • der Kette hier, wo a eine algebraische Zahl n^^^ Grades ist, nur eine endliche Anzahl von verschiedenen Verhältnissen «^ : o, : . . . : a„ der Koeffizienten darbieten, sie gehen also sämtlich aus einer endlichen Anzahl unter ihnen durch Multi- plikation mit Faktoren hervor. Damit ist der Punkt 2" unseres Kriteriums vöUig erwiesen. 15. .Wir können noch eine Bemerkung über die Natur derjenigen Faktoren 6 hinzufügen, die hier in Beziehungen Xx = ^Xi auftreten und die als Quotienten von Zahlen im Körper von a jedenfalls auch in diesem Körper liegen. 312 Zur Geometrie der Zahlen. Zu jeder Substitution P^ der Kette kann man nach der in 2. aus- einandergesetzten Methode eine ganzzahlige Substitution A^ mit einer Determinante + 1 bestimmen, so daß die Koeffizienten in P~^Ä^ den in (8) und (9) für die Zahlen j^^^*^ angegebenen Bedingungen entsprechen. In dieser Substitution P~^Ä^ sind die Koeffizienten rationale Zahlen mit der Determinante von P, als Nenner. Letztere ist nach dem in 9. Be- wiesenen stets dem Betrage nach 0 und < n ist, und es sei (59) 9n-m + ^„-,.-1« + • • • + ^0«"-"' = 0 die Gleichung n — m**'° Grades mit rationalen ganzen Koeffizienten ohne gemeinsamen Teiler und positivem g^, der a genügt. Es sei unter den Beträgen der Koeffizienten dieser Gleichung der größte Wert g*. Man entnimmt aus (59) 9n-m<^'-' + 9n-..-l(^' + ' ' ' + ^O«"""-''-' = 0 (Ä=l,...,m), d. i. x^ + ax^ + • • • + a"~'^x^ = 0 für gewisse m besondere, von 0, . . ., 0 verschiedene gauzzahlige Systeme x^,...yX^. Diese wz Systeme sind von- einander unabhängig, denn schreibt man sie in m Yertikalreihen auf, so hat man in den letzten m Horizontalreihen der entstehenden Matrix, welche die Werte a^„_„,^i, . . ., a;„ enthalten, ein quadratisches Schema, wobei in der Hauptdiagonale alle Elemente = g^ und unterhalb derselben aUe Elemente = 0 sind, ein Schema also, das die von NuU verschiedene Determinante g^"" ergibt. Alle jene Zahlen x-^, . . .,x^ sind fem er dem Be- trage nach < g^. Es sei nun P eine zur Zahl r gehörende Substitution der Kette und X die Form, in welche | durch P übergeht. Aus dem eben Gesagten erkennt man, daß, sowie r^g* ist, in % jedenfalls ß^ = 0, . . ., a^ = 0 sein muß. Dagegen muß stets u^^+i ^^"^ IS^wYl verschieden bleiben. Denn hätte man m -\- 1 unabhängige ganzzahlige Systeme x^,...,x„, wofür 1 = 0 ausfiele, so würde man aus den betreffenden m 4* 1 Gleichungen durch m Mal hiatereinander vorgenommene Elimination der jedesmal sieb darbietenden höchsten Potenz von a schließlich eine Gleichung für a mit rationalen Koeffizienten von einem Grade < w — m gewinnen können. Es sei wieder 6 = 1 oder = 2, je nachdem a reeU. oder komplex ist, und im letzteren Falle sei a° die zu a konjugiert imaginäre Zahl. Ferner seien a, a", . . ., aC"-"»-«') die Wurzeln der Gleichung n — m*^° Grades für a außer a, bzw. außer a und a°. Endlich, wenn a eine Zahl im Körper von a bedeutet, so seien allgemein («°), «', . . ., «(»-"»-") die konjugierten Zahlen in den Körpern von (a°), a', . . ., «("-'"-''). Wir können jetzt die in 14. gewonnenen Sätze über die Substitutionen- ketten mit n Variablen zu algebraischen Zahlen w*^° Grades in der Weise heranziehen, daß wir die Zahl n dort durch den Wert n — m hier ersetzen. Das in (49) liegende Resultat zeigt alsdann, daß man im gegenwärtigen Falle zur beliebigen Zahl r stets n — m ganzzahlige Systeme i/j =y/*^, •■■,y„-m ■= y^*im(^ = l,...,« — m) mit von NuU verschiedener Determinante finden 314 Zur Geometrie der Zahlen. kann, so daß alle Zahlen y^W darin dem Betrage nach ^ r sind, und daß für jedes einzelne dieser n — m Systeme n — m — 11 ausfällt, wo B eine gewisse nur von a, nicht von r abhängende Konstante ist. Setzt man zu jedem dieser Systeme y^, . . .,y„_„^ dann x^^ = Vd-- -j ^n-m = Vn-my ^«-m + i = ^j ' ' •> ^n "^ ^? ^^ bekommt man n — m ganzzahlige Systeme x^,...,x„, die von den oben erwähnten speziellen m solchen Systemen unabhängig sind. Danach wird man, sowie r^g* ist, außer I ßj^ [ = . . . = [ «^J = 0 weiter stets n — in — ff (60) 0<\cc^^,\^-..£\ccJ£Br ^" haben. Es sei jetzt zavörderst w — m > | + • • • + j <**^^ i"" ^ 0" = 1 , . . ., w — m — ö) ist. Andererseits ist g^a eine ganze algebraische Zahl, desgleichen daher jede Zahl ^o"~^% (]c = m-^ l,...,w), und da diese Zahlen von Null verschieden sind, müssen mithin ihre Normen im Körper von a dem Betrage nach ^ 1 sein; man hat also (62) ^0^"-™)^"-^) ja^l'^l «V • • «/t^""'""''M ^ 1 {k = m + l,...,n). Führt man hierin für n — m — 6 der n — m — 0 -\- 1 absoluten Beträge ] % I, I «/!,..., I «/"-"*-'') I die in (60) bzw. (61) angewiesenen oberen Grenzen «in, so erhält man für den noch übrigen dieser Beträge eine untere Grenze; man findet -. n-m-a , ■. , ^ _ / K = M -\- 1 , . . .,n, /ßR^ l^^kl^^^ ö , o^k"^' \>cr [ . . yoo) iAi_ }\ k i_ \^ = l^..,,w — m — ö mit gewissen von r nicht abhängenden Konstanten h und c, und daraus folgt dann (64) '•" «A ^|^<^ ^ ^R lh,-k = m+\,...,n-h^h '■h «.(^■> — c V j = \,...,n — m — (5 Andererseits findet man aus (60) und (61) die von r nicht abhängende ■Größe g^k'>-m){n--i)]ßa Qn-m-a ^jg obere Grenze für die Beträge der Normen von gQ'~'^a^.{k==m-\-l, . . .,n). Aus (64) und aus diesem letzten Um- stände schließt man endlich durch die entsprechende Überlegung wie bei (57), daß für die Verhältnisse der Koeffizienten a^ + i, ■ • -, % in X (^^^ Ein Kriterium für die algebraischen Zahlen. 315 Zahl r^g* angenommen) nur eine endliche Anzahl von algebraischen Zahlen in Betracht kommen. Danach sind in der Tat sämtliche Formen Xi? Xsj • • • der Kette aus einer endlichen Anzahl unter ihnen durch Multiplikation mit Faktoren abzuleiten. Damit ist der Punkt 3° des Kriteriums erwiesen. Indem man noch den Umstand heranzieht, daß auch im gegenwärtigen Falle nach 9. die Determinante jeder Substitution der Kette dem Betrage nach < wl ist, kann man wieder hinzufügen, daß sich unter den Formen Xi> Xi7 ■ ' • ®i°^ endliche Anzahl hervorheben läßt, aus denen alle diese Formen durch Multiplikation mit solchen Faktoren entstehen, welche Ein- heiten in dem Zahlenkörper von a sind. Es sei endlich n — m = 6. Ist ö = 2, also a komplex, so bleiben in X für r ^ g* allein die Koeffizienten «„ _ i , a„ von Null verschieden. In den quadratischen Gleichungen sind die Koeffizienten ganze rationale Zahlen und hat man durch (60) von r unabhängige obere Grenzen für die Beträge derselben. Danach kommen für a„ _ j , ß„ nur eine endliche Anzahl von Werten in Betracht. Da nun nach einer Bemerkung bei (30) alle Formen Xx der Kette ver- schieden ausfallen, muß danach die Kette nach einer endlichen Anzahl von Gliedern abbrechen. — Ist ^=1, also a reeU und rational, so bleibt für r^g^ nur a^ von Null verschieden, dabei ist go"~^cc^ eine ganze rationale Zahl und liegt zufolge (60) dem Betrage nach imterhalb einer gewissen von r unabhängigen Grenze. Die Kette bricht daher auch hier nach einer endlichen Anzahl von Gliedern ab. Damit ist auch der letzte Punkt des in 10. aufgestellten Satzes bewiesen. Zürich, den 9. Februar 1899. XV. Zur Tlieorie der Einheiten in den algebraischen Zahlkörpern. (Nachrichten der K. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Mathematisch-physikalische Klasse. 1900. S. 90—93.) (Vorgelegt von D. Hubert in der Sitzung vom 3. März 1900.) In der Theorie der algebraisclien Zahlen ist die Frage von Interesse, ob in einem beliebigen Galois sehen Körper stets eine Einheit existiert, welche unter ihren konjugierten Zahlen ein vollständiges System unab- hängiger Einheiten des Körpers darbietet. Durch die folgenden Betrach- tungen wird diese Frage in bejahendem Sinne entschieden. 1. Ich benutze dabei hauptsächlich den nachstehenden Satz über das Nichtverschwinden einer gewissen Determinante: Hilfssatz. Sind in einer m-reihigen Determinante ^=l«ul {h,k=l,2,...,m) von m^ redien Größen alle Glieder a^^ außerhalb der Hauptdiagonale (also für li^h) < 0 und sind ferner die Summen «AI + «A2 H y ^hm = s, (h =1,2, ...,m) der Glieder in den einzelnen Horizontalreihen durchweg > 0, so ist die Determinante stets > 0. Beweis. Für w = 1 ist der Satz selbstverständlich. Um ihn für einen bestimmten Wert m > 1 zu erweisen, nehmen wir an, daß er für aUe kleineren Werte des m bereits sichergestellt sei. Wir setzen a,^j^ = Sj^-\- a*j^ (h = 1,2, ...,m) und entwickeln die Determinante Ä nach den m Größen s^, Sg, . . ., s^. Das von s^, s^, . . ., s^ freie Glied dieser Entwicklung wird eine m-reihige Determinante A*, bei welcher in jeder Horizontalreihe die Summe aUer Glieder NuU ist und welche daher den Wert Null hat. Weiter wird der Koeffizient eines Produkts Sj^^s^^ • • • 5* > wenn l ^ 1 und 0 ist. Auf Grund Zur Theorie der Einheiten. 317 der von uns gemachten Voraussetzung erweist sich daher jeder dieser Ko- effizienten > 0. Außerdem erscheint in jener Entwicklung noch das Glied s^s^ . . . 5^. Nach dieser Zusammensetzung der Determinante A aus lauter positiven Termen ist sie ojffenbar > 0. 2, Es sei jetzt 6 eine olgebraische Zahl n^^ Grades und unter den n verschiedenen konjugierten algebraischen Zahlen 6^, Gg, . . ., 6„, von denen 6 ein Wert ist, seien r reelle und ^ (w — r) Paare von konjugiert imaginären Zahlen vorhanden. Von dem Falle n == 2, r = 0 wollen wir absehen. Wir setzen r -\- ~{n — r) = m -\- 1 , und wir wollen annehmen, daß in der Reihe der m -\- 1 ersten Zahlen ©i, ©2; • • v ^m+i ^^^ sämtlichen reellen jener Zahlen und ferner je eine Zahl aus jedem der Paare kon- jugiert imaginärer Zahlen sich befinden; zudem möge die Zahl 9 selbst unter diesen m + 1 Zahlen vorhanden sein. Ist e eine Einheit in dem algebraischen Körper von 9, so wollen wir mit If^is) für /*= 1, 2, ..., w -j- 1 den reellen Teil des Logarithmus der zu s konjugierten Zahl im Körper von 9;^ oder das Doppelte dieses reellen Teils verstehen, je nachdem die Zahl ^j^ reell oder imaginär ist. Da die Norm einer Einheit gleich ± 1 ist, gilt dann stets: (1) ^l(^) + ?2(^) + --- + ?,„ + t(^) = 0. Wie Dirichlet gezeigt hat, kann man in dem Körper von 9 stets eine Einheit derart bestimmen, daß von ihren konjugierten Zahlen in den Körpern von 9^, 92, . . ., 9,,,^^ alle bis auf eine Zahl in einem beliebig angenommenen dieser Körper absolute Beträge < 1 haben. Es sei in solcher Weise a^''^ für li = l, 2, ..., m eine Einheit, für welche ?i(£^*^), ..., h-ii^%h+ii^^''^'), ••■,L + i(^^''^)y also sämtliche Werte ^^(fW) für Z: + A negativ ausfallen. Dann ist mit Rücksicht auf (1): Die Determinante \W»)\ {h,l=l,2,...,m) trägt danach diesen Charakter, daß in ihr jeder Koeffizient außerhalb der Hauptdiagonale negativ ist und die Summe der Glieder in jeder Hori- zontalreihe positiv ist. Dem Hilfssatze in 1. zufolge ist daher diese Deter- minante > 0. Somit bilden die hier charakterisierten Einheiten s^'^\ s^^\ ..., s^"'^ ein vollständiges System von unabhängigen Einheiten im Körper von 9. Bei der Methode, welche Dirichlet zur Herstellung eines vollständigen Systems von unabhängigen Einheiten in einem Zahlkörper gegeben hat, werden die Einheiten des Systems sukzessive bestimmt, wobei zur Er- mittlung einer weiteren Einheit, so lange das System noch nicht voll- ständig ist, gewisse Determinanten aus den Logarithmen der früher be- stimmten Einheiten und ihrer konjugierten Zahlen bekannt sein müssen. 318 Zur Geometrie der Zahlen. Nach dem hier Auseinandergesetzten ist es dagegen stets möglich, Ein- heiten in der erforderlichen Anzahl gesondert, jede für sich, zu bestimmen mit dem Erfolge, daß sie zusammen ein vollständiges System unabhängiger Einheiten ergeben. 3. Es sei jetzt der Körper von 0 ein Galois scher Körper, so daß sich jede der Zahlen Gj, Gg, . . ., 6„ als eine rationale Funktion mit rationalen Koeffizienten von jeder anderen dieser Zahlen darstellen läßt. Es sei in solcher Weise wo i?;,, 6\ Zeichen für rationale Funktion mit rationalen Koeffizienten sind, so gilt /^^^(^^(G)) = 0 und infolgedessen auch allgemein S^{B^{Q^)) = Q^ für jeden Index Ic = 1 , 2 , . . . , n. Je nachdem G reeU oder imaginär ist, sind auch die konjugierten Zahlen alle reell oder alle imaginär, und hat mau also m -\- 1 = n oder = — w. Wir bestimmen im Körper von G eine Einheit s = /"(G), wo f(ß) eine rationale Funktion mit rationalen Koeffizienten von G bedeute, so daß von den m -\- 1 konjugierten Zahlen /^(Gj), /"(Gg), . . ., fi^m+i) ^^^^ ^^ Ausnahme der einen Zahl /'(G) absolute Beträge < 1 haben. Sodann sei £^ für /i = 1, 2, . . ., w + 1 die konjugierte Zahl zu s in dem Körper von G^^, also Sj^ = f(Qf^) = f{B^{Q))-^ dabei ist s^^ jedesmal selbst eine Zahl im Körper von G und sind deren konjugierte Zahlen in den Körpern von Gj, Gg, . . ., G,„^i bezüglich (2) f{ii,i^)), fiHM), ■ . ., /-(i^.ce.+i)). Nun hat man bei beliebigen Werten h, Je aus der Reihe 1, 2, . . ., m + 1 stets B^ißk) = -^/»(-^/b^ö)) == ^g) ^^ 9 einen der Indizes 1,2, . . .,n bedeutet. Dabei kann nicht für zwei verschiedene Indizes h bei demselben Index h hier derselbe Wert G und können auch nicht konjugiert imaginäre Werte G resultieren, da aus dieser Relation umgekehrt Q^^ ^hi^g) folgt ^^^ unter den Zahlen G^, Gg, . . ., G„j^i keine zwei gleich oder konjugiert imaginär sind. Danach sind die absoluten Beträge der Größen in (2) abgesehen von der Reihenfolge identisch mit den Beträgen der Größen /'(Gj),/'(G2),...,/"(G„,+i), es ist also einer jener Beträge > 1 und die m anderen sind sämtlich < 1^ und zwar ist für denjenigen Index k der Betrag [/"(^^(Gp)] > 1, für den ^hi^k) gleich G bezüglich gleich der konjugiert imaginären Zahl, also 6^ gleich Sf^{Q) bezüglich gleich der konjugiert imaginären Zahl ist. Für verschiedene Werte h der Reihe 1, 2, . . ., w + 1 wird der hier in Betracht kommende Index k aus der Reihe 1, 2, . . ., w + 1 jedesmal ein anderer sein. Nach den Auseinandersetzungen in 2. bilden nunmehr irgend m der Zahlen «i, «a? • • •? ^m + i ein vollständiges System von unabhängigen Ein- Zur Theorie der Einheiten. 31 9 heiten in dem Galois sehen Körper von 9. Auf diese Weise resultiert der Satz: In einem Galoisschen Körper Tcann man stets eine solche Einheit an- geben, daß ei)ie jede Einheit dieses Körpers ein Produkt aus einer Einheits- tvurzel und aus Potenzen dieser Einheit und ihrer konjugierten Einheiten- mit rationalen Exponenten ist. Da ein jeder algebraischer Körper ein Unterkörper eines Galoisschen Körpers ist und seine Einheiten dann zugleich als Einheiten des Galois- schen Körpers auftreten, ist hierdurch zugleich ein bemerkenswerter Satz über die Einheiten in einem beliebigen algebraischen Körper gewonnen. Zürich, den 23. Februar 1900. XVI. über die Annäherung an eine reelle Größe durch rationale Zahlen. (Mathematische Annalen, Band 54, S. 91 — 124.) Obwohl die Theorie der Annäherung an eine reelle Größe mit Hilfe von Kettenbrüchen seit Euler und Lagrange noch mannigfache Be- handlung erfahren hat, scheint einer der interessantesten Sätze auf diesem Gebiete bisher nicht bemerkt worden zu sein. Nämlich unter den ver- schiedenen möglichen Kettenbruchentwicklungen für eine reelle Größe a, wobei die Teilzähler + 1 und die Teilnenner positive ganze Zahlen sind, gibt es eine bestimmte Art der Entwicklung (und zwar die am besten konvergierende), für welche die sämtlichen Nälierungsbrüche — sich von vorn- herein in einfachster Weise charakterisieren lassen: Als Zähler und Nenner der einzelnen Näherungshrüche erscheinen dahei genau die sämtlichen Paare von ganzen Zahlen x, y, für die y '> 0 ist, x und y relativ prim sind und dazu die Bedingung \{x-ay)y\<^ erfüllt ist. Von dem Falle, daß a gleich einer ganzen Zahl -f- — ist, hat man hierbei abzusehen.*) *) Bekanntlich läßt sich eine nach fallenden Potenzen von z fortschreitende konvergente Reihe c, , c. in einen Kettenbruch ^ z ^'^'^'^\F,{z)'^\F,{z)+'" umwandeln, so daß Fq{z) eine ganze rationale Funktion von z und F^{z) , F^{z), . . . ganze rationale Funktionen von z mindestens vom Grade 1 sind. Dabei gilt der Satz : P(z) Ein Quotient -~-4 zweier relativ primer ganzer rationaler Funktionen von z ist immer Q{z) dann und nur dann Näherungsbruch dieses Kettenbruchs, wenn die Entwicklung von {Piz) — f{z) Q{z)) Q{z) nach fallenden Potenzen von z mit einer Potenz von z, deren Exponent negativ ist, Annäherung an eine reelle Größe durch rationale Zahlen. 321 Auf die betreffende noch durch weitere bemerkenswerte Eigenschaften ausgezeichnete Kettenbruchentwicklung habe ich bereits an anderer Stelle*) hingewiesen, ohne jedoch damals wahrzunehmen, daß die eben erwähnte Ungleichung für die Näherungsbriiche diese Entwicklung bereits voll- ständig charakterisiert. Im folgenden gebe ich eine auf geometrischen Betrachtungen ge- gründete und dadurch sehr anschauliche Theorie des Systems zweier linearer Formen ax -\- ßy, yx -{- 8y mit beliebigen reellen Koeffizienten und mit ganzzahligen Unbestimmten. Eine Anwendung der dabei zutage treten- den Resultate auf die spezielleren Ausdrücke x — ay, y liefert dann ins- besondere jene Sätze über die Annäherung an eine Größe a. §1. Satz I. Sind i, = ax -\- ßy, 7] = yx -\- dy zwei lineare Formen mit beliebigen reellen Koeffizienten a, ß, y, ö und einer Determinante ad — ßy=l, so gibt es stets ganze Zahleti x, y, die nicht beide Nidl sind und für welcJie ausfällt. Wird auf die Form 1 1] eine ganzzahlige Substitution x = pX -\- pY, y =qX -\- q'Y mit einer Determinante + 1 angewandt, so nennen wir ^ij der transformierten Form in den neuen Variablen X, Y äquivalent. Zugleich mit dem Satze I beweisen wir den folgenden Zusatz. Ist ^T] weder mit der Form XY noch mit der Form~(X- — Y^) äquivalent, so gibt es stets ganze Zahlen x, y, wofür ^=^0, i? + 0 w**^ \^rj\ < — ausfällt. Beweis. Wir deuten x, y als irgendwelche Parallelkoordinaten in einer Ebene, wobei noch für jede der zwei Koordinaten die Entfernung Eins parallel ihrer Achse in willkürlicher Weise angenommen sein kann. Es sei 0 der Ntdlpiinkt (a; = 0, y = 0), Bedeutet Ä einen von 0 verschiedenen Punkt x=p, y = q, so soll der zu ihm in bezug auf 0 symmetrische Punkt X = — p, y = — q jedesmal mit Äq bezeichnet werden. Die Gesamtheit derjenigen Punkte, für welche x wie y ganze Zahlen sind, heiße das Zahlengitter, und die einzelnen Punkte daraus sollen Gitter- punJcte heißen. beginnt. Der Satz, den ich im Texte angebe, stellt das wohl von manchem Mathe- matiker vermißte Analogen in der Größenlehre zu diesem Satze der Funktionen- lehre vor. *) Annales de l'ficole Normale snpärieure, 3" serie, T. XDI; 1896. Diese Ges. Ab- handlungen, Bd. I, S. 278. Minkowski, Gesammelte Abhandlungen. L 21 322 Zur Geometrie der Zahlen. Sind Qf 6 positive Parameter, so bilden die vier Punkte R, Rq, S, Sq, für welclie 1 = ^, •»?==0; ^ = — q, j?==0; ^ = 0, rj = 0-, 1 = 0, 7] = — ö ist, die Ecken für ein Parallelogramm mit 0 als Mittelpunkt und mit den Linien ^ = 0, i; == 0 als Diagonalen. Ein solches Parallelogramm werde mit ^(p, (?) bezeichnet. Seine vier Seiten besitzen die Gleichungen + — + — == 1 , wo für die zwei Vorzeichen alle vier Kombinationen -j-, -}-; — > +; — j — ; +; — in Betracht kommen, und der Bereich von ^(p, 0 oder rj = 0, ^ > 0. Wir setzen für Ä: ^ = sX, rj = ^, so daß fi^O, A ^ 0, « = + 1 ist. Die ganzen Zahlen p, q haben gewiß keinen gemeinsamen Teiler > 1, weil die Strecke OA keinen Gitterpunkt zwischen 0 und A enthält. Wir bestimmen zwei ganze Zahlen r, s irgendwie so, daß ps — qr == e ist, und setzen _ _ x=pX + rY, y = qX + sY. Dabei werde sl = IX -\- XY, r] = ^X -\- JiY. Dann haben £|, rj in X, y die Determinante £s=l und folgt a) Y=^krj-^8l Die Gitterpunkte x, y werden genau die Punkte mit ganzzahligen Bestimmungsstücken X, Y. Diese Punkte ergeben auf der Linie Y= 0, d. i. der Geraden durch 0 und A die unendliche Punktreihe zu den Werten X = 2, — 1, 0, 1, 2, • • •, wobei X = 0 den NuUpunkt, X = 1 den Punkt A liefert und alle diese Punkte sich in einem kon- stanten Abstände = OA folgen. Sodann bilden sie auf einer jeden der zu r=0 paraUelen Geraden Y=l, Y 1, Y^2, r=-2, •■• jedesmal eine äquidistante Punktreihe mit dem gleichen konstanten Ab- stände = OA zwischen benachbarten Punkten. Von diesen sämtlichen Annäherung an eine reelle Größe durch rationale Zahlen. 323 einander parallelen Geraden sind F = 1 und Y = — 1 die zwei an F = 0 nächstgelegenen. 1. Wir nehmen zunächst an, daß Ä nicht eine EcJce Ton ^(p, 6), also X> 0, /i > 0 ist.*) Es sei F der Punkt | =— «A, ?? = .u. Das Paral- lelogramm mit den Ecken A, F, Äq,Fq ist durch — A^|^A,— ,a^7j;^ft definiert und befindet sich, Ton den Ecken ab- gesehen, ganz im Inneren des Parallelogramms Nehmen wir weiter an, daß A auch nicht Mitte einer Seite von '^{q,6) ist. Die zu AqOA parallele Gerade durch F trifft dann die Begrenzung yon ^((), OA ganz im Inneren von '^(q, 6) liegen haben. Da nun im Inneren von ^(9, g) sich kein Gitterpunkt außer 0 befindet, welcher Punkt auf Y =0 liegt, müssen danach die Geraden F = + 1 außerhalb des durch die Parallelen FG und FqGq begrenzten Streifens verlaufen, d. h. für den Punkt F muß jeden- falls I Fl< 1 sein. Nun hat man für F: F= 2A|li, also folgt 2Aft OA gemein. Die Geraden y==+l können daher nicht ins Innere von ^(p, (?) eintreten, ^((), 6) liegt also ganz in dem Streifen — 1 ^ ^^ 1- Insbesondere gilt danach für den Punkt F: Y£l, d. h. man hat 2X11^1. Der Punkt A hat also wieder die im Satze I verlangte Beschaffenheit. Das Gleichheitszeichen in dieser Ungleichung, (dessen Eintreten zu- gleich q6 = 2 bedeuten würde), hat dann statt, wenn eine Seite von *) Wie die Buchstaben B und JR^ in der Figur eingetragen sind, ist darin « = 1 für den Punkt A angenommen. Die Gitterpunkte sind hier und in den weiteren Figuren durch kleine Kreise angedeutet. 21* 324 2ur Geometrie der Zahlen. '^(q,6) auf die Gerade Y=l fällt. Da diese Seite an Länge = 2 OA ist, so enthält sie alsdann entweder innerhalb jeder ihrer durch F ge- trennten Hälften je einen Gitterpunkt, in welchem Falle für diese Gitter- punkte nach dem bereits in 1. Ausgeführten sich | + 0, rj =^ 0, |§'»^|<-- herausstellt, oder aber es sind auf ihr sowohl beide Ecken wie die Mitte i^ Gitterpunkte. In diesem zweiten Falle wären in ^((), (?) alle vier Mitten der Seiten Gitterpunkte. Wir können dann Ä als die Mitte von BS, d.h. £ = 1 voraussetzen. Ist für F hier Y == 1, X = g und setzt man X = Xi-gY, so sind ^(|=y(), V =Y^) "°^ -^ (^ = -yC; '^ = Y^) durch X = l , F = 0 und X = 0, Y = 1 bestimmt, und hat man daher l=|9(x - r), y =|l,a ^ -^- Dieser Satz (3) ist aber einschneidender. 326 Zur Geometrie der Zahlen. Der Flächeninhalt von ^((), ö), d, h. das Doppelintegral ffdxdy, über diesen Bereich erstreckt, ist, da |,t; die Determinante ±1 in x, y haben, =4--^o^==2oö. Es seien nun H, Ä'(Fig, 1) die Schnittpunkte von Y =1 mit den Geraden /S^EoUnd RS. Wegen (2) haben die Formen — + — und Y die Determinante 1 in den Variablen X , Y und dann 9 '^ . . . eine Determinante + 1 in a;, y. Also ist der Flächeninhalt des Parallelo- gramms KqHqKH gleich 4. Tritt nun die Strecke HK in das Innere von ^((),ö) ein, so liegt K auf BS zwischen Ä und S und hat HK mit ^(^, d) eine Strecke J'jK' gemein, die notwendig ^ OÄ ist, weil kein Gitterpunkt außer 0 im Inneren von ^(p, ö) liegt. Wegen JK^OÄ liegt «7" auf i^^ 5 und so, daß RqJ^ JS ist. Infolgedessen ist der FlächeDinhalt des Dreiecks JKS nicht größer als der des Dreiecks JHRq. Nun entsteht das Parallelo- gramm BSBqSq aus dem Parallelogramm KqHqKH, indem von letzterem die Dreiecke JqHqB und JHBq fortgenommen und die Dreiecke JqKqSq und JKS von nicht größerem Flächeninhalte hinzugefügt werden. Daraus folgt für die Flächeninhalte der zwei Parallelogramme das Verhältnis 2q6 £ 4. Tritt jedoch die Strecke HK überhaupt nicht in das Innere von ^(9, ^) ein, so ist das Parallelogramm BSBqSq ganz im Parallelogramme KqHqKH enthalten und daher ebenfalls 2q<3^A. §2. 1. Es mögen | und r] dieselbe Bedeutung wie in Satz I haben. Wir wollen jedoch jetzt von vornherein die besonderen Fälle ausschließen, daß die Form ^tj der Variablen x, y mit der Form XY oder mit der Form — (X^ — Y^) der Variablen X, Y äquivalent ist. Von diesen Aus- nahmefällen abgesehen, gilt der Satz IL Sind x =p, y = q zwei relativ prime ganze Zahlen, wofür 1 1 1 > 0 und I ii? I < -5- ausfällt, so kann man stets zwei ganze Zahlen ^ ^ P f y = Q.' fi'i'iden, so daß pq'— qp' = + 1 ist und für welche ebenfalls \^r}\ < Y ist, aber \ 1 1 Meiner ausfällt als für das erstere System. Beweis. Da wir anstatt p, q ebensogut das System — p, — q zu- grunde legen können, nehmen wir an, für x = p, y = q sei| = £A, rj = (i und dabei ft>0, X>0, £ = + 1 oder /* = 0, A > 0, s = 1. Wir be- stimmen zwei ganze Zahlen r, s irgendwie so, daß ps — qr = 8 ist, und setzen _ _ x^pX -{■ rY, y = qX-^sY. Annäherung aa eine reelle Größe durch rationale Zahlen. 327 Alsdann sei so folgt noch f I = AZ + A r, r] = ^X-\- uY, A/Z — .uÄ=l, Y= krj — ^£^^ s(jpy — qx). Wir bezeichnen den Gitterpunkt x = p, y = q (|==£A, ri = pi) mit A, ferner, wenn fi > 0 ist, mit F den Punkt | = — «A, rj = ^. Für 2^ wird Y=2X^, d.i. T'< 1 auf Grund unserer Voraussetzung über den Gitterpunkt Ä. Die Geraden F = + 1 schließen also das Parallelogramm mit den Ecken A, F, Äq, Fq ganz zwischen sich ein, ohne es zu treffen, so daß insbesondere F und F^ gewiß nicht Gitterpunkte sind. Die Gerade Y = 1 trifft nun die Linien | = — sX, ^ = 0, | = £A in ■X(i X ' ri = 1+XlL ist. drei Punkten H, J, K (Fig. 3), für die ri = — ~, tj = welche Größen sämtlich > fi sind. Da SJ — JK == OA ist, so werden auf dieser Geraden Y =1 entweder die drei Punkte H, J, K Gitterpunkte sein, oder es liegt ein Gitterpunkt B innerhalb der Strecke HJ und ein Gitterpunkt C innerhalb der Strecke JK. In diesem letzteren Falle sei dann M der Schnittpunkt der Geraden FB (oder AqB im Falle fi = 0) mit der Ge- raden 1 = 0 und N der Schnittpunkt der Geraden A C mit der Geraden ^ = 0. Wir bezeichnen nun TaitA'{x=p, y = 2) erstens, wenn J ein Gitter- punkt ist, diesen Gitterpunkt, zwei- yig. 3. tens, wenn in J kein Gitterpunkt fäUt und wenn zugleich M näher an 0 liegt als N, also 031 <, ON ist, den Gitterpunkt B, drittens, wenn in J kein Gitterpunkt fäUt und dabei 03I>^ ON ist, den Gitterpunkt C. Da A' auf Y=l liegt, gilt jedes- mal pq' — qp' = £ == + 1. Für A' können wir sodann | = f'A', t] = iii' setzen, so daß A' = 0 im ersten, s' = — s, A' > 0 im zweiten, s' = £, A' > 0 im dritten Falle ist, ferner in jedem Falle A' < A, fi' > ^. Im ersten Falle denken wir uns noch s = — e. Wir wollen femer hier unter ^(p, A' ^ 0 gilt, wird danach in der Tat der Gitterpunkt p, q von der im Satze II ge- forderten Beschaffenheit sein. Wir unterscheiden nun die genannten drei Fälle: Ist erstens J ein Gitterpunkt, A' = J, so erreicht das Parallelogramm ^(p, ö) die Gerade Y == 1 nur im Punkte J. Dieses Parallelogramm enthält daher keinen Gitterpunkt außer 0 im Inneren und A, Aq, J, Jq auf der Begrenzung. Dabei werden J, Jq die Ecken S, Sq. Da femer H außer- halb dieses Parallelogramms ^(^,0) fällt, so liegt wegen OH=AJ der Punkt A von S weiter entfernt als die Mitte i, = — , V '^ 'V ^^^ Seite, welche A und S enthält. Man hat also X > -|- , ^ < y • Andererseits gilt 2'= 0 < -^, /!-'= ö > — • — Zu bemerken ist noch, daß hier jeden- falls fi > 0 ist. Denn wäre (i = 0, also auch A eine Ecke in ^(p, ö), so enthielte dieses Parallelogramm in den vier Ecken Gitterpunkte. Dann wäre nach § 1, 3. die Form Irj der Variablen x,y äquivalent mit der Form XY der Variablen X, Y. Wir verfolgen jetzt die Annahme, daß J kein Gitterpunkt ist. Es bedeute noch G den Schnittpunkt der Geraden FB mit der Geraden Y= 0; dieser Punkt liegt im FaUe |u. > 0 auf der Verlängerung von A^ 0 über Aq hinaus, im FaUe ^ = 0 fäUt er mit Aq zusammen. Aus den zwei ähnlichen Dreiecken GOM und BJM einerseits und aus den zwei ähn- lichen Dreiecken O^iVund JCN andererseits erhält man die Proportionen JM _BJ JN ^ JC y^) OJ + JM~ GO' OJ+JN OA' Der zweite der obigen FäUe, Ä = B, hat statt, wenn J kein Gitter- punkt ist und dabei 0M< ON ist. Der gezeichneten Figur 3 ist speziell dieser Fall zugrunde gelegt. Dabei gibt dann FBM {AqBM für ^ = 0) eine Seite von ^((), (?) ab. Für den Punkt M gilt hier stets Y<2, Denn entweder hat man BJ < JC; wegen BJ -\- JC = AqO ist dann ßj^l^jO^^aO und folgt aus (1): JM < OJ. Ist aber BJ>JC, so ist wegen BJ-\-JC= OA jetzt JC ^ — OA und folgt aus der zweiten Relation in (1): JN ^ OJ, und um so mehr gilt dann JM < OJ. In jedem Falle ist dann weiter OM < 2 OJ, d. h. eben r< 2 für den Punkt 31. Das Parallelogramm ^((), y; und anderer- seits liegt deshalb der Punkt A von der Ecke S (== M) weiter ab als die Mitte I = ^, ''? = "^ der J. und S enthaltenden Seite von ^{q, 6), mithin ist l>\, ^ < Y • Über die Ermittlung des Gitterpunktes A' in diesen beiden ersten Fällen bemerken wir folgendes: Man hat für A' hier | = — fA', r^ = 11 und 0 ^ 2' < A, andererseits X=g, Y=l, wo (/ eine ganze Zahl ist, und dann p' = r -{- gp, q = s + gq. Nun folgt — £A'= «(A -f gV), also — X soU 0< — A — ^A0 und ist der Punkt M auf der Geraden FB {A^B für ft = 0) bestimmt durch 1 = 0, ^ ^, = -| ^ , also für Jf: 7j(A — A') = Afi'— /i.A'=2Aft'— 1, der Punkt ^ auf der Geraden AC hingegen ist, da G hier den Werten | = — £A'-|-£A, i^ = /i*'-|-/i entspricht, bestimmt durch ^ = 0, !^7t~^, = F^, also für N: ril' = kii'+(iX'^ 1. Die Relation OM 0 ist, auf 2A'ft'< 1 hinaus. Endlich nehmen wir als dritten Fall den, daß J kein Gitterpunkt ist und dabei OM^ ON gilt. Dann hat für ^'(| = s'k', i] = ^') der Punkt C einzutreten, so daߣ'=£ist. Für 5 ist dann§ = — e{X — X'),rj = ii — fi; es folgt also zunächst (i — fi > /*• Die Relation 0M> OiV kommt hier nach der eben gemachten Ausführung auf 2 ( A — A') (,a' — ^) > 1 hinaus. Es sei zunächst 0M> ON. Aus JM>JN folgt nach (1), da GO^ OA ist, BJ '> JG. Diese Beziehung ist hier gleichbedeutend mit A — A' > A'. Wegen BJ-\- JG = OA hat man sodann JG < -r- 0-4, 330 Ztir Geometrie der Zahlen. und wegen (1) daher JN < OJ. Danach gilt für den Punkt N jedenfalls y<2. Das Parallelogramm ^{q,6) reicht also nicht an F=2 heran. Von der Geraden Y == \ enthält es eine Strecke mit einem Punkte zwischen JB und J als einem Endpunkte und mit dem anderen Endpunkte in C, von der Geraden Y=0 enthält es die Strecke ÄqOA. Danach enthält es keinen Gitterpunkt außer 0 und Ä, Äq, C, Cq. Da ferner B außerhalb dieses Parallelogramms liegt und ÄC = OB ist, so ist ÄC größer als die Hälfte der Ä und C enthaltenden Seite von ^((>, ö) und befindet sich daher C näher an S {= N) und A weiter von S als die Mitte | = y , 17 = — dieser Seite; man hat also A'< -|- v > /^- Jetzt sei OM = ON, so daß M mit N zusammenfällt. Nehmen wir zudem /i > 0 an, so daß A nicht Ecke in '^(q, ö) wird, so ist GO^ A^O und daher wieder BJ'^ JC, A — A'> l', und gelten aUe Überlegungen wie vorhin, nur daß außer A, Aq, C, Cq noch die Gitterpunkte B und Bq auf die Begrenzung von ^(p, ß) zu liegen kommen. Weil OB parallel AC ist, wird dabei B Mitte einer Seite von ^(q,ö), also A — A' = -|-, /i' — |it = Y; dagegen ist, weil OB = AC und weder A noch G eine Ecke von ^(p, ^' wäre. Beweis. Nehmen wir an, es existierte ein Gitterpunkt J.* der hier bezeichneten Art, und es sei für ihn 1 1 1 = A*, | ^ [ = ^*- Wir bezeichnen (Fig. 4) mit E den Punkt | = .^, rj = ^, mit E' den Punkt | = X', rj == (i', mit R und S die Schnittpunkte der Geraden EE' mit 7^ = 0 und 1 = 0, weiter mit L den Punkt g=o\ ^ = X, 7} = 0, mit L' den Punkt | = A', rj = 0, end- lich mit E* den Punkt | = A*, rj = [i*. Nach dem Satze ni müßte es zufolge unserer Voraussetzungen möglich sein, ein Parallelogramm ^(()*, 6*) mit I = 0, Tj = 0 als Diagonalen zu konstruieren, dessen Begrenzung den Punkt A* aufnimmt, welches aber weder A noch Ä enthielte. Sind JB*, S* die Ecken | = (>*, t; = 0 und 1 = 0, tj = 6* dieses Parallelogramms, so enthält die Strecke B^S* den Punkt E*, es darf aber weder jE", noch E' dem Dreiecke OR*S* an- 332 Zur Geometrie der Zahlen. gehören. Da nun nach Voraussetzung E* in dem Parallelstreifen A' ^ | ^ X liegt und noch dafür rj^O ist, müßte danach E* sich notwendig im Viereck L'LEE' und dabei nicht auf der Seite EE' desselben befinden. Aber das Parallelogramm BSRqSq enthält im Inneren 0 als einzigen Gitterpunkt, danach kann E* nicht in L'LEE' bei Ausschluß der Strecke EE' liegen. Ein Gitterpunkt, wie wir ihn in Ä* angenommen haben, kann also nicht existieren. In entsprechender Weise leuchtet ein, daß es keinen von Ä, Äq, Ä',Äq verschiedenen. Gitterpunkt geben kann, für den ebenfalls x, y relativ prim sind und ebenfalls 1 1 ?^ | < — , dabei aber i«- ^ 1 »? | ^ i«-' wäre. 3. Durch die aus A und Ä entnommene Substitution T) x=pX+pY, y = qX + g:Y, deren Determinante iiq — g'i>'=± 1 ist, geht die Form i,ri in eine äqui- valente Form fpX^-]-lXY-{-ipY^={£XX+ b'X' Y) {iiX + ijl' Y) über. Man erhält sodann zunächst die Gleichung i^ — 4^^ = 1. Sodann ist (p = sX^i, xlj = e'X'^' und gilt |g?|<— , |i^|< — . Weiter hat man, wenn «'= — £ ist, X^' -\- ^X' = 1, A > A'^ 0, fi'> u > 0 und X = e(Xii — (iX') = £(1 — 2fiX'); also ist in diesem Falle 0 < £;^ ^ 1. Wenn dagegen £' = s ist, hat man X{i' — ^A'=l, yl>2yl'>0, iu.'>2,u^0 und X = s^X^i' -\- [iX') ^ s(l -]- 2^X')] da hier 2/aA'< ^a'/l'< y ist, folgt 3 . . 1 . . also l^f;t05 ^>0, « = +1 oder (i = 0, £ = 1*, pq — qp' = 8, ferner entweder: 8= — 8, X>X'>0, A/iX'>0, Xii<^, {X-X'){fi'-^)>^- Bemerkenswert ist noch, daß bei dieser zweiten Reihe von Bedingungen für 8' = 8 die Ungleichung Xa — nnd yl > A' folgt zuvörderst ^'>.a; sodann kann diese Ungleichung er- setzt werden durch Ifi' -\- l' II — A^tt — A'jti' ^ — (A^u' — A'/t) , d. i. yA^' + yA'fi — Aft — AV'> 0 oder -1(A - A')(/t' - 2/i) ^ |aV- .")• Daraus folgt /x'— 2^>0. Ersetzt man weiter hier A^' durch 1 + 'i-'.", so entsteht endlich — -\- 2X\u > A^ + ^-V; also — - ^ A,a + A'(,u.'— 2/i.), und daraus entnimmt man in der Tat — > A/i. § 3. Fassen wir die Resultate des § 1 und § 2 zusammen und nehmen die Sätze hinzu, welche daraus hei Yertauschung der Rollen von | und rj, bei Ersetzung von |, rj durch rj, — |, hervorgehen, so entsteht der folgende Satz IV. Us seien i, = ax -\- ßy, i] = yx -\- öy zivei lineare Formen mit beliebigen reellen Koeffizienten und einer Determinante ad — /3y=l; jedoch sei die Form | r] in x, y nicht äquivalent mit der Form X Y oder der Form y(X^— Y^) in X, Y. Alsdann lassen sich die sämtlichen Systeme von ganzen Zaläen x, y, für wdclie x, y relativ prim sind und |l^ 1 < Y ww(^ ziidem •»? > 0, bzw. rj = 0, | > 0 ist, in eine JReihe nach wachsendetn Werte rj ordnen. Dabei sind sie zugleich na^h abnehmendem Werte \ 1 1 geordnet. Für je zivei aufeinanderfolgende Systeme x = p, y = q und x = p', y = q in der Beihe gilt dann stets pq'=qp'=±l. Diese Reihe weist ein bestimmtes erstes System auf, wofür t^ = 0, | > 0, also -r- = -^ und > 0 ist, wenn — rational ist; sie weist ein bestimmtes o — Y ' — y ' letztes System auf, wofür | = 0, »? > 0, also -^ == — und > 0 ist, wenn o P — rational ist. Sie ist ohne ein erstes System, wenn -^^ irrational ist. 334 Zur Geometrie der Zahlen. ohne ein letztes System, wenn — ^ irrational ist; sie ist nach Anfang und X ß Ende hin unbegrenzt, wenn sowohl 3— wie — - irrational sind. Ist die Reihe ohne ein letztes System, so Ttonver giert in ihrem Verlaufe I § ] nach Null und wächst tj über jede Grenze; ist sie ohne ein erstes System, so wächst bei umgekehrter Folge der Systeme in ihr \ 1 1 über jede Grenze und konvergiert r] nach Null. Diese zuletzt erwähnte Tatsache folgt aus dem Umstände, daß über- haupt nur für eine endliche Anzahl von Systemen der Reihe 1 1 1 oder r] zwischen gegebenen positiven Grenzen liegen kann. Denn soll etwa 9i > I ^ I > Po > ö sein, so folgt aus | |i^ | < — und 1 1 1 > po ^och k 1 < 5— ; in einem Parallelogramme 1 1 1 ^ (>i , | »J | ^ 5 — liegen aber stets nur eine endliche Anzahl von Gitterpunkten x, y. Die Reihe der hier in Betracht kommenden Gitterpunkte x, y, nach wachsendem Werte ihres t] geordnet, soll die Kette zu den Formen |, rj heißen, ein einzelner Gitterpunkt x = p, y = q daraus ein Kettenglied, femer die mittels zweier aufeinanderfolgender Kettenglieder x = p, y = q und ^ = P) y = q' gebildete Substitution x=pX-\-p'Y, y = qX-YqY eine Substitution der Kette heißen. Wir bezeichnen die nacheinander auftretenden Kettenglieder mit Pi, ^i (* = 2,-1,0,1,2,...), wobei wir, wenn ein erstes Glied vorhanden ist, diesem Gliede und anderen- falls einem beliebig gewählten Gliede den Index 0 erteilen wollen. Für ^ ^ Pii 2/ °= Q'i setzen wir | = B^k^, r} = /«.,., so daß fii>0, A^^O, «< = + 1 sei. Ferner schreiben wir allgemein, soweit die Indizes in Betracht kommen. i 8 t-i Für ein etwa vorhandenes erstes Glied ist Eq=^ 1. Für einen etwa vor- handenen letzten Index i = w, wobei dann A^ = 0 wäre, denken wir uns '9'^ == — 1 gewählt. Die Substitution x=Pi-iXi + PiYi, y =- qi.t^i-^ 2i^i oder kurz ( '"^^ M bezeichnen wir mit T,. ^2i-i, qj Man hat dann allgemein: ferner (1) h-xi^i- ^ii^i-ih=^, Pi-iQi- Qi-iPt= ^i-i ■ Annäherung an eine reelle Größe duTch rationale Zahlen. 335 Die am Schlüsse von § 2, 1. entwickelte Regel, welche überhaupt dazu verhilft, aus einem Kettengliede das nächstfolgende abzuleiten, ergibt einen einfachen Zusammenhang zwischen drei aufeinanderfolgenden Ketten- gliedern: i?,._i, g,._i; Pi, g^ Pi+i, g,+i. Wir können p,., g,. mit dem Gitter- punkte p, q («,• mit £, X. mit X) und 2}i_^,^, q^^^ mit /, q aus § 2 iden- tifizieren. Für die Zahlen r, s dort, welche der Bedingung p-s — q^r = s^ zu genügen haben, kann man dann mit Rücksicht auf (1): s = — '9',Q'j_i, r = — •9-iP,._i einführen, und dabei wird Also ist dann X durch — A,._i zu ersetzen. Dadurch entsteht die folgende Regel: Man bezeichne mit g^ die größte in -~-^ enthaltene ganze Zahl und i setze \ = gi oder = g^ -f 1, je nachdem i^i-i - 9iK) i9il^i - ^i(^i-i) I Y— Yq\-^— ist, so wird im ersten Falle, wo ^rj äquivalent XFist, Annäherung an eine reelle Größe durch rationale Zahlen. 337 ] (^ _ 1^) {rj — t]q) \ < -7^ . Dabei ist zu bemerken, daß das Grleichheits- zeichen hier unter gewissen Umständen wirklich in Betracht kommt, nämlich wenn sowohl Xq wie Yq gleich ganzen Zahlen vermehrt um y sind. — Im zweiten Falle, wo Itj äquivalent y (Z^ — Y^) ist, stellt sich sogar \{^ — k)(v-no)\£^ heraus. Nunmehr schließen wir die Fälle aus, daß ^rj äquivalent mit XY oder mit y (X^ - Y') ist. Betrachten wir irgendeine Substitution x=pX-{-pY, y = qX-\-qY der zu |, rj gehörigen Kette. Wir bezeichnen den Gitterpunkt p, q mit Ä, den Gitterpunkt p, q mit Ä'. Nach § 2 haben wir ein ganz bestimmtes Parallelogramm RSBqSq oder '^ (q, 6): — + ! ! ^ 1> dessen Berandung sowohl Ä, wie A' aufnimmt. Der größeren Anschaulichkeit wegen wollen wir in der Zeichnungsebene die Koordinaten x, y derart interpretieren, daß dieses Parallelogramm ^ (p, (?) ein Quadrat im gewöhnlichen Sinne wird. Für p, q sei | = aX, r^ = (i, (X ^ 0, /u. ^ 0, £ = ± 1), für p', q sei I = «'A', 7} = }i, (A'^0, (i'^O, «'=±1). Wir haben nun die beiden, auch in § 2 unterschiedenen Fälle f' = — £ und s = s gesondert zu unter- suchen. 1°. Es sei zunächst s' = — s und A > A' ^ 0, ju-' > ,a ^ 0. Ein gleich- zeitiges Eintreten von fi = 0 und X' = 0 ist dadurch ausgeschlossen, daß ^rj nicht äquivalent XY sein soU. Es sei M die Seitenmitte ^ = -~, rj = — und M' die Seitenmitte | = — y, ■»? = y in ^ (9, ö). Nach den Be- merkungen in § 2 kommen Ä und J.' derart auf der Berandung von ^ (p, e) zu liegen, daß bei einer Umlaufung derselben in einem gewissen Sinne sich A, M, (S), A', M\ A^, M^, {S^), A^, M^ folgen (s. Fig. 5; um die Figur nicht zu komplizieren, sind darin die Seiten von ^ ((>, 6) nicht ausgezogen); A ist von M, A' von M verschieden. Da wir die Rollen von | und r] vertauschen, anstatt ^, iq auch iy, — | zugrunde legen können, so dürfen wir noch die Annahme X' yi ^ Xfi machen; (weil nicht zugleich A'=0, ft = 0 sein kann, wird dann gewiß Z'> 0, also A' von S verschieden sein). Da auf jeder Seite des Quadrates ^ (q, ö) der Wert — stets von der Mitte der Seite nach ihren Enden hin abnimmt und dabei auf allen vier Seiten gleichen Wert erhält bei der nämlichen Entfernung von der Seitenmitte, den Begriff der Entfernung Minkowski, Gcaammelto Abhandlungen. I. 22 338 Zur Geometrie der Zahlen. im gewöhnlichen Sinne genommen, so läuft jene Annahme darauf hinaus, daß Ä'M'£ÄM sein soU. Wir konstruieren weiter das Quadrat ^ (-|-, -|-j, dessen Ecken auf 7j = 0, 1 = 0 halb so große Entfernungen von 0 haben wie R, Rq, S, Sq. Die Berandung von ^ (—, y) nimmt die Punkte X=- ± — , T = 0 und X = 0, Y = :^— auf. Legen wir sodann um jeden einzigen Gitterpunkt als Mittelpunkt ein Quadrat, welches dem Quadrate ^ (---, yj gleich und in den Seiten parallel gestellt ist, so ergeben diese Quadrate das Bild der in Fig. 5 mit ausgezogener Umrandung gezeichneten Quadrate. Die einzelnen Gitterpunkte sind in dieser Figur durch ihre Koordinaten X, Y angedeutet. Das erste Quadrat ^ (--, yj um den Nullpunkt stößt mit Stücken seiner Seiten an die Quadrate mit den Mittelpunkten Ä, Ä', Aq, Aq, während es die übrigen Quadrate überhaupt nicht trifft. Danach liegen jene Quadrate offenbar so, daß keine zwei ineinander eingreifen, und zwischen sich lassen sie noch lauter gleiche und parallel liegende Lücken in Form von Rechtecken, welche die einzelnen Punkte X + y , Y -\- -^ mit ganzzahligen X, Y zu Mittelpunkten haben. Fig. 5. Es sei beispielsweise GHJK die rechteckige Lücke mit dem Mittel- i-^ r=y oder L, so daß die Seiten GH, HJ, JK, KG sich an die Quadrate mit den Mittelpunkten X, Y= 0, 0; 1, 0; 1, 1; 0, 1 punkte X = // Annäherung an eine reelle Größe durch rationale Zahlen. 339 anlegen. Da AH, M' GM, ÄK sämtlich parallel der Linie ij = 0 sind, so ist GH== MA £ MS und GK= MA' < 31' S, also GE> GK und überdies — RS ^ GH, — i2Ä> GK] (man beachte, daß A' nicht in S fällt). In jeder der rechteckigen Lücken ist daher eine Seite kleiner, die andere höchstens so groß als die Seite des Quadrates ^ (-|-, y)* Unter dem Inhalt einer Figur woUen wir den Wert des Integrales dXdY über ihre Fläche verstehen. Der Lihalt des Quadrates ^ (y, y) ^^^ dann, weil ad — ßy = 1, pq — Qp' = + 1 ist, gleich Y Q^ ^^^^ ^^^ Lihalt des Rechteckes GHJK ist <— pö. Nun kommt in der ganzen Ebene auf jeden Gitterpunkt X = X*, Y = Y* einerseits ein Parallelogramm — v ^ ^ — X* ^y> ¥ ^ ^~ ^* ^Y ^^^ ^' halte 1, wobei diese Parallelogramme die ganze Ebene lückenlos erfüllen, ohne gegenseitig ineinander einzudringen, andererseits kommt hier auf jeden Gitterpunkt X*, F* ein Quadrat mit dem Mittelpunkte X*, Y* vom Inhalte y ?^ ^^^ ^^ Rechteck mit dem Mittelpunkte X* + -r-> Y* + Y "^0^ einem gewissen Inhalte < — (> A' > 0, [i^ [i^O. Die Punkte Ä und Ä' werden hier von einer und derselben Seite von ^ {q, (?) auf- genommen, wobei weder Ä noch Ä' in die Mitte der Seite fallen und Ä, aber nicht Ä' eine Ecke sein kann. Die Länge der betreffenden Seite ist £ 2AÄ. Gehen wir nunmehr zu dem Quadrat ^ (-|-, —\ über und konstruieren um jeden Gitterpunkt als Mittelpunkt ein diesem gleiches und parallel gestelltes Quadrat, so liefern diese Quadrate das Bild der in Fig. 6 mit ausgezogener Umrandung gezeichneten Quadrate. Die Gitterpunkte sind dort durch ihre Koordinaten X, Y bezeichnet. Diese verschiedenen Qua- drate nun greifen nicht ineinander ein und lassen zwischen sich im all- gemeinen wieder lauter gleiche und parallel gelagerte rechteckige Lücken mit den einzelnen Punkten X-{- —, Y -\- -^ für ganzzahlige X, Y als Mittelpunkten. Diese Lücken kommen nur zum Fortfall, wenn auch der Gitterpunkt X = — 1, Y= 1 auf die Begrenzung von ^ ((), 6) fällt, (wenn (A — X') (fi' — fi) = — ist). Es sei, wenn nicht dieser Spezialfall statthat, GHJK die rechteckige Lücke mit dem Mittelpunkte L: X = —, Y= — , wobei GH, HJ, JK, KG ihre an die Quadrate um X, Y= 0, 0; 1, 0; 1, 1; 0, 1 anstoßenden Seiten seien. Dann ist die Seite GK gleich der Seite des Annäherung an eine reelle Größe durch rationale Zahlen. 341 Quadrates ^ (-|-, -f^j ^^® Seite GH kleiner als diese Seite. Der Grenz- fall, daß GH= GK wäre, würde nur eintreten, wenn A und A' beide in Ecken von ^{q,6) fielen, was dadurch ausgescMossen ist, daß |rj nicht äquivalent der Form X.Y sein soU. Nunmehr erweist sich durch eine entsprechende Überlegung wie in 1°, daß der Inhalt des Quadrates ^ {\i "^) zusammen mit dem des Rechteckes GHJK gleich 1 sein muß, woraus (1) \q6SK2.\q6 hervorgeht. Die Gleichung —q6=1 hat statt, wenn die Lücken zum Fortfall kommen, also H mit G, J mit K zusammenfällt. Es verhalte sich die Entfernung des Punktes A von der Geraden HJ zu der des Punktes L von dieser Geraden wie 1 : x — 1, so ist 1 ^ x < 2. Konstruieren wir nun das Quadrat ^ (-/, \), so wird es die Hälfte der Fig. 6. Lücke mit dem Mittelpunkte X = — -, Y= y ''vollständig überdecken. Legen wir dann gleiche und parallel gestellte Quadrate um jeden Gitter- punkt als Mittelpunkt, so erfüllen daher diese Quadrate jedenfalls die ganze Ebene. Also wird derjenige Punkt, für den die Bestimmungs- stücke I, rj die gegebenen Werte | = lo» ^ = ^o haben, in wenigstens eines dieser Quadrate fallen müssen ; alsdann gilt für den Gitterpunkt x, y, welcher der Mittelpunkt des betreffenden Quadrates ist, (2) p~^! + n — na = 2 342 Zur Geometrie der Zahlen. Andererseits überdecken diese neuen Quadrate keinen Teil der Ebene mehr als zweimal, während noch gewisse Rechtecke mit den einzelnen Gitterpunkten als Mittelpunkten da sind, welche jedesmal nur je einem dieser Quadrate angehören. Infolgedessen muß der Inhalt des Quadrates (3) 4-^Vö<2 sein. Aus (2) und (3) ergibt sich wie oben I (i - io) (^ - %) i < T • ' Damit ist der Satz V vollständig bewiesen. — Wir bemerken noch folgendes: Aus 1 < 9^ und x^q6 '^vofür i>„ — «9'u, = 0 ist. Wenn a irrational ist, so läßt sich die Reihe dieser Systeme unbegrenzt foiisetzen. 2°. Für je zwei aufeinanderfolgende Systeme gilt stets PiQi+i - ^iPi+i = »i^i'--^i = ±l. Die Zahlen p^, q^ sind stets relativ prim. S*'. Man hat ^* _ 7, ^li ^sl ^k-l\ /'Z. _1 9 \ Dabei sind p^ und q^. selbst denjenigen Ausdrücken gleich, die bei der natur- gemäßen Darstellung der rechten Seite als Quotient ziveier ganzer Funktionen der \ und ^^^ den Zähler bzw. Nenner abgeben. 4°. Man Jiat ö < 5i < 52 < ?3 • • -^ Y>\Pi- aqA > \Pi -aqi\> bs - Ms !;•••• P ! ümsomehr nehmen die Beträge — — a I mit wachsendem Index ah. Wenn a h i P irrational ist, konvergieren die Brüche — mit wachsendem Index nach der Größe a. 5°. Für jedes der Systeme p^, q^ (A; = l, 2, ...) gilt Umgekehrt: Ist x, y irgendein System von relativ primen ganzen Zahlen, wofür y>0 und i (^ - ay)y I < 4- 344 Zur Geometrie der Zahlen. gilt, SO findet sich das Zahlenpaar x, y stets unter den Syste- men p„ q^(]c = 1, 2 . . .)• Aus dem Satze V entnimmt man noch: Sind h, c irgend zwei weitere reelle Größen, so kann man stets ganze Zahlen x, y finden, so daß \(x-ay-h){y-c)\<-^ ist, und zwar, wenn a irrational ist, noch derart, daß zugleich \x — ay — h\ unter einer heliebig Meinen positiven Größe liegt.*) Die hier definierte Kettenbruchentwicklung mit den Näherungsbrüchen — , — , . . . zur Annäherung an die Größe a soll der BiaqonalTcetten- hruch für a heißen, mit Rücksicht darauf, daß diese Näherungsbrüche zu den Parallelogrammen mit den Linien x — ay = 0 und i/ = 0 als Diagonalen in einer ganz entsprechenden Beziehung stehen, wie die Näherungsbrüche bei der gewöhnlichen Kettenbruchentwicklung « = ^o + |z; + p; + ---, wo Iq eine ganze Zahl, l^, I2, ■ ■ - lauter positive Zahlen sind, zu den Parallelogrammen mit dem Nullpunkt als Mittelpunkt und mit Seiten parallel zu x — ay = 0, y = 0. Für diese gewöhnliche (auch sogenannte regelmäßige oder normale) Kettenbruchentwicklung würde ich alsdann den charakteristischeren Namen Parallelkettenhruch in Vorschlag bringen. Nach einem bekannten Satze von Lagrange kommt jedes Zahlen- X 1 paar x, y, wobei x, y relativ prim sind, ^ > 0 und — — ^ < ^ i^^j ^1^ y 2y' Zähler und Nenner eines Näherungsbruches der gewöhnlichen Kettenbruch- entwicklung für a vor. Danach erscheinen alle Näherungsbrüche des Diagonalkettenbruches für a auch unter den Näherungsbrüchen des Parallel- kettenbruches für a und wird also, falls nicht beide Entwicklungen zu- sammenfallen, der Parallelkettenbruch stets langsamer konvergieren. / ^i,'9-2,...\ Der Diagonalkettenbruch für a möge mit a = DK{j , , ), der Parallelkettenbruch für a mit a = PK(Iq, \, l^, . . .) bezeichnet *) Tschebyscheff hat (in einem russisch geschriebenen Aufsatze in den Memoires der Petersburger Akademie, T. X, Appendix 4, 1866; Oeuvres, T. I, p. 679) gezeigt, daß, wenn a, h reelle Größen sind, stets ganze Zahlen a;, y existieren, wofür \{x — ay — &)2/l<2 ist. Hermite hat (Grelles Journal, Bd. 88, 1880; Oeuvres, T. Ill) bewiesen, daß der Ausdruck links durch ganze Zahlen x, y kleiner als -_ gemacht werden kann. Der Satz im Texte ergibt ein schärferes Resultat, weil VI T<1/ 2 . , _ ist. 27 Annälierung an eine reelle Größe durch rationale Zahlen. 345 werden. Die sclioii vorhin angedeutete geometrische Auffassung der Parallelkettenbrüche, welche der hier gegebenen Ableitung der Diagonal- kettenbrüche entspricht, führt leicht zu folgendem Satze: Um aus der Reihe der Systeme p^, qJJ = 0,1, 2,. ..) für den Biagond- Jcettenbruch von a die Beihe der Zähler und Nenner der sämtlichen Nähe- rungshrüche des Parallelketkmhruches von a zu erhalten, hat man nur die erstere Reihe in der Weise zu erweitern, daß, so oft eine Zahl d-. = l (für ein i^l) ausfällt, zwischen die beiden Systeme p._j^, q^_^ und p-, q. noch das neue System p^— Pi_^, 5^ — g'i_i eingefügt wird. Man leitet aus diesem Satze die nachstehende Regel ab, welche er- / ^1) ^2) • • A laubt, aus einem Diagonalkettenbruche a = DK\ I sogleich \Hq, n^, n^, . . .) den Parallelkettenbruch a = RK{l^,l.^,\,. .?) zu entnehmen: Aus der Reihe der Zahleti hQ, \, h^, . . . entsteht die Reihe der Zahlen Iq, li, l^, ■ . -, indem an Stelle einer jeden Zahl h^ substituiert wird: K wenn #, = -1, ^, + i = -l, h -1, ivenn #,= 1, ^.■+i = -l, h -1,1, ivenn ^, = -1, ^.-.i = 1, K -2,1, ivenn ^.■= 1, ^i + i= 1 ist; dabei hat man sich noch ■O-^ = — 1 zu denken und dann von dieser Vorschrift au£h für « = 0 Gebrauch zu machen. Die Diagonalkettenbruche sind hiernach nicht bloß wegen der einfacheren Charakterisierung ihrer Näherungsbrüche leichter zu handhaben, sie ent- halten auch alle Einzelheiten über die darzustellenden Größen, welche die Parallelkettenbrüche erkennen lassen. Beispiel: Der Parallelkettenbruch für ]/TF ist P^(3, 1, 1; 1,1,6,1,1; 1,1,6,1,1-, . . .) mit den Näherungsbrüchen 3 4 J^_ 11 18 119 137 256 393 649 4287 4936 9223 T'T'Y'Y''5''"33'''3^'"7r'iÖ9'18Ö' 1189' 1369' 2558' ' ' "' der Diagonalkettenbruch für )/13 ist U, 2; 2, 8, 2; 2, 8, 2;.../ mit den Näherungsbrüchen JL -L. 1^ HI 256 649 4936 9223^ T' Y' T' W' TT' 18Ü' 1369' 2558' ' ' ' d. i. dem 2, 8; 5, 7, 8; . . . hlc, 6h + 2, 5Ä; + 3; ... ten Näherungsbnich der ersteren Entwicklung. 346 Zur Geometrie der Zahlen. Dagegen würde diejenige Kettenbruchentwicklung wobei ^1 = + 1, ^2 = + 1> sind derart, daß die Reste 1 liegen, für ]/13: / 1,1,-1,1,1,-1,1, ^U, 3;2, 7,3:2, 7,3; sein mit den Näherungsbrüchen . und die \,h^,... positive ganze Zahlen P^ — p^^ _ . . . stets zwischen — — und 4 11 18 137 393 649 4936 14159 1 ' 3 ' 5 ' 38 ' 109 ' 180 ' 1369 ' 3927 ' * ' " d. i. dem 2, 4; 5, 7, 9; . . . bli, 5Ä; + 2, 5Ä + 4; ... ten Näherungsbruche des Parallelkettenbruches für ■)/l3. Also erfüllt bei dieser Art der Ent- wicklung einerseits nicht jeder Näherungsbruch — die Bedingung andererseits kommt nicht jeder Bruch — mit dieser Eigenschaft unter den Näherungsbrüchen vor. Der Diagonalkettenbruch für die Basis der natürlichen Logarithmen lautet: ^ V3, 3, 2,5, 2,..., 2m + l, 2,. Die Zähler und Nenner der Näherungsbrüche dieses Kettenbruches geben also die sämtlichen Auflösungen der Bedingung — Y<(^-e«/)2/,_i X, -f £.A,.I^. über, man hat also die Formel der Kom- position: Aus § 3, Gleich. (2) leitet man allgemeiner die Regel i<]c ab; und daraus entnimmt man insbesondere eine Beziehung: ^o **.•,*> ^.-.-t gewisse ganze Zahlen sind, die bloß von den Werten ^f, Ä,-, ^i+i} h + i} ■ • -7 ^k-i! \-i abhängen. Da mit unbegrenzt wachsendem k die Größe A^ nach Xull konvergiert, ersieht man danach, daß das Verhältnis — jj — durch die unendliche Reihe der Größen &j., ä^ für die sämtlichen i i Indizes Jc^i vollständig bestimmt ist. Wenn nun mit irgendeinem Werte v für alle Indizes k^j die Be- ziehungen (2) statthaben, muß daher notwendig «.u. ^-^ ~ ^■^■ J + V J + V } } s- X. sein. Setzen wir ^^/"'/"^'"^ = r, wobei 0 < t ; < 1 sein wird, so folgt >-i .»-1 Nun hat man (1,-«) ^> + . = (rB,_,l^_,,xs,X;), {e,_,X,_„8.k;) T-^ = (l,-«); daraus entsteht {l-a)T,^^T-^^{r,-xa). 348 Zur Geometrie der Zahlen. Bezeichnet man mit das Koeffizientenschema der Substitution Tjj^^Tf'^, so bedeutet diese letzte Formel p — aq = T, r — as = — ta. Daraus erhält man (r — as) + (p — aq) a = 0, und hierin kann nicht q = 0 sein, denn sonst müßte p == t sein, während T keine ganze Zahl ist, da | t | zwischen 0 und 1 fällt. 2. Wir beweisen jetzt die Umkehrung der eben festgestellten Tatsache: Satz VII. Ist eine irrationale Größe a Wurzel einer quadratischen Gleichung mit rationalen Koeffizienten, so ist der Diagonalkettenhruch für a stets periodisch. Beweis. Es sei n^a^ + w^a + ^2 == 0 diejenige Gleichung für a, in der Wq, %, n^ relativ prime ganze Zahlen sind und w^ > 0 ist. Man hat a = — ^i — ^ J^^ ~ ^"^^ so daß die ganze Zahl D = n.^ — ^n^n^ positiv und wegen der vorausgesetzten Irrationalität von a jedenfalls nicht das Quadrat einer ganzen Zahl ist. Die zweite Wurzel jener Gleichung ^ ^ — werde mit ä bezeichnet. Wir setzen l = x- ay = ax-\- ß^, ri = -^^-~-_{x — äy) = yx + 8y, t,==y. Dabei haben |, ri ebenso wie |, t, die Determinante 1, und gilt eine Be- ziehung: Sodann entsteht + yjD^rj = f= n^x^ + n^xy + n^y^ Wir betrachten nunmehr die Kette zu den Formen |, rj. Diese Kette wird jedenfalls nach beiden Seiten unbegrenzt sein. Wir verwenden für diese Kette die in § 3 eingeführten Bezeichnungen. Außerdem mögen ^^, rj^ die Ausdrücke bedeuten, in welche |, t; durch die Substitution übergehen, und es bedeute T^ das quadratische Schema ( '"^ '"^' ' ' ) /a ß\ ^'-^' '"•■ der Koeffizienten von |., ?^., wobei dann ( ' j T. = J^ gilt. Durch die ganzzahlige Substitution T^, deren Determinante + 1 ist, geht die Form f=± YD^rj in eine Form Annäherung an eine reelle Größe durch rationale Zahlen. 349 über. Dabei sind Nq, N^, N^ ganze rationale Zahlen und folgt JV^^ — 4 iV^ iV^2 = -^ ? da D nicht eine Quadratzabl ist, hat man gewiß Nq ^ 0, N^ =^ 0. Zu- dem bestehen dabei nach § 2, 3 diese Beziehungen: entweder ^<0, |>0, \N,\<^VD, \n,\<^Yd, \n,\ 0 ist, finden können, für welche die beiden Formen fj und fj^^ in den Koeffizienten Nq, N^, N^ überein- stimmen. Ersetzt man Xj_^_^, ^j+v "^ ^®^ Formen ^j^„, rjj^^ durch die Zeichen X , Yj der Variablen in |y, r]j, so werden dadurch Beziehungen /A, BN hergestellt, wobei die Koeffizienten A, B, f, A durch T_,^j, = (p .IT^ be- bestimmt sind, und vermöge dieser Beziehungen muß dann ^j^„rjj_^^ = ^jrjj entstehen. Vergleicht man die Koeffizienten von ^j^, rjj^, ^jTjj auf beiden Seiten dieser Gleichung, so folgt Ar = 0, BA = 0, AA+ Br= 1. Danach muß entweder (3) B = 0, r = 0, A = | = r; l,>. = rl„ ^,>„ = V^> oder (3*) A = 0, A = 0, B = f = r; 5, + . = -^^p ^,>. = |l> mit einem von NuU verschiedenen Faktor t sein. Die zweite Art von Beziehungen aber ist unmöglich, weil in der Form tjj der zweite Koeffi- zient einen größeren absoluten Betrag hat als der erste Koeffizient, in der Form |^^p aber das Entgegengesetzte statthaben muß. Also gelten notwendig die Beziehungen (3) und die Vergleichung der Koeffizienten in rij und rjj_^^ zeigt noch, daß t positiv und < 1 ist. Die Gleichungen (3) ergeben v.-C;;)t„ e:Or„.v.-(;!)(;:;)^ 350 Zur Geometrie der Zahlen. /P» A Ist ) das Koeffizientenschema der Substitution T, ^ T~ ^ wobei \q, s/ ■' + " ■' ' p, q, r, s ganze Zahlen sind und ps — qr = + 1 ist, so verwandeln sieb hiernach %, % wenn man darin x, y durch pn; + xy, qa; + sy er- setzt, in die Ausdrücke r|, — i^. Diese zwei Ausdrücke ergeben dasselbe Produkt wie | und iq. Durch die umgekehrte Substitution werden |, r] in — I, tt] übergehen. Hat man nun einen Gitterpunkt x, y, für den X, y relativ prim sind und ^ = sX, tj = jt (/i, > 0, A > 0, £ = ± 1), Aft < Y ist, so existiert dann also ein anderer Gitterpunkt, für den eben- falls X, y relativ prim sind und h, = rsX, r; = ~[i ist, und ferner ein Gitterpunkt, für den x, y relativ prim sind und | = — eX, r] = rii ist; und diese zwei weiteren Gitterpunkte müssen dann ebenso wie der erste als Glieder der Kette zu |, rj auftreten. Nach (3) haben wir £j_^^Xj_^^= rSjXj, ^ij + „ = —^j. Nun müssen weiter die Punkte ^ = £j+,+,lj+,^i, V = f^j+,+i und ^ = rSj^^Xj^^, rj = — ^j+i) welche beide als Glieder der Kette^ auftreten, identisch sein. Denn hätte man fty^^^i > — ^j + d so würde der Punkt | = Tf^^jA-^i, ?? = — fty^i ein Kettenglied sein, für das (^j+r ^V "^ ^^j+v+i wäre, während tj = ^j + v ^nd r] = ^ij^^^i ja zwei aufeinanderfolgenden Kettengliedern entsprechen. Hätte man dagegen ^j^^^i<. — f^j+D so würde | = — «y + ^ + iAy^^^i, r] = tfij_^_^_^^ ein Kettenglied sein, wofür ^j < r] < [ij_^_^ wäre, was ebenfalls nicht möglich ist. Also muß fij+p+i = — fty+i sein und müssen sodann jene zwei Punkte zusammen- fallen. Auf dieselbe Art erschließt man sukzessive weiter W ^k + v^k + v~ '^^kh) f^k+v"^ ^^k für h =j -{- 2, j -\- 3, . . .. Sodann kann man in der Reihe der Indizes rückwärts gehen und diese Beziehungen (4), welche auch für k=j — 1 bereits durch (3) feststehen, nacheinander für Ä; = j — 2, j — 8, . . . er- halten. Also gelten diese Beziehungen (4) überhaupt für jeden möglichen fh 0\ Index ]c. Man hat nunmehr für jeden Index i: T^^^ = I ^ i IT,; ande- /O, - ^i\ rerseits gilt nach § 3, (2) die Regel T,.j.i "^ ^» ( i t, }• Wendet man Annälierung an eine reelle Größe durch rationale Zahlen. 351 die erstere Formel für zwei aufeinanderfolgende Indizes i = Je, i = Je + 1 an und hernach die letztere für i = Je und i = J: -\- v, so folgt zuerst TilJk + .+ i='^k~''^i+i ^^ sodann: (5) ^.+. = ^A-, \^. = h (/L- = . ■•-2,-1, 0,1,2,...). Nach diesen Beziehungen (5) kann die Kette zu |, i? als vollkommen periodisch, bezeichnet werden. Wir ziehen endlich auch die Form ^ = y heran. Für ein jedes Glied X = Pi, y = Qi der Kette zu den Formen |, rj gilt ■>? > 0 und | Itj ' < y* Gleichzeitig ist dabei YD ^rj\ stets eine rationale ganze Zahl. Indem diese Zahl <— ]/^ ist, kann sie nicht die größte in -^V^ enthaltene ganze Zahl überschreiten. Wir setzen letztere ganze Zahl - YlD = - YD — d, dabei wird 0 0 und müssen daher die betreffenden Systeme x = Pi, y = q., die man nun antrifft, sämtlich auch Glieder der Kette zu den Formen l, t sein. Ist umgekehrt x, y ein Glied der Kette zu den Formen |, ^, so ist dafür § > 0 und ||g| < — ; daraus folgt Geht man nun in der Reihe der Kettenglieder zu h,, ^ so weit, daß |]/i'&|*| ^1 — d und -f < TjT ist, so folgt hier i? > 0 und andererseits V^ ^V < I yy-^J + 1- Da S't'er yD||i^l hierbei stets eine ganze ratio- nale Zahl wird, muß dann überhaupt V^lli?! ^ [yV^] < yV^» ^^^ hin ||i^| c quatre formes lineaires ä trois variables x, y, z, ä coefficients re'els quelconques et de sorte que Von ait (p-\-X + '^-^<^ = ^- Supposons que le determinant de trois de ces formes soit toujours diffe'rent de zero et designons sa valeur ahsolue par 4:D. Älors il existe toujours trois nombres entiers Xy y, z, qui ne sont pas tous e'gaux ä zero et de sorte que toutes les quatre formes 0. On pourra prendre dans le theoreme du n° 1 : II existe alors des nomhres entiers x, y, z differents du Systeme 0, 0, 0 et de Sorte que Von ait Ul + kl + lsl^VW^- Dans le cas limite, pour lequel le signe = est resarve, on peut toujours faire en sorte que l'on n'ait pas ä la fois ||j = |7;| = |^|. On en tire alors \Ut\. Dans ces demieres inegalites, la limite n'est plus precise. 5. Soient a, b deux quantites reelles quelconques. Posons, dans les inegalites du n° 4: ^ = x — a2, r,=y~hz, t = -^, t etant un parametre positif. On Toit qn'on peut trouver des nombres entiers x,y,z, parmi lesquels ^r est positif, et de sorte que x — az, y — hz soient en valeur absolue plus petites qu'une quantite e donnee ä volonte, et que dans cette approximation on ait en meme temps ^ ^ l/^ 1 \y 1,1 ^ t/'s" 1 La constante 1/ tö = 0,648 . . . , qui entre ici, est plus petita 2 que -. U. 6. Theoreme. — Soient % = ax -\- ßy, rj = yx -\- dy deiix formes line- aires ä coefficients complexes quelconques et soit i)=|ad — /3y|>0. On peut toujours trouver, dans le corps algebrique de i = }/ — 1, des nombres entiers complexes x, y diffe'rents du Systeme 0, 0 de sorte que Von ait La limite d = 1/ "T D donnee ici est precise. En general, on aura aussi des nombres entiers complexes x, y =^ 0,0 de sorte que \^\0. On peut toujours trouver, dans le corps algehrique de j = —^ , des nomhres entiers complexes x, y differents du Systeme 0, 0 de sorte que Von ait Cette limite d = "j/Z) est ici precise. En general , il y aura aussi des nombres entiers x,y=^0,0 de sorte que ||| et [tj] soient <,d, ex- cepte dans le cas oü, dans le corps de j, il existe une Substitution lineaire ä coefficients entiers et ä determinant egal ä une unite du corps, ä l'aide de laquelle |, ■»?, abstraction faite de l'ordre, se cbangent en XdX, fid(tX-\- Y), X ei ^ etant des quantites dont la valeur absolue est egale ä 1, et r une quantite complexe quelconque. On remarquera ce fait interessant que, de ces deux theoremes cor- respondants, l'un, qui est relatif au corps algebrique de la troisieme racine de Vunite, est beaucoup plus simple que l'autre, relatif au corps algebrique de la quatrieme racine de Vunite. 8. Soit a une quantite' complexe quelconque. En posant ^ = x — ay, v = ^' t etant un parametre reel quelconque > 1, on voit que, dans le corps de — — ^^^^- (mais pas dans le corps de "[/ — 1), il y aura toujours des nomhres entiers complexes x, y tels que 0<\y\ Z ist, wohl dem Werte Null be- liebig nahe -kommen. Wir machen hier stets die Annahme n > Z. Über die Annäherungen dieser Form t, an Null gelten dann, wie ich in dem Aufsatze ,yEin Kriterium für die algebraischen Zahlen" (Göttinger Nach- richten V. 11. Febr. 1899; diese Ges. Abhandlungen, Bd. I, S. 293— 315) gezeigt habe, die folgenden Sätze: Wir können zur Zahl a in bezug auf jede beliebige reelle Größe r ^ 1 stets eine Substitution S) X, = sj>)y, + si«)y, -}- • • • + sWy, (A = 1 , 2, . . ., n) mit folgenden Eigenschaften konstruieren: 358 Zur Geometrie der Zahlen. a) Alle Koeffizienten s/*) sind ganze rationale Zahlen, und gehen die Quotienten -^ dem Betrage nach nicht Über eine gewisse, von r unabhängige Größe hinaus. b) Die Determinante von S ist =|= 0 und liegt dem Betrage nach unter einer geivissen, von r nicht abhängigen Grenze. c) Geht i, durch S in über, so liegen die Beträge von n—l n— l n—l Qir ' , Q^r ' ,...,Q^r ' sämtlich unter einer gewissen, von r nicht abhängigen Grenze. d) Für die Verhältnisse q^'.q^' •••:(>„ Icommen von vornherein nur eine endliche Anzahl verschiedener Systeme in Betracht, die von r nicht abhängen. Diesen Bedingungen wird z. B., wie in jener Arbeit ausgeführt ist, stets genügt, wenn wir S unter allen denjenigen Substitutionen, für welche die Koeffizienten s^ lauter Zahlen aus der Reihe 0, + 1, + 2, • • •, + [r] sind und die Determinante =j= 0 ist, derart auswählen, daß dabei zunächst | ^i | , nächstdem | ()2 ], . . . endlich | q^ \ möglichst klein werden. Dabei fällt dann die Determinante von 8 dem Betrage nach sicher stets ^ n\ aus. Durch die Substitution S erlangen wir zugleich gewisse rationale Approximationen für alle Zahlen des Körpers von a, wenn a reeU ist, bzw., wenn a komplex ist, für alle reellen Zahlen des Körpers, der aus dem Körper von a und dem dazu konjugiert imaginären Körper zusammen- gesetzt ist. Umgekehrt gilt der Satz: Die Größe a ist, (n > l angenommen), not- wendig eine algebraische Zahl w*®"^ Grades, wenn für sie in bezug auf jede reelle Größe r^ 1 stets eine den Bedingungen a), b), c), d) entsprechende Substitution S hergestellt werden Jcann. 2. Wir denken uns weiterhin a stets als eine algebraische Zahl w*®° Grades und n > l. Nehmen wir nun eine unbegrenzte Reihe wachsender Zahlen f^^^l, r^fr^, . . . an und konstruieren wir in der eben erörterten Weise zu diesen Zahlen Substitutionen S^, S^, Sg, . . . . Eine derartige Sub- stitutionenlcette für die Zahl a soll periodisch heißen, wenn die daraus ver- möge der Kompositionsformeln hergeleitete Reihe von Substitutionen Q^, Q^, Qs, - • •, abgesehen von einer endlichen Anzahl von Gliedern am Anfange, in periodischer Wiederholung ein und derselben endlichen Folge von Substitutionen besteht, wenn also ein Periodische Approximationen algebraischer Zahlen. 359 Index Jq und eine positive Zahl Pq angebbar sind, so daß für jeden be- liebigen Index j^jo ^^®*^ Qj^ Qj+p ^^^• Wir fragen nach dem Charakter derjenigen algebraischen Zahlen a, für welche periodische SubstitutionenJceäen existieren. 3. Ist die Kette S^, S^, S^, ... für cc periodisch, so erhalten wir mit den soeben eingeführten Bezeichnungen also wenn j^jo ist. Setzen wir S. ^ S~^ = Pq, so folgt daraus allgemein ^J +Po^ ^0 Sj J Sj + fp, = Po^^j für jeden Index j ^Jq und jeden Exponenten /"= 1, 2, 3, . . . . Es bedeute cpj die Linearform, in welche | durch S^- übergeht. Unter den unendlich vielen Substitutionen ^^y ^./p für f=0, 1,2,... werden wir, da nach b) für ihre Determinanten und weiter nach d) für die Verhält- nisse der Koeffizienten Q^:Q2'----Qn i^ ^^^ zugehörigen Formen cpj ^^^ nur eine endliche Anzahl von Wertsjstemen in Betracht kommen, jedenfalls irgend zwei Substitutionen Sj ^^^ = S und Sj _^_gj, =T (d'> c) in solcher Weise auffinden können, daß erstens TS~^= P = Pq'" eine ganzzalüige Substitution mit der Determinante 1 tvird und zudem zweitens in den beiden Formen cpj ^^p = q) und (p^ ^.^p = ip die n Koeffizienten jedesmal genau die- selben Verhältnisse besitzen, daß also jp = d-

;t| = 1 ^/l, so gewinnen wir aus der Ungleichung \Nmal-^ Qj^\^l eine gewisse, von r^ unabhängige, positive untere Grenze für den einen darin I e^'^ I I e?^ I übrig bleibenden Faktor ' ^" . Danach befinden sich nun alle Beträge ■' in bezug auf die Form cpj zwischen zwei bestimmten endlichen positiven, von rj unabhängigen Grenzen, und werden infolgedessen weiter auch die Quotienten aus irgend zwei der je n — l konjugierten Werte (>;,?/',-. •,Pi"-'^ Qc=l,2,...,n) bei sämtlichen Formen cpj stets absolut genommen zwischen zwei, unab- hängig von den Werten rj feststehenden positiven endlichen Grenzen liegen. Beachten wir nun die Relationen (pj ^^ = ^^cpj für f= 1, 2, 3, . . ., so zeigt sich schließlich, daß auch die Beträge der Quotienten aus irgend zwei der je w — Z Größen Periodische Approximationen algebraischer Zahlen. 361 zwischen gewissen zwei festen positiven endlichen Grenzen liegen müssen, und zwar gelten diese Grenzen für alle Werte f = 1, 2, 3, . . . auf einmal. Danach kann die Einheit 9- nicht anders beschaffen sein, als daß für sie die Gleichungen statthaben. Bezeichnen wir den gemeinsamen Wert dieser letzten Beträge mit 7] und setzen ■O-^f, womit im Falle 1 = 2 noch { ■0-'^ ; zusammen- fällt, so geht die Gleichung .A^'O- = 1 in «'7^""^= 1 über, und wegen £ < 1 folgt 7/ > 1. Wir gelangen auf diese Weise zu dem Satze: , Damit eine algebraische Zahl n^" Grades a eine periodische Substitu- tionenliette besitze, muß es im Körper von a eine Einheit & von einem Be- trage < 1 geben, für tcelche die Jconjtcgierten Zahlen in den J^onjugierien Körpern {abgesehen von der Zahl %-^ in dem Körper der Jconjugiert ima- ginären Zahl u^, falls a Jcomplex ist) sämtlich untereinander gleiclwn Be- trag haben. 6. Die hier gefundene Bedingung ist zugleich hinreichend für das Vor- handensein einer periodischen SubstitutionenJcette zur Zahl u. Denn nehmen wir an, es existiere im Körper Ton a eine Einheit %-q von dem fraglichen Charakter. Es bedeute dann P^ diejenige lineare Substitution, durch welche die n Formen |, (|°), . . ., IC-O in die Formen 9^1, (V^°)> • • -j ^^'•-''|(*'-'> übergehen; diese Substitution hat lauter rationale Koeffizienten und eine Determinante = ± 1. Durch P/, wenn f eine der Zahlen 1, 2, 3, . . . be- deutet, gehen dann l, . . ., I^""') in -Q-o^l, . . ., ('9-[,"-')y|(''- ') über. Da diese Potenzen -ö-/ lauter ganze algebraische Zahlen sind, werden, wie leicht zu sehen ist, in aUen jenen Substitutionen P/ die Koeffizienten solche ganze rationale Zahlen sein, daß ihre Nenner nicht über eine gewisse, durch die Größe a bestimmte, aber von den Exponenten f unabhängige Zahl hin- ausgehen, während zugleich ihre Determinanten durchweg = + 1 sind. Wir werden infolgedessen unter jenen unendlich vielen Substitutionen P/ gewiß irgend zwei solche, Pq" und P^^ {d> c), finden können, daß Tq^{Fq^)~^ <= P eine Substitution mit ganzzahligen Koeffizienten wird. _ i Setzen wir dann %^-'=%-^ 1 0- "-^ = 7^, so haben wir in der Reihe S, = E, S,= P, S,= P^... eine periodische Substitutionenkette für die Zahl u mit den in 1. und 2. angegebenen Eigenschaften, wenn wir noch für die zugeordneten Größen r^ die Festsetzung r^= i;>-^(j = 1, 2, 3, . . .) treffen. 362 Zur Geometrie der Zahlen. § 2. Einheiten von besonderem Charakter. 7. Wir wollen jetzt die Forderung der Existenz der besonderen Einheit d- im Körper von a weiter verfolgen. Die ganze Funktion w*®" Grades in ^: ^. , ,, ^. ., ^, „x hat rationale ganze Koeffizienten; unter ihren Wurzeln haben l den Betrag £ < 1 und n — l den Betrag ?? > 1. Jeder im Bereiche der rationalen Zahlen irreduzible Faktor dieser Funktion F{t) verschwindet für wenigstens eine der Zahlen •&,..., 9^''-^^ und muß daher, wegen der Irreduzibilität der Gleichung mit den Wurzeln a, . . ., a^"~'^, jedesmal für aUe diese Zahlej;! 'd', . . ., 'O'^""') verschwinden; infolgedessen ist i^(^) notwendig eine Potenz einer einzigen irreduziblen Funktion. Wegen der Beträge der Wurzeln sind nun offenbar nur diese beiden Fälle möglich : Entweder ist F(t) selbst irreduzibel und bestimmt alsdann d- bereits den Körper von a, oder es ist a komplex, 1 = 2, aber d- = d'^ reeU und F(t) das Quadrat einer irredu- ziblen Funktion; in letzterem Falle bestimmt d- einen reellen Unterkörper vom — Grade des komplexen Körpers von a. Wir bemerken noch, daß jede Potenz d-^, d-^, . . . denselben Bedingungen genügt, wie sie hier für d- vorausgesetzt werden. 8. Nach einem Satze von Dirichlet gibt es in dem Körper der Zahl a, wenn nur w > Z ist, gewiß eine solche Einheit, deren Betrag < 1 ist. Daraus ersehen wir bereits, daß im Körper von a eine Einheit d" der hier verlangten Art sich gewiß in folgenden FäUen vorfindet: a) wenn a reell und n = 2 ist, b) wenn a reell ist, n = S und der Körper von a zwei komplexe Iconjugierte Körper besitzt, c) wenn a komplex und w = 3 ist, d) wenn a, komplex ist, w = 4 und der Körper von a lauter komplexe konjugierte Körper besitzt. Denn in diesen Fällen besteht die Reihe d-', . . ., -^("-0 entweder in einer einzigen reellen Zahl oder zwei konjugiert imaginären, im speziellen auch zwei gleichen reellen Zahlen. Weiter haben wir im Körper von a eine Einheit d- der verlangten Art jedenfalls auch in folgenden FäUen: e) wenn a komplex ist, w = 4 und der Körper von cc einen reellen Unterkörper zweiten Grades hat, f) wenn cc komplex ist, w = 6 und der Körper von a einen reellen Unterkörper dritten Grades besitzt, dessen zwei konjugierte Körper komplex sind. Denn in diesen Fällen können wir für d- eine reelle Einheit von einem Betrage < 1 in dem betreffenden Unterkörper von a wählen, als- dann ist 0-"='9- und die Reihe -O'', . . ., ■d-^""') besteht aus zwei gleichen reeUen bzw. zwei gleichen Paaren konjugiert imaginärer Zahlen. Wir können jetzt den Satz beweisen: Periodische Approximationen algebraischer Zahlen. 363 Die hier aufgezählten sechs Fälle sind die einzigen, in denen der Körper von a eine Einheit & der fraglichen Art auficeist, also die einzigen Fälle, in denen die Zahl a periodische SuhstitutionenJcetten besitzt. 9. Wir diskutieren zuerst den Fall einer reellen Zahl a] hier ist 1=1, #• = + £, £7j"~^= 1. Wir haben folgende Möglichkeiten ins Auge zu fassen: a) Unter den Zahlen a,...,a^"~^^ finden sich wenigstens zicei reelle, etwa «(*) und «(*). Dann sind auch Q'^'''> und -Q-W reell, und da diese Zahlen nicht einander gleich sein können, aber denselben Betrag haben, müßte &(/>) = - ^W und daher (^(^))2 = (#(*))2 sein. Aber die Zahl ^^ = s^ ist von ihren n — 1 konjugierten Zahlen verschieden, sie genügt daher ebenfalls einer irreduziblen Gleichung n^^ Grades, und müßten daher ihre w — 1 konjugierten Zahlen auch untereinander durchweg verschieden sein. Danach ist dieser Fall unmöglich. b) Unter den Zahlen u, . . ., a^""^) kommt nur eine reelle Zahl, a^^\ vor. Für ti =2 liegt dann der oben unter 8. a) aufgeführte Fall vor. Ist w > 2, so haben wir unter jenen Zahlen weiter wenigstens ein Paar konjugiert imaginärer Zahlen, etwa u^'''> und «W. Die Zahl #- = s' genügt einer ir- reduziblen Gleichung «*®° Grades; unter den Wurzeln dieser Gleichung ist weiter eine = (ß-^^yf = rj- und sind die w — 2 übrigen dem Betrage nach = ■»j^ Nun können wir eine Gleichung mit rationalen Koeffizienten vom Grade — r — angeben, welche die Produkte aus je zwei verschiedenen der n Größen d', d-', . . ., ^^"-^^ zu Wurzeln hat. Diese Gleichung besitzt w— 1 Wurzeln vom Betrage erj, die übrigen Wurzeln vom Betrage r^^, darunter insbesondere die Wurzel ■9'(*)#W = r}^, sie müßte also auch alle anderen Wurzeln jener irreduziblen Gleichung w**° Grades für tj^ besitzen; sie hätte aber, da s < l < rj ist, gewiß nicht die Wurzel s^. Danach ist dieser Fall für w > 2 unmöglich. c) Die Zahlen a, . . ., «(«-i) sind sämtlich komplex, sie zerfallen dann in — 2 — Paare konjugiert imaginärer Größen. Für w = 3 liegt der oben unter 8. b) aufgeführte Fall vor. Jetzt sei w > 3. Wir bilden die Gleichung — 2 — ' Grades mit rationalen Koeffizienten, welche als Wurzeln die Produkte aus je zwei der n Größen '9--" + ^, ■0''-'' + ^, . . ., (d-("-^))-"+* hat. Diese Gleichung besitzt n — 1 Wurzeln vom Betrage («1^)-" + ^ = ■»^("-iX"-») und im übrigen lauter Wurzeln vom Betrage i^-^C»-!) = gS^ darunter V^nl Wurzeln == s^ = -Ö-*; sie müßte daher auch aUe die Größen ^'-, . . ., (^(«-i))' vom Betrage ry^ zu Wurzeln besitzen, es müßte also ij* = ?/"-')("-*), d.h. n = 3 sein. Für w > 3 ist danach dieser Fall unmöglich. 364 Zur Geometrie der Zahlen. 10. Wir behandeln jetzt weiter den Fall einer komplexen Zahl a; hier ist 1 = 2, £V"^=1- Machen wir zunächst die Annahme, daß -9" = -d-", also reell ist. Die Größe %• ist dann Wurzel einer irreduziblen Gleichung — Grades. Der Körper von a besitzt also einen reellen Unterkörper vom Grade -^, und in diesem soll O' eine Einheit von einem Betrage < 1 sein, für welche die konjugierten Zahlen in den konjugierten Körpern sämtlich untereinander gleiche Beträge haben. Wir können daher die in 9. gemachten Ausführungen verwenden, und es muß entweder ^ = 2 sein oder aber -ö" = 3 und dabei der Körper von %■ zwei komplexe konjugierte Körper aufweisen. Wir kommen damit auf die oben unter 8. e) und 8. f ) aufgezählten Umstände für den Körper von a. Wir nehmen jetzt andererseits an, daß 0- =}= -O-" sei. Alsdann genügt ■O' einer irreduziblen Gleichung n^^^ Grades und bestimmt bereits völlig den Körper von a. Wir unterscheiden wieder drei Fälle: a) Unter den Zahlen «',..., o;("~^^ sind wenigstens zwei reelle vorhanden, «(*) und aP'X Dann sind auch -d'^^) und 0-^*) reeU, und da sie gleichen Betrag haben, aber verschieden sind, kann nur -^-^''^ = — -O'^*) sein. Alsdann ist ('9'(''))2 = (#W)2_ Die rationale Gleichung n^^"^ Grades mit den Wurzeln d-^,...,{%'^^~^^Y hat daher lauter Doppel wurzeln und muß infolgedessen ^•2 = (Q'^y sein. Die Potenz %-^ bestimmt somit einen reellen Unterkörper *r tGH * — Grades für den Körper von a, und da überdies (-d-^*))^ reell ist, kann nach dem vorhin Bemerkten hier nur der unter 8. e) aufgeführte Fall mit n = 4l vorliegen. b) Unter den Zahlen a', . .., a^""^) ist nur eine reelle Zahl, d^\ vor- handen. Für n = ?> liegt der unter 8. c) genannte Fall vor. Ist w > 3, so haben wir unter jenen Zahlen noch — ~— Paare konjugiert imaginärer Größen. Es ist Q-^^^ = ± ^; da — Q''^^^ hier nicht derselben Gleichung mit rationalen Koeffizienten wie d-^"^ genügt, muß notwendig auch 0^ =f= — ^, also (^0)2 4= -^2 und daher ^^ 4= + f^, {^'^f =1= ± « ^ sein. Danach ist die ratio- nale Gleichung n^^ Grades mit den Wurzeln d-^, , . ., (-ö-^" ~ ^^Y irreduzibel und unter den Wurzeln dieser Gleichung sind zwei nicht reelle Wurzeln vom Betrage e^ und ist ferner eine Wurzel = r^ vorhanden. Bilden wir nun die rationale Gleichung — ^-^ — - Grades, welche die Produkte aus je zwei der n Größen &,..., Q-^^-'^) zu Wurzeln hat, so besitzt diese Gleichung eine Wurzel = e^, sodann 2(w — 2) Wurzeln vom Betrage sri, die übrigen Wurzelll vom Betrage rY und darunter — - — Wurzeln = rf. Wegen der Periodische Approximationen algebraischer Zahlen. 365 letzteren Wurzeln müßte sie aber alle Wurzeln jener irreduziblen Gleichung für 7^^ besitzen. Danach ist dieser Fall für n > 3 unmöglich. c) Die Zahlen «',..., a^"~^) sind sämtlich homplex, zerfallen also in ~ Paare konjugiert imaginärer Größen; w ist hier gerade. Für n = 4 liegt der oben unter 8. d) aufgeführte Fall vor. Jetzt sei n ^ 6. Bilden wir die Gleichung —^-r — - Grades, welche die Produkte aus je zwei der n Größen Q',...,%-'^"~^^ zu Wurzeln hat, so besitzt diese Gleichung mit ratio- nalen Koeffizienten eine Wurzel = a^, sodann 2(« — 2) Wurzeln Yom Betrage ET], die übrigen Wurzeln vom Betrage ify darunter — - — gleich if. Bilden ir andererseits die Gleichung -^-^ — - Grades, deren Wurzeln die wir 2 , ^^^^ ^^^ 2 Potenzen der Wurzeln dieser letzten Gleichung sind, so hat diese neue (n - 2)2 Gleichung mit rationalen Koeffizienten eine Wurzel = a~^^~^'> = t] - , so- -(n-2) (n-2)(n-4) dann 2(w — 2) Wurzeln vom Betrage (erj) =7] , die übrigen Wurzeln vom Betrage tj-^'»-^) = s^, darunter — r — gleich a^. Diese zweite Gleichung besitzt nun keine Wurzel vom Betrage ar], und wenn wir uns zuerst w > 6 denken, auch keine Wurzel vom Betrage rj^. Im Falle w > 6 könnte daher der gemeinsame Faktor der beiden eben gebildeten Gleichungen nur die eine Wurzel a^ besitzen, es müßte dann also a^ = 0^^^ rational sein; nun wäre aber a^ ebenso wie ^ eine Einheit, eine algebraische Zahl von der Norm +1, es müßte daher notwendig «* = 1 sein, was gegen die Voraussetzung £ < 1 wäre. Also ist die Annahme w > 6 hier unzulässig. Im Falle w = 6 endlich hat die zuerst erwähnte Gleichung eine Wurzel = £^, 8 Wurzeln vom Betrage ar], 6 vom Betrage rj^, die an zweiter Stelle gebildete Gleichung eine Wurzel = rj^, 8 Wurzeln vom Betrage if, 6 vom Betrage a^, darunter 2 gleich a^. Die im Bereiche der rationalen Zahlen irreduzible Gleichung mit s^ als Wurzel kann danach, da sie in diesen beiden Gleichungen als Faktor eingeht, außer a^ nur Wurzeln vom Betrage 7j^ enthalten, und sie wird wegen £^7j^ = 1 und da «^ = -9-^° jedenfalls eine Einheit vorstellt, im ganzen zwei solcher Wurzeln enthalten; diese zwei Wurzeln können dann einander weder gleich noch entgegengesetzt, also auch nicht reeU = ± ^^ sein, sie müssen komplex und zueinander konjugiert imaginär sein. Nehmen wir an, daß hier 'S-' mit d-" und -d-'" mit ■d'W kon- jugiert imaginär sind, so können wir annehmen, indem wir noch die Be- zeichnungen von d-"' und •Ö-W vertauschen dürfen, die Wurzeln jener Gleichung für a^ seien &^^, -d-'^'", 0-"-9-W 366 Zur Geometrie der Zahlen. Die Größe s^ bestimmt danacli einen kubischen Körper, dessen zwei konjugierte Körper komplex sind. Denken wir uns jetzt die im Bereiche der rationalen Zahlen irreduzible ganze Funktion F(t), welche für t = d- verschwindet, im Körper von s^ in irreduzible Faktoren zerlegt, und es sei G(t) derjenige Faktor darunter, welcher die Wurzel t = d- erhält. Da £^ reell ist, bekommt G{t) ebenfalls lauter reelle Koeffizienten und wird daher mit der Wurzel d- auch die konjugiert imaginäre Größe ö-" = .r- als Wurzel besitzen, so daß auch G^{4r) = 0 ist. Alsdann muß die Glei- chung G (— j = 0 überhaupt für jede Wurzel der im Körper von e^ irre- duziblen Gleichung G{t) = 0 bestehen. Die Größen ^, ^, ^, , ^i^^ aber besitzen sämtlich den Betrag — 4= ^ ^^^ =h ^ und sind daher nicht Wurzeln von F{t)==0, also auch nicht Wurzeln von G(t) = 0, daher kann G(t) auch keine der Größen -ö-', O-", -ö-'", -&(*) als Wurzel haben; somit können wir einfach G(t) = (t — d-)(t — ■0-°) schreiben. Danach ist d- Wurzel einer quadratischen Gleichung im Körper von e^ und besitzt der Körper sechsten Grades von #, d. i. der Körper von a, in dem Körper von «^ einen reellen Unterkörper dritten Grades, dessen zwei konjugierte Körper komplex sind. Wir kommen also auf den oben unter 8. f ) aufgezähl- ten Fall. Wir können die Bildungsweise des Körpers von a unter den hier an- genommenen Umständen noch genauer festlegen. Die zu G(t) konjugierten Funktionen in den Körpern von d-'d"'" und '9'"'9'(^) werden (t — d'')(t — d-'") und (t — ^"){i — ^^^^) sein- Da | -ö-' | = | -ö-'" | ist, wird , . .,„ rein imaginär, , „,) eine negative reelle Größe sein. Diese Größe liegt wie ^' _|_ ^"' und d-'d-'" in dem Körper von ^'d-'"- da sie nun reell ist, wird sie identisch mit ihrer konjugierten Größe in dem konjugiert imaginären Körper von &"^^^^ und muß daher rational sein und daher gleichzeitig , oj im Körper von d-9^^. Danach ist -^ entweder = ^777 oder = -^7-. Da wir die Bezeichnung der Paare &', ■9'" & •0'' und -ö""', -ö-^*) vertauschen dürfen, können wir annehmen, es sei ^=^^,] letzterer Wert ist weiter = ^. Setzen wir 0:0 == ^? ^o ^^^ ^ == aäo ^nd sind die konjugierten Zahlen dazu ö-tött/t = d, h'-Qw ^ ^ ^^^ ^^® ^^^^ hierzu reziproken Werte = -^ . Dabei hat d den Betrag 1 und ist wie & eine Einheit; danach ist entweder d = — 1, oder es ist d eine solche Einheits- Periodische Approximationen algebraischer Zahlen. 367 Wurzel, die einen Körper zweiten Grades bestimmt. Im ersteren Falle ist ö^o = — ^j ^ = -f is, ^- = (O-**)^. Im zweiten Falle kämen für d zunächst die dritten, vierten, sechsten Einheits wurzeln in Betracht. Nun folgt 1 d- = 6' £, 9^° = ^-£ und weiter unter Verwendung von £7^' = eO-'O-" = 1 die Beziehimg Xmi» 4- ^) = (^ -f ^o)(^' _^ ^"')(^" + ^4,) _ 1^ (i _^ 1^(1 + sy Danach muß noch -~- rational sein, und solches trifft nur zu, wenn d 6^ eine drifte Eiaheitswurzel vorstellt, 6^=1 ist. Dann folgt endlich 0- = + -^ , {^^ = — ÖE, 0^^ = (Q^y und -ö- + ^ = =F f , so daß der Körper Yon £• auch die Größe £ selbst enthält, und der Körper von a aus dem Körper dritten Grades von s und dem Körper zweiten Grades von ö = =^ zu- sammengesetzt ist. § 3. Die komplexen kubischen Irrationalzahlen. 11. In den Fällen, wo für die algebraische Zahl a periodische Sub- stitutionenketten möglich sind, entstellt nun die Aufgabe, eine solche Kette für a bereits herzustellen, wenn allein a seinem Werte nach gegeben ist, die konjugierten algebraischen Zahlen von a indes noch unbekannt sind. Bei den reellen algebraischen Zahlen zweiten Grades wird gerade durch die perio- dische Entwicklung in einen gewöhnlichen Kettenbruch das hier Verlangte geleistet. Wir wollen nun zeigen, daß auch noch in einem anderen Falle, nämlich, wenn es sich um eine komplexe Größe a handelt, wdcJie Wurzel einer irreduz iblen Gleichung dritten Grades sein soll, der hier gestellten Forderung entsprochen werden kann, und uir kommen dadurch zu einem völlig analogen Kriterium für die komplexen algebraiscJien ZaMeti dritten Grades, wie es durch Lagrange für die reellen algebraischen Zahlen zweiten Grades in der Periodizität der Kettenbruehenttcicklung nachgewiesen worden ist. Es sei jetzt a eine komplexe Größe, welche einer im Bereiche der rationalen Zahlen irreduziblen Gleichimg dritten Grades genügt, so ist mit a ohne weiteres auch die konjugiert imaginäre Größe a® gegeben; dagegen haben wir uns der Kenntnis der dritten reellen Wurzel a' jener Gleichung vorläufig zu entschlagen. Wir setzen I == OTi -f axg + «"rr,. Zu jeder ganzen rationalen Zahl r ^ 1 bestimmen wir eine Substitution S: 368 Zur Geometrie der Zahlen. wobei jeder der Koeffizienten s^*^ aus den Zahlen 0, +1, ±2,..., + r entnommen und die Determinante ^= 0 sein soll, derart, daß dabei in der Form in welche | durch S übergeht, zunächst | Qi \ möglichst klein, nächstdem I (»2 1 möglichst klein, endlich ; ^3 1 möglichst klein ausfällt. Bei den einzelnen Systemen Si*\ 4 , sf haben wir immer die Wahl unter Paaren entgegen- gesetzter Systeme x^^, x^, x^ und — x^, — ^2j ~ ^3> ^^^ ^"^ wollen die zu- sätzliche Annahme machen, daß in jeder Vertikalreihe Si , si , S3 von S die letzte von Null verschiedene Zahl stets > 0 ist. Alsdann ist die be- treffende Substitution S durch die Zahl r vollkommen eindeutig bestimmt. Wir können nämlich niemals für zwei Systeme x-^, x^, x^, die 4= 0, 0, 0, voneinander verschieden und auch nicht einander entgegengesetzt sind, 1 = 9, I = ö und dabei | (> 1 = | ^ | finden. Denn alsdann wäre ^ = 1 und würde die Betrachtung der Norm von — in bezug auf den Körper von a dazu führen, daß die zu — konjugierte Zahl im Körper von a rational wäre. Dann aber wäre auch — selbst rational, also notwendig = ± 1, und müßten die vorausgesetzten zwei Systeme x^,x^,x^ eben entweder gleich oder entgegengesetzt sein. Die in dieser Weise durch r völlig be- stimmte Substitution S entspricht, wie bereits in 1. erwähnt wurde, den dort aufgezählten Umständen; wir wollen von dieser Substitution S sagen, sie gehöre zur Zahl r. Wir setzen jetzt r^ == 1 und ermitteln die zu r^ gehörende Substitu- tion /Sj, die Substitution kann auch noch zu r = 2, 3, . . . gehören, es sei r^ — 1 die größte ganze Zahl, zu der sie gehört; sodann sei 8^ die zu ^2 gehörende Substitution, r^ — 1 die größte ganze Zahl, zu der S^ gehört; /S3 die zu r^ gehörende Substitution usf. Alsdann gilt der folgende Satz: Die in dieser Art hergestellte SubstitutionetiJcette S^, S^y S^, . . . für die komplexe kubische Irrationalzahl a ist stets periodisch. 12. In der Tat, im Körper von a können wir stets eine Einheit -O-q angeben, deren Betrag < 1 ist, und noch so, daß ^q > 0 ist; alsdann können wir, wie aus den Betrachtungen in 6. hervorgeht, eine solche Potenz dieser Einheit '&•/= O'(/">0) ermitteln, daß die lineare Substi- tution P, durch welche die Formen |, 1**, |' in Q-i,, ^^^^, ^'^ übergehen, lauter ganzzahlige Koeffizienten hat; dabei ist %'d^^' >0 und die Deter- minante von P gleich 1. Wir schreiben nun die Auflösung von I = iCj^ -f- ax^ -f- a^x^, ^^ = x^-\- a^x^ + (oc^Yx^, |' = a;^ + ax^ -f cc^x^ Periodische Approximationen algebraischer Zahlen. 369 in der Form ,^. ß^i + ß^«;^ + ß'i' (Ä-1,2,3); dabei sind ß^, ß,^, ß^' jedesmal konjugierte Zahlen in den Körpern von a, a^, a. Es sei ietzt S: Xn = 5,Wt/, + s.^'hj, + 5,(^)^3 (Ä = 1, 2, 3) eine Substitution der oben gebildeten Kette und r die niedrigste Zahl, zu der diese Substitution S gehört, also r der größte Wert unter den Be- trägen der 9 Koeffizienten 5^'% und es gehe | durch S in über, so tolgt Wi + s»'"y» + ««<"ä = ßnv + ß^'v" + ßiv' und daraus ^^,., _ ^^^^ ^ ^„^, ^ ^.^. ,,^^ ^ ^ j^ 2, 3)- Nach der in 1. erwähnten Eigenschaft c) können wir eine, von a allein abhängende, von r aber völlig unabhängige positive Konstante M angeben, J_ i_ Jl so daß i()i|»"^, (>2 ***> \Qz *"* bei jedem Werte von r stets :' + »'ß^Q,' Qi, Ä - 1, 2, 3). Alsdann haben wir t Setzen wir d- =s, wobei d-' = €~^ wird, und bezeichnen wir noch den ; größten Wert unter den Beträgen |*-| für h= 1, 2, 3 mit y, so geht I hieraus auf Grund der erwähnten Ungleichungen, wofern 2yNr ' < 1 ist, '^einerseits J*^ ^ *'i^l£!^L^ > ^. (1 _ 2(.»+ 1),^,-t), Miakowaki QesammeUe Abhandlongeu. I 24 370 Zur Geometrie der Zahlen, andererseits 3 3. J^ < ^' i+l£!zü^!Ll < y (l + 2(.= + l),i^r-^) hervor. Wir nehmen nunmehr die Zahl r überhaupt so groß an, daß die stärkere Bedingung ^ (I) 2d-'{s^i-l)yNr"^'9^V — r-; es wird danach der größte unter diesen Beträgen der 9 Koeffizienten ^^W gleich der an d-'r nächstgelegenen ganzen Zahl sein, die wir mit r bezeichnen woUen. Femer finden wir alle Zahlen S;W^=0 und die Quotienten -^>0, und wird daher gewiß in T in jedem Systeme ^^W, ^g^*^? ^3^*^ die letzte von Null verschiedene Zahl, nämlich ^g(*) > 0 sein, wie wir das entsprechende für S voraussetzen. 13. Aus den nämlichen Relationen, die wir soeben behandelten, er- sehen wir andererseits die folgende Tatsache: Es sei T eine Substitution der in 11. für die Zahl a gebildeten Kette, f die kleinste Zahl, zu der T gehört, und r > -9-'. Bilden wir die Substitution S = P~^T, so bestehen zwischen je zwei entsprechenden Koeffizienten ^^W von jT und s^(*^ von S, _ 3 sowie nur f der Ungleichung 2yNr ^ < 1 genügt, stets die Beziehungen i. (1 + 2 (i + l)rNr-^) >^> i (1 - 2 (1+ l)ym-^) . Setzen wir nun für r die stärkere Ungleichung (II) |,-(i + i)yjff-^ 0. Wäre nun die zur Zahl f gehörende Substitution der Kette, T*, von T ver- Periodische Approximationen algebraischer Zahlen. 371 scliieden und würde durch sie | in ^iQfyi + Qfy^ + Qfys) übergehen, so müßte dabei entweder |()^l<|(>ii oder |9*| = |()J, 1^*1 S in Qfyi+Q'pJi+Qfy^ übergehen, wobei die soeben erwähnten Bedingungen statthätten. Danach könnte S nicht die zur Zahl r gehörende Substitution der Kette sein. Ist andererseits T eine solche Substitution jener Kette, die zu einer Zahl f > O-' als niedrigster Zahl gehört, und erfüllt sowohl f die Be- dingung (II) wie die an d-'~^f nächstgelegene ganze Zahl r die Be- dingung (I), so erkennen wir ganz analog, daß auch 5 = P~^T jedesmal eine Substitution der Kette ist und zu r als niedrigster Zahl gehört. 15. Wir wählen jetzt in der Reihe r^, rg, rg, . . . die Größe Vj^ derart aus, daß die Ungleichung (I) mit r = r^^ und die Ungleichung (II) mit f = d-'r. ^ erfüllt ist. Alsdann kommt mit der Substitution S,- in der Kette an irgendeiner späteren Stelle die Substitution PSj^ vor, sie sei etwa = Sj^^p] dabei wird rj^_^_p die an ^'Vj^ nächstgelegene ganze Zahl. Jetzt gilt (I) auch für jede Größe r = r^., wobei j > jj, ist, und (11) auch für jede Größe r = ry^^, wobei i>Jo ist. Mit jeder Substitution Sj (j'>Jo) wird daher auch die Substitution PSj der Kette angehören und zwar als ein um so späteres Glied, je größer j ist, und andererseits wird mit jeder Substitution >S^^+p(j>Jo) ^^^h P-'^S^,^^ der Kette angehören, und zwar als ein um so späteres Glied, je größer j ist. Daraus folgt dann, daß die Substitutionen PS^^, PS^^_^^, PSj^j^^, . . . sämtlich in der Kette auftreten, und zwar jede Substitution später als die hier vorher genannte, daß aber andererseits in der Kette keine Substitution zivisclien diesen einzelnen Sub- stitutionen vorkommen, daß mithin allgemein PSj = Sj^p für j =Jq, Jq-\- 1, Jq-\- 2, ... ist. Aus diesen Beziehungen entnehmen wir j j+^ j+p j+p-^i für j ^Jq, d. h. die Kette Si, S^, S^, ... ist in der Tat periodisch, w. z. z. w. Es kann bewiesen werden, daß für eine jede Substitution S der Kette die Däerminante nur die Werte ± 1 oder ± 2 haben kann, und auf Grund dieser Tatsache läßt sich ein einfadier Algorithmus zur sukzessiven Bildung der Substitutiotien der Kette aufstellen, wie ich an einer anderen Stelle auseinandersetzen werde. Zürich, 1902. 24* Druck von B. G. Tenbner in Leipzig. d ^^^ -;^^^Tw-/Ä^-4/=^^' NACH EINER AUFNAHME AUS DER ZEIT DER PARISER PREISARBEIT GESAliDlELTE ABHANDLUNGEN VON HERMANN MINKOWSKI UNTEB MITWIRKUNG VON ANDREAS SPEISER und HERMANN WEYI. HEBAUSGEGEBEX TOX DAVID HILBERT ZWEITER BAND MIT EINEM BILDNIS HERMANN MINKOWSKIS 34 FIGUREN IM TEXT UND EINER DOPPELTÄFEL LEIPZIG UND BERLIN DRÜCK UND VERLAG VON B.G.TEUBNEß 1911 COPYKIGHT 1911 BT B G. TEOBNER IN LEIPZIG. AliLE RECHTE, BINSCHLIESSIilCH DES ÜBERSETZUNGSBECHTS, VORBEHALTEN. t; I INHALT DES ZWEITEN BANDES. Zur Geometrie der Zahlen (Fortsetzung). g^j^^ XIX. Dichteste gitterförmige Lagerung kongruenter Körper. ... 3 (Nachrichten der K. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, mathematisch-physikalische Klasse, 1904, S. 311 — 355.) XX. Zur Geometrie der Zahlen 43 (Verhandlungen des Id. Internationalen Mathematiker-Kongresses, Heidelberg 1904, S. 164—173.) XXI. Diskontinuitätsbereich für arithmetische Äquivalenz .... 53 (Grelles Journal für die reine und angewandte Mathematik, Bd. 129, S. 220—274; 1905.) Zur Geonietrie. XXn. Allgemeine Lehrsätze über die konvexen Polyeder 103 (Nachrichten der K. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, mathematisch-physikalische Klasse, 1897, S. 198—219.) XXin. über die Begriffe Länge, Oberfläche und Volumen 122 (Jahresbericht der Deutschen Mathematiker- Vereinigung, Bd. 9, S. 115 —121; 1901.) XXIV. Über die geschlossenen konvexen Flächen 128 (In französischer Sprache unter dem Titel: „Sur les surfaces con- vexes fermees" in den Comptes rendus de TAcademie des Sciences, Paris, t. 132, pp. 21—24; 1901.) XXV. Theorie der konvexen Körper, insbesondere Begründung ihres Oberflächenbegriffs 131 (Bisher unveröffentlicht.) XXVI. Volumen und Oberfläche 230 (Mathematische Annalen, Bd. 57, S. 447—495; 1903.) XXVn. Über die Körper konstanter Breite 277 (In russischer Sprache erschienen in: Mathematische Sammlung (Matematiceskij Sbomik), Moskau, Bd. 25, S. 505—508; 1904—1906.) Zur Physik. XXVill. über die Bewegung eines festen Körpers in einer Flüssigkeit 283 (Sitzungsberichte der K. Preußischen Akademie der Wissenschaften Izu Berlin, Bd. XL, S. 1095—1110; 1888.;. XXIX. Kapillarität 298 (Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften, V 1, Heft 4, S. 558— 61 3.^ rV Inhalt des zweiten Bandes. Seite XXX. Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vor- gänge in bewegten Körpern 352 (Nachrichten der K. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, mathematisch-physikalische Klasse, 1908, S. 53 — 111.) XXXI. Eine Ableitung der Grundgleichungen für die elektromagne- tischen Vorgänge in bewegten Körpern vom Standpunkte der Elektronentheorie 405 (Aus dem Nachlaß von Hermann Minkowski bearbeitet von Max Born. Mathematische Annalen, Bd. 68, S. 526—551; 1910.) XXXII. Raum und Zeit 431 (Physikalische Zeitschrift, 10. Jahrgang, S. 104—111, 1909 und Jahres- bericht der Deutschen Mathematiker -Vereinigung, Bd. 18, S. 76 — 88, 1909 : Sonderabdruck bei B. G. Teubner, Leipzig 1909.) Bede auf Dirichlet. XXXHI. Peter Gustav Lejeune Dirichlet und seine Bedeutung für die heutige Mathematik 447 (Jahresbericht der Deutschen Mathematiker -Vereinigung , Bd. 14, S. 149—163; 1905.) Sachregister 462 Berichtigungen 466 ZUR GEOMETRIE DER ZAHLEN FORTSETZUNG XIX. Dichteste gitterförmige Lagerung kongruenter Körper. (Nackrichten der K. Gesellscliaffc der Wissenschaften zu Göttingen. Mathematiscli-physikalisclie Klasse. 1904. S. 311 — 355.) (Vorgelegt in der Sitzung TOm 25. Juni 1904.) Wir beschäftigen uns hier mit folgendem Probleme: Gegeben ist ein beliebiger Grundkörper K. Lauter mit K kongruente und parallel orien- tierte Körper in unendlicher Anzahl sollen im Baume in gitterförmiger An- ordnung derart gelagert tverden, daß keine zwei der Körper ineinander ein- dringen und daß dabei der von den Körpern erfüllte Teil des Baumes gegenüber dem von ihnen freigelassenen möglichst groß ist. Unter einer gitter förmigen Anordnung der Körper verstehen wir, daß entsprechende Punkte in ihnen ein parallelepipedisches Punktsystem (Gitter) bilden. Wir beschränken die Untersuchung auf konvexe Körper. Die Lösung dieses Problems gestattet interessante Anwendungen in der Zahlenlehre und ist auch für die Theorie von der Struktur der Kristalle von Bedeutung*). Aus der Kenntnis der dichtesten Lagerung von Kugeln folgen (§ 7) fast unmittelbar aUe Tatsachen der Gauß-Dirichletschen Theorie der ParaUelgitter (d. s. die Sätze über die arithmetische Reduktion der positiven temären quadratischen Formen). Die dichteste Lagerung von Oktaedern (§ 9) gibt Aufschlüsse über die simultane Approximation zweier Größen durch rationale Zahlen mit gleichem Nenner. Die hier ab- geleiteten allgemeinen Theoreme über gewisse Ungleichungen (§ 5) end- lich bilden in ihrer Anwendung auf Parallelepipede und Oktaeder, bzw. auf Kreiszylinder und Doppelkegel die Grundlage für die zweckmäßigsten Algorithmen zur Ermittlung der Fundamentaleinheiten in den kubischen Zahlkörpem von positiver bzw. negativer Diskriminante. •) Vgl. in letzterer Hinsicht: Lord Kelvin, Baltimore lecturee on molecular dynamicB, London 1904, S. 618 flF. j(A,/i,i/ + 0,0,0; ^>0), 4 Zur Geometrie der Zahlen. § 1. Analytische Formulierung des Problems und Reduktion auf den Fall you Körpern mit Mittelpunkt. 1. Es sei K ein beliebiger konvexer Körper. Wir führen recht- winklige Koordinaten |, ri, g mit einem Punkte 0 als Anfangspunkt ein, den wir uns im Inneren von K denken. Es sei J das Volumen von K. Sind X, |tt, V irgendwelche Werte, so werde der größte Wert des linearen Ausdrucks A| -f ,a^ -f v^ für die Punkte h„ -q, i, ivo. ganzen Bereiche von K mit H{1, n, v) bezeichnet. Diese Funktion H definiert den Körper K vollständig, sie heißt die StützebenenfunMion von K. Sie genügt den Be- dingungen £r(0,0,0) = 0, E{X,ii,v)>0] Hill, tfi, tv) = tH{X, II, v) H{?.i + A2, fii + ti2, n + v^) £ H{1^, 11^, Vi) + H{X^, /Ig, 1/2), und jede Funktion H{X, (i, v), die diesen Bedingungen genügt, ist die Stützebenenfunktion eines konvexen Körpers mit 0 im Inneren*). 2. Bedeutet P einen Punkt ^, ri, t,, so bezeichnen wir den Punkt — I, — ri, — l als GegenpunM von P und mit P'. Die Gegenpunkte zu den sämtlichen Punkten von K bilden den kon- vexen Körper K' mit der Stützebenenfunktion H'{X, II, v) = H{— X,-ii,—v), das Spiegelbild K in bezug auf den Punkt 0. Die Funktion Y(£rU, /i, v) + J3"(—A, —/t, —v)) bildet alsdann die Stützebenenfunktion für einen gewissen konvexen Körper, den wir mit — {K-\-K') bezeichnen und der in 0 einen Mittelpunkt hat. Dieser Körper ist der Bereich aller solchen Punkte, welche irgendwie als Mitte einer Verbindungsstrecke eines Punktes von K mit einem Punkte von K' auftreten. Ist z. B. K ein Tetraeder, so wird -^ {K -f- iT') ein Oktaeder mit Flächen parallel den Flächen des Tetraeders. Das Volumen von — (£"+ j?') ist stets größer als das Volumen von K, wenn K ein Körper ohne Mittelpunkt ist (1. c. § 7). Hat K selbst einen Mittelpunkt, so entsteht K' und weiter y(-^ + -S^') durch bloße Trans- lation aus K. 3. Es sei (1) ^^a^x + cc^y + asS, n ^ ßi^ + ß^V -^ ßz^ ^ t == n^ + y^y + y^z *) Mathematische Annalen, Bd. 57, S. 447. Diese Ges. Abhandlungen, Bd. II, S. 230. Dichteste gitterfonnige Lagerung kongruenter Körper. 5 eine beliebige lineare Substitution mit einer von Null verscbiedenen Detei> minante, deren Betrag A heiße. Wir betrachten das Zahlengitter in x, y, Zj d. i. das parallelepi^tedische System (ß) aller derjenigen Punkte G, für welche die Bestimmungsstücke x, y, z sämtlich ganze Zahlen sind. Den Bereich 0{n,tri,tt) = t(0, 0, 0) = 0 festsetzen. 6 Zur Geometrie der Zahlen. Daß ^ ein konvexer Körper ist, findet in der allgemeinen Funktioual- ungleichung (2) ^\ (^,1/,;. + 0,0,0) 'bestehen. 5. Im unendlichen Räume ist nunmehr einem jeden Gritterpunkt G einerseits genau ein Volumen = A und andererseits ein mit K kongruenter Körper vom Volumen J zugeordnet, also muß jedenfalls (4) J^ A sein, und wir werden sagen können, der von den Körpern Kq erfüllte Raum verhält sich zu dem ganzen unendlichen Räume wie J \ A. Wir bemerken insbesondere, daß die Körper Kg den Raum lückenlos erfüllen, wenn «7= A ist. Da nun das Volumen J^* von ^{K-\-K'^ eben- falls noch < A, aber, wenn K keinen Mittelpunkt hat, > J ist, so schließen wir, daß eine lückenlose Überdeckung des Raumes durch die Körper Kg notwendig das Vorhandensein eines Mittelpunktes in K verlangt. Die Aufgabe, die wir uns zu stellen haben, ist nun, die Koeffizienten tt^, ...,73 der Substitution (1) derart zu wählen, daß, tvährend die sämt- lichen Ungleichungen (3) erfüllt sind, dabei der Betrag der Determinante A möglichst Mein ausfalle. § 2. Hilfssatz über ganzzahlige Substitutionen. 6. Es seien Sl, 95, ß irgend drei von 0 verschiedene Punkte des Gitters in x, y, z, welche in drei unabhängigen, d. h. nicht in eine Ebene fallenden Richtungen von 0 aus liegen, so entsteht die Frage, wie man von den vier Punkten 0, %, 93, 6 aus dieses ganze Gitter (@) aufbauen kann. Zu jedem Punkte JP{x, y, z) im Räume gehören bestimmte Werte j, t), l, so daß der Vektor OP mit den Vektoren 0%, 093, Oß durch eine Relation op = j.o5r + ^-o93 + ä-oe Dichteste gitterformige Lagerung kongruenter Körper. 7 verbunden ist, und sind danach x, y, z gewisse lineare Formen in j, t), j mit ganzzahligen Koeffizienten. Den Bereicli 0<£<1, 0^9<1, 0<3<1 bezeichnen wir kurz als das Parallelepiped 0(5133(5) und die Bestimmungs- stücke J, 9, S nennen wir die zu diesem Parallelepiped gehörigen Ko- ordinaten. Das Gitter (ß) besitzt diese Grundeigenschaft: Sind Gq, G^, G^ irgend drei Punkte des Gitters, so gehört derjenige Punkt G^, für den Vektor G^ ög == Gq G^ ist, stets ebenfalls zum Gitter. Auf Grund dieses parallelo- grammatischen Charakters des Gitters können wir durch die folgenden Forderungen drei gewisse Gitterpunkte A, B, C völlig eindeutig fixieren (Fig. 1): 1) es soll Ä von 0 verschieden sein und auf der Strecke 0% möglichst nahe an 0 liegen; 2) es son B in der Ebene 05133 außer- halb der Geraden 0% auf derselben Seite von ihr wie ^ zunächst möglichst nahe an dieser Geraden und nächstdem derart liegen, daß von 0 nach einem Punkte des Strahles 093 ein Vektor OB + XOA hinführt, wobei 0 < X < 1 ist; 3) es soll C außerhalb der Ebene 05193 nach derselben Seite hin wie ß zunächst möglichst nahe an dieser Ebene und nächstdem so liegen, daß von 0 nach einem Punkte des Strahles Oß ein Vektor OC + XOA + YOB hinführt, wobei 00, h,>0, C3>0; 0<|^, ^, 1^<1 "s Cj Cj genügen. Die Einführung der Variablen X, Y, Z anstatt x, y, z nennen wir die BeduJction des Zahlengitters (®) in bezug auf das ParaUelepiped 0(5(93S) und ferner bezeichnen wir 0{ÄBG) als reduziertes Grundparallelepiped. § 3. Zusammenrücken einer gitterförmigen Lagerung in drei Richtungen. 8. Wir denken uns die 9 Koeffizienten %, ..., ^3 in (1), welche ein Gitter (&) in bezug auf den Körper K orientieren, als stetig veränder- liche Größen, während alle Ungleichungen (3) bestehen sollen, also kein Gitterpunkt außer 0 ins Innere des Bereichs ^ — K -\- K' falle. Nach (4) muß dabei stets A ^ J bleiben. Wir wollen nun zunächst zeigen: Ein Minimum von A kann jedenfalls nur eintreten, während irgend drei Gitterpunkte in drei unabhängigen Bichtungen von 0 aus auf die Be- grenzung von Ä zu liegen kommen. In der Tat, nehmen wir an, auf der Begrenzung % von ^ liegen entweder a) gar keine Gitterpunkte oder b) nur ein Paar Gitterpunkte an den Enden eines Durchmessers durch 0 oder c) mehrere Paare von Gitter- punkten, aber nur in einer einzigen Ebene durch 0. Wir wählen dann drei Gitterpunkte S(, SS, ß aus, die nicht mit 0 in einer Ebene liegen, entweder im Falle a) beliebig oder im Falle b) so, daß % auf % liegt, oder im Falle c) so, daß % und 33 auf % liegen. Wir führen nunmehr nach der in § 2 dargelegten Methode die Reduktion des Gitters (@) in bezug auf das ParaUelepiped 0(5tS3ß) aus, und es sei 0{ABC) das neu einzuführende reduzierte Grundparallelepiped. Wir variieren die Substitution (1) in der Weise, daß wir A und B festhalten, dagegen G geradlinig auf den Punkt 0 zurücken lassen. Dabei verringert sich der Wert von A, des Volumens des Grundparallelepiped, während die auf % bereits vorhandenen Gitterpunkte vöUig unberührt bleiben. Mit Rücksicht auf die Bedingung A^J wird die Variation Dichteste gitterfonnige Lagerung kongruenter Körper. 9 scMießlich auf einen Zustand auslaufen müssen, wobei irgendein weiterer Gitterpunkt außerhalb der Ebene OAB auf '^ auftritt. Da dieses Yerfakren sich bei den dreierlei Umständen a), b), c) aus- führen läßt, so können wir in der Tat das Gitter (@) unter Erhaltung der Relationen (3) und kontinuierlicher Verringerung von A so lange variieren, bis wir auf ^ drei Gitterpunkte St, 33, S in drei unabhängigen Richtungen von 0 aus vorfinden. 9. Mit 51, 35, ß zugleich liegen auch deren Gegenpunkte W, 23', (5' auf §, und mit diesen sechs Punkten enthält ^ als konvexer Körper den ganzen Bereich des Oktaeders 2t 23 SSI' 23' S', welches diese sechs Punkte als Ecken hat. Wir wollen dieses Oktaeder kurz das durch 21, S, ß be- stimmte OJctaeder nennen und mit Okt(2I23ß) bezeichnen. Enthält dieses Oktaeder außer 0 und den Ecken noch ircjendeinen weiteren Gitterpunkt G, so gehört dieser auch zu ^ und befindet sich daher notwendig ebenfalls auf der Fläche ^. Es liege G etwa außerhalb der Ebene 03(S, so wird das Okt(2t23G) von kleinerem Volumen als das Okt (2123(5) sein. Daraus entnehmen wir das Resultat: Werden unter allen auf der Begrenzung von Ä irgend vorhandenen GitterpunMen drei nicht mit 0 in einer Ebene gelegene Punlde 2t, 23, ® derart ausgeivähU, daß das Okt(2t23S) ein möglichst Meines Volumen hat, so enthält dieses OMaeder gewiß heineti Giüerpmikt außer den Ecken und dem MittdpunTd. § 4:. Gitteroktaeder. 10. Ein Oktaeder 2t23e2t'S'e' mit 0 als Mittelpunkt, dessen sechs Ecken Gitterpunkte sind, (die nicht in eine Ebene fallen), und welches außer 0 und den Ecken keinen Gitterpunkt enthält, soll ein Gitter oldaeder heißen. Wir fragen jetzt, wie können wir von einem solchen Oktaeder aus das ganze gegebene Gitter (@) herstellen. Zu jedem Punkte P(x,y,z) gehören bestimmte Größen J, t), §, mit denen OP = E • 02t + t) • 023 -f ä • 0© gilt. Der Bereich des Okt(2t23S) ist dann durch (5) 1eH-I9I + IsI0; &,>0, 0^|^<1; C3>0, 0<^, |<1 herausstellen, während das vorgelegte Gitter (®) sieh genau mit den sämtlichen ganzzahligen Systemen X, Y, Z deckt. Für 3t, 93, 6 haben wir bzw. X, r, ^=«1,0, 0; a2,&2,0; «3>*^3><^3- Da innerhalb der Strecke 0% im Gitteroktaeder kein Gitterpunkt liegt, so finden wir zunächst A = %, a^=\. Sodann lautet die Ungleichung (5) für 5 = 0, also in der Ebene 05193: 0, + <1 Wenn nun })^^\, also ^2 wäre, so könnten wir Y=\, und, da 0 < «2 < &2 ist, die Größe X = 0 bzw. = 1 derart annehmen, daß X — -^ ^ "5" ist: dann würde die Ungleichung hier erfüllt sein, und lätten wir damit in der Ebene 05193 einen von 0,51, 51', 93, 93' ver- schiedenen und dem Oktaeder angehörigen Gitterpunkt gefunden, was der Natur eines Gitteroktaeders widerspricht. Also muß \=^\y ag = 0 sein, und wir finden demnach 5 = 93 . Die Ungleichung (5) lautet nunmehr (7) X ■^ + Y-^Z + <1. Wir unterscheiden mehrere Fälle. Ist C3>1 und ungerade = 2df-l-l, so setzen wir Z =1 und können X = 0 bzw. 1 und Y =0 bzw. 1 so annehmen, daß X Summe links in der Ungl < < ist. Dann wird die eichung (7) d = 2d + l ^ 2^4-1 ^ 2d + l ' wir hätten also einen von 0 und den Ecken verschiedenen Gitterpunkt im Okt(5[93®) gefunden, was nach Voraussetzung nicht sein darf. Ist C3> 1 und gerade = 2d, so können wir analog Z ^1 und X = 0 X < 2 ' r-^ <- bzw. 1, !F = 0 bzw. 1 derart wählen, daß ist. Dabei wird, wofern nicht in diesen beiden Ungleichungen zugleich das Gleichheitszeichen gilt, die Summe links in (7): ^ 2d ~ ausfallen, und wäre Okt (51956) wieder nicht ein Gitteroktaeder. In dem eben erwähnten besonderen Falle aber hätten wir a^ = d, h^ = d, c^ = 2d Dichteste gitterfonnige Lagerung kongruenter Körper. H und, wenn c? > 1 wäre, würde der Gitterpunkt X, Y, Z = 1, 1, 2 innerhalb der Strecke 0©, also im Inneren des Okt(5t^(5) liegen. Danach erkennen wir, daß für Og, 63, c^ allein die beiden Wertsysteme 0, 0, 1 oder 1, 1, 2 in Frage kommen. In dem ersteren Falle werden die Gleichungen (6) Z = E, Y=\), Z=i und ist das ursprüngliche Zahlengitter (@) in rr, y, z völlig identisch mit dem Zahlengitter in J, t), 5. In diesem Falle bezeichnen wir das Okt(2{SS) als GitteroMaeder erster Art. Im zweiten Falle haben wir Ganzzahlige Werte X, Y, Z entstehen einmal, wenn £, ^, 5 ganze Zahlen J_ Y sind, und femer, wenn j —, t) — —, 5 — ganze Zahlen sind. Ins- besondere ist der Punkt C*: E— 2> 9—2' ä~2' d. i. der Mittelpunkt des Parallelepipeds 0(2{S3S), ein Punkt des Gitters in X, y, z. Das ganze ursprüngliche Gitter (@) besteht hier einmal aus dem Gitter in J, t), 5 und sodann aus den Punkten, die wir aus dem letzteren Gitter durch die Translation von 0 nach C* ableiten. In diesem FaUe bezeichnen wir das Okt (3(23(5) als Gitteroktaeder siveiter Art. Das Volumen des Parallelepipeds 0{ABC) ist hier die Hälfte des Volumens von 0 (2t 23 6). 11. Wir können nunmehr folgenden Satz zur Charakterisierung der Gitteroktaeder aussprechen: Sind Xy,y^,z^'., x^,y^,z.^\^ ^3> ^/sj % die Koordinaten von drei Gitter- punJiten 2(, $8, ß, so ist das Oktaeder mit den Ecken 2{, 93, S, %', 93', ©' ein Gitteroktaeder erster Art, wenn die Determinante aus jenen Koordinaten + 1 ist, und ein Gitteroktaeder ziceiter Art, wenn jene Determinante ± 2 ist und zudem yC^i + ^a+^s), Y (2/1 +2/2+^3), -ji^ + ^i + ^z) gleich ganzen Zahlen sind. 12, Wir fügen noch folgende Bemerkung hinzu. Die linke Seite in (7) wird, wenn wir uns 0 ^ ag ^ 63 <; C3 und c^^2 denken, sogar < 1 durch wenigstens eines der Systeme X, T, Z= 0, 0, 1; 0, 1, 1; 1, 1, 1, es sei denn, daß c^^2d-{-l und dazu a^,})^=-d,d\ d,d-{-l; d + \, d -\- \ oder c^ = 2d und dazu a^, b^ == d — 1, d] d, d -^ 1 bzw. = d, d ist. In den letzteren Fällen hat die linke Seite von (7) für das System 12 Zur Geometrie der Zahlen. X,r,Z= 1,1,2 den Wert ^^«^ für C3 > 3) oder g^ (< 1 für Cg > 4) bzw. 2^ (< 1 für Cg > 2) . Wir finden danach unter den eben genannten vier Systemen X, Y, Z immer wenigstens ein solches, wofür die linke Seite von (7) sich < 1 erweist, außer wenn «3, &3; ^3 = 0, 1, 2; 1, 1, 2; 1, 2, 2; 1, 1, 3; 1, 2, 3; 2, 2, 3; 1, 2, 4; 2, 3, 4 ist. § 5. Reduktion der unendlich vielen Ungleichungen des Problems auf eine endliche Anzahl. 13. Wir nehmen wieder an, daß kein Gitterpunkt außer 0 im Inneren von ^ liegt, daß aber auf der Begrenzung % von ^ drei Gitterpunkte Ä, B, C — wir ändern damit etwas die Bezeichnung — vorhanden sind, die ein Gitteroktaeder erster oder zweiter Art bestimmen. Wir führen die Koordinaten X,Y,Z zum ParaUelepiped 0(ÄBC) ein und setzen die in 4. für ^ definierte Funktion Die dort angegebenen Funktionalbedingungen gehen dann in F(tX,tY,tZ) = tF(X,Y,Z), t>0, (8) F{x,, r„ z,) + Fix,, r„ z,) ^ f{x, + x„ y, + r„ z, + z,), (9) F{-X,-Y,-Z)==F(X,Y,Z) über. Indem die Punkte Ä, B, G auf % liegen, haben wir (10) F(1,0,0) = 1, i^(0,l,0) = l, i^(0,0,l) = l. Weiter soU nun auf Grund unserer Voraussetzung die Ungleichung (I) F(X,Y,Z)^1 (X,r,Z+ 0,0,0) für jedes von 0, 0, 0 verschiedene ganzzahlige Wertsystem X, Y, Z gelten, und soU überdies, falls Okt {ABC) ein Gitteroktaeder zweiter Art vor- stellt, die Ungleichung (II) F(x + 4,r+|,z + |)^i für jedes beliebige ganzzahlige System X, Y, Z (das System 0, 0, 0 hier inbegriffen), gelten. 14. Wir wollen jetzt zeigen, daß infolge des Bestehens der drei Gleichungen (10) von allen diesen Ungleichungen gewisse in endlicher Anzahl vorhandene das Bestehen aUer übrigen nach sich ziehen. In der Tat, greifen wir von den Ungleichungen (I) zunächst diejenigen besonderen heraus, in denen die Zahlen X, Y, Z nur Werte 0 oder ± 1 haben, das sind die folgenden: Dichteste gitterformige Lagerang kongruenter Körper. 13 (11) i^(±l,± 1,0)^1, i^(± 1,0, ±1)^1, i^(0,±l,±l)^l, (12) F(± 1, ± 1, ± 1) ^ 1 für alle mögliclien Werte der einzelnen Vorzeichen + 1. Sollte nun, während alle Bedingungen (10), (11), (12) bereits statthaben, irgendeine der Ungleichungen (I) nicht gelten, so sei G (X_, Y, Z = a, h, c) ein Gitterpunkt, für den F{a,h,c)l, i?'(+2,±l,±l)>l hinzuzunehmen sind, um die Gesamtheit der Ungleichungen (I) sicher- zustellen. Wir haben damit den Satz gewonnen: Ist 0\i{ABC) ein Gitteroktaeder erster Art, so hohen die Bedingungen (10), (11), (12), (13) die Gesamtheit der unendlich vielen Ungleichungen (I) 0ur Folge. Ist das Okt(^.BC) ein GitteroJctaeder zweiter Art, so haben wir unter den Ungleichungen (11), indem wir X, Y, Z die Werte 0 und — 1 bei- legen, insbesondere die Ungleichungen: (14) J'(+y,±i,±|)>l. Wir werden nun zeigen: Ist Okt {ABC) ein GitteroJctaeder ziceiter Art, so reicJwn die Gleichungen (10) und die Ungleichungen (14) hereits aus, um die Gesamtheit der un- endlich vielen Ungleichungen (I) und (II) nach sich zu ziehen. Zunächst folgen aus (14) alle Ungleichungen (I), nämlich speziell die Ungleichungen (11), (12), (13). Denn wir schließen aus (14) mit Rück- sicht auf (8): i^(l,l,l)>2, F{\, 1, 0) -f F{0, 0, 1) > F{\, 1, 1) ^ 2, F{\, 1, 0) > 1, F{1, 1, 2) + F{0, 0, - 1) > F{1, 1, 1), F{\, 1, 2) > 1, 14 Zur Geometrie der Zahlen. und ähnlich bei Änderung der Vorzeichen der einzelnen Variablen und bei den Permutationen ihrer Reihenfolge. Was sodann die Ungleichungen (II) anbelangt, so nehmen wir an, es seien die Ungleichungen (14) erfüUt, es bestünde aber noch für einen Gitterpunkt G(X, Y, Z = a -\- -^, & + y, ^ "i" '2 )' ^^^^^ ^> ^1 ^ ganze Zahlen sind, die Ungleichung W2a+1 26 + 1 2c + l\ . -^V 2 ' 2 ' 2 /'^■^' wir können ohne wesentliche Beschränkung uns etwa ^^2a+l ^ 26 + 1 ^ 2c + l = 2 = 2 = 2 und 2c + 1 > 3 denken. Nun enthält das Okt {ÄBG), d. i. der Bereich 2Z V 2a+l „I ^"2^+1^1 + 26 + 1 yr 2H^ + 2C+1 <1 den Punkt X==y, Y=Y>'^=Yi ^^^ii^ für diesen Punkt wird die hier links stehende Summe (c-a) + (c-6) + l^, 2c+l = ' also müßte auch Fl^ > ~^ ; "s-j < 1 sein im Widerspruch mit einer der Un- gleichungen (14). Die Ungleichungen (14) haben demnach in der Tat mit Rücksicht auf die drei Gleichungen (10) aUe Ungleichungen (I) und (II) zur Folge. 15. Nach der Bemerkung in 12. finden wir, wenn für ein ganzzahliges System 6r(a, h, c) die Umstände 0 < a < & < c und c > 2 statthaben und a, b, c nicht gerade mit einem der Systeme 0, 1, 2; 1, 1, 2; 1, 2, 2; 1, 1, 3; 1, 2, 3; 2, 2, 3; 1, 2, 4; 2, 3, 4 übereinstimmt, wenigstens einen von den Gitterpunkten 0,0, 1; 0, 1, 1; 1, 1, 1; 1, 1, 2 sogar im Inneren des Okt (AJBG) gelegen und kann daher G auch nicht auf der Begrenzung von ^ liegen, sondern muß dafür notwendig F{a, &, c) > 1 ausfallen. § 6. Die benachlbarten Körper in einer dichtesten Lagerung. 16. Nach den letzten Ausführungen ist klar, daß bei kontinuierlicher Variation der Koeffizienten a^, a^, . . .,Yi ^^ (1) d. h. des Gitters (®) keine einzige der Ungleichungen (I) bzw. der Ungleichungen (I) und (II) ver- letzt wird, so lange nur die drei Gleichungen (10) und die in endlicher Anzahl vorhandenen Ungleichungen (11), (12), (13) bzw. (14) in Kraft Dichteste gitterfÖrmige Lagerung kongruenter Körper. 15 bleiben. Unter leständiger Wahrung dieser Bedingungen (10) — (13) hzw. (10), (14) suchen wir nun weiter cCi,cc^, •••■,7^ liontinuierlich derart zu variieren, daß A sich verringert oder wenigstens nicht zunimmt und dabei in mög- lichst vielen unahhängigen von den fraglichen Ungleichungen das Gleichheits- zeichen sich einstellt. 17. Wir nehmen als ersten Fall an, daß Okt (ABC) ein G-itter- oktaeder erster Art ist und können dazu voraussetzen, daß auch im Verlaufe der vorzunehmenden Variationen niemals drei GiüerpunMe auf ^ auftreten sollen, die ein Gitteroliaeder zweiter Art hestimmen. Zunächst möge in keiner der Ungleichungen (11), (12), (13) das Gleich- heitszeichen gelten. Wir projizieren den ganzen Bereich des Körpers ^ in Richtung OC auf irgendeine diese Richtung nicht enthaltende Ebene durch 0. Dadurch entsteht in dieser Ebene eine gewisse konvexe Figur ^ mit 0 als Mittelpunkt; % und 33 seien darin die Projektionen von A und B (Fig. 2). Im allgemeinen wird es nun möglich sein, unter Festhaltung von B und C den Punkt A auf der Begrenzung von Ä kontinuierlich so zu bewegen, daß währenddessen % geradlinig auf 0 zuwandert und damit A kleiner wird. Eine solche Variation ist nur in dem Falle zunächst nicht ausführbar, wenn A innerhalb einer auf der Fläche % verlaufenden, mit OC parallelen Strecke liegt, -die sich dann natür- lich in einen Randpunkt von ^ projiziert. In diesem Falle würden wir A zuvörderst nach ^ ^ Flg. 2, einem Endpunkte jener Strecke hin wandern lassen, wobei A sich nicht ändert, um hernach, wenn inzwischen kein neuer Gitterpunkt auf % aufgetreten ist, A in der beschriebenen Weise zu verringern. Da nun A nicht unter die von vornherein gegebene Grenze J, das Volumen von K, sinken kann, muß der dargelegte Prozeß not- wendig einmal auf einen Zustand auslaufen, wobei in einer der Unglei- chungen (11), (12), (13) das Zeichen = eintritt. Wenn dabei z. B. F{1, 1, 2) = 1 würde, so fänden wir nach dem Satze aus 11. in — 1, 0, 0; 0, — 1, 0; 1, 1, 2 drei Gitterpunkte auf %, die ein Gitteroktaeder zweiter Art bestimmen, was wir ausgeschlossen haben. Hiernach kommt gegenwärtig keine der Ungleichungen (13) in Frage. Wir machen nun ferner zunächst die Annahme, daß hei den vorzunehmen- den Variationen auch stets die Ungleichungen ^(±1,±1,±1)>1 gewahrt bleiben. Dann kommen einstweilen nur die Ungleichungen (11) für das Eintreten des Gleichheitszeichens in Betracht. Da wir die Be- 16 Zur Geometrie der Zahlen. Zeichnungen Y und Z, auch X mit — X vertauschen können, so dürfen wir annehmen, daß der Gitterpunkt 5'(— 1,0, 1) auf der Fläche ^ er- scheint, daß also Fi- 1, 0, 1) = 1 wird. Diese Gleichung gewährleistet vermöge F(l, 0, 1) + F(- 1, 0, 1) > F(0, 0, 2) = 2 die Ungleichung F(l, 0, 1) ^ 1, d. h. solange C und S auf ^ bleiben, kann 1, 0, 1 gewiß nicht ins Innere von ^ fallen. Die weiteren von den Ungleichungen (11) mögen noch das Zeichen > behalten haben. Wir können nun mit dem Punkte B operieren wie vorhin mit A, indem wir wieder die Parallelprojektion von ^ in Richtung OC verwenden und können ohne Zunahme von A erzielen, daß in einer neuen der Ungleichungen (11) das Zeichen = eintritt. Indem wir noch X und Z vertauschen, auch Y durch — Y ersetzen können, dürfen wir annehmen, es trete jetzt der Gitterpunkt JR(0, 1, — 1) in ^ ein. Durch die Lage von R und C auf % wird zugleich gesichert, daß 0, 1, 1 nicht ins Innere von Ä fällt. Nun möge noch F(+ 1 , ± 1 , 0) > 1 geblieben sein. Die Strecken S'Ä und IIB sind beide parallel und gleich lang mit OC. Wir führen jetzt jene Parallelprojektion von ^ in Richtung OC auf eine Ebene, die uns für den ganzen Körper ^ die Figur ^ ergab, speziell nur für alle solchen zu 0(7 parallelen Sehnen von ^ aus, welche an Länge > 00 sind. Dadurch erhalten wir in jener Ebene eine neue Figur £l mit 0 als Mittelpunkt, die ganz in der früheren Figur ^ enthalten ist und ins- besondere die Punkte St und 33 aufnimmt (Fig. 2). Dieser Figur D kommt, weil ^ ein konvexer Körper ist, ebenfalls die Eigenschaft zu, mit irgend zwei Punkten stets die ganze sie verbindende Strecke zu enthalten, und stellt mithin D wieder ein konvexes Oval vor. Liegt S3 auf dem Rande von Q, so bedenken wir, daß solchen Punkten des Randes von Q, welche Häufungsstellen von nicht zu O zählen- den Punkten aus ^ sind, mit OC parallele Sehnen in Ä genau von der Länge OC entsprechen und daß andererseits solchen Punkten des Randes von £l, die auch zum Rande von ^ gehören, mit OC parallele Geraden entsprechen, die nur die Begrenzung von Ä treffen. Infolgedessen können wir irgendeine kontinuierliche Veränderung von S auf dem Rande von D, während Ä und C festbleiben sollen, immer so bewerkstelligen, daß dabei sowohl B wie der damit in bestimmter Weise verbundene Punkt R fortwährend auf der Begrenzung von Ä verbleiben. Wir können nun im allgemeinen 58 auf dem Rande von D kontinuierlich der Geraden 0% nähern und damit A verringern. Nur wenn 33 innerhalb einer diesem Dichteste gitterformige Lagerung kongruenter Körper. 17 Rande angehörigen, zu 051 parallelen Strecke liegt, müssen wir zuvor 35 nach einem Endpunkte dieser Strecke führen, eine Operation, während der A sich nicht ändert. Wir bemerken, daß bei der letzteren Sachlage die Fläche ^ sicher eine geradlinige Strecke aufzuweisen hat, nämlich, falls 33 zugleich dem Rande von ^ angehört, die Strecke RB, anderenfalls aber in einer Stützebene an ß durch B die ganze Strecke, als deren Pro- jektion hier jene erwähnte Strecke auf dem Rande von Q erscheint. Sollte SB im Inneren von D liegen, so würden durch B und JR jeden- falls zwei verschiedene Stützebenen an S gehen; für diese müßten dann in gewissen Umgebungen von B und B, die in Richtung OC gemessenen Abstände durchweg '^ OC sein, also wären die Ebenen parallel, und könnten wir B in seiner Ebene so verändern, daß 23 geradlinig auf 0 zuschreitet. Freilich würde unsere Folgerung hier mit der anderen An- nahme in Widerspruch kommen, wonach C auf § selbst Hegen sollte. Nach dieser Ausführung können wir nun, ohne daß A wächst, zu einem Zustande fortschreiten, wobei schließlich noch in einer der Ungleichungen F(± 1, +1, 0) ^ 1 das Zeichen = eintritt. Würden wir jP(1, 1, 0) = 1 erhalten, so hätten wir in — 1, 0, 1; 0, — 1, 1; 1, 1, 0 drei Gitterpunkte auf ^, die ein Gitteroktaeder zweiter Art bestimmen. Da wir solches vorläufig ausgeschlossen haben, so bleibt nur die Annahme übrig, daß noch der Gitterpunkt T(l, — 1, 0) auf fj auftritt. 18. Wenn die sechs Gitterpunkte Ä, B, C, B, S, T sämtlich auf % liegen, so ersehen wir aus F{1, 1, 2) -f F{- 1, 0, 1) 4- F(0, - 1, 1) ^ 42^(0, 0, 1), F(l, - 1, 2) H- F{- 1, 1, 0) ^ 2F(0, 0, 1), Fir- 1, - 1, 2) -f F{\, - 1, 0) > 2F{0, - 1, 1), F{1, 1, 1) + F{- 1, 0, 1) -f F(0, - 1, 1) ^ 3F(0, 0, 1) usf., daß von den Ungleichungen (11), (12), (13) nur noch die Erfüllung der folgenden i^(- 1,1, 1)^1, 2^(1,-1,1)^1, i^(l,l,-l)>l besonders zu fordern ist. Würde i^(l, 1, — 1) = 1 sein, so hätten wir in 0, 0, 1; 1, — 1, 0; 1, 1, — 1 drei Gitterpunkte auf %, die ein Gitteroktaeder zweiter Art bestimmen. Gegenwärtig haben wir danach in diesen drei Un- gleichungen das Zeichen > zu verlangen. 19. Wir berücksichtigen jetzt die in 17. zunächst ausgeschaltete Möglichkeit, daß in einer der Ungleichungen F{+ 1, ± 1, ± 1) > 1 das Gleichheitszeichen eintritt, schließen aber immer noch aus, daß auf ^ drei Gitterpunkte auftreten, die ein Gitteroktaeder zweiter Art bestimmen. Nehmen wir z. B. an, daß neben A, B, C noch der Gitterpunkt Z)(l, 1, 1) auf f5 liege; so sind wegen Minkowski, Gesammelte Abhandltingen. IL 2 18 Zur Geometrie der Zahlen. -l,Ojl 0,0,1 rig- 3. F{- \, - 1, 1) + F(\, 1, 1) ^ 2F{Q, 0, 1) usf. aUe Ungleichungen (12) sichergestellt. Die Strecke AD ist parallel und gleich B'C. Wir verfahren unter Zuhilfenahme einer Parallelprojektion von Ä in dieser Richtung wesentlich nach der in 17. dargelegten Methode zur Verringerung von A, und wir dürfen nun ferner in einer der Un- gleichungen (11) das Gleichheits- zeichen als gültig annehmen. Würde dabei etwa F(l, — 1, 0) = 1 ein- treten, so hätten wir in 0, 0, — 1 ; 1, 1, 1; 1, — 1, 0 drei Gitterpunkte auf ^, die ein Gitteroktaeder zweiter Art bestimmen, was nicht sein sollte. Wir nehmen nun etwa ^(1, 1, 0) auf 5 gelegen an. Alsdann sind die Strecken ON, CD, A'B parallel und gleich lang; wir verwenden eine Parallelprojektion von Ä in Richtung ON und dürfen endlich noch etwa L(p, 1, 1) auf j^ gelegen annehmen. Die beistehende Figur zeigt uns, daß durch die Substitution X*=Z, Y*=X-Y, Z*=Y-Z dieser Fall auf den schon in 17. behandelten zurückführt. 20. Wir nehmen jetzt zweitens an, daß das Okt (ABC) ein Gitter- oTctaeder zweiter Art ist, und haben alsdann neben den drei Gleichungen (10) die Ungleichungen (14) f{±\, ±|, ±|)>i vorauszusetzen. Zunächst möge in keiner dieser Ungleichungen das Zeichen = gelten. Wir verfahren wesentlich nach der in 17. entwickelten Methode. Wir verwenden eine Parallelprojektion von ^ in Richtung OC und können ^1} ■ • •} yz ^^ variieren, daß A abnimmt oder konstant bleibt und schließlich in einer dieser Ungleichungen das Gleichheitszeichen eintritt. Es möge etwa der Gitterpunkt N (^7 Y> — 2") ^^^ ^®^^ Gegenpunkt N' auf die Fläche ^ fallen; in den übrigen Un- gleichungen (14) aber möge noch das Zeichen > bleiben. Nun ist CB parallel der Ebene durch 0, A und N (Fig. 4). Wir verwenden eine Parallelprojektion von ^ in Richtung CB, halten A und die Strecke CB nach Richtung und Länge und damit auch den Punkt N fest und können durch Variation von B und so, daß A abnimmt oder sich nicht ändert, einen Zustand erzielen, wobei eine i,i,-i Dichteste gitterformige Lagerung kongruenter Körper. 19 neue der Ungleichungen (14) als Gleichung erfüllt ist; es trete etwa der Gitterpunkt -^(— 4"? Y? y) ^^ ^^^ Fläche % ein. — Dieser letzte Prozeß wäre nun genau so anzuwenden gewesen, wenn die Fläche ^ neben N auch bereits ilf(—, — ^, -5-) enthalten hätte, da die Strecke ilTiV" parallel und gleich CB ist. Daraus leuchtet sofort ein, daß wir überhaupt auch einen Zustand erreichen können, wobei drei von den vier Paaren von Gitterpunkten iy? ±Y' — T' ®*^* ^^® ^^®^ Paare L, L, M^ M',N,N\ auf % fallen. Vermöge der Substitution erhalten nun A,B,C,L, M,N und der Gitterpunkt Y' Y' Y ^® neuen Koordinaten X* r* Z*= 0, 1, 1; 1, 0, 1; 1, 1, 0; 1, 0, 0; 0, 1, 0; 0, 0, 1; 1, 1, 1. Das ursprüngliche Zahlengitter (®) wird mit dem Zahlengitter in X*, Y*, Z* identisch; und damit kein Gitterpunkt außer 0 im Inneren von Ä liegt, bleibt nur noch die eine Bedingung zu erfüllen, daß der Punkt X* r* Z* = 1, 1, 1 nicht ins Innere von U f äUt. 21, Wir sind durch diese Überlegungen zu folgendem Resultate gelangt: Um für einen gegebenen konvexen Körper K das Minimum (oder die verschiedenen existierenden Minima) von A zu finden, genügt es, solche An- ordnungen des Gitters (®) in Betracht zu ziehen, wobei von diesem Gitter entweder (I) auf die Begrenzung von ^ = K -{- K' die Punkte 1,0,0; 0,1,0; 0,0,1; 0,1,-1; -1,0,1; 1,-1,0 und die Punkte — 1, 1, 1 ; 1, — 1, 1 ; 1, 1, — 1 außerhalb ^ fallen, oder (11) auf die Begrenzung von Ä die Punkte 1,0,0; 0,1,0; 0,0,1; 0,1,1; 1,0,1; 1,1,0 fallen und der Punkt 1, 1, 1 außerhalb Ä liegt, oder (III) auf die Begrenzung von Ä die Punkte 1, 0, 0; 0, 1, 0; 0, 0, 1; 0, 1, 1; 1, 0, 1; 1, 1, 0 und 1, 1, 1 fallen. Aus einer beliebigen Anordnung des Gitters (@) von dem hier be- zeichneten Charakter, welche ein Minimum von A liefert, können unter Umständen, — jedoch nur in solchen Fällen, wo auf der Begrenzung von Ä geradlinige Strecken vorkommen, — andere Anordnungen von (@), welche nicht jenen Charakter tragen, durch kontinuierliche Variation ohne Änderung des Wertes von A hervorgehen und diese würden dann in 20 2ur Geometrie der Zahlen. gleicher Weise dichteste gitterförmige Lagerungen für den Grundkörper K bestimmen. Die in (I) aufgeführten sechs Gitterpunkte mit ihren Gegenpunkten in bezug auf 0 bilden die Ecken eines Kubooktaeders, die in (III) ge- -AW '<^^ IM) y ' \ -yib^ JAOy ^4.0 -irü <':y! \ /^Vh^ Orh^i \ yitit> s\ ^^^^\Q"~?. \o,o/ / yo44 X V' / \l y' /^^^N. yy 'o,-ijo>r-^^::ky \J/'' 0,-i}^ o^ohy/ y-iAo w^/ X ~^W,-i Nv''-' ti-h-t -1,-1,0 Fig. 5. nannten sieben Gitterpunkte mit ihren Gegenpunkten in bezug auf 0 die Ecken eines Rhombendodekaeders (Fig. 5). § 7. Arithmetisclie Äquivalenz bei positiTcn ternären quadratischen Formen. 2'i. Ehe wir in der Behandlung unseres allgemeinen Problems weiter- gehen, wollen wir das Beispiel der dichtesten Lagerung von Kugeln näher ins Auge fassen. Es sei K eine Kugel vom Radius ~ , für den Körper ^ = K-\- K' also 9j(|, ri, g) = (l^-j- tf -\^ ^^y, so haben wir in = e^^x^ + 2e^^xy + 2e^^xz + e^^y^ + ^e^^yz + 633^^= h(x, y, z) eine positive ternäre quadratische Form mit einer Determinante D = A^ Um die dichteste gitterförmige Lagerung für Kugeln vom Radius — zu finden, haben wir nach 21. nur diese zwei Annahmen zu diskutieren: (11) Die Fläche }i(x, y, z) = 1 enthält die sechs Gitterpunkte x,y,z= 1, 0, 0; 0, 1, O5 0, 0, 1; 0, 1, 1; 1, 0, 1; 1, 1, 0; dann müßte h(x,y, z) = x'- — xy — xz + y^ - yz + z^ == (x — -y — -^z^ + 4 (2/ - ^Y sein, und jene Fläche wäre eine Zylinderfläche, nicht eine Kugel. (I) Die Fläche h(x, y, z) = 1 enthält die sechs Gitterpunkte: x,y,z=l,0,0- 0,1,0; 0,0,1; 0,1,-1; -1,0,1; 1,-1,0; Dichteste gitterfonnige Lagerung kongruenter Körper. 21 dann haben wir hix, tj, z) = x^ -\- xy ■\- xz + if + y z -{- z^ und wird 2) = A^=— . Demnach gelangen wir zu dem Resultate: Im Falle der dicJitesten gitferförmigen Lagerung von gleicJien Kugeln verhält sich der von den Kugeln erfüllte Baum zum ganzen unendlichen Baume wie — :-^. Die betreffende Lagerung ist dadurch charaMerisiert, daß eine jede Kugel in den zwölf Ecken eines KuhooMaeders an andere Kugeln stößt Für die dichteste Lagerung von Ellipsoiden gilt offenbar genau der nämliche Satz. Das entsprechende Problem für zwei Dimensionen hängt analog mit der Transformation von ^^ -\- rj^ in x^ -{- xy -{- y^ zusammen, und kann man in einer Ebene durch lauter gleiche Kreisflächen, die nicht ineinander ein- dringen und deren Mittelpunkte ein parallelogrammatisches Punktsystem bilden, im Maximum den — : ^ Teil der ganzen unendlichen Ebene 7 4 2 " ausfüllen. 23. Ich will jetzt zeigen, daß die Theorie der arithmetischen Äquivalenz der positiven ternären quadratischen Formen, deren Hauptsätze von Seeber und Gauß aufgestellt sind und in der Folge manche andere Ableitung gefunden haben*), vollständig und durch einfache Überlegungen allein aus der eben bewiesenen Tatsache über die dichteste Lagerung von Kugeln erschlossen werden kann. Es sei eiiX^+ 2e^^xy H \- e^^z^ = h{x, y, z) = (fix, y, z)y eine beliebige positive temäre quadratische Form mit der positiven Deter- minante D. Wir setzen die Form h irgendwie in die Gestalt h = {cc^x -j- a.jj -\- a^zf -\- (ß^x -j- ß^y -f ß^zf + {y^x + y^y + y^zf = l^+ ''/^+ S^ Tind deuten |, >j, ^ als rechtwinklige Koordinaten im Räume. Der Ausdruck Yh = f{x, y, z) stellt alsdann die Entfernung des variablen Punktes P mit den Bestimmungsstücken x, y, z vom Nullpunkte 0 dar. 24. Wir betrachten das Gitter (@) der Punkte mit ganzzahligen Werten x, y, z imd bestimmen in diesem Gitter einen ersten vom NuU- *) Seeber, Untersuchungen über die Eigenschaften der positiven ternären qua- dratischen Formen, Freiburg i. Br., 1831. — Gauß, Göttingische gelehrte Anzeigen, Jahrg. 1831 (Werke, Bd. U, S. 188). — Dirichlet, Grelles Journal, Bd. 40, S. 209 (Werke, Bd. 11, S. 27). — Hermite, Grelles Journal, Bd. 40, S. 173 ; Bd. 79, S. 17 (Oeuvres T. I, p. 94 und T. EI). — Selling, Grelles Journal, Bd. 77, S. 143. — Korkine u. Zolotareff, Mathematische Annalen, Bd. 6, S. 366. 22 Zur Geometrie der Zahlen. punkte verschiedenen Gitterpunkt Ä derart, daß die Entfernung OÄ so klein als möglich ausfällt, hernach einen zweiten Gitterpunkt B außerhalb der Geraden durch 0 und ^, so daß die Entfernung OB so Mein als möglich wird, endlich einen dritten Gitterpunkt C außerhalb der Ebene durch 0, Ä und B, so daß die Entfernung OG so Mein als möglich wird. Es seien ^i, >Wi, w^; l^, Wg, n^^', l^, m^, Wg die x, y, ;^-Werte von A, B, C und fij fi} fs ^i^ Entfernungen dieser Punkte von 0. Wir setzen (15) x^^l^X-^-l^Y+l^Z, y = m^X + m^Y+m^Z, z = n^X + n^Y-{-n^Z, und es sei d die Determinante dieser Ausdrücke. Die Form h gehe durch diese lineare Substitution in E,,X'+2E,,XY+ ... 4- E,,Z' = H{X, Y, Z) über; dabei wird E^^^f^, E^^ = f^ , E^^=f^^. Wir bringend in die Gestalt H== (A,X + k,Y+ k,Z)'+{E,Y+ E,Z)'+iy,Z)\ so daß Aj, Bg, Tg > 0 sind, und setzen ^ _ /A,x+A,r+A,zy^ /B,r+B3zy^ /i^zx« 25. Die Fläche 0 = 1 steUt im Räume der rechtwinkligen Koor- dinaten I, ri, t, ein EUipsoid vor mit einer Hauptachse in der Linie OA, einer dazu senkrechten Hauptachse in der Ebene OAB und einer dritten auf dieser Ebene senkrechten Hauptachse, bzw. von den Längen fuf^ffs- Für jeden von 0 verschiedenen Gitterpunkt in der Geraden OA(Y= 0, Z= 0) ist H^f^, 0^1, für jeden Gitterpunkt außerhalb dieser Geraden in der Ebene OAB(Z=0) ist H^f^^, ^ 1, für jeden Gitterpunkt außerhalb der Ebene OAB ist H^f^^, O > 1. Danach liegt kein Gitterpunkt x,y,z außer dem Nullpunkte im Inneren des Ellipsoids ^1. Konstruieren wir nun den Körper ^ ^y ^^^ weiter alle Körper, die aus diesem durch die Translationen vom Nullpunkte nach den einzelnen Gitterpunkten x, y, z entstehen, so werden diese sämtlichen gitterförmig angeordneten EUipsoide untereinander höchstens Punkte der Begrenzungen gemein haben, und ist daher nach 22. das Verhältnis aus dem Volumen von ^ Y ^^^ ^^^ Volumen des GrundparaUelepipeds des Gitters (@), also -^fifsfs'YB sicher ^~:-—=, d.h. wir haben (16) fJJs £ V^ En ^22^33 £ 2D. Andererseits berechnet sich die Determinante von H in x, y, z zu (N^)', so daß A,B,rs-irf!yfl Dichteste gitterförmige Lagerung kongruenter Körper, 23 folgt. Nun ist für die Punkte Ä, JS, C bzw. H= /i', /"j^, /"s*, so daß Ax = A, B^^A, r,£f, entsteht. Demnach gilt Mit Berücksichtigung von (16) geht hieraus (17) \d\^V2, mithin d = + 1 hervor. Die Determinante der Substitution (15) ist also + 1, das Gitter in X, Y, Z ist identisch mit dem Gitter (®) in x, y, z, die Form B. arithmetisdi äquivalent der gegebenen Form h. 26. Nach der Art, wie die Punkte A, B, C mit ihren Entfernungen OÄ, OB, OC eingeführt wurden, bestehen für die Form .ff die sämt- lichen Ungleichungen (18) 0 E,„ (X+0) (r4=0) (Z+0) worin X, Y, Z beliebige ganze Zahlen sind. Umgekehrt leuchtet ein, daß mit diesen Ungleichungen, während die Substitution (15) ganzzahlige Koeffizienten und eine Determinante ± 1 hat, der hier in Frage kommende Charakter der Gitterpunkte A, B, C vollständig erschöpft wird. Eine temäre quadratische Form jff(X, F, Z), welche diese sämt- lichen Ungleichungen (18), (19) erfüllt, heißt reduziert Analog heißt eine binäre quadratische Form ff(X, Y)^E,,X'+2E,,XY+E,,Y' reduziert, wenn sie allen Ungleichungen 0 E,„ H(X,Y)> E,, (x + 0) (r=HO) genügt, worin X, Y beliebige ganze Zahlen sind. Es leuchtet ein, daß, wenn ff(X, Y, Z) eine reduzierte temäre Form ist, die drei daraus durch NuUsetzen je einer Variable entstehenden binären Formen ff (X, Y, 0), ff(X, 0, Z), ff(0, Y, Z) ihrerseits notwendig reduziert sind. Aus der Menge der Ungleichungen (19) greifen wir insbesondere die folgenden heraus: (20) ff(+ 1, 1, 0) ^ E,„ ff(± 1, 0, 1) ^ E,„ ff (0, ±1,1)^ ^33, E,,>2\E,,\, E,,-^2\E,,\, E,,>^2\E,,\, und ferner (21) ^(±1, ±1,1)^^335 diese letzteren Ungleichungen (21) sind infolge der Ungleichungen (20) von selbst erfüllt, wenn die Größen E^, E^^, E^^ alle drei positiv oder k 24 Zur Geometrie der Zahlen. eine positiv und zwei negativ sind oder darunter wenigstens eine ver- schwindende auftritt; wenn aber diese Größen alle drei negativ oder zwei von ihnen positiv, eine negativ sind, so liefert (21) die eine neue Be- dingung ■£^11 + ^22^ 21^,,! + 2 1^,3 1 + 2 1^,3! Wir wollen jetzt den Nachweis erbringen, daß die speziellen, in end- licher Anzahl vorhandenen Ungleichungen (18), (20), (21) die sämtlichen unendlich vielen Ungleichungen (19) nach sich zieJien und also den Charakter von H als reduzierte Form bereits völlig bestimmen. 27. Wir betrachten zu dem Ende die Mannigfaltigkeit der sechs un- abhängigen Variablen E^^, E^^,. . .,E^^ und in dieser denjenigen Bereich (§), der durch die sämtlichen Ungleichungen (18), (19) für diese Variablen definiert ist, wobei wir noch die Bedingung J5'ij>0 durch ^n^O er- setzen woUen. Jedem Punkte E^^, E^^j • • •> ^33 i^ dieser reduzierten Kammer (^) entspricht eine niemals negative ternäre Form H. Da die Ungleichungen (18), (19) linear und homogen in den Variablen Ej^^fE^^,.. .,E^^ sind, so besitzt (^) die Eigenschaft, mit irgend zwei Punkten (Formen) JJW^ JJW stets die ganze sie verbindende Strecke, d. h. die Koeffizienten- sjsteme der Formen (1 — t) H^^^ -{- tH^^^ für alle Parameterwerte ^ ^ 0 und ^ 1 zu enthalten, stellt also einen konvexen Körper in der Mannig- faltigkeit der E^^, -E^g, . . ., -E33 dar. Nach den allgemeinen Grundsätzen über die Begrenzung eines konvexen Körpers*) genügt es nun zur Definition des Bereichs (^), von den Ungleichungen (18), (19) nur jede solche aus- drücklich zu fordern, für welche im Bereiche (^) ein Punkt gefunden werden kann, der die betreffende Ungleichung mit dem Zeichen =, aUe davon verschiedenen der Ungleichungen (18), (19) aber mit dem Zeichen >(<) erfüllt. Jeder Punkt H in (§), der nicht einer wesentlich positiven Form ent- spricht, ist zufolge der angegebenen Eigenschaft von (^) gewiß Häufungs- stelle von wesentlich positiven reduzierten Formen und aus der Unglei- chung (16) für diese letzteren Formen geht dann die nämliche Ungleichung auch für H hervor; daher ist für H dann notwendig D = 0, JE'ji = 0. Die letztere Relation hat wegen (20) noch E^^=0, E^^=0 zur Folge, und ist die Ungleichung E^^'^0 hiernach bei der Definition von (^) entbehrlich. Jeder Punkt von (§) aber, für welchen E^^ > 0 ist, liefert gewiß eine wesentlich positive Form. 28. Greifen wir nunmehr eine in dem eben besprochenen Sinne not- wendige der Ungleichungen (18), (19) heraus; es sei dieses etwa eine Ungleichung *) Geometrie der Zahlen, Leipzig, 1896. Dichteste gitterfonnige Lagerung kongruenter Körper. 25 wo a, h, c ganze Zahlen sind und c =^ 0 ist. Dann gibt es also im Be- reich (§) irgendeine wesentlich positive Form £"= (E^^, E^^, . . ., E^), deren Koeffizienten diese üngleichvmg mit dem Zeichen =, alle davon verschiedenen der Ungleichungen (18), (19) aber mit dem Zeichen > erfüllen. Bezeichnen wir, wie in 24., mit OABC das GrundparaUelepiped des Gitters in X, Y, Z, so liegt wegen c 4" 0 der Gitterpunkt G (X = a, Y==h, Z = c) außerhalb der Ebene OAB und bietet hier dieselbe Ent- fernung yH von 0 wie C dar. Wir könnten daher bei der Aufsuchung einer beliebigen mit H äquivalenten reduzierten Form den Punkt G an die Stelle von C treten lassen, und nach (17) muß alsdann die Deter- minante aus den Koordinaten von A, B, G notwendig + 1 sein, d. h. wir haben c = + 1. Aus der am Schlüsse von 22. hinzugefügten Bemerkung über die dichteste gitterförmige Lagerung von Kreisflächen in der Ebene schließen wir analog, daß zur Charakterisierung einer reduzierten binären Form H{X, Y) = E^^ X-' +2E^^XY + E.^, Y' jedenfalls die Ungleichungen 0£E,,£E^_, H{X,1)>E^ ausreichen. Wir ersehen daraus zunächst, daß wir bei der Definition einer redu- zierten ternären Form von den Ungleichungen (19) gewiß nur die folgenden nötig haben H(X, 1, 0) ^ E^, HiX, Y, 1) ^ E^. Nehmen wir jetzt an, es sei fe =4= 0. Da in den hier aufgeführten Ungleichungen die Größe E^ herausfällt, so können wir in der Form H{Xj Yf Z) an Stelle des Koeffizienten E^^ den Wert £3* = E^^ setzen und die dadurch entstehende neue Form H^ wird ebenfalls reduziert sein. Für diese Form H^ ist nun E*{a, 6, c) = El. Da wir & =j= 0 haben, so können wir bei der Aufsuchung einer beliebigen mit EL* äquivalenten reduzierten Form den Punkt G an die Stelle von B treten lassen, während wir A imd C unverändert beibehalten, und es muß nunmehr die Determinante aus den Koordinaten von -4, Gy G notwendig + 1, also & = + 1 sein. Der analoge Schluß für binäre Formen zeigt, daß eine reduzierte binäre Form B.{X,Y) = {E^y^,E^^,E^ völlig durch die Ungleichungen ^^E,,^E^,H{±\,l)^E,, charakterisiert ist. 26 Zur Geometrie der Zahlen. Mit Rücksicht hierauf brauchen wir nunmehr für eine reduzierte temäre Form JE[{X, Y, Z) von den Ungleichungen (19) nur noch die folgenden in Betracht zu ziehen: ^(± 1, 1, 0) ^ E,,, H{± 1, 0, 1) > ^33, H{X, ±\,l)> E,,. Nehmen wir nun an, es sei z. B. c = 1 , 6 = — 1 und a =4= 0. Wir ersetzen in H* die Koeffizienten E^^, E*, E*^ durch E* — s, E^^ ~ T^) ^33 "" *> wobei € > 0 sei. Die neu entstehende Form H** erfüllt in völlig unveränderter Weise die Beziehungen H**(± 1, 1, 0) > ^**, ^**(± 1, 0, 1) ^ E**, E^*iX- 1, 1) ^ J^3*3*. Wir setzen £ E,„ H{X, Y,Z)> E,, (x,r,z=4=o,o,o) (r,z+o,o) (Z4=o) für ganzzahlige X, Y, Z. Endlich gilt dabei die Beziehujig (Theorem von Gauß): E^^E^E^^2B. hl dieser Ungleichung tritt bei gegebenem D das GleicJiheitszeichen nur ein, tcenn H=y2D{X^+ Y^ + Z'--i-XY-i-XZ-\- YZ), bzw. = \^2D{X}+ Y^+Z''-XY- YZ) ist bzw. daraus durch Permutation und Vorzeichenänderung der Variablen hervorgeht, ivdche speziellen reduzierten Formen sämtlich untereitiander äqui- valent sind (vgl. auch Fig. 3 in 19). § 8. Die weiteren Bedingungen für eine dichteste Lagerung. 30. Wir nehmen jetzt die Behandlung des Problems der dichtesten Lagerung für einen beliebigen konvexen Grundkörper K wieder auf. Die Große A, welche wir für K unter Erfüllung gewisser Ungleichungen zu einem Minimum zu machen suchen, ist eine Funktion der neun Variablen «1, «2» • • -j ^sj ^i^ ^^s ^^^ Festlegung eines Gitters dienen. Bei einem Minimum von A können wir nach 21. gewisse 6 bzw. 7 Gleichungen als erfüllt voraussetzen. Es fehlen uns daher noch 3 bzw. 2 weitere Glei- chungen zur Charakterisierung eines Minimums von A^ die wir jetzt er- mitteln wollen. 31. Wir verfolgen zuerst die Umstände des Falles (I) in 21.: Es sollen die PiinJde 1,0,0; 0,1,0; 0,0,1; 0,1,-1; -1,0,1; 1,-1,0 auf der Fläche 5, der Begrenzung von ß, und die Punkte —1,1,1; 1,-1,1; 1,1,-1 außerhalb Ä liegen. Ferner setzen wir voraus, daß nicht auf ^ drei Gitterpunkte vorhanden sind, die ein Gitteroktaeder zweiter Art bestimmen. Können nun überhaupt außer den genannten 6 Gitterpunkten und ihren 6 Gegenpunkten noch andere Gitterpunkte auf der Fläche ^ ^^^' treten? Nach 15. können neben den Punkten 2, S[R, dl auf der Fläche % überhaupt nur solche Gitterpunkte da sein, deren Koordinaten abgesehen 28 Zur Geometrie der Zahlen. von der Reihenfolge und den Vorzeichen eines der folgenden Systeme ergeben: 0,1,1; 1,1,1; 0,1,2; 1,1,2; 1,2,2; 1,1,3; 1,2,3; 2,2,3; 1,2,4; 2,3,4. Nun leiten wir aus der allgemeinen Funktionalungleichung (8) für einen konvexen Körper insbesondere die folgenden Ungleichungen ab: f{^^, 3, ± 4) + Fi- 1, 1, 0) + F(- 1, 0, 0) ^ 4f(_^^, 1, + 1), J^(-l,_\,±4) + i^(l,-l,0) + i^(0,-l,0)^4i^(0,_^^,±l), F{a, h, c) + aF{- 1, 0, 1) + 1)F(0, _ 1, 1) ^ (a + & + c)F{0, 0, 1), (a,&,c = 2,2,3; 1,2,3; 1,1,3; 1,2,2; 1,1,2), i^(_^^,-2,3)+i^(l,-l,0)^3i^(J,-l,l), i^(- 2, - 2, 3) + i^(- 1 , 0, 0) + F{0, _ 1 , 0) ^ 3 F(- 1 , - 1 , 1), i^(l,-2,3) + i^(l,-l,0) + JP(l,0,0)^3i^(l,-l,l), F{-\, 2, 3) + 2i^(0, -1,1) + F{1, 0, 0) ^ bF{0, 0, 1), F{-1, 1, 3) + F(l,-l, 0) > ?>F{0, 0, 1), F{- 1,2,2) + F{- 1, 0, 0) > 2F{- 1,1,1), Z(l,-2,2) + F(l,0,0)^2i^(l,-l,l), i^(l, - 1, 2) + i^(l, - 1, 0) ^ 2F(1, - 1, 1), FiO, 1, 2) + i^(0, -1,1)^ 3F(0, 0, 1); auf Grund dieser Ungleichungen sowie der weiteren, die daraus durch Permutation der Variablen hervorgehen, scheiden von den genannten Systemen sofort eine Reihe als außerhalb des Körpers ^ gelegen aus. Es bleibt die Lage auf ^ nur noch für diejenigen Gitterpunkte fraglich, deren Koordinaten abgesehen von der Reihenfolge eines der Systeme -1,-1,3; -1,-1,2; 0,-1,2; 1,1,1; 0,1,1 ergeben. Wenn aber einer dieser Gitterpunkte auf % Hegt, so erlangt man nach 11. entweder durch die Systeme 0, 0, — 1; 1, —1, 0; —1, —1, 3 oder 1,0,0; 0,1,0; —1,-1,2 oder 1,0,0; —1,1,0; 0,-1,2 oder -1,0,0; 0,-1,1; 1,1,1 oder 1,-1,0; 1,0,-1; 0,1,1 drei Gitter- punkte auf %, die ein Gitteroktaeder zweiter Art bestimmen. Wir haben demnach jetzt anzunehmen, daß die Fläche ^ neben S, 3Jl, 9*1, 9?, ©, 2! und den Gegenpunkten keine weiteren Gitterpunkte aufweist. Wir legen durch jeden der Punkte 2, Wl, 9^, ät, ©, X eine Stützebene an ^; die Gleichungen dieser Ebenen seien: Dichteste gitterformige Lagerung kongruenter Körper. 29 (22) N=v,X + v,Y-\-Z^l, B^{q,-q,)X + q,Y-{1-q,)Z=1, S^- il-a,)X + (6,-6,) r+ 6,Z= 1, T^t,X-{l-t,)Y-{-ir,-t,)Z=l. Ein jeder Ausdruck L, 31, N, B, S, T muß im ganzen Bereiclie von ß im Intervalle > — 1 und < 1 liegen. Die Form L wird für jene sechs Gitterpunkte bzw. mithin sind X,, X^ beide ^0 und ^ 1. Die Form i? wird für die sechs Punkte bzw. (>2 — ?n 92? — 1 + (>2> Ij — 1 + (>i> — (>i; mithin sind q,, q^ beide ^0 und ^ 1. Das nämliche gilt von Jitg, /li^; ■^1 7 ^^2 5 *^3 > ^^2 ? "^1 J ''^3 • Wir denken uns nun die X, Y, ^-Koordinaten in ihrer augenblick- lichen Bedeutung festgehalten und variieren dagegen das Gitter (@) kon- tinuierlich, indem wir die Punkte S, 9}l, Sil an die Stellen verlegen, deren X, Y, Z- Koordinaten 1 -j- S X-^j B JL j , f Z-^ 5 ^ -^2 7 -'^ ~r ^ -*■ 2 y ^ 2 1 ^ 3 J ^ -*■ 3 7 1 ~r f ■^3 sind, unter s einen positiven Parameter verstanden. Dabei sollen die Punkte 2, W, ?J, 9i, (S, X in den betreffenden Stützebenen oder auf deren dem Nullpunkte abgewandten Seiten bleiben, d. h. es sollen die Un- gleichungen gelten; wir bezeichnen hier die Werte der Formen L, 31, . . ., T für das System X,-, Y^, Z^ durch Anhängen des Index /. Nach den vorausgeschick- ten Bemerkungen wird dabei jedenfalls kein Gitterpunkt ins Innere von Ä eintreten, so lange £ eine gewisse Grenze nicht übersteigt. Der Wert der Determinante A verändert sich bei dieser Variation von S, m, ^ aus A(0) in A(6) = A(0)(1 JrB{X,+ Y,-\- Z,) -F £2( ) -f a\ )). Wenn nun nicht X^-\- Y^ + Z^^O eine notwendige Folge der obigen sechs Ungleichungen ist, so würden wir b als positive Größe weiter so klein wählen können, daß hierbei A sich verringert. Für ein Minimum von A ist danach notwendig, daß die linke Seite dieser letzten Un- gleichung eine homogene lineare Kombination der linken Seiten jener früheren sechs Ungleichungen mit nicht negativen Koeffizienten ist, d. h. hei einem 3Iinitnum von A müssen die drei Gleichungen 30 2ur Geometrie der Zahlen. X= IL-sS + tT, (23) r= rB + mM-tT, Z=-rB + sS + nN mit gewissen (und zwar durchweg nicht negativen) FaJcioren l,m,n,r, s,t zu erfüllen sein. 32. Wir betrachten jetzt die Umstände des Falles (II) in 21.: Es sollen die Funkte 2, m, % % 27 I7 — (>i + 1 — P27 — Ci + P2; mithin ist 0 ^Q2^1 und entweder 0 ^ ()i ^ 1 oder 0 ^ — q^ und dabei zugleich — Qi^Q2 ^^^ — Pi ^ 1 ~ ?2 • Entsprechende Umstände gelten für ftj, ^1; Vi, V2; (?3, ^2; ^17 ^z- Wir variieren nun 2, Wl, ^ derart, daß ihre neuen Orte in bezug auf das alte X, Y, Z- Koordinatensystem werden: 1 -}- sX^, sYj^, ^^l'i *-^27 ^ ~l" ^-^7 ^-^25 ^-^37 ^-^7 1 + ^-^37 wobei s ein Parameter sei. Dabei soll jeder der sechs Punkte 2, 3J?, 9Z, 91, ©, ^ in der für ihn konstruierten Stützebene an ^ bleiben, d. h. es soUen die Gleichungen L, = 0, M, = 0, N, = 0, J?2 4- i?3 = 0, S, + S,==0, T,^T, = 0 für die bezüglichen Systeme X,., Y^, Z. gelten. Falls nun auf der Fläche ^ außer 2, 9}l, % % @, Z und den Gegen- punkten keine weiteren Gitterpunkte vorhanden sind, treten bei hinreichend Dichteste gitterformige Lagerung kongruenter Körper. 31 kleinem Werte Ton j s \ während der hier vorzunehmenden Variation des Gitters keine Gitterpunkte in ^ ein, und zeigt eine ähnliche Überlegung wie in 31., daß für ein Minimum von A das Bestehen der drei Glei- chungen X^lL + sS + tT, (25) Y=rR + m3I-{-tT, Z = rR + sS-\-nN mit irgendwelchen Faktoren l,ni,n,r,s,t erforderlich ist. Wofern jedoch noch weitere Gitterpunkte auf ^ vorhanden sind, so können wir, wie nun gezeigt werden soll, die Formen L, M, . . ., T jeden- falls immer derart tvählen, daß während der fraglichen V^ariation bei hin- reichend kleinem | £ \ kein Gitterpunkt ins Innere von Ä eintritt, und finden wir dann wieder für ein Minimum von A die Gleichungen (25) als notwendig. In der Tat, wir berücksichtigen die Bemerkung in 15. und gebrauchen zudem die folgenden Ungleichungen sowie die entsprechenden Beziehungen bei Permutation der Variablen: f{_1,_1,±4) + F(1, 1, 0) + F{0, 1, 0) ^ 4ir(J, J , ± l), f{_\,_ L ± 3) + F{1, 1, 0) > 3f(J, J, ± 1), F(- a, -h,c) + aF(\, 0, 1) -f IF{0, 1, 1) ^ (a + 6 + c)F(0, 0, 1), (-a,-l,c = -l,-2, 3; _ 1, - 2, 2; - 1, - 1, 2), F{- 2, 2, 3) + 2F{- 1, - 1, 0) + 3i^(- 1, 0, - 1) ^ 7 F{- 1, 0, 0), F{1, 2, 3) + Fi\, l, 0) + F{\, 0, 0) ^ 3i^(l, 1, 1), F{\, - 1, 3) + F{0, 1, 1) + F{- 1, 0, 0) ^ 4F(0, 0, 1), F(l, 2, 2) + F(1, 0,0)^2^(1, 1,1), F{- 1, 2, 2) + \f{\, 1, 0) + |-F(1,0, 1) ^ |i^(0, 1, 1), i^(l, 1, 2) + i^(l, 1,0)^2^(1,1,1), F(0, - 1, 2) + FiO, 1, 1) > 3F(0, 0, 1). Danach können nur noch diejenigen Gitterpunkte als auf % gelegen in Frage kommen, deren Koordinaten, von der Reihenfolge abgesehen, eines der folgenden Systeme ergeben -1,1,2; 0,1,2; -1,1,1; 0,-1,1. Wenn F{— 1, 1, 2) = 1 ist, so haben wir nach dem Ausdrucke von L in (24) notwendig L = X, und wir können daher S = L und T = L wählen; dann folgt oben X^ = 0, Xj = 0, Xg = 0. Der Körper ß be- findet sich ganz im Bereiche — 1 ^ X ^ 1, und die in den begrenzenden 32 Zur Geometrie der Zahlen. Ebenen X = + 1 gelegenen Gitterpunkte bleiben bei der vorzunehmenden Variation in diesen Ebenen. — Gleichzeitig könnte in der Ebene X = 0 als ein weiterer Gitterpunkt auf g der Punkt 0,1,2 oder 0,2,1 oder 0, — 1, 1 auftreten; zu dem Ende müßte ()2 = 1 hzw.Q^ = 0 bzw. Vg = 0 sein, und könnten wir dann M= B hzw. N = B bzw. R =- N wählen mit dem Er- folge, daß die anzuschließende Variation jenen Gitterpunkt nicht ins Innere von ^ führt. Wenn F(— 1, 1, 1) = 1 ist, so finden wir wieder L = X und trefi'en genau die nämlichen Bemerkungen wie soeben zu. Wenn F{0,1,2) = 1 ist, so folgt mit Notwendigkeit N = — Y + Z, und können wir S = N und T = — N wählen, um den Zweck, den wir im Auge haben, zu erreichen. — Gleichzeitig könnte in der Ebene — Y -\- Z = 0 der Gitterpunkt — 1, 1, 1 auf ^ auftreten, in welchem Falle wir unter Vorwegnahme dieser Beziehung wie hier zuletzt verfahren. Wenn F{0, - 1, 1) = 1 ist, so folgt /ig = 0, v^ = 0 und bildet der Schnitt von Ä mit der Ebene X = 0 das Viereck mit den Ecken 0, + 1, + 1 ; wir können dann R = N wählen, wobei mit 0, 0, 1 und 0, 1, 1 auch 0, — 1, 1 in der Ebene N = 1 verbleiben wird. — Finden sich zwei Punkte wie 1, — 1, 0 und — 1, 0, 1 gleichzeitig auf ^, so folgt i = X, und können wir wie vorhin im Falle F(— 1, 1, 1) = 1 vorgehen, 33. Wir betrachten endlich den Fall (III) aus 21.: Es sollen die sieben Giüerpunkte S, 9«, m, % @, X, D 1,0,0; 0,1,0; 0,0,1; 0,1,1; 1,0,1; 1,1,0 und 1,1,1 auf f5 liegen. Wir gebrauchen in bezug auf die ersten 6 Punkte dieselben Bezeich- nungen wie in 82., und femer sei (26) Q = 7c,X-\-x,Y-^x,Z=l (pc,-^x, + x, = l) die Gleichung einer Stützebene an ^ durch den Punkt £l. Der Ausdruck Q wird für jene 7 Gitterpunkte bzw. 3Cj, Jfgj '^SJ ^2 ~r '^S; ^1 'I' ^3) ^1 "1 ^2> ^1 r ^2 ~T' ^3 ^^ ^f SO daß Xi,X2,X3 sämtlich ^0 und ^1 sind. Ferner wird für den Punkt £l der Ausdruck B = 1 — q^, so daß jetzt notwendig 0 ^q^^I ist, und analog für ö^j^a- Wir variieren nun die Punkte S, SR, 91 in 1 -f f^ij ^Yj^) f^l! f ^2? 1 + ^^2? ^-^25 ^-^3> ^^3> 1 + *-^3> und es sollen dabei £, 9JJ, % O, ffi, @, % in den bezüglichen Stützebenen an ^ verbleiben, also für die Systeme X,., Y^, Z^ die Relationen gelten Dichteste gitterförmige Lagerung kongruenter Körper. 33 A ==0, M, = 0, N, =^0, Q, + Q,+ Q, = 0, ^ ^ J2, + i?3 = o, 5, + Ä3 = o, r, + r, = o. Eine älinliche Überlegung wie in 32. zeigt, wofern bei hinreichend kleinem Betrage von s durch jene Variationen kein Gitterpunkt ins Innere von Ä eindringt, daß für ein Minimum von A das Bestehen der drei GleicJmngen X = lL-\-sS-\-tT-{-qQ, (28) r= rJR + mM+tT + qQ, Z = rB + sS + nN-\-qQ mit irgendicelchen Konstanten l, m, n, q, r, s, t nottvendig ist. Die ausge- sprochene Bedingung ist ohne weiteres erfüllt, falls f5 überhaupt keine Gitterpunkte neben S, 3)?, 9^, D, % @, % und den Gegenpunkten enthält, und anderenfalls kann ihr wenigstens immer durch geeignete Wahl der Ausdrücke L, M, N, Q, B, S, T genügt werden. In der Tat, wie die in 32. entwickelten Ungleichungen dartun, könnten jetzt als Gitterpunkte auf f^ außer den bereits dort betrachteten Punkten noch die Punkte 1, 2, 3 ; 1, 2, 2 ; 1, 1, 2 und die daraus durch Permutation der Koordinaten entstehenden Systeme in Betracht kommen. Vermöge der Substitution Z*=-X, Y'^=Y-X, Z'^^Z-X nun gehen die Wertsysteme X, Y, Z: 1,0,0; 0,1,0; 0,0,1; 0,1,1; 1,0,1; 1,1,0; 1,1,1; 1,2,3; 1,2,2; 1,1,2; - 1, 1,0; 0,- 1, 1 in die Wertsysteme X*, Y*, Z*: -1,-1,-1; 0,1,0; 0,0,1; 0,1,1; -1,-1,0^ -1,0,-1; -1,0,0; -1,1,2; -1,1,1; -1,0,1; 1,2,1; 0,-1,1 über, und es erledigt sich das Auftreten irgendeines der zuletzt ge- nannten Gitterpunkte auf ^ wesentlich wie in 32. das Auftreten eines der Punkte -1,1,2; -1,1,1; -1,0,1. Als einzige neue Möglichkeit kommt in Frage, daß zwei Punkte wie 1,-1,0 und 1,1,2 gleichzeitig sich auf f^ vorfinden. Dazu müssen wir ^2 = 0, ^1 = 0, Vi + Vj = 1 , Xg = 0 haben. Wir können jedenfalls eine Relation 7 r , tij- , -xr ^ l^L -\- m^M -\- n^N = q^Q mit Koeffizienten Iq, m^, n^, q^, die nicht sämtlich NuU sind, herstellen. Da die Rollen der Paare 2, 'SR und % C sowie der Elemente in jedem Paare hier vertauschbar sind, dürfen wir annehmen, es seien \Iq , |Woi, I n^ I sämtlich ^ , g'o ; • Durch Verwendung der Punkte 1, 1, 1 und 0, 0, — 1 erhalten wir aus der letzten Gleichung ^o(l — h) + »«o(l - t^s) = Qo> kh + »'o.«3 = Wq. Minkowski, Gesammelte Abhandlangen. II. 3 34 Zur Geometrie der Zahlen. Für ^3 = 0 würde L = X folgen, welchen Fall wir wie in 32. erledigen könnten. Wir denken uns daher Ag > 0 und ebenso /tg > 0. Alsdann zeigen die zwei Gleichungen hier, daß Iq, m^ und weiter n^ dasselbe Vor- zeichen wie Qq haben , und wir richten Iq + 'tnQ = Hq -\- q^ = 1 ein. Nun können wir (29) T = l,L-i-m,M==-n,N-{-q,Q wählen. Dabei wird in der Tat T = 1 eine Stützebene an ^ durch den Punkt %, und bei der in Rede stehenden Variation folgt durch die Glei- chungen (27): l^L, + ni^M, = 0, - n,{N^ + N, + N,) -q^Q,== 0, so daß einerseits nicht L^ und M^, andererseits nicht N.^^-\- N^-\- iVg und Q^ zwei von Null verschiedene Werte mit gleichem Vorzeichen sein können. Nun wird für den Punkt 1, — 1, 0 bei jener Variation: i = 1 — eL^^ — M = 1 — s M^ , so daß wenigstens eine dieser zwei Größen > 1 bleibt, und für den variierten Punkt 1,1,2 wird JV= 1 + «(JV^ + iVg + iVg), Q = 1 -\- sQi, so daß wenigstens eine dieser zwei Größen ^ 1 bleibt. § 9. Dichteste Lagerung von Tetraedern. 34. Wir wenden jetzt unsere Ergebnisse speziell auf die dichteste Lagerung von Tetraedern oder von Ohtaedern an. Es sei 9^ = — l + ^ + ^j X = l — V + t, i> = l^-'n — t, (o^ — l — ri — l, so gilt (30) 9, + ;g-|-^ + C3 = 0 und definieren die Ungleichungen 9P^T' ^^T' ^^T' ^^T den Bereich eines Tetraeders; in diesem Bereiche sind andererseits cp, %^ 3 T 3 ^, CO stets ^ — -r • Dieses Tetraeder nehmen wir jetzt für den Grund- körper K, sein Volumen ist «^=24* ^^"^ zugehörige Körper —{K-^-K') mit Mittelpunkt, der in bezug auf genau dieselben Gitter ((SJ) wie K solche Anordnungen gestattet, wobei die Körper um die verschiedenen Gitterpunkte gesondert liegen, ist dann das Oktaeder -Y^^-^y, -Y^;j^Y' -Y^^^Y' - Y ^ '^ ^ Y'' diese acht Ungleichungen können in die eine Bedingung l^i + NI + UI^I Dichteste gitterförmige Lagerung kongruenter Körper. 35 zusammengefaßt werden. Das Volumen dieses Oktaeders -r-(X -f Z"') ist — . Wir substituieren nun 6 wobei die Determinante der drei linearen Ausdrücke =4= 0 sei, und wir fragen nach dem Minimum für den absoluten Betrag A dieser Deter- minante, während vom ganzen Zahlengitter in X, Y, Z bloß der Null- punkt ins Innere des Oktaeders ^ = K -\- K' f äUt. Wir bringen nacheinander die verschiedenen Regeln des § 8 zur An- wendung. Von dem einen in 33. am Schlüsse berührten Ausnahmefalle abgesehen, der, wie sich zeigen wird, hier nicht in Betracht kommt, können wir die jedesmal einzuführenden 6 oder 7 Stützebenen an Ä immer als Seitenflächen dieses Oktaeders gewählt voraussetzen, wir können also an- nehmen, daß jede einzelne der Formen L, M, N, . . . mit einem von den Ausdrücken ±9'>diZ>ifc'^;±^ übereinstimmt. 35. Wir wollen vorweg einen speziellen Fall behandeln, wie er in 32. zur Sprache kam. Es mögen die Umstände des Falles (11) dort gelten, und dabei sei a = Z. Der Schnitt von Ä mit der Ebene Z = 0 ist alsdann ein Sechseck mit 0 als Mittelpunkt, bei dem die Diagonalen den Seiten parallel sind. Auf diesem Sechsecke liegen die Gitterpunkte 2, Tt, X(l, 0, 0; 0, 1, 0; 1, 1, 0). Wir können annehmen, daß die Aus- drücke L, M, T, in irgendeiner Reihenfolge genommen, mit +(p, +%, +t übereinstimmen, denn wenn zwei jener Punkte in einer und derselben Seite des Sechsecks liegen sollten, so müßten die drei Punkte sämtlich Ecken des Sechsecks werden. Die Gleichung (30) ergibt nun mit Rücksicht auf die Ausdrücke (24) : /tj = 1 — Tj, ^2 = r^, und die Gleichungen (25) führen dann zu Tj = — , so daß die 3 Gitterpunkte 2, SO?, jE mit ihren Gegenpunkten die Mitten der Seiten des Sechsecks bilden. Durch kontinuierliche Variation von 91(0,0, 1) auf der Seitenfläche Z = 1, wobei A sich nicht ändert, können wir insbesondere folgende Ausdrücke erzielen: L = x-^Y-\z, M=-\x^Y-^z, r = 4-x + |r, dabei liegen in der Seitenfläche Z = 1 von Ä die fünf Gitterpunkte -1,-1,1; 0,0,1; 1,1,1; 1,0,1; 0,1,1. Variieren wir nun 2, SR, 9^1 in 1 + f, £, £; — £, 1 — £, — £; — £, — 2s, 1, während £ positiv sei, so tritt bei hinreichend kleinem s kein Gitter- 36 Zur Geometrie der Zahlen. punkt ins Innere von Ä ein und A geht in A(l — s^) über. Also liegt hier kein Minimum von A vor. 36. Nach Beseitigung dieses speziellen Falles gehen wir zuerst auf die Umstände des Falles (I) gemäß 31. ein, wobei die Punkte 1,0,0; 0,1,0; 0,0,1; 0,1,-1; -1,0,1; 1,-1,0 auf ^ und -1,1,1; 1,-1,1; 1, 1, — 1 außerhalb ^ liegen sollen. Da für die 6 Ausdrücke L, M, N, E, S, T in {22) nur die vier Paare + qp, + %, + ^> ± 03 iß Betracht kommen, so müssen unter diesen Aus- drücken entweder irgend drei oder zweimal je zwei anzugeben sein, die bis auf den Faktor + 1 übereinstimmen. Nach den Bedingungen für die Koeffizienten in (22) kann nicht L = — M sein. — Die Annahme L = B führt zu L = X -^ Y. Der Schnitt von ^ mit der Ebene X -\- Y = 0 ist dann ein Sechseck mit nur zwei Paaren von Gitterpunkten auf dem Rande, durch ^ und % reprä- sentiert, und wir können, sei es durch alleinige Variation von ?fl oder von X, den Wert von A verringern. Stellen wir uns die Figur des Tetraeders aus den Vektoren 1, 0, 0; 0,1,0; 0,0,1; 0,1,-1; -1,0,1; 1,-1,0 vor (Fig. 3 links in 19.) und beachten, wie darin die Rollen der einzelnen Vektoren vertauscht werden können, so leuchtet ein, daß wir nach den letzten Bemerkungen jetzt überhaupt die Gleichheit für irgend zwei der Ausdrücke +i, ..., + T ausschließen können, falls die zugehörigen Systeme ^,2',...,%,%' zwei solchen Vektoren in jenem Tetraeder entsprechen, die entweder sich in einer Ecke mit ihren Richtungen aneinand erschließen oder auf gegen- überliegenden Kanten Platz finden. Danach brauchen wir nur noch die folgenden Annahmen zu diskutieren: 1) L = M=N. — Daraus folgt L = X + Y + Z. Es sei dieser Ausdruck etwa = co, so ergeben sich ganz entsprechende Umstände wie in dem Falle a = Z, der in 35. vorweggenommen wurde, und ist A hier nicht ein Minimum. 2) L = M,B = - S. — Hierbei folgt L=X-}-Y-\-X,Z, It = Q,{Xi-Y)-{l-Q,)Z. Aus der dritten Gleichung in (23): Z=-rJRi-sS i-nN geht dann entweder R = — Z hervor, welcher Fall sich ähnlich wie in 35. erledigt, oder JV"=0 (mod X+ Y, Z). In letzterem Falle wäre die Determinante von L, R, N Null, während wir uns diese Formen hier als drei verschiedene Ausdrücke dt % ± Z? ± ^j ± c' denken müssen, um nicht auf schon erledigte Fälle zurückzukommen. Dichteste gitterformige Lagerung kongruenter Körper. 37 3) X = iV, J2 = - Ä - Hier wird und die soeben erwähnte Gleichung für Z erfordert entweder N= X. -f- Y-{- Z, oder E = — Z, welche Fälle schon Erledigung fanden. 37. Wir betrachten zweitens die Umstände des Falles (11) gemäß 32., wobei die Punkte 1, 0, 0; 0, 1, 0; 0, 0, 1; 0, 1, 1; 1, 0, 1; 1, 1, 0 auf ^ und 1, 1, 1 außerhalb ^ liegen sollen. Nach den Bedingungen für die Koeffizienten in den Ausdrücken (24) kann nicht L = M sein. — Die Annahme L = — M führt zu L = X — Y imd ist hier wesentlich wie der in 35. vorausgeschickte Spezialfall zu er- ledigen. — Femer kann nicht L = B, nicht L = — S und nicht Z = — T sein. — Die Annahme 11 = — S führt auf 11 = — X -\- Y. Mit Rücksicht auf die Vertäu schbarkeit der Rollen der drei Paare L, JR] M, S] N, T bleiben hiemach nur die folgenden verschiedenen Fälle zu diskutieren, wobei wir bei der Behandlung jedes einzelnen Falles an- nehmen, daß die Umstände der vorhergegangenen Fälle ausgeschlossen sind: 1) R = S = K — Hier folgt N = Z und wäre dieses der Fall aus 35. 2) B = S= T. — Wir haben danach i? = y (X + F + Z). Die Relationen (25) führen zu Ag = A3, Hi = /ig, Vj^ = v^. Gemäß (30) muß dann +L + 3I+N = R sein, und diese Bedingung zieht notwendig die Ausdrücke L = X-^Y-^Z, M=-^X+Y-^Z, N=-^X-^Y-{-Z 4 4 ' 4 4 ' 4 4 nach sich. Variieren wir dann die Punkte 2, 3J?, 91 in 1 s — E- e 1 — £-00 1 80 tritt bei hinreichend kleinem Betrage von a kein Gitterpunkt ins Innere von Ä ein, und A geht in A (1 — «') über; also ist hier kein Minimum von A vorhanden. 3) B = -L, S=-M. — Wir erhalten L = X-X,Y-{\-X,)Z, M = -ii^X+Y-{l- iL,)Z Für den Punkt 1, 1, 1 ist X = 0, M=0 und muß für ihn daher iV=|= 0 sein, da wir in L, M, N drei der Ausdrücke + (f, +%, ±,i>, ±0 haben; mithin folgt v^ -f- 1/3 < 1 und fällt daher N auch von — T verschieden aus. Wir müssen nun ±L±M ±N = T haben. Da 1, 1, 1 nicht im Inneren von Ä liegt, folgt daraus notwendig v^ = 0, v^ =' 0, also N = Z. 4) B = -L, S = N. — Hier folgt - i2 = X - A2 r- (1 - Aj)z, jv - - vj r-f z, 38 Zur Geometrie der Zahlen. und die dritte Gleichung in (25): ' Z = rB-\-sS-\-nN erfordert n = Z. b) R = M, S = L. — Wir haben dann M =^ - li^X + Y, L = X - X^Y, und aus der ersten Gleichung in (25): X = IL -{- sS -^ tT würde L = X oder T = t^ X -\- (1 — ty) Y folgen. In letzterem Falle aber wäre die Determinante von L, M, T Null, während diese Formen hier drei der Ausdrücke ± qp, ± X? ± ^; ± ß^ darstellen sollen. Q) R^ M, S=^N. - Hier wäre B = -iL,X+Y,N=-v,Y-\-Z, und die im Falle 4) genannte Gleichung für Z würde N --= Z oder IR = Y erfordern. 7) jR = /S, T=N. — Wir erhalten hiernach N=-v,X-{\-v,)Y+Z, B = Q,{X-^Y)^{l-Q,)Z, ^,^|, und aus der Relation für Z folgt dann B = Z oder aber N= — — X — —Y-\-Z. In letzterem Falle führen die Gleichungen (25) und die Beziehung ±Z±Jf±JV=i2 weiter zu den Ausdrücken L = X-^Y-^Z, M=-^X+Y-^Z, Variieren wir nun die Punkte 2, '331, 9^ in so tritt bei hinreichend kleinem Betrage von s kein Gitterpunkt ins Innere von ^ ein, und A geht in A (1 — s^) über. Also ist hier A nicht ein Minimum. 8) B = S, T^L. — Hier wird S = Q,{X+ Y) + {l-Q,)Z,L^X-l,Z, und aus X ==IL -\- sS -{- tT folgt notwendig L = X oder S = Z. Auf diese Weise hat auch die Betrachtung des Falles (H) zu keinem Falle eines Minimums von A geführt. 38. Wir betrachten endlich die Umstände des FaUes (III) gemäß 33., wobei auf ^ die sieben Punkte 1, 0, 0; 0, 1, 0; 0, 0, 1; 0, 1, 1; 1, 0, 1; 1, 1, 0; 1, 1, 1 liegen sollen. Die Annahme B = S würde jetzt, da hier q^ und ög ^ ^ si^*^> B = Z zur Folge haben. — Beachten wir noch, daß die Rollen der vier Punkte Dichteste gitterformige Lagerung kongruenter Körper. 39 2, 9Ji, 'iR, C durchaus Tertauschbar sind, so können wir uns auf die Dis- kussion folgender Annahmen beschränken und dabei ferner L, M, N, — Q als mit + l2 ^ f^a = v^. Mithin kommen wir hier wesentlich zu folgenden Ausdrücken für die Formen cp, i^ ^-^ ta: 9; = X — — r, i=Y——Z, ^> = —^X^Z, (31) 1 t 1 o,---x--r-^z. 1 / 8 \ 19 Bei diesen Ausdrücken wird A = — (1 — -;;r) == ttto • Daß in diesem 4 \ 27/ 108 einzig übrig gebliebenen Falle A in der Tat ein Minimum sein muß, ver- steht sich von selbst und kann leicht verifiziert werden. 39. Beachten wir noch, daß in den Ausdrücken (31) für qp, ;u, ^, a die eine Form ra und für die anderen die zyklische Folge 9), 1, z^ bevor- zugt erscheint, so können wir endlich das Resultat aussprechen: Gegebene Tetraeder (Oldaeder) in unendlicher Anzahl, die sämtlich mit einem unter ihnen, dem Tetraeder {dem Oktaeder Icongi-uent und parallel orientiert sind, können sich auf acht Arten in dich- tester gitterförmiger Lagerung befinden. Diese Lagerungen werden erhalten, indem +1, -f ■»j, -f ^ oder -f |, -f 5, -f- 7^ irgendwie mit solchen Vorzeichen, deren Produkt -\- 1 ist, gleich gesetzt werden und das Zahlengitter in X, Y, Z als Ort für die Schwer- 40 Zur Geometrie der Zahlen. punläe der Körper genommen wird. Der von den Tetraedern (Ohtaedern) erfüllte Baum verhält sich dabei zu dem von ihnen freigelassenen Baume bzw. zu dem ganzen unendlichen Baume wie 24 \ 6 / * 216 VlÖ8/ * iÖ8 Ajßj /(---\ Die Fig. 6 zeigt für den durch die Aus- / / '\^'\ drücke (3 1 ) charakterisierten Fall der dichtesten /\ /\ Lagerung von Tetraedern oder Oktaedern die /"v/^^X iuj /\ \. Lage der Gitterpunkte in dem halben, durch /.-_>— .-\ /—-x^'^'^X ^[g Flächen 95 = 1, ;^ = 1, ^=1, o = — 1 / N, ^0,0 \/iXo/ \'' \ gebildeten Netze des Oktaeders Ä. ^»8 6- 40. Wir geben diesem Satze ferner die folgende rein arithmetische Einkleidung: Sind I, % t, drei lineare Formen in den Variablen x, y, z mit beliebigen reellen Koeffizienten und einer von Null verschiedenen Determinante, deren Betrag A ist, so "kann man stets für x, y, z solche ganzzahlige Werte, die nicht sämtlich Null sind, finden, daß also der Betrag jedes der vier Ausdrücke 3 - — . — dabei ^ "1/ — ^ A ausfällt. An Stelle des Zeichens ^ hier genügt das Zeichen <, falls |, rj, t, nicht gerade so beschaffen sind, daß + |, + ■»?? + ^> i^i^ irgendwelchen Vorzeichen und in irgendwelcher Reihenfolge, durch eine lineare ganz- zahlige Substitution mit einer Determinante + 1 in die Ausdrücke transformiert werden können. 41. Es seien |, r], ^ wiederum drei lineare Formen in x, y, z mit be- liebigen reellen Koeffizienten und einer von Null verschiedenen Deter- minante, deren Betrag A ist. Setzen wir »1=1 + ^, «2 = — 1 + S, »3 = '^ - ^ c^^ = — '»? — 2;, so entsteht , , , r\ »1+ «2+ ^3+ o'4'= ^• Eine Anwendung des Satzes aus 40. auf diese vier Ausdrücke co^, co^, (Ö3, O4 ergibt, daß es stets möglich ist, für x, y, z ganzzahlige, von 0, 0, 0 ver- schiedene Werte zu finden, wofür l^l + UI; hl + UI 3 /TT beide ^[/y^A ausfallen. Dichteste gitterförmige Lagerung kongruenter Körper. 41 Mit Hilfe der Ungleichungen \V'-' '^ < + \^\\ ,..., /2 nn\ < 1+1^ 4 = V 3 /' 4 =- folgt daraus weiter Wir bemerken noch, daß in dem Grenzfalle, für den allein in dem letzten Satze das Zeichen = nötig war, das betreffende System x, y, z hier immer derart ausgesucht werden kann, daß dafür weder ^ = 4-2^ noch 7j = "i- 2^ gilt, und wird dadurch in diesen weiteren Ungleichungen das Zeichen = entbehrlich. Wenden wir das Ergebnis insbesondere auf die Ausdrücke I = a; — a^, rj^y — hz, ^ = y an, wobei a, h zwei beliebige reelle Größen sind und t ein positiver Para- meter (>T^) sei, so kommen wir zu dem Satze: Sind a, b irgend zwei reelle Größen, so kann tnan stets solche ganze Zahlen x, y, z finden, daß ^ > 0, \x — az\, \y — bz\ beliebig Mein und dabei \ ^ '^i/s" 1 ■ y 1,1^1 /'s" 1 iT-"i einen Pol hat, läßt sich in einen Kettenbruch (1) entwickeln, worin Fq{z) und die Nenner Ff^i/), ^^i^), • • • ganze rationale Funktionen sind. Die Näherungsbrüche dieses Kettenbruchs lassen sich von vorn- herein charakterisieren, ohne daß es nötig wäre, sie erst sukzessive durch die Entwicklung ausfindig zu machen. Als Näherungsbruch tritt hier jeder solche Quotient F{z)IQ{z) zweier teilerfremden ganzen Funktionen auf, für welchen der Ausdruck (2), nach fallenden Potenzen von z ent- wickelt, mit einer Potenz von negativem Exponenten beginnt. Während eine sehr weitgehende Analogie zwischen den Eigenschaften der ganzen Zur Geometrie der Zahlen. 45 Funktionen und der ganzen ZaMen besteht, schien zu dem genannten Satze ein entsprechender in der Arithmetik zu fehlen. Dieses Analogen finden wir darin, daß für eine beliebige reelle Größe a die sämtlichen gekürzten Brüche x-y, welche die Ungleichung (3) erfüllen, für welche also {x — ay)y in den Grenzen — und — Hegt, sich als die Xäherungs- brüche einer bestimmten Kettenbruchentwicklung (4) mit ganzzahligem g^ und lauter positiven ganzzahligen g^, g^j ■ ■ • anordnen.*) Sind, um etwas allgemeinere Umstände zu betrachten, |, rj zwei binäre lineare Formen in x, y mit beliebigen reellen Koeffizienten und einer Determinante = 1 (im speziellen würden wir ^ — x — ay, rj = y annehmen), so besteht ein sehr anschaulicher Zusammenhang zwischen den sämtlichen möglichen Auflösungen der Ungleichung \^i]\<.-^ in ganzen Zahlen x, y ohne gemeinsameti Teiler.**) Wir zeichnen die Geraden 5 = 0, iy = 0, etwa rechtwinklig zueinander, und die beiden Hyperbeln ^tj = — und § 7/ = — —• Wir legen eine beliebige Tangente an den Hyperbelast im ersten ^, ?;- Quadranten und konstruieren dazu die Spiegelbilder in den drei anderen Quadranten, so daß wir ein Tangentenparallelogramm mit den Diagonalen | = 0, ?; = 0 erhalten. Ein solches Parallelogramm ent- hält nun stets wenigstens eine primitive (d. h. aus ganzen relativ primen Zahlen x,y=^0,0 bestehende) Losung der Ungleichung j|iy|<— , und es enthält höchstens zwei verschiedene solcher Lösungen, wobei dann die Determinante aus den Koordinaten x, y dieser Lösungen stets + 1 ist. Zwei entgegengesetzte Systeme x, y und — x, — y betrachten wir hier nicht als verschieden. Umgekehrt gibt es zu jeder primitiven Lösung x, y eine solche Form jenes Tangentenparallelogramms, wobei es nur diese Lösung (und — x, — y) enthält, und andererseits, wofern dafür nicht 5 = 0 ist, auch eine solche Form, wobei es diese und außerdem noch eine zweite primitive Lösung mit kleinerem j 5 i enthält. Deformieren wir nun das Tangentenparallelogramm kontinuierlich, indem wir die Tangenten an den bezüglichen Hyperbelästen entlang gleiten lassen, so erhalten wir abwechselnd die rot und grün gezeichneten Formen mit einer und mit zwei primitiven Lösungen, und es tritt die Gesamtheit der primitiven Auflösungen der diophantischen Ungleichung |5i2l<^'^> geordnet nach *) Wie die Aussage hier gefaßt ist, darf a nicht gerade die Hälfte einer un- geraden ganzen Zahl sein. **) Wir nehmen hier an, daß %r\ nicht gerade mit der Form -rC^' — ^*) arithmetisch äquivalent ist. 46 Zur Geometrie der Zahlen. abnehmendem 1 1 1 (und wachsendem | ^ |), — die zu den Formen |, 7; ge- hörige Diagondlliette — hervor. (Fig. 3). Mit den nicht homogenen diophantischen Ungleichungen hat sich wohl zuerst Tschebyscheff beschäftigt und darüber ein Theorem folgender Art entwickelt: Sind a, h zwei beliebige reelle Größen, so kann man stets ganze Zahlen x, y finden, wofür die Ungleichung (1) gilt. Statt des Faktors -j- rechts hat Tschebyscheff hier eine etwas ungünstigere Konstante. Die am weitesten führenden Schlüsse in dieser Richtung knüpfen an die nun folgenden Zeichnungen an: ^, 7} mögen wieder zwei lineare Formen in x, y mit beliebigen reellen Koeffizienten und einer Determinante = 1 bedeuten. Mit Hilfe zweier aufeinanderfolgenden Glieder der vorhin besprochenen Diagonalkette zu I, ri können wir ein System homologer Parallelogramme um die einzelnen Gitterpunkte als Mittelpunkte, die roten Parallelogramme, konstruieren, deren Diagonalen parallel den Linien 1 = 0, ri = Q sind und wobei nicht zwei ineinander eindringen, wobei aber jedes an vier (bei lückenloser Überdeckung der Ebene an sechs oder acht) andere Parallelogramme an- grenzt. Dabei können sich noch zwei verschiedene Möglichkeiten dar- bieten, die in der oberen und der unteren Zeichnung zur Darstellung ge- bracht sind, indem ein Parallelogramm entweder mit jeder Seite an ein benachbartes oder nur mit zwei Seiten jedesmal an je zwei benachbarte anstößt. Die roten Parallelogramme lassen nun (im allgemeinen) noch Lücken zwischen sich. Wir diktieren sie von ihren Mittelpunkten zu homotheti sehen Parallelogrammen in demjenigen bestimmten Verhältnis, wobei sie jedesmal über die Hälfte anstoßender Lücken hinauswachsen, und wir erhalten dadurch die grün gezeichneten Parallelogramme, welche nun die ganze Ebene vollständig, aber zum Teil mehrfach überdecken. Dabei zeigt es sich, daß diese neuen Bereiche keine Partie der Ebene mehr als zweifach überdecken, und ist infolgedessen der Flächeninhalt JJdx dy eines grünen Parallelogramms ^ 2. Diese Tatsache führt zu folgendem Satze: Sind lo, r^o irgend zwei reelle Werte , so Jcann man stets solche ganze Zahlen x, y finden, daß die Ungleichung (3) gilt. Der vorhin formulierte Satz über den Ausdruck x — ay — & ist nur ein Spezialfall dieser allge- meineren Aussage. — Das arithmetische Fundamentaltheorem über konvexe Gebilde läßt sich mit Leichtigkeit auf den Raum, sowie auf Mannigfaltigkeiten be- liebiger Dimension übertragen. Eine seiner wertvollsten Anwendungen findet das Theorem zu einfachen Beweisen der Dirichl et sehen Sätze über die Einheiten in den algebraischen Zahlkörpern. Zur Geometrie der Zahlen. 47 Im Räume werden wir so für das parallelepipedische Punktgitter der ganzzahligen Systeme von 3 Variablen x, y, z den Satz haben: £'m lion- vexer Körper mit einem MittelpunJct im Nullpunkt und von einem Volumen fffdx dydz ^8 enthält stets ivenigstens einen weiteren GitierpunJit. Auf diesen Satz gründen wir wirklich brauchbare Methoden zur Er- mittlung der sämtlichen Einheiten in einem gegebenen huhischen ZahlJcörper. (Fig. 4.) Handelt es sich zunächst um einen kubischen reellen Körper mit negativer Diskriminante, wobei die zwei konjugierten Körper einander konjugiert komplex sind, so existiert in dem Körper eine völlig bestimmte positive Fundamentaleinheit von möglichst kleinem Betrage > 1. Das Verfahren zur Gewinnung dieser Einheit läßt sich an der oberen Zeich- nung in Figur 4 klarmachen. Es sei | eine Basisform des gegebenen Körpers, tj, l seien die konjugierten Formen in den konjugierten Körpern. Sind X, n positive Parameter, so geben uns die Gleichungen | = + .?, zwei Ebenen, j i? | = /tt eine elliptische Zylinderfläche. Wir können die zwei Parameter A, ft derart bestimmen, daß der begrenzte zylindrische Raum (1) (der rote Zylinder in der Figur) sowohl auf einer Basisfläche einen Gitterpunkt Ä wie auf der Mantelfläche einen Gitterpunkt B (und natür- lich gleichzeitig auch die in bezug auf den Nullpunkt diametral gegen- überliegenden Gitterpunkte A', B') aufweist. Nun bedürfen wir eines neuen Gitterpunktes C, um hernach aus den Koordinaten von A, B, C eine hier nützliche lineare Substitution zu entnehmen. Wir variieren den elliptischen Zylinder (1) als solchen, indem wir in den zwei Basis- flächen diejenigen parallelen Durchmesser festhalten, deren Ebene durch B, B' geht, dagegen die zu ihnen konjugierten Durchmesser dilatieren und entsprechend den ganzen zylindrischen Raum ausdehnen, bis wir einen neuen Gitterpunkt C auf seiner Mantelfläche auftreten sehen. In diesem Zustande (mit den schwarz gezeichneten Rändern) bezeichnen wir den Zylinder als einen extremen. Wir finden, daß die Determinante aus den Koordinaten von A, B, C gleich + 1 ist, wenn sie nicht unter be- sonderen Umständen Null ist. Von jedem extremen Zylinder können wir nun zu einem benachbarten schmäleren extremen Zylinder fortschreiten. Wir ziehen die ursprünglichen Basisflächen homothetisch von der Achse aus zusammen, bis ihre Ränder durch A, A' gehen, wodurch diese Punkte auf die Mantelfläche treten, und können dann, ohne daß Gitterpunkte ins Innere des Zylinders eintreten, den Zylinder ausziehen, die Basisflächen parallel mit ihrer Anfangslage vom Nullpunkte entfernen, bis sie von neuem auf Gitterpunkte D, D' stoßen, und von diesem weiteren Zustande aus können wir dann wie vorhin einen extremen Zylinder herstellen. Danach existiert eine bestimmte Kette von extremen Zylindern, und die 48 Zur Geometrie der Zahlen, Betrachtung der auf ihren Basisflächen auftretenden Gitterpunkte führt mit Sicherheit eben zur Auffindung der Fundanientaleinheit in dem ge- gebenen kubischen Zahlkörper. — Das allgemeine Theorem über konvexe Körper, auf Parallelepipede angewandt, führt zur Folgerung: Sind i,, ri, t, irgend drei lineare Formen in X, y, z mit heliehigen reellen Koeffizienten und einer Determinante + A, wohei A > 0 ist, so Jcann man für die Variablen x, y, z stets solche ganze Zahlen, die nicht sämtlich Null sind, finden, daß dadurch die Beträge aller drei Formen < ]/A ausfallen. Liegt nun ein kubischer Körper mit positiver Diskriminante vor, dessen konjugierte Körper also sämtlich reell sind, und handelt es sich um die Ermittlung aller Einheiten im Körper, so seien |, ij, ^ konjugierte Basisformen in dem Körper und seinen zwei konjugierten Körpern. Wir fassen alsdann die Gesamtheit aller solchen „extremen" Parallelepipede mit dem Nullpunkt als Mittelpunkt und mit Seitenflächen parallel den Ebenen ^ = 0, ?; == 0, ^ == 0 ins Auge, welche im Inneren vom ganzen Gitter nur den Nullpunkt enthalten, aber auf allen Seitenflächen mit be- sonderen Gitterpunkten versehen sind. Es existieren hier unendlich viele Parallelepipede von diesem Charakter, sie besitzen eine bestimmte Ver- kettung untereinander, und die Kenntnis dieser führt uns mit Sicherheit zur Aufstellung aller Einheiten im gegebenen Zahlkörper. Den Übergang von einem extremen Parallelepiped zu seinen benachbarten in der Kette vermittelt ein einfacher Algorithmus, der sich vor allem nach der Art richtet, wie die Gitterpunkte auf den Seitenflächen des Parallelepiped s in Hinsicht auf deren Mittellinien liegen. In dieser Beziehung bieten sich wesentlich drei Möglichkeiten dar, die in den Figuren (I), (II), (III) zum Ausdruck gebracht sind. In den Fällen (I) und (II) erweist sich die Determinante aus den Koordinaten von Ä, B, C gleich 1, im Falle (III) ist sie Null und fällt dabei der Schwerpunkt des Dreiecks ABC in den Nullpunkt. (Fig. 5.) Ich hebe noch das folgende anziehende Problem hervor, welches auch in der Theorie von der Struktur der Kristalle eine SteUe findet : Wir denlcen uns einen beliebigen Grundkörper im Baume vorgelegt. Lauter mit ihm kongruente und parallel orientierte Körper in unendlicher Anzahl seien so angeordnet, daß ihre Schwerpunkte ein parallelepipedisches Punktsystem bilden und daß nicht zwei der Körper ineinander eindringen. Unter welchen Umständen schließen sich die Körper so dicht als überhaupt möglich zusammen, sind also die zwischen ihnen vorhandenen Lücken auf ein Minimum an Volumen reduziert? Für den Fall, daß der Grundkörper ein Oktaeder ist, gibt Fig. 5 die Zur Geometrie der Zahlen. 49 Lösung des Problems an. In der fraglichen dichtesten gitterförmigen Lagerung muß jedes einzelne der Oktaeder in bestimmter Weise an vier- zehn benachbarte anstoßen. Hier ist, in eine Ebene umgeklappt, das halbe Xetz eines der Oktaeder dargestellt und sind in den vier Seiten- flächen (durch zur Hälfte rote Berandung) die 7 Partien mit Mittel- punkt angezeigt, in welchen das Oktaeder sich an benachbarte anlegt. Das Minimum des Raumes, welches die Lücken zwischen den Oktaedern noch darbieten, verhält sich zu dem von den Oktaedern eingenommenen Räume in diesem Falle der dichtesten Lagerung wie 1 : 19. Dieses Resultat gestattet folgende rein arithmetische Einkleidung: Sind (p, X, ip, a irgend vier lineare Formen in x, y, z mit beliebigen reellen Koeffizienten, deren Summe identisch Null ist und icdbei je drei eine Determinante + 4A (A > 0) habest, so Jcann man stets solche ganze Zählen X, y, z, die nicht sämtlich Null sind, finden, daß die üngleidiungen (2) gelten. Von diesem Ergebnisse machen wir noch eine bemerkenswerte An- wendung. Es seien a, b zwei beliebige reelle Größen, t ein positiver Parameter, so bestimmen die 8 Ebenen (3) ein Oktaeder. Indem noch t beliebig groß angenommen werden kann, entspringt hieraus diese Fol- gerung: 3Ian Mnn zivei beliebige reelle Größen a, b stets durch Brüche x/z und y/z mit gleichem Nenner beliebig genau und zugleich derart annähern, daß die Ungleichungen (4) statthabet!. (Fig. 6.) Wir werfen nun die Frage auf: Wie übertragen sich die Sätze über die Approximation einer reellen Größe durch Zahlen des natürlichen Rationalitätsbereiches auf das Gebiet der komplexen Größen? Man wird hier zunächst auf Approximationen im Zahlkörper der dritten oder der vierten Einheitswurzel ausgehen. Im Körper der dritten Ein- heitswurzel liegen die Dinge wesentlich einfacher und werden die Sätze sehr ähnlich denen für reelle Größen. Ich will hier nur die verwickei- teren Beziehungen im Körper der vierten Einheitswurzel berühren. Es seien |, rj zwei lineare Formen mit beliebigen komplexen Koeffi- zienten und zwei komplexen Variablen x + ix', y + iy' von einer Deter- minante A=HO, so richten wir unser Augenmerk auf diejenigen „extremen" Zahlenpaare x -\- ix', y -f iy 4= 0, 0 im Zahlkörper von /, zu welchen nicht ein Zahlenpaar derselben Art angebbar ist, das sowohl 1 1 1 wie | rj \ kleiner werden läßt. Wir können die zwei Zahlen eines Paares mit einer und derselben Einheit — 1, + i multiplizieren, das entstehende assoziierte Paar gilt uns hier als nicht verschieden von dem ursprünglichen. Alle vor- handenen extremen Paare lassen sich nun in eine Kette nach der Größe von 1 1 (und zugleich von tj ) ordnen. Zwei benachbarte Paare der Kette zusammen sind leicht a priori zu charakterisieren. Nämlich die Minkowski, Gesammelte Abhandlangen. II. 4 50 Zur Geometrie der Zahlen. zugehörige Determinante (2) ist entweder (Ä) eine Einheit + 1, + « oder (JB) gleich (1 + i), multipliziert in eine Einheit. Wir benutzen diese zwei Paare als Vertikalreihen der Matrix einer auf |, rj anzuwendenden Substitution und erhalten dadurch für l, r} die Ausdrücke (3), worin ] q |^ 1 6 1 beide < 1 sind. Indem wir das zweite Paar durch ein assoziiertes ersetzen und eventuell noch i in — i umwandeln, können wir q auf den in den Zeichnungen rot markierten Oktanten des Einheitskreises (bzw. 1/q auf den konjugierten Oktanten außerhalb dieses Kreises) bringen. Es sind nun die FäUe (Ä) und (B) zu unterscheiden, auf welche sich die größere bzw. die kleinere Zeichnung bezieht. Im Falle {Ä) wird jener Oktant durch gewisse Kreise vom Radius 1 bzw. — in fünf Stücke zerlegt, die in der Figur fortlaufend mit I — V numeriert sind. Wenn q in ein be- stimmtes derselben fäUt, kann jedesmal 6 nur in diejenigen grünbegrenzten Stücke des Einheitskreises fallen, in welche die nämliche Nummer ein- getragen ist. Der kleinste Wert für den Betrag der Determinante 1 1 — () ^ | entsteht, wenn q, 0 den scharfen mit kleinen Kreuzen bezeichneten Ecken der Figur entsprechen. Im Falle [B) kann q nur in das rote Gebiet (I) und 0 dann nur in das grüne Gebiet (I) faUen. Als wichtigstes Ergebnis entnehmen wir hieraus: Man Jcann in die Formen §, rj für x -\- ix', i/ + iy stets solche ganze Zählen des Körpers von i, die nicht beide Null sind, setzen, daß dabei die Ungleichungen (4) gelten. — Endlich möchte ich noch einige Worte über Kriterien für algebraische Zahlen hinzufügen. (Fig. 7.) Durch diese Figur suche ich dem bekannten Lagrangeschen Kriterium für eine reelle quadratische Irrationalzahl eine neue Seite ab- zugewinnen. In einem Quadrat von der Seitenlänge 1 sind hier auf der linken vertikalen Seite, der «/-Achse, fortgesetzt Halbierungen vorgenommen, so daß sukzessive alle Punkte erhalten werden, deren Ordinate eine rein dyadische Zahl, d. h. eine rationale Zahl mit einer Potenz von 2 als Nenner ist. Jedem auf der «/-Achse auftretenden Intervall oder Teilpunkt wird nun ein Intervall bzw. ein rationaler Teilpunkt auf der iC-Achse, der unteren horizontalen Seite, dadurch zugeordnet, daß zunächst den End- werten «/ = 0 und y = 1 die Endwerte x = 0 und x = 1 entsprechen sollen, und weiter, so oft dort ein Intervall halbiert wird, hier zwischen die Endpunkte ajb, a'jb' des zugeordneten Intervalls, a und b, ferner ä und b' als relativ prim gedacht, ein neuer Teilpunkt in rr = (a -f- «')/(& -|- &') eingeschaltet wird. Auf der horizontalen Seite treten so als Teilpunkte sukzessive alle Punkte mit rationaler Abszisse auf, und die Zuordnung der gleichzeitig konstruierten Abszissen und Ordinaten liefert uns das Bild Zur Geometrie der Zahlen. 51 einer beständig wachsenden Funktion y = ?{x), znnäclist für alle rationalen X, dann durch die Forderung der Stetigkeit erweitert auf beliebige reelle Argumente im Intervalle 0--'j^« die Quadratsumme Sie ist eine positive quadratische Form der n Variablen x^, x^, ...,x^ mit den Koeffizienten Wir betrachten die " ^ -dimensionale Mannigfaltigkeit Ä der J" beliebig veränderlichen reellen Parameter a^^^. Jedem Punkte /"= («»t) dieser Mannigfaltigkeit Ä, für den die Form f sich als wesentlich positiv 54 Zur Geometrie der Zahlen. erweist, entspricht auf Grrund der eben hingeschriebenen Gleichungen noch ein — ^-^ — ^ - dimensionales Gebiet A(/') von Punkten (cc^^) in der Mannig- faltigkeit A. Wir übertragen den Begriff der arithmetischen Äquivalenz und Klasse sinngemäß auf die positiven quadratischen Formen, und wir suchen in der Mannigfaltigkeit Ä einen Bereich B, in dem jede Klasse positiver quadra- tischer Formen durch einen PunJd, und wenn der Punkt in das Innere von B fällt, auch nur durch einen einzigen Punkt repräsentiert wird. Alsdann bilden die Gebiete A(f) zu aUen in B gelegenen Punkten f den verlangten Diskontinuitätsbereich B in der Mannigfaltigkeit A. Ich werde nachweisen, daß der Biskontinuitätsbereich B für die arith- metische Äquivalenz der positiven quadratischen Formen derart konstruiert werden kann, daß er in der Mannigfaltigkeit A einen von einer endlichen Anzahl von Ebenen begrenzten konvexen Kegel mit dem durch f=0 re- präsentierten Nullpunkte als Spitze vorstellt. Durch diesen Satz wird für die positiven quadratischen Formen mit n Variablen die Theorie der arithmetischen Äquivalenz auf dieselbe Höhe gebracht, welche sie für die ternären Formen durch die Abhandlung von Dirichlet: über die Reduction der positiven quadratischen Formen mit drei unbestimmten ganzen Zahlen erreichte. Derjenige Teil des Diskontinuitätsbereichs B, welcher den Formen f mit einer Determinante ^ 1 entspricht, besitzt ein endliches Volumen, Für n = 2 kommt dieses Volumen wesentlich auf den nichteuklidischen Flächeninhalt des Fundamentalbereichs der elliptischen Modulfunktion «7(co) hinaus. Die allgemeine Ermittlung jenes Volumens gelingt hier mit Hilfe derjenigen Prinzipien, auf welche Dirichlet die Berechnung der Klassenanzahlen der ganzzahligen binären quadratischen Formen gegründet hat, und ztvar kommt das analytische Element in diesen Prinzipien gerade bei der hier zu machenden Anwendung am reinsten zum Vorschein. Mit jenem Volumen hängen gewisse asymptotische Gesetze betreffs der Formen mit ganzzahligen Koeffizienten zusammen. Andererseits er- möglicht der Wert des Volumens einen Schluß auf die dichteste Ausfüllung des w-dimensionalen Raumes durch lauter kongruente Kugeln. Die einschlägige Literatur zu den hier behandelten Gegenständen ist in meiner Arbeit im 107. Bande von Grelles Journal (Diese Ges. Abhand- lungen, Bd. I, S. 243 — 260) ausführlich genannt und verweise ich dieser- halb auf die dortigen Angaben. Diskontinuitätsbereich für arithmetische Äquivalenz. 55 § 1. Charakter der positiven quadratischen Formen. Es sei f{^x, ^i,---, ^J =^«u ^h ^k ih Ä = 1, 2, . . ., n) eine quadratische Form der n Yariablen x^, x^, ..-, x^ mit reellen Koeffi- zienten a^j. Wir setzen stets ci^^=^ a^^ für /i < Z: voraus. Die aus der /«i, /<9, . .., Ä^-ten Horizontal- und der A'j, A*,, ..., Ä\,-ten Vertikalreihe des quadratischen Schemas der a^j^ hergestellte v-reihige Determinante be- zeichnen wir mit 1. Dafür, daß f eine wesentlich positive Form sei, ist bekanntlich not- wendig und hinreichend, daß die n Determinanten sämtlich positiv sind. Die letzte dieser Größen, J)„, ist die Determinante der Form f, deren Wert wir auch mit D(f) bezeichnen. Wir setzen noch A= 1, A-1 -Qk (Ä = 1,2, . M,. ..,/»-!,«/ //i = l, ...,n-l\ Dann sind auch alle Größen q^'> 0 und besteht die identische Dar- stellung (1) f-a,tx'-\-q,^'-{--- + qnV mit (2) ti=-x, + Y,^x^-^--- + y^„x„, e2=^2+--- + y,,a;„, ,e„=^„. welche den CJiardkter von f als positive Form in Evidenz setzt. 2. Die Vergleichung der Koeffizienten von x^^, x^^^ .. ., x^ auf beiden Seiten von (1) ergibt und rfwrc/i Multiplikation dieser Ungleichungen folgt (4) ai,a«...a.,>D(/). 3. Ist L ein gegebener positiver Wert und soll f^L ausfallen, so folgt aus (1): imd diesen Ungleichungen können nach den Ausdrücken (2) nur eine 56 Zur Geometrie der Zahlen. endliche Anzahl verschiedener ganzzahliger Systeme x^, ^„_i> •••; ^x genügen. Wir haben daher den Satz: Eine positive quadratische Form f Icann nur für eine endliche Anzahl von ganzzahligen Systemen der Variablen Werte annehmen, die eine gegebene Schranke L nicht überschreiten. § 3. Anordnung in einer n-dimensionalen Mannigfaltigkeit. Sind «1, «2? • • •? ^n ^^^'^ \}\j •'•7^n 2^^^ verschiedene Systeme von je n Größen und hat man wo l einen der Werte 1,2, .. .,n bedeuten kann, so heiße das erste System höher, das zweite niedriger als das andere, und zwar an P'" Stelle höher bzw. niedriger. Es sei eine unendliche Menge von Systemen S(a^, a^, . . .,a^ vorgelegt mit folgender Eigenschaft: Ist a^, a^, .. ., a^ ein beliebiges System daraus und l eine beliebige der Zahlen 1,2, ...,n, so soll bei allen vorhandenen Systemen b^,b^, . . .,b^ der Menge, welche genau an V^' SteUe niedriger als das erste System sind, für die Größe b jedesmal nur eine endliche An- zahl verschiedener Werte in Betracht kommen. Bildet man alsdann, von einem beliebigen Systeme S der Menge aus- gehend, soweit als angängig, eine Reihe von Systemen S, S^^\ S^^\ ..., so daß jedes folgende niedriger als das vorhergehende ist, so muß eine solche Beihe stets nach einer endlichen Anzahl von Schritten abbrechen. Es muß sich also nach einer endlichen Anzahl von Schritten schließlich ein System einstellen, zu welchem es kein niedrigeres in der Menge gibt, und welches demnach das niedrigste System in der Menge vorstellt. Für w = 1 ist die Behauptung evident. Nun sei w > 1. Betrachten wir zum Ausgangssysteme S{a.^, a^, .. ., a^ alle Systeme a^, b^, ...,&„ der Menge, welche mit ihm in dem ersten Elemente a^ übereinstimmen, so bilden die darin auftretenden Systeme b^, ...,&„ eine Menge von Systemen aus n — 1 Elementen mit ganz entsprechender Eigenschaft, wie wir sie für die gegebene Menge w-gliedriger Systeme voraussetzen. Nehmen wir nun den zu beweisenden Satz bereits als erwiesen an, wenn die Zahl n—1 anstatt n steht, so kann eine Reihe S, S^^\ S^^\ . . . nur mit einer endlichen Anzahl von Termen derart fortschreiten, daß das erste Element ungeändert bleibt und jedesmal eine Erniedrigung an der zweiten bis n^ Stelle ein- tritt. Da außerdem eine Erniedrigung genau an erster Stelle nach Voraus- setzung ebenfalls nur eine endliche -Anzahl von Malen vorkommen kann, so ist der zu beweisende Satz sofort für Systeme aus n Gliedern klar. \ Diskontinuitätabereicli für arithmetische Äquivalenz. 57 § 3. Niedrigste Formen in einer Blasse. Der Begriff der arithmetisclieii Äquivalenz von positiven quadratischen Formen ist schon in der Einleitung erwähnt worden. Zwei positive Formen f=2a,M^k^i, 9=2i\tyHyk {h,]c=l,...,n) sind hierbei dann und nur dann äquivalent, wenn f in g durch eine ganz- zalüige Transformation mit einer Determinante + 1 überzuführen ist. 1. Ist dabei (5) «11 = \x, «22 = ^22; • • V «;,n = Knf 80 mögen f und g gleichgestellt heißen. Ist dagegen (6) «11 = ^1, • • •; «/-l,z-i = ^-1,1-1} «» > hn wobei l einen der Werte 1, 2, . . ., w haben kann, so soU f höher als g und g niedriger als f und zwar an P^'' Stelle höher bzw. niedriger heißen. Es sei (7) ^h = «Ai^i + hiVi + • • • 4- s^^y„ {h = 1, 2, . . ., w) eine ganzzahlige Substitution mit der Determinante + 1, welche f in g überführt, so hat man hk=fiSit,..;S,t) {]c=l,2,...,n). Ist g an l^ Stelle niedriger als f, so folgt daher (8) f{s^^, . . ., s„i) = a^i, . . ., /"(Si,,.!, . . ., s^,_i) = «i_i,,_i, /"(Sn,---,««!) <«»• Ferner ist die aus den l ersten Vertikalreihen der Substitution (7) gebildete Matrix (9) ||s„|i (Ä=l,2,...,n;Ä=l,2,...,0 unimodular, d. h. der größte gemeinsame Teiler aller aus ihr zu bildenden Z- reihigen Determinanten ist gleich 1. Hiernach ist leicht zu entscheiden, oh es in der Klasse von f eine Form g gibt, ivdche niedriger als f ist. Wir nehmen für l nacheinander jeden der Werte 1,2, .,.,m und fassen jedesmal das System der Be- dingungen (8) ins Auge. Nach § 1 kann es jedesmal gewiß nur eine endliche Anzahl von ganzen Zahlen Sf^^(k ^ l) geben, welche diesen Be- dingungen genügen. Sowie für eines der betreffenden Lösungssysteme die Matrix (9) unimodular ist, können wir bekanntlich zu dieser Matrix n — l weitere Vertikalreihen ganzzahliger Koeffizienten Sf^^(li = l-'r\,...,n) hin- zufügen, so daß die Determinante des entstehenden quadratischen Schemas + 1 wird, und es führt dann die zugehörige Substitution (7) in der Tat f in eine an P' Stelle niedrigere Form g über. Dabei kommen jedesmal für b^ nur eine endliche Anzahl verschiedener Werte in Frage. 2. Auf Grund des Hilfssatzes in § 2 kann man nunmehr in jeder Klasse f eine solche Form g ermitteln, zu welcher es keine niedrigere Form 58 Zur Geometrie der Zahlen. in der Klasse gibt und welche wir daher eine niedrigste Form der Klasse nennen. Alle äquivalenten mit ihr gleichgestellten Formen sind gleich- zeitig niedrigste Formen der Klasse. 3. Soll die Form f durch die Substitution (7) in eine gleichgestellte Form übergehen, so müssen die n Gleichungen fiSn> ■ ' ■ySnl) = «11, • • •; fe«, . . v^nn) = «nn statthaben; es genügen ihnen nur eine endliche Zahl ganzzahliger Systeme Sf^^ und gibt es daher gewiß auch nur eine endliche Anzahl ganzzahliger Substitutionen mit einer Determinante + 1, durch welche eine Form in gleich- gestellte übergeht. Insbesondere zeigt sich, daß jede positive Form nwr eine endliche Anzahl ganzzahliger Transformationen in sich besitzt. 4. Jede Form f geht durch die 2'* Substitutionen (10) ^i = ±2/u ^2 = ±2/2, •••, ^„ = ±2/„, wobei ein jedes der n Vorzeichen unabhängig von den anderen als + oder — angenommen werden kann, in gleichgestellte Formen über. 5. Es möge für einen Moment eine Form f und die ganze zugehörige Klasse allgemein heißen, wenn eine Gleichung f(x^ ,x,^,.. .,x^ = f{y^,y^, ...,y„) mit ganzzahligen Werten x^, x^, . . ., a;„; y^, y^, ...,«/„ niemals anders be- stehen kann, als daß das System y^yy^, •• -^yn iiiit x^, x^, . . ., x^ oder mit — x^, — x^, . . ., — Xj^ übereinstimmt. Insbesondere wird dieser Cha- rakter für f zutreffen, wenn zwischen den -^^r' Koeffizienten a^,^ von f keine homogene lineare Relation mit ganzzahligen Koeffizienten besteht. Vergleichen wir insbesondere die zwei Systeme ^A=l, ^Ä+i = l, ^-t = 0 und y^=l, y^_^_^^-l, ij^ = 0 Qc^h,h+1) miteinander, so zeigt sich, daß in einer allgemeinen Form f gewiß jeder Koeffizient «^ ^ + i Ton Null verschieden ausfällt. Ist die Klasse f eine allgemeine, so geht offenbar jede Form daraus einzig durch die 2'* Substitutionen (10) in äquivalente gleichgestellte Formen über, und gibt es in der Klasse stets eine einzige niedrigste Form g, welche noch die Bedingungen erfüllt. 6. Wir bezeichnen mit E die identische Substitution, ferner zu jeder Substitution S als entgegengesetzte und mit — S diejenige Substitution, welche durch Änderung aUer Koeffizienten 5^j in die entgegengesetzten Werte — s^j entsteht. Diskontmuitätsbereich für arithmetische Äquivalenz. 59 § 4. Reduzierte Formen. Es sind wesentlich die niedrigsten Formen einer Klasse, welche Hermite (CreUes Journal, Bd. 40; Oeuvres, T. I, p. 100) als reduzierte Formen eingeführt hat mit der Absicht, in der Menge dieser Formen einen Diskontinuitätsbereich B von der in der Einleitung dargelegten Xatur zu erhalten. Hier bringen wir gegenüber der Her mit eschen Definition eine Vereinfachung dadurch an, daß wir gewisse kompliziertere Charaktere, welche für niedrigste Formen zu fordern wären, die ihren Einfluß aber nur auf Teile der Begrenzung des Diskontinuitätsbereiches äußern würden, beiseite lassen. 1. Es sei l eine der Zahlen 1,2, ...,«, und wir wollen unter ^\'\ ^i'^y • • -y ^n'^ ^^®^ allgemein ein solches System von n ganzen Zahlen verstehen, wobei der größte gemeinsame Teiler der letzten n — (l — 1) Zahlen darunter, also von s,W, s^W j, . . ., s„('\ gleich 1 ist. Femer bedeute e^^j €^^'\ . . ., eJ-'> speziell die Z*® Vertikalreihe der identischen Substitution E. Zu jedem Systeme s^^^\ s^^'^, . . ., sj^ kann man offenbar stets eine ganz- zahlige Substitution S^'> von einer Determinante + 1 herstellen, in deren quadratischem Koeffizientenscliema die ersten l — 1 Vertihüreihen wie hei der identischen Substitution E aussehen und die l'" JReihe von eben jenem Systeme gebildet uird, also eine Substitution ^A = ^A + s.^'^yi + ^j+i2//+i + • • • + s,„y„ (h < T), Durch eine solche Substitution 5^'^ geht eine Form über, so daß ist. Wenn nun f speziell eine niedrigste Form in ihrer Klasse ist, wird hierbei stets &„ ^ a„ sein müssen. 2. Wir stellen nunmehr folgende Definition auf: Eine quadratische Form t\x^,x^, . . ., x^) =^ci^^x^x^ soll eine reduzietie Farm heißen, uenn sie allen mögliclien Ungleichungen genügt für jedes l = 1,2,. . .,n und alle ganzzahligen Systeme s^W s^^^, . . ., s^O, wobei der größte gemeinsame Teiler der Zahlen s/'), s(J^, . . ., s^(') gleich 1 ist, und ferner noch den Bedingungen: (II) a^>0, a23^0,...,a_,,,^0. 60 Zur Geometrie der Zahlen. Wir scliließen bei den Ungleichungen (I) jedesmal ausdrücklicli die zwei Systeme s/^ = e^(') (Ä = 1 , . . ., w) und s/^ == — e^W {h = l,...,n) aus, wofür (I) keine wirkliche Bedingung in den a^^ vorstellen würde. Bei dieser Definition einer reduzierten Form setzen wir nicht bereits f als eine positive Form voraus. 3. In einer Klasse positiver Formen ist eine niedrigste Form, welche noch die Zusatzbedingungen (II) erfüllt, stets eine reduzierte Form. Nach den Ergebnissen des § 3 gibt es daher in jeder Klasse positiver Formen stets wenigstens eine reduzierte Form. 4. Die zum Index l gehörigen der Ungleichungen (I) besagen, daß a„ das Minimum unter allen Werten f{x^,x^,...,x^ für solche ganze Zahlen X-^,x^,...,x^ ist, wobei Xy,x^^^,...,x^ keinen gemeinsamen Teiler > 1 haben. Durch eine Substitution /S® gehen die sämtlichen ganzzahligen Systeme x^, x^, . . ., x„, wobei Xj, x^_^_^, . . ., x^ keinen gemeinsamen Teiler > 1 haben, in die sämtlichen ganzzahligen Systeme yxjVi, • ^-yVn über, wobei ?/,, Vi+ij • • -iVu keinen gemeinsamen Teiler > 1 haben. 5. Genügt eine positive Form f den Bedingungen (I) nur für Z=l,2,...,m— 1, aber nicht für l = m, so können wir aus ihr durch eine Substitution /S^'^*) eine äquivalente Form herleiten, welche den ent- sprechenden Bedingungen für Z=l,2, ...,m--l und auch noch für l = m genügt. Man hat einfach aUe ganzzahligen Systeme s^("*), s^^'^\ . . . , «„('"^ zu be- stimmen, für welche f{s^^'^\s^^'^\...,s^'^'^) 1 haben. Nach Voraussetzung gibt es solche Systeme. Sie sind nur in endlicher Anzahl vorhanden. Man suche unter ihnen die- jenigen heraus, welche der Form f den kleinsten Wert erteilen, und setze dann in 5^"*) als w*^ Vertikalreihe ein beliebiges dieser Systeme an, so wird das gewünschte Ziel erreicht sein. Beachtet man, daß der Typus Ä^'^ eine beliebige ganzzahlige Substi- tution mit der Determinante + 1 vorstellt, ferner, daß bei zwei ver- schiedenen Substitutionen S^^\l < n) mit genau gleicher V^^ Vertikalreihe die zweite gleich dem Produkt der ersten in eine Substitution >S('+^) ist, so enthalten diese Bemerkungen eine Methode, um zu einer gegebenen positiven Form f alle ganzzahligen Substitutionen zu finden, durch welche sie in äquivalente reduzierte Formen übergeht. Zugleich zeigt sich, daß die Anzahl dieser reduzierenden Substitutionen fikr jede gegebene positive Form f stets eine endliche ist. 6. Aus diesen Erwägungen leuchtet ferner ein: Eine solche reduzierte Form, für welche in keiner einzigen von den Ungleichungen (I) und (II) das Gleichheitszeichen eintritt, kann nur bei Anwendung der identischen Substitution E oder der dazu entgegengesetzten — E reduziert bleiben. Diskontiiiuitätsbereich für arithmetisclie Äqxiivalenz. 61 7. Wir fassen nun die Koeffizienten a^^ einer quadratischen Form als Koordinaten eines FunJctes f in einer g -fachen Mannigfaltigkeit A auf. In dieser Mannigfaltigkeit bezeichnen wir mit B das Gebiet der- jenigen Punkte f Tvelche aUen Ungleichungen (I) und (U) genügen. Wir nennen B den reduzierten Baum. Das letzte Ergebnis besagt dann: Eine Form f im Inneren des reduzierten Baumes B, d. h. für welche in keiner der Ungleichungen (I) und (11) das Gleichheitszeichen statthat, geht durch jede von E und — E verschiedene uninwdulare ganzzalüige Sub- stitution in eine Form außerhalb B über. Insbesondere wird eine allgemeine Klasse immer durch einen inneren Punkt von B repräsentiert. Der Bereich B geht durch jedes Paar entgegengesetzter unimodularer ganzzahliger Substitutionen S, — S in eine bestimmte äquivalente Kammer Bs=B-s über, und die Kammei-n, die verschiedenen solchen Paaren S, — S entsprechen, stoßen untereinander höchstens in PunJäen der Be- grenzung zusammen. Die sämtlichen Kammern Bs überdecken den ganzen Raum der positiven Formen. § 5. Die Wände des reduzierten Baumes. Die Ungleichungen (I) zur Definition einer reduzierten Form f sind \in unendlicJier Anzahl vorhanden. Wir werden nunmehr den Satz be- ! weisen : Es gibt unter den Ungleichungen (I) eine endliche Anzahl, tcdche alle \ubrigen dieser Ungleichungen zur Folge Imben. Beweis: 1. Es sei zunädist n = 2, also /" = «11 ^1^ + 2 a^g a?! a:^ + a^ x^\ Nehmen wir in (I): s^^^^ = ± 1, s^^^'^ = 1, so folgt (11) «11 ± 2ai2 + 022 ^ 022 7 +«12 ^Y«u- 'Ans diesen zwei Bedingungen für die zwei Vorzeichen + geht noch a^^ ^ 0 hervor. Nehmen wir s^^^) = 0, s^^^^ = 1 , so entsteht (12) a^ ^ a^i. Ist a^i = 0, so folgt aus (11) auch a^^ = 0 und gelten wegen 0,3 ^ 0 bereits alle Ungleichungen (I). Ist Oji > 0, so folgt aus (11) und (12): 11 3 «12^ ^ X"li* = T ^11 ^»ä; A = «11 «22 - «18*^ X «11 «22- Schreiben wir /'=3l(^l+yi2^2)' + ?2^2S 62 Zur Geometrie der Zahlen. SO ist Für ganze Zahlen s^, s^ wird nun, wenn js^ | > 1, «2=1 ist: /'(± I Sl I, 1) = «ll(Sl' - I «1 I) + Kl ± ^ttii) I 5l i + «22 > «22, andererseits, wenn | Sg | > 1 ist: /"(«l, Sg) > q^Si^ ^ 3^22 > «22- So leuchtet ein, daß aus (11) und (12) hereits alle Ungleichungen (I) folgen, 2. Es sei jetzt w > 2. Setzen wir einen Teil der Variablen x.^,. . .,x^ Null und sind die noch übrigen dieser Variablen Xj^ ,Xj^ ,.. .,Xj^^(h^ • • -f ^n\ für w = 1, 2, . . ., w — 2, reduziert sind. Ist nun etwa 0 = «11 = «22 = «mm(l ^ W < »»), 0 < Ct'm + l,m + U SO sind infolge von (13) überhaupt alle Koeffizienten a^^ {h ^ /c), bei welchen der Index h einen der Werte 1, 2, . . ., tn hat, Null und wird aus f einfach /"{^m + i? • • •? ^n}- ^^^ Ungleichungen (I) in bezug auf letztere Form haben dann bereits sämtliche Ungleichungen (I) für f zur Folge. 4. Nunmehr setzen wir weiterhin a^^ > 0 voraus. Wir greifen drittens aus den Ungleichungen (I) diejenigen in endlicher Anzahl vorhandenen Diskontinuitätsbereicli für arithmetische Äquivalenz. 63 heraus, welclie zur Folge haben, daß auch die sämtlichen aus f abzuleiten- den Formen f{x^,x^, . . ., ^m) /"** »» = 2, 3, . . ., w — 1 reduziert sind. 5. Jetzt werden wir (in 5. — 8.) zeigen, daß wir zu den bereits ge- wählten der Ungleichungen (I) viertens eine weitere endlicJie Anzahl jener Ungleichungen derart hinzufügen können, daß aus diesen für die Deter- minante D„ der Form f eine Ungleichutig (15) ^n^^n «11 «22---«n« folgt, tüo A„ eine gewisse positive nur von n und nicht von den Koeffizienten der speziellen Form f abhängende Konstante 'bedeutet. 3 Nach 1. ist diese Tatsache bereits für n = 2 mit dem Werte A, = -r zutreffend, und wir nehmen sie als bereits erwiesen für Formen mit weniger als n Variablen an. Es sei jetzt m einer der Werte 1, 2, . . ., « — 1, so haben wir unter Verwendung der in § 1 eingeführten Bezeichnungen für die Determinante der Form f{Xi,X2,...,x^} die Ungleichung: und für die Determinante der Form f {x^ + i, 3^,^ + 2} •••> ^n) '• . , /m -\- 1, m -\- 2, . . . , n\ _ Yi \ 3 ^^^) ^ U + 1, W + 2, . . ., J~ »-'" - '^»-'"«m + l, r» + l«m + 8,m + 2 • • • ««*• In den Fällen w = 1 und m = n — 1 setzen wir A^ = 1. Entwickeln wir nun den Ausdruck der Determinante D„ von f so kommen darin m\(n — m)l Terme vor, die sich zu dem Produkte -D^i)„_^ zusammenfassen lassen, und weiter n\ — m\(n — m)\ Glieder vom Typus wobei l\, k^, . . ., 1c^ nicht, abgesehen von der Reihenfolge, mit 1,2,..., m übereinstimmen und infolgedessen auch noch unter den Indizes ^„+1, • •-, ^*n jedesmal wenigstens eine der Zahlen 1, 2, . . ., m sich findet. Nach den Be- ziehungen a^j = aj^f^ und den Ungleichungen (13) erweist sich nun ein jedes solches Glied dem Betrage nach ^ 1 ^ 4 ^l'^22 • • • «mni^inm<^m + 2,m + 2 • ' • «nn' Benutzen wir die Ungleichungen (16) und (17) und verstehen unter X^ eine in der Folge noch zu fixierende positive Konstante, so entsteht jetzt B - A„ajia,2 • . . a„„ ^ {{KK-m - -^J^m + l.m + l - -^(n! - m\{n - m)^)a^J a^^a^^ . . . «„^«^+,,„+2 • • • «nn- Wir können 1 = A, > A^ > • • • > K-x * 64 Zur Geometrie der Zahlen. voraussetzen. Die positive Größe A„ denken wir uns zunächst irgendwie, jedoch kleiner als jedes der Produkte ^mK-m ^^^ m = 1, 2, . . ., n — 1 gewählt und setzen zur Abkürzung 1 (w! — jw!(w — w)!) . ^ f, .. "^ ^mK „-^^^-^^ (m = l,2,...,n-l). m n — TW n Alsdann wird die Ungleichung (15) mit dem betreffenden Werte A„ jeden- falls schon statthaben^ wenn für wenigstens einen der Indizes m = l,2,. ..,n — l sich ^m + l,n» + l ^ ^m + l^mm herausstellt. 6. Nunmehr haben wir uns nur noch mit der Annahme zu beschäf- tigen, daß sämtliche Ungleichungen (18) Jfgaii > «22; »«3 «22 > 0^33; • • V ^n(^n-l,n-l > <^nn gelten. Aus den Ungleichungen (16) geht unter Beachtung der Ungleichungen (14) und von «j^ > 0 hervor, daß sicherlich die Determinanten positiv ausfallen und daher auch sämtlich endlich und > 0 sind. Wir können daher, mag nun die Deter- minante Z)„ > 0 und damit auch f positiv sein oder nicht, jede^ifalls be- reits für f die Darstellung aus § 1: (20) ^1 = a^i + y^^X^ + • • ■ + n^X^, ^2 = -^2 + • • • + Yin^n, • • ; L = ^n mit n,...,h — l,h\ = ^ \k = h -\- 1, . . ., n/ ansetzen. Die Determinante, welche den Zähler des vorstehenden Quotienten für Yj^j^ bildet, besteht aus h\ Gliedern, von denen ein jedes mit Rücksicht auf die Ungleichungen (13) sich dem Betrage nach ^ -^C'n^n • • • «aä ®^" weist, während der Nenner dieses Quotienten nach (16) sich ^ ^^ «11^22 •••^hh findet. Danach hat man rsn u 1^ ^ '^^ (Ä = l,..., w-l) Aus (19) und (20) geht Diskontintiiiätsbereich für arithmetische Äquivalenz. 65 hervor, woraus mit Rücksicht auf (18) (22) q^ = öii, q^ < x^a^, . . ., q^_j^ < XjXg . . . x^.^a^^ folgt. 7. Es kommt jetzt vor allem darauf an, zu erkennen, daß wir von den Ungleichungen (1) eine endliche Anzahl herausgreifen können, infolge deren sich auch q„ als > 0 und damit also f als eiue wesentlich positive Form erweist. Für diesen wichtigen Nachweis können wir uns des ele- mentaren Prinzips bedienen, welches Dirichlet so meisterhaft in der Theorie der algebraischen Einheiten gehandhabt hat, uonach hei Verteilung einer Anzahl von Größensystemen in eine Meinere Anzahl von Bereichen darunter irgendein Bereich da sein muß, der wenigstens zwei der Systeme auf einmal aufnimmt. Wir bilden zum Ausdrucke (19) von f mit den nämlichen ^j, ^, ..., ^ die Hilfsform (23) i^ = ^1^ + x^^^ + • • • + X2X3 . . . 'K„_^i:.^ + fien', wobei [L folgende Bedeutung haben soU. Es seien t^jt^, . . ., t^_^ bezieh- lich die lleinsten ganzen Zahlen, für welche (24) t^^ ^ n, 42 ^ nx^, . . ., ^/_, ^ nx^yc^ ■■■'^„-i ausfällt, und es werde (25) w = - , . ■ . T-^ — gesetzt. Danach ist (i eine bestimmte positive Größe, mithin F eine positive Form der Variablen x^, x^, . . ., x„. Wir zeigen, daß man für x^^, x^, . . ., x„ ganze Zahlen, unter denen ;r„ H= 0 ist, finden Icann, so daß dafür jP < 1 ausfällt. In der Tat, zunächst ist t^ = x„. Wir setzen der Reihe nach x„ = 0, 1, 2, . . ., t^t^ . . . ^„_j und können zu jedem dieser Werte von x„ nacheinander x^_j^, x^_^, . . ., x^ als ganze Zahlen derart bestimmen, daß (26) 0^e„_, ^^^g • • • ^n-i ^^^j gewiß irgend zwei, etwa II I II II n f " -^ ' \ finden können, für welche ^i, ^2? • • •? ^«-i demselben Teilgebiete angehören. Für das durch SuhtraMion aus beiden hervorgehende System II I II I II I if /y» nr ni* iv* iv ^ /y» .^ /y» Jj^ -^1 -^17 •*'2 -^2 **'27 • • V "^n — "^n *^n gelten dann die Ungleichungen (27) |gJ 0 ist. Aus (27), (24) und (25) ersieht man, daß infolgedessen weiter die w — 1 ersten Terme des Ausdrucks F ein jeder < — , der w*® < — werden und also für das betreffende ganzzahlige Wertsystem x^, x^, . . ., x^ mit positivem x^ der ganze Ausdruck F gewiß < 1 ausfällt. Das erhaltene System x^, x.^, . . ., x^ befreien wir noch von einem in den Zahlen etwa vorhandenen gemeinsamen Teiler > 1, wobei die Un- gleichung F -^X nicht verloren geht. Andererseits können wir, allein in Berüclisichtigimg der Ausdrücke (20) für t,^, ^2, ■ • ; tn '^^^ ^^'^ Ungleichungen (21) für die Koeffizienten yj^j^, von vornherein eine endliche Anzahl bestimmter ganzzahliger Systeme x^,x^,...,x^ mit positivem x^ und ohne gemeinsamen Teiler > 1 anweisen, welche über- haupt als die einzigen derartigen Systeme in Frage kommen, die vielleicht den Ungleichungen (27) genügen Mnnen. Wir ermitteln die sämtlichen bezüglichen Systeme und wir heben nunmehr viertens unter den Un- gleichungen (I) diejenigen heraus, welche ausdrücken, daß für diese be- sonderen Systeme stets f{x^, x^, ..., xj ^ a^^ sein soll. Alsdann muß infolge aller bereits herausgehobenen Ungleichungen (I) notwendig (28) Qn^^ci,, werden. Denn in dem Ausdrucke (19) von f sind wegen (22) die Koeffi- zienten von ^j^^, ^2^ • • V tf^ -1 durchweg nicht größer als in dem Multiplum «11 jP von F. Wäre nun Qn ^ f^^nt ^^ würde daher bei von Null verschiedenem n;^ stets f cf«» Diskontinuitätsbereich für arithmetische Äquivalenz. 67 hervor, und indem ^ir weiter diese Ungleichung mit der Ungleichung für D„_^ nach (16) multiplizieren, folgt Xj Hg . . . A„ Nach der Bedeutung von ^i, die aus (24) und (25) ersichtlich ist, können wir nun über >L„ definitiv in solcher Art verfügen, daß hieraus ivieder die Ungleichung (15) für i)„ hervorgeht. Wir brauchen dazu nur A„ kleiner als die n — 1 Größen ^mA„_„(r» Kn^^^s ■ • • ^av^i + 1)'([)/^] + !)'• . • ([y«x, . . . x~] + ly ist. Die Klammer [] soll hier das bekannte Zeichen für größte Ganze vorstellen. Dieser Forderung für X^ aber können wir immer entsprechen, weil der Ausdruck rechts hier nach der Art, wie x^, • -, x„ von >l„ ab- hängen, gleichzeitig mit A^ abnimmt und der Null zustrebt. Bei dieser Bestimmungsweise von A„ gilt nunmehr infolge der bisher herausgehobenen Ungleichungen (I) in allen Fällen die Ungleichung (15) für D^. 9. Indem wir auf den Zähler einer Größe qj^ = Df^: Dj^_^ die Un- gleichung (16) bzw. (15), auf den Nenner die Ungleichung in Anwendung bringen, entsteht allgemein ük > Ko-kk (Ä = 1, 2, . . ., n), und nun zeigt sich in der Tat leicht, daß eine endliche Anzahl unter den Ungleichungen (I) angewiesen werden kann, welche alle übrigen dieser Ungleichungen zur Folge haben. Wir setzen für jeden WeH l = 1, 2, . . .,n die folgenden Unglei- chungen an: (29) ;i„e„^ < 1, 2„_, e„^i < 1, . . •, hii' < 1, (30) A.-xe.li<^, X,.,t^,<'-=^,...,X,U'<\>hk'£\ mit den Ausdrücken (31) ^1 = a^i + Yii^i + • • • + J'ina:„, f ^ = a:, -f • • • + y^^x^, ...,?„ = a;„ und den EinschränJcungen (32) In^l^l'- "A 2 h Es ist einleuchtend, daß diesen Bedingungen jedesmal nur eine endliche Anzahl ganzzahliger Systeme x^, x^, . . ., x^ entsprechen können. Unter diesen wählen wir alle Systeme s^W, s^^^, . . ., s„W aus, in welchen sP, sl^^, . . ., s„W Iceinen gemeinsamen Teiler > 1 haben, und fordern jedes- mal die Bedingung (I) für die betreffenden Systeme. 68 Zur Geometrie der Zahlen. Die in solcher Weise bisher hervorgehobenen der Ungleichungen (I) ziehen dann notwendig die Gesamtheit dieser unendlich vielen Ungleichungen nach sich. In der Tat, es sei x^ = s^^'), . . ., x^ = s„^^ ein ganzzahliges System, welches nicht zu den eben hervorgehobenen gehört und wobei s/'\ . . ., s„(') keinen gemeinsamen Teiler > 1 haben. Alsdann bestehen dafür ins- besondere mit den zu/" gehörigen Ausdrücken ^j, ^^f • • v ^» '^icht alle Un- gleichungen (29), (30). Wir nehmen erstens an, es sei dafür etwa Xf^^f^^ ^ 1 und h^l. Dann folgt aus mit Rücksicht auf q^ ^ ^h^hh ^^^ ^hh ^ ^u sofort f^ a^. Es seien zweitens für das bezügliche System in f sämtliche Un- gleichungen (29) erfüllt, und es sei h (< l) der größte Index, für den statt der in (30) genannten Ungleichung vielmehr sich die Ungleichung K ^h ^ T '^ \iz^. li^'T} J6 nachdem A > 1 oder = 1 ist, einstellt. Dann haben wir wegen g*^ ^ ^h^hh ^^i' ^^^ betreffende System x^, ..., x^ jedenfalls (33) f{x„ ...,x„)>~ {a,, + «,3 -f . . . + a,,) + q,^,l^,, + • • • + q^^^ Wir denken uns nun die Zahlen a^^^j, . • ., x^ festgehalten, statt der Zahlen Xj^, ^A_ij • • •> ^1 aber, was offenbar möglich ist, nacheinander solche ganze Zahlen Xj^, x^^^, . . ., x* gewählt, daß die neuen dazugehörigen Ausdrücke (31) die Bedingungen (34) -|^?,*^v, -l^e.^l.--, -|^&*^4 erfüllen. Wir haben damit ein modifiziertes ganzzahliges System x-^y . . ., x^ erhalten, in welchem x^ = x^, . . ., x* = x^ keinen gemein- samen Teiler > 1 haben, und welches nunmehr allen Bedingungen (29), (30) genügt, für das wir also bereits f ^ a„ voraussetzen. Jetzt folgt aus (33) und (34), da stets a^^ ^ q^. ist, f(x^, . . ., x„) ^ f(x*, . . ., X*) ^ a^^. 10. Wir können unser Endergebnis folgendermaßen aussprechen: Der reduzierte Baum B ist ein konvexer Kegel mit der Spitze im Null- punJde f = 0, der von einer endlichen Anzahl durch diesen FunJct laufender Ebenen begrenzt wird. § 6. Die Kanten des reduzierten Raumes. 1. Im ganzen reduzierten Räume B gilt ö^h ^ 0; die Punkte darin, für welche a^^ > 0 ist, entsprechen positiven Formen; die Punkte darin. Diskontinuitätsbereich fax arithmetische Äquivalenz. 69 für welche «n = 0 ist, erfüllen zugleicli die Bedingungen a^g = 0, a^j = 0, , . .^ a^^ = 0 und lilden eine nur T -fache MannigfaltigJceit auf der Be- grenzung von B. Die zur Charakterisierung des reduzierten Raumes dienenden Un- gleichungen haben eine jede die Gestalt (1,11) 2m,,a,,^Q, worin die nij^^ gewisse gegebene numerische Koeffizienten vorstellen. Daraus geht hervor : Ist f eine reduzierte Form, so ist auch jedes ProdiiJct cf wo c einen positiven FaJctor vorstellt, sind f und g zwei reduzierte Formen, so ist audh jede Verbindung (1 — t)f + tg, ivo 0 < ^ < 1 ist, eine reduzierte Form. 2. Die allgemeinen Prinzipien über lineare Ungleichungen, welche ich in meiner „Geometrie der Zahlen" § 19 dargelegt habe, ergeben folgende Aufschlüsse über die zur Definition des Raumes B wirJilich notwendigen von den sämtlichen Ungleichungen (I) und (11). Wir wollen eine nicht identisch verschwindende reduzierte Form cp eine Kantenform des reduzierten Raumes nennen, wenn es nicht möglich ist, ff als Summe zweier reduzierter Formen darzustellen, die weder iden- tisch verschwinden, noch positive Vielfache voneinander sind. Eine Kantenform ist vollständig zu charalierisieren als eine reduzierte Form, für welche unter den Ungleichungen (1, 11) irgend ^^^J" ' — 1 solche, deren linJce Seiten linear unabhängige Funktimien der a^^ sind, mit dem Zeichen = erfüllt sind. Gelten uns die Formen, die Vielfache voneinander sind, als nicht wesentlich verschieden, so gibt es nur eine endliche Anzahl ivesentlich ver- schiedener Kantenformen. Die Strahlen vom Nullpunkte nach ihnen bilden die Kanten des reduzierten Raumes. Von den Ungleichungen (1, 11) ist zur Definition des reduzierten Bauines nur jede solche wesentlich, die mit dem Zeichen = eine Ebene liefert, icdcfie n(n-\- 1) ~ — ■— 1 unabhängige Kanten des reduzierten Baumes aufnimmt, d. h. solche 2 1 Kanten, durch die sich nur eine einzige Ebene legen läßt. Die so charaTderisierten Ungleichungen bestimmen die Wände des reduzierten Baumes. Alle übrigen Ungleichungen (I, 11) lömien bei der Definition des reduzierten Baumes als aus diesen Ungleichungen folgend fortgelassen werden. 3. Wir greifen auf jeder Kante des reduzierten Raumes eine Form heraus, etwa diejenige, für welche der erste von Null verschiedene unter den 70 Zur Geometrie der Zahlen. Koeffizienten «n, «23, • • •, ^«n ^^ Wert 1 hat. Wir erhalten auf diese Weise eine endliche Anzahl völlig bestimmter Formen (p^, tp^, . . ., cp^. Indem der reduzierte Raum ein konvexer Kegel vom Nullpunkte aus ist, besteht alsdann der Satz: Jede reduzierte Form f läßt sich (auf eine oder auf unendlich viele Weisen) in die Gestalt (35) f=c^cp^ + c^(P2-\ h c^(p^ mit Koeffizienten c^,c^, . . .,c^, die sämtlich ^ 0 sind, setzen, und umgekehrt ist jede Form, die sich in dieser Weise darstellen läßt, eine reduzierte. § 7. Die Nachbarkammern des reduzierten Raumes. Wir beweisen in betreff der reduzierten Formen noch den Satz: Die ganzzahligen Substitutionen von der Determinante ± 1; tvelche fähig sind, positive reduzierte Formen wieder in reduzierte Formen überzuführen, existieren nur in endlicher Anzahl. Wir können diesen Satz auch folgendermaßen aussprechen: Im Gebiete der positiven Formen grenzt der reduzierte Baum nur an eine endliche Anzahl von den äquivalenten Kammern an. 1. Es sei S'. ^A= Sm2/i + hiV^ + • • • + hnVn (h = 1; 2, ...,n) eine unimodulare ganzzahlige Substitution, welche f-2a'hk^h^k ^^-g-^KkykVk überführt, wobei beide Formen reduziert sind und a^^ > 0 ist. Wir haben dabei (36) /"(sj,, «2,, . . ., s„,) = &,, Qc = 1,2, . . ., n). Ist die letzte der Zahlen 5^^, Sgj, . . ., s„j, die von Null verschieden ist, s^^, so ergibt sich, da ihr absoluter Betrag mindestens 1 sein muß, bei Gre- brauch der früheren Bezeichnungen g-^ in bezug auf f: hk>2h^h(^hk>K(^hh- 2. Daraus schließen wir zunächst, daß für jeden Index l durchaus hi>.K<^ii (l^l,2,...,n) sein muß.*) Denn hätte man für einen Index Z: so würde daraus weiter •*) Eine ähnliche Überlegung findet sich bei C. Jordan, Journal de l'ficole poly- technique, T. XXIX, cahier 48, p. 127. Diskontinuitätsbereich für arithmetische Äquivalenz. 71 hervorgehen und daher konnte keine Größe in ihrer, der Jc^'^ Vertikalreihe die letzt« von Null verschiedene Zahl sein, d. h, diese Größen müßten sämtlich KuTl sein. Sie bilden aber in der Determinante der Substitution S die Elemente, die gleichzeitig in bestimmten l Vertikal- und ii — l -\- 1 Horizontalreihen vorkommen, also wäre diese Determinante NuU, während sie + 1 sein sollte. Ganz entsprechend wird, weil auch g durch eine unimodulare ganz- zahlige Substitution in f übergeht, stets (37) a,,>).„b,, (Ä;=l,2,...,n) sein. 3. Wir nehmen nun erstens an, ßir jeden Index Je = 1,2, . . .,n — 1 fände sich stets so folgt daraus vermöge (37) allgemein und weiter «11 > ^n'^-^«.*^ ^^'-'hk (Je =1,2,.. ., n). Die zu den Zahlen ^i = %jtj • • v ^n = ^nt gehörenden Werte von bi, • • ., ^ erfüllen dann nach (36) und da allgemein 9'^^ >.„aAA^ ''-««u i^t, die Un- gleichung und hieraus ist zu ersehen, daß für jede Vertikalreihe s^^., . . ., s^^ von S nur eine endliche Anzahl ganzzahliger Systeme in Betracht kommen. 4. Ist die Annahme (38) nicht immer zutreffend, so sei l der größte Index, tcofür (39) ^-l,,-l<^n«„ (l>2) ist. Wir haben dann nacheinander viererlei Umstände in Betracht zu ziehen. Erstens zeigt eine ähnliche Überlegung wie in 2., daß jedenfalls alle Koeffizienten hkO^-h Z + l,...,n; k=l,2,...,l-l) Null sind. Die Substitution S kann also geschrieben werden: ^A = 5*1^1 + • • • + SA,,_iy,_i + s,,y, + • • • -f s,„y„ (h < l), Jetzt ist ^A= Sai^i + • • • + \,_iy,_i (Ä = 1, 2, . . ., Z - 1) eine unimodulare ganzzahlige Substitution von l — 1 Variablen, und durch sie geht die positive Form f{xi,...,x,_i,0,...,0) in g(yi,...yyi_i,0,...,0) 72 Zur Geometrie der Zahlen. Über, wobei beide Formen reduzierte von l — 1 Variablen sind. Nehmen wir den zu beweisenden Satz, der für Formen von einer Variable evident ist, als bereits bewiesen für Formen mit weniger als n Variablen an, so kommen danach zweitens für die Koeffizienten nur eine endliche Anzahl von Systemen in Betracht. Unsere Annahme über die Zahl l schließt in sich, daß, falls l ^»«*+i,*+i {]c = l,l-\-l,...,n-V) gelten, woraus wir vermöge (37) weiter «*i^ V%+i,*+i {l = l,l-\-l,...,n-l) und sodann ^^^^ ^^,,_,.^^^^ ;^^,,_,,,ij^^ {h = l,l^l,. ..,n-l,n) entnehmen; letztere Beziehung besteht auch für l = n, h = n. Die Gleichung (36) für hj^j^ liefert daraufhin für die zu Sj^, s^^j ky-j^nk gehörenden Werte ^„ ^j+i, • • •? ^„ die Relation Hieraus ist drittens zu ersehen, daß für die Zahlen «Äi (^ = ^j ^ + 1> • • V »*; A; = ?, Z + 1, . . ., n) nur eine endliche Anzahl von Systemen in Betracht kommen. Endlich muß g als reduzierte Form insbesondere allen Ungleichungen 9{yij'-;yi-i,e^'\-';e^'^)>\k (k = l,l+l,...,n) genügen, in welchen e^^*^= 1, die anderen Zahlen e/*) = 0 und ^1, • • ., ?/j-i beliebige ganze Zahlen sind. Diese Ungleichungen kommen nach der bereits festgestellten besonderen Glestalt der Substitution S auf die sämt- lichen Ungleichungen to; • • -,^1-1, Sj^, • • ■,S„k)>f(Stk, • ' '}Si.i,k, %; • • -^^nk) Qc = l,l+l,...,n) für beliebige ganze Zahlen x^, . . ., x,_-^ hinaus. Eine ähnliche Überlegung, wie sie am Schlüsse von § 5 zur An- wendung kam, ergibt nun, daß hiernach die zu s^j, . . ., s^/^Qc ^ T) gehören- den Verbindungen ^,_i, . . ., ^1 jedenfalls die Bedingungen I (^1+ • • • + gJ ^^1^,^+ • • • + q^tn' (h = l-l,...,l) und umsomehr die Bedingungen K^l^-l ^ ~~^ }•'•} ''•n^l ^ X erfüllen, und hiernach kommen viertens auch für die Zahlen s,^^(h=^l,2,...,l- 1; Je = 1,1+ l,...,n) nur eine endliche Anzahl von Systemen in Betracht. Damit ist der zu führende Nachweis in allen Punkten erbracht. Diskontinuitätsbereich für arithmetische Äquivalenz. 73 § 8. Die Determinantenfläclie. Der Raum der positiven Formen wird von der Flächenschar D(f) = consi. durchzogen, deren einzelne Flächen jedesmal alle Formen f zu einem und dem nämlichen positiven Determinantenwert aufnehmen. Alle Flächen dieser Schar sind untereinander ähnlich und ähnlich gelegen vom Null- punkte aus, so daß es für die meisten Zwecke genügt, von ihnen etwa die eine Fläche D{f) = 1 in Betracht zu ziehen. Wir beweisen hier folgenden Satz: Sind f und g zwei verschiedene positive Formen von der Determinante 1 und ist t ein beliebiger Wert > 0 und < 1, so_ hat die gleichfalls positive Form (1 — t)f + tg stets eine Determinante > 1. Wir können bekanntlich (sowie von den Formen /' und g auch nur eine positiv ist) immer eine lineare Transformation von der Determinante 1 mit lauter reellen Koeffizienten finden, wodurch f und g gleichzeitig in Aggregate Übergehen, welche nur die Quadrate der neuen Variablen enthalten. Die Determinante der Verbindung (1 — t)f + tg gewinnt dann allgemein den Produktausdruck A(0 = («1 + Kß, - a,)){a, + t{ß, - a,)) • • • (c.„ + t{ß„ - aj), und nach Voraussetzung ist A(0)= «,«2- • • «„= 1, A(l)= ^,^,. . . ß^= 1. Nun erhalten wir = _ ( ^1 - "1 Y ( ^n-'^n \^ Dieser Ausdruck fällt danach im ganzen Intervalle 0 < ^ ^ 1 stets < 0 aus, d. h. die Kurve M = logA(^) in einer t, u-Ebene ist im Bereich 0^t 0, also ist hier stets A(^) > 1, was zu zeigen war. Setzen wir m *\ *q v. /? 1 o n wo c ein positiver Faktor sei, so kommt die in betreff des Ausdrucks A(^) bewiesene Ungleichung auf den Satz hinaus: Sind «1, «2, • . ., öt„ und b^,b^, . . .,b^ lauter positive Gh-ößen, ohne daß man gerade a^ : aj : . . . : a„ == &i : &g : . . . : 6„ haiy so gilt stets die Beziehung Via, -f &i)(a2+ 62) . . . K+ O > Va,a,...a,-\- yb,b,...b,. Das über die Fläche D(f) = 1 gefundene Resultat können wir auch folgendermaßen ausdrücken : 74 Zur Geometrie der Zahlen. Konstruiert man in irgendeinem Funlde der Determinantenfläche D(f)==l, welcher einer positiven Form f entspricht, die Tangentialebene an diese Fläche, so liegt im ganzen Bereiche der positiven Formen diese Fläche, ab- gesehen vom Berührungspunlde, vollständig auf der dem NullpunJde ab- gewandten Seite der Ebene. Indem wir diese Lage der Tangentialebene an D(f) = const. durch einen Punkt f in bezug auf irgendeinen zweiten Punkt g der Fläche in eine Formel fassen, kommen wir auf Grund der schon oben verwandten gleichzeitigen Transformation von f und g in Aggregate von Quadraten zu d. i. einfach zu der bekannten Ungleichung zwischen dem arithmetischen und geometrischen Mittel von n positiven, nicht lauter gleichen Größen. Kürzer können wir den Charakter der Fläche D(/) = 1 noch dahin schildern: Die Determinantenfläche D(f) — 1 ist im Gebiete der positiven Formen überall konvex nach dem Nullpunkte zu. § 9. Das Problem der dichtesten gitterförmigen Lagerung von Kugeln. 1. Für den Koeffizienten a^^ einer positiven reduzierten Form f haben wir stets wenn x^^, x^, . . ., x„ ganze Zahlen ohne gemeinsamen Teiler > 1 sind, und diese Ungleichung überträgt sich sofort auf beliebige Systeme von ganzen Zahlen x^, x^, . . ., x^, die nur nicht sämtlich Null sind. Danach ist a^^ die kleinste durch die Form f mittels ganzer, nicht sämtlich verschwindender Zahlen darstellbare Größe. Wir nennen diese Größe das Minimum der Form f und schreiben sie M{f)\ sie ist (wie die ganze reduzierte Form) offenbar eine Invariante der Klasse f. 2. Aus den Ungleichungen (14) und (15) in § 5 (nach der Größen- folge von «11, «227 • • •? ^nn ^^^ ^®^ obcrcu Begrenzung ihres Produktes mit Rücksicht auf die Determinante) entnehmen wir (41) ^ D(f)^KiM(f)r. Danach überschreitet „ niemals eine gewisse nur von n abhängende Grenze. VD{f) Es ist nun durch Her mite die Frage nach dem präzisen Maximum der Werte dieses Quotienten gestellt worden. Korkine und Zolotareff*) definierten: *) Mathematische Annalen, Bd. 6 und Bd. 11. Diskontinuitätsbereich für arithmetisclie Äquivalenz. 75 JEine positive quadratische Form f mit n Variablen soU eine extreme Form (ihre Klasse eine extreme Klasse) heißen, wenn hei den infinitesimalen Variationen der Form der Quotient M(f) : VD(f) niemals zunimmt. Da wir bei den Variationen durch bloße Multiplikation der variierten Form mit passendem Faktor den Wert des Minimums konstant erbalten können, so dürfen wir auch sagen: Eine positive Form ist extrem, wenn bei Iceiner infinitesimalen Varia- tion der Form, ivelclie das Minimum ungeändert läßt, die Determinante ab- neJimen Tcann. 3. Den extremen Formenklassen kommt eine bemerTcenswerte geometrische Bedeutung zu. Bringen wir eine positive quadratische Form /"(ajj, ^i, ■ • -, x„) auf die Gestalt so daß Ij, ^27 • • •> ^n w reelle lineare Formen in iCj, Xj, . . ., a;„ sind, und deuten ^^,^,...,^„al8 rechtwinklige Koordinaten in einem Räume 'Si„ von n Dimensionen, so können wir f^l als eine w-dimensionale Kugel vom Radius 1 in diesem Räume bezeichnen. Ihr Volumen in |^, Ig, . . ., |^ ist n «2 t^ + f) Die Punkte x^ = m^ , x^= 7n^,...,x^= m^, welche ganzzahligen Werten m^,m^, . . ., w„ entsprechen, bilden in dem Räume 9i^ ein parallelepipedisches Punlisystem (Gitter) mit der Dichtigkeit Nämlich die einzelnen Parallelepipede ^h—Y^^k£'^h+Y (Ä = l,2, ...,w) mit diesen Punkten als Mittelpunkten erfüllen in ihrer Gesamtheit den Baum 'Si„ lückenlos, sind untereinander kongruent und enthalten jedesmal je einen Gitterpunkt bei einem Volumen je = yD(f). Die n-dimensionalen Kugeln vom Badius — ]/il!f"(/") um diese einzelnen Gitterpunkte werden nun, nach der Bedeutung von M(f), derart liegen, daß sie untereinander nur in Punkten der Begrenzung zusammenstoßen. Infolge- dessen wird insbesondere (42) yn{Yy^¥^^ 0 sind, und dabei den Index l = n in Betracht zu ziehen brauchen. Unter den positiven Werten m^, m^, ..., w„ sei nij der letzte von Tdeinstem Betrage. Wir setzen Uj^ = mjj wenn Ä4=i ist, und Uj = 0, da- bei wird immer m^-u^^O, m„ - w„ > 0 sein, und die n Argumente m^ — u^ erscheinen gegenüber den Argu- menten nij^ verringert bis auf eines, das unverändert geblieben ist. Nun haben wir: = m/(fa, 1, . . . , 1) - ajj) + 2 ^{m^ - m) w . ^a^^ , und die rechte Seite hier erweist sich durch f{\, 1, . . . , 1) > a^^ und durch die Ungleichungen ^äa + ^^a*^^ ^ Anbetracht von w^4 als ^ 0, so daß f{m^, w?2, . • ., wj > f{m^ — u^,m^-u.2,...,m^ — m„) folgt. Damit ist hier eine Rekursionsformel gewonnen, die durch einen Induktionsschluß sofort den verlangten Beweis liefert. 2. Stellen wir eine Form f durch das quadratische Schema ihrer Koeffizienten dar, so sind in den Fällen w == 2, 3, 4 die positiven Kanten- formen mit M(f) == 2: f2,i,i,n 1,2,1,1 1,1,2,1 U,l,l,2j sowie die diesen äquivalenten reduzierten Formen; die bezüglichen Deter- minanten sind 3, 4, 5 und 4. Alle diese Farmen sind extreine Formen. Im vierdimensionalen Räume existieren danach zwei wesentlich verschiedene dichteste gitterförmige Lagerungen von lauter gleichen Kugeln. Die nicht wesentlich positiven Kantenformen erhält man bei der. Schreibweise hier aus den positiven Kantenformen für die geringeren 2,V 1,2. '2,l,r 1,2,1 und f 2, 0,0,1^ 0,2,0,1 0,0,2,1 U,1,1,2J 80 Zur Geometrie der Zahlen. Variablenzahlen durch Vorsetzen so vieler aus lauter Nullen bestehender Horizontal- und Vertikalreihen, daß quadratische Systeme von n Reihen resultieren. 3. Auf die Fälle n = 6 und w = 6 bin ich in einem Aufsatze in Grelles Journal, Bd. 101 (diese Ges. Abhandlungen, Bd. I, S. 217) einge- gangen. Für n = b haben Korkine und Zolotareff die extremen Formenklassen in den Mathematischen Annalen, Bd. 11 bestimmt. § 12. Yolumen des reduzierten Raumes bis zur Determinantenfläche. Unter dem Volumen eines Bereichs in der Mannigfaltigkeit A der quadratischen Formen verstehen vrir den Wert des 7^ -fachen Integrals ff..Jda^^da^^...da^„, erstreckt über diesen Bereich. 1. Es sei D irgendein fester positiver Wert. Wir wollen den Satz beweisen: Dasjenige Gebiet B{D) des reduzierten Baumes, in ivelclmm I){f) <.D gilt, welches also in bezug auf die Determinantenfläche D(f) = D auf der Seite des Nullpunktes liegt, besitzt ein bestimmtes endliches Volumen. Da die einzelnen Gebiete dieser Art, welche zu verschiedenen Werten D gehören, untereinander homothetisch vom Nullpunkte aus sind, so wird n + l das fragliche Volumen einen Ausdruck v^D ^ haben, wobei v„ eine nur von n abhängende Konstante sein wird. 2. Wir bezeichnen mit B(I), s) den Teil des reduzierten Raumes, worin D(f)^B, a,,>8 gilt, unter s eine positive Größe verstanden. Diese Ungleichungen in Verbindung mit den Ungleichungen (44) «ii^«22^-'-^««„. ±2a,i^a;ij ih<1c), (45) Kana2,...a^^£D{f) für eine reduzierte Form liefern obere Grenzen für die Beträge aller Ko- ordinaten in BiB, s), und kommt daher diesem Bereiche B{B, s) ein be- stimmtes endliches Volumen zu. 3. Ist nun £>£*>0, so umfaßt B(D,e*) das Gebiet B{D,e) und in der Partie, mit welcher B(I), s*) über B{D, s) hinausragt, gilt erstlich: «*^«ii^^; |«ltl ^Y<*ll(^' = 2; 3, ...,»*), «12^0, Diskontinuitätsbereich für arithmetische Äquivalenz. 81 n und ist darin zudem ^a^j^x^^x^ eine Form von n — 1 Variablen mit der Determinante „ , welche alle Bedingungen einer reduzierten solchen Form erfüllt. Nehmen wir nun das zu beweisende Resultat als bereits sichergestellt für den Fall von n — 1 Variablen an, so vergrößert sich hiemach beim Übergang von B{D, s) zu B(D, £*) das Volumen dieses Bereichs gewiß um weniger, als der Wert des Integrals über den Bereich 0 < a^j^ ^ £ beträgt, d. i. um weniger als ^«-ip» D^ n Daraus folgt, daß das Volumen voti B(D, «) mit nach Null abnehmen- dem e einer hestimtnten endlichen Grenze zustrebt, welche eben das Volumen von B(D) definiert. Nachdem so die Existenz der Konstante v^ erwiesen ist, können wir hinzusetzen: Das Volumen von B{D,s) ist n + l «+1 * * (46) v^D^~ - v^e^ D^ , n WO V, zur Abkürzung für — v,_iA„ ^ „7^^/ 4. Wir bemerken femer: Das durch (47) D £ D(f) £ D* a^i ^ a definierte Gebiet des reduzierten Raumes, wobei 0 < D < D* und £ > 0 sei, hat ein Volumen, das (48) < v^D* ' -D ^ ) und > ( v„-t)„il | (d* ^ _ ]jri~) ist Das Gebiet (47) nämlich ist ganz enthalten in dem Teile D « und etwa « ^ 1 voraus. Wir haben es hier mit dem folgenden Ausdrucke zu tun: (50) 0(/-) = ö{D{f)f'^^'^ ^^— . Barin bedeute f{x^,...,x^ =^aj^^Xf^x^, eine positive reduzierte quadratische Form von n Variablen, D{f) ihre Determinante und die Summe soll über alle diejenigen Systeme von ganzen Zahlen x^, . . ., x^^ erstreckt werden^ welche die Ungleichungen (51) s 1 haben. 2. Es bedeute andererseits ¥(/") den Wert des Ausdrucks (50), wenn darin die Summe ausnahmslos über alle existierenden ganzzahligen Systeme ^li-'-y^'n erstreckt wird, welche den Bedingungen (51) genügen. Wir lassen also bei der Definition von ^ (f) die Bedingung fallen, daß x^,...,x„ relativ prim sein sollen. Diskontinuitätsbereich für arithmetische Äquivalenz. 83 Wir erinnern noch an die in § 7, 1. gefundene Tatsache: Sind x^, . . .,x^ ganze Zahlen 4= 0, . . ., 0 und ist darunter x^ die letzte von NuU verschiedetie Zahl, so fallt dafür aus. 3. Die Untersuchung des Ausdrucks Y(/') gründen wir auf folgende Tatsachen. Deuten wir rr^, . . ., a:„ als Koordinaten eines Punktes in einem n-dimen- sionalen Räume 9fl„, so stellt (52) • f{x„...,x:)-~'—a^^ ist, gewiß das Gebiet des Meineren Ellipsoids A^,..,..)<(l/T--)A<^^„) völlig überlagern, und hieraus leiten wir die folgende andere Tatsache her: Die Anzahl der ganzzahligen Auflösungen von fix„...,x„)■ ^ ^ VW) Aus den beiden in (57) und (58) enthaltenen Grenzen entnehmen wir weiter: Ist T ^ ^n%n '^''^ ^ ^** Wert > 1, so liegt die Anzahl der ganzzahligen Systeme x^, . . .,x^, welche die Ungleichungen T£fix„...,x;) A„a„„. Wir setzen G = TJ,\ so daß der Exponent l eine positive ganze Zahl und der Wert ^ > 1 wird, und wir teilen das Intervall T„ über 6, s, G derart, daß dabei (62) lim£'^=l, HmG^-'^ = 0 wird. Alsdann wird auch lim T^" == 1 sein. Femer können wir l als ganze Zahl abhängig von £, 6 und G noch derart einrichten, daß hierbei _1 ßl bil~^logG-logTJ nach unendlich, aber ^ — - nach Null konvergiert. Dann konvergiert also log t nach NuU, mithin t nach 1. Infolge dieser Umstände Jconvergiert der Term mit x„ in (60) imch Null. In dem ersten Term mit dem Koef- fizienten y^ ist der Faktor n (^-?) wo f einen Mittelwert zwischen 1 und t bedeutet, und Iconvergiert dieser erste Term in (60) nach^y^. 86 Zur Geometrie der Zahlen. Die analog herzustellende untere Grenze des fraglichen Anteils aus Y(/") wird von dem Ausdrucke (60) her dadurch gewonnen, daß der zweite Term subtraktiv statt additiv genommen und beiden Termen noch der Faktor n t ' hinzugesetzt wird. Es leuchtet ein, daß unter den angegebenen Vor- aussetzungen diese untere Grenze ebenfalls nach dem Werte — y„ hmvergiert. 6. Wir haben weiter diejenigen Terme des ÄusdrucJcs ^(f) abzuschätzen, in welchen f zwar ^ £, aber < A„a„„ ausfällt. Da die Konstante /l„ < 1 und a^y das Minimum von f ist, wird in allen Gliedern von V(/) stets Wir nehmen alle diejenigen Glieder aus Y(/*) zusammen, soweit solche überhaupt vorhanden sind, in welchen gilt, wobei h eine der Zahlen 1, 2, . . ., m — 1 sein kann. Es sei T^ die größere der zwei Größen X^aj^^^, e bzw. ihr gemeinsamer Wert. Wegen f0) statthat, unter t eine fest angenommene positive Konstante (etwa 2) ver- standen, kleiner als eine Größe -n ^'^"^ worin j^^ eine gewisse nur von h abhängende positive Konstante vorstellt. Das Aggregat der in Rede stehenden Terme ist dann sicher <ö{D(f)y 4-+- (-,¥1^) -A t Diskontinuitätsbereich für arithmetische Äquivalenz, 87 Hierin machen wir im Nenner von n-h-l n-h , 1 i „ n-A-1 ^ _1_ „ »" 5 — —5 — l-" / -^ Y'^ — 2 — / ^ T"*" ~2~ K ^A K«U«S2--«M^« «AA yail «22 • • • «AA ^ « «11 Gebrauch, und mit Rücksicht hierauf kommen wir sogleich zu dem Er- gebnisse: Das Aggregat aller Terme in ^(f), welche den Bedingungen s£f(x^,...,x„) (f) zu kommen, wollen wir mit Y^ den Wert des Ausdrucks (50) bezeichnen, tcenn darin die Summe über alle solchen, den Bedingungen ^ ^f*C G ent- sprechcnde^i ganzzahligen Systeme x^,. ..,x,^ erstrecJct wird, bei denen Xi,...,x^ sämtlich durch eine bestimmte positive Zahl d teilbar sind. Bei Werten d, für welche d^s^G ist, wird es Systeme x^,...,x,^ der eben bezeichneten Art überhaupt nicht geben und ist daher Y^ = 0 zu setzen. Die vorhin behandelte Summe Y {f) kommt auf die Summe V^ hinaus. 88 Zur Geometrie der Zahlen. Wir gelangen nun von Y^ zu der von uns gesuchten Summe 0 (f), indem wir, der Reihe der Primzahlen 2, 3, 5, . . . folgend, aus dem Aggre- gate Vj sukzessive alle diejenigen Terme aussondern, in denen x^, . . ., x^ sämtlich durch 2, oder doch sämtlich durch 3, oder doch sämtlich durch 5, usf. aufgehen.*) Danach ergibt sich (65) CD (/•) = Y, - Y, - (Y3 - %) - QV, - V,o - V,3 + Y30) - • • • • Die Büdung dieser Reihe ist am besten dahin zu beschreiben, daß das über alle Primzahlen 2> = 2, 3, 5, ... zu erstreckende unendliche Produkt entwickelt und jedem in dieser Entwicklung auftretenden Gliede -f — ein d* Glied -(- Y^ mit dem nämlichen Vorzeichen + in der Reihe (65) zuge- ordnet wird. Es sei hier s = n -\- 2d, so ist die Reihe (66) absolut konvergent und ihr Wert das Reziproke der über alle positiven ganzen Zahlen er- streckten Summe i^i) «.-i + 7+-? + -? + ---- Setzen wir in den Gliedern von ¥^ die Variablen x,^ = dy^ an, so wird darin f(oc^,---,x„) = d^f{y^, ..., y^, und da f in B{B, b) liegen soll, das Minimum von f also nach Voraussetzung ^ « ist, so haben wir in Y^ die Summation über alle ganzzahligen Systeme ^],...,^« zu erstrecken, für welche wird. Wir denken uns nun d^ als ganze Zahl, abhängig von 0, derart ge- wählt, daß die Summe der Beträge aller derjenigen Glieder in (66), welche Werten d^ d* entsprechen, beliebig nahe an Null liegt und daß andererseits unter den Voraussetzungen (64) auch lim (d^*^) = 1 wird. Alsdann haben wir nach dem Ergebnisse in 7. , wenn d ^d* ist, unter den Voraussetzungen (64) jedenfalls i™(f^^5i^)-7n- Wenn aber d"^ d^ ist, so gilt zum mindesten die Relation *) Vgl. hierzu Lipschitz, Über die asymptotischen Gesetze von gewissen Gat- tungen zahlentheoretischer Funktionen, Monatsbericht der Berliner Akademie, 1865, S. 174. Diskontintiitätsbereich für arithmetische Äquivalenz. 89 Mit Rücksicht auf diese Umstände folgt offenbar unter jenen Yor- aussetzungen (68) u^0(^ = |y,U„,JY(l__l,_^)_||. Damit sind wir zu folgendem Ergebnisse gelangt: Für alle Formen f im ganzen Bereiche B{JD, s) liegt der Wert der Funktion 0(/) zwischen zwei GrenzeUj die unter den Voraussetzungen (64) 'beide zugleich nach dem Werte —'^ Jconvergieren. 9. Es habe jetzt das Minimum a^ von f einen beliebigen Wert, so können wir für das Aggregat derjenigen Glieder in ^(f), bei welchen außer s^f noch >l„a„„^/' gilt, durch (60) eine Konstante v, als obere Grenze bestimmen, und für das Aggregat der übrigen Glieder in ¥ (f) be- steht die obere Grenze (63). Diese oberen Grenzen gelten um so mehr für den Wert der Summe 0 (/"), und wir finden: Es ist stets A+ (69) o^{f)(nda,,da,, . . . da,, der in (50) definierten FunTdion ^(f), erstreckt über den durch bestimmten Teil B (D, d) des reduziertoi Baumes. Nehmen wir zunächst <3 = £, so ergibt das Resultat aus 8. in Ver- bindung mit den Sätzen aus § 12, daß unter den Voraussetzungen (64) jedenfalls «+1 ist. Nun sei tf < «, so benutzen wir dazu noch in dem Gebiete, mit wel- chem der Bereich B{I),8) über 5(2), «) hinausragt, für die Funktion ^(f) die obere Grenze (69). Das Volumen jenes Zusatzgebietes ist nach n it a § 12 sicher < v,«' D*. Im ersten Term von (69) ersetzen wir {Dif))* a durch die obere Grenze D" ; andererseits ermitteln wir eine obere Grenze für das *^ J' -fache Integral 90 Zur Geometrie der Zahlen. ff • * r^^rr da^i ^«12 • • • da^n: erstreckt über den ganzen Bereich B(D, d), indem wir ähnlich wie in § 12 vorgehen. Indem wir die Integration nach «22? ^23? • • •; ^»n ^'^^ zwar zu- nächst über die Flächen ^ = konst. ausführen, femer nach a,,, . . ., a, oaii ' 13 y } in integrieren, finden wir das betreffende Integral (vgl. § 12, 3.) über den Bereich erstreckt. Das Doppelintegral hier wird Berücksichtigen wir nun, daß im ersten Term von (69) noch der Faktor -^ — auftritt, der unter den Voraussetzungen (64) wacÄ Null hm- .'*' vergiert, so können wir endlich den Satz aussprechen: Das Integral J(d), über den Bereich B{D, d) erstreckt, wohei d be- liebig < s ist, liegt zwischen zwei Grenzen, die unter den Voraussetzungen (64) beide nach dem Werte (71) Yt"»^'^ konvergieren. § 14, Auswertung des Volumens. Auf Grund dieses Satzes können wir jetzt die Berechnung von v„ auf die Berechnung von v„_i zurückführen. 1. Sind Pi, P2, ■ ' -yPn ^ ganze Zahlen ohne gemeinsamen Teiler > 1, so kann man stets dazu ganzzahlige unimodulare Substitutionen P mit diesen Zahlen als erster Vertikalreihe finden. Ist Pq eine erste solche Substitution, P eine beliebige Substitution dieser Art, so hat die Sub- stitution Bq^P als erste Vertikalreihe die Zahlen 1, 0, . . ., 0 wie die iden- tische Substitution, und können wir jedesmal in bestimmter Weise B=PqQB setzen, so daß Q die erste Variable völlig ungeändert läßt, also in Q Diskontinuitätsbereich für arithmetische Äquiralenz. 91 auch noch die erste Horizontalreihe 1, 0, . . ., 0 ist und R eine Suhstituti&n von der Gestalt yi=Zi + r^z, + '-- + r„z„, 2/2 = ifj, . . ., y„ = z^ wird. 2. Nun mögen 8, G, 6 und d < £ wie in § 13 vorausgesetzt sein, und f sei eine Form im Bereiche B{I), d). Sodann seien p^, Pi, . ■ -, p„ solche ganzen Zahlen ohne gemeinsamen Teiler > 1, daß (72) e 0 toird. Durch die vorstehenden Forderungen sind dann Q, R und damit auch P = PqQR in dem Falle eindeutig bestimmt, wo in keiner der dabei zu betrachtenden Ungleichungen (76), (77), (78) sich das Gleichheits- zeichen einstellt. 92 Zur Geometrie der ZaMen. 3. Jetzt sei %^ ein positiver Wert < d und wir fassen für tp den Be- reich aller derjenigen Formen ins Äuge, hei welchen (79) ^Jy«>^'^n- Wir können dieses Resultat folgendermaßen aussprechen: Im n-dimensiondlen Baume gibt es sicher solclie parallelepipedische Lagerungen von lauter Jcongruenten Kugeln, daß der von den Kugeln erfüllte Raum mehr als das —^—^S^-fa/ilie des ganzen unendlicJien Raumes heträgt. Dazu bemerken wir, daß bei einer „tetraedrischen" Schichtung von Kugeln, welche der jedenfalls extremen Form f^{x,+x, + ----{-x„y + x,' + x,'+----\- V entspricht, genau der V = — te Teil n in n >/M^ 2V»» + i r(i + -|-) des unendlichen Raumes durch die Kugeln ausgefüllt wird, welcher^ An- teil hei großem n wesentlich Meiner als der vorhin genannte Teil ist, wäh- rend allerdings in der Ebene und im Räume von 3 Dimensionen diese Schichtung nach regulären Dreiecken bzw. Tetraedern überhaupt die ein- zige dichteste gitterförmige Lagerung von kongruenten Kreisen bzw. Kugeln vorstellt. § 16. Asymptotisches Gesetz für die KlassenanzaMen ganzzahiiger Formen. Dem Volumen v„ kommt eine besondere arithmetisclie Bedeutung zu. Wir betrachten speziell die positiven Formen f mit lauter ganzzahligen Koeffizienten a^^. Dabei ist immer «n ^ 1. Mit Rücksicht hierauf haben wir den Ungleichungen (44), (45) zufolge zu einem gegebenen positiven ganzzahligen Wert D(f) = D immer nur eine endliche Anzahl verschie- dener reduzierter Formen mit ganzzahligen Koeffizienten und also auch nur eine endliche Anzahl verschiedener Klassen ganzzahiiger positiver Formen. Diese Klassenanzahl für die Determinante D werde mit 3(1)) bezeichnet. Wir werden das asymptotische Gesetz nachweisen: (87) i™/mim^pt^\_„,. 1. Wir fassen in der Mannigfaltigkeit A aller quadratischen Formen /"= (a^j) diejenigen Punkte (a°J ins Auge, bei welchen alle J" 96 Zur Geometrie der Zahlen. Koordinaten a^j^ ganze rationale Zahlen sind, und wir konstruieren um jeden solchen Punkt (a^J als Mittelpunkt den Würfelbereich (88) -Y^«.*-<.^4- {h]c==l,2,...,n). Wir erhalten ein Netz von Würfeln, welches die ganze Mannigfaltig- keit A einfach und lückenlos überdeckt. Es sei nun D eine positive ganze Zahl, und wir bilden den Bereich B(J), 1), der aus dem reduzierten Räume B durch die Forderungen herausgeschnitten wird. Es mögen N jener Würfel vollständig in diesen Bereich B{I), 1) faUen und N* darunter vorhanden sein, welche zwar nicht ganz in diesen Bereich fallen, aber doch in das Innere dieses Be- reiches eintreten. Zufolge der Ungleichungen (46) wird dann « + 1 w + 1 n (89) N v^B'^ - v„B^ sein. Andererseits repräsentieren die Mittelpunkte der hier in der Anzahl N gezählten Würfel lauter verschiedene Klassen ganzzahliger positiver Formen, wobei die Beterminante einen der Werte 1, 2, . . ., D hat, und wird jede Klasse solcher Formen durch wenigstens einen unter den Mittelpunkten jener N -\- N* Würfel repräsentiert. Also ist (90) N£H{1) + H(2) + '-• + H{D) £ N+ N*. Um das Resultat (87) zu gewinnen, wird nunmehr nach (89) und (90) eine solche Abschätzung der Größe N* hinreichend sein, aus welcher sich erschließen läßt. 2. Zu diesem Ende stellen wir zunächst einen einfach zu charak- terisierenden Bereich fest, der alle jene iV-f N* Würfel vollständig in sich aufnimmt. In einem beliebigen dieser Würfel gibt es stets solche Punkte («;*), die in B(B, 1) hineinfallen, für welche also insbesondere (91) ^£af,£af,£---£a^„, ±2a*£a*, {h ist. Andererseits erfüllt im ganzen Bereiche des einzelnen Würfels jeder Punkt (a^it) in bezug auf den MittelpunU (a^^.) des Würfels die Be- dingungen (88). Namentlich gelten also diese Bedingungen für die Punkte Ki) = «)> u^d folgt daher DiskontinuitaiBbereich für arithmetische Äqulyalenz. 97 Als ganze Zahlen sind hiernach die Werte a^^ notwendig sämtlich ^ 1. Nunmehr hahen wir im ganzen Würfel Sodann folgt, immer mit Heranziehung von (91) und von (88), «M £ 2 nachweisen, worin Sr„ eine nur von n abhängende Konstante vorstellt. Im Falle w = 2 wollen wir uns hierbei Z) > 2 denken. Im Volumenintegral des durch (93), (94) angewiesenen Körpers ent- spricht einem Intervall a^^ bis a^ + rfa^ des ersten Koeffizienten ein gewisser Beitrag l'^-^a.l-^da^.ff. . .fda^^da^s • • • ^«»«• Projizieren wir andererseits diesen Körper orthogonal auf die Ebene «11 = 0 und beachten, wie diese Projektion sukzessive anwächst, während der Parameter a^^ von — an kontinuierlich zunimmt, so entspricht der Alinkowski, Gesammelte Abhandlongen. IL 7 98 Zur Geometrie der Zahlen. Zunahme von a^^ bis a^^ + da^^ des Parameters eine Vergrößerung jener Projektionsfläche um wobei der Integrationsbereich von a^^, a^s, . • ., «„„ der nämliche wie so- eben ist. Dadurch zeigt sich, daß die durch das Gleichheitszeichen in (94) gelieferte begrenzende Fläche dieses Körpers auf die Ebene a^^ = 0 eine Projektion ergibt, deren Flächeninhalt gewiß nicht größer ist als der Wert des Integrals //■.A ^)-~^da,,...da„^, über den ganzen Körper erstreckt. Hieraus resultiert zunächst für diese Projektion der Fläche (94) auf die Ebene a^^ == 0 eine obere Grenze vom Typus (95). Nun hat in einem beliebigen Punkte (a^^^) der begrenzenden Fläche (94) die Tangentialebene an diese Fläche in laufenden Koordinaten (b^^ die Gleichung wir ersehen daraus in Anbetracht der Ungleichungen (93), daß die Größe dieser Oberfläche ein gewisses, nur von n abhängendes Vielfaches ihrer Pro- jektion auf die Ebene a^^ = 0 nicht überschreitet. Projizieren wir andererseits den ganzen durch (93), (94) definierten Körper auf die Ebene (96) &11 + &22 + • • • + &„„ = 0, welche einer Tangentialebene der begrenzenden Fläche (94) parallel läuft, so wird die entstehende Projektion einmal genau von der Projektion dieser begrenzenden Fläche (94) geliefert und ein zweites Mal genau von den Projektionen aUer übrigen durch die Ungleichungen (93) angewiesenen ebenen Seitenwände des Körpers überdeckt, wobei keine dieser ebenen Seitenwände orthogonal zur Ebene (96) ist. Danach bestehen auch für die Flächeninhalte aller jener ebenen Seitenwände obere Grenzen vom Typus (95) und folgt endlich auch eine solche obere Grenze für die gesamte Ober- fläche des in Rede stehenden Körpers. 4. Wir kommen endlich auf die oben in der Anzahl N* gezählten Würfel zurück. Jeder dieser Würfel hat mit der Begrenzung des Bereichs B(I), 1) Punkte gemein. Diese Begrenzung besteht erstens aus einem Anteil der Fläche B{f) = D, zweitens aus Partien in den ebenen Seiten- wänden des reduzierten Raumes, drittens aus einem Stück der Ebene Ö11 = 1. Diskontinuitätabereich für arithmetische Äquivalenz. 99 Betrachten wir zunächst diejenigen unier jenen N* Würfeln, welcJie die Fläche D{f) = D treffen. Wir ordnen diese Würfel in Serien nach ihren Projektionen auf die Ebene a^^ = 0. Es seien darunter zwei Würfel mit gleicher Projektion auf diese Ebene da, ihre Mittelpunkte seien a®j, aj*,, . . ., a^^ und a°j + d, a^g, . . ., a^^, so daß d eine positire ganze Zahl ist, und es seien a^^, a^g, . . ., a^^ und a^^ + ^n? «12 + ^12? • • r «— + £— je ein Punkt in diesen Würfeln auf der Determinantenfläche D{f) = D. Dabei ist d — 1 ^ ^n ^ ^ + 1 ^^^^ sind s^^, . . ., f„„ dem Be- trage nach ^ 1; für Ä ^ 2 folgt aus «aa + *äa ^ 1 ''^^ *4a ^ ~ 1 noch ^hh ~r ^hh ^ V***- Bilden wir nun die Differenz so hat darin fj^ den Koeffizienten 1; für die übrigen Glieder aber können wir vermöge (91) (vgl. auch (17) für m =• 1) obere Grenzen angeben, die nur Ton n abhängen, so daß sich aus dieser Gleichung für d -]- 1 und damit auch für die Maximalzahl der Würfel in einer jener Serien eine nur von n abhängende obere Grenze ergibt. Das Volumen der in Rede stehen- den Würfel übersteigt nun nicht das Produkt dieser Maximalzahl in die Projektion der Gesamtheit jener Würfel auf die Ebene a^j = 0, und letz- tere Projektion ist sicher nicht größer als die Projektion des ganzen, durch (93), (94) bestimmten Körpers auf die Ebene a^^ = 0. Nehmen wir weiter diejenigen der y* Würfel, welche eine bestimmte ebene Seitenwand an) 2^n,,a,, = 0 des reduzierten Baumes treffen. Wählen wir irgendeinen solchen Koeffi- zienten fljj aus, für den der Faktor W;^^ hier =^= 0 ist, so finden wir, daß die Anzahl derjenigen unter den betrachteten Würfeln, welche eine und die nämliche Projektion auf die Ebene a^^ = 0 liefern, nicht größer als eine gewisse aus den numerischen Faktoren in dieser Gleichung folgende Größe ist. Andererseits ist die gesamte Projektion aller dieser Würfel auf die Ebene o^^ = 0 nicht größer als die Projektion des ganzen Be- reichs (93), (94) auf diese Ebene. Endlich ist die Anzahl derjenigen unter den ^^* Würfeln, welche die Ebene a^^ == 1 durchsetzen, nicht größer als die Seitenwand a^^ = — des durch (93), (94) bestimmten Körpers. Aus allen diesen Umständen zusammen entnehmen wir für die Zahl N* ebenfalls eine obere Grenze vom Typus (95), und wir gelangen da- durch zu folgendem Theoreme: 100 Zur Geometrie der Zahlen. Die Gesamtanzahl aller verschiedenen Klassen ganzzahliger positiver quadratischer Formen mit n Variablen und von den Determinanten 1,2, ...,D ist zwischen zwei Grenzen 3 TO+l w+l 1 v^lß ± a^D logD für n = 2 hzw. v„D~^ ± a}^D~^ "" für n>2 eingeschlossen, wobei v„ das Volumen des Baumes der reduzierten Formen mit Determinanten ^ 1 und co„ eine gewisse andere positive, nur von n ab- hängende Konstante vorstellt. Dabei ist im Falle n = 2 die Zahl D'^2 gedacht. Inhalt. Seite Problemstellung 63 § 1. Charakter der positiven quadratischen Formen 55 § 2. Anordnung in einer w-dimensionalen Mannigfaltigkeit 56 § 3. Niedrigste Formen in einer Klasse 57 § 4. Reduzierte Formen 69 § 5. Die Wände des reduzierten Raumes 61 § C. Die Kanten des reduzierten Raumes 68 § 7. Die Nachbarkammern des reduzierten Raumes 70 § 8. Die Determinantenfläche 73 § 9. Das Problem der dichtesten gitterförmigen Lagerung von Kugeln .... 74 § 10. Bestimmung der extremen Formenklassen 76 § 11. Die binären, ternären, quaternären Formen 78 § 12. Volumen des reduzierten Raumes bis zur Determinantenfläche 80 § 13. Verwendung Dirichletscher Reihen 82 § 14. Ausvrertung des Volumens 90 § 15. Maximale Dichte bei gitterförmiger Lagerung von Kugeln 94 § 16. Asymptotisches Gesetz für die Klassenanzahlen ganzzahliger Formen ... 95 ZUR GEOMETRIE I XXII. Allgemeine Lehrsätze über die konvexen Polyeder. (Nachrichten der K. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Mathematisch-physikalische Klasse. 1897. S. 198—219.) (Vorgelegt von David Hubert in der Sitzung vom 31. Juli 1897.) Ein konvexer Körper ist vollständig dadurch gekennzeichnet*), daß er eine abgeschlossene Punktmenge ist, innere Punkte besitzt, und daß jede gerade Linie, die innere Punkte von ihm aufnimmt, mit seiner Be- grenzung stets zwei Punkte gemein hat (niemals mehr als zwei Punkte falls auch die konvexen Körper, die sich ins Unendliche erstrecken, mit in Betracht gezogen werden). Infolge dieses einfachen Charakters spielen diese Gebilde eine gewisse RoUe bei der Behandlung einiger partieller Dififerentialgleichungen, die in der mathematischen Physik auftreten. Neuerdings habe ich in dem Buche „Geometrie der Zahlen" gezeigt, daß auch merkwürdige arithmetische Beziehungen sich an die konvexen Körper knüpfen. Einen besonderen Reiz bieten die Sätze über konvexe Körper noch durch den Umstand dar, daß sie in der Regel für diese ganze Kate- gorie von Gebüden ohne jede Ausnahme Geltung haben. Der vorliegende Aufeatz entstand bei Gelegenheit von Versuchen, den folgenden Satz zu beweisen, den ich seit längerer Zeit vermutete und dessen elementare Fassung nicht auf die Schwierigkeiten seiner Verifizierung schließen läßt: Wenn aus einer endlichen Anzahl von lauter Kärpern**) mit Mittelpunkt j die untereinander nur in den Begrenzungen zusammen- stoßen, sich ein kmivexer Körper aufbaut, so hat dieser stets ebenfalls einen Mittelpunkt. Ich behandle hier nur diejenigen konvexen Körper, die ihre ganze Begrenzung in einer endlichen Anzahl von Ebenen liegen haben und auch *) Geometrie der Zahlen, I. Lieferung, Leipzig bei B. G. Teubner, 1896: S. 200. Ich habe dort die betreffenden Gebilde nirgends konkave Körper genannt, hier will ich mich der kürzeren Bezeichnung konvex bedienen. ••) Unter den „Körijern mit Mittelpunkt" dürfen hier, wie aus Lehrsatz V (S. 119) der Arbeit leicht ersichtlich ist, jedenfalls beliebige abgeschlossene Punktmengen mit Mittelpunkt, denen eine bestimmte Größe der Oberfläche zukommt, yerstanden werden. 104 Zur Geometrie. sich niclit ins Unendliclie erstrecken; icli entwickle über die eindeutige Festlegung eines derartigen Polyeders unter Verwendung der Inhalte seiner Seitenflächen einige Theoreme, die durch ihren leicht verständlichen Inhalt und andererseits die zu ihrem Nachweise erforderlichen Methoden Be- achtung verdienen. Diese Theoreme sowie ihre Ausdehnung auf beliebige konvexe Körper werfen auch ein neues Licht auf die Eigenschaft der Kugel, unter allen Körpern von gleicher Oberfläche das größte Volumen zu besitzen. § 1. TorTbemerkungeii. 1. Es seien rechtwinklige Koordinaten x, y, z zugrunde gelegt. Wenn von einer Richtung {a, ß, y) gesprochen wird, so soll gemeint sein, daß a, ß, y die Kosinus der Neigungswinkel der Richtung gegen die Richtungen der Koordinatenachsen sind. Es sei ^ ein konvexes Polyeder mit n Seiten- flächen, die in beliebiger Ordnung numeriert sein mögen. Es sei J das Volumen von ^, F^(v = 1, . . ., w) der Flächeninhalt der v^"^ Seitenfläche, mithin 0 = F^-\ + F^ die Größe der Oberfläche von ^. Es sei ferner (a^, ß^, y^ die Richtung einer auf der v*®° Seitenfläche nach dem Äußeren von ^ hin errichteten Normalen. Die n Richtungen (a^, ß^, y^ sind verschieden imd jedenfalls derart, daß darunter sich irgend drei un- abhängige finden, d. h. daß sie nicht alle einer einzigen Ebene angehören können. Es sei p irgendein innerer Punkt von ^, und es sei^^ für v= 1,. . .,n die Länge des von p auf die v*® Seitenfläche von ^ gefällten Perpendikels. Hält man den Punkt p und die Richtungen (a^, ß^., y^ fest, betrachtet hingegen die Längen p^ als veränderlich, so ändert sich das Polyeder ^ und mit ihm sein Volumen J gemäß der Differentialformel: (1) dJ=F,dp,i---. + FJp„. Will man diese Formel auf den Unterschied des Volumens derjenigen zwei Polyeder anwenden, die aus ^ durch Dilatation vom Punkte p aus in allen Richtungen in einem Verhältnisse t:l, beziehlich t -{- dt : 1 entstehen, so hat man F^ durch F^f und dp^ durch p^dt zu ersetzen. Wird die hervorgehende Formel nach t zwischen 0 und 1 integriert, so ergibt sich (2) • ^J-=F,p,+ --^ + Fj>„. Benutzen wir statt p irgendeinen anderen Punkt in ^, der die rela- tiven Koordinaten a, h, c in bezug auf p haben mag,- so haben wir p^ durch p^— (aa^-j- &/3^-}- cy^) zu ersetzen. Weil a, h, c innerhalb gewisser Grenzen beliebig sind, so führt die Formel (2) zu (3) ^-^.«.= 0, 2F,ß^=0, 2F,y^=0, Allgemeine Lehrsätze über die konvexen Polyeder. 105 wo die Summen sich auf die Werte v = 1, . . .,n beziehen. Die n Rich- tungen («,, ß^, 7y) sind also weiter jedenfalls derart, daß diese drei Glei- chungen (3) eine Auflösung in positiven Größen F^, zulassen. 2. Es sei {a, ß, y) irgendeine Richtung und 0 das 2Iaximu7n, -O- das Minimum von (p = ax -}- ßy -{- yz im Bereiche des Polyeders ^, so liegt ^ zwischen den zwei parallelen Ebenen (p = d- und (p = Q eingeschlossen und kann 0 — d- = d als die Breite des Polyeders in der Richtung (a, ß, y) bezeichnet werden. Projiziert man die gesamte Oberfläche des Polyeders senkrecht auf die Ebene (p = 9; so wird von der Projektion ein gewisses Polygon in dieser Ebene im ganzen Inneren doppelt überlagert, und ist danach der Flächeninhalt dieses Polygons gewiß < -X- 0. Sodann schließt derjenige Zylinder, der senkrecht auf diesem Polygon steht und die Höhe d hat, so daß er von der Ebene q) = d- bis zur Ebene qp = 0 reicht, das Polyeder ^ ganz in sich ein, und daraus folgt (4) \Od>J. Es sei ] der Schicerpunkt von ^ und s sein Abstand von der Ebene 9 = 0. Ximmt man irgendeinen Pimkt aus ^ in der Ebene cp ^ %-, so zerlegt sich das Polyeder ^ in die Pyramiden, welche diesen Punkt als Spitze und die einzelnen, nicht durch ihn gehenden Seitenflächen von ^ als Grundflächen haben; diese Pyramiden stoßen untereinander nur in den Begrenzungen zusammen. Da in einer Pyramide der Abstand des Schwer- punkts von der Basis y^ der Höhe beträgt, so hat in jeder dieser Pyra- miden der Schwerpunkt von der Ebene tp = Q einen Abstand ^ —dj und daher ist auch s^—d\ mit Hilfe von (4) folgt daher Da dieses Resultat für jede beliebige Richtung (a, /3, y) gilt, so ist danach die Kugel vom Radius -^ mit j als Mittelpunkt ganz im Inneren von ^ enthalten, daraus folgt Betrachtet man weiter irgendeinen Punkt aus ^ in der Ebene g; = &, irgendeinen Punkt aus ^ in der Ebene cp = Q und dazu den größten Kreis dieser Kugel in der parallelen Ebene q) = Q — s, so enthält das Polyeder sogleich die zwei Kegel, welche die Fläche dieses Kreises als Basis und ihre Spitze beziehlich in jenen zwei Punkten haben; daraus folgt (6) h&<'^- 106 Zur Geometrie. Ersetzt man (a, ß, y) durcli (— cc, — ß, — y), so vertauschen sich, die Rollen der Ebenen cp = d- und qo = 0, und anstatt s^-j^d gewinnt man 3 die weitere Ungleichung s ^—d. Die Werte von s und d für die Richtung (a^, ß^, y^ mögen s^ und d^ heißen. Für einen beliebigen Punkt p im Inneren von ^ gilt offenbar stets (7) p,f- 3. Als Jconvexen Bereich will ich überhaupt jede abgeschlossene Punkt- menge bezeichnen, zu der mit irgend zwei Punkten stets auch die ganze sie verbindende Strecke gehört; ein konvexer Körper bedeutet dann einen solchen konvexen Bereich, der auch innere Punkte enthält, d. h. nicht ganz in einer Ebene gelegen ist. ^ Unter einer Stützebene eines konvexen Bereichs verstehe ich eine Ebene, die nicht zu beiden Seiten von sich Punkte des Bereichs liegen hat und selbst mindestens einen Punkt des Bereichs enthält. Ein kon- vexer Bereich besitzt durch jeden Punkt seiner Begrenzung wenigstens eine Stützebene. Wenn femer ein konvexer Bereich sich nicht ins Un- endliche erstreckt, gibt es zu jeder Richtung {a, ß, y) eine und nur eine Stützebene des Bereichs mit dieser Richtung als Normale und so, daß auf der Seite der Ebene, nach welcher die Richtung weist, kein Punkt des Bereichs liegt. Die Gleichung der betreffenden Stützebene ist ax-\- ßy -\- yz ==■ r*, wenn r* das Maximum von ax -^ ßy -\- yz im Bereiche bedeutet. — Es seien jetzt irgend n verschiedene Richtungen (a^, ß^, y^) für V = 1, . . ., w gegeben, so, daß darunter drei unabhängige sich finden und daß die drei Gleichungen (9) -2'fi.«.= o, 2hj^-^, 2s^rr=o eine Lösung in positiven Werten H^ zulassen. Dann läßt sich zunächst zeigen, daß es jedenfalls ein Polyeder gibt mit n Seitenflächen, bei welchem jene Richtungen als die der äußeren Normalen der Flächen auftreten. In der Tat, durch die n Ungleichungen (10) a^x + ß^y + y^z-l<0 (i; = l,...,w) wird ein konvexer Bereich TT definiert. Die n Ebenen a^x + ß^y + y^s = 1 Allgemeine Lehrsätze über die konvexen Polyeder. 107 sind Tangentialebenen der Kugel x^ -\- y^ -\- s^ ■^ 1. Also enthält TT diese Kugel, und es wird die Begrenzung des Bereichs TT von n, aber nicht schon von weniger Stützebenen geliefert. Ist jetzt x, y, z ein Punkt aus TT, 80 stellt i?j = 1 — a^x — ß^y — y^z die Länge des von x, y, z auf die V*® jener Ebenen gefällten Perpendikels vor; unter Verwendung der vor- ausgesetzten Lösung von (9) folgt dann SE'^.p^.= ^-5,.- Da die Größen H^ alle > 0 sind, ergibt sich hieraus, daß die Längen p^ nicht über eine gewisse Grenze hinausgehen. Da nun anter jenen n Ebenen sich drei solche finden, die sich nur in einem Punkte schneiden, ist danach TT in einem gewissen Parallelepipedum enthalten und kann sich also nicht ins Unendliche erstrecken; somit ist TT ein Polyeder, das der gestellten For- derung entspricht. Das Volumen von TT werde = — , gesetzt. Wir bezeichnen die Linearform a^x + ß^y + Ty^ Diit cpy Es seien nun r^ für v = 1, . . ., n irgendwelche n Größen ^ 0, und es sei etwa r der größte darunter vorkommende Wert; dann wird durch (11) y= r^, welches allgemein die r*® Seitenfläche von ^(r^) genannt werden möge, einen be- stimmten Flächeninhalt F^ besitzen; es kann J und jedes F^ auch Null sein. Diese Größen J und F^ (f = 1, . . ,, w) sind offenbar im ganzen durch »*i ^ 0, . . ., r„^ 0 definierten Gebiete stetige Funktionen von r^,. . .,r„. Wenn für ^(r,,) aUe Größen F^> 0 ausfallen, sind die Werte r^ ohne 108 Zur Geometrie. weiteres tangentiale Parameter. — Sind für zwei Bereiche ^(q^) und ^(rj die Systeme q^ und r^ tangentiale Parameter, so stellen für ^((1 —t)q^-{- tr^, wenn 0 < ^ < 1 ist, die Werte (1 —t)q^-\- tr^ ebenfalls tangentiale Para- meter vor. Daraus ist zu erkennen, daß die Menge derjenigen Systeme r^y welche tangentiale Parameter sind, einen konvexen Körper in der w-fachen Mannigfaltigkeit aller Systeme r^ bilden. Die Begrenzung dieses Körpers wird von einer endlichen Anzahl von Stützebenen geliefert, die sämtlich durch den Punkt r^ = 0, . . ., r^= 0 gehen, so daß der Körper ein Kegel mit diesem Punkte als Spitze ist; derselbe ist leicht mittels seiner Kanten zu charakterisieren, doch gehe ich auf diese Untersuchung, die für das Folgende entbehrlich ist, nicht weiter ein. — Wenn von zwei Bereichen ^ (g,,) und ^ (r J, von denen keiner sich auf den Nullpunkt allein reduziere, der eine aus dem anderen durch Dilatation und Translation hervorgeht, d. h. beide ähnlich und ähnlich gelegen sind, so besteht zwischen ihren tangentialen Parametern q^* und r* ein System von Gleichungen (13) g/ ^aa^+hß^-i- cy^ + drj^ mit bestimmten Werten a, h, c, d-^ dabei ist noch stets 0; wenn J(r J > 0 ist, hat man d = f^ • yj{rv) § 2. Die Grundlagen der XJutersuchung. 4. Herr Hermann Brunn*) hat den folgenden Satz entwickelt: Wenn ein konvexer Körper durch drei parallele Ebenen ^, 93, ß geschnitten wird, von denen die mittlere 93 den Abstand zwischen 51 und ß im Ver- hältnisse ^ : 1 — t teilt, und es haben die Schnittfiguren des Körpers in 51, 95, ß die Flächeninhalte A, B, C, so besteht die Ungleichung YB-^ii-t)yÄ-{-tyc', dabei gilt hier das Zeichen = nur dann, wenn der Teil des Körpers zwischen den Ebenen 5t und (5 sei es ein Zylinder, sei es ein Kegelstumpf mit den Grundflächen in diesen Ebenen, sei es ein Kegel mit der Grund- fläche in der einen und der Spitze in der anderen dieser Ebenen ist. Eine entsprechende Eigenschaft der ebenen konvexen Figuren ist sehr einfach einzusehen, und die Methode von Brunn zum Nachweis jener Ungleichung ist wesentlich ein Schluß von 2 auf 3 Dimensionen, wobei die Schnitte des konvexen Körpers mit allen denjenigen Ebenen zu Hilfe genommen werden, welche die Schnittfigur in 51 in einer Schar paralleler *) Über Ovale und Eiflächen, S. 23, Inaugural-Dissertation, München 1887; Über Kurven ohne Wendepunkte^ S. 50, Habilitationsschrift, München 1889. Allgemeine Lehrsätze über die konTexen Polyeder. 109 Linien schneiden und gleiclizeitig die Schnittfigur in ß jedesmal in zwei Stücke von gleichem Verhältnis der Flächeninhalte wie die Schnittfigur in 5{ zerlegen. Besondere Schwierigkeiten macht die strenge Erledigung der GrenzfäUe, in welchen das Zeichen = in jener Ungleichung eintritt.*) Brunn hat auch bereits bemerkt, daß die eben erwähnten Sätze sich auf konvexe Körper in Mannigfaltigkeiten von mehr als drei Dimensionen ausdehnen lassen. Die hierzu erforderlichen Entwicklungen sind voll- ständig und in analytischer Form in den §§ 56 — 57 meiner „Geometrie der Zahlen" auseinandergesetzt. 5, Hier nun werden uns die betreffenden Sätze für eine Mannigfaltig- keit von 4 Dimensionen dienlich sein; diese lassen sich auch leicht als Sätze über konvexe Körper in 3 Dimensionen fassen. Ich gehe wieder nur auf die Behandlung von Polyedern ein. Es seien die w Richtungen [u^, ß^, yj für v = 1, . . .,n wie in 3. beschaffen, und es sollen aUe dort erklärten Bezeichnungen für sie Ver- wendung finden. Es seien q^ (v = 1, . . ., w) und r^ (v = 1, . . ,, n) zwei Systeme von jedesmal n Größen ^ 0, so wird durch ein konvexer Bereich in der Mannigfaltigkeit der vier Variablen x, y, z, t definiert. Liegt dieser Bereich ganz in einer dreidimensionalen Ebene, so sind alle Größen J(0- — f)q^+ tr^) für O^^^l gleich XuU. Anderen- falls haben wir, wenn wir den in Bede stehenden Satz auf die Schnitte dieses Bereichs mit den drei Ebenen anwenden, die durch ^ = 0, durch ^ = 1 und durch einen beliebigen Wert ^ > 0 und < 1 bestimmt sind, für letzteren Wert t die Ungleichung zu verzeichnen: (14) f/J((l - t)q, + tr,) >{1- t)Vj(^) + tfJirJ ; des weiteren tritt, wenn wir noch die q^ für ^(gj und die r^ für ^(rj als tangentiale Parameter voraussetzen, in dieser Ungleichung insbesondere das Gleichheitszeichen dann und nur dann ein, wenn alle q^ oder alle r^ NuU sind oder die Bereiche ^(3,.) und ^(r,.) auseinander durch Dilatation und Translation hervorgehen, also Beziehungen q,= aa^+ bß, -f cy, + dr^ {d > 0) statthaben. — Sind J{qy) und J(rJ) beide > 0 und wird t = d gesetzt, so geht *) Geometrie der Zahlen, §§ 56 — 57. — H. Brunn, Referat über eine Arbeit: Exakte Grundlagen für eine Theorie der Ovale, Sitzungsberichte der mathematisch- physikalischen Klasse der bayrischen Akademie der Wissenschafben, 1894, Bd. XXlV, S. 101. 110 Zur Geometrie. (14) vermöge der Substitution - — — ^ = bei Multiplikation mit -f in r 3> yjia - r)-| + rrj ^ (1 - T)yj{^) + rVj{r,) = Vj{r,) über. Man erkennt daraus, daß die Ungleichung (14) wesentlich auf den einfacheren Satz hinausläuft: Hat man J{q^) = J(rJ), so gilt für 0 J{r^ 6. Wir schreiben nun "[/«/"((l — t)q^ -\- tr^) =j(t). Diese Funktion j{t) ist im Intervalle 0 ^ ^ ^ 1 eine stetige Funktion von t, und aus der all- gemein aufgefaßten Regel (14) geht des weiteren (15) M'^'^m-^l^Ji-m für 0^^o<^<^i^l hervor. Diese Ungleichung lehrt, daß, wenn wir ty u als Parallelkoordinaten eines Punktes in einer zweidimensionalen Ebene @ deuten, durch O^^^l, u==j(t), kurz ausgedrückt, ein nach der Seite der wachsenden u hin Tionvexer Zug in dieser Ebene geliefert wird; derselbe kann auch geradlinige Strecken aufweisen oder selbst eine einzige Strecke sein. Nun wollen wir speziell annehmen, daß die q^ und die r^ und somit auch alle Systeme Ql — t)q^-\- tr^ für O^^^l tangentiale Parameter sind und weder alle q^ noch alle r^ Null sind, noch auch ^(gj und ^(r,,) auseinander durch Dilatation und Translation hervorgehen. Dann gilt nach den Ausführungen in 5. in der Ungleichung (15) stets das Zeichen > und enthält daher der ebengenannte konvexe Zug keine geradlinige Strecke. Es sei J das Volumen, F^ der Flächeninhalt der v^"^, Seiten- fläche von ^((1 — t)q^-\r tr^ und t dabei irgendein Wert > 0 und < 1; aus der Grleichung (1) entnimmt man dann leicht, daß durch (1 - t) (F,q,+ .-. + F„qJ + i{F,r, + • • • + F„rJ = ^jh, i, ü als Koordinaten eines variablen Punktes in (S gedacht, die einzige vorhandene Tangente an diesen konvexen Zug im Punkte t,u=j(f) dar- gestellt wird. Der Schnittpunkt dieser Tangente mit der Geraden i = 1 hat die Ordinate 3J3 nach der Natur eines nach der Seite der wachsenden u hin Jconveccen Zuges ohne geradlinige Strecken wird daher der Ausdruck (16) F,r, + ...+F,r„^ (in welchem »"i; • • ., ^„ fest und J, F^, . . ., F^ mit t variabel sind), eine Allgemeine Lehrsätze über die konvexen Polyeder. 111 mit wachsendem t von ^ = 0 bis ^ = 1 beständig abnehmende Funlction von t sein. Insbesondere also wird dieser Ausdruck für ^ = 0 stets größer als für ^ = 1, d. h. > J^ sein. § 3. Die einer Kugel umbeschriebeneii Polyeder. 7. Nebmen wir speziell alle Größen r^ = 1, also für ^(rj das Poly- eder TT aus 3., so geht der Ausdruck (16) in 0 2. 3/3 über, wo J das Yolumen, 0 = F^-\- • • ■ -\- F^ die Gesamtoberfläcbe von ^{a — t)q^-\-t) darsteUt. Für das Polyeder n ist zufolge (2): 3J^= 0, also, wenn das Volumen von TT wie in der Zeile vorher mit -^ bezeichnet . , 0 1 wird, — 2=-- Q3 Q Mit Bezug auf die Fälle, in welchen y^ in der unbestimmten Form -r- erscheint, sei folgendes bemerkt. Hat eiö Bereich ^(pj ein Volumen «7> 0 und sind die p^ tangentiale Parameter, so gilt nach (7) und (6) 2 12 -T- /0\^ für ihn stets p^ 367t J^. Die Begrenzung von ^j wird von der äußeren Parallelfläche im Ab- stände l zur Begrenzung von ^^ gebildet, und an diese Bemerkung knüpft sich leicht eine Ausdehnung der letzten Sätze auch auf nicht konvexe Körper, wie ich bei einer anderen Gelegenheit auseinandersetzen will. *) Proprietes generales des polyedres qui, bous une etendue superficielle donn^e, renferment le plus grand volume, Mathematische Annalen, Bd. 2, S. 150. — Memoire couxonne par l'Academie Royale des Sciences de Berlin du prix Steiner en 1880. Allgemeine Lehrsätze über die konvexen Polyeder. 113 § 4. Bestimmung eines konvexen Polyeders unter Terwendung der Größen der Seitenflächen. 8. Es mögen alle Bezeicimimgen wie in 5. Geltung haben, nnd man setze allgemein VJ{r^) = ^(Oj *^® Ungleichung (14) geht dann in (17) ^((1 - t)q^ + K) ^ (1 - t)n,(q^) + tt(r,) über. Es sei nun SB in der Mannigfaltigkeit der n + 1 Variablen ''i ) • • • ) '■»> ^ ^^^ durch definierte Bereich. Aus (17) ist zu ersehen, daß mit irgend zwei Punkten, die diesem Bereiche 2Ö angehören, stets jeder Punkt der sie verbindenden Strecke zu ihm gehört. Da überdies wegen der Stetigkeit von J^'(r,) als Funktion der r,. dieser Bereich in jener Mannigfaltigkeit eine abgeschlossene Punktmenge ist, so stellt er einen konvexen Körper in derselben vor, frei- lich einen solchen, der sich auch ins Unendliche erstreckt. Wegen der Beziehung rl^{tr^) = til>(r^) (t^O) ist SB ein Kegel mit der Spitze im Nullpunkte r^ = 0, . . . , r„ == 0. Es sei weiter SS die Menge der durch definierten Punkte. Die Begrenzutig von SB wird von den Punkten aus SB, für welche w = 0 ist, und zudem von der Menge SS gebildet. Nach der Natur eines konvexen Körpers gibt es daher durch jeden Punkt von SS mindestens eine (w-dimensionale) Stützebene an SB, also eine Ebene, die SB ganz auf einer Seite liegen hat, abgesehen von den Punkten aus SB, die sie selbst enthält. Sind p^, . . ., p, lauter Werte > 0, imd ist J" das Volumen, F der Flacheninhalt der v^^ Seitenfläche von ^(2\)> so besitzt, wie man leicht ans der Gleichung (1) erkennt, die Menge SS im Punkte r^^^^ Pi, ..., r^=p^f IC = i>{p,) die durch die Gleichung dargestellte Ebene als Tangentialebene. Diese Ebene ist somit die einzige Ebene durch den Punkt, welche überhaupt Stützebene an SB sein könnte, und demnach gilt dann für jeden beliebigen Punkt r^, ...,r^, «t" in SB stets (18) ^J~'^v 0 sein sollen, stellen die p^ gewiß tan- gentiale Parameter vor; da sie jedenfalls nicht alle Null sind, folgt aus (2) : J{p^ > 0, und da nunmehr der Schwerpunkt gewiß ein innerer Punkt in ^(pj ist, fallen die Größen p^ sämtlich > 0 aus. Nach (18) gilt für ein jedes System ^i ^ 0 , . . . , r^ ^ 0 , da alsdann r^ , . . . , r„ , ^ = ^(r,,) ein Punkt in SS ist, stets Jetzt sei S^{q^) gleichfalls ein Bereich mit o als Schwerpunkt und F^ als Größe der v*«"^ Seitenfläche, so ist F^q^-i 1- F^q„ = 3(^(^^))3 und folgt daher mit Rücksicht auf die vorstehende Ungleichung ip (p^) ^ t (q^). Genau so würde ^(Q',,) ^ ^(k) hervorgehen und also müßte zunächst ^(Pr) ~ ^(ö'r) ^^^^- Dann würde also der Punkt r^^ q^, . . .,r^== q^, w = i\}{c[^ in der Stützebene durch den Punkt ^i = Pi, •••,**„ = 2?«? ««^ = ^(pj ^^ ^ liegen. Mit diesen zwei Punkten in einer Stützebene müßte die ganze sie verbindende Strecke zur Begrenzung von SS, also zu S8, gehören; es würde demnach in der Ungleichung t/'Cd - t)p, + tq^) ^ (1 - 0^ (i>.) + t^{q,) für 0 < ^ < 1 stets das Gleichheitszeichen gelten. Dies hätte nach den Bemerkungen bei (14) zur Folge, daß das System q^ von der Form qy = aa^ 4- bß^ + cy^ + dp^ mit einem Koeffizienten 6? > 0 wäre. Dabei wäre nun d das Verhältnis yj{q^) : V^i'^v)} ^^^® "^l? ^^^ ^^ auch die Schwerpunkte von ^(py) und ^(üv) übereinstimmen soUen, so hätte man weiter a = 0, & = 0, c=.0; also wäre ^(g'J nicht von ^(i?J verschieden. Allgemeine Lehrsätze über die konvexen Polyeder. 115 Ich will jetzt den Schnitt von 233 durch die Ebene iv = 1 mit S33' bezeichnen. Ferner bedeute -3 das Volumen des speziellen Polyeders ^ (r^ = 1); der Punkt r^ = q, . . ., r^ = q, w = 1 liegt dann in 2B' und 33. Es mögen nun irgendwelche positive Werte F^ von der im Lehr- satze angegebenen Beschaffenheit vorausgesetzt werden; es sei F das Minimum unter diesen Werten. Für jeden Punkt r^ = »*i ',.••>**„ = ^n'> IV = 1 in SB' gilt dann, wenn / das Maximum unter den Werten r/ be- deutet, mit Rücksicht auf (12): (19) F,r,' + • • • + F„r^' ^ Fr ^ Fq^JX^) ^ Fq. Für den Punkt r^^ = q, . . . ,r^' = q, w = 1 in SB' wird F,r,'-\---- + Fy = {:2F:)Q. Nun wird durch die Bedingung F^r^' -{- • • - + F^r^' ^ (^^J Q aus SB' ein bestimmter konvexer Bereich ausgesondert, in dem für aUe Koordi- naten r/ obere Grenzen . bestehen. In diesem endlichen Bereich wird der Ausdruck F^r^' -\- • • • -f F„r„' ein bestimmtes Minimum besitzen, das zu- folge (19) jedenfalls > 0 ausfallen wird und welches 31^ heißen möge. Es sei r^ = p^', ■ • ■} ^„= Pn'j «^ = 1 eiii Punkt aus SB', in dem dieses Minimum eintritt. Dieses Minimum ist zugleich das Minimum von i^^rj'-j- • • • -j- i^„r„' im ganzen Bereiche SB', und also gilt in SB' stets Fj^r.^' -\- ■ ■ • -\- F^r^' "^ SP imd somit im Bereiche SB, der ein Kegel mit der Spitze im NuUpunkte ist, stets jP^r^ -}-••• + F^'*'„ ^ ^l^tv. Die Ebene (20) F,r,-h'" + F^r„ = 3l'w ist nunmehr eine Stützebene durch den Punkt r^ == p^^, . . . , »*„ = p„'f w == 1 aji SB, dieser Punkt somit jedenfalls ein Punkt aus 35, mithin das Volumen von '^(pj) gleich 1. Es seien a, h, c die Koordinaten des Schwerpunktes von ^(i?/) und allgemein so sind wegen J{p^ = l alle Größen q^ > 0\ es entsteht nun ^(O durch Translation aus ^(i?/) und hat den Nullpunkt 0 als Schwerpunkt. Wegen der für die Größen F^ vorausgesetzten drei linearen Gleichungen liegt auch der Punkt r^ == g'i', . . . , r„ = g„', t<; == 1 in der Ebene (20). Da durch diesen Punkt nur eine Stützebene an SB geht, so leuchtet ein, daß für das Polyeder '^{q^ der Inhalt der v**° Seitenfläche = ~ ausfällt. Das Polyeder ^Qq^') ist dann ein solches mit F^ als Größe der v**"* Seitenfläche und 0 als Schwerpunkt, trägt mithin genau den im Lehr- sätze geforderten Charakter. 10. Es seien die n Richtungen (a^, ß^, y^ wieder so beschaffen, daß der Bereich a^x -\- ß^y -\- y^z < 1 sich nicht ins Unendliche erstreckt, und 8* 116 Zur Geometrie. es seien F^{v = 1, . . .,n) irgend n Größen ^0, so daß ^F^a^ = 0, ^F^ß^ = 0, ^F^yv = 0 ist. Es sollen diese Größen nicht sämtlich Null sein, so daß i^^ + • • -|- JP^ =-= 0 > 0 ist; sie brauchen aber jetzt nicht sämtlich > 0 zu sein. Wir betrachten diejenigen Richtungen (a^, ß^, y^), zu denen ein jP^ > 0 gegeben ist. Haben wir erstens den Fall, daß unter diesen Rich- tungen schon drei unabhängige vorkommen, so gibt es nach dem Lehr- satze II unter den Bereichen ^(rj) zu den gegebenen n Richtungen ein und nur ein Polyeder '^(jPy) je mit F^ als Größe der v*^*" Seitenfläche für V = 1, . . .,n und noch mit beliebigem Schwerpunkte; wir wollen dann unter J(i^J das Volumen dieses Polyeders verstehen. Zweitens mögen dagegen alle jene Richtungen (a^, ß^, yj, für welche ein i^^ > 0 gegeben ist, einer einzigen Ebene E angehören. Nähern wir uns dann dem ge- gebenen Systeme F^ irgendwie vermittels solcher Systeme FJ'°\ die dem zuerst genannten Falle entsprechen, und konstruieren für diese jedesmal das zugehörige Polyeder ^(2?/°^) wie soeben, so konvergiert für diese Polyeder ^ (pj'^^) die senkrechte Projektion ihrer Oberfläche auf die Ebene E schließlich nach Null; es wird damit für diese Polyeder auch die kleinste unter ihren Breiten d (s. 2.) in den Richtungen dieser Ebene und zufolge der Formel (4): —Od>J also auch 3{FJf^'i) stets nach Null konvergieren. In diesem zweiten Falle setzen wir demgemäß J(i^J = 0. Endlich werde, wenn alle Größen jP^= 0 sind, ebenfalls J(-FJ = 0 gesetzt. Auf solche Weise ist nun für jedes System F^ in dem durch (21) i^.^o, ^F,a, = o, 2F^ßr-^, ^Ky. = o definierten Bereiche der Wert J(-FJ eindeutig festgelegt und stellt dieser Wert, wie aus dem Lehrsatze II und den eben gemachten Bemerkungen leicht er- sichtlich ist, eine stetige Funktion der F^ in diesem ganzen Bereiche vor. 2. Wir setzen nun (J (.F;)) » = Y (-FJ. Dann gilt, wenn G, und H^ (v = 1, . . . , w) irgend zwei Systeme in dem Bereiche (21) sind und noch Y(fl"J > 0 ist, für jeden Wert ^ > 0 und < 1 stets M/((i -t)G, + tn;) ^ (1 - ov(ö^,) + t^{R;), und zwar tritt das Zeichen = hier nur dann ein, wenn G^ : . . . : G^ = H,:....H^ ist. Daß in dem zuletzt bezeichneten Falle diese Ungleichung und zwar mit dem Zeichen = erfüllt ist, leuchtet ohne weiteres ein. Nehmen wir nun an, es sei nicht G^ : . . . : G^^ == H^ : . . . : H^ . Nach (18) gilt für jedes System von Größen r^'^Q stets (22) G,r, + ^.- + G^r^ > 3Y(G^J^(0, (23) ^,ri-f...-j-B;r„>3Y(^,)^(rJ. \ Allgemeine Lehrsätze über die konvexen Polyeder. 117 Wegen Y(-ff^) > 0 und ^> 0 gibt es ein bestimmtes Polyeder ^(pj mit (1 — t)G^-\- tH^ als Größe der v^"" Seitenfläche und dem Nullpunkt als Schwerpunkt. Für dieses Polyeder hat man dann Es sind dabei die p^. sämtlich > 0 und geht daher durch den Punkt r^ =j)i, . . ., r„ = p^, w = il^(j>y) nur eine Stützebene an 2B; nun gelten die Ungleichungen (22), (23) auch für r^^ = Pi, ■ ■ ■ ,r„ = Pn'i ^^s dem eben angeführten Grunde und weil nicht (l-t)G,+ tff, :...: (l-t)G„+tH„ = H,:...:H, ist, hat dabei in der zweiten jedenfalls das Zeichen > statt. Man erhält somit aus ihnen der Vergleich dieser Relation mit der davor angegebenen liefert un- mittelbar die zu beweisende Ungleichung. Es sei jetzt 0 eine beliebige positive Größe. Unter allen Polyedern ^(rj mit einer Gesamtoberfläche = 0 gibt es, wie schon in 7. aus- geführt wurde, ein, bis auf Translationen völlig bestimmtes Polyeder wirklich mit n Seiteuflächen, welches einer Kugel umbeschrieben ist. Es sei 0y die Größe der v^^"^ Seitenfläche bei diesem Polyeder. Ist dann F^ (v = l,...,n) irgendein von dem Systeme der 0^ (v=l, ..., n) ver- schiedenes System von Größen ^ 0 im Bereiche (21) und gleichfalls mit der Summe jF^ -|- • • • -f i^^ = 0, so gilt nach dem Lehrsatze I stets ^{F^) < M^(j,). Betrachtet man nun t, u als Parallelkoordinaten in einer Ebene und faßt die Punkte O^^^l, m = Y((l -^)i^^-f ^OJ ins Auge, so bilden diese Punkte nach den vorhin gewonnenen Ungleichungen daselbst einen nach der Seite der wachsenden u hin konvexen Zug, und nach der eben gemachten Bemerkung hat dabei u für ^ = 1 seinen größten Wert. Nach der Natur eines solchen Zuges muß nun, wenn auf dem- selben u zugleich mit t am größten ist, auf seiner ganzen Ausdehnung u mit abnehmendem t beständig abnehmen. Danach stellt J((l — ^i^^-f ^,.) im Intervalle 0 ^ < ^ 1 eine mit wachsendem t beständig wachsende Funk- tion vor. Damit ist ein sehr bemerkenswerter neuer Prozeß gefunden, um von einem beliebigen der Polyeder ^(/"J, welches nicht einer Kugel und zwar mit n Berührungen umbeschrieben ist, zu einem Polyeder ^(r^) dieser besondereyi Art überzugehen so, daß die Oberflädie sich nicht ändert und das Volumen beständig wächst § 5. Konvexe Körper mit Mittelpunkt. 11. Es sei jetzt n eine gerade Zahl ^ 2m und die 2m Richtungen («,, /3^, yj {v=l, .. .,2m) sollen aus m Paaren entgegengesetzter Rieh- 118 Zur Geometrie. tungen bestehen. Sowie sicli unter diesen 2 m Richtungen drei unabhängige finden, was wir jetzt voraussetzen wollen, zeigt sich bereits, daß der Be- reich a^x -{- ß^y + Y^z — 1 < 0 (v=l, ..., n) ganz im Endlichen liegt; denn es begrenzen alsdann die sechs Ebenen a^x + ß^y + y^,z = 1 zu diesen drei Richtungen und den drei ihnen entgegengesetzten ein Parallel- epipedum, welches jenen Bereich ganz in sich schließt. Es sei (24) a,n+^ = -S' ßm+^.--ß^.y ym+fc^-?^ (^ = 1, ...,w). Wir wollen nun von den Bereichen ^(^J zu den 2 m gegebenen Rich- tungen nur diejenigen betrachten, bei welchen r^_^^ = r^ für ii = \, ...,m ist; einen solchen Bereich bezeichnen wir durch ^ {»'„}, er ist stets ein Bereich mit dem Nullpunkt als Mittelpunkt, und haben wir dabei stets F^+u = F^ ((1=1, ...,m), unter F^ die Größe der v^"^ Seitenfläche des Bereichs verstanden. Bezeichnen wir das Volumen von ^ { »"^ } mit Jir^^], so folgt aus (14) sogleich und auch die Bemerkungen über das Eintreten des Gleichheitszeichens in (14) sind sinngemäß auf diese Ungleichung zu übertragen. Setzen wir yj{ r } = ■^ { >*„ } , so ist danach der durch definierte Bereich in der Mannigfaltigkeit der m-\-l Variablen r^, . ..,r^,w ein konvexer Körper -^ und durch jeden Punkt, wo r^ > 0, . . ., r^ > 0, w = ilj{r } ist, gibt es stets nur eine Stützebene an diesen Körper. Erwägen wir nun, daß für beliebige 2m Größen F^^O (v = l, ..., 2m), bei welchen F^_^_ = F (^=1, ...,m) ist, wegen (24) die Gleichungen ^F^a^ = 0, ^F^ß^, = 0, ^F^y^ = 0 stets erfüllt sind, so gelangen wir durch ganz entsprechende Überlegungen wie in 9. zu dem Satze: Lehrsatz III. Es seien (a^, ß^, y^ für (i = 1, . . ., m irgend m ver- schiedene Bichtungen, von denen auch keine zwei einander entgegengesetzt sind und unter denen sich drei unabhängige finden, ferner seien F^ für (i = 1, . . ., m irgend m positive Größen, und 0 ein gegebener Punkt; dann gibt es stets ein und nur ein konvexes Polyeder mit o als Mittelpunkt und mit 2 m paarweise parallelen Seitenflächen, von denen je ein Paar als Rich- tungen der äußeren Normalen (oc , ß , y ) und {—cCf^, —ß^^ ~Vi^ '^^'^ ^'^^ Größe der Seitenfläche F^ haben. Wir ziehen hieraus und aus Lehrsatz II sogleich die weitere Folgerung : Lehrsatz IV. Ein konvexes Polyeder mit einer geraden Anzahl von Seitenflächen, wobei diese paarweise parallel und von gleichem Flächeninhalt sind, ist stets ein Polyeder mit Mittelpunkt. Allgemeine Lehrsätze über die konvexen Polyeder. 119 Denn es sei n = 2m die Anzahl der Seitenflächen des Polyeders, ("*> ßvf yJ ^^ V =\, . . ., n die Richtung der äußeren Normalen, F^ die Größe seiner v^"^ Seitenfläche, und man habe cc^^^ = ~" ^/.j /^m+,« == ~ ßii^ ym + f. = -y,u, F^+f^ = K (}i = h...,m), endlich sei o der Schwerpunkt des Polyeders. Nach dem Lehrsatze U kann es überhaupt nur ein konvexes Polyeder, also nur das vorgelegte geben, bei welchem alle die eben er- wähnten Stücke in der betreffenden Weise eintreten; andererseits ist nach Lehrsatz III zu diesen Stücken speziell ein konvexes Polyeder mit 0 als Mittelpunkt vorhanden; mithin ist das vorgelegte Polyeder notwendig ein Polyeder mit Mittelpunkt. 12. Wir können weiter den Satz aufstellen: Lehrsatz V. Wenn irgendwelche (nicht notwendig konvexe) Polyeder in endlicher Anzahl, von denen jedes einen MittelpunJd hat und die unter- einander nur in Punlien der Begrenzungen zusatnmenstoßen , durch ihre Vereinigung ein konvexes Polyeder erfüllen, so hat dieses zusammengesetzte Txonvexe Polyeder stets ebenfalls einen MittelpunJct. Denn betrachten wir irgendeine Seitenfläche j^ dieses so zusammen- gesetzten konvexen Polyeders ^. Es sei («, ß, y) die Richtung der äußeren Normale von ^. Unter den Einzelpolyedern, deren Vereinigung ^ vorstellt, finden sich dann notwendig ebenfalls solche, welche sei es eine, sei es mehrere Seitenflächen mit (a, ß, y) als Ri,chtung der äußeren Normalen darbieten. Bei jedem hier in Betracht kommenden Einzel- polyeder treten, da das Polyeder jedesmal einen Mittelpunkt besitzt, sym- metrisch in bezug auf diesen, zu den Seitenflächen mit der äußeren Normalenrichtung (cc, ß, y) ebenso viele Seitenflächen mit der äußeren Normalenrichtung ( — a, — ß, —y) auf; und irgend zwei einander auf diese Weise entsprechende Seitenflächen haben stets gleichen Flächeninhalt. Bilden wir den gesamten Flächeninhalt aller bei den Einzelpolyedem auf- tretenden Seitenflächen mit der äußeren Normalenrichtung (cc, ß, y) und subtrahieren davon den gesamten Flächeninhalt aUer bei ihnen auftreten- den Seitenflächen mit der äußeren Normalenrichtung ( — a, — ß, — y), so muß daher die Differenz = 0 sein. Nun wird, soweit diese verschiedenen Seitenflächen im Lmeren von ^ liegen, hier die Gesamtheit der Seiten- flächen der ersteren Stellung genau überdeckt von der Gesamtheit der Seitenflächen der anderen Stellung; also verschwindet für sich der Teil jener Differenz, welcher sich auf Seitenflächen bezieht, die (abgesehen vielleicht von Punkten ihres Randes) ins Innere von ^ fallen. Weiter setzen diejenigen von den Seitenflächen der ersteren Stellung, welche auf die Begrenzung von ^ faUen, hier eben die Seitenfläche ^ von ^ zu- sammen. Nunmehr leuchtet ein, daß noch Seitenflächen der anderen Stellung übrig bleiben, welche zusammen eine begrenzende Seitenfläche 120 Zur Geometrie. von ^ mit der äußeren Normalenrichtung ( — a, — ß}—y) und genau von einem Flächeninhalt gleich dem von ^ ergeben müssen. Es sind danach die Seiteuflächen des konvexen Polyeders ^ paarweise parallel und von gleichem Flächeninhalt. Nach dem Lehrsatze IV ist somit ^ ein Polyeder mit Mittel- punkt. § 6. Konvexe ßestbereiche. Die Gesamtheit der Punkte x, y, z, für welche sowohl x, wie y, wie z ganze rationale Zahlen sind, soll das Zahlengitter heißen; ein ein- zelner Punkt daraus heiße ein Gitterpunkt. Unter einem konvexen Best- iereich soll ein konvexer Körper Ä von solcher Art verstanden werden, daß Ä = ^0,0,0 ^^d <^i6 Gesamtheit derjenigen Körper ^^ j, ^, die aus ^o o o durch die Translationen vom Nullpunkte 0, 0, 0 nach den verschiedenen anderen Gitterpunkten a, b, c hervorgehen, den ganzen Raum lückenlos überdecken, und zwar so, daß irgend zwei von diesen Körpern höchstens in Punkten der Begrenzung zusammenstoßen. Lehrsatz VL Ein jeder konvexe Bestbereich ist ein konvexes Polyeder mit Mittelpunkt und wird von nicht mehr als 2(2^— 1) Seitenflächen be- grenzt; dabei ist weiter jede Seitenfläche ein konvexes Polygon mit MittelpunJd. Beweis. Es sei ^ = ^qqq ein konvexer Restbereich; man erkennt sofort, daß ^ nicht einen ganz im Endlichen gelegenen konvexen Körper von einem Volumen > 1 enthalten kann und somit selbst ganz im End- lichen liegen muß; also wird ^ auch nur mit einer endlichen Anzahl der anderen Körper Ä^ ^ ^ in Punkten der Begrenzung zusammenstoßen. Da der Körper ^ von jedem dieser Körper ^a,b,c) ^i^ ^^^ ^^ zusammentrifft, durch eine gemeinsame Stützebene geschieden werden kann, so daß die gemeinschaftlichen Punkte beider Körper in dieser Ebene und im übrigen der eine ganz auf der einen, der andere ganz auf der anderen Seite von ihr liegt, so leuchtet zuvörderst ein, daß ß' jedenfalls ein von einer end- lichen Anzahl von Ebenen begrenztes konvexes Polyeder ist. Wir wollen unter 2 denjenigen Körper verstehen, der zu ^ sym- metrisch in bezug auf den NuUpimkt liegt; dann ist 2 ebenfalls ein kon- vexer Restbereich, so daß die sämtlichen Körper 2^ j cj ^^^ ^^^ ^ durch die Translationen nach den einzelnen Gitterpunkten a, b, c entstehen, den ganzen Raum erfüllen und dabei je zwei unter ihnen stets in den inneren Punkten durchweg verschieden sind. Es wird nun unter allen diesen Polyedern Q^ b c ^^^^ endliche Anzahl von solchen geben, welche ins Innere von ^ eintreten; und der Körper ^ erscheint dann genau zusammen- gesetzt aus den einzelnen Polyedern, welche ^ mit diesen einzelnen Körpern Q^b c ge^iein hat. Nun ist ein Bereich 2^ j, ,. jedesmal sym- metrisch zu Ä in bezug auf den Punkt — , — , — ; ein Polyeder, welches Allgemeine Lehrsätze über die konvexen Polyeder. 121 Ä und ^a,b,c gemein haben, wird danach ein Polyeder mit y> Y' T ^^^ Mittelpunkt seia. Es erscheint also Ä zerlegt in eine endliche Anzahl von Polyedern mit Mittelpunkt; nach dem Lehrsatze V ist daher Ä selbst ein Polyeder mit Mittelpunkt. Da durch eine Translation eines konvexen Restbereichs offenbar stets wieder ein solcher Bereich hervorgeht, so wollen wir jetzt der Einfachheit wegen annehmen, es habe ^ den Nullpunkt als Mittelpunkt. Betrachten wir nun irgendeine Seitenfläche @ von Ä = Äooo? so gibt es unter allen übrigen Polyedern ^^bc eines oder mehrere, welche sich an diese Seiten- fläche mit einem Flächenstück (nicht bloß mit Punkten einer Kante) an- legen. Ist ^abc ®^^ derartiges Polyeder, so ist das Flächenstück aus {i-t)VwQ + tVw,. *) Inauguraldissertation, München, 1887, S. 31. — Herr Brunn hat freilich an der angeführten Stelle ausdrücklich die Meinung geäußert: „Zum Beweise der Maximaleigenschaft der Kugel läßt sich dieser Satz nicht verwenden," 126 Zur Geometrie. Wir nehmen nun an, es seien die Flächen F und G nicht einander ähnlich und ähnlich gelegen, und können alsdann diesen Satz in der Weise anwenden, daß wir für Jq und J^ die zwei konvexen Körper nehmen, welche von zwei der oben betrachteten Flächen F^iif) für irgend zwei Werte r = r^ und r = r^ begrenzt werden; für J^ erscheint hierbei der von Fj,(r) für r = (1 — t) Tq -\- tr^ begrenzte Körper. Die entstehende Un- gleichung kommt nun darauf hinaus, daß die durch w ==yW{r) für r ^ 0 dargestellte Kurve, wenn man r und w als Abszisse und Ordi- nate in einer Ebene deutet, überall konvex auf ihrer der r- Achse ab- gewandten Seite ist, oder anders formuliert, daß ist im ganzen Bereiche r^O. Führen wir den in 3. gewonnenen Ausdruck von W{r) ein, so muß danach 5 1 für alle Werte r'^0 stets > 0 sein. Hierfür wieder sind die zwei Be- dingungen (I) c^-C,C,>0, (II) c,'-C,C,>0 oder also die Ungleichungen Co ^^ <:' — Gl C^ Cg erforderlich und hinreichend. Beachten wir, daß wir die Rollen der beiden Flächen F und G ver- tauschen können und daß alsdann an Stelle der Größen Cq, C^, Cg, C^ diese Größen in umgekehrter Folge treten, so sehen wir, daß vermöge dieser Reziprozität die Ungleichung (I), für zwei beliebige konvexe Flächen genommen, bereits die Ungleichung (II) in sich schließt. Nun leiten wir aus (I): dann aus (11): also mit Elimination von C^: her. Nehmen wir jetzt für die Eichfläche der Distanzen eine Kugelfläche vom Radius 1, so ist p 4« ^3 = X' über die Begriffe Länge, Oberfläche und Volumen. 127 ferner Cq das Yolumen und SC^ die Oberfläche des von F begrenzten Körpers im gewölmlicben Sinne; setzen wir ^0 - -3- ^ ' so folgt daher 3Ci>4;rJ2*, d, i. der Satz, daß unter allen konvexen Körpern Ton gleichem Yolumen die Kugel die kleinste Oberfläche besitzt. Diese Eigenschaft der Kugel erscheint aber hier als Ausfluß des weit allgemeineren und analytisch einfacheren Theorems welches sich auf zwei beliebige konvexe Körper bezieht. Dieses Theorem liefert im speziellen, wenn man für einen der Körper die Kugel nimmt, zwei neue, die Kugel unter allen konvexen Körpern charakterisierende Be- ziehungen: Nämlich unter allen konvexen Körpern von gleicher Oberfläche besitzt die Kugel erstens die Jcleinste inittlere Krümmung, zweitens das größte Frodiiki aus Volumen und mittlerer Krümmung. Aus beiden Sätzen zugleich resultiert als Folgerung jene bekannte isoperimetrische Eigen- schaft der Kugel. 5. Der Schluß des Vortrags brachte noch ein Theorem über die Bestimmung einer geschlossenen konvexen Fläche, wenn für sie in jedem Punkte die Gaußische Krümmung als Funktion der Normalenrichtung in dem Punkte beliebig vorgeschrieben ist. XXIY. Über die geschlossenen konvexen Flächen.*) Im folgenden teile ich einige Resultate einer Untersuchung über ge- schlossene konvexe Flächen mit. Ich bin zu dieser Untersuchung durch den Satz, daß unter allen Körpern gleichen Volumens die Kugel die kleinste Oberfläche hat, angeregt worden. Der Einfachheit wegen will ich mich hier auf die Betrachtung solcher konvexer Flächen beschränken, die in jedem Punkte eine bestimmte Tan- gentialebene und bestimmte endliche Hauptkrümmungsradien haben. 1. Es bedeute Q die Kugelfläche mit dem NuUpunkte 0 als Mittel- punkt vom Radius 1, und es seien cos i/> sin d-, sin ^ sin d', cos d- die Koordinaten eines beliebigen Punktes TT dieser Kugelfläche. Es bedeute K einen beliebigen konvexen Körper; es sei X cos if sin &• + y sinilf sind' -\- 2 cos Q- = H die Gleichung derjenigen Tangentialebene an die Oberfläche von K, welche die Richtung OTT als äußere Normale hat. Dabei stellt dann H eine ein- deutige Funktion auf der Kugelfläche Q vor, und durch Angabe dieser Funktion 3(9', tf) ist der Körper K bereits vollständig bestimmt. Setzt man T = -i— ^1? 4. ^:°^ gg , TT sin*^ aijj* ' sin«- a«- + ^' SO ist Mu^-\- 2Suv -{- Tv^ eine positive quadratische Form. Bekanntlich ist JJ -|- T die Summe, HT — S^ das Produkt der Hauptkrümmungsradien im Berührungspunkte jener Tangentialebene. *) Diese Abhandlung erschien in den Comptes rendus de TAcademie des Sciences, Paris 1901, t. 132, pp. 21 — 24, in einer vom Verfasser herrührenden französischen Übersetzung unter dem Titel: Sur les surfaces convexes fermes. Dieser Abdruck folgt dem deutschen Originalmanuskript. Einige Zusätze der französischen Ausgabe sind übersetzt und in Klammern [] hinzugefügt worden. (Anm. d, Herausg.) über die geschlossenen konvexen Flächen. 129 2. Es seien nun K^, K^, K^ irgend drei konvexe Körper, und die Größen H, B, S, T für sie mögen durch Hinzufügen Ton Indizes [bzvr. 1, 2, 3] unterscliieden werden. Ich bezeichne alsdann den Wert des Integrals erstreckt über aUe Elemente do = s\xi.%d^dil> der Kugelfläche Q, als das gemischte Vohnnen der Körper K^fK^,K^. Dieses Integral fällt stets positiv aus, und der Wert dieses Integrals ändert sich nicht, tvenn die Körper irgenduie permutiert uerden, femer auch nicht, wenn die Körper irgendwelchen Translationen unterworfen werden. Sind die drei Körper identisch mit einem einzigen Körper, so stellt das Integral das Volumen dieses Körpers vor. 3. Drei konvexe Körper K^, E^, K^ mögen undbhäyigig heißen, wenn zwischen ihren Funktionen jEZj, .ffg, B3 keine identische Relation lü^ JB", + ii\ -ffg + w?3 fla = ^0 ^^^ ^ sin O + Vq sin 1/; sin ^ + z^ cos 0- mit irgendwelchen 6 [von ^ und ^ unabhängigen] Konstanten u\, w^, w^, ^oj!/o»^o besteht. Sind K^, K^, K^ beliebige konvexe Körper mit den drei zugehörigen Funktionen H^^H^^H^ und sind u\,tc\,u'^ irgendwelche Konstanten ^ 0, jedoch nicht aUe drei gleich Null, so wird durch die Funktion H = tc^ H^ + «'2-5^ + u'^ff^ jedesmal wieder ein konvexer Körper K bestimmt. Das Volumen dieses Körpers ist alsdann F{wi , M7j , Ws) = 222^i k i tf^'i^k^c, (i, Ä, Z = 1 , 2, 3), t k l WO ^^ j , das gemischte Volumen von Ä'^, K^, K^ ist. Nunmehr gilt folgendes Theorem : Die Fläche F{Wi, tTj, Ws) = 1, [wo w^,t02,w^ als rechtwinklige Koordinaten aufgefaßt werden] ist im Gebiete u\ ^ 0, m-, ^ 0, m;, ^ 0 eine konvexe Fläche, welche ihre Konvexität nach der dem NuUjnoilie abgeicandten Seite kehrt. Sind K^,K^, K^ unabhängig, so enthält diese Fläche auch nietnals eine geradlinige Strecke. Alsdann ist die Determinante A A A A A A \ ■^\W.y -^133 > -^133 I Minkowski, GesAmmelte AbbandlnngeQ. II. 9 130 Zur Geometrie. ■■111 > "^112 '121 > -^122 -^112-^222 ^ -^122* Hierin ist A^ das Volumen von K^. Nimmt man nun insbesondere K^ gleich einer Kugel vom Badius 1, so wird ferner SA^^^ die Größe der Ober- fläche von K^ und weiter 3^i22 ^^^ gesamte mittlere Krümmung dieser Fläche, während endlich ^222 "= "3" i^^- -^^^ diese Weise erhält man die Sätze: Unter allen Iconvexen Körpern von gleicher Oberfläche hat die Kugel das größte Produkt aus Volumen und mittlerer Krümmung, ferner die kleinste mittlere Krümmung und durch beides schließlich das größte Volumen. Eine andere Folgerung der letzten Ungleichungen ist diese: Hat ein konvexer Körper ein Volumen = 1 , ohne ein Würfel mit Seiten- flächen parallel den Koordinatenebenen zu sein, so ist stets das arithmetische Mittel aus den Flächeninhalten seiner drei Projektionen auf die drei Ko- ordinatenebenen > 1. 4. Es sei G{%-,ip) eine auf der Kugel fläche Q eindeutige und stetige Funktion, welche daselbst überall > 0 ist, und noch derart beschaffen ist, daß die drei Integrale /cosii;sin'9' , / sin it sin ■9' , / cos'S' , ö— ^«, J G do,, J-^dl : 1 der gesuchte Körper K, für den BT -S^=~ ist XXV. Theorie der konyexeii Körper, insbesondere Begründung ihres Oberflächenbegriffs.*) L Kapitel. Die konvexen Körper als Punktgebilde. § 1. Definition der konyexen Körper. Eine Punktmenge soll ein konvexer Körper heißen, wenn sie 1® mit einer beliebigen Geraden jedesmal sei es eine endliche Strecke, sei es einen Punkt, sei es keinen Punkt, gemein hat und 2° nicht ganz in einer Ebene gelegen ist. Es sei ^ ein konvexer Körper. Xach Voraussetzung enthält Ä irgend Tier nicht in einer Ebene gelegene Punkte a, b, c, b. Mit a und b ent- hält Ä nach Voraussetzung von der durch a und b gehenden Geraden jedenfalls die ganze Strecke ab, sodann mit c jeden Punkt des Dreiecks abc, weiter mit b jeden Punkt des Tetraeders abcb. Es besitzt also die Punkt- menge Ä jedenfalls auch innere Punkte. — Indem wir eine Parallel- verschiebung (Translation) Ton Ä zulassen, können wir einen beliebig ge- gebenen Punkt als inneren Ton ß annehmen. § 2, Die Distanzfunktion für einen konvexen Körper, welcher den Nullpunkt im Inneren enthält. Der konvexe Körper ß enthalt« den Anfangspunkt o der rechtwinkligen Koordinaten x,y, z als einen inneren Punkt. Ziehen wir vom Nullpunkte 0 aus in einer beliebigen Richtung einen geradlinigen Strahl, so muß dieser nach 1*' mit Ä jedesmal eine bestimmte Strecke opQ gemein haben. Es seien a-^, y^, -sr^ die Koordinaten des End- punkt^'S pQ dieser Strecke, so woUen wir, wenn x, y, z die Koordinaten *) Diese bisher unveröffentlichte Abhandlung, die sich im Nachlaß gefunden hat, ist der erste Teil eines größeren Werkes über die Theorie der konvexen Körper. Vom zweiten Teil sind nur wenige Paragraphen ausgeführt, deren Resultate, wenn auch nach andern Methoden aV geleitet, in die Abhandlung „Volumen und Ober- fläche" übergegangen sind. (Anm. d. Herausg.j 132 Zur Geometrie. eines völlig beliebigen Punktes p jenes Strahles sind, den gemeinsamen Wert der Quotienten — = — == — = f(x, y. z) setzen und die so entstehende Funktion f{x, y, z) die Distanzfunktion des Körpers ^ nennen. Für die verschiedenen Punkte p^ ist dann f{xQ, yo, Zq) = 1, und für die Punkte der Menge ^ und nur für diese Punkte gilt f(x, y, z) <.l. Die hier eingeführte Funktion f(x, y, z) besitzt nun die folgenden Eigenschaften: 1. Für jedes von 0, 0, 0 verschiedene Wertsystem x, y, z ist f(x, i/, ;?) > 0; femer ist /"(O, 0, 0) = 0; 2. Man hat immer f(tx, ty, tz) = tf{x, y, z), wenn ^ > 0 ist. 3. Für beliebige zwei Systeme x^,y^fZ^-^ ^37^2? -^2 gi^^ allgemein: fe, 2/1 , ^1) + f{^2, 2/2? ^2) > fi^l + ^2, 2/1 + !/2, ^1 + ^2)- Ist eines der Systeme mit 0, 0, 0 identisch, so versteht sich diese Relation wegen f(ö, 0, 0) = 0 von selbst. Wenn ^ = i^ = ii > 0 ist, a?! 2/1 z^ folgt sie aus 2. Nehmen wir jetzt an, es seien die Punkte Ptix^jy^, z^) und p2(^2J y2> ^2) "^0^ 0 verschieden und auch die Richtungen op^ und Dpa voneinander verschieden. Wir setzen fi^u Vi, ^1) + fi^2y 2/2; ^2) = s, f(x^, 2/1, z;) = ts, f(x^, 2/2, ^2) = (1 - 0«; dabei ist 0 < ^ < 1. Es sei q, der Punkt mit den Koordinaten — -, f^, 7^ und q2 der Punkt mit den Koordinaten j- — ^7—, . , , tj — —-; für den einen wie für den anderen Punkt wird dann nach 2.:f{x,y,z) = l. Es gehören diese Punkte also zur Menge Ä und muß infolgedessen auch jeder Punkt der Strecke q^qg zu Ä gehören, insbesondere also der Punkt t(\^-\- (1 — t)Q{^ (d.h. der Schwerpunkt von q^ und qg, wenn dem Punkte q^ die Masse t, dem Punkte C[^ die Masse 1 — t beigelegt wird). Dieser Punkt hat die Koor- dinaten ^-X£l^ Vi-rVt ^ h-r^i ^^^ £Qjg^ nunmehr für ihn f{x, y, z) < 1, s s s d. i. mit Rücksicht auf 2. die Ungleichung in 3. Die Beziehung /"(— x, — y^ — z) = f{x, y, z) wird dann und nur dann statthaben, wenn der Körper Ä den Punkt 0 als Mittelpunkt hat. § 3. Stetigkeit der Distanzfanktion und Folgerungen. Aus 3. folgt fix, y, z) £ fix, y, 0) + /-(O, 0, z) < f{x, 0, 0) + f(Q, y, 0) + f(0, 0, z). Es werde der größte Wert unter den sechs Größen /*(± 1, 0, 0), /"(O, + 1, 0), Theorie der konvexen Körper. 133 /(0, 0, + 1) mit G bezeichnet, so folgt hieraus mit Rücksicht auf die Regel 2. in § 2 weiter: (1) fi^,y,^)£G \y\^3G' \'\^3G definierte Würfel sind danach ganz im Körper Ä enthalten. Nun geht aus der Regel 3. in § 2: also -oN I fi^2 + ^1 j !/2 + ^1 > ^2 + h)_- f{Xi,y^,^i)\ y? •s') ^"p sciii» d. h. es gilt allgemein (4) ^ yx^j^f-^z' > fix, y,z)>^ Ya^+y^^,^. Ziehen wir zunächst die untere Grenze für f{x, y, z) hier in Betracht, so enthält danach die Kugel vom Radius iJ und um so mehr der durch \x\-^Ii, y\£R, \e\£R definierte Würfel den Körper Ä ganz in sich. Insbesondere ist hiernach ein konvexer Körper stets ganz im Endlichen gelegen, das soll heißen,- es bestehen stets für die Koordinaten seiner Punkte obere und untere Grenzen. 134 Zur Geometrie. Wegen der Stetigkeit der Funktion fix, y, z) ist der konvexe Körper Ä stets eine abgeschlossene Punktmenge, d. h. alle Häufungsstellen dieser Menge sind in ihr selbst enthalten, und wird die Begrenzung dieser Menge genau von denjenigen Punkten gebildet, für welche f(x, y,z) =1 ist. Die vollständige Begrenzung eines konvexen Körpers bezeichnen wir als eine konvexe Fläche. Derjenige Punkt x, y, z der Begrenzung von Ä, welcher in einer be- stimmten Richtung (a, /3, y) von o aus liegt, wird bestimmt durch 1 also ist Y( — ß — N seine Entfernung vom Nullpunkte. Die Eigenschaft 1° (§ 1) einer Punktmenge ^, mit jeder Geraden eine Strecke oder einen Punkt oder keinen Punkt gemein zu haben, können wir in vielen Fällen vorteilhafter durch die Gesamtheit der folgenden drei Eigenschaften ersetzen: la) Mit irgend zwei Punkten der Menge gehört stets auch jeder Punkt der dieselben verbindenden Strecke zur Menge, Ib) die Menge ist ganz im Endlichen gelegen, 1 c) sie ist eine abgeschlossene Punktmenge. Daß die Eigenschaft 1*^ bei einer Punktmenge, die nicht ganz in einer Ebene liegt, diese Eigenschaften la), Ib), Ic) nach sich zieht, haben wir soeben gesehen. Indem wir zu diesem Satze für den Raum die analogen Tatsachen für die Ebene und die gerade Linie hinzunehmen, erkennen wir ganz allgemein, daß aus der Eigenschaft 1^ die Eigenschaften la), Ib), Ic) folgen. Setzen wir nun umgekehrt für eine Punktmenge ^ die drei letzteren Eigenschaften voraus. Betrachten- wir irgendeine Gerade, die wenigstens zwei Punkte von Ä enthält, und bestimmen wir die verschiedenen Punkte auf der Geraden mittels einer Kartesischen Koordinate. Wegen 1 b) haben wir dann die Werte dieser Koordinate bei allen denjenigen Punkten der Geraden, welche zu ^gehören, eine obere und eine untere Grenze. Wegen Ic) gehören die diesen Grenzwerten der Koordinate entsprechenden zwei Punkte der Geraden dann ebenfalls selbst zu Ä, und wegen la) hat dann Ä mit der Geraden genau die diese zwei Grenzpunkte verbindende Strecke gemein. Nunmehr können wir die bisher erlangten Resultate in folgender Weise umkehren: Ist f{x,y,z) eine beliebige Funktion mit den in § 2 bei 1., 2., 3. angegebenen Eigenschaften, so stellt der durch fix, y,z)<.l definierte Bereich R stets einen konvexen Körper mit dem Nullpunkte als inneren Punkt vor. Theorie der konvexen Körper. 135 Denn die betreffende Funktion f{x, y, z) ist jedesmal stetig und danach der Nullpunkt, für den f{0, 0, 0) = 0 ist, ein innerer Punkt von ^, die Menge Ä also gewiß nicht ganz in einer Ebene gelegen, femer ist dann Ä ganz im Endlichen gelegen und abgeschlossen. Endlich gilt noch die Eigenschaft la). Denn sind ^lipc^, Vx, s^ nnd PaC^jj^sj^a) irgend zwei verschiedene Punkte aus ß, also dafür f{x-^^, y^, z^ ^1, fi^t^Vn^i) und ist t ein Wert > 0 und < 1, so folgt für den Punkt ^p^ -f- (1 — ?)p, der Strecke p^pg aus %2, 2. und 3.: fitx^ 4- (1 - t)x^, ty, + (1 - f)yi, t2^ + (1 - ^i^g) ^ < + (1 - 0 = 1, es gehört also die ganze, p^ und pg verbindende Strecke zu Ä. § 4. Polyeder. Stützebenen. Bedeutet p einen Punkt mit den Koordinaten x, y, z und s eine Kon- stante, so soll der Punkt, dessen Koordinaten die Werte sx, sy, sz haben, mit sp bezeichnet werden. Sind p'(x', y', z') und p"(x", y" , z") zwei Punkte, so soll unter p' -j- p" der Punkt mit den Koordinaten x'-\- x", y'-\- y", z'-\- z" verstanden werden. — Bedeutet Ä eine Menge von Punkten p und 5 eine Konstante, so soU sÄ die Menge der Punkte sp vorstellen. Sind Pu p2, . . ., p„ eine endliche Anzahl von Punkten, so bildet die Gesamtheit aUer derjenigen Punkte p, welche sich in der Form darstellen, so daß dabei (6) ^,^0, ^2^0,..., ^,^0, ^^ + ^^ + ... + ^^=1 ist, einen Bereich, der die Eigenschaften la), Ib), Ic) eines konvexen Körpers besitzt, und den wir als den Jconvexen Bezirk (Pi, pj, • • •; p,) be- zeichnen woUen. Der Bereich enthält die Punkte p^, pg, . . ., p„ und muß in jedem konvexen Körper, der diese Punkte sämtlich aufnimmt, stets voll- ständig enthalten sein. Besitzt einer jener Punkte, z. B. p„ außer der selbstverständlichen Darstellung ^i= 0, . . ., t^_^ = 0, ^„=1 noch eine zweite Darstellung in der Form (5) nnd (6), wobei dann also <„< 1 ist, so erweist sich da- durch p„ bereits als Punkt des konvexen Bezirks (p^, p*, • • •, p„_i) uud ist also der konvexe Bezirk (pi, pg, • • •, Pn-u Pn~^ iu <^em konvexen Bezirke (Pi> p2> • • •> Pn-i) enthalten und daher mit letzterem Bezirke identisch. Indem wir in solcher Weise, soweit als möglich, die Anzahl der dem konvexen Bezirk zugrunde liegenden Punkte verringern, verbleiben schließ- lich gewisse Punkte jener Reihe, etwa p^, pg, . . ., p^(m ^ w) derart, daß der konvexe Bezirk (pi, pj, . • ., pj noch mit (Pi, pj, • . ., Pa,) identisch ist, daß aber jeder dieser Punkte Pi, pj, . • •, p^;, in der Form hPl + ^,p2+ • • • + tr^Pm mit t,^0, t,>0,..., i^^O,t, + t,-{--'' + f^= 1 136 Zur Geometrie. und daher auch in der ursprünglich betrachteten Form (5) und (6) nur auf eine Weise darstellbar ist. Diejenigen Punkte ))^ der Reihe Pi, ^2, • - -yp^, welche in der Form (5) und (6) nur so darzustellen sind, daß ^^=1 und die anderen Größen tg(g 4= h) Null sind, heißen die EcIipunJcte des konvexen Bezirks (pi, p2> • • •? Pn)- Auf einer Geraden durch einen Eckpunkt p^ können niemals zu beiden Seiten von p^ Punkte des konvexen Bezirks liegen. Liegen die Punkte Pi, p2} •••, Pn nicht sämtlich in einer Ebene, so ist der konvexe Bezirk (pi,p2, - - -, p„) ein konvexer Körper und heißt ein (konvexes) Polyeder. — Wir bemerken, daß alsdann jeder Punkt p, der in der Form (5) und (6) mit lauter positiven Faktoren t^,t^, • • .,tn erscheint, stets ein innerer Punkt des Polyeders ist. Denn bedeutet e irgendeinen inneren Punkt des Polyeders, wobei nun nicht t = p sei, so erscheinen die Punkte (1 -\- t)p — tt für hinreichend kleines positives t, d. s. also Punkte auf dem Strahle von e durch p über p hinaus, ebenfalls noch in der Form (5) und (6), während diese Punkte nach § 1 außerhalb des Polyeders liegen müßten, wenn p ein Punkt seiner Begrenzung wäre. Liegen Pi, p^) • • •) Pn sämtlich in einer Ebene, aber nicht sämtlich auf einer Geraden, so heißt der konvexe Bezirk (pi, p^, . . ., p^) ein (kon- vexes) Polygon. Ein jeder Punkt p der Form (5) und (6) mit lauter positiven Koeffizienten tj^ ist dann stets ein innerer Punkt des Polygons in der Mannigfaltigkeit seiner Ebene, oder wie wir anstatt dessen lieber sagen wollen, da ein Polygon als eine Punktmenge im Räume überhaupt keinen inneren Punkt hat, ein inivendiger Punkt des Polygons. Liegen p^, p^, . . ., p^ sämtlich auf einer Geraden, so reduziert sich der konvexe Bereich (p^, p^, . . ., pj auf eine Strecke, wofern er nicht bloß einen einzelnen Punkt vorstellt. Ist (7) ax + ßy-Yyz== d, wobei a^ -f /3* + y^ = 1 statthabe, die Gleichung einer Ebene, so be- zeichnen wir diejenigen Punkte x, y, z, für welche ax ^r ^y -\- y^'> d gilt, als auf der Seite (a, ß, y) dieser Ebene gelegen. Es sei ^ eine abgeschlossene Punktmenge; finden wir in (7) eine Ebene, welche wenigstens einen Punkt von U enthält, aber auf der Seite (^> ßi y) "^on sich keinen Punkt von Ä liegen hat, so daß also in Ä durchweg (8) ccx-\- ßy -\- yz 0 und dabei ^, -f- ^, + • • • + ^, = 1 ist. Dabei können die Punkte nicht sämtlich auf einer Geraden liegen, da ja p auf keiner Strecke p.p^- liegt; ihre Anzahl ist also ^ 3. Andererseits aber müssen alle diese Punkte in einer Ebene liegen, denn sonst würde der konvexe Bezirk [p-, p_^, . . ., p,) ein Polyeder und nach einer oben gemachten Bemerkung p ein innerer Punkt dieses Polyeders und daher um so mehr ein innerer Punkt von ^ selbst sein. Also bildet der konvexe Bereich (p^, p^-, . . ., p,) ein Polygon, uad ist p nach einer zweiten Bemerkung oben ein inwetidiger Punkt dieses Polygons. Jetzt muß die Ebene dieses Polygons eine Stützebene an das Poly- eder ^ sein. Denn die Ebene enthält gewiß nicht t, von den Eckpunkten pi, p2, . . ., p^ befindet sich dann notwendig wenigstens einer, etwa p^, auf derselben Seite dieser Ebene wie e. Hätte nun die Ebene auch auf der entgegengesetzten Seite einen Eckpunkt, etwa p^ liegen, so würden die beiden konvexen Bezirke (p^, p,., p^, . . ., p,) und (p;^, p^, p^, . . ., p,) (die Pyramiden mit jenem Polygon als Basis und p^ bzw. p^ als Spitze) durch diese Ebene getrennt sein, und p würde als inwendiger Punkt ihrer ge- meinsamen Basis ein innerer Punkt in dem aus den beiden Pyramiden zusammengesetzten Bereiche und um so mehr ein innerer Punkt in ^ sein, was gegen die Voraussetzung wäre. Damit sind wir zunächst zu folgendem Ergebnisse gekommen: Bestimmen wir alle Ebenen durch je drei nicht in einer Geraden ge- legene der Eckpunkte Pi, pg, • • ., Pm) ^^ haben wir in dieser endlichen Anzahl von Ebenen gewisse Stützebenen an Sß. Es seien (9) «Wa; 4- ß^'^y -f- yW^ < d^") (x - 1, 2, . . ., v) 138 Zur Geometrie. die Bedingungen dieser verschiedenen Stützebenen an ^, so gehen diese Stützebenen jedenfalls durch jeden solchen Punkt p der Begrenzung von ^, der in keiner der Ebenen tpipj liegt. Nun können wir aber eine Richtung (a*, /3*, y*), die in einer jener Ebenen e^J^p^ auftritt, da die An- zahl der Ebenen endlich ist, jedenfalls als eine Häufungsstelle von solchen Richtungen {a, ß, y) darstellen, die nicht diesen Ebenen angehören, und danach ist weiter jeder solche Punkt p* der Begrenzung von ^, für den ep* in eine der Ebenen cp,.p^ fällt, eine Häufungsstelle von solchen Punkten p der Begrenzung, für die ep nicht in diese Ebenen fällt, welche also in den Ebenen (9) liegen. Die Ebenen (9) müssen, deshalb über- haupt jeden Punkt der Begrenzung von ^ aufnehmen. Es gelten im ganzen Bereiche ^ die Ungleichungen (9). Ist aber q ein Punkt außerhalb ^, so enthält die Strecke eq einen Punkt p der Be- grenzung von ^. Führt durch diesen Punkt p etwa die x*® der Stütz- ebenen (9), so ist der Ausdruck für c kleiner als (?W, für p gleich d^''\ für q daher größer als d^"'', also er- füllt q nicht die Bedingungen (9). Danach ist der Bereich ^ genau durch die Ungleichungen (9) charakterisiert. In jeder der Ebenen (9) gehört zu ^ ein gewisses Polygon, das wir als Seitenfläche von ^ bezeichnen. § 5. Annäherung an einen konvexen Körper durch konvexe Polyeder. Es sei wieder Ä ein beliebiger konvexer Körper mit dem Nullpunkte 0 im Inneren; es sei f(x, y, z) seine Distanzfunktion und -^ das Minimum, — das Maximum von fia., ß, y) auf der Kugelfläche a* -f /3^ -f- y^ =— 1. Es sei d eine beliebige positive Größe, und konstruieren wir irgend- ein Net0 9^ von lauter kongruenten Würfeln mit der Kante d und Seiten- flächen parallel den Koordinatenebenen, die nur in den Seitenflächen an- einanderstoßen und den ganzen Raum lückenlos überdecken. Es seien ü Würfel des Netzes vorhanden, welche überhaupt wenigstens einen Punkt des Körpers ^ enthalten, und es sei U der Bereich dieser Würfel, U der Bereich aller anderen Wüi-fel des Netzes. Der ganze abgeschlossene Be- reich U enthält keinen Punkt von ^; die Bereiche U und U aber haben ihre Begrenzung gemeinsam. Danach ist auf der Begrenzung von U überall /"(a;, y, J3)> 1 und enthält U den Körper ^ ganz im Inneren. Denken wir uns die sämtlichen Punkte p^, pg, . . ., p„ aufgesucht, die als Eckpunkte der Würfel in U auftreten und konstruieren wir das r Theorie der konvexen Körper. 139 kleinste, alle diese Punkte enthaltende konvexe Polyeder ^ = (p^, pj, . . .,pj, so wird dieses Polyeder ^ gewiß alle Würfel aus U, also den ganzen Bereich U enthalten, also ebenfalls den Körper ß ganz im Inneren ent- halten. Andererseits gibt es in jedem Würfel, der zum Bereiche U beiträgt, wenigstens einen Punkt x, y, z von §., also wofür f{x, y, z) <1 ist, und dann gilt gemäß § 3, (3) und (4) in dem ganzen betreffenden Würfel von l/3 der Kante d jedesmal f(x, y, ^) < 1 -f ^— <^. Insbesondere gilt daher diese Relation für alle Punkte pi, \>2, - ■ -, p^y ^^^ werden alle diese Punkte und mithin auch das ganze Polyeder ^ vollständig in dem Körper 1 + ^ ^ enthalten sein, der durch Dilatation des Körpers Ä vom Punkte 0 aus im Verhältnisse 1 -f ^— d : 1 entsteht. Dilatieren wir dann die Körper ^ und 1 + ^ö r vom Punkte o aus in dem umgekehrten Verhältnisse 1:1+^^, so erkennen wir, daß das Polyeder Q = V-^ r ganz im Körper ^ enthalten ist. Wir kommen damit zu dem folgenden wichtigen Satze: Ist Ä ein heliehiger Iconvexer Körper mit dem FunMe o im Inneren, so Jiann man stets zwei einander in hezng auf den Punli o Jiomothetische (ähnliche und ähnlich gelegene) Polyeder ^ toid D lonstruieren, so daß ^ ganz in ^, andererseits D ganz in Ä liegt und dabei das Dilatations- verhältnis zur Erzeugung von ^ aus D, heliebig ivenig größer als 1 ist. § 6. Stützebenen eines konyexen Körpers. Wir knüpfen an das letzte Ergebnis noch eine wichtige Bemerkung. Nach der Definition einer Stützebene in § 4 haben wir unter einer Stützebene an einen Jcmivexen Körper eine solche Ebene zu verstehen, welche wenigstens einen Punkt der Begrenzung des Körpers enthält, aber sein Inneres ganz auf einer Seite liegen hat. Wir können nun den Satz beweisen: Durch jeden Punkt der Begrenzung eines konvexen Körpers geht wenig- stens eine Stützehene an den Körper. Durch § 4 ist dieser Satz bereits für Polyeder sichergestellt. Es sei nun Ä ein beliebiger konvexer Körper mit o im Inneren, und denken wir uns für ihn wie vorhin das Polyeder ^ konstruiert. Es sei p^ mit den 140 Zur Geometrie. Koordinaten x^, y^, z^ ein beliebiger Punkt auf der Begrenzung von ^. Der Strahl von o durch p^ treffe die Begrenzung des Polyeders ^ im Punkte p und es sei (10) ux ■\- vy ■\- WZ < 1 die Bedingung einer Stützebene durch p an ^, also etwa einer Seiten- fläche von ^, welche durch den Punkt p geht. Da ^ den Körper ^ enthält, gilt dann (10) für jeden beliebigen Punkt Xj y, z in Ä. Da ^ den Körper ^ und dieser die Kugel vom Radius r mit 0 als Mittelpunkt ganz enthält, andererseits ^ in 1 + ^-iö r ^ und letzterer Körper in der Kugel vom Radius Mittelpunkt enthalten ist, wird (11) -^yw2_|.^2_^^2^ 1 +— 0 und < 1 ist, liegt dann der Körper t^ ganz im Inneren von Ä und also Po stets außerhalb tÜ.. Xach dem soeben Ausgeführten läßt sich infolge- dessen eine Ebene durch )^q legen, welche den Körper t^ ganz auf einer Seite läßt. Wir benutzen nun eine unendliche Reihe von wachsenden, nach der Grenze 1 konvergierenden Werten t, und stellen jedesmal in der angegebenen Weise dazu eine Ebene ux -f vy -\- wz = 1 durch p^ her; alsdann können wir ähnlich wie oben einsehen, daß die Wertsysteme u, V, IV in den Gleichungen dieser Ebenen eine vom Systeme 0, 0, 0 ver- schiedene Häufungsstelle Uq, Vq, Wq besitzen, die uns eine Stützebene durch Po an Ä bestimmt. Die letzten Betrachtungen führen uns noch zu folgendem Satze: Sind ß und Ä* zwei verschiedene Tionvexe Kö)-per, die Jceinen inneren PunM miteinander gemein haben, so lann stets eine Ebene Jconstruiert iierden, wekhe das Innere von S ganz auf einer Seite, das Innere von Ä* ganz auf der anderen Seite liegen hat. Nehmen wir zuerst den Fall an, daß Ä und Ä* überhaupt keinen Punkt gemein haben. In der Mannigfaltigkeit aller möglichen Wertsysteme von sechs reellen Variablen x, y, z, ar^, y*, z* bilden die- jenigen dieser Systeme, bei denen x, y, z einen Punkt aus Ä und xf^, y*, z* einen Punkt aus Ä* bedeuten, offenbar eine abgeschlossene Menge, weil Ä sowohl wie Ä* für sich abgeschlossene Punktmengen sind. Infolge- dessen gibt es unter den sämtlichen Entfernungen von je einem Punkte aus Ä nach je einem Punkte aus Ä* ein bestimmtes Minimum und es seien z. B. r in Ä und r* in Ä* zwei Punkte, welche dieses Minimum der Entfernung zwischen Ä und Ä* darbieten. Alsdann zeigt sich, daß die zur Strecke rr* senkrechten Ebenen durch die Punkte dieser Strecke einen Parallelstreifen bilden, der das Innere von Ä ganz auf einer Seite, das Innere von ^ ganz auf der anderen Seite von sich liegen hat. 142 Zur Geometrie. Haben jedoch Ä und ^* wenigstens einen Punkt ihrer Begrenzungen gemein, so wollen wir uns den Nullpunkt o im Inneren von ^ gelegen denken, ersetzen ^ durch t^, wobei ^ > 0 und < 1 ist, und gelangen zum Beweise unseres Satzes, indem wir eine Reihe nach der Grenze 1 wachsender Werte t heranziehen. § 7. Yolumen eines konvexen Körpers. Schwerpunkt. Für die Begründung des Volumenbegriffs ist folgende Bemerkung wichtig; Ein Bereich sei so beschaffen, daß er sich in eine endliche An- zaJil von rechtwinkligen Parallelepipeda mit Seitenflächen parallel den Ko- ordinatenebenen, also Bereichen von der Art XQ^x 0 ist, % den Bereich dieser A Würfel. Endlich mögen TJ', A', VC, %' die entsprechenden Anzahlen und Bereiche in bezug auf das zweite Netz 9^' vorstellen wie TJ, A, U, % in bezug auf 9fl. Weil ^ und daher auch % ganz in dem Würfel \x\-^B, \y\'^B, \z\<.R liegt, hat man nach der am Eingange dieses Paragraphen ge- machten Bemerkung (14) Ad^^^BK Theorie der konvexen Körper. 143 Weil Ä und daher auch U' den Würfel |a;|<— =r, \y\<--=r, ' — y 3 — y 3 \2\<^—^r ganz enthält, so gilt andererseits -ys ^ (15) C^'^'^^jTäf»"'- Da U' den Körper Ä und ^ den Bereich 21 ganz enthält, gut (16) U'd'^-Äd^^O. Ist p{oc, y, z) ein Punkt im Körper (1 — £)Ä, so gut dafür 1/3 /"(ic, y, .^)<1 — £<1 — ^— <5 ; alsdann folgt für jeden solchen Punkt, wel- cher mit p sich in einem und dem nämlichen Würfel von Sü befindet, wenigstens (s. § 6) f{x, y, z) < 1. Danach muß jedenfalls der Körper (1 — £)Ä mit allen seinen Punkten in den Bereich % aufgenommen werden, und ist gewiß -4 > 0 . Jeder Würfel von U' andererseits enthält wenigstens einen Punkt, wofür f{Xy y> 'S?) ^ 1 ist, und gut dann in dem ganzen Würfel für aUe Punkte fix, y, z)^\ -\- ^^—8 < 1 + «• Also liegt U' ganz im Körper (1+£)Ä. Dilatiert man nun den Bereich 2t, welcher (1— a)^ enthält, vom Nullpunkte o aus in allen Richtungen im Verhältnisse 1 + £ : 1 — £, so entsteht ein Bereich, der den Körper (l-j-c)^ und daher auch den Be- reich U' ganz in sich enthält. Danach ist auf Grund der am Anfange gemachten Bemerkung Hieraus und aus (16) und (14) entnehmen wir nunmehr (17) 0^ C/'(5'3-^(53^8i23(([ij)'-l). In dieser Relation können wir noch f7'ö'' mit JJ6^ und andererseits J.d' mit Äb'^ vertauschen. Diese Beziehung (17) zeigt uns, daß mit abnehmender Kante d eines Würfelnetzes '^ die daraus in bezug auf den Körper Ä abgeleiteten Größen Ab^ und i/ö^ nach einem bestimmten und beide nach dem nämlichen Grenzwerte V konvergieren; die Ungleichung (15) läßt noch erkennen, daß dieser Grenzwert V stets > 0 ist. Dieser Grenzwert heißt das Volumen des Körpers Ä. Wir stellen sogleich noch die Existenz des SchwerpunJdes eines kon- vexen Körpers fest. Buden wir das Raumintegral Jffxdxdyde, 144 Zur Geometrie. zunächst erstreckt über die Bereiche U' und S(, so finden wir bestimmte Werte, die wir gleich (18) U'd'^x^, bzw. Aö^x^ setzen. Nun enthält der Integrationsbereich U' ganz den Bereich St, in U' gilt überdies stets \x\^{l-\- e)B. Danach ist der Betrag der Diffe- renz dieser zwei Werte I Z7'(5'%, - Ad^x^\^ (1 + 8)R(^U'8'^-A8^). Mit Rücksicht auf (17) geht daraus hervor, daß mit abnehmender Kante der Würfelnetze die Größen in (18) nach einer bestimmten Grenze kon- vergieren, die wir als das Raumintegral j j j xdxdydz über Ä bezeichnen und = Vx^ schreiben, worin V das Volumen von Ä bedeute. Durch analoge Behandlung der y- und .s; -Koordinaten in Ä gelangen wir zu zwei entsprechenden Grenzwerten y^ und z^. Der Punkt, dessen Koordinaten iP^,«/^,-2f^ sind, erweist sich sodann als unveränderlich bei Einführung anderer Parallelkoordinaten an Stelle von x,y,Z'^ dieser Punkt heißt der SchwerpunJct des Körpers ^. Der Schwerpunkt eines konvexen Körpers ist stets ein innerer Punkt des Körpers. Denn ist p irgendein Punkt außerhalb oder auf der Begrenzung von ^, so können wir nach § 6 eine Ebene durch p legen, welche auf einer Seite keinen Punkt von ^ liegen hat. Ist Z = 0 die Gleichung dieser Ebene und haben wir in Ä stets Z^O, so gilt in Sl stets Z'>0 und ist das Integral j j j Z dxdydz über % positiv und gewiß nicht größer als das entsprechende Integral über ^. Dadurch steUt sich der Wert Z für den Schwerpunkt von ^ als > 0 heraus, es kann mithin dieser Punkt niemals mit )) identisch sein. IL Kapitel. Die konvexen Körper als Ebenengebilde. § 8. Die Stützebenenfunktion eines konvexen Körpers mit dem Nullpunkte im Inneren. Es sei zunächst Ä wieder ein solcher konvexer Körper, welcher den Nullpunkt 0 als inneren Punkt enthält. Sind u, v, w irgendwelche feste Werte, die nicht sämtlich Null sind, und denkt man sich x, y, z als Ko- ordinaten eines Punktes in Ä variabel, so besitzt der Ausdruck (19) ux -\- vy -\- WZ, da Ä eine abgeschlossene und ganz im Endlichen gelegene Punktmenge Theorie der konvexen Körper. 145 vorstellt, in ^ einen bestimmten größten Wert. Wir bezeichnen dieses Maximum von (19) in Ä mit H{u,v,w). Alsdann gilt für alle Punkte X, y, z in ü stets (20) ux ■\- vy -\- tvz ^H{u,v,iv)j und zugleich gibt es stets wenigstens einen solchen Punkt in Ä, für den in dieser Ungleichung das Gleichheitszeichen statthat, so daß (20) die Bedingung einer Stützebene an Ä vorstellt. Da der Nullpunkt 0 als innerer Punkt von ^ nicht in dieser Ebene liegen kann, ist dann jedes- mal H{u, V, iv) > 0. — Für das System u, v, iv = 0, 0, 0 verschwindet der Ausdruck (19) identisch und setzen wir demgemäß -ff(0, 0, 0) = 0. Die hiermit definierte Funktion H(u, v, w) nennen wir die Stütz- ebmenfunktmi des Körpers Ä. Diese Funktion ergibt in einfacher Weise die sämtlichen Stützebenen an den Körper Ä. Wir wollen eine nicht durch den Nullpunkt gehende Ebene, deren Gleichung ux -\- vy -\- ivz = 1 mit irgendwelchen Konstanten u, v,w =^0,0,0 lautet, kurz als die Ebene (m, V, w) bezeichnen. Zufolge (20) wird nun eine solche Ebene (u, v, w) den Körper ß nicht treffen und ihn ganz auf der Seite des Nullpunktes liegen haben, oder aber eine Stützebene an Ä sein oder auch einen Teil von Ä auf der dem Nullpunkte entgegengesetzten Seite liegen haben, je nachdem H(ii, V, ic) < 1 oder = 1 oder > 1 ist. Die Gesamtheit aller Ebenen (u, v, tv), welche den Körper Ä nicht zerschneiden, wird danach durch die Bedingung -H'(m, v, iv) ^ 1 und die Gesamtheit aller Stützebenen an ü wird durch die Bedingung H(Uy v,w) = l definiert. Der Körper Ä ist genau der Bereich aller derjenigen PunJcte x, y, z, für welche bei jedem beliebigen Systeme u, v, w stets (20) ux -f vy + IV z ^ H{u, v, w) gut. Denn für jeden Punkt x, y, z aus Ä bestehen diese sämtlichen Un- gleichungen. Ist aber p(x,y,z) ein Punkt außerhalb Ä, so gibt es auf der Strecke vom Nullpunkte o nach p einen Punkt p^ der Begrenzung von Ä. Ist sodann («(,, Vq, iVq) eine Stützebene durch p^ an Ä, so gilt dabei II(uq, Vq, Wq) = 1 und wird für p: (21) %x + v^y -t- w^z > 1 = R(uq, Vo, m;«); es bestehen also für p nicht sämtliche Ungleichungen (20). Danach ist ein konvexer Körper Ä mit dem Nullpunkte im Inneren durch Angabe seiner Stützebenenfunktion H{u,v,w) jedesmal völlig bestimmt. Minkowski, Gesammelte .\bhandlnngen. II. 10 146 Zur Geometrie. Die Funktion H(u,v,w) besitzt die folgenden Eigenschaften: 1. Wenn u,v,w=^ 0, 0, 0 ist, gilt stets H{u, v, w) > 0. Ferner ist H{0, 0, 0) = 0. 2. Aus der Definition dieser Funktion ergibt sich unmittelbar: (22) E(iu, tv, tw) == tH(u, v, w), wenn ^ > 0 ist. 3. Für beliebige zwei Systeme u^, v^, w^-^ u^, v^, w^ gilt allgemein (23) H{uy, v^, Wj) + H(u2, v^, w^ ^ H{u^ + u^, v^-\- v^, w^-\- w^. Denn nacb (20) gilt für jeden Punkt x, y, s \n ^ u^x -\- v^y -\- w^z <, H(u^, ^1, w^), u^x -\- v^y -f w^z ^ H{u^, v^, w^), also auch (wi + Us)x + (vi + V2)y -\- (w^ + w^)z ^ £■(%, v^, w^ + H(u^, v^, w^). Es gibt aber andererseits wenigstens einen solchen Punkt x, y, z in Ä, für den die linke Seite der vorstehenden Ungleichung genau = if(%+ Mg, «1 + Vgj % + ^i) ausfällt, und dadurch folgt alsdann die Ungleichung (23). Denken wir uns jetzt zu jeder Ebene {u, v, w), welche den Körper Ä nicht zerschneidet, den Punkt mit den Koordinaten u, v, w, also den Pol der Ebene in bezug auf die Kugelfläche (S : x^-\-y^+z'-=l konstruiert. Aus den Sätzen in § 3 erkennen wir alsdann nach diesen Eigenschaften von II(u, v, w), daß die Gesamtheit aller dieser Pole u, v, w, unter Hinzunahme noch des Nullpunktes, also aller Punkte u, v,w mit der Bedingung H(u, v,w)-^l einen gewissen konvexen Körper ^ mit dem Nullpunkt im Inneren erfüllt. Dieser Körper ^ möge der polare Körper zu Ä heißen. Für einen beliebigen Punkt x, y, z aus ^ und einen beliebigen Punkt u,v,w aus § gilt nach (20) stets (24) ux -\- vy -[- WZ < 1. Der Körper § ist dem Obigen zufolge genau der Bereich aller der- jenigen einzelnen Systeme u, v, w, für welche bei jedem Punkte x, y, z aus ^ stets diese Ungleichung (24) gilt, und wird eben durch diese Eigen- schaft aus Ä abgeleitet. Andererseits ist nun ^ genau der Bereich aller einzelnen Punkte x,y, z, für welche bei jedem Systeme u,v,w aus § die Ungleichung (24) besteht. Denn, wie wir bei (21) sahen, gibt es, wenn x, y, z ein Punkt außerhalb ^ ist, stets ein solches System u, v, w, wofür H(u, v,w) = 1 ist und (24) nicht gilt. Danach erkennen wir, daß die Beziehung der beiden konvexen Körper ^ und ^ hier eine reziproke ist. Der Körper Ä Theorie der konvexen Körper. 147 ist wieder der polare Körper zu §. Zugleicli leuchtet jetzt aus den Sätzen in § 3 ein, daß eine jede Funktion JS{ii,v,iv), welche die Bedingungen 1., 2., 3, erfüllt, stets die Stützebenenfunktion eines bestimmten konvexen Körpers ^ mit dem Nullpunkte im Inneren ist. Wir fügen noch folgende Bemerkungen über diesen Begriff des polaren Körpers hinzu. Bezeichnet § den polaren Körper zu Ä und ist t ein positiver Wert, so ist der polare Körper zu t^ der Körper -j-^. Enthält ^ einen anderen konvexen Körper Ä* mit 0 im Inneren, so ent- hält umgekehrt der polare Körper §* zu ^* den polaren Körper § zu ^ . Endlich zeigen wir, daß der polare Körper zu einem Polyeder mit o im Inneren stets wieder ein Polyeder ist. Bedeutet Ä ein Polyeder, so läßt sich nach dem Satze in § 4 der Bereich der Punkte x, y, z in Ä bereits vollständig durch eine endliche Anzahl von Ungleichungen (25) u^'^x + xJ^'^y + iv^'^z < 1 (x = 1, 2, . . . , v) charakterisieren. Sowie eine Ungleichung au -\- ßv -\- yw -^ d , wobei «^ -\- ß^ -\- y^= 1 und d > 0 ist, für alle v Systeme u,v,iü = u^''\ v^''\ w;W gilt, ist jedesmal ^)-^}^ e™ Punkt in ^. Es bedeute I^W den Punkt mit den Koordinaten u^''\ t;(^\ w'-"^ für z = 1, 2, . . ., v. Zudem ist noch ^ als Polyeder ganz im Endlichen gelegen, d. h. in einer gewissen Kugel •2^^ + 2/^ + •^^ ^ -R" enthalten. Danach kann es nun keine Ebene mit einer Distanz < -^ von o geben, welche aUe die v Punkte ^W ganz auf einer Seite von sich liegen hat, d. h. der kleinste, alle diese Punkte enthaltende konvexe Bezirk ^* = {^^'^\ ^(-), . . . , I^W) enthält notwendig den Nullpunkt im Inneren und ist also ein Polyeder. Bedeutet jetzt ^ den polaren Körper zu ^, so enthält § jeden der Punkte t)^"^ und also das ganze Polyeder §*. Ist dann ß* der zu §* polare Körper, so erfüllt jeder Punkt x,y,z dieses Körpers alle v Ungleichungen (25), also ist Ä* ganz in Ä enthalten und enthält daher umgekehrt ^* den Körper §. Danach ist der polare Körper zu ^ identisch mit dem Polyeder {^^^\ ^^^\ . . ., l^W). § 9. Kugeln, die in einem konvexen Körper enthalten sind, nomothetische Körper. Zu jeder Richtung (a, ß, y) haben wir in (26) ax-\- ßy + yz 0) ist H\a, ß, y) konstant gleich dem Radius t. Es sei wie in § 3 r das Minimum, R das Maximum von -n — 2— V auf der Kugelfläche @, also r der Radius der größten in ^ ent- haltenen, M der Radius der kleinsten, ^ enthaltenden Kugel mit dem Null- punkte als Mittelpunkt. Alsdann gilt nach (27) für U stets r < H(cc,ß,y) und H{a, ß, y) < JR, aber, wenn t ein Wert > r und < JR ist, weder stets t < H{a, ß, y') noch stets H{a, ß,y) ^t. Also bedeuten zugleich r das Minimum und II das Maximum von II{a, ß, y) auf der ganzen Kugel- fläche «2 -f /32 + / = 1. Sind a, b, c irgendwelche feste Werte, so stellt der Ausdruck (28) H{a, ß, y) - aa -bß-cy den Abstand des Punktes a, b, c von der Stützebene an ^ mit der Nor- male a, ß, y vor, und zwar, falls die Stützebene den Körper und den Punkt voneinander trennt, diesen Abstand noch mit negativem Vorzeichen versehen. Der Ausdruck (28) besitzt auf der Kugelfläche (S ein be- stimmtes Minimum, das wir mit r(a, b, c) bezeichnen. Dieses Minimum ist immer dann und nur dann noch positiv, wenn a, b, c ein innerer Punkt von Ä ist, und in solchem Falle bedeutet r (a, b, c) den Radius der größten Kugel mit a, b, c als Mittelpunkt, welche noch ganz im Körper Ä enthalten ist. Weiter stellt der Wert r{a, b, c) offenbar eine stetige Funktion der Argumente a, b, c vor und besitzt deshalb in dem ab- geschlossenen Bereiche der Punkte des Körpers ^ ein bestimmtes Maxi- mum, das rmax heiße und alsdann zugleich das Maximum unter den Radien Theorie der konvexen Körper. 149 aller ganz in ^ enthaltenen Kugeln bedeutet. Insbesondere ist daher r(0, 0, 0) < rmax- — Wir werden in der Folge (§ 23) beweisen, daß, wenn a, h, c speziell die Koordinaten des SchicerpunJctes des Körpers ^ bedeuten, jedenfalls r(a, &, c) > y rmax ist. Die zu einer Richtung (a, ß, y) entgegengesetzte Richtung hat als Kosinus ihrer Neigungswinkel gegen die Achsen — a, — ß, — y. Die Stützebene an Ä mit dieser Richtung (— a, — ß, — y) als (äußerer) Nor- male hat vom Nullpunkte den Abstand J3"( — a, — ß, — y) und U befindet sich sodann ganz in dem von diesen zwei parallelen Stützebenen begrenzten Streifen (29) - H{-a,-ß,-y) H{a,ß,y) ist. Betrachten wir nun die Funktion deren Nenner niemals verschwindet, so hat diese Funktion auf der Kugel- fläche (£ ein bestimmtes Maximmn, das Q heiße. Alsdann gilt ^ = 1 oder Q>1, je nachdem ^ und Ä' homothetisch sind oder nicht. Die Größe Q bedeutet zugleich den kleinsten Wert, wofür noch aUe Ungleichungen , 'y~H'{a,ß,y) 0. § 10. Konvexe Körper in beliebiger Lage zum Nullpunkte. Wir definieren jetzt die Stützebenenfunktion für einen konvexen Körper ohne Rücksicht auf dessen Lage zum Nullpunkte. Es sei ^ ein be- liebiger konvexer Körper und e mit den Koordinaten x = a, y = h, z = c ein beliebig angenommener Punkt im Inneren von ^. Durch die Translation des Körpers ^ vom Punkte a, h, c nach dem Nullpunkte 0 erhalten wir einen konvexen Körper Ä* mit o im Inneren; dieser besteht in der Menge der Punkte x — a, y — h, z — c, während x, y, z sich in ^ bewegt. Es sei H*(ii, V, w) die Stützebenenfunktion von ^*, so bedeutet H*(u, v, w) das Maximum von u(x — a) -\- v{y — h) -{- w {z — c) für die Punkte x, y, z in ^. Das Maximum von ux -{- vy -{- ii'Z in St wird dann durch den Ausdruck (31) H(u,v,w) = II*(u,v,w) -f au -{-iv -\~ cw dargestellt sein; dieses Maximum H(ii, v, iv) bezeichnen wir wieder als die StützebenenfunJction von ^. Dabei erweist sich wieder Ä genau als der Bereich derjenigen Punkte x, y, z, welche sämtlichen Ungleichungen (32) ux -\- vy ■\- IV z < fi^(^<, v, w) für alle möglichen Werte u, v, iv genügen, so daß die Stützebenenfunktion jedenfalls wieder den konvexen Körper Ä vollständig bestimmt. Nach der Regel 1. in § 8 war stets £r*(w, «;,? 0, wenn w, V, m; 4= 0; 0, 0 ist. Diese Ungleichung braucht nun nicht mehr stets für H{u,v,w) zu gelten; wir finden jedoch aus (31): H{Uj V, w) -f H(— u, — v, — w) = H*(ii, V, w) -f H*(j- u, — v, — w) und können danach folgende Eigenschaften behaupten: Theorie der konvexen Körper. 151 1. Für die Funktion H{u,v,w) gilt stets (33) H{u, v,w) + R{— M, — V, — iv) > 0, wenn u, v,w=^0,0,0 ist. Außerdem ist 5^(0,0,0) = 0. Aus den Regeln 2. und 3. für II^{u, v, tv) gemäß § 8, finden wir genau wie früher: 2. H{tu,tv,tw) = tE{u,v,ic), wenn ^>0 ist. Wir beweisen jetzt umgekehrt den folgenden Satz: Genügt eine Funktion II{u,v,w) den vorstehenden Bedingungen 1., 2., 3., so ist sie jedesmal die Stützebenenfunktion eines bestimmten kon- vexen Körpers. Wir haben zunächst festzustellen, daß unter der gemachten Voraus- setzung stets drei Konstanten a, h, c auf solche Weise bestimmt werden können, daß die Funktion S(ti, V, w) — (au + lv -\- cw) = H*(ii, v, to) für alle Ton 0, 0, 0 verschiedenen Systeme u, v, w stets > 0 ausfällt. Alsdann wird nach den Resultaten in § 8 diese Funktion H^ (w, v, iv) die Stützebenenfunktion eines gewissen konvexen Körpers Ä* mit dem Null- punkte im Inneren bUden, und H{u, v, w) wird die Stützebenenfunktion desjenigen konvexen Körpers ^ sein, der aus Ä* durch die Translation vom Nullpunkte nach dem Punkte a, h, c entsteht, dabei also den letzteren Punkt als inneren aufweist. Gilt stets H{u,v,w)>ö, wenn t«, r, ?«? =H 0, 0, 0 sind, so brauchen wir nur a = 0, & = 0, c = 0 zu nehmen. Wir setzen jetzt voraus, es sei nicht für jedes System u, v, lo 4= 0, 0, 0 stets H{u, V, tv) > 0, wir nehmen aber zunächst an, daß wenigstens stets H(u, v, 0) > 0 gelte, so oft m, t? =j= 0, 0 sind. Um den Gang des alsdann zu führenden Beweises vorauszusehen, bedenken wir, daß, wenn tatsächlich der durch die Ungleichungen (32) definierte Bereich ein konvexer Körper ist, die letzte Annahme darauf hinauskommen wird, daß die orthogonale Projektion dieses Körpers auf die xy -Ebene den Nullpunkt x = 0, y = 0 als inwendigen Punkt enthält. Alsdann steht zu erwarten, daß die ^r-Achse den Körper in einer Strecke c'c" durchsetzt und jeder von den End- punkten verschiedene Punkt dieser Strecke ein innerer Punkt des Körpers wird. Wir haben nun allein aus den Bedingungen 1., 2., 3. für die Funktion H{u,v,u-) abzuleiten, daß auf der £r- Achse innere Punkte des Bereichs (32) vorhanden sind. Wir setzen hiernach a = 0, 6 = 0 und haben alsdann eine Konstante c derart zu suchen, daß stets Il{u, v, w) — cw > 0 ist, wenn a; =4= 0 ist. Er- 152 Zur Geometrie. setzen wir, wenn w =^0 ist, u, v durch utv, vw und beachten die Regel 1., so sollen also nach Voraussetzung nicht alle Ungleichungen H(u, v, 1) > 0, H{— w, — r, — 1) > 0 gelten, es existiere etwa ein System — u^^\ — ü W, — 1, wofür H{— u^^\ — v^'^\ — 1) = — c^^^ ^ 0 ist. Verlangt wird, die Konstante c derart zu bestimmen, daß stets (34) H(u,v,l)-c>Q, H{-u,-v,-l) + c>0 ist. Für die Funktion Hin, v, 0) der zwei Argumente w, v haben wir II(u, V, 0) > 0, wenn w, t? =4= 0, 0 sind, H(0, 0, 0) = 0, ferner entnehmen wir aus 2. und 3.: H(tu,tv,0) == tH(u,v,0), wenn ^ > 0 ist. Durch entsprechende Überlegungen, wie sie in § 3 für die Funktion f(x,y,z) angestellt wurden, erkennen wir hieraus, daß H{u,v,0) eine stetige Funktion von u, v ist, und schließen wir auf die Existenz zweier positiver Größen s und S derart, daß stets (35) y Vu^ + v^ > H(u, -y, 0) ^ -^ Vu^ + v^ ist. Die Beziehungen — H{- Mg, — V^, 0) ^ iZ"(% + Wg; ^1 + ^2} 1) — S(Ui,Vi, 1) < H(U2, Vi, 0) und die erste Ungleichung in (35) zeigen uns, daß II(u, v, 1) eine stetige Funktion der Argumente w, v ist, und analog erkennen wir H{— u, — v, — 1) als stetige Funktion von u, v. Aus (36) H{u, V, 1) + H{- mW - v W - 1) ^ H{u - w W, t; - v W 0) folgt, wenn w, v 4=^^,1; ^ ist, Ä'(w,^, 1) > c^. Für das System u = u^^\ ^_^(0) geht aus ^(wW,t;(0),l) + ir(-wW_ü(0)^_l)>0 nach Regel 1. die entsprechende Ungleichung hervor, so daß allgemein für jedes mögliche System u, v stets (37) Ä(M,t;,l)>cW • gilt. Aus (36) unter Berücksichtigung der zweiten Ungleichung in (35) ergibt sich ferner, daß gewiß nur dann, wenn (38) y(M-wW)2-}_(ü_ü(0))2 < >S(fi'(MW t; W 1) + £-(_ mW _ v W _ D) gilt, der Wert H(u,v,V) sich < H(u^^\v^'^\l) erweisen kann. In dem durch diese Ungleichung (38) definierten abgeschlossenen Bereiche nun besitzt H{u,v,\) ein bestimmtes Minimum, dessen Wert c" sei und das etwa für u = m", v == v" eintrete. Für jedes beliebige System w, v gilt dann (39) E{u,v,l)>c". Aus (37) folgt für u = u", v = v" insbesondere c" > c^**). Theorie der konvexen Körper, 153 Betrachten wir femer die Funktion fi(— w, — v, — 1); diese besitzt unter anderem den Wert — c^^\ der < 0 ist. Wegen H(-u, -v,-l) + H(u^% f W 1) > H{- u + it W - V + rW 0) kann sie Werte, die < H(—u^^\ — v^^\ — l) sind, jedenfalls nur wieder in dem durch (38) definierten Bereiche von Systemen m, v annehmen. In diesem abgeschlossenen Bereiche wird sie ein bestimmtes Minimum — c' besitzen, wobei c ^ c^°) ^ 0 ist, und es sei u = u', v = v' ein solches System, für das II(— u', —v,— l) = — c ist. Für jedes mögliche System u, V gilt dann (40) E{- u,-v,-l)>- c. Wir könnten nun an Stelle des Systems u^^\ v^ oben auch das System u', v' verwenden, und genau wie c" > c^°^ vorhin finden wir dann c" > c. Ist jetzt c irgendeine Konstante > c und < c", so haben wir nach (39) und (40) II(ii,v,l)^ c und H(—u, — v, — l)^ — c und diese Konstante c entspricht daher den oben gestellten Anforde- nmgen. — Wir nehmen jetzt zweitens an, daß auch nicht durchweg II{u, v, 0) > 0 sei, wenn u,v=^0,0 sind, daß aber wenigstens stets 5'(w,0, 0)>0 für ein u 4= 0 gelte, d. h. also daß S'(1,0,0) und H{— 1,0,0) beide > 0 seien. Alsdann können wir a = 0 setzen und durch eine entsprechende Über- legung für die Funktion H(u,v,0) von zwei Argumenten, wie wir sie so- eben in bezug auf H(u, v, iv) anstellten, ermitteln wir eine Konstante h derart, daß H(ii,v,0) — bv stets >0 ist, wenn v =}= 0 ist. Damit be- kommt die letztere Differenz den Charakter, den wir vorhin für H{u,v,w) voraussetzten und wir können weiter c so wählen, daß noch (jBTCm, V, iv) — hv) — cw stets > 0 ist, wenn w; 4= 0 ist. Sind endlich auch nicht H{\, 0, 0) und J?(— 1, 0, 0) beide positiv, so können wir a so wählen, daß a < H{\, 0, 0) und > — H{— 1, 0, 0) ist. Damit wird R{u, 0, 0) — ait > 0 für jedes m 4= 0, und wir können darauf wie soeben 6 und c nacheinander so bestimmen, daß H{u, v,0) — au — bv'> 0 ist, sowie v + O ist, und endlich H(u,v,w) — au —hv — civ "> 0, sowie w =^0 ist. § 11. Ovale. Konvexe Bezirke. Eine Punktmenge, welche ganz in einer Ebene gelegen ist und welche dabei 1" mit einer beliebigen Geraden der Ebene sei es eine Strecke, sei 154 Zur Geometrie. es einen Punkt, sei es keinen Punkt gemein hat, 2^ wenigstens drei nicht in einer Geraden gelegene Punkte aufweist, soll ein Oval heißen.*) Wir können die Betrachtungen in §§ 1 — 10 über gewisse räumliche Gebilde sinngemäß auf die ebenen Ovale übertragen. Insbesondere zeigt sich (s. § 3), daß ein Oval stets ganz im Endlichen liegt, d. h. für die Koordinaten der sämtlichen Punkte in ihm obere und untere Grenzen existieren, stets abgeschlossen ist, ferner daß in der Ebene des Ovals durch jeden Punkt seiner Berandung (Begrenzung in der Mannigfaltigkeit der Ebene) wenigstens eine Gerade geht, welche nicht zu beiden Seiten von sich Punkte des Ovals liegen hat und die wir danach als eine Stütz- gerade an das Oval bezeichnen (s. § 6). Eine Punktmenge, von welcher allein die Eigenschaft 1° der kon- vexen Körper feststeht, daß sie mit einer jeden Geraden sei es eine Strecke, sei es einen Punkt, sei es keinen Punkt gemein hat, bezeichnen wir schlechthin als einen konvexen Bezirk. Ein beliebiger konvexer Bezirk bedeutet entweder einen konvexen Körper oder ein Oval in einer Ebene oder eine geradlinige Strecke oder einen einzelnen Punkt. Jene Grund- eigenschaft 1° der konvexen Bezirke ist nach § 3 gleichbedeutend mit dem Inbegrriff der drei Eigenschaften: la) die Menge enthält mit irgend zwei Punkten stets auch die ganze dieselben verbindende Strecke; Ib) die Menge ist ganz im Endlichen gelegen; Ic) die Menge ist abgeschlossen. Wir können jedem konvexen Bezirke Ä eine StützebenenfunJction H(u, V, w) zuweisen; dabei definieren wir H(u, v, w) bei beliebigen Argu- menten u, V, IV als das Maximum des Ausdrucks ux -\- vy -{- wz in der Menge der Punkte x, y, z des Bezirks ^'. Dieser Bezirk Ä ist sodann jedesmal durch die sämtlichen Ungleichungen (41) ux + vy -\- wz^ Hin, v, w) vöUig charakterisiert. Bei einem beliebigen konvexen Bereich ^ haben wir für die Stützebenenfunktion H{u, v, w) im allgemeinen die Regeln 1., 2., 3. wie in § 10 für einen konvexen Körper, nur müssen wir in der unter (33) aufgeführten Ungleichung noch das Zeichen = zulassen, wir können also nur die Bedingung (42) Hiu, V, ic) + H{- u, -V,— iv) ^ 0, auch wenn u,v,w =^0,0,0 sind, behaupten. Diese Ungleichung (42) geht daraus hervor, daß das Minimum von ux -\- vy -\- wz in ^ gleich — H{~u, — V, — iv) ist. Andererseits gilt nun der Satz: *) Diese Bezeichnung ist dem Aufsatze von Herrn Brunn „Über Ovale und Eiflächen" (Inaugural-Dissertation, München, 1887) entnommen. Theorie der konvexen Körper. 155 Eine beliebige Funktion R(u,v,tc), welche allgemein die Be- dingungen 1. H(u, V, tv) + -H"(- «, - V, - to) > 0, H(P, 0, 0) = 0, 2. II{tUj tv, Uv) = tH(ii, V, w), wenn t > 0 ist, erfüllt, ist jedesmal die Stützebenenfiinktion eines bestimmten konvexen Bezirks. In der Tat, gilt dabei in (42) stets das Zeichen >, wenn u,v,tv =^0,0,0 sind, so ist nach § 10 dann H{ii, v, tv) die Stützebenenfiinktion eines be- stimmten konvexen Körpers. Finden wir jedoch irgendein von 0, 0, 0 verschiedenes System u*, v*, iv*, wofür die Gleichung ^■(w* v% lü*) + H{— ?(*, - V*, - w;*) = 0 besteht, so zeigen die unter den Ungleichungen (41) enthaltenen zwei Bedingungen — I£{— M* — V*, — « 0, wenn u, r 4= 0, 0 sind, so zeigen entsprechende Überlegungen wie in § 10, daß der hier- durch definierte Bereich ein Oval in der Ebene s = 0 mit der Stützebenen- funktion H(u, V, tv) = Hill, V, 0) ist. Finden wir weiter noch ein System m, v =(= 0, 0, wofür die eben er- wähnte Summe = 0 ist, so erkennen wir dagegen, daß der Bereich (43) ganz in einer Geraden der a;?/- Ebene liegt. Unter Zulassung einer Ko- ordinatentransformation in der xy-Fihene nehmen wir an, es sei H(0, 1,0) = - H(0, - 1, 0) = 0. Dann folgt allgemein £"(«, v, 0) = H(u, 0, 0) und muß der durch (43) definierte Bereich in die rt-Achse fallen. Er stellt eine Strecke auf der 156 Zur Geometrie. a:- Achse vor, wenn 11(1, 0, 0) + -H'(— 1, 0, 0) > 0 ist. Wenn endlicli auch die letztere Summe =0 ist, gilt durchgehends II(u,VjW) -^ H(—u,—v, — w) = 0 und reduziert sich der Bereich (43) auf einen einzigen Punkt. Aus der Bedeutung der Stützebenenfunktion eines konvexen Bezirks entnehmen wir sofort die Tatsache: Sind Ä und Ä* ^wei Iconvexe Bezirke mit den StützehenenfunJctionen H und H*, so ist dann und nur dann ^ in Ä* enthalten, wenn für jedes Wertsystem u, v, w stets (44) H(u, V, w) ^ II*(u, V, w) gilt. Wir erwähnen hier noch eine Methode, die dazu dient, mittels mehrerer konvexer Bezirke einen bestimmten weiteren solchen Bezirk zu definieren. Sind Äj, ^2> • • '} ^m ®i^® endliche Reihe von konvexen Bezirken mit den Stützebenenfunktionen H^, H^, . . ., -ff^ und bedeutet II(u,v,w) bei beliebigen Argumenten u, v, w jedesmal das Maximum unter den Werten (45) H^{u, V, w), H^(u, V, w), . . ., H^{u, v, w), so bildet II{u, v, w) stets wieder die Stützebenenfunktion eines gewissen konvexen Bezirks. Dieser neue Bezirk, den wir mit (^1,^2,..-,^;;,) be- zeichnen wollen, enthält jeden der Bezirke ^1, ^g? • • •? ^»i ganz in sich und ist selbst stets in jedem anderen konvexen Bezirke enthalten, der ^1, ^2» • • •? ^7» sämtlich in sich aufnimmt. In der Tat, aus den Regeln 1. und 2. für die m einzelnen Funktionen Hl, H^, . . ., H^ gehen die entsprechenden Regeln für die Funktion H{u,v,w) hervor. Bedeuten ferner u^, v^, tv^ und Wg? ^2> '^2 ^^^i be- liebige Wertsysteme und ist j dann ein solcher Index aus der Reihe 1, 2, . . ., m, wobei ir^(% -f Wg? ^1 + ^2? *^i + ^2) möglichst groß ausfällt, so haben wir H{Ui + W2, Vj + v^, u\ + w^) = H^iii^ + M2, v^ + v^, w^ + w^) < Hj{ui, v^, ii\) + H^{u^^, v^, w^) < H{ui, v^, w^ + H{u^, v^, w^, also gilt auch die Regel 3. für Hill, v, w) und diese Funktion ist die Stützebenenfimktion eines bestimmten konvexen Bezirks ^. Da nun für ^ = 1, 2, . . ., in stets H(u, v, w) ^ H^{u, v, w) ist, so enthält dieser Bezirk ^ jeden der Bezirke ^,-. Ist andererseits ^* ein beliebiger kon- vexer Bezirk, der alle m Bezirke ^^ enthält, und H* die Stützebenen- funktion von Ä*, so muß bei jedem System u, v, iv stets II*{u,v,w)^H^{u,v,w) für alle Indizes i = 1, 2, . . ., m und also H*(u, v, iv) ^ H{u, v, w) gelten. Danach enthält dann ^* jedesmal den Bezirk ^ = (^j, ^2> •••> ^m)- Ein duales Analogon zu der eben dargelegten Tatsache haben wir in folgendem Satze: Theorie der konvexen Körper. 157 Sind ^1, ^, . . ., Ä^ eine Reihe von konvexen Körpern, von denen ein jeder den Nullpunkt im Inneren enthält, mit den Distanzfunktionen f\j /ä' • ■ •} fm ^^^ bedeutet f{x,y,z) für ein beliebiges System x,y,2 jedesmal das Maximum unter den m Werten so ist fix, y, z) wieder die Distanzfunktion eines bestimmten konvexen Körpers mit dem Nullpunkte im Inneren, und dieser neue konvexe Körper besteht genau aus aUen denjenigen Punkten, die aUen m Körpern ^1, Ä^, . . ., Ä^ gemeinsam sind. § 12. Die extremen Punkte eines konvexen Bezirks. Es sei U mit der Stützebenenfunktion H ein beliebiger konvexer Bezirk (also ein konvexer Körper oder ein Oval oder eine Strecke oder ein Punkt). Wir bezeichnen einen Punkt p in ^ als einen extremen Punkt von .^, wenn p auf keine Weise als inwendiger Punkt einer ganz in Ä enthaltenen Strecke erscheint, d. h. also wenn man nicht in ^ zwei ver- schiedene Punkte pi, p2 '^d dazu einen Wert ^ > 0 und < 1 finden kann, so daß p = {l—t)p^-\- tp^ gilt. Wir erkennen sofort: Ein innerer Punkt eines konvexen Körpers, ein inwendiger Punkt eines Ovals in der Ebene des Ovals, weiter ein Punkt einer Strecke, der von ihren Endpunkten verschieden ist, bildet niemals einen extremen Punkt des betreffenden konvexen Bezirks. Denken wir uns nun p als einen extremen Punkt von ß. Besitzt Ä innere Punkte, d. h. ist Ä ein konvexer Körper, so ist p jedenfalls kein innerer Punkt von Ä. Von welcher Art also auch der konvexe Bezirk ^ sein mag, so gehört p jedenfalls der Begrenzung von Ä an und können wir daher wenigstens eine Stützebene durch p an ß konstruieren. Wir bezeichnen diese Stützebene mit {^} und es sei (a, ß, y) ihre (äußere) Normale. Sodann bedeute ^ die gesamte Menge von Punkten, welche Ä in dieser Ebene { '^ } liegen hat und wozu insbesondere der Punkt p gehört. Die Eigenschaft eines konvexen Bezirks überträgt sich von ß auf diesen ebenen Bezirk %, und wird § entweder ein Oval oder eine Strecke oder einen einzelnen Punkt in der Ebene j^} bedeuten. Ist f5 ein Oval, so kann p kein inwendiger Punkt dieses Ovals sein, sondern muß notwendig seiner Beraudung angehören. Von welcher Art nun auch der Bereich % ist, so können wir daher in jedem Falle in der Ebene {^} wenigstens eine Stützgerade durch ^J an ^J konstruieren. Wir bezeichnen diese Stützgerade mit { 2 } und es sei (a', ß', y) ihre (äußere) Normale in der Ebene {^\. 158 Zur Geometrie. Weiter bedeute 2 die Menge der Punkte, welche ^ in dieser Ge- raden { 2 } liegen hat und wozu insbesondere der Punkt p gehört. Die Eigenschaft eines konvexen Bezirks überträgt sich von f^ weiter auf ß und wird daher S entweder eine Strecke oder ein Punkt sein. Im ersteren Falle muß p ein Endpunkt jener Strecke sein, im letzteren 2 sich auf p reduzieren. Es sei endlich (a", ß", y") von den beiden Richtungen in der Geraden {2} im ersteren Falle diejenige, welche vom Punkte p aus von der Strecke {2} fortführt, im zweiten Falle eine beliebige dieser zwei Richtungen. Die drei Richtungen (cc, ß, y), {a, ß', /), {cc", ß", y") stehen aufeinander senkrecht, so daß zu jedem extremen Punkte von ^ in der hier dargelegten Weise wenigstens eine orthogonale Substitution gehört. Andererseits leuchtet ein, daß zu einer jeden beliebigen linearren Substitution, insbesondere zu «iner orthogonalen Substitution (S) I = a"x + ß"y 4- y"s, rj = ax-\- ß'y + y'z, l==ax + ßy + yz stets ein bestimmter Punkt in ^ gehört, der unter allen Punkten von ^ zunächst einen möglichst großen Wert von l, nächstdem einen möglichst großen Wert von ri und nächstdem einen möglichst großen Wert von | besitzt. Dieser Punkt p ist dann jedesmal ein extremer Punkt von ^. Denn gehörte p einer Strecke p^p^ an, wobei p^ und p^ zwei von p ver- schiedene Punkte aus ^ wären, so kann zunächst t, weder für p^, noch für ^2 größer wie für p sein und müßte daher für beide Punkte denselben Wert wie für p haben, weiter müßte r] und endlich auch | für ^j und p^ denselben Wert wie für p haben, was unmöglich ist. Wir bezeichnen den in Frage kommenden Punkt p als den zur Substitution (S) gehörenden extremen Punkt von ^. Sehen wir nun zu, wie dieser zu (S) gehörende extreme Punkt von ^ sich mittels der Stützebenenfunktion H{u, v, w) des Bezirks ^ charakterisieren läßt. Indem wir uns von vornherein die orthogonale Koordinatentrans- formation (S) vorgenommen denken, können wir der Einfachheit wegen annehmen, es handle sich speziell um den extremen Punkt, der zu den ursprünglichen Koordinaten, d. h. der Substitution (46) i>=-x, r]==y, t = z gehört. Alsdann ist zunächst für (a, ß, y) die Richtung der positiven ^-Achse einzuführen und also unter {f^} die Stützebene ^ = £"(0,0,1) an ^ zu verstehen. Ermitteln wir nun den Bereich ^ der Punkte von ^ in dieser Ebene. Nach den Ausführungen in § 8 und § 11 werden in dieser Ebene zu ^ alle diejenigen Punkte x, y, z gehören, für deren Koordinaten x, y bei beliebigen Werten u, v, w stets ux -\- vy -^ H{u, V, w) — wH(p, 0, 1) Theorie der konvexen Körper. 159 gilt. Wir setzen zur Abkürzung (47) H{u, V, iv) - ivHiQ, 0, 1) = H' {u, v, m;); diese Funktion H' genügt dann ebenso wie H den Bedingungen 1., 2., 3. in § 11. Dabei wird H'{0, 0, 1) = 0, H'{0, 0, - 1) ^ 0, also aUgemein 5^(0,0,0 = 0, H\0,0,-t)^0, wenn ^ > 0 ist. Aus R'(u, V, tVo) + -£f'(0, 0, w — u-q) ^ J?'("j ^> ^) geht nunmebr, wenn w > iVq ist, stets H'{u, v, Wq) ^ B'(2i, v, w) hervor. Danach nimmt die Funktion H'iii, v, iv) mit wachsendem tv bei festen u, V niemals zu. Andererseits ist stets H'{u, V, w) + B.\- u, - V, 0) ^ H'(p, 0, w) ^ 0, H'{u, V, tv) ^ — S'{— u, — ü, 0) , so daß H\u,v,w) bei festen Werten k, v nicht unter eine bestimmte Grenze sinken kann. Mithin wird die Funktion H'(u, v, w) bei festen Werten w, V für ein unbegrenzt wachsendes tv, ohne jemals zuzunehmen, nach einer endlichen unteren Grenze konvergieren (die sie auch schon von einem endlichen Werte w an erreichen kann); diese Grenze H'(u, v, +oo) wollen wir schlechthin r.iit H'(iij v) bezeichnen. Aus den Eigenschaften der Funktion H' {ii, v, iv) gehen folgende Umstände für die Funktion H'(u,v) hervor: 1. H'(u, v) + H'(- u,—v)^ 0, ^{0, 0) = 0; 2. H'(tu, tv) = tH.'(u, v), wenn ^ > 0 ist; 3. S'(u^, i'i) + H'{u^, i'a) ^ -ff'(wi + ^<2) ^i + ^s)- Die Punkte x, y, z des Bezirks ^ sind nun völlig charakterisiert durch z = -H(0, 0, 1) und die Ungleichungen (48) iix -j- v\j < B.'{iij v) für aUe möglichen Wertsysteme n, v. Weiter ist für («', ß', y) die Richtung der positiven y- Achse ein- zuführen und unter {2} die Stützgerade y = H'[0,l) an % in der Ebene {^} zu verstehen. Durch analoge Betrachtungen, wie sie soeben angestellt wurden, erkennen wir, daß die Funktion (49) H'iu, v) - vH\0, 1) = H"(u, v) bei festem Werte u für ein unbegrenzt wachsendes v, ohne jemals zu- zunehmen, nach einer endlichen unteren Grenze H"(u, -f cx)) konvergiert, die wir einfach mit H"(ii) bezeichnen. Alsdann gilt H"(0) = 0; H"{tu) = tH"(u), wenn t > 0 ist; H'\l) + H"{- 1) ^ 0; 160 Zur Geometrie. und finden wir den Bereich 2 der Punkte von ^ in der Geraden {2} durch (50) ;^ = ir(0, 0, 1), ij = H'(p,l), -H"{-l)^x 0, wenn u, V, IV 4= 0, 0, 0 sind. Die Bedingung eines jeden den Nullpunkt im Inneren einschließenden Halbraumes können wir in die Form (55) jj; = ux -i-xy-^-wz—l^O 11* 164 Zur Geometrie. setzen, und ein solcher „Halbraum (u, v, w)" enthält den ganzen Körper ^, jedesmal dann, wenn II(u, v,w)'^l ist. Andererseits besteht der polare Körper § aus allen Punkten mit Koordinaten u, v, w, wobei H{u, v,w) <^\ ist, und entsprechen jetzt die extremen Halbräume (m, v, w) um ^ ojffenbar genau den extremen Punkten (u, v, iv) des Körpers ^. Da letztere Punkte notwendig der Begrenzung von ^ angehören, also für sie stets H{u, v,w) — 1 ist, sehen wir zunächst, daß die Bedingung eines extremen Halbraumes um Ä jedenfalls zugleich die Bedingung einer Stütz- ebene an Ä vorstellt; die bezüglichen Stützebenen bezeichnen wir als extreme Stützebenen an ^. Dem Punkte p(^o>?/oj^o) ^^^ ^^^r Begrenzung von Ä entspricht dua- listisch die Stützebene (56) XqU + y^v + ZqW — 1^0 an §. Die Menge der Punkte von § in dieser Ebene wollen wir mit ^(p) bezeichnen; jeder Stützebene durch p an ^ mit einer Bedingung UqX -\- v^y -\- WqZ — 1^0 entspricht in ®(^) ein Punkt {uq, Vq, Wq). Je nachdem nun p ein Flächen-, Kanten-, Eckpunkt von ^ ist, wird S)(p) einen einzelnen Punkt oder eine Strecke oder ein Oval vorstellen. Auf Grund der oben abgeleiteten Resultate erkennen wir nun die folgenden Umstände. Ist zunächst p ein Flächenpunkt von Ä und ^ ^ 0 die Bedingung der einzigen alsdann vorhandenen Stützebene durch p an ^, so wird der Projektionsraum ^ des Körpers U von p aus der ganze Halbraiim V^O. Ist zweitens p ein KantenpunM von ^, so gibt es zwei extreme Stütz- ebenen durch p an Ä, deren Bedingungen ^j ^ 0, ^g ^ ^ seien, und diese haben dann die Bedingung jeder anderen durch p an Ä vorhandenen Stütz- ebene in einer Form (1 — ^)^i -f ^t^2 ^ 0, 0 < ^ < 1 zur Folge. Der Projektionsraum ^ des Körpers ^ von p aus wird hier der durch die beiden Ungleichungen ^^ ^ 0, ^g ^ ^ dargestellte Keil. Wir schalten jetzt eine Bemerkung in bezug auf die ebenen Figuren ein. Wir können die hier für den Raum und konvexe Körper eingeführten Begriffe sinngemäß auf die Ebene und Ovale übertragen. Ist (S ein ebenes Oval, f ein Punkt seiner Berandung, so nennen wir f einen Linienpunlct oder einen Eclcpunlct von @, je nachdem in der Ebene von = ax + ßy -\- yz - H{a, ß,r)^0 die Bedingung der Stützebene an ^ mit der beliebigen Richtung (a, ß, y) als (äußerer) Normale. So lange d positiv ist und eine gewisse Größe {H{a, ß, y) -{- JI{ — «, — /3, — y)^ nicht erreicht, trifft die parallele Ebene il^ = — d den Körper Ä, ohne an ihn Stützebene zu sein, geht also durch innere Punkte von Ä und hat mit Ä einen ebenen Bereich gemein, der von ^ die Eigenschaft eines konvexen Bezirks übernimmt und gewiß drei nicht in gerader Linie gelegene Punkte aufweist, also ein Oval vorstellt. Es sei Q(d) das Maximum unter den Radien der ganz in diesem Oval enthaltenen Kreise. Wir bezeichnen die Stützebene ^ < 0 an Ä als eine Tangentialebene an ^, wenn der Quotient —J- für ein nach Null abnehmen- des d über jede Grenze hinauswächst. Wir können nun die folgende Tat- sache beweisen: Die extremen Stützebenen an Ä und allein diese Stützebenen sind Tan- gentialebenen an Ä. Fassen wir einen beliebigen Punkt p der Begrenzung von ^ ins Auge. Theorie der konvexen Körper. 167 Ist zunächst p ein FläcJienpunli von Ä, so ist die alsdann Torhandene einzige Stützebene durch p an Ä nach § 13 eine extreme Stützebene an Ä, und wie wir jetzt zeigen wollen, zugleich Tangentialebene an Ä in dem eben festgelegten Sinne. Bedeutet (60) die Bedingung dieser Stütz- ebene, so ist der Projektionsraum fü des Körpers ^ von p aus hier der ganze Halbraum t^ ^ 0. Die ParaUelebene z^ = — 1 f äUt daher vollständig ins Innere dieses Raumes 9i und können wir drei innere Punkte r^, r,, Tg von 91 in dieser Ebene ^ = — 1 so annehmen, daß das Dreieck (tj, hf h) ^iö^n Kreis von beliebig großem Radius Qq enthält. Alsdann können wir auf den Strecken pr^, pr,, plg irgendwelche inneren Punkte Qu q,, pg von ^ finden; ist für diese Punkte ^ = — d^, — (Lf — d^, so gehören bei jedem positiven Werte d, der < i-'i < 0 an S gebildeter Keil. Alsdann sind diese beiden extremen Stützebenen Tangentialebenen an Ä. Denn betrachten wir eine dieser Ebenen, rff^ = 0. Der Keil 91 schneidet aus der zu ihr parallelen Ebene ^1 = — 1 eine Halbebene heraus. Wir können drei innere Punkte Tj,!,, r, von 91 in dieser Halbebene so annehmen, daß das Dreieck (VifX^fX^) einen Kreis von beliebig großem Radius enthält, und die weiteren Schlüsse genau wie vorhin einrichten, um für i^^ =» 0 den Charakter einer Tangential- ebene an Ä einzusehen. — Daß die übrigen Stützebenen durch p an ^, welche mit dem Keile 9i nur die Kante ^^ = 0, Vj = 0 gemein haben, nicht Tangentialebenen an Ä vorstellen, leuchtet ebenso einfach ein. Analoge Bemerkungen wie hier zu den Flächen- imd Kantenpunkten eines konvexen Körpers können wir zu den Linien- und Eckpunkten eines ebenen Ovals machen, und wir kommen dadurch zu folgendem Satze: Es sei © ein ebenes Oval, f ein Punkt seiner Berandung, ft eine Stützgerade an @ und bezeichnen wir die Länge der zu ft parallelen Sehne von © in einem senkrechten Abstände d' von ]'t mit Q'(d'), so wächst für ein nach Null abnehmendes d' der Quotient ^-\,- über jede Grenze oder kon- 168 Zur Geometrie. vergiert nacii einer endliclien Grenze, je nachdem die Stützgerade ft an (5 eine extreme ist oder nicht. Es sei endlich p ein Eckpunkt von U. Wir bezeichnen wieder mit ?R den Projektionsraum des Körpers Ä von p aus, sodann sei (p <0 die Bedingung irgendeiner Eckstützebene durch |3 an ^ und @ (Fig. 1) das Oval, welches 9? aus der Ebene (p = — 1 ausschneidet, f ein beliebiger Punkt der Berandung von ©, endlich [t in ^ = — 1 eine extreme Stützgerade durch f an ©. Die Ebene durch p und ft ist dann eine extreme Stützebene und, wie wir nun zeigen, eine Tangentialebene an Ä. Es sei ^ < 0 die Bedingung dieser Stützebene in der Form (60). Bezeichnen wir die Länge einer zu ft parallelen Sehne von @ in einem senkrechten Abstände d' von ft (so lange es eine solche Sehne von © gibt), mit Q{d'), so wächst ^, mit nach Null abnehmen- dem d' über jede Grenze. Jene Sehne besitzt von der Ebene ^ = 0 den senkrechten Abstand sd', wenn s den Sinus des Neigungswinkels der beiden Ebenen 9) = 0 und ^ == 0 bedeutet, und wird sie daher von p aus auf die Ebene ^ = — 1 im Abstände 1 von ^ == 0 in eine Strecke von der Länge ^ ,, projiziert. Der vom Kegel $R aus t^ = — 1 heraus- geschnittene Bereich enthält danach zu ft parallele Strecken von beliebig großer Länge. Zweitens aber hat dieser Bereich die Eigenschaft, wenn r ein beliebiger Punkt darin ist, den ganzen unendlichen, von r parallel zur Richtung von p nach f verlaufenden Strahl zu enthalten, und infolge dieser beiden Umstände wird es offenbar möglich sein, in diesem Bereiche drei innere Punkte r^, Tg, tg von ^ so zu wählen, daß das Dreieck (r^, tg, Tg) einen Kreis von beliebig großem Radius enthält. Daraus geht dann wie oben hervor, daß ^ = 0 eine Tangentialebene an ^ ist. — Daß jede Eck- stützebene durch p an Ä, sowie jede Ebene durch p, welche durch einen Eckpunkt f von @ und eine Eckstützgerade ft an @ läuft, niemals eine Tangentialebene an Ä ist, erkennen wir durch ähnliche Überlegungen. § 15. Normalensektor zu eiuem Eckpunkte. Wir wollen die Kugel x^ -\- iß -\- s^ ^ 1 mit 0 als Mittelpunkt vom Radius 1 stets mit @, ihre begrenzende Fläche mit (£ bezeichnen. Es sei jetzt Ä ein beliebiger konvexer Bezirk und es sei p mit den Koordinaten Xq, y^, z^ ein Eckpunkt von Ä. Wir haben den Begriff des Eckpunktes in § 14 für konvexe Körper und für Ovale festgelegt; bei einer Strecke bezeichnen wir die Endpunkte der Strecke auch als ihre Theorie der konvexen Körper. 169 Eckpunkte und, handelt es" sich um einen Bezirk, der einen einzelnen Punkt bedeutet, diesen Punkt auch als Eckpunkt des Bezirks. In allen Fällen ist dann ein Eckpunkt p eines konvexen Bezirks ß dadurch charak- terisiert, daß durch ihn drei Stützebenen an Ä mit unabhängigen Nor- malenrichtungen gehen. Als Eckstützebeneyi durch p an S bezeichnen wir jede solche Stützebene durch p an Ä, deren Bedingung sich auf irgend- eine Weise in eine Form c^ ^^j + Cg qpj + C3 933 < 0 bringen läßt, so daß 9'i ^ ö> 9^9 ^ 0, ^'3 < 0 die Bedingungen dreier Stützebenen an S mit un- abhängigen Normalenrichtungen und c^, Cg, c^ positive Konstanten sind. Für diese Eckstützebenen ist dann auch folgende Eigenschaft charakteristisch: Ist («0, /3q, j^o) Normale einer Eckstützebene durch )3 an Ä, so ist eine jede Richtung {cc,ß,y), wobei die Beträge |a— «„1, |/3 — /3o|, | y — ^o ! unter einer gewissen positiven Größe bleiben, ebenfalls stets Normale einer Stützebene durch p an ^. Wir denken uns zu jeder Bedingung u{x — a-o) + viy — Po) + tv(ß — ^0) < 0 einer Stützebene durch p an Ä den Punkt mit den Koordinaten it, v, w bestimmt und nehmen dazu noch den Nullpunkt ?t = 0, i; = 0, « 0. Ist ^ ein Oval, so ist die Ebene des Ovals und nur diese eine Ebene Stützebene an Ä zugleich mit zwei einander entgegengesetzten (äußeren) Normalen. Alsdann enthält N(p) einen einzigen Durchmesser der Kugel @, der Punkt o ist ein Kantenpunkt von N(p) und N(p) ein Keilsektor der Kugel ®. Wenn endlich ^ eine Strecke bedeutet, so enthält N(p) gewiß zwei verschiedene Durchmesser von @, und ist o ein Flächenpunkt von N(p) und daher N(|)) eine Halbkugel von @. Die inneren Radien von N(p), d. h. diejenigen, welche von o aus ins Innere von N(p) eintreten, entsprechen den Normalen (a, ß, y) der EcJc- stützebenen durch p an ^. Da eine solche Eckstützebene von ^ überhaupt nur den einen Punkt p enthält, kann sie niemals durch einen zweiten Eckpunkt von ^ gehen. Besitzt der konvexe Bezirk ^ verschiedene Eck- punkte, so müssen danach die Normalensektoren zu diesen Eckpunkten untereinander in ihren inneren Punkten durchweg verschieden sein. Nun sind sie sämtlich Teile der Kugel ®, deren Volumen endlich = — ist. Auch in dem Falle, daß die Zahl der Eckpunkte von ^ eine unendliche ist, kann es daher unter diesen Eckpunkten jedesmal nur eine endliche Anzahl geben, bei welchen das Volumen des zugehörigen Normalensektors eine beliebig angenommene positive Größe übersteigt. Wir sind danach stets imstande, die sämtlichen Eckpunkte eines konvexen Bezirks nach dem Volumen ihrer Normalensektoren in eine abzählbare Reihe zu ordnen. Ist ^ ein konvexer Bezirk mit einer endlichen Anzahl von extremen Punkten, also ein Polyeder, Polygon, eine Strecke oder ein Punkt, so sind alle extremen Punkte von Ä zugleich Eckpunkte von Ä. Es geht daher jede Stützebene an Ä durch wenigstens einen Eckpunkt von ^, und ge- hört infolgedessen jeder Radius von ® dem Normalensektor zu wenigstens einem Eckpunkte von Ä an. Die Normalensektoren der sämtlichen Eck- punkte von ^ erfüllen dann also die ganze Kugel @ und die Summe ihrer Volumina ist genau = -r- • Theorie der konvexen Körper. 171 § 16. Normalensektor zu einem äußeren Punkte eines konvexen Körpers, Kappenkörper. Es sei jetzt ^ ein konvexer Körper und p mit den Koordinaten Xq, y^j Zq ein beliebiger Punkt außerhalb Ä. Es bedeute H{u, v, w) die Stützebenenfunktion von ^, diejenige des Punktes p ist (62) H^iu, V, w) = uXq + vyo + W2q. Bezeichnen wir das Maximum unter den zwei Werten -£r(w, v, iv) und Hq{u, V, w) jedesmal mit H*(u, v, w), so ist H*(u, v, w) nach § 11 die Stützebenenfunktion des kleinsten, den Körper ^ und den Punkt p zu- sammen enthaltenden konvexen Körpers (p, ^). Die Menge aller der- jenigen Punkte, welche dieser Körper (p, ^) außer den Punkten von Ä enthält, möge die Kappe von p an ^ heißen. Wir woUen die Punktmenge aller Strecken pf von p nach den ver- schiedenen Punkten f des Körpers Ä mit S* bezeichnen. Wir stellen nun vor allem fest, daß der Körper (p, ^) sich genau mit dieser Punktmenge Ä* deckt. In der Tat, zunächst enthält (p, Ä) als konvexer Bezirk jede von jenen Strecken p! und also die ganze Menge ^*. Diese Menge ^* aber bildet bereits für sich einen konvexen Bezirk. Sie besitzt offenbar die Eigenschaft la) eines konvexen Bezirks deshalb, weil diese Eigenschaft dem Körper ^ zukommt; zweitens ist sie wie Ä und p ganz im Endlichen gelegen. Drittens ist sie nun auch eine ab- geschlossene Punktmenge. Denn erscheint irgendein Punkt r im Baome als HäufungssteUe von unendlich vielen Punkten der Form (l — t)p-\-tt, wobei jedesmal t einen Punkt von Ä und t einen Wert ^ 0 und ^ 1 bedeutet, so können wir aus diesen Punkten eine unendliche Reihe solcher herausnehmen, die nach dem Punkte r konvergieren, d. h. deren Abstände von r nach NuU abnehmen. Da ^ ganz in einer Kugel von endlichem Radius liegt, unendlich viele Punkte ! aus Ä also stets wenigstens eine HäufungssteUe besitzen müssen, können wir dann weiter aus jener ersten Reihe von Punkten eine zweite unendliche Reihe (l-Op + f^f,, (1 - ^,)p -f ^,!„ ... aussondern, für die auch noch die darin vorkommende Punktreihe fi, f,, ... nach einem Grenzpunkte konvergiert. Da ^ eine abgeschlossene Punkt- menge vorstellt, ist dieser Grenzpunkt wieder irgendein Punkt l aus Ä, und gleichzeitig muß auch die Reihe der Werte t^, t^, ... nach einem Grenzwerte ^ ^ 0 und < 1 konvergieren, mit dem dann X = {1 — t)p -\- tf gilt. Danach liegt die Häufungsstelle r der Menge Ä* selbst auf einer Strecke von p nach einem Punkte von ^, gehört somit selbst zu ^*, d. h. eben Ä* ist eine abgeschlossene Punktmenge; Ä* besitzt also in der Tat 172 Zur Geometrie. alle Eigenschaften eines konvexen Bezirks. Da nun der Körper (p, Ä) in jedem, p und ^ enthaltenden konvexen Bezirk enthalten ist, muß da- nach umgekehrt (p, ü) in ß* enthalten sein und deckt sich also genau mit der Menge Ä* Betrachten wir weiter alle Punkte der Form p -]- t(t — p), wobei f einen Punkt von ^ und t jetzt einen beliebigen Wert ^ 0 bedeute, so ist die Menge 9? dieser Punkte ebenso wie Ä abgeschlossen und stellt den Projektionsraum des Körpers (p, Ä) von p aus vor. Durch p können wir jedenfalls eine solche Ebene legen, welche ^ nicht trifft, und diese enthält dann vom Räume 9? einzig den Punkt p, danach ist p ein Eck- punkt im Körper (p, ü). Als (äußere) Normalen der Stützebenen durch p an (p, Ä) haben wir diejenigen Richtungen (cc, ß, y), bei welchwi (63) H%a, ß, r) = ax, + ßy, + y^, = H,{a, ß, y) oder also, was damit gleichbedeutend ist, (64) H{a, ß, y) < uXq + ßy^ + yz^ gilt. Die Radien der Kugel @, die von o aus in diesen Richtungen führen, bilden den Normalensektor zur Ecke p im Körper (p, ^), den wir jetzt den Normalensektor zum äußeren Funkte p von ^ nennen und wieder mit N(p) bezeichnen. Die inneren Radien von N(p) bestimmen uns die Normalen (a, /3, y) der Eckstützebenen durch p an (p, ^); für diese Rich- tungen gilt (65) H{a, ß,y) ax, + ßy, + yz^ oder also (67) H^a,ß,y) = II(a,ß,y) ist. Die beiden Sektoren N(p) und N(p) bestimmen einander gegenseitig, indem sie zusammen die ganze Kugel ® ausfüllen, in ihren inneren Punkten durchweg verschieden sind, ihre begrenzenden Radien dagegen völlig ge- meinsam haben. Entsprechend seiner Stützebenenfunktion II*(u, v, w) hat der Körper ^* == (p, ^) jede solche Stützebene, deren Normale der Bedingung (67), also einem Radius von N(p) entspricht, mit dem Körper Ä gemein; es Theorie der konTexen Körper. 173 erfüllt also (p, ^) die Bedingungen (68) ax + ßy + yz ^ R{a, ß, y) für alle Richtungen («, ß, y), die den Radien von N(p) entsprechen. Von den bezüglichen Stützebenen (68) gehen diejenigen, welche den begrenzen- den Radien Ton N(p) entsprechen, durch den Punkt p. Da N(p) und die inneren Radien von N(p) die ganze Kugel @ zusammensetzen, besitzt der Körper (p, Ä) an weiteren Stützebenen nur die Eckstützebenen durch p, welche von diesem Körper einzig den Punkt p enthalten. Hiemach nehmen bereits die zuerst genannten Stützebenen die ganze Begrenzung von {pf ß) in sich auf, und ist daher der Körper (p, ^) durch die Ge- samtheit der Bedingungen (68), (66) schon vollkommen charakterisiert. Auf diese Weise ist durch ^ und den in der Kugel ® konstruierten Sektor N (p) bzw. den Sektor N (p) der Körper (p, Ä) und sodann der Punkt p als der einzige, nicht zu Ä gehörende Eckpunkt von (p, 9:) genau bestimmt. Es seien jetzt p und q zwei verschiedene Punkte außerhalb ß, so können wir das Verhalten der durch p und q gelegten Geraden zum Körper ^ mit Hilfe der zu p und q gehörigen Normalensektoren N(p) und N(q) in einfacher Weise beurteilen. Wir haben folgende Möglich- keiten zu erwägen: 1. Die Gerade pq treffe den Körper ß nicht auf der Strecke :pq, aber auf deren Verlängerung über q hinaus. Alsdann ist q ein Punkt der Kappe von p an ^ und daher der Körper (q, ß) ganz in (p, ^) und weiter die Kappe von q an ß ganz in der Kappe von p an ^ enthalten. Andererseits sind dann diejenigen Stützebenen an ^, welche gleichzeitig Stützebenen an (p, ^) vorstellen, notwendig auch Stützebenen an (q, Ä) und ist daher der Sektor N(p) ganz in dem Sektor N(q) enthalten, also enthält endlich der komplementäre Sektor N(p) ganz den komplementären Sektor N(q). Umgekehrt erkennen wir, daß, wenn der Sektor N (p) den Sektor N (q) enthält, notwendig für die Gerade pq der hier angenommene Fall vorliegt. Denn es ist dann andererseits der komplementäre Sektor N(p) ganz in dem komplementären Sektor N (q) enthalten, und genügt daher der Körper (q, Ä) allen den Ungleichungen (68), welche in ihrer Gesamtheit genau den Bereich des Körpers ( p, ^) charakterisieren. Mithin ist q selbst in (p, Ä) enthalten, also ein Punkt der Kappe von p an Ä. 2. Die Gerade pq treffe den Körper Ä nicht auf der Strecke pq, aber auf deren Verlängerung über p hinaus. Für diesen Fall ist charakteristisch, daß der Sektor N(p) ganz in dem Sektor N(q) enthalten ist. 3. Die Gerade pq treffe den Körper ß überhaupt nicht. Der Punkt q gehört dann weder dem Projektionsraume 9i des Körpers (p, Ä) von p 174 Zur Geometrie. aus noch dem dazu in bezug auf p symmetrischen Kegelraume an, und gibt es daher nach § 14 Ebenen durch pq, welche mit 9? nur den Punkt p gemein haben, also keinen Punkt von Ä enthalten, mithin gleichzeitig Eckstützebenen durch p an (p, Ä) und durch q an (q, Sf) sind. In diesem Falle haben daher die Normalensektoren N(p) und N(q) innere Punkte gemein, es ist aber nach dem bei 1. und 2. Ausgeführten keiner dieser Sektoren vollständig in dem anderen enthalten. 4. Endlich enthalte die Strecke p(\ selbst wenigstens einen Punkt ! von Ä. Alsdann gibt es keine Stützebene an Ä, welche p und q beide auf der entgegengesetzten Seite wie das Innere von ^ liegen hat. In diesem Falle haben daher die Normalensektoren N(p) und N(q) keinen inneren Punkt gemein, und umgekehrt erkennen wir letzteren Umstand als charakteristisch für die hier angenommene Lage der Punkte p und q zu Ä, wenn wir damit die* Ergebnisse in den zuerst untersuchten Fällen vergleichen. Ist dann p* ein Punkt der Kappe von p an ^, q* ein Punkt der Kappe von q an ^, so ist der Normalensektor N(p*) im Sektor N(p) und der Normalensektor N(q*) im Sektor N(q) enthalten und haben daher auch N(p*) und N(q*) keinen inneren Punkt gemein. Somit kann nie- mals p* mit q* identisch sein, und zudem enthält die Strecke p*q* stets wenigstens einen Punkt !* von §t und läßt sich dann in zwei Strecken p*t* und f*q* zerlegen, von denen die eine ganz dem Körper (p, Ä), die andere ganz dem Körper (q, ^) angehört. Auf Grund der letzten Bemerkung leiten wir noch folgenden Satz her: Es sei ^ ein konvexer Körper und es seien p^, p2, ... eine endliche oder unendliche Reihe von Punkten außerhalb ^ derart, daß von ihren Normalensektoren N(pi), N(p2), ... in bezug auf ^ keine zwei unterein- ander einen inneren Punkt gemein haben. Alsdann bildet die Vereinigung der sämtlichen Körper (p^, Ä), (p^, Ä), ... (d. i. also der Körper ^ unter Hinzunahme der Kappen von allen einzelnen Punkten Pi, p2> • • • an ^) stets wieder einen konvexen Körper, Wir bezeichnen den in dieser- Art gebildeten Bereich mit ^* = iPi, P2, ■ ■ ; ^). Aus der zuletzt gemachten Bemerkung erhellt, daß dieser Bereich jeden- falls die Eigenschaft la) eines konvexen Bezirks hat, mit irgend zwei Punkten p*, q* stets die ganze Strecke p*q* zu enthalten. Ist die vor- ausgesetzte Punktreihe Pi, pg? • • • eine endliche, so versteht sich ferner, daß ebenso wie jeder einzelne der Körper (p^, ^), (pg, ^), . . . auch dieser ganze Bereich eine abgeschlossene Punktmenge und ganz im Endlichen gelegen ist. In diesem Falle bedeutet dann R* einfach den kleinsten, Ä und die sämtlichen Punkte pi, pg? • • • aufnehmenden konvexen Bezirk. Theorie der konvexen Körper. 175 Stellt Ä ein Polyeder vor, so ist der soeben angenommene Fall, daß die Reihe Pi, p^, • ■ • eine endliclie ist, überhaupt allein möglich. Denn ist dann p ein Punkt außerhalb Ä, so muß es unter den Ebenen der Seitenflächen des Polyeders Ä wenigstens eine geben, welche p auf ent- gegengesetzter Seite liegen hat wie das Innere von ^. Der Radius der Kugel ® in Richtung der Normale (a, ß, y) dieser Seitenfläche tritt dann als ein innerer Radias in dem zu p gehörenden Normalensektor N(p) auf. Danach kann die vorausgesetzte Reihe von Punkten p^, p^, ... außerhalb ^ mit Normalensektoren N(pJ, ^{pi), • • ., die im Inneren durchweg ver- schieden sind, gewiß nicht mehr Punkte aufweisen, als das Polyeder ^ Seitenflächen besitzt. Es sei jetzt der konvexe Körper Ä kein Polyeder und die voraus- gesetzte Reihe der Punkte p^, p^, ... eine unendliche. Wir woUen uns der Einfachheit wegen den Nullpunkt o im Inneren von Ä gelegen denken. Ist £ eine beliebige positive Größe, so können wir dann nach § 5 zu 5^ stets ein Polyeder Q bestimmen, welches den Körper ^ enthält und selbst in (1 -f- £)Ä enthalten ist. Ist p ein Punkt außerhalb D, so ist jede Stützebene durch p an den Körper (p, £i) zugleich eine Stützebene durch p an (p, Ä) und ist daher der Normalensektor zum Eckpunkte p von (p, D) ganz im Normalensektor N(p) zum Eckpunkte p von (p, Ä) ent- halten. Haben wir verschiedene Punkte p außerhalb Q, deren Normalen- sektoren in bezug auf Ä in ihren inneren Punkten verschieden sind, so werden daher auch gewiß deren Normalensektoren in bezug auf O in ihren inneren Punkten verschieden sein. Da D ein Polyeder ist, kann es nach dem vorhin Bemerkten infolgedessen in der Reihe p^, p^, ... jedesmal nur eine endliche Anzahl von Punkten geben, die außerhalb D, und um so mehr nur eine endliche Anzahl geben, die außerhalb (1 -f- a)^ liegen. Daraus entnehmen wir weiter, daß jede irgend vorhandene Häu- fungsstelle der Reihe px> Pgj • • • notwendig ein Punkt auf der Begrenzung von 9. ist, und daß auch in diesem Falle, wo es sich um unendlich viele Punkte pj, p2, ... handelt, die Körper (p^, Ä), (p^, Ä), . . . zusammen in einer Kugel von endlichem Radius enthalten sind und ihre Vereinigung Ä* eine abgeschlossene Punktmenge vorstellt, somit in der Tat S* wieder alle Eigenschaften eines konvexen Körpers besitzt. Der Körper Ä* ist in jedem Falle vollständig charakterisiert als der kleinste konvexe Körper, der Ä und die sämtüchen Punkte p^, pg, ... aufnimmt; wir bezeichnen deshalb Ä* auch mit (pi, p2> • • -, ^) und wir wollen jeden in dieser Art aus Ä abgeleiteten konvexen Körper einen Kappetikörper von Ä nennen. Die Punkte p^^ sind sämtlich Eckpunkte in 5^, da Ä* ganz im Projektionsraume des Körpers (p^, Ä) von p^ aus liegt. Jede Stützebene an Ä* ist notwendig Stützebene an wenigstens 176 Zur Geometrie. einen der Körper (p^, ^), also entweder Stützebene an ^ oder Eckstütz- ebene an £* durch einen Eckpunkt p,^. Umgekehrt gilt folgende Tatsache: Sind für einen konvexen Körper Ä* alle Stützebenen mit Ausnahme der Eckstützebenen durch gewisse Eckpunkte p^, p^, ... zugleich Stütz- ebenen an den konvexen Körper ^, so ist Ä* ein Kappenkörper von Ä. Denn da in einem Eckpunkte p,^ von Ä* die Bedingungen der Eck- stützebenen aus den Bedingungen der anderen Stützebenen durch ^^ an ^* folgen, so erfüllt ^ jedenfalls die Bedingungen aller Stützebenen an ^* es ist also ^ in ^* enthalten und liegen p^, p^, ... außerhalb Ä. Sodann sind die Normalensektoren zu den Eckpunkten p^, p^, ... von 51* untereinander im Inneren verschieden, und gilt daher das Nämliche von den Normalen Sektoren zu Pi, p^, . ■ - in bezug auf ^, so daß wir den Kappenkörper (pi, P2, ■ ■ -7 ^) von ^ herstellen können. Jede Stützebene an ^* ist dann zugleich Stützebene an diesen Kappenkörper und ist da- her ^* mit letzterem Körper identisch. Nehmen wir für den Körper ^ speziell die Kugel ® mit 0 als Mittel- punkt vom Radius 1 und ist p ein Punkt außerhalb @, so ergänzen die Kappe von p an ® und der Normalensektor N(:p) dieser Kappe sich genau zu dem Doppelkegel, der durch Rotation eines Dreiecks otp, wobei die Länge ot=l und der Winkel otp ein rechter ist, um op entsteht. Der allgemeinste Kappenkörper der Kugel @ wird sodann erhalten, indem man auf der Oberfläche dieser Kugel eine endliche oder unendliche Reihe von Kalotten bezeichnet, von denen eine jede kleiner als eine Halbkugel ist und die untereinander in ihren inwendigen Punkten durchweg ver- schieden sind, und auf jede Kalotte den Rotationskegel aufsetzt, der die Kalotte als Basis hat und dessen Spitze in solcher Distanz von 0 liegt, daß die Strecken auf dem Mantel die Kugel berühren. in. Kapitel. Scharen konvexer Körper. § 17. Schar konvexer Bezirke. Bedeuten Pi,p2} • > -f Pm irgendwelche Punkte und sind rr,., i/,., 0^ die Werte der Koordinaten x, y, z von p^ (für ^ = 1, 2, . . ., m), sind ferner 5i,S2, ..., s^ irgend m Konstanten, so soU nach einer in § 4 getroffenen Festsetzung unter (69) P=5,P,-{-S2P2+"-+SmP« derjenige Punkt verstanden werden, dessen Koordinaten durch (70) X = ^s.a:,, y =2s,y„ z ^^s^z, (i = 1, 2, . . ., m) Theorie der konvexen Körper. 177 bestimmt sind. Die Bedeutung dieses Punktes p ist stets dann völlig unabhängig von dem zugrunde gelegten Systeme von ParaUelkoordinaten X, y, z, wenn 5^ + Sg + • • • + s^ = 1 ist, dagegen, wenn nicht die letztere Beziehung statthat, noch wesentlich abhängig von dem als Anfangspunkt der Koordinaten angenommenen Punkte 0, wie die Darstellung desselben Punktes in der Form (71) p = 5iPi + SjP2+ • • • + s„^p^+{l-s,-s, sjo zum Ausdrucke bringt. Es seien ^1,^2,-..,^«. ^^^^ endliche Reihe von konvexen Bezirken, von denen also ein jeder einen konvexen Körper oder ein ebenes Oval oder eine Strecke oder einen Punkt bedeuten kann, und (72) J3i(tt, V, w), H^iii, V, iv), . . ., JT^(w, v, tv) ihre Stützebenenfunktionen. Jede dieser Funktionen genügt den Be- dingungen 1., 2., 3. in § 11. Sind nun 5^, s^, • • •> ^m beliebige solche konstante Werte, die sämtlich ^ 0 sind, so können wir aus jenen Be- dingungen für diese einzelnen Funktionen sofort die entsprechenden Be- ziehungen für die Funktion (73) H{u, V, iv) = s^H^iii, V, iv) ^- s^H^(u, v,w) -\ h s^H^(u, v, iv) herleiten, und wird daher nach einem Satze in § 11 diese lineare Ver- bindung H= 2s fH^ jedesmal wieder die StOtzebenenfunktion eines ge- wissen konvexen Bezirks Ä vorstellen. Für diesen Bezirk ^ können wir sodann die folgende zweite Entstehungsweise aus den Bezirken ^1, ^2, . . ., ß,„ feststellen : Der konvexe Bezirk Ä mit der Stütsebenenfunktion H=2s,H, (^ = l,2,...,«0 ist identisch mit der Menge dller derjenigen Punkte p, welche sich auf irgendeine Weise in die Form P = ^5,p, (* = 1,2,...,»«) setzen lassen, so daß dabei jedesmal p^ ein Punkt aus dem konvexen Be- zirke ^j ist. In der Tat, bezeichnen wir vorläufig die Menge aller Punkte p, welche irgendwie in der eben erwähnten Form ^s^p^ darzustellen sind, mit Ä*, so leuchtet zunächst ein, daß der konvexe Bezirk '^ mit der Stützebenen- fanktion H =^s,.ff,- jedenfalls diese Punktmenge ^ ganz enthält. Denn sind M, Vj IV irgendwelche Werte, so giit für einen Punkt p^ mit den Koordinaten a\, ^J^, z^ aus it,. jedesmal (74) ux^ -f- vt/,. -f wz^ < H^ (u, V, w), Minkowski, GesAmmelte Abhandlungen. II. 1 2 178 Zur Geometrie. und infolgedessen für die Koordinaten x, y, z des Punktes p =^Sf pj zu- folge (70) und (73) dann (75) ux -{■ vy ■\- w z <^ R{u, v, tv), so daß ein beliebiger derartiger Punkt :p aus ^* notwendig stets zum Be- zirke Ä mit der Stützebenenfunktion 11=^8^11^ gehört. Ferner können wir zeigen, daß die Punktmenge ^ für sich bereits einen konvexen Bezirk vorstellt. Haben wir für zwei verschiedene Punkte p' und p" aus ^* Darstellungen (76) P' = ^5,p/, p"=^s,p," (i=l,2,...,m), wo p/ und p/' Punkte aus ^^ sind, und ist t ein Wert > 0 und < 1, so folgt (77) (1 - 0 p' + 1^" -2^io^ - ^)p/ + t^n, und ist daraus nach der Eigenschaft la) für die Bezirke ^^ sofort er- sichtlich, daß auch jeder Punkt der Strecke p'p" als Punkt der Menge Ä* auftritt, somit dieser Menge ^* ebenfalls die Eigenschaft la) eines kon- vexen Bezirks zukommt. Weiter bestehen für die Koordinaten der Punkte pj in U^ untere und obere Grenzen und erschließen wir daraus mit Rück- sicht auf (70) sogleich eine untere und obere Grenze für die Koordinaten der Punkte in ^*, so daß Ä* die Eigenschaft Ib) eines konvexen Bezirks hat. Endlich ist Ä* auch eine abgeschlossene Punktmenge. Denn ist irgendein Punkt q eine Häufungsstelle von ^*, so können wir in ß* eine unendliche Reihe von Punkten (78) |J(^), ^3(^), p(»), . . . angeben, welche nach q konvergieren, d. h. deren Abstände von q mit wachsendem Index nach Null abnehmen. Jeden dieser Punkte ^j^'') können wir auf irgendeine Art in die Form (79) pW = s, p/'^) + s,^,^^) -}-•.. + 5^p,„W setzen, so daß dabei p/'') ein Punkt aus ^^ ist. Nun können wir, da ^^ ganz im Endlichen liegt, zunächst aus der Reihe p^^^), )^.^^^\ '^^^^\ . . . eine solche unendliche Reihe pj^^' , )(r^^ , pj^' , . . • aussondern, die nach einem bestimmten Grenzpunkte konvergiert, der p^ heiße, sodann können wir, da ^2 g^^i2i im Endlichen liegt, aus der Reihe pg'''^ p''^^\ )(i^^*\ . . . eine solche unendliche Reihe pg"^ \ pg''* \ pg'"' \ • • • aussondern, die nach einem bestimmten Grenzpunkte pg konvergiert, usw. Zuletzt kommen wir dann zu einer unendlichen Reihe von Indizes Xj^"*), '>c^"'\ y-^^^\ • • . aus der Reihe 1, 2, 3, . . . derart, daß zu gleicher Zeit für jeden Index i = \, 2 , . . .,m die Reihe (80) p^ Ui"^ \^^r \--- Theorie der konvexen Körper. 179 je nach emem bestimmten Grenzpunkte p,. konvergiert. Dabei entspringt für q als Grenzpunkt der Reibe (78) notwendig die Darstellung (81) q = 5ipi + 52p2 + --- + s„p„. Nun gebort jedesmal der Grenzpunkt p^ zu Ä,. selbst, da diese Menge ab- geschlossen ist. Durcb den letzten Ausdruck erscheint daher die Häufungs- stelle q von S* selbst stets als ein Punkt dieser Menge ^*. Hiernach besitzt ^ auch die dritte, für einen konvexen Bezirk zu fordernde Eigen- schaft, abgeschlossen zu sein. Es sei jetzt jff*(w, v, w) die Stützebenenfunktion von Ä*, so gilt einerseits stets H*{ii, v, tv) ^ S{Uj v, w), weil S* in ^ enthalten ist. Wir können aber, wenn u, ü, w feste Werte sind, dazu für p- jedesmal einen solchen Punkt x^, y,-, z^ aus ü^ wählen, daß für ihn genau Ma;,.+ üy,.+ iv2.= E^{u, v, w) ist, und dann wird für die Koordinaten x, y, 2 von p =^s,-^,- genau Ma;-j- vy -{- ivz = S(u, v, w) sein. Also ist das Maximum von ux -\- vy -{• wz im Bezirke ^, nämlich H*{u, V, iv), andererseits ^ S{u, v, tv)-^ es folgt danach allgemein H*{u, 17, tc) = H{u, V, iv), ß*= ^, was zu beweisen war. Im Hinblick auf den eben bewiesenen Satz bezeichnen wir den kon- vexen Bezirk mit der Stützebenenfunktion H =^s^II- auch schlechthin durch Ä =^s. ^. . Die Gesamtheit der konvexen Bezirke ^s,. ^. für aUe möglichen Parameterwerte s^, Sg, . . ., 5,„, die sämtlich ^0 sind, nennen wir die Schar Jionvexer Bezirl-e mit deii Gi'undbezirlcen Ä^, Ä,' • • •> ^m- Diejenigen Bezirke der Schar, welche mit lauter Parameterwerten s^, 5,, . . ., 5^, die > 0 sind, konstruiert werden, sollen inicendige Bezirke der Schar, die anderen Bezirke, für welche ein Teil der Parameter s^,s^,...,s^ oder diese sämtlich = 0 sind, Bandbezirke der Schar heißen. Es ist dabei nicht ausgeschlossen, daß ein und derselbe konvexe Bezirk in der Schar mittels verschiedener Wertsysteme der Parameter und insbesondere sowohl als ein inwendiger wie als ein Randbezirk auftritt. Sind Äj, Sjj • • •> ^m speziell m ebene Bezirke (Ovale, Strecken, Punkte) in m parallelen Ebenen, welche die Richtung (a, ß, y) als gemeinsame Normale haben, so gilt bei jedem Index i= 1,2, . . .,m stets E.^{a, ß, y) -{- S.(— a, — ß, — y) = 0 und daher auch für jeden Bezirk Ä— ^s^ß; stets H{a, ß, y) -f II(— a, — ß, — y) = 0. Es ist dann also jeder einzelne Bezirk der betreffenden, aus ^j, ß^, . . ., Ä,„ entspringenden Schar ganz in einer Ebene mit der Normale (cc, ß, y) gelegen. Gibt es keine Richtung (a, ß, y), wofür alle m Gleichungen (82) H,{u,ß,y) + H,{-a,-ß,-y)^0 (» = 1, 2,. .., n») 12* 180 Zur Geometrie. auf einmal gelten, sind also Äj^, ^2? • • •> ^m nicht m ebene Bezirke in m parallelen Ebenen, so wird für einen inwendigen Bezirk Ä der aus ihnen entspringenden Schar notwendig bei jeder beliebigen Richtung (a, ß, y) immer (83) Ä(«, ß, y) + ^(- a,-ß,-y)>0 sein. In diesem Falle sind daher die inwendigen Bezirke der Schar durchweg konvexe Körper und soll die Schar als Schar konvexer Körper bezeichnet werden; dabei wird zugelassen, daß als Randbezirke der Schar auch Ovale, Strecken, Punkte auftreten. § 18. Die Begrenzungen in den Bezirken einer Schar. Für die soeben festgestellte Bildungsweise der Bezirke in einer Schar aus den Grundbezirken geben wir jetzt noch eine zweite Ableitung, durch welche wir zugleich wichtige Aufschlüsse über die Begrenzung eines be- liebigen Bezirks der Schar erhalten. Es seien ^j, ßgj • • •> ^m irgend m konvexe Bezirke mit den Stütz- ebenenfunktionen H^, H^, . . ., H^ und ^ der Bezirk mit der Stützebenen- funktion H ==^s^Hf (^ == 1, 2, . . ., m), wobei wir jetzt die Werte Sj , Sg,. . ., 5„, sämtlich > 0 voraussetzen. Betrachten wir einen beliebigen extremen Punkt p von ^; es sei ä: I = a"x + ß"y -{■ y"z, 7i = ax + ß'y + y'z, l = ax -\- ßy -{- y z eine orthogonale Substitution, zu der dieser extreme Punkt von Ä gehört. Wir bezeichnen wie in § 12 mit {§} die Stützebene an ^ mit der Nor- male (a, /3, y), mit ^ die Menge der Punkte von U in dieser Ebene, weiter in der Ebene { % ] mit { 2 } die Stützgerade an ^ mit der Normale («', ß', y'), mit S die Menge der Punkte von ^ in dieser Geraden. Der Punkt p ist dann endlich derjenige Punkt von S, von dem aus in der Richtung (a", /3", /') kein weiterer Punkt von 2 liegt. In analoger Weise wie die Bereiche {%}, ^, {£}, S, p für ^ mögen in bezug auf genau dieselbe orthogonale Substitution S für jeden Bezirk ^i(i = 1,2, . . ., m) die Bereiche [^j], i5j> {^il? S,-? P,- definiert sein, so daß also insbesondere pi der zu S gehörende extreme Punkt von Ä^ wird. Fragen wir nun, wie für den Punkt p eine Darstellung (84) P = Siqi + «2^2 + • • • + s^^^ möglich ist, wobei q^. jedesmal ein Punkt aus ^^ sein soU. Indem wir eine orthogonale Koordinatentransformation zulassen, können wir ohne Beeinträchtigung der Allgemeinheit annehmen, die Richtungen (a", ß" , y"), (cc, ß', y), (cc, ß, y) seien die der positiven O), y, ^- Achse. Die Ebene { f^ } , welche p enthält, ist dann durch Z'=H(0, 0, 1) Theorie der konvexen Körper. 181 bestimmt; für einen Punkt q,.(a;,., y.., z,) aus Ä,. gilt jedenfalls ;sr.^ J3,.(0,0, 1). Nun haben wir insbesondere (85) H(0, 0, 1) = s,H,{0, 0, 1) + s,E,(p, 0, 1) + ■ • • + s^H^{0, 0, 1). Eine Relation, wie wir sie in (84) fordern, kann danach gewiß nur in der Weise statthaben, daß dabei für jeden Punkt q^ stets ;?,== H.{0, 0, 1) ist, d. h. daß q,. in der Ebene { ^, } , als Punkt von Ä,- also in %. liegt. Nach § 12 besitzt die Funktion E{u,v,tc) — wH{0,0, 1) und ent- sprechend besitzen die Ausdrücke £,(«, v, tv) — icR-iO, 0, 1) bei fest- gehaltenen Werten u, v für ein unbegrenzt wachsendes w jedesmal einen bestimmten Grenzwert: wir bezeichnen diese Grenzwerte mit H'iii, v), Hf'(u, v). Aus Hill, V, tu) = ^SiH.(i(, v, tv) und der daraus entnommenen speziellen Gleichung (85) folgt dann S'(u, v) = ^SiH/(u, v). Die Gerade { 2 } der Ebene { 5} wird durch y = S'{0, 1) bestimmt und hat daher für p weiter dieser Wert von y statt. Für einen Punkt q^ aus x^f gilt jedenfalls y^ ^ -0/(0, 1). Nun ist insbesondere (86) H'(p, 1) = s,E'{0, 1) + s,H\0, 1) + • • • + s^H^'iO, 1). Danach kann eine Relation, wie wir sie in (84) fordern, jedenfalls nur so statthaben, daß dabei für q,. jedesmal y^ = S^'iOf 1) ist, d. h. daß q,. auf der Geraden { 2^ } , also als Punkt von j^^ notwendig in 2^ liegt. Weiter besitzen nach § 12 die Ausdrücke 3'(u, v) — vH'(0, 1), Hl{u, v) — vH[(0, 1) bei festem u für ein unbegrenzt wachsendes v be- stimmte Grenzwerte, die wir H"(u), Hl'{u) nennen wollen. Aus B.'(ti, v) = ^SfEf(u, v) und der daraus abgeleiteten speziellen Gleichung (86) folgt dann H"(u) =^s,H;\u). Für den Punkt p in 2 ist nun endlich x = H"(V). Für einen Punkt q,- aus 2,- gilt jedenfalls x^^ H"{V). Nun haben wir insbesondere (87) ^"(1) = s,H-{l) + s,H^'{\) -F . . . -f s„^HJ\l). Danach kann endlich die Relation (84) nur noch so statthaben, daß dabei für q,. jedesmal a:,= S/'(lj ist, d.h. daß q,. mit dem zur Substitution S gehörenden extremen Punkte p,. von Ä,. identisch wird. Mit den Punkten q,. = pj aber besteht nach den Gleichungen (85), (86), (87) in der Tat die Formel (84). Auf diese Weise sind wir zu dem folgenden Resultate gekommen: Ein beliebiger extremer Punkt p des Bezirks Ä mit der Stützebenen- funktion H = ^SfHf, wobei die Werte s,. sämtlich > 0 sind, läßt sich stets auf eine und nur eine Weise in die Form p = ^g.p,- setzen, so daß dabei jedesmal p, ein Punkt von Ä,. ist. Gehört p als extremer Punkt von Ä insbesondere zu einer orthogonalen Substitution S, so muß dabei p^ der zu derselben Substitution S gehörende extreme Punkt von Ä^ werden. Wir sahen bereits in § 17 ((76) und (77)), daß, wenn für zwei Punkte 182 Zur Geometrie, p und p* Darstellungen der hier verlangten Form (84) bestehen, daraus sogleich entsprechende Darstellungen für jeden Punkt der p und p* ver- bindenden Strecke folgen. Von dem soeben abgeleiteten Satze aus ge- langen wir, auf diese Bemerkung gestützt, nacheinander zu den weiteren Beziehungen: (88) 2 =3,-2,, % -2s,%n ^ =2sß, (^• = 1,2,..., m), deren Sinn sein soU, daß für jeden beliebigen Punkt q aus 2, bzw. aus '^, bzw. aus ^ stets eine Darstellung q =^Si(\i möglich ist, so daß dabei q,. jedesmal einen Punkt aus 2^, bzw. aus ^,., bzw. aus ^. bedeutet. Sind die Grundbezirke ^^, ^^y • • -^^m speziell Wi Punkte, oder sind sie ganz in m parallelen Geraden oder sind sie ganz in m parallelen Ebenen gelegen, so ist jeder Bezirk ^ der aus ihnen entspringenden Schar ein Punkt, oder in einer zu den m Geraden parallelen Geraden oder in einer zu den m Ebenen parallelen Ebene gelegen. § 19. Polyeders charen. Wir woUen jetzt die Annahme verfolgen, daß ^i, ^g? • • •» '^m speziell lauter konvexe Bezirke je mit einer endlichen Anzahl von extremen Punkten, also Polyeder, Polygone, Strecken, Punkte seien. Alsdann gilt der Satz: Jeder beliebige Bezirk ^ = ^5,-^f der Schar mit den Grundbezirken ^,. weist notwendig nur eine endliche Anzahl von extremen Punkten auf, kann also gleichfalls nur ein Polyeder, Polygon, eine Strecke oder ein Punkt sein. Dieser Satz ist unmittelbar daraus einleuchtend, daß jeder extreme Punkt von ^ nach § 18 in der Form ^s^p. auftreten muß, wobei p. jedesmal einen extremen Punkt von ^^ vorstellt. Wir können weiter feststellen: AUe inwendigen Bezirke der Schar besitzen untereinander die gleiche Anzahl von Ecken mit den gleichen zugehörigen Normalensektoren in der Kugel (3{x'-{-y'i-z^ 0 voraus. Es sei p eine beliebige Ecke, also ein extremer Punkt von Ä, so ist die Relation p = ^s^p^ mit Punkten p^ aus den Be- zirken Ä,- nach § 18 auf eine einzige Weise herzustellen, wobei dann jedesmal p^ wieder einen extremen Punkt, also unter den gegenwärtigen Umständen eine gewisse Ecke von ^^ bedeutet. Ist dann (a, ß, y) Nor- male einer Stützebene durch p an Ä, so muß die Stützebene an Ä,. mit dieser Normale {a, ß,y) jedesmal durch den Punkt p^ gehen. Bezeichnen wir mit N(:p) den (in der Kugel (55 konstruierten) Normalensektor der Theorie der konvexen Körper. . 183 Ecke p von Ä, mit N,.(p,) den Normalensektor der Ecke p,. von ^., so muß danach der ganze Sektor N(p) stets in jedem einzelnen Sektor N,.())^) enthalten sein, es müssen somit die hier miteinander in Verbindung tretenden Ecken p^ von ^^, p^ von Ä^, . • •, pj^ ^on Ä^ jedenfalls derart beschaffen sein, daß ihre zugehörigen Normalensektoren Ni(pj), N2(p2)> • • •; '^m(Pjn) gewisse innere Punkte alle gemeinsam haben. Umgekehrt bedeute p,. für « = 1, 2, . . . , 7n jedesmal eine Ecke von Äf und es mögen dabei die »w zugehörigen Normalensektoren N,.(p,-) sämt- lich gewisse innere Punkte gemeinsam haben. Alsdann ist das ihnen allen gemeinsame Gebiet (s. den Schluß von § 11) wieder ein gewisser konvexer Körper N, der ebenfalls aus lauter Radien der Kugel & von o aus bestehen wird. Ist (a, ß, y) die Richtung irgendeines solchen Radius von N, der von 0 aas ins Innere von N und also damit zugleich ins Innere eines jeden der Sektoren N,.(pj) eintritt, so ist die Stützebene an Ä^ mit der Normale (cc, ß, y) jedesmal eine Eckstützebene durch p^ an ^,., enthält also von Ä,. aUein den Punkt p,.. Die Stützebene mit der Nor- male (cc,ß,y) an Ä kann alsdann von Ä allein den Punkt p = ^s-p^ enthalten; also ist dieser Punkt p notwendig ein extremer Punkt, somit eine Ecke von Ä und N stellt den Normalensektor dieser Ecke p von Ä vor. Wir bemerken nun noch, daß nach dem Satze am Schlüsse von § 15 die Normalensektoren zu den sämtlichen Ecken des Bezirks Ä oder eines der Bezirke ^^ jedesmal die Kugel @ vollständig erfüllen müssen, und können alsdann die Normalensektoren der sämtlichen Ecken von ß offen- bar in folgender Weise aus den Grundbezirken Äj ermitteln. Es möge Pf nacheinander die sämtlichen Ecken von Ä,- durchlaufen. Die zugehörigen Normalensektoren N,(p,.) erfüllen jedesmal zusammengenommen die ganze Kugel @, und erscheint danach die Kugel ÖJ, den Werten / = 1, 2, . . ., t)i entsprechend, auf m Weisen in Sektoren zerlegt. Jeder solche Radius von ©, welcher bei keiner einzigen dieser m Zerlegungen als begrenzender Radius eines Sektors N,.(p,) auftritt, ist dann ein innerer Radius eines ganz bestimmten Sektors Nj(pj), eines ganz bestimmten Sektors N2(p2)> ..., eines ganz bestimmten Sektors N^(p^\ so daß die betreffenden m Sektoren dann notwendig gewisse innere Punkte gemein haben. Da- nach erhalten wir genau die Zerschneidung der Kugel & in die gesuchten Normalensektoren N(p) der sämtlichen Ecken p des Bezirks Ä, indem wir alle Begrenzungen, welche bei jenen m einzelnen Zerlegungen von QJ auftreten, gleichzeitig zu einer einzigen Zerlegung der Kugel & verwenden. Diese Sektoren N(p) fallen auf diese Weise in der Tat identisch aus für alle inwendigen Bezirke Ä der Schar. Wenn ^1,^3,...,^^ nicht m ebene Bezirke (Polygone, Strecken, 184 Zur Geometrie. Punkte) in m parallelen Ebenen sind, ist jeder inwendige Bezirk ^ der aus ihnen entspringenden Schar ein Polyeder und wollen wir von der Schar als einer FolyederscJiar sprechen. Die Randbezirke der Schar, spe- ziell die Grundbezirke selbst, können dabei auch Polygone, Strecken, Punkte sein; sie lassen sich dann in der Regel als Grenzfälle der inwen- digen Bezirke auffassen. Wir setzen jetzt die Schar der Bezirke ^=^Si^.{s.'^0,i=l,2,...,m) als Polyederschar voraus. Aus dem zuletzt bewiesenen Satze können wir dann weiter ableiten, daß die inwendigen Polyeder der Schar auch in bezug auf die Normalen und Anordnungen der Seitenflächen und Kanten sämtlich übereinstimmen. In der Tat, betrachten wir einen beliebigen inwendigen Bezirk Ä der Schar. Es sei Ä ein Polyeder mit v Seitenflächen, die wir in irgend- einer Weise numeriert g(^), g(^), . . . , g^") nennen. Es sei («(*), ß'^^\ y(*)) die Normale von ^(*) für r = 1, 2, . . ., v. Sodann sei ^(*) ein Polygon mit fi^ Seiten, die wir in irgendeiner Weise numeriert mit 2^*^\ £(*'\ ...,£(*^*) bezeichnen. Es sei [a^^»)^ ßi^"\ y(^'')) die Normale der Seite £(«ö) ijj g(«) ffjj. a = 1^2, ..., [i^. Endlich bezeichnen wir die Endpunkte der Strecke ß(*'^) mit p^^"^^ und p^^''^\ und es sei (a(*'^?), ß^'"'(!\ y(*^e)) für Q = 1,2 diejenige Richtung in dieser Strecke, welche von :p(*''?) aus ihr herausführt. Wir setzen ferner jedesmal (89) if'"') = «(^'^^a; + ß^^^^y + 7^^"^^, und bezeichnen die durch diese drei Gleichungen bestimmte orthogonale Substitution mit S^^^^l Die Punkte :p(*''f) werden die Ecken von ^. Eine jede Ecke p^*«'?) gehört in ^(*) außer der "Kante 2^* "^ stets noch einer zweiten Kante S(*<^') zu und gibt es also unter jenen Indexsystemen zu dem Systeme r, 6, q stets ein bestimmtes zweites System t, ö', p' () Yon Ä. Alsdann muß der Projektionsraum des Polyeders ^ von p^*''?) aus durch die Translation von ^(*''?) nach p* unmittelbar in den Projektionsraum des Polyeders Ä* von p* aus übergehen. Danach muß Ä* eine Seitenfläche 5* mit der Normale {cii,^^\ ß^^\ y^^^) und in dieser eine Kante 2* mit der Normale (a^'^"\ ß^'"'\ y^**^)) und dabei endlich p* als einen solchen Endpunkt von 2* besitzen, daß in der Richtung («('"^^ ß{^o(i)^ yi^^QY^ von p* kein weiterer Punkt von S* liegt; ferner muß in p* eine zweite Kante von %* mit der Normale {a^^"'\ /S^'"'), y^**^)) enden und muß 2* einer zweiten Seitenfläche von Ä* mit der Normale (cc^^"\ ß^^'\ y^'^"'>) zugehören. Da in derselben Weise die bei Ä* vorkommenden Normalen der Seitenflächen und Kanten sich auch sämtlich bei Ä vorfinden müssen, erkennen wir, daß die mit Hilfe irgendeines inwendigen Polyeders Ä der Schar eingeführten Zahlen v, }i^, fi^, . . ., ft^, Richtungen «(*), /3W, yW; «(*"), ß('"'\ j/('°); a^^"9\ ß.^'^Q) yi*oQ) (r=l,2,...,r;}, sodann in dieser Ebene {i5,.W} unter {£/*")} die Stütz- gerade an g/') mit der Normale («(*">, /S^*"), y^"^), unter S/'") die Menge der Punkte von fj/*) in (2/*")}, endlich unter p/"'?) denjenigen Punkt in 2/^°), von dem aus in der Richtung («('"^^ ß^*"^\ yC'^"?)) kein weiterer 186 2ur Geometrie. Punkt von S/*'') liegt. Alsdann gelten für einen beliebigen inwendigen Bezirk ^ =^s^^. der Schar nach § 18 stets die Beziehungen: (90) i^^'^=^s,%,^'\ 2(*")=3,2(*''), p("^?)=^s.p.(^''?). Nun soU für Ä jeder Bereich ^^^^ (r = 1, 2, . . ., v) wirklich ein Po- lygon sein und können nach der ersten Relation hier daher nicht t5i^*^> %s^^\ . . . , i5i*^ lauter Strecken oder Punkte in m parallelen Geraden vor- stellen, wir müssen also unter diesen tn Bereichen entweder wenigstens ein Polygon oder wenigstens zwei einander nicht parallele Strecken vor- finden. Die sämtlichen Richtungen (a^'^), /3W, y(*)), die als äußere Normalen von Seitenflächen in ^ auftreten, entstehen danach auf zweierlei Arten: Erstens haben wir darunter jede Richtung, welche bei irgendeinem der Grundbezirke ^^ als äußere Normale einer Seitenfläche vorkommt. So oft wir zweitens bei irgend zweien der Grundbezirke ^,-, ^'^(«+j) zwei nicht parallele Kanten 2,-, 2^ vorfinden, derart, daß die Ebene durch 2^ parallel zu 2^- Stützebene an ^^ und die Ebene durch 2^ parallel zu 2^ Stütz- ebene an ^j ist, und zwar diese beiden Stützebenen als solche mit gleicher (nicht mit entgegengesetzter) Normale auftreten, kommt die betreffende Normale stets ebenfalls unter den Richtungen {a^''\ ß^'^\ y^^^) vor. Hierbei haben wir in bezug auf diejenigen Bezirke ^,., welche Poly- gone oder Strecken bedeuten, noch folgendes zu beachten. Bei einem Polygon ist die Ebene des Polygons gleichzeitig Stützebene an dasselbe mit zwei einander entgegengesetzten Normalen xmd haben wir den Bereich des Polygons wie zwei Seitenflächen für das Polygon mit den betreffen- den zwei Normalen aufzufassen, ferner die Seiten des Polygons als Kanten dieser Seitenflächen in Betracht zu ziehen. Bei einem Bezirk, der eine Strecke bedeutet, haben wir eine Kante eben in der Strecke selbst in Be- tracht zu ziehen. Jeder Bereich 2^*'^) für das Polyeder Ä soU wirklich eine Strecke sein, und muß wegen der zweiten Gleichung in (90) dann unter den m Be- reichen üj^^"\ ^2^'^"\ • ' '} ^m°^ jedesmal wenigstens eine Strecke vorhanden sein. Danach haben wir unter den Richtungen (a^^"\ ß^^''\ j/(*'')) zu einem bestimmten Index r eine jede solche, in ^(^) = 0 vorkommende Richtung, welche als äußere Normale einer Kante bei einem Bereiche ^5/*) in einer Ebene {ff/*^} auftritt, und nur diese Richtungen. § 20. Yolumen und Schwerpunkt in einer Polyederschar. Betrachten wir wieder eine Polyederschar mit m Grundbezirken ^1, ^27 • • •> ^m- ^^i^ suchen jetzt das Volumen und femer die Koordi- naten des Schwerpunkts für einen beliebigen Bezirk ^ = ^g,.^,- der Schar als Funktion der Parameter s, darzustellen. Zu dem Ende werden wir Theorie der konvexen Körper. 187 zunächst zeigen, wie ein solcher Bereich ^ sich in gewisser Weise aus lauter Tetraedern aufbaut. Wir halten an allen im vorigen Paragraphen eingeführten Bezeich- nungen fest, und wir wollen uns zunächst die s,- sämtlich > 0, also Ä als inwendigen Bezirk der Schar denken. Wir nehmen einen Punkt ! im Räume beliebig slu, es seien a, b, c die Koordinaten von f und wir fällen von f Lote auf die Ebenen {^^^^M der einzelnen Seitenflächen f^'^''^ von ^ (für T = Ij 2, . . ., v). Wir bezeichnen mit (7^*^ die Länge des Lotes von ! auf die Ebene {^^'^^l '^^^ zwar noch mit negativem Vorzeichen versehen, falls diese Ebene den Punkt f und das Innere von ^ auf verschiedenen Seiten von sich liegen hat, so daß also in jedem Falle C^^^ das Maximum von a^'^\x — a) -f ß'-^Kv — &) + 'y^''\z — c) für die Punkte x, y, z in §: be- deutet. Wir wollen bei einer beliebigen reellen Größe C unter sgnC das Vorzeichen + 1 von G verstehen, wenn C =»= 0 ist, oder den Wert Null, wenn C = 0 ist. Das ganze Polyeder 9. setzt sich nun in gewisser Weise mit Hilfe der einzelnen Pyramiden 1%^'^'' zusammen, welche t als Spitze und die einzelnen Flächen ^'^^ als Grundflächen haben. Liegt ! im Inneren von Ä, so sind aUe Größen 0^^^ > 0 und überdecken jene Pyramiden zu- sammen genau den Bereich von ^, wobei sie untereinander nur in den Begrenzungen gemeinsame Punkte haben. Entsprechendes gilt, wenn l auf der Begrenzung von Ä liegt, nur daß alsdann eine oder mehi-ere Größen C^*^ gleich Null sind. Liegt ! außerhalb S, so überdecken diejenigen jener Pyra- miden l%^'^\ welche Werten C^ > 0 entsprechen, das kleinste, ! und ß zugleich enthaltende Polyeder (f, Ä) (s. § 16), während sie untereinander nur in den Begrenzungen gemeinsame Punkte haben, und andererseits bilden diejenigen Pyramiden !^^*\ welche Werten C^'^ < 0 entsprechen, (wenn wir die Punkte aus den Flächen %^''^ selbst fortlassen), genau die Kappe von f an S, wobei diese Pyramiden ebenfalls nur in den Be- grenzungen zusammenstoßen. So oft endlich eine Größe C^*^ = 0 ist, redu- ziert sich die betreffende Pyi-amide f^^*^ auf eine Polygonfläche, erlangt also ein Volumen = 0. Wir können hiernach in jedem Falle für den Bereich des Polyeders S eine Relation (91) ^ [^] = 3gnC^^)-[ff5W] (r = l,2,...,iO in folgendem Sinne behaupten: Bringen wir jeden Punkt des Raumes, der irgendwie in die Bereiche 1%'^''^ zu liegen kommt, bei jedem Bereich f^^^'^ dem er angehört, mit dem Gewicht sgn C^''^ in Rechnung, so resultiert hieraus (von den Punkten in einer endlichen Anzahl von Polygonflächen abgesehen) für jeden Punkt in Ä ein Gesamtgewicht = 1, für jeden Punkt außerhalb ^ ein Gesamtgewicht = 0. Betrachten wir nun irgendeine Funktion O der Koordinaten x, y, z und bezeichnen den Wert des Raum- 188 Zur Geometrie. mtegralsjjjdxdydi3 über einen Raum fR, (wenn diesem Integrale eine Bedeutung zukommt), mit Ji'Si), so besteht alsdann zwischen den Werten J(^) und J(!^(*^) für das Polyeder Ä und für die einzelnen Pyramiden f^^*) notwendig der folgende Zusammenhang: (92) J(t) = 3gn CW- J^(!gW) (r= l,2,...,r). Wir nehmen weiter in einer jeden Ebene { ^(*) } einen Punkt f(*) beliebig an und fällen von ihm die Lote auf aUe Geraden {S^*'')} der Kanten S^*"^ von g(*) (für 6 = 1,2, . . ., ,uj. Es sei B^^"^ die Länge des Lotes von f*> auf {ß^*"^)} und zwar noch mit negativem Vorzeichen versehen, wenn diese Gerade den Punkt f(*) und das Inwendige von ^(^^ auf verschiedenen Seiten von sich liegen hat. Alsdann setzt sich das Polygon ^(*) aus den einzelnen Dreiecken fW2(*^) mit f^'^) als Spitze und den Kanten £(*") als Grundlinien dergestalt additiv und subtraktiv zusammen, daß wir für die Bereiche dieser ebenen Flächen die Relation (93) [gW] =^sgn J5(--) . [fW£(--)] ((? = 1, 2, . . ., ^J in einem ganz entsprechenden Sinne hinschreiben können, wie vorhin die Formel (91) aufgestellt wurde. Dieser Zusammensetzung des Polygons ^'^^^ entspricht dann ein gewisser Aufbau der Pyramide f^(*) aus den einzelnen Tetraedern ffWßC*'') mit t als Spitze und den Dreiecken f (*)£(*«') als Grund- flächen, und können wir dadurch die Formel (92) weiter zu der Gleichung (94) /(Ä) =^sgn (B(*-)C(*)) . J(!fW2(*'')) C Z ^\' ' ^ ) entwickeln. Endlich nehmen wir noch in jeder Geraden {£(*'')} einen Punkt I^*''^ beliebig an; dabei treffen wir die Bestimmung, daß bei je zwei Index- systemen t<} und r"ö", wofür gemäß § 19 sich ÖC«"«^") = £(*") erweist, stets auch !(*"''") mit V-'^"^ identisch gewählt werde. Es sei sodann A^'^"^'^ die Länge der Entfernung von V-^"^ nach der Ecke p(*'^C') von £(*") (für q = 1,2) und zwar noch mit negativem Vorzeichen versehen, wenn I^*'^^ auf ent- gegengesetzter Seite der Ecke p^**^?) liegt als der zweite Endpunkt der Strecke 2^^"\ Die Strecke £(^'^) setzt sich aus den zwei Stücken I(*'^)p(«''?) (^ = 1,2) dergestalt zusammen, daß wir für diese in der Geraden {S*"} gelegenen Bereiche die Relation (95) [S(^")] = ^sgn ^(^''P) . [l(*<')p(^'^?)] (? = 1, 2) in einem entsprechenden Sinne haben, wie die Formel (93) einen Zu- sammenhang zwischen ebenen Bereichen darstellte. Aus dieser Zerlegung (95) folgt eine entsprechende Zerlegung des Dreiecks p) £(*'') in zwei Dreiecke fWI(*'^)p(*'^?), und resultiert daraus weiter ein Aufbau von ^(*) aus den Dreiecken fWI(*'')p(*'^^): I Theorie der konvexen Körper. 189 (96) [f5«] =^sgn (^('-?> JB(-)) . [p)I("')),(''^?)] {^^^'_[' '2 '*') ' und schließlich folgt ein Aufbau des Polyeders ß aus den Tetraedern (97) [ß]=^sgn(^("^?)5("^)0W).[!pi(*'^)))('''?)] ö = l,2,...,fij. V 9 = 1,2 ; Diese letzte Zerlegung von ß liefert uns endlich für das Integral J'(Ä) die Beziehung (98) J{9.) = ^sgn (XC'^?)^^*'')^')) • ^(ff<')((*'')p("^?)). Wir woUen das Volumen von Ä mit F, den Flächeninhalt von f^''^ mit i^(*\ die Länge von S^*'^) mit U^^") bezeichnen. Die Länge der Strecke j{rff)p(tap) jg^ (jgj. Betrag von A''""^'', der Flächeninhalt des Dreiecks |(«)t(*<')p(«ff?) das Produkt dieser Länge in den Betrag von —B^*''\ das Vo- lumen des Tetraeders !f'')I("^)|)(**'?^ das Produkt dieses Flächeninhalts in den Betrag von — C^^K Danach entsteht aus (98), wenn wir 0=1 nehmen, insbesondere (99) F = -i- V^(*'^?)J5("')CW r,a,Q während wir aus (96) und (95) analog erhalten: CT, o Wir nehmen zweitens 0 = a; an und wir wollen das Litegral JJj xdxdijdz über das Polyeder Ä durch 3: bezeichnen. Nennen wir die ic -Koordinate für f, f(*),I(*"), p(*<^?) bzw. o, o^, a^*«^), a("^e), so ist der Wert des entsprechenden Raumintegrals über den Bereich des Tetraeders f|(*)I(* • • •> ^m brauchen nicht verschieden zu sein; wir können in dieser Reihe auch einen und den- selben Bezirk mehrfach aufnehmen, wodurch nur die Bedeutung der Parameter 5^, s^, . . ., s^ etwas modifiziei-t wird, ohne daß die Schar ^s^^f in ihrer Gesamtheit sich verändert. Es wird deshalb genügen, die Bildungen F^l\ V^^^ mit verschiedenen Indizes zu betrachten, wobei wir uns bei dem ersten Ausdrucke m^2, bei dem zweiten m ^ 3 denken. Wir werden nun vor allem den Satz beweisen: Der Wert des Ausdrticks F^^ ändert sich nicht, wenn man darin die Indizes 1 und 2 vertauscht; der Ausdruck Fj^s behält hei jeder Permutation der Indizes 1, 2, 3 seinen Wert bei. Danach wird dann der Koeffizient von s^s^ im Ausdrucke (105) von F^^^ genau = ^F[l^, der Koeffizient von s^s^s^ im Ausdrucke (107) von V genau =6Fj23 imd werden infolgedessen die Werte von F^^ und Fjgs ganz unabhängig von der Wahl der Hilfspunkte f^, f/^^, 1/*'^^ sein. Um jenen Satz zu beweisen, bemerken wir zunächst die Möglichkeit, diese Hilfspunkte so einzurichten, daß die folgenden Umstände zu- treffen: I. Während über f^ irgendwie verfügt sei, soU f/'^ speziell den Fuß- punkt des von !,. auf die Ebene {^/^^j gefällten Lotes, ferner 1/*"^ den Fußpunkt des von f ^ auf die Gerade { 2/* "^ } gefällten Lotes (d. L also zu- gleich den Fußpunkt des von f/*) auf {2/*")} gefällten Lotes) vorstellen. Bei dieser Festsetzung werden AJ^*°^\ ^/*''^ C*/'^ einfach die Differenzen der Koordinaten ^C"'?), tj^*''), i^'^) für p/''''c) und f., und kommen bei An- wendung der Formeln (102) allgemein f mit p), fWlmitlC''),!^*'') mit p("^e) in drei Gerade zu liegen, die beziehlich parallel der ^*\ rf""^ , 1^'"?^- Achse der Substitution S'^''"^^ sind, so daß z. B. für die a;- Koordinaten der be- 192 Zur Geometrie. treffenden Punkte die Gleichungen (1 10) a^*) — a = «(') C('^) , «(* ^) — «(*) = «(* ") £(*<'), «(* '^ ?) — a(' "^ = «(* «^ e) ^t* «^ e) gelten werden. 11. Ferner sollen fi, Ig, • . ., f^ sämtlich in einen und denselben Punkt t^ des Raumes fallen, dessen Koordinaten üq, h^, c^ seien. Für den Punkt f in bezug auf einen beliebigen Bezirk ^ gilt dann f = (s^ + Sg -j f- O ^o • Bei diesen beschränkenden Festsetzungen I. und 11. würden schließ- lich allein die Koordinaten des Punktes i^ willkürlich bleiben. Durch geeignete Verfügung über fo aber würden wir noch imstande sein, einem einzelnen Punkte y*") eine beliebige Lage auf {Sj^*''^} oder einem einzelnen Punkte fgW eine beliebige Lage auf { ^g^^) } zu verschaffen oder f beliebig anzunehmen. Wir denken uns nun zunächst die Hilfspunkte f<, f/''^ I/*''^ noch in der ganzen Allgemeinheit wie in § 20. Die Größe (111) ij(*'')=^/*'^l) + ^^(*''2) bedeutet die Länge der Kante Sj^*"), ist also völlig unabhängig von der Lage von \'^''"\ eine Tatsache, die auf den Gleichungen (112) «('^''1) + «(«''2)= 0, ß^-'°^)-{- /3(*o2)^ 0, j/(«<'i)4- y(*<^2)^ 0 beruht. Wir können alsdann (113) i^(|) =|2A(-^)A(-) = |^ A(-)JB,(-) {^^^'2i2^^) a,f} a V f / schreiben; dadurch erweist sich der Ausdruck Fj^^ als völlig unabhängig von der Wahl der Punkte I^^*") und könnte daher nur noch mit der Lage von fg^*) variieren. Nun können wir bei beliebiger Wahl von fg^'^) in der Ebene {%2^^^ } die Punkte tf, f/*), I/**^) doch den sämtlichen Forderungen L und IL gemäß einrichten. Alsdann sind zufolge L die Werte |(*''?), ij^*") für p^C*«^?)— f^ gleich ^i^*''?), 5/*'^), für p^^^^Q^—t^ gleich ^g^*'^?), ^g^*«^) und zufolge IL soll ^1=^2"^ ^0 ^®^- Danach ergeben die senkrechten Projektionen der drei Punkte !„ p/*''?) ^Jg^'^«'?) auf die Ebene i;(*) = 0 in dieser ein Dreieck, bei welchem der Flächeninhalt gleich dem Betrage von (114) ^(Äj('^9)B^(^o)_ J^^ira^-ß^ira)^ sein wird, während das Vorzeichen dieser Determinante nur dann das negative sein wird, wenn die hier angewiesene Folge der Ecken für dieses Dreieck einen entgegengesetzten Umlaufssinn bedeutet, als er sich bei einem Dreiecke in derselben Ebene 5^*) = 0 einfindet, dessen drei Ecken nach- ein^ider im Nullpunkte, auf der positiven |(*''?)-, auf der positiven i^(*")- Achse angenommen werden. Theorie der konvexen Körper. 193 Jetzt gehört zu jedem Indexsjsteme t, 6, q nach den Ausfuhrungen in § 19 ein bestimmtes zweites System t, 6, q' (ö'=^5), wobei stets p^(*ff?)= pjC'^c'), p2(^<^?)= ijg^*"'?') ist, während für die beiden orthogonalen Substitutionen S^*"?) und S^**^?*^ in ihrer gemeinsamen Koordinatenebene ^^) = 0 das System der l^''^?)- und ?/"^)- Achse einerseits und das System der l^*«^'^''- und i^^^^T- Achse entgegengesetzt orientiert erscheinen. Zufolge dieser Umstände muß der Ausdruck (114) nach seiner eben dargelegten Bedeutung bei Yertauschung von x, 6, q mit r, ö', q' einfach in den ent- gegengesetzten Wert übergehen, wir haben also stets (115) ^i('''?)^2(") + Ä^^'"'^'^ B^^'"'^ = A^^'^^^B^^'^y + ^3<*'^?')5/"^. Ordnen wir nun in dem Ausdrucke von f^/|^ die Glieder paarweise, indem wir mit jedem Gliede zu einem Indexsysteme r, 6, q das Glied zu dem korrespondierenden Indexsysteme r, a', q' verbinden, so zeigt sich, daß (116) F^^ = ^^ Ä^^'''Q^B,^'^^ = F,^l^ = ^^ L,^''')B,^'<'^ a,o a ist. Denken wir uns jetzt den Bezirk ^^ einer Translation paraUei der Ebene { i^^''^' } unterworfen, wodurch }yj^^^ dieselbe Translation in dieser Ebene erfährt, und halten wir dabei den Punkt fj = !, und die Be- schränkungen I. und IL fest; alsdann bleiben alle Längen LJ^^''^ und die Werte B^^°\ A^^''°'^'> uugeändert; es ändert sich also auch nicht F^"^. Zugleich bleibt aber auch die Relation (116) und somit auch der Wert des Ausdrucks F^f bestehen. Eine Translation von ^g^'^ in der Ebene {«^a^'^M ^^i festem fj^'^ kommt nun für die Bildung des Ausdrucks (113) von F[l^ auf das Gleiche hinaus wie die entgegengesetzte Translation des Punktes fä^'^ bei festgehaltenem Bereiche %^''^. Danach ist endlich der Wert F[^ auch von der Lage von i^^^'> unabhängig. Zugleich ersehen wir, daß allgemein F[V = -F'i[^ gilt und daß F^l^ bei einer beliebigen Trans- lation von 15/^^ od^r von %^''^ stets seinen Wert beibehält. Die Größe J^a^*") ist die Differenz der i^("^)-Werte für pg^^'e) und für f^, der zweite dieser Werte ist = a^aS^'^^-\- h^ß^^"'' -\- Cgj'^'"). Da nun der Wert F^^ nicht von der Lage von !, abhängt, so entnehmen wir aus (113) die drei Gleichungen: (117)2a(''^)i/*«)=0,2/3("')Z/'«) = 0,^y("')Xi(««') = 0(tf=l,2,...,fi,). 0 0 0 Nehmen wir jetzt speziell für fj^'^, wenn %^^^^ ein Polygon ist, einen inneren Punkt dieses Polygons in seiner Ebene, wenn (y,(') eine Strecke ist, einen von den Endpunkten verschiedenen Punkt dieser Strecke, wenn §j<*) ein Punkt ist, eben diesen Punkt, so sind im ersten Falle alle Größen ■Bj^*°^>0, im zweiten aUe >0 mit Ausnahme der beiden, die den zwei Minkowski, Gesammelt« Abkandlangen. IL 13 194 Zur Geometne. Normalen der Strecke in der Ebene { ^^^^^ } entsprechen und die = 0 sind, im dritten Falle alle B^^^"^=0. Wir entnehmen dann aus dem zweiten Ausdrucke in (113), daß F^^^ stets ^ 0 ausfällt und nur dann = 0 ist, wenn von den Bereichen ^^^^^ und '^^^'^^ wenigstens einer ein Punkt ist oder diese beiden in zwei parallelen Geraden liegen. Wenn nicht dieser zweite Ausnahmefall statthat, ist überdies durch ^Ji^*^ ^^^ 3^2^*^ ^^® Ebene g(*)== 0 völlig bestimmt, und da in (113) gewiß nur solchen Indizes identisch wird, bedeutet den Flächeninhalt von ^1^*^. Wir wollen den Wert von Fjl^ als den gemischten Flächeninhalt von ^^^^^ und 1^2^*^ bezeichnen. Nun gilt t,a,Q t und entsprechend können wir V^^ darstellen; wegen (116) haben wir daher V^^=V^^^. Wir betrachten ferner die Transposition von 2 mit 3 im Ausdrucke 7j23. Nach der Gleichung (118) und den letzten Resultaten in betreff der Größen F^"^ könnte F^ga jetzt nur noch von der Lage des Punktes f^ abhängen. Wir können bei beliebiger Verfügung über fg doch die be- schränkenden Annahmen I. und II. einführen. Alsdann sind die Koor- dinaten rf''''\ gW für p2^*'^?)— fg gleich B^^^'>\ C^-'\ für pg^**^?)- \ gleich B^^'"'\ Og^*^ Zugleich soll ^2 = ^3 "^ ^0 ^®i^> ^^^ besitzt daher das Dreieck, das durch senkrechte Projektion von !o^2^*''^^p3^*''^^ auf die Ebene |(*''e) = 0 entsteht, einen Flächeninhalt gleich dem Betrage von (119) \{B,^'"'^C,^^)-B,^^")C,^^)), während das Vorzeichen dieser Determinante dann das negative ist, wenn die hier angewiesene Folge der Ecken für dieses Dreieck einen entgegen- gesetzten Umlaufssinn bedeutet, als er sich für ein Dreieck in derselben Ebene |(*''?) = 0 herausstellt, bei dem die Ecken nacheinander im Null- punkte, auf der positiven tj^*'')-, auf der positiven^*)- Achse angenommen sind. Zu jedem Indexsysteme r, 6, q gehört nun nach § 19 ein bestimmtes zweites Indexsystem t", (?", q" (r" =^ t), wobei immer p^^'^^^^== p^''^"°"0^ p^i''OQ)= p^i^"o"0 und ferner |(*''?)= |(*" <'"?") gilt. Die beiden Substitutionen jSf(*»?) und S^'^"^"^"^ haben dabei also die |- Achse gemein, dagegen sind in ihrer gemeinsamen Ebene ^(*''C) = ^C^^" ""?")= 0 das System der 7]^'^"')- und Theorie der konvexen Körper. 195 ^^'^J- Achse einerseits und das System der rf''"'^'^- und ^*")- Achse anderer- seits entgegengesetzt orientiert. Nach der eben angegebenen Bedeutung des Ausdrucks (119) entnehmen wir hieraus, daß dieser Ausdruck bei Er- setzung von t, 6, Q durch t", ö", q" in den entgegengesetzten Wert über- geht, wir haben also stets (120) B^^'^^Q-") + JP2^^"'^")Q(*")= ^3{*«)C2W-f B^('"'^'W^^''"\ und zudem gilt (121) ^/*''?)=^j(*"'^"e"). Ordnen wir jetzt die Glieder in F^gg paarweise, indem wir mit jedem Gliede zu einem Indexsysteme r, 6, q das Glied zu dem zugehörigen Systeme t", , y^'>)- t Die beiden Relationen F^gg = Fg^g und Fjgg = Fjgg zusammen be- deuten nun bereits die Tatsache, daß F^gg bei beliebigen Permutationen der Indizes seinen Wert nicht verändert. Zugleich erkennen wir, daß F^g auch bei beliebigen Translationen der einzelnen drei Bezirke ^1,^2,^5 stets ungeändert bleibt. Wir denken uns jetzt fg speziell als einen inwendigen Punkt von Äj angenommen, d. h. wenn Äg ein Polyeder ist, soU % ein innerer Punkt von Äg sein, wenn Äg ein Polygon oder eine Strecke ist, ein innerer 13* 196 Zur Geometrie. Punkt des Polygons in seiner Ebene bzw. der Strecke ih ihrer Geraden, wenn ^^ ein Punkt ist, mit diesem Punkte identisch sein. Alsdann fallen die Größen Cg^*) sämtlich ^ 0 aus und, soweit es dieser ihnen gemeinsame Charakter zuläßt, auch > 0 aus. Wir erkennen dann aus (118), daß F^gs stets ^ 0 ausfällt und insbesondere unter folgenden Umständen stets = 0 ist: 1. wenn unter den Bezirken Ä^, Äg» ^3 wenigstens ein Punkt oder 2. darunter wenigstens zwei Bezirke in parallelen Geraden vorhanden sind oder 3. diese Bezirke in drei parallelen Ebenen liegen. Einen von Null verschiedenen Term F^fC^^''^ haben wir in (118) nur, sowie für eine Richtung («(''), |3W,y(*)) einerseits F[l\ andererseits Cg^'^) > 0 ist; alsdann sind ^i,^2>^3 schon für sich jedenfalls Grundbezirke einer Polyederschar und kommt die Richtung bereits als Normale einer Seitenfläche dieser Schar vor. Danach hängt der Wert von F^gs jedenfalls allein von ^i, ^2, ^3 und in keiner Weise von den weiteren etwa betrachteten Bezirken ^4, . . ., ^^ ab. Die Größe Fj^j, in die Fjgg übergeht, wenn wir ^^ und ^g mit ^1 identisch annehmen, bedeutet das Volumen von ^^. Wir woUen Fi23 das gemischte Volumen von ^j,^2>^3 nennen und, wo es auf die deutlichere Bezeichnung der betreffenden Bezirke ankommt, auch F(5^i,Ä2>^3) schreiben. Nehmen wir für ^j, ü.^, ^3 beispielsweise drei nicht in einer Ebene gelegene Strecken 0^^, 0|)27 opg mit 0 als Anfangspunkt, so können wir diese als drei Kanten für ein gewisses Parallelepipedum ^ mit einer Ecke in 0 auffassen. Alsdann bedeutet s^^^ -1-52^2 + Sg^g für positive s^, s^, Sg den Bereich desjenigen Parallelepipedum mit einer Ecke in 0, bei dem die drei von 0 auslaufenden Kanten in den Punkten s^Pi, «2^2? ^3p3 enden. Das Volumen dieses letzteren Parallelepipedum ist das s^s^s^-ia-ohe des Vo- lumens von ^, danach ist unter diesen Umständen 6 Fjgg gleich dem Volumen von ^, mithin sicher Fi2g > 0. Der Ausdruck Viß,^, ^^, Äg) besitzt die folgende wichtige Eigenschaft: Ist der konvexe Bezirk Äg ganz enthalten in einem anderen kon- vexen Bezirk Äg* (ebenfalls mit einer endlichen Anzahl von extremen Punkten), so gilt stets (125) F(Äi, ^2, ^3) ^ ^(^1, K %*)■ Denn bedeuten H^ und H^* die Stützebenenfunktionen von Äg und Äg*, so gilt dann nach (44) allgemein 5g (w, v, w) ^ Ä3*(w, i;, «(;). Konstruieren wir nun eine Polyederschar, welche unter ihren Grundbezirken Ä^, Äg, Äg und Äg* enthält, so bestehen gemäß (124) für V{^^,9:^,^^) und V{^^,^^,^/) gewisse Ausdrücke 4-2^(|)5g(a(^ ^(^ yW), |2F(|)5g*(a«, /3W, y(.)), Theorie der konvexen Körper. 197 und da hierin alle Faktoren F[l^ ^ 0 sind, geht in der Tat die Un- gleichung (125) hervor. Sind die drei konvexen Bezirke ^i, Äg, ^3 derart beschaffen, daß darunter weder ein Punkt, noch zwei parallele Strecken vorhanden sind, noch diese drei Bezirke in drei parallelen Ebenen liegen, so können wir st€ts drei Strecken 2,, 23,23 bestimmen, die nicht sämtlich einer Ebene parallel sind und so daß 2^ in ^j, 22 in Äg, 23 in ^3 liegt. Nach einer vorhin gemachten Bemerkung ist alsdann T^(2i, 23, 23) > 0, während dem letzten Satze zufolge sicher V{^^, ^,, ^3) ^ F(2i, 2,, 23) wird. Also muß unt^r den angegebenen Umständen stets F(^i, Äg, ^3) > 0 ausfallen. Aus (124) entnehmen wir femer die Regeln: Ist t ein positiver Parameter, so gilt (126) yi^„^,>m = tvi^„^,,^,). Es besteht allgemein die Beziehung (127) F(^„ ^2, ^3 + Ä,) = F(I„ ^,, ^3) + F(^„ ^3, ÄJ. § 22. Tolumen in einer Schar konrexer Körper. Es seien jetzt Äj, ^g? • • •> ^m ^^^ beliebige konvexe Bezirke, von denen ein jeder eine endliche oder unendKche Anzahl von extremen Punkten aufweisen kann. In jedem Bezirke ^. (* = 1, 2, . . ., m) denken wir uns einen inwendigen Ponkt e,. beliebig gewählt. Ferner bedeute s irgend- eine positive Größe. Nach dem Satze in § 5 und dem entsprechenden Satze für die Ebene können wir, wenn Ä. einen konvexen Körper oder ein ebenes Oval vorstellt, dazu ein Polyeder bzw. ein Polygon ^^ derart bestimmen, daß ^. ganz in ^. enthalten ist und andererseits selbst den Bereich ^7x7^,- + 11^ ^< ^ ^" ^^^ ^^^^ Dilatation des Bereichs ^< von c,. aus im Verhältnis — -^ : 1 entsteht, ganz enthält. Bedeutet Ä^ eine Strecke oder einen Punkt, so nehmen wir ^,. = ^. imd haben noch eben diese Beziehungen zwischen ^., ^., e^, s. Die in solcher Art be- stimmten Bereiche '?ß. sind dann lauter konvexe Bezirke je mit einer end- lichen Anzahl von extremen Punkten. Bedeuten nun Si, s.,, . . ., s^ irgendwelche w Werte ^0, so wird jedesmal der Bezirk Ä = ^sß^ ganz im Bezirke ^ = ^s,^< enthalten sein, ferner den Punkt e = ^5,6,. als inwendigen Punkt besitzen und den 1 s ^^^^^^ r+1^ "^ r+l^ ^^^ ^^ ^^^^ aufnehmen; dieser letztere Bezirk geht durch eine gewisse Translation aus r^— $ hervor. Schreiben wir * 1 -f- e 198 Zur Geometrie. F(^^, ^^, ^j) = W^^j, so finden wir dadurch für das Volumen V von St die Ungleicliungen (128) ^TF,.,V*s,^ F^^3^2Tr,,,s^Vy (^, Ä,i = 1, 2, . . , m). Wir bestimmen ferner eine positive Größe R so groß, daß der Würfel \x\^R, \y\^R, \^\^^ aUe Bereiche Ä^, ßg? • • •> ^m vöUig in sich aufnimmt. Alsdann enthält dieser Würfel auch jeden Bezirk D,., und mit Rücksicht auf den Satz bei (125) haben wir daher stets die Abschätzung: (129) i^.W,,,^SRK Jetzt denken wir uns noch auf irgendeine zweite Weise für jeden Bezirk ^. einen inwendigen Punkt e,* ausgesucht und in bezug auf die nämliche Größe s jedesmal einen konvexen Bezirk ^j* mit einer endlichen Anzahl von extremen Punkten irgendwie derart bestimmt, daß ^. in ^^* enthalten ist und seinerseits den Bezirk — -r— 35.* + - — j — e,* = Q,* ent- hält. Alsdann ist jedenfalls Q,* in ^^ enthalten und haben wir, wenn H^g% ?A* W) === "^*Ai geschrieben wird, nach (125) stets Mit Benutzung von (129) erhalten wir daraus (131) TT* , - W^,. £ ((1 + ef - 1) (1 + s?SR\ und hierin können wir noch W^^j und TF*^^. miteinander vertauschen, so daß die rechts stehende obere Grenze überhaupt für den Betrag der Differenz TT* . — TF_j^ gilt. Daraus entnehmen wir, daß für ein nach Null abnehmendes s jeder Ausdruck F(^^, ^^, ^y) nach einer bestimmten Grenze konvergiert, die wir mit F(^^, ^^, ^_,) bezeichnen und das ge- mischte Volumen der konvexen Bezirke Ä^, ^^, ^^ nennen. Aus den Un- gleichungen (128) gewinnen wir alsdann, indem wir s nach Null abnehmen lassen, für das Volumen V von ^ allgemein die Entwicklung: (132) F= ^F(^„ Ä„ ^j)s^s,s, ig,h,j= 1,2,. . .,m). Wir stellen jetzt die sämtlichen Eigenschaften des Ausdrucks F(Äi,Ä2,^3) in bezug auf drei beliebige konvexe Bezirke ^^,^2}^z zu- sammen, die aus den entsprechenden Sätzen in § 21 unmittelbar folgen: Der Wert von V(ß^, ^g; ^3) ist unabhängig von der Reihenfolge der drei Bezirke; er ändert sich nicht bei beliebigen Translationen dieser einzelnen Bezirke. • Theorie der konvexen Körper. 199 Ist der Bezirk Äg völlig enthalten in einem anderen konvexen Bezirk ,^3*, so gilt stets (133) F(Ä„ Ä,, Äg) < F(Ä„ ^,, ^3*). In der Tat, wir können nach den oben gemachten Ausführungen stets vier konvexe Bezirke C^, O,, dg, ^3*, einen jeden nur mit einer endlichen Anzahl von extremen Punkten, konstruieren, welche gewisse Annäherungen an ßj, ^2; ^3> ^3* vorstellen und zwar so, daß O^ in ^^, Dg in Äg» ^3 ^ ^s und andererseits A3* in ^3* enthalten ist und daß dabei die Differenzen F(^„ Ä2, tg) - F(D„ O3, Dg) und F(^„ ^2, ^*) - n^ii, ^2, ?3*) dem Betrage nach eine beliebig kleine positive Größe nicht übersteigen. Da nun auch Dg in ^3* enthalten ist und daher nach (125) sich F(£l„D2,^g*)-F(Cl„ 0^,03)^0 erweist, liegt dann F(Äj_, ^^, ßg*) — F(Äi, ^2> ^3) ^^®^ einer negativen Größe, deren Betrag wir beliebig klein einrichten können, d. h. diese letztere Differenz ist gleichfalls ^ 0. Wir erkennen nun leicht, daß F(Äi, Äg, A3) stets ^ 0 und nur in den Fällen =0 ist, wenn 1. unter diesen drei Bezirken sich wenigstens ein Punkt oder 2. wenigstens zwei parallele Strecken finden oder 3. alle diese drei Bezirke ganz in drei parallelen Ebenen liegen. Weiter übertragen sich die Regeln (126) und (127) sofort auf be- liebige konvexe Bezirke. — Für eine Schar mit nur zwei Grundbezirken ^, Ä ' haben wir speziell die folgende Tatsache: Sind St und St' irgend zwei konvexe Bezirke, so ist das Volumen eines Bezirks 5^ + s'£', wobei s ^ 0, s' ^ 0 sind, durch einen kubischen Ausdruck (134) . FoS^ + 3 V^s's' + 3 V,ss'^ + V^s'^ dargestellt. Darin bedeutet Vq das Volumen von Ä, F, das Volumen von Ä'. Wir werden uns nun weiterhin eingehend mit den Eigenschaften des Koeffizienten 3 F^ = 3 F(Ä, Ä, Ä') beschäftigen; bei Vertauschung der Rollen von Ä und von ^' entsteht aus diesem Koeffizienten der Koeffizient 3F2 von 55'^ In bezug auf 3Fi bemerken wir die folgende wichtige Darstellung: Es bedeute ^ ein konvexes Polyeder (oder Polygon) mit v ^ 3 (oder V = 2) Seitenflächen ^5^, fjg, . .., ^,. Es sei (a^, ß^, y^) die äußere Normale und F^ der Flächenhalt von ^^ für t = 1,2, ...,«;. Femer sei Ä' ein beliebiger konvexer Bezirk mit der Stützebenenfunktion fl"(M,v,w). Alsdann gilt die Darstellung: (135) 3 Vi% ^, S') = 2F,H'{a^, ß^, y^) (r = 1, 2, . . ., v). 200 Zur Geometrie. In der Tat, wir erhalten diese Beziehung sofort aus der Gleichung (124), wenn Ä' eine endliche Anzahl von extremen Punkten besitzt. Insbesondere finden wir dadurch, indem wir für Ä' einen beliebigen einzelnen Punkt a'f h', c' nehmen, den Gleichungen (123) entsprechend, die drei Bedin- gungen: (136) ^«,F, = 0, 2ß.F,-0, 2y,F, = 0 (t=^l,2,...,v). t t t Ist jedoch die Anzahl der extremen Punkte für Ä' unendlich, so sei c' mit den Koordinaten a',h', c' irgendein inwendiger Punkt in ^'. Als- dann können wir, wenn eine positive Größe a irgendwie angenommen wird, stets einen konvexen Bezirk ^' nur mit einer endlichen Anzahl von extremen Punkten derart bestimmen, daß ^' in Sß' enthalten ist und 1 6 selbst T— i — ^'H- T— i — t' enthält. Infolgedessen ist die Stützebenenfunktion l-t-8~l-|-* von ^' für beliebige Argumente u,v,w ^ H'(u, V, w) und ^ (1 + s)H'{u, v, w) — s^a'u -f- b'v -j- c'w). Nun können wir zur Berechnung von 3F(^, ^, ^') bereits die in (135) angewiesene Regel verwenden, und durch diese letzten Ungleichungen sowie unter Verwendung der Relationen (136) erhalten wir, da alle Fak- toren i^^ > 0 sind, 3 V(%% ^') > ^F^H\a^, /3^, y^) > ^3 F(^, % ^'). In denselben zwei Grenzen wie die Summe hier, befindet sich aber, nach (133) auch die Größe 3F(^, ^, ^'). Da nun diese Grenzen für ein nach Null abnehmendes e einander beliebig nahe kommen, ist danach offenbar für 3F(^, ^,^') genau die Formel (135) zutreffend. Diese Gleichung (135) benutzen wir noch zu einer weiteren Folgerung: Es bedeute ^ einen konvexen Körper und es sei Cq der kleinste, c^ der größte Wert von z in ^, ferner t, ein beliebiger Wert >Co und . 0). Es handle sich zunächst um eine Polyederschar. Wir bezeichnen den Wert des Raumintegrals ffjx dx dy dz über den Bezirk Ä mit 3k'. Wie am Schlüsse von § 20 ausgeführt ist, läßt sich X als eine homogene Funktion vierten Grades der m Parameter 5, darstellen. Wir schreiben (139) X = 2^gkikSgS^s^s^ ig, h,j, Ä; = 1, 2, . . ., m), wobei wir die Koeffizienten mit nicht lauter gleichen Indizes derart defi- nieren, daß sie bei beliebigen Permutationen der vier Indizes sich nicht ändern sollen. Um zu zeigen, wie diese Entwicklung des Integrals 36 202 Zur Geometrie. sich auf Scharen mit völlig beliebigen Grundbezirken überträgt, haben wir mehrere Eigenschaften der Koeffizienten clCg^j,. abzuleiten. Es wird genügen, die Bildungsweise eines Koeffizienten mit lauter verschiedenen Indizes ins Auge zu fassen, (wozu wir uns m ^ 4 ein- gerichtet denken). Die Größe 26^234 "^i^^d sich, nach den Gleichungen (101), (104) und (109), folgendermaßen entwickeln: (140) 3£,23. = 2j^ ^ ^(a^P^ + «f) + ai;^ + a^) 4-^)^f )C(^), i r,a,(j 1 worin für g, h, j, Je nacheinander alle 24 verschiedenen Permutationen von 1, 2, 3, 4, einzusetzen sind und die Summation nach t, 6, q in der in § 20 erörterten Weise zu geschehen hat. Der Wert dieses Ausdrucks Xj234 ist nach seiner Bedeutung als Entwicklungskoeffizient in dl vöUig unabhängig von den benutzten Hilfspunkten i-, f/*), (/*") und hängt auch nur von den vier Bezirken Ä^, ^2, ^3, ^^ allein ab, falls die Zahl w>4 ist; wir bezeichnen diese Größe auch in ausführlicherer Schreibweise mit 3f(^l, ^2f ^3? ^J- Die Stützebenenfunktion von ^^ heiße Hi(u, v, w). Um eine gewisse Ungleichung abzuleiten, verfügen wir zunächst über die Hilfspunkte %j \t'\ V^"^ (* = Ij 2, 3, 4) in folgender besonderen Weise. Wir wählen jedesmal !,. in Ä^ selbst und zwar noch speziell in der Stützebene a; = -H^. (1, 0, 0) an ^^, wo x den größten Wert in'^^. besitzt, ferner nehmen wir stets f/*) in ^/*) selbst und l^'"''> in 2/*") selbst an. Dann faUen alle Größen Al'"'^\ jB/*''), 0/*^ ^ 0 aus, femer wird das arithmetische Mittel von je drei Punkten :p/*'^?\ I/*"^, f/*) stets ebenfalls noch ein Punkt in ^^ sein und für die a;-Koordinate dieses Punktes dadurch sich jedesmal - H, (- 1, 0, 0) ^ I (a W + a/-) + a,W) < H, (1, 0, 0) herausstellen, und endlich haben wir noch a^ = 1^(1, 0, 0), Mit Rück- sicht auf diese Umstände gewinnen wir aus (140) die Ungleichungen: 4 (141) T^^. (1> 0, 0) V,,, ^ X,234 > 4 wobei für g nacheinander 1, 2, 3, 4 zu nehmen ist, für h, j, h jedesmal die drei von g verschiedenen der Indizes 1, 2, 3, 4 nach der Größe ge- ordnet zu setzen sind und Vj^^j^ das gemischte Volumen von ^^, Ä^., ^j^ gemäß der Formel (108) bedeutet. Nehmen wir die Bezirke ^3? ^s? ^4 ^^ identisch mit ^ an, so geht daraus spezieller Theorie der konvexen Körper. 203 (142) jg,(l, 0, 0) r,,, ^ 3:^^^^ ^-i(_ 3fi;(- l, O, O) + R,a, 0, 0))F,,, hervor; darin bedeutet dann F^ das Volumen von ^j, Ist nun Fm>0, also ^1 ein konvexer Körper und denken wir uns den Nullpunkt der Koordinaten mit dem Schwerpunkte dieses Körpers zusammenfallend, so haben wir dc^^^^ = 0 und finden 3 Ä^ (- 1, 0, 0) > E^ (1, 0, 0). Da wir für die Richtung der a;- Achse eine ganz beliebige Richtung einführen können, so gilt, wenn der Schwerpunkt von Äj im Nullpunkte liegt, überhaupt allgemein für jedes Paar entgegengesetzter Richtungen (- a, - ß, - y) und («, ß, y): (143) 2H,{a, ß, y)>\{H,{a, ß, y) + H,{- a, - ß, - y)). Die hier rechts stehende Größe bedeutet den halben gegenseitigen Abstand der zwei Stützebenen an Ä^ mit den Normalen (a, ß, y) und (— a, — ß, — y) und ist niemals kleiner als der Radius der größten überhaupt in ^^ ent- haltenen Kugel, während das Minimum von Hy {a, /3, y) gleich dem Radius der größten in Äj enthaltenen Kugel mit dem Schwerpunkte von ^^ als Mittelpunkt ist. Danach ist der letztere Radius mindestens halb so groß wie der an erster Stelle genannte Radius, eine bereits in § 9 ohne Be- weis angeführte Tatsache. Wir wollen jetzt die Abhängigkeit des Ausdrucks X(^i, ^2^ ^3; ^i) von einem einzelnen der betreffenden vier Bezirke, etwa von ^^, ins Auge fassen. Wir werden zeigen, daß wir aus dem Ausdrucke (140) die auf A4 bezüglichen Größen A^l^'^^^ und JB^'") eliminieren können, so daß wir darin nur noch die Größen C^l'^ behalten, für welche wir (144) Oi^) = - a^a« - IJ^) - c^y^') -f H^{a'^'\ /3W yW) haben, wenn a^, h^, c^ die Koordinaten des Punktes f^ sind. Zum Zwecke dieser Umformung von (140) unterwerfen wir die Hilfs- punkte !,., f/*), I/''') (t = 1, 2, 3, 4) zunächst wieder den beschränkenden Annahmen I. und II. aus § 21. Es sei also jedesmal f/') der Fußpunkt des von l^ auf die Ebene { g/') } , !/*''> der Fußpunkt des von f,. auf die Gerade jß/'"^} gefällten Lotes, und femer sei f j = fg = !, = f^ an- genommen, während die Koordinaten des einen Punktes f^ noch völlig beliebig bleiben. Nach (110) haben wir 9 9 ' 9 ' 9 9 9 9 9 Indem wir diesen Ausdruck in (140) einführen und den Index 4 besonders hervorheben, können wir die Differenz X^j^ — — Vi^a^ zunächst in fol- gender Weise darstellen: 204 Zur Geometrie. (145) _L y» y'(2a(*''c)^(^*''(') + 2a^^")B^;"^ + 3a(*) Gf + 4a^)^(^*''^)5(*<')C*') t,a,() wobei dann ^, /<, j alle 6 Permutationen von 1, 2, 3 zu durchlaufen haben und die Summation über r, 6, q in der bisherigen Weise zu nehmen ist. Der in der ersten Reihe eingeklammerte Ausdruck ist == 2d^"^^ 4- »If^ + cby- Nach den Ausführungen in § 21 gehört mit jedem Indexsysteme x, 6, g ein bestimmtes zweites System r, ö', q' (ö' =j= ö) zu- sammen, derart, daß dabei stets (s. (115)) und zugleich a^J^''9^ = a^^"'^"> gilt. Indem wir die Glieder bei der ersten Summation ^ in (145) dementsprechend paarweise zusammenfassen, er- r,ff, o kennen wir hieraus, daß wir in jenem ersten Aggregat, ohne seinen Wert zu ändern, die Indizes 4 und h miteinander vertauschen dürfen. Der Ausdruck (145) verwandelt sieh dadurch in (146) ^y^y^i^a^'^a^^J^i^') 4- 6a^^")B(J"^ + Ga'-'W^;^ + ^a,)A^^"'^m^")Cf 1,0, ij + --^ y' V(a(^"?)4^'^e) 4- 2d''^B^^^) 4- 6a(^)0(f) 4- 4a^)^(f'^?)JB(*'^)Ci*). t,a,Q Hier ist der Faktor in der ersten Klammer == ?>a^^"^'^ -\- 3»^,*'') 4- 2a^^. Weiter gehört nach § 21 mit jedem Systeme x, 6, q ein bestimmtes zweites System x", 6", q", (x" 4" t^) zusammen, derart, daß dabei stets (s. (120)) ^(^(T)C.w + jB(-"«")C.(^") = 5/-'^)0(^) 4- By'"")C^p und zugleich d^"^^ = af°"0^ a^^^^ = a^f''"\ A^;^"^^ = A^f''''^ gilt. Danach können wir weiter in dem ersten Aggregate in (146), ohne seinen Wert zu ändern, die Indizes 4 und j miteinander vertauschen; der ganze Aus- druck (146) geht dadurch in (147) ^y.-y' y'(4f^(*'^«'U(^'^?) ^^a^^'^^BSj'^) 4- 12aWC(r) + l2a^)A^;^''<^'^Bf)C^p t,a,Q über, und erlangen wir damit endlich die Formel (148) 3e,,34 = T ^123 «4 + ^^^«'^^^ + «r + <))^i-<')i5f )CW T, a, fj wo wieder g, h, j alle 6 Permutationen von 1, 2, 3 zu durchlaufen haben Theorie der konvexen Körper. 205 Wir können nun den hier rechts stehenden Ausdruck aucli bilden, ohne über die Hilfspunkte die beschränkenden Voraussetzungen I. und 11. zu machen, und vrir finden alsdann diesen Ausdruck stets von demselben Wert. In der Tat, denken wir uns jetzt die Hilfspunkte f,., f/*), IJ^^"^ wieder in der vollen Allcremeinheit wie früher anorenommen. Führen wir anstatt x, y, z neue orthogonale Koordinaten ^, 7^, ^ auf irgendeine Weise derart ein, daß die positive ^-Achse die Richtung (a^''^ /J^'"', y^^^') hat, so können wir das Flächenintegral 3i^^^ = ffxdi.drj über das Gebiet 'Q^'^^ in der Stützebene {i^^'^} des Bezirks S, (ähnlich wie wir für X den Ausdruck (101) herstellten), in der Formel (149) a,o ^v .) ^ entwickeln. Vermöge der Gleichungen in (104) und (109) erweist sich dann dieser Wert X^^^ als eine kubische Form in s^, S2,...,s^. Wir schreiben dieselbe (150) X« = 2^^;ljS^s,s. (g, h,j = 1, 2,. .., ,»), so daß ?li''^l . bei einer Permutation der Indizes g, h, j sich nicht ver- ändert. Alsdann haben wir insbesondere (151) ^Y^l = ^2^(ar^) + a(-)-|-a('))^Cra,)^(ra) ^6 = J. 2, ..., iir-y und kommt danach die Formel (148) auf die Entwicklung (152) X^3, = 4- V,,,a, + ^^.^ä)3<^('> (r = 1, 2, . . , v) hinaus. Jede Größe X^'^g hier ist nach ihrer Bedeutung als Entwicklungs- koeffizient im Ausdrucke (150) von X^*) durchaus unabhängig von den benutzten Hilfspunkten. Nehmen wir jetzt insbesondere für i = 1, 2, 3 immer f/*) in g/^) selbst, I/'") in S/"') selbst, so sind in (151) die Größen Äl^''(i\ J?/*^) sämtKch ^ 0. Wir denken uns femer eine positive Größe R derart bestimmt, daß Äj, Äj, Ä,, A4 ganz im Würfel \x\£It, \y £R, \2\£R enthalten sind; alsdann ist weiter jede Größe 0/'"?^ a/*"), a/*> in (151) dem Betrage nach ^ R und finden wir daher Die Relation (152) benutzen wir, um die Veränderung abzuschätzen, welche der Wert X(^i, ^2» ^s» ^4) bei einer Veränderung der Grundbezirke Ä^ erfährt. Wir nehmen in jedem Bezirke ^. (i = 1, 2, 3, 4) einen in- 206 Zur Geometrie. wendigen Punkt e,. beliebig an, ferner sei s eine beliebige positive Größe und sodann Ä,* jedesmal ein solcher konvexer Bezirk ebenfalls mit einer endlichen Anzahl von extremen Punkten, der ganz in Ä,. enthalten ist und 1 s seinerseits ganz den Bereich . ^. + ■ e,- enthält. Wir denken uns nun eine Polyederschar gebildet, welche sämtliche Bezirke ^,.,Äf*(«= 1,2,3,4) unter ihren Grundbezirken enthält, und können dann zur Berechnung von 3e(Äi, ^2» ^37 ^4) i^nd andererseits von 3c (Ä^, ^2, ^3; ^4*) tue Regel (152) mit Bezug auf diese Schar verwenden, so daß also darin die Summation über alle solchen Richtungen («(*), ß^^\ j/(*)) auszudehnen ist, welche als Normalen der Seitenflächen bei dieser weiteren Polyederschar auftreten. Legen wir nun den Punkt t^ sowie den entsprechenden Hilfspunkt t^* für ^4* in den Punkt e^, so ist jede Größe C^^^^ > 0 und die zu C^W ent- sprechende Größe 0/(*) für ^* jedesmal < 0/) und ^ j^C/'), und finden wir sodann mit Rücksicht auf (152) und (153): (154) 1 3e(ti, Äg, ^3, ÄJ - 2c{^,, ^2, ^3, ^4*) I < "4" i~zr7^( ML24 + '134 + '234) ^ r+T * Von dieser Ungleichung aus kommen wir sogleich weiter zu der Be- ziehung: (155) 1 3e(Ä„ ^2, ^3, ^4) - 3e(^i*, ^2*, ^8*, ^4*) 1^1^^'- Auf diese Abschätzung fußend können wir, ähnlich wie wir in § 22 den Begriff des gemischten Volumens erweiterten, jetzt auch den Begriff der Bildung 36 (^j, ^2? ^s? ^4) ^^^ beliebige konvexe Bezirke ausdehnen, die nicht bloß eine endliche Anzahl von extremen Punkten besitzen, und dabei übertragen sich dann die Ungleichungen (141) und (155) sofort auch auf beliebige konvexe Bezirke. Wir erhalten das Resultat, daß für jede beliebige Schar konvexer Bezirke ^ = ^s^^,- (*' = 1, 2, . . ., m; s,.^0) das Raumintegral 3£ = fffx dx dy dz über ^ sich immer in der Form (156) ^ 3e = ^3e {ß^, ^„ ^,., t,) s^s.s^s, {g, h, j, Jc = l,2,.. .,m) entwickeln läßt. IV. Kapitel. Zweigliedrige Scharen. § 24. Definition der Olberfläche eines konyexen Körpers. Bei einem konvexen Polyeder erklären wir als die Oberfläche des Polyeders die Summe der Flächeninhalte seiner einzelnen Seitenflächen. Wir bezeichnen wie schon früher mit @ die Kugel vom Radius 1 mit dem Nullpunkte 0 als Mittelpunkt. Die Stützebenenfunktion dieser Theorie der konTexen Körper. 207 Kugel ® ist für solche Argumente a, /3, y, welche der Bedingung a^ -f ^^ + y* = 1 genügen, konstant = 1. Vermöge der Formel (135j er- kennen wir daher: Die Oberfläche eines konvexen Polyeders ^ ist stets gleidi dem Drei- fachen des gemischten Volumens von ^, ^, @. Jetzt definieren wir allgemein die Oberfläche eines beliebigen kon- vexen Körpers Ä als das Dreifache des gemischten Volumens Ton Ä, Ä, @, also ihre Größe 0 durch die Gleichung (157) D = 3F(Ä, Ä, ®). Aus dem Satze in (133) entnehmen wir dann insbesondere die Folgerung: Ist ein konvexer Körper Ä ganz in einem anderen konvexen Körper ^ enthalten, so ist die Oberfläche C von Ä gewiß niemals kleiner als die Oberfläche C* von Ä*. Wir werden sogleich (in § 26 und § 27) sehen, daß dabei sogar immer C < C* gilt, also niemals C gleich C* sein kann. Analog wie wir hier für jeden konvexen Körper eine bestimmte „Oberfläche" einführen, definieren wir für jedes ebene Oval ^ einen be- stimmten „Umfang" von ^ als das Doppelte des gemischten Flächeninhalts von ^ und einem Kreise mit dem Radius 1 in der Ebene von %. Bedeutet Ä einen bestimmten konvexen Körper, t einen beliebigen positiven Parameter, so ist das Volumen des konvexen Körpers Ä -f- t& gemäß (134) durch einen Ausdruck (158) v,-{-Sr,t + SV,t''+V,t' darzustellen; darin bezeichnet nun Vq das Volumen, 3Fi die Oberfläche von S, weiter V^ das gemischte Volumen F(Ä, @, @) und endlich V^ das Volumen von ®, also die Konstante -r-- Fassen wir die Begrenzung von ^ -\- 1& näher ins Auge. Nach dem allgemeinen Satze in § 18 läßt jeder Punkt q der Begrenzung des Körpers ^ -\- t(3 eine Darstellung (\ = p ■}- iQ zu, so daß p ein Punkt von ^ und g ein Punkt von © ist, und zwar muß dann notwendig p der Begrenzung von Ä und g der Be- grenzung von & angehören und müssen zudem zwei Stützebenen mit der nämlichen äußeren Normalen durch p an S und durch g an © gehen. Da nun durch jeden Punkt g der Begrenzung der Kugel @ stets nur eine einzige Stützebene an @, nämlich die Tangentialebene durch g an & existiert, so stellt danach die Begrenzung von Ä -f ^@ offenbar nichts anderes vor als die zur Begrenzung von Ä im konstanten Normalabstande t nach dem Äußeren von Ä hin konstruierte Paralldfläche. Auf diese Bemerkung gestützt können wir das Zustandekommen der Formel (158) auf einem direkten Wege einsehen im Falle, daß Ä speziell 208 Zur Geometrie. eine endliche Anzahl von extremen Punkten aufweist. Alsdann können wir nämlich den ganzen Körper ^ -{- t& aus dem Polyeder ^ als Kern unter Hinzufügung einer endlichen Anzahl einfach konstruierter und unter- einander völlig getrennt liegender Zusatzstiicke aufbauen. Wir wollen die Seitenflächen, Kanten, Ecken des Polyeders Ä wie in § 19 bezeichnen. Um das Polyeder ^ zum Körper Ä + ^@ auszugestalten, haben wir erstens auf jede Seitenfläche ^('^^ von Ä als Grundfläche nach dem Äußeren von ^ hin ein senkrechtes Prisma mit einer Höhe von der Länge t aufzubauen, also vom Volumen tF^'^\ unter F^'^^ den Flächeninhalt von ^^(*) verstanden. Das Prisma über ^^^^ besitzt über jeder Kante £('"'') von ^^(*) eine Seitenfläche in Form eines Rechtecks mit der Basis S^**^) und einer Höhe = t. An einer beliebigen Kante S^**^) von ^ stoßen nunmehr immer zwei derartige, einander kongruente rechteckige Seitenflächen von zwei jener Prismen zusammen, des über ^(^^ und des über f^^*"), wenn S^**^) == 2(*"'^") wie in § 19 gedacht ist. Alsdann haben wir ziveitens jedesmal an der Kante £(*") als Achse denjenigen Zylinderausschnitt zu konstruieren, der durch eine im Äußeren von ^ erfolgende Rotation des einen Rechtecks um die gemeinsame Grundlinie £(*'') bis zum Zusammenfallen mit dem anderen Rechteck entsteht. Ist L^''"'> die Länge von S^*"^ und ;j(*'') der Winkel, den die äußeren Normalen der beiden Seitenflächen %^'^^ und '^^^"^ miteinander bilden, so ist ~t^yi'f")L^'^") das Volumen des auf solche Weise beschriebenen Körpers. Dieser Zylinderausschnitt an £(*'') besitzt an jeder Ecke ^('^'^?) von S^**^) eine Grundfläche in Form eines Sektors aus einer Kreisfläche vom Radius t. An einer beliebigen Ecke p(*'^c) von ^ stoßen nunmehr immer genau so viele derartige Kreissektoren zusammen, als Kanten von ihr auslaufen. Alsdann haben wir drittens jedesmal an der Ecke p(*''?) von Ä denjenigen Sektor der Kugel mit p^*'^^^) als Mittelpunkt vom Radius t zu konstruieren, welcher mit dem Normalensektor dieser Ecke von ^ homothetisch ist; dieser Kugelsektor erhält jene Kreissektoren als begrenzende Seitenflächen. Das Volumen dieses Kugelsektors ist -^t^x^''^^\ wenn wir mit -^x^''°'i^ das Volumen des Normalensektors der Ecke p(*<^?) von Ä bezeichnen. Das Polyeder ^ nun, die hier errichteten Prismen auf den Seiten- flächen f5^*^> die Zylinderausschnitte an den Kanten £(*"), die Kugelsektoren an den Ecken p^**^?) von Ä stellen lauter solche Bereiche vor, die unter- einander in ihren inneren Punkten durchweg verschieden sind, und durch ihre Vereinigung ergeben sie genau den ganzen Körper Ä -\- 1%. Das Volumen von Ä + ^ @ erhält danach den Ausdruck Theorie der konvexen Körper. 209 (159) V, + t^^'^ + Y^'S^^'"^^^'"^ + Y^'2^-'^''''^' wo die drei Summen beziehungsweise über alle verschiedenen Flächen, Kanten, Ecken des Polyeders Ä zu erstrecken sind. Durch Vergleichung mit (158) entsteht danach wieder ^V^ = ^F^^^; weiter gewinnen wir, indem wir noch dem Umstände Rechnung tragen, daß jede Kante S^*"^ zwei Seitenflächen %^''^ angehört, für 3V^ die Darstellung (160) ^r, = ]-^y^x^^''^n^''^ (r=l,2,...,T.; 5= 1,2,. ..,^.)- t a Den hier entwickelten Ausdruck für das Volumen des Raumes zwischen einer polvedrischen Fläche und einer Parallelfläche zu ihr hat Steiner*) aufgestellt. Nach der Benennung von Steiner würde 6F3 als die „Summe der Kantenkrümmung" von ^ anzusprechen sein. Wir können passender, wie an einer späteren Stelle ausgeführt werden soll, den Wert -~ als den mittleren Krümmungsraditis von x oder, wie wir sogleich näher erklären werden, als den mittleren Stützebenenahstand von ß bezeichnen. § 25. Der mittlere Stützebenenabstand eines konTexen Körpers. Wir wollen uns jetzt zunächst mit der Bildung F, = F(^, Q^, ®) in bezug auf einen beliebigen konvexen Bezirk ^ beschäftigen und den Wert dieser Größe durch die Stützebenenfunktion von Ä darzustellen suchen. Zu dem Zwecke haben wir einige Bemerkungen über die Annäherung der Kugel @ (x^ + 2/" + ^^ ^ 1) durch Polyeder vorauszuschicken. Es bedeute @ die Begrenzung von @, also die Kugelfläche x^ + ?/" -{-2^=1. Unter der WinJceldistanz zweier Punkte t und t* auf @ woUen wir den Winkel (^ 0 und ^ tc) der zwei Richtungen von 0 nach t und von 0 nach t* verstehen. Ist t ein fester Punkt auf @ und d- irgendein Wert > 0 und <.7t, so bildet der Bereich aller Punkte auf ©, die eine Winkeldistanz ^ O- von t haben, eine Kalotte von @, die wir mit @(t, ■9') bezeichnen, und die sämtlichen Radien von 0 nach den Punkten dieser Kalotte bilden einen Sektor, den wir ®(t, 0') nennen. Das Volumen dieses Sektors ist — (1— cos^). Für einen Wert ^ < v ist dieser Sektor stets ein konvexer Körper mit 0 als Eckpunkt, für 0- = — - eine Halbkugel von @. •) Steiner, Über parallele Flächen, Monatsberichte der Berliner Akademie, 1840, S. 114—118. (Werke, Bd. II, S. 173—176.) Minkowski, Ge«ammelte Abhandinngen. n. 14 210 Zur Geometrie. Bedeutet 2-9' einen beliebigen positiven Wert, den wir < ^ annehmen, so können wir auf (£ eine endliche Anzahl von Punkten t^, tg, ...,t^ derart bestimmen, daß alsdann jeder beliebige Punkt t der Fläche @ stets von wenigstens einem dieser v Punkte eine Winkeldistanz -^20^ besitzt oder, wie wir dafür kurz sagen woUen, daß ganz @ von tj, tj, . . ., t^ Winkeldistanzen ^2-9' hat. Diese Forderung ist offenbar gleichbedeutend damit, daß die Kalotten ©(t^, 2^), ©(tg, 2^), . . ., ©(t^, 2^) zusammen die ganze Fläche @ überdecken sollen. Eine spezielle Methode zur Ermittlung einer solchen Punktreihe tj, tg, . . ., t^ auf (S ist die folgende. Wir wählen den ersten Punkt t^ beliebig auf @, dann den zweiten Punkt ig auf @ außerhalb der Kalotte @(ti, 2%), dann % auf ® außerhalb der Kalotten (S(ti, 2^) und ©(ig, 2%) usf. Haben wir in solcher Art bereits gewisse Punkte t^, ^27 ■ • -j^x-x ^^^ ® angenommen, so wählen wir, wenn die x — 1 Kalotten ©(t^, 2 ■9'), ©(tg, 2'9), . . ., (£(t^_i, 20-) noch nicht die ganze Fläche @ überdecken, weiter t^ als einen beliebigen Punkt auf @ außerhalb jeder dieser x — 1 Kalotten, also derart, daß aUe Winkel tiOt,, t20t„...,t,_iDt,>20- sind. Die Reihe der Punkte t^, tg, . . . läßt sich diesen Forderungen gemäß jedenfalls nicht unbegrenzt fortsetzen. Denn sind wir auf dem angegebenen Wege noch zu i.^ gelangt und betrachten wir nun die Kalotten ©(t^, %•), ©(tg, %■),..., @(t;,, %•) zu der halb so großen Winkeldistanz %; so haben offenbar irgend zwei dieser letzteren Kalotten niemals einen Punkt mit- einander gemein und stoßen daher die dazugehörigen Sektoren ©(t^, -9), ©(tg, -9), . . ., @(t^, -9) untereinander nur in dem Punkte 0 zusammen. Diese Sektoren stellen also lauter getrennte Teile der Kugel (5} vor und muß daher die Summe ihrer Volumina kleiner als das Volumen der ganzen Kugel % sein, d. h. wir haben (161) ?^;,(l_cos^)<^ und besteht mithin eine obere Grenze für die Zahl x. Nach dem angegebenen Prinzipe fortschreitend, müssen wir daher schließlich eine Reihe von Punkten t^, tg, . . ., t^ auf (S erlangen derart, daß alle Winkel t,0t^>2^ (t cos 29ys^Tf + ^> 1 cos 2* und befindet sich danach @ ganz in der Kugel ^-^ ® mit o als Mittel- punkt vom Badius ^-^, ist also ganz im Endlichen gelegen und stellt COS M V demnach ein konvexes Polyeder mit den v extremen Stutzebenen {%^} vor. Wir bezeichnen mit %y die Seitenfläche von @ in der Ebene [%^}f mit T^ den Flächeninhalt dieser Seitenfläche. Die Pyramide 0%^ mit 0 als Spitze und %y als Basis hat mit der Kugelfläche © eine gewisse Partie @^ gemein, die aus allen den Punkten a, ß, y auf @ besteht, für welche ^^,0- -\- ßyß -r y^y dem Betrage nach nicht kleiner ist als irgendeiner der V — 1 anderen Ausdrücke u^a + /3,/3 -{- y^y (t 4= x), für welche also die Winkeldistanz von t^ nicht größer ist als die Winkeldistanz von irgendeinem der v — 1 anderen Punkte t, (t ={= x). Mit (3 hat sodann 0%^ ein Gebiet @^ gemein, das aus allen Radien von 0 nach den Punkten von Sj, besteht. Das Volumen dieser Kugelpyramide &^, die einen kon- vexen Körper vorstellt, setzen wir = -^O^ und nennen alsdann O^ die Oberfläche von @^ Da &^ jedenfalls ganz in dem Sektor @(t,, 29) ent- halten ist, wird yO.£'-^{1-cos29) sein. Die V Pyramiden oS^, (x = 1, 2, . . ., v) setzen das ganze Polyeder © und dementsprechend die v Kugelpyramiden ©^ die ganze Kugel ® zu- sammen; danach gilt 212 Zur Geometrie. (163) |(o, + 0, + ... + DJ = ^. Da 0%^ den Bereich &^ enthält und selbst ganz in — -^thi^v enthalten ist, haben wir (164) io,^ir,^3-j^D.. Jetzt bedeute H{a, ß, y) irgendeine Funktion, welche für alle Punkte cc, ß, y auf @ definiert und auf @ stetig ist. Zu einer beliebig an- genommenen positiven Größe s können wir dann stets einen Winkel 2'0'(< y) derart bestimmen, daß für je zwei Punkte a, ß, y und a*, /3*, y* auf @, deren Winkeldistanz ^ 2 O- ist, immer (165) I H (a* ^* y *) - H{a, ß,y)\^B wird. Wir ermitteln hierauf irgendeine Punktreihe t^, t2, . . ., t^ auf @, von der ganz @ Winkeldistanzen ^2%" hat, und stellen für sie den Ausdruck (166) ^® = ^ 2^K' ^- 5^x) 0, (^ = 1, 2, . . , t.) her, indem wir dabei die Zeichen a^, /3^, y^, 0^, wie oben erklärt, ver- wenden. Ist nun tj*, ta*, . . ., t^* irgendeine zweite Punktreihe auf @, von der ebenfalls ganz @ Winkeldistanzen <2'0' hat, so entsteht durch Ver- einigung sämtlicher verschiedener Punkte aus den beiden Reihen stets wieder eine Punktreihe auf @ von demselben Charakter. Daraus ent- nehmen wir leicht mit Rücksicht auf (165) und (163), daß der zu (166) entsprechende Ausdruck für die zweite Punktreihe von dem Aus- drucke (166) selbst subtrahiert eine Differenz ergibt, deren Betrag jeden- falls ^ 2 £ ist. Danach konvergiert der Ausdruck Ä@ , wenn wir den Winkel d" nach Null abnehmen lassen, nach einer bestimmten Grenze, die wir jBT® schreiben. Diese Grenze nennen wir das Oberflächenintegral j— I H{a, ß, y) den über die Kugelfläche @ oder auch den Mittelwert der Funktion EL{cc, ß, y) für edle möglichen JRichtungen cc, ß, y, wobei wir in Betracht ziehen, daß für If (a, ß, y) = 1 auch Ä@ konstant == 1 ist. Von dem Faktor da sprechen wir als dem Flächenelement von @ an der Stelle a, ß, r- Es bedeute jetzt ^ einen beliebigen konvexen Bezirk und H{u, v, to) dessen Stützebenenfunktion; ferner sei B das Maximum von H{cc, ß, y) für die Punkte cc, ß, y auf @. Für je zwei Punkte a*, ß*,y* und cc, ß, y auf @ mit einer Winkeldistanz ^20' ist die geradlinige Distanz ^ 2 sin ■9- und folgt daher (vgl. die Formel (2) in § 3) stets (167) I H{cc'^, ß*, y*) - H(cc, ß,y)\^ 2Rsin». Theorie der konvexen Körper. 213 Die Funktion H{u, ß, y) ist also auf @ stetig. Den Mittelwert J?® von H{u, ß, y) für aUe möglichen Richtungen a, /3, y bezeichnen wir als den mittleren Stützebenenabstand des konvexen Bezirks ^. Denken wir uns jetzt zu einem Winkel 2 -ö- <-z- irgendwie eine Punkt- reihe tj, tg, . . ., t^ auf @ konstruiert, von der ganz @ Winkeldistanzen -^2^ hat und dazu wie oben das Polyeder © gebildet; dabei enthält @ die Kugel @ und ist selbst ganz in ^^ @ enthalten. Nach dem Satze in (133) haben wir demzufolge (168) F(Ä, ®, ®) ^ V{ß, ©, ©) ^ -^ V{ß, ®, @). Stellen wir nun F((S, ©, Ä) gemäß der Formel (135) dar und ziehen die Ungleichungen (164) heran, so erhalten wir unter Verwendung der Ab- kürzung (166) : (169) '-^H^^ F(S, ©, S) ^ 3^^ Äe . Die beiden Formeln (168) und (169) zusammen führen dazu, daß für den Betrag der Differenz F(Ä, @, @) ^ .H® eine obere Grenze besteht, deren Größe nach NuU konvergiert, wenn wir # nach Null abnehmen lassen. Da nun diese Differenz von 0^ gar nicht abhängt, kommen wir damit zu dem Satze: Für einen konvexen Bezirk Ä ist Fg = F"(Ä, ®, @) gleich dem -^-fachen des mittleren Stützebenenabstands von ^, also (170) ^V, = ^fH{a,ß,y)d 0 . Sind :p und q zwei Punkte von ^ in den Stütz- ebenen an Ä mit den Normalen cc, ß, y und — a, — ß, — y, so ist die Länge der sie verbindenden Strecke pq mindestens so groß wie die Breite von Ä in der Richtung und gilt daher mit Rücksicht auf das Resultat bei (172) und auf (126): i^V{pq,&,&)^^(H(^a,ß,y)i-R(-a,-ß,-y)). Andererseits ist diese Strecke pq ganz in Ä enthalten und haben wir daher gemäß (171) ^F(Ä,@,@)>^F(pq,@,@), so daß stets (174) ^ F,>|(^(«, ß, y) 4- H{- a,-ß,- y)) sein wird. Denken wir uns den Nullpunkt der Koordinaten nait dem Schwerpunkte von Ä zusammenfallend, so gilt nach (143) immer H{-a,-ß,-y)^\H{a,ß,y) und jiaher (175) l^V,>\R{a,ß,y). Insbesondere wird danach das Maximum von H{a, ß, y), d. i. der Radius JR der kleinsten, den Körper Ä ganz enthaltenden Kugel mit dem Schwer- punkte von ^ als Mittelpunkt stets < t— Fg ^®^^- 1^* ^ speziell ein Kör- per mit dem NuUpunkt als Mittelpunkt, so besteht allgemein fi'(- a,-ß,-y) = H{a, ß, y) und ist daher Andererseits ist aus (173) unmittelbar ersichtlich, daß die größte vor- 3 , handene Breite von Ä sicher ^ r— Fo ist und hier nur das Gleichheits- Theorie der konvexen Körper. 215 zeichen statthat, wenn alle Breiten von ^ untereinander gleich sind, und 3 aus (170) folgt, daß gewiß -R ^ — Fg ist und hier das Gleichheitszeichen nur gilt, wenn ^ eine Kugel vorstellt. § 26. Die Oberfläche eines konyexeii Körpers als das Tierfache des arithmetischen Mittels seiner Projektionen. Es sei ^ ein konvexer Körper mit der Stützebenenfunktion H (w, v, tv). Für jeden Punkt x, y, s aus ^ genügen die Werte x^ y den Bedingungen (176) ux + vy^ H(u, v, 0) für alle möglichen Wertsysteme u, v. Umgekehrt, ist a, h ein spezielles System, wofür stets H{u, v, 0) — au — hv'^0 ausfällt, so läßt sich nach den Ausführungen in § 10 immer eine Konstante c derart bestimmen, daß auch H(ic, V, w) — au — hv — cw^O für beliebige Werte u, v, w gilt, und alsdann ist der Punkt mit den Koordinaten a, b, c ein Punkt aus Ä. Den durch die sämtlichen Ungleichungen (176) definierten Bereich f^ i^ der a;!/- Ebene, ein gewisses Oval in dieser Ebene, bezeichnen wir danach als die (orthogonale) Projektion des Körpers Ä auf die a;?/- Ebene. Wir woUen jetzt den Flächeninhalt F dieses Ovals fj als ein gemischtes Vo- lumen darstellen. Es bedeute S die Strecke von der Länge 1, die vom Punkte 0, 0, — r- nach dem Punkte 0, 0, — führt und betrachten wir den Körper Ä + ^S, wobei wir uns den Parameter ^ > £f (0, 0, 1) + J3'(0, 0, — 1) = t^ denken. Für jeden Punkt a, &, c in Ä ist — ^(0, 0, - 1) ^ c ^ ^(0, 0, 1). Während ö, 6, c den Körper ß beschreibt, wird der Körper Ä + ^6 von der Ge- samtheit aller daraus abzuleitenden Punkte a,h, z erzeugt, für welche — ^^z — c^— gilt. Dabei verbleibt nun bei jedem beliebigen Systeme a, h aus ^ die Koordinate z stets in den Grenzen -|- ^^(O, 0, - l) 0 ist, allgemein (178) Fita, tß, ty) = tF{a, ß, y) festsetzen und zudem noch F (0, 0, 0) = 0 nehmen. Bedeutet f den Punkt mit den Koordinaten u, v, w und (of) die Strecke von o nach f, bzw. wenn f mit 0 identisch ist, diesen Punkt allein, so haben wir alsdann stets (179) 3 F(Ä, ^, (of)) = F{u, V, w) . Auf Grund dieser Formel können wir jetzt allgemein die Ungleichung (180) F{u^, v^, w^) 4- F(u^, v^, w^ ^ F{u^ + u^, v^ + v^, w^ + w^ erweisen. In der Tat, es seien j^, jj, \ die Punkte mit den Koordinaten Mj, v^, ii\'^ Wg, v^, w^ und MjL -j- 1*2, % + v^, w^ + w^. Der im Sinne von § 17 aus (ofi) und (ofg) durch Addition hervorgehende Bereich bedeutet dann das Parallelogramm mit den Ecken o, \^, fg, f und enthält daher jedenfalls den Bereich (of) ganz in sich; nach (133) ist deshalb 3 F(Ä, t, (ofi) + (of^)) ^ 3 F(^, Ä, (Of)), während die linke Seite hier sich nach (127) = 3F(t, t, (ofi))-f3F(t, t, (ofa)) ergibt. Diese Umstände in Verbindung mit (179) führen sofort zur Un- gleichung (180). Ferner gilt, da allgemein je zwei Projektionen ^ (— a, — ß, — y) und %(ci, ß, y) identisch sind, immer F(— u, — v, — w) = F(u, v, w). Nach ihren hier entwickelten Eigenschaften stellt nun F{u, v, w) die Stützebenenfunktion eines gewissen konvexen Körpers 2 mit dem Null- punkte als Mittelpunkt dar, den wir den Körper der ProjeJctionen von Ä nennen wollen. Ersetzen wir Ä durch t^, wobei ^ > 0 ist, so geht £ in t^Si über; unterwerfen wir ^ einer Translation, so bleibt £ unver- ändert. Wir werden jetzt zeigen, daß die Oberfläche des Körpers ^ gleich dem Vierfachen des mittleren Stützebenenabstandes von 2 ist. I Theorie der konvexen Körper. 217 Betrachten wir zunächst den Fall, daß Ä ein Polyeder ist; es besitze St dabei v Seitenflächen ^^(x = 1, 2, . . ., v) und es sei (a^, ß^, y^ die äußere Normale und F^ der Flächeninhalt von %^. Die Oberfläche von Ä wird definiert durch (181) 0 = 3F(^, Ä, ®) = F, + i^2 + . . . + F,. Fassen wir die orthogonale Projektion von Ä auf irgendeine Ebene ax •{- ßy -{- yz = 0 ins Auge, so trifft eine auf dieser Ebene senkrechte Gerade durch einen beliebigen inwendigen Punkt dieser Projektion %{ci,ß,y^ die Begrenzung von ß' in zwei Punkten, einmal in einem Punkte einer solchen Seitenfläche 5^, für die cca^ -\- ßß^ -{- yy^^ 0 ausfäUt, und dann in einem Punkte einer solchen Seitenfläche %^, für die der entsprechende Ausdruck < 0 ausfällt, und infolgedessen ergibt sich der doppelte Flächen- inhalt jener Projektion (182) 2F(a,ß,y)=^\cca,-i-ßß, + yyJF, (r = 1, 2, .. , v). r Mit Benutzung von (172) finden wir daraus den mittleren Stützebenen- abstand des Körpers 2: ^J>(«, ß, y)dco =^2^^ = T^> also die Relation (183) ^ F(S, @, @) = -i r(^, Ä, @). Diese Beziehung können wir jetzt leicht auf einen beliebigen kon- vexen Körper Ä ausdehnen, indem wir folgende Bemerkung verwenden: Es seien St, ß* zwei konvexe Körper, 2, 2* die Körper der Projektionen von §t, bzw. von ^* und H, H*, F, F* die Stützebenenfunktionen von Ä, ^*, 2, 2*. Ist der Körper Ä ganz im Körper ^* enthalten, so leuchtet ein, daß auch die Projektion von Ä auf irgendeine Ebene ßic + /3y + y;? = 0 stets ganz in der Projektion von Ä* auf diese Ebene enthalten sein und infolgedessen stets -F(«, ß, y) ^ F*{u, ß, y) und mithin auch 2 in 2* enthalten sein wird. Wir können noch hinzufügen, daß, wenn dabei Ä und Ä* verschieden sind, auch 2 und 2* nicht identisch sein können. Denn es läßt sich dann gewiß eine solche Richtung (ccq, ß^, y^ angeben, für die R{%, ß^, y^ < II*(c(q, ß^, y^) ist. Wählen wir nun für (a, ß, y) irgendeine zu (a^, ß^, y^ orthogonale Richtung, so erweisen sich die ortho- gonalen Projektionen von Ä und von Ä* auf die Ebene ax-\- ßy -\-ye = 0 in dieser als zwei Ovale mit verschiedenen Stützgeradenfunktionen und muß deshalb F{a,-ß, y) < F*{a, ß, y) sein. Ist jetzt Ä ein beliebiger konvexer Körper und kein Polyeder, so greifen wir einen inneren Punkt ! von Ä beliebig heraus imd können dann zu jeder positiven Größe e ein Polyeder Ä* derart bestimmen, daß Ä OJ 218 Zur Geometrie. ganz in Ä* enthalten ist und andererseits das Polyeder . ^* + r-4— ! ganz enthält. Bezeichnen wir mit 2* den Körper der Projektionen yon Ä*, so ist dann jedesmal 2 in 2* enthalten und enthält andererseits den Körper 7—-; — rs2*. Wir hahen mithin ^ (1 + c)* A F(2* ®, ®) ^ A F(2, ®, @) ^ j^^ F(2* @, @), während zugleich I F(^* Ä* @) ^1 F(Ä, Ä, @) ^ ^^^, F(^* Ä* @) sein wird. Nun wissen wir bereits, da ^* ein Polyeder ist, daß in diesen beiden Reihen bzw. die an erster und die an dritter Stelle aufgeführten Glieder miteinander übereinstimmen. Indem wir die Größe « nach Null abnehmen lassen, erhalten wir alsdann die Formel (183) auch für den Körper Ä. Die damit allgemein festgestellte Formel (184) \£)==^jF{a,ß,y)d sprechen wir kurz in folgender Weise aus: Die Oberfläche eines konvexen Körpers ist gleich dem Vierfachen des arithmetischen Mittels der Querschnitte aller dem Körper umbeschriebenen Zylinder. Aus dieser Darstellung der Oberfläche eines konvexen Körpers er- sehen wir mit Rücksicht auf die bei (171) gemachte Bemerkung ins- besondere sofort, daß, wenn ein konvexer Köi*per U in einem anderen konvexen Körper ^* enthalten ist, stets die Oberfläche von Ä wirklich kleiner als die Oberfläche von ^* ist. Bringen wir die am Schlüsse von § 25 für Körper mit Mittelpunkt 3 3 gefundenen Ungleichungen ^ F2 > JR ^ ^ V^ auf den oben betrachteten Körper 2 in Anwendung, so ergibt sich, daß das Maximum von F(tt, ß, y) noch < — D und andererseits ^ x O ist. Für einen konvexen Körper Ä mit der Oberfläche D besitzt danach jede Projektion einen Flächen- inhalt < -g- D und gibt es stets solche Projektionen, bei welchen der Flächeninhalt > — O ist. = 4 Durch die Relation (172) finden wir überhaupt für eine beliebige ebene Fläche % von einem Flächeninhalt F das (wie in (184) hergestellte) arithmetische Mittel ihrer Projektionen auf die sämtlichen Ebenen durch den Nullpunkt jedesmal =—F. Infolgedessen können wir auch bei be- liebigen Flächen im Räume, die weder konvex noch geschlossen zu sein Theorie der konvexen Körper. 219 brauchen, unter sehr allgemeinen Bedingungen die Oberfläche gleich dem Doppelten des arithmetischen Mittels aller orthogonaler Projektionen der Fläche setzen, wobei wir aber bei jeder Projektion die mehrfach über- deckten Partien nach der Zahl der Überdeckungen in Rechnung zu bringen haben. § 27. Terallgememernng des Oberflächenbegriffs. Während die letzten Betrachtungen ausschließlich auf den speziellen Eigenschaften der Kugel beruhten, entwickeln wir jetzt noch eine be- merkenswerte VeraUgemeinerung des Begriffs der Oberfläche, wobei die RoUe, welche die Kugel (3 in der Formel 0 = 3 F(^, Ä, @) des § 24 spielt, durch einen beliebigen konvexen Bezirk übernommen wird. Wir denken uns zu jeder Richtung (cc, ß, y), also für jeden Punkt der Kugelfläche «^ + /3^ + y^ = 1, einen Wert M(a, ß, y) vorläufig in völlig beliebiger Weise angenommen; dieser Wert kann positiv. Null oder negativ sein. Bedeutet dann ^ ein Polygon in einer Ebene ax-\- ßy -\-yz = d mit der Normale (a, ß, y) und ist F der Flächeninhalt dieses Polygons im gewöhnlichen Sinne, so wollen wir als den verallgemeinerten (kurz ge- schrieben: V.) Flächeninhalt von % auf der (a, /3, y) -Seite jener Fbene das Produkt Jf (a, ß, y) F definieren. Dabei werden, wenn die Faktoren J/(a, ß, y) und M{— cc, — ß, — y) verschieden gewählt sind, dem Poly- gone ^5 verschiedene v. Flächeninhalte auf den zwei Seiten seiner Ebene zugeschrieben. Bei einem Polyeder ^ bezeichnen wir als die äußeren V. Flächeninhalte der Seitenflächen deren v. Flächeninhalte auf denjenigen Seiten ihrer Ebenen, welche die äußeren Normalen dieser Ebenen in bezug auf ^ vorstellen. Wir definieren nun als verallgemeinerte (v.) Oberfläche eines Polyeders die Summe der äußeren v. Flächeninhalte seiner sämtlichen Seitenflächen. Nunmehr stellen wir die Frage, welche Bedingungen der Funktion M{ttj ß, y) für die Gesamtheit aller Richtungen {a, ß, y) aufzuerlegen sind, damit auch jedem beliebigen konvexen Körper eine bestimmte Größe der V. Oberfläche zugewiesen werden kann und dabei dann allgemein der folgenden Forderung Genüge geschieht: (I.) Wenn ein Jconvexer Körper Ä in einem anderen Jconvexen Körper Ä* enthalten ist, soll die v. Oberfläche von Ä niemals größer als die v. Ober- fläche von Ä* sein. Um die angeregte Frage zu erledigen, fassen wir zunächst einige ein- fache konvexe ^örper ins Auge. Es bedeute (cc, ß, y) irgendeine Rich- tung, (or) die Strecke vom Nullpunkte o nach dem Pxmkte r mit den Koordinaten a, ß, y, und ^ ein Dreieck in der Ebene ax -\- ßy -\- yz '^ 0 220 Zur Geometrie. vom Flächeninhalte F= 1 und noch mit dem Nullpunkte 0 im Inneren. Der Bereich s% -\- (or) bei positivem s bedeutet dann das dreiseitige Prisma mit s^ als Basis und (or) als Höhe, und dieser konvexe Körper wird um so umfassender, je größer wir s wählen. Die v. Oberfläche dieses Prismas besitzt offenbar einen Ausdruck (M{a, ß, y) + Mir- ^, - A - r))s^ + Ns, worin N einen von s unabhängigen Wert vorstellt, und dieser Ausdruck darf nun nach unserer Forderung mit wachsendem s niemals abnehmen. Daraus geht hervor, daß bei jeder beliebigen Richtung (a, /3, y) not- wendig immer (185) Jf («, ß, y) + M{- a,-ß,-y)>0 sein muß. Wir definieren jetzt eine Funktion M(u, v, w) für beliebige Werte w, V, w, indem wir festsetzen, daß, wenn ^ > 0 ist, stets (186) M{ta, tß, ty) = tM{a, ß, y) sei, und noch M{0, 0, 0) = 0 annehmen. Es seien jetzt a^, ß^, y^; «g? ß^i 7% irgend zwei Richtungen, die ver- schieden und auch nicht einander entgegengesetzt sind, t^, t^ Werte > 0 und wir setzen Sodann bedeute a^, ß^, y^ eine der zwei auf jenen beiden senkrechten Richtungen, Tg den Punkt mit den Koordinaten cc^, ß^, y^, und schreiben wir i^j = a^x + ß^y -f- yi^ {i == 1, 2, 3). In der Ebene t/jg = 0 bestimmen wir einen Punkt pi auf der Geraden x^'i== 0, so daß für ihn ip^^^ ^^^ ^^^ Länge op^=t^ ist, und einen Punkt p^ ^^^ der Geraden ^2 =°= ö> so daß für ihn ^^ < 0 und die Länge opg = ^2 ^^^- ^^^ Dreieck p^Op^ haben dann die Seiten op^ und opg die Längen t^ und ^2 und die äußeren Normalen (a^, ß^, y^) und (0^2, ß^, 72)5 es sei sodann f die Länge der Seite pip2 ^^^ (~ ^y ~ ßt — ?) deren äußere Normale in bezug auf das Dreieck, und setzen wir ta = u, tß = v, ty = w. Bringen wir die drei Relationen (136) auf das dreiseitige Prisma mit Pi0p2 als der einen Grundfläche und otg als Höhe in Anwendung, so kommen wir, da die zwei Grundflächen des Prismas gleichen Flächen- inhalt und entgegengesetzt gerichtete Normalen haben, zu den Gleichungen: Ml + ^2 — M = 0, Vi + V2 — V =^ 0, w^ -{- w^ — w = 0 . Jetzt sei q irgendein Punkt in ijj^ = 0 im Winkelraume ^1 < 0^ ^2 < 0 und noch außerhalb des Dreiecks p^^Op^ gelegen. Vergleichen wir die V. Oberflächen für zwei gerade Prismen miteinander , von denen das eine das Viereck Opiqp2? das andere das Dreieck piC\p2 als Basis hat, während die Höhe für beide dieselbe und an Länge = s sein soll, so ent- Theorie der konvexen Körper. 221 hält das erste dieser Prismen das zweite in sich und muß deshalb auf Grund unserer Forderung die Differenz dieser zwei v. Oberflächen ^ 0 sein. Diese Differenz erhält den Ausdruck s(t,Mia^, ß„ y,) + t,M{a„ ß,, y,) - tM{a, ß, y)) wo F den Flächeninhalt des Dreiecks piOpg bedeutet. Indem nun diese Differenz bei beliebigem positivem Werte s stets ^ 0 sein soU, muß der Koeffizient von s darin ^ 0, also (187) M{u^, v^, w^) + M(n^,V2,u\) ^ M(ui + u^, v^ + v^, ti\ + w^) sein. — Für solche Argumente u.^^, v^, ii\] u^, v^, iv^, wobei -^ = -^ = — und dieser Wert > 0 bzw. < 0 ist, erhalten wir die nämliche Relation aus (186) allein, bzw. aus (186) unter Berücksichtigung von (185). Für das Bestehen der Forderung (I) muß demnach die Funktion M(u, V, w) den Bedingungen (185), (186), (187) Genüge leisten; sie er- weist sich damit nach § 11 als die Stützebenenfunktion irgendeines kon- vexen Bezirks 'SR, der einen konvexen Körper, aber auch ein Oval oder eine Strecke oder einen Punkt vorstellen kann. Gemäß der Formel (135) bedeutet dann für ein Polyeder ^ die v. Oberfläche einfach den Wert des Ausdrucks 3 F(^, ^, Tl), und durch den Satz bei (133) erkennen wir, daß alsdann für einen beliebigen konvexen Körper ^ die v. Oberfläche nur mit 3 V(ß., ß, 9JZ) zusammenfallen kann, wenn (I) gelten soll. De- finieren wir aber allgemein für einen konvexen Körper ß die v. Ober- fläche durch 3F(ß, ß, 2)Z), so leuchtet in der Tat ein, daß alle an diesen Begriff hier gestellten Forderungen erfüllt sind. Den gerade verwandten Bezirk 2Jt bezeichnen wir als den Eichbezirk der v. Oberflächen. Nehmen wir z. B. für 2Ji die Strecke von 0 nach dem Punkte c mit den Koordinaten 0, 0, 1, so bedeutet nach § 26 die v. Oberfläche 3 F(ß, Ä, (oc)) den Flächeninhalt der Projektion von Ä auf die a;t/-Ebene. Nehmen wir femer für äJl den Würfel 3Ö, der durch (188) 0^2:^1, 0£y£l, 0£z£l bestimmt wird. Bedeuten a, b, c die Punkte mit den Koordinaten 1,0,0; 0,1,0; 0,0,1, so ist SB identisch mit der Summe der drei Strecken (oq) -\- (ob) -f- (oc) und auf Grund der Regel (127) finden wir daher die V. Oberfläche 3F(Ä, ^, SB) gleich der Summe der Flächeninhalte der drei Projektionen des Körpers St auf die drei Koordinatenebenen. Nehmen wir endlich für 9Ji das Oktaeder, welches durch (189) \x\-\.\y\-{.\z\£l definiert ist, so bedeutet M{a, ß, y), das Maximum von ax -\- ßy + ye in diesem Oktaeder, den größten Wert unter den drei Beträgen |a|,!/3|,|y|. 222 Zur Geometrie. Im Hinblick auf die Formel (135) können wir dann 3 F(^, ^, W) als die maximale Projektion von ^ auf die Gesamtheit der drei Koordinatenebenen bezeichnen. Wir untersuchen jetzt noch, welche besondere Eigentümlichkeit dem Eichbezirk 3J2 der verallgemeinerten Oberflächen zukommen muß, damit an Stelle von (I) die schärfere Aussage treten kann: Wenn ein konvexer Körper Ä in einem anderen konvexen Körper Ä* enthalten ist, so erweist sich 3 V(ß, ^, W) < (nicht bloß ^) 3 F(Ä* ^*, W) . Wir werden für diesen weiteren Umstand als notwendig und hinreichend erkennen, daß der Bezirk fffl keinen Eckpunkt (s. § 13) besitze. In der Tat, nehmen wir zunächst an, daß 9Ji irgendeinen Eckpunkt p aufweise. Es sei (a, ß, y) die Normale einer Eckstützebene durch p an SOZ, so können wir jedenfalls drei Stützebenen durch :p an SJl mit drei un- abhängigen Normalenrichtungen (a,., /3^, y^ (i == 1, 2, 3), wobei also die Determinante dieser drei Reihen «,., ß^, y^ von Null verschieden ausfällt, derart finden, daß (190) a = fi«i+^2«2 + ^3<^3; ß = hßii-hß2 + hßs7 7 = h7i+^2Y2 + hYs mit drei positiven Faktoren t^, t^, t^ gilt. Indem t^, t^, t^ positiv sind, be- steht nach (187) und (186) jedenfalls die Ungleichung (191) M(a, ß, y) £ t, M{a„ ß„ y,) + t,M(a„ ß„ y,) + ^3 M{a„ß„ y,) und da alle jene vier Stützebenen durch den Punkt p gehen, so wird hierin notwendig das Zeichen = gelten. Setzen wir nun ^i = cCi^ + ßiV + Ti^ , t = t^il;^ + f^ti + tz% i} = 1; 2, 3) und es seien f^, fg, \^ die drei Punkte in der Ebene ^ = — 1, für welche ^2 = 0, •^3 = 0 bzw. i/;i = 0, ^3 = 0 bzw. t^^ = 0, 11^2 = ^ gilt. Die vier Punkte 0, fi, ^2) fa sind dann die Eckpunkte eines Tetraeders %, dessen vier Seitenflächen in die Ebenen ^ = — 1, il)^ = 0, ij^^ = 0, ^3 = 0 faUen und die äußeren Normalen (— «, — ß, — y), («i, /S^, y^), (a^, ß^, y^, («3, /Jg, 73) haben. Bezeichnen wir die Flächeninhalte dieser Seitenflächen mit F, i^i, F^, 2^3, so bestehen nach (136) die Gleichungen Fa = F^a,-\-F,a, + F,a,, Fß== F,ß, + F,ß, + F,ß„ Fy^F,y, + F,y, + F,y,', da die Determinante der rechts stehenden Ausdrücke in j?\, F^, F^ von NuU verschieden ist, führt der Vergleich mit (190) zu: (192) F,^t,F, F,^t,F, F,=^t,F. Ist jetzt j* irgendein Punkt, für den ^i<0, ^2<0, ^3<0, z/'<— 1 ist, so setzen die zwei Tetraeder ofijgfs ^^^ f*fif2f3 ^i^h wieder zu einem konvexen Körper X* zusammen und haben wir für Theorie d^ konvexen Körper. 223 3 F(x* 2* SR) - 3 r(%, %, m) den Ausdruck (193) F,M(a,, ß„ y,) + F,M{a,, ß,, y,) + F,M{a„ ß„ y,) - FM{a, ß, y) , welcher vermöge (192) und, da in (191) das Zeichen = gilt, sich = 0 erweist. Danach würden hier also in % und %* zwei verschiedene kon- vexe Körper vorliegen, von denen der erste ganz im zweiten enthalten ist und welche doch die gleiche v. Oberfläche besitzen. Jetzt nehmen wir andererseits an, daß der Bezirk SOI keinen Eck- punkt besitze. Betrachten wir dann irgendein Tetraeder %, bei welchem die vier Seitenflächen die Flächeninhalte F, F^, F^, F^ und die äußeren Normalen (— a, — ß, - y), (a^, ß^, y^), {cc^, ß^, y^), («g, ß^, y^) haben mögen, so muß der mit diesen Größen gebildete Ausdruck (193) jedesmal notwendig > 0 sein. Denn es gelten dann die Gleichungen (190) mit (192) und besteht daher (191), ist also der Ausdruck (193) sicher ^ 0. Würde nun dieser Ausdruck = 0 ausfallen, so würde die Gleichung Jf («, ß, y) — ax — ßy — y z = 0 in SW, da hier durchweg M{a„ ß„ y,) - a,x - ß,y - y,z ^0 (i = 1, 2, 3) ist, nur so eintreten können, daß zugleich in diesen drei letzten Un- gleichungen immer das Zeichen = statthat; d. h. der Schnittpunkt der drei Stützebenen an 9)J mit den Normalen («,., /3,., 7,) müßte notwendig ein Punkt von 9Jf sein und dieser Punkt wäre dann ein Eckpunkt von 9)i. Jetzt seien ß und Ä* irgend zwei verschiedene konvexe Körper und es sei ^ ganz in ^* enthalten. Wir können alsdann jedenfalls eine solche Ebene \%\ konstruieren, welche innere Punkte von Ä* enthält, aber ß gar nicht trifft, und es sei (a, /3, y) die Normale dieser Ebene nach der Seite, auf der Ä nicht liegt. Wir nehmen in \%\ drei nicht in gerader Linie gelegene Punkte C|i,q2, (^3 aus Ä* an und können hernach einen vierten Punkt q aus ^* so nahe an der Ebene \^\ auf ihrer (a, ß, y)- Seite wählen, daß in dem Tetraeder 2^ = (q, q^, qg, qg) die äußeren Nor- malen der drei, q enthaltenden Seitenflächen 5^, ^2» 1^3 beliebig wenig von (a, /3, y) abweichen und die Ebenen { ^1 } , \%%\j \%z\ dieser Seiten- flächen Ä ebenfalls nicht treffen und auf derselben Seite wie jedesmal die vierte Ecke von % liegen lassen. Es sei nun 3* derjenige Teil von Ä*, welcher zugleich die Bedingungen der drei Stützebenen \%-^\y \%i\i ( f^fs } an % erfüllt, und S der Teil von S* der nicht auf der (a, /3, y)-Seite von \%\ liegt. Alsdann ist 3* in Ä* imd Ä in S enthalten und 3* setzt sich aus 3 nnd % zusammen, wobei diese Körper in der Fläche % 224 Zur Geometrie. aneinanderstoßen. Wir haben daher 3 F(Ä* Ä*, m) ^ 3 F(3* 3* m) , 3 F(S, S, 9Ji) ^ 3 F(Ä, t, 3Ä) und die Differenz 3 F(S*, S*, SJJ) - 3 F(S, % Tl) erweist sich nach (137) gleich dem Ausdrucke (193) in bezug auf das Tetraeder %, also > 0, mithin gilt auch stets (194) 3 F(^* ^* m)>3 F(^, ^, m) . Insbesondere erhalten wir auf diese Weise für die Oberflächen im gewöhnlichen Sinne, deren Eichkörper die Kugel vom Radius 1 mit dem NuUpunkt als Mittelpunkt ist, von neuem die Tatsache: Wenn ein konvexer Körper ^ ganz in einem anderen konvexen Körper Ä* enthalten ist, so besitzt ^ stets eine kleinere Oberfläche als ^*. § 28. Tangentialkörper und Kappenkörper. Wir besprechen hier für eine spätere Anwendung noch einen weiteren Grenzfall der Ungleichung (133). Es seien 51 und ^' zwei konvexe Körper mit den Stützebenenfunktionen H und H' und es sei W ganz in ^ ent- halten. Für die vier Größen F(^, t, W), F(^, u, k'), v{% r, r), v(ß\ t; r), die wir mit Vq, V^, V^, V^ bezeichnen, bestehen dann nach (133) jeden- falls die Ungleichungen (195) r,^v,^v,>v,. Ist Ä' nicht identisch mit ^, so gibt es innere Punkte von Ä, die nicht zu ^' gehören und ist infolgedessen gewiß Fq > Fg. Wir fragen jetzt, unter welchen Umständen Vq > Fj und Vq > Fg gilt. Wir wollen einen konvexen Körper ^ als einen TangentialJcörper eines konvexen Körpers ^' bezeichnen, wenn jede Tangentialebene (extreme Stützebene) an ^ stets auch eine Stützebene an ^' ist. Dabei versteht es sich nach § 14 und § 13 ohne weiteres, daß der Körper Ä den Körper Ä' ganz in sich enthält. Wir werden jetzt den Satz beweisen: Ist Ä' in ^ enthalten, so besteht dann und nur dann die Gleichung (196) F(Ä, Ä, t) = F(Ä, t, ^'), wenn Ä ein Tangentialkörper von ^' ist. In der Tat, nehmen wir zunächst an, während ^' in Ä enthalten ist, gäbe es irgendeine solche Tangentialebene an Ä, die nicht zugleich Stütz- ebene an ^' ist. Der Einfachheit wegen denken wir uns den Nullpunkt ins Innere von ^' und die positive ;?- Achse in die Richtung der äußeren Normale jener Tangentialebene gelegt. Es sei Cq der kleinste, q' der größte Wert von 0 in ^' und Cq der kleinste, q der größte Wert von e I Theorie der konvexen Körper. 225 in Ä. Nach Voraussetzung ist dann c^' < 0 < q' < q . Bedeutet d eine positive Größe < c^ — c^' und bezeichnen wir den Teil Ton S, wo z^c^ — d ist, mit ^0, den Teil von Ä, wo z^c^ — d ist, mit Ä^, so ist Ä' ganz in ^5 enthalten. Die Ebene 2 = c^ — d hat mit ^ ein gewisses Oval g(d) gemein; wir bezeichnen mit F{d) den Flächeninhalt, mit ^"(5) den Um- fang von %{ö), mit r(d) das Maximum unter den Radien aller ganz im Oval 5(d) enthaltenen Kreisflächen. Daß die Stutzebene z = c^ an Ä eine Tangentialebene an Ä ist, bedeutet nach § 14 soviel, wie daß der Quotient -j^ für ein nach Null abnehmendes d über jede Grenze hinauswächst. Indem das Oval '^(ß) eine Kreisfläche vom Radius r{ö) enthält, ist der gemischte Flächeninhalt von ^(ß) und dieser Kreisfläche gewiß nicht größer als der Flächeninhalt von i5(d), d. h. hat man ^rid)U(d)£F(d) und wird mithin YfjiL mit nach Null abnehmendem d gleichfalls über jede Grenze hinauswachsen. Der Beziehung (137) gemäß gilt (197) F(Äo, ^0, r) + F(ti, Ä„ Ä') = F(Ä, Ä, ^0 + I«- O^W. Ist ^ und damit auch ^q ein Polyeder und stellen wir F(ßo,ÄQ,Ä) und F(Ä(,, ^0, ^') gemäß (135) dar, so erkennen wir die Differenz der ersten und der zweiten Größe als Aggregat von lauter Termen ^ 0, unter denen ein Term — = — i^(d)(Ci — c^') ist, und wir erhalten demnach (198) F(Äo, %, Ä) ^ F (Äo, ^0,^0 + 1 (^1 - ^i') ^ W • Diese Formel übertragt sich dann genau wie die Beziehui^ (137) von dem Falle eines Polyeders auf den Fall eines beliebigen konvexen Körpers Ä. Nach (133) haben wir ferner, da Äq in Ä enthalten ist (199) F(^, ß, ä) ^ F(Äo; ^0, ^) • Endlich brauchen wir eine gewisse obere Grenze für F(Äj, ß^, ß'). Es sei p ein Punkt aus Ä in der Stützebene s = c^, q der Schnittpunkt von op mit ;sr = q — d, und s der Sinus des Neigungswinkels von op gegen diese Ebene, also — die Länge von pq. Wir bilden durch Pro- jektion des Ovals ^(d) vom Punkte o aus auf die Ebene z = c^^ in dieser das Oval — ^-^ § (d) ; konstruieren wir sodann den Zylinder (5i mit letzterem Oval als einer Grundfläche und mit Erzeugenden des Mantels, die parallel und gleich pq sind, so daß die andere Grundfläche durch Dilatation des Ovals 5(^) ^^^ ^ ^"^ ^ Verhältnisse c^ : q — d entsteht, Minkowski, GeMmmelte AbbAndlangen. II. 15 226 Zur Geometrie. SO enthält dieser Zylinder (Sj offenbar den Körper Ä^ ganz in sieb, und gilt daher (200) 7(^1, ©1, r) ^ F(Ä\, Äi, ÄO . Denken wir uns nun zunächst Ä als Polyeder, so werden auch ^^ und ©1 Polyeder und hat der Mantel von ß^ einen Flächeninhalt WO f/^(^) den Umfang von % (ß) bedeutet. Bringen wir nun zur Berech- nung von F((5i, @i, ^') die Formel (135) in Anwendung und bezeichnen das Maximum der Stützebenenabstände S'(cc, ß, y) für ^' mit R', so ge- langen wir zur Ungleichung (201) i-(_^)V(d)(q'-V) + |-f ^ C/(d)E'^F(S„6„<^0- Diese Formel läßt sich dann ebenso wie (137) sofort auf den FaU eines beliebigen konvexen Körpers St ausdehnen. Durch Summation der Beziehungen (197) — (201) entsteht nun (202) V{^, ^, ^)- r{U, <^,^')^|i^(d)[c,-c/- ^|^)(c/-Co')] -l.dü(S) ''^' s{c, - d) Hierin ist q — c^' > 0 und, wie oben bemerkt, konvergiert „ A. mit d zugleich nach Null. Danach fällt der in (202) rechts vom Zeichen ^ befindliche Ausdruck sicher > 0 aus, wenn d unter eine gewisse positive Größe gesunken ist, und ergibt sich somit bei der gegenwärtigen Voraus- setzung: (203) F(t, ^, t) > F(^, ^, r) . Hiemach ist für die Gleichheit der Werte F(^, ^, ^) und F(^, ^, ß'), wenn ^' in ^ enthalten ist, jedenfalls eine notwendige Bedingung, daß eine jede Tangentialebene von Ä stets zugleich eine Stützebene an Ä' sei. Nehmen wir jetzt andererseits diese Bedingung als erfüUt, somit ^ als Tangentialkörper von ^' an. Stellt Ä zunächst ein Polyeder vor, so gilt für die Richtungen (a, ß, y), welche die äußeren Normalen der Seiten- flächen von Ä abgeben, immer JEL{dc, ß, y) == II'{a, ß, y), und im Hinblick auf (135) erhalten wir daher in der Tat F(^, ^, t) = F(^, t, ^0- Wenn aber Ä einen beliebigen konvexen Körper bedeutet und wie wir annahmen, 0 ein innerer Punkt von Ä ist, können wir nach dem am Schlüsse von § 13 bewiesenen Satze in bezug auf jede vorgegebene Größe £ stets ein solches Polyeder ^ konstruieren, dessen Seitenflächen lauter Tangential- ebenen an ^ sind und welches dabei ganz in (1 -f- f) ^ liegt. Da alsdann ^ gleichfalls einen Tangentialkörper von W vorstellt, gilt nach dem soeben Theorie der konvexen Körper, 227 Bemerkten gewiß F(^, % ^) = F(5p, ^, £')• ^^ sinken die Differenzen F(^, ^, ^) - F(ß, ^, Ä) und r{% % ÄO - F(Ä, Ä, Ä'), die jedenfaUs ^ 0 sind, mit nach Null abnehmendem £ unter jede positive Größe, und danach finden wir auch F(^, Ä, Ä) - V(ß, ß, Ä^ beliebig klein, d. h. gleich Null. — Wir bezeichnen einen konvexen Körper ^ als einen KappenJcörper eines konvexen Körpers Ä ', wenn, von den Eckstützebenen an Ä abgesehen, alle übrigen Stützebenen an Ä zugleich auch Stützebenen an Ä' sind (s. § 16). Dabei ist Ä jedenfalls auch ein Tangentialkörper von Ä' und enthält Ä' ganz in sich. Wir werden jetzt den ferneren Satz beweisen: Ist ^' in ^ enthalten, so lesteht dann und nur dann die Gleichung (204) F(Ä, Ä, Ä) = F(Ä, Ä', Ä'), w:eww Ä ei« KappenJcörper von Ä' «s^. In der Tat, nehmen wir an, es sei Ä' nicht identisch mit Ä, und betrachten wir beliebige zwei Stützebenen an ^ undÄ' mit derselben äußeren Normale, welche nicht zusammenfallen. Der Einfachheit wegen denken wir uns o ins Innere von Ä' und die positive ^r- Achse in die Richtung jener Normale gelegt, und wir wollen in bezug auf Ä und ^' und diese Richtung die Zeichen Cq, c^', c^, q, d, ^q, ß^, %{d), F(d) genau wie vor- hin verwenden. Indem wir die positive Größe d < q — q' einrichten, wird Ä' ganz in ^q enthalten sein und daher jedenfalls (205) riß, Ä, Ä) > F(t, to> ^o) > y{^, ^', ^1 statthaben. Femer besteht gemäß (197) die Gleichung (206) F(^, Äo, ^o) + V(^> ^1, ^i) = V{^, Ä, Ä) + Y (^1 - ^o) F{d) . Denken wir uns zunächst ^ und damit auch Äj als Polyeder, so stimmt die Stützebenenfunktion von ^j für jede Richtung (a, ß, y), welche (äußere) Normale einer Seitenfläche von ^^ vorstellt, mit Ausnahme der Normale (0, 0, — 1) von %(d), genau mit dem Werte R{a, ß, y) für Ä überein, während für die eine Richtung (0, 0, — 1) die erstere Funktion = - (ci - ö), dagegen J3(0, 0,-1) c^ ist. BUden wir nun F(Ä„ ^„ ^) und Ff^i, Äi, ^i) gemäß der Formel (135), so entsteht daher die Be- ziehung (207) I (Ci - 0 ist. Sind Mj, v^, w^ und «<,, Vj, w^ ii^end zwei Systeme der Argumente, so gibt es in 2W immer wenigstens einen Punkt x, y, z, wofür («1 + Wj)^ + iPi + v,)y + (?q -I- w^z = H{u^ -\- M3, v^-\- Vj, u\ 4- «f j) wird, und da für diesen Punkt sicherlich u^x -f- v^y ->r WiZ ^ H(ui, v^, w^), u^x -f- v^y + ic^z ^ fi(M,, r„ w,) 232 Zur Geometrie. ist, so gilt dalier immer: (3) H(u^ + %, v^ + v^, w^ 4- w^s) ^ -S'Kj '^1, ^i) + -3(^2, «'s» ^i)- Das Maximum von — {ux -\- vy ■{■ wz) in 9K ist H{— u,—v,— w), also gilt in SUi stets: — H{—u, —v,—w)^ux-\-vy-\-wz-^ H(u, v, w). Wenn die Werte u,v,w=^ 0, 0, 0 sind, muß daher, da 9K nicht ganz in einer Ebene liegen soll, stets (4) JI{u, V, w) 4- H{—u,—v, —w)>0 sein. 2. Eine Ebene, welche wenigstens einen Punkt der Begrenzung von 9JJ enthält, aber außer den Punkten, die sie mit Wt gemein hat, 3JI ganz auf einer Seite von sich liegen läßt, nennen wir eine Stützebene an 9Ji. Ist H(u, V, w) eine heUebige reelle Funktion von drei reellen Argumenten M, V, w, welche allen den Bedingungen (1) — (4) genügt, so bezeichnen wir den Bereich Ä von Punkten x, y, z, welcher durch die sämtlichen Un- gleichungen (5) ux -\- vy ■{■ WZ -^ E{u, v, w) für alle möglichen Wertsysteme u, v, w definiert ist, als einen konvexen Körper. Die Funktion H nennen wir die Stützebenenfunktion von Ä, da aus den Ungleichungen (5) offenbar genau die Stützebenen an Ä zu erkennen sind. Ist II{u, V, w) wie in 1. aus der Punktmenge 3JJ hergeleitet, so wird der durch die Ungleichungen (5) definierte Bereich ^ der kleinste, 93^ ent- haltende konvexe Körper, d. h. ^ ist ein notwendiger Bestandteil jedes konvexen Körpers, der Wl ganz in sich aufnimmt. Ist ^* ein zweiter konvexer Körper mit der Stützebenenfunktion H*{u, V, w), so ist dann und nur dann Ä ganz in ^* enthalten, wenn stets H(u, V, w) ^ H*(u, v,w) ausfällt. 3. Ein konvexer Körper ist andererseits vöUig durch die Eigen- schaften zu charakterisieren, erstens, daß jede Gerade mit ihm sei es eine» Strecke, sei es einen Punkt, sei es keinen Punkt gemein hat, zweitens, daß zu ihm wenigstens vier nicht in einer Ebene gelegene Punkte gehören. 4. Ist p ein beliebiger Punkt, so verstehen wir unter Ä -f p den Körper, der aus ^ durch diejenige Translation entsteht, durch welche der Nullpunkt nach p gelangt. Sind a, b, c die Koordinaten von p, so wird die Stützebenenfunktion von Ä + P* H{u, V, w) -{- au ■{- hv -{- cw. Unterwerfen wir ^ einer Dilatation vom NuUpunkte aus nach allen Volumen und Oberfläche. 233 Richtungen in einem festen positiven Verhältnisse t:l, so bezeichnen wir den entstehenden Körper mit t^] eine Stiitzebenenfunktion wird tH(u, v, w). 5. Wir bezeichnen mit @ die Kugel x^ -{- y^ -{- z^^\, vom Radius 1 mit dem Nullpunkt o als Mittelpunkt, mit (5 die Kugelfläche ü^ -\- y^ -\- z^ '= \, mit a, ß, y die Koordinaten eines beliebigen Punktes auf @, bzw. die Richtung vom Nullpunkte nach diesem Punkte. Infolge der Eigenschaft (2) sind alle Werte der Funktion H bereits durch deren Werte H{u, ß, y) für die Punkte auf @ bestimmt. Die Ungleichung ax-{- ßy-\-yz^ H{a, ß, y) bezeichnen wir als die Bedingung der Stützebene an ^ mit der äußeren Normale {a, ß, y). Die Funktion S(ii, v, w) ist nach den Eigenschaften (1) — (4) eine stetige Funktion ihrer Argumente, und besitzen infolgedessen die Werte H{aj ß, y) auf (S ein bestimmtes Maximum G. Ist ein Wert -5"(«, ß, y) ^ 0, so ist nach (4) der zugehörige Wert J?(— u, — ß, — y) positiv und von größerem Betrage; G ist daher jedenfalls > 0. Mit Hilfe von (3) und (2) gewinnen wir die Ungleichung (6) \3(u — UQ,v — VQ,tü — Wq) — H{uq, Vq, Wq) I ^ (t]/m^ + v^ + iv^. § 2. Annähernng an einen beliebigen konvexen Körper dnreh Tollkommene Ovaloide. 6. Ist (p = 0 die Gleichung einer Ebene und der konvexe Körper ^ ganz im Bereiche ^ ^0 enthalten, so heißt 9? ^ 0 ein Halhraum um 5?. Ist ein Halbraum gp ^ 0 um U so beschaffen, daß man nicht (p = t^(p^-\- t^ (p^ setzen kann, so daß ^^ > 0, t^^ 0 und 9^1 ^ 0, gjg ^ ^ zwei verschiedene Halbräume um Ä sind, so heißt cp ^0 ein extremer Halhraum um Ä. Die Ebene 95 = 0 ist dann jedenfalls eine Stützebene an ^ und heißt eine extreme Stützebene an ^. Ein konvexer Körper mit einer endlichen Anzahl von extremen Stützebenen heißt ein (hmvexes) Polyeder. 7. Unter einem vollkommen€}i Ovaloid woUen wir einen konvexen Körper verstehen, bei dem die Begrenzung durch eine analytische Glei- chung in den rechtwinkligen Koordinaten x, y, z definiert wird und über- dies in jedem Punkte eine bestimmte und immer nur eine Berührung erster Ordnung eingehende Tangentialebene besitzt. 8. Ist Ä ein beliebiger konvexer Körper mit dem NullpunTde als innerem Punkt und s eine beliebige positive Größe, so läßt sich stets ein vollkom- menes Ovaloid O bestimmoi, so daß £l den Körper Ä enthält und selbst in (1 -|- «) ^ enthalten ist. Es sei H(u, v, w) die Stützebenenfunktion von Ä. Da der Nullpunkt im Inneren von Ä liegt, ist jede Größe H(a, ß,y)>0. Es sei nun g 234 Zur Geometrie. das Minimum der Werte H(cc, ß y) auf der Kugelfläche @, so ist auch ^ > 0. Wir denken uns den ganzen Raum durch ein Netz von lauter gleichen Würfeln mit einer Kante ö erfüllt. Es sei SB der Gesamtbereich aller derjenigen Würfel dieses Netzes, welche überhaupt wenigstens einen Punkt von ^ aufnehmen, und ^ der kleinste, diesen Bereich SB ganz enthaltende konvexe Körper, so ist ^ ein Polyeder, und für jede Richtung (a, /3, y) ist der Abstand derjenigen Stützebene an ^, welche (a, /3, y) als äußere Normale hat, vom NuUpunkte einerseits > Il{a, ß, y), andererseits ^H(a, ß,y) + dys ^H(a, ß,y)(l +^-^1). Danach enthält ^ den Körper ^ im Inneren und ist selbst ganz in (l + ^^ ^ enthalten. Das Polyeder ^ besitze n Seitenflächen; da ^ den Nullpunkt im Inneren enthält, können wir die Bedingungen dieser n extremen Stütz- ebenen an ^ in der Form schreiben, so daß dabei Xi, X^, • - -, Xn homogene lineare Ausdrücke in x, y, z sind. Es sei nun a eine beliebige positive Größe, die wir >lgw an- nehmen, und D der durch die Ungleichung (8) Q = e'"^^ + e'"-^» -\ \- e'"Xn ^ ne"" bestimmte Bereich. Dieser Bereich Q enthält jedenfalls das durch die Ungleichungen (7) definierte Polyeder ^ in sich. Andererseits ist Q ganz in (1 +-^) ^ enthalten; denn in jedem Punkte außerhalb des letzteren Polyeders erweist sich stets wenigstens eine der Größen %\, x^, • ■ -, Xn ^^ > 1+ -^— und die rechte Seite in (8) daher als > ne'". Nach der Lagenbeziehung von ^ zu U wird weiter D den Körper Ä enthalten und selbst in (i+f)(i + '^)^ enthalten sein. Wir können nun 8 so klein und o so groß annehmen, daß der hier stehende Faktor von ^ sich ^ 1 + £ erweist. Die Begrenzung von £l ist die analytische Fläche Q = we". Wir finden den Ausdruck mithin auf der Begrenzung von O stets ^ rae"' ; denn dort ist in jedem Punkte wenigstens eine der Größen x^l und andererseits gilt Volumen und Oberfläche. 235 immer ^6' ^ — — • Mit Berücksichtigung von e^ > n ersehen wir hieraus, daß auf der Begrenzung von C niemals -k-, -k-, -^ gleichzeitig Null sein können, mithin in jedem Punkt« dieser Begrenzung stets eine bestimmte Tangentialebene existiert. Weiter finden wir, wenn x, y, z als lineare Funktionen eines Para- meters t dargestellt werden, immer (10) ^= «' ((%)'^'' + (%)'^'- + • • ■ + Off<^") > 0- Aus dieser Beziehung folgt, daß auf einer beliebigen geradlinigen Strecke der Ausdruck Q.{x,y, z) seinen größten Wert immer an wenigstens einem der Endpunkte annimmt, daß mithin C mit irgend zwei Punkten stets die ganze sie verbindende Strecke enthält. Andererseits ist aus (10) er- sichtlich, daß jede Tangentialebene an D mit Cl nur eine Berührung erster Ordnung eingeht. Nach allen diesen Umständen besitzt Q in der Tat die in unserem Satze verlangten Eigenschaften. 9. Auf Grund dieses Satzes können wir weiter zu einem gegebenen konvexen Körper ß, der den XuUpunkt 0 im Inneren enthält, mit einer Stützebenenfunktion H, immer eine unendliche Reihe von vollkommenen Ovaloiden £1', C, . . . mit solchen Stützebenenfunktionen ^, Q'y . . . her- stellen, daß die Reihe der Quotienten 'H{cc,ß,ry H{a,ß,yy"' nach der Grenze 1 konvergiert und zwar gleichmäßig für alle Systeme a, ß, y auf der ganzen Kugelfläche (S. Trifft der hier bezeichnete Umstand zu, so woUen wir sagen, die Reihe der konvexen Körper O', Q", . . . hat den konvexen Körper ß als Grenze^ oder konvergiert nach Ä. Ist p ein beliebiger Punkt, so bezeichnen wir weiter den Körper ^ -j- p, der p als inneren Punkt enthält, als Grenze der Körper D'+p, C'-f-p,--.. § 3. Tolumen eines konvexen Körpers. 10. Jedem konvexen Körper kommt ein bestimmtes Volumen zu, ferner ein bestimmter Schwerpunkt, welcher stets ein innerer Punkt des Körpers ist. 11. Wir führen für die Punkte a, ß, y der Kugelfläche S Polar- koordinaten ein und setzen a = sin -^^ cos iff, /3 = sin 'S- sin ^, y = cos -ö-, wobei wir & und ^ in den Grenzen 0^^^;r, 0 ^i> ^2x annehmen. Wir schreiben femer 236 Zur Geometrie. "i"^äl^ ^^^^°°^^' /3i = gl = cos ^ sin ^, y^ = ||. = _sin<9-, •^ siii'ö' öip ' ^^ Sind' ^ijj ^' '2 sinO' ^ip ' dabei ergeben die drei Gleicbungen (11) ^ = cc^x-\-ßiy-^y^z, V = (^2^ + ß^V + Tz^, t =^ ax -\- ßy -\- y z stets eine orthogonale Transformation der Koordinaten x, y, z mit einer Determinante = + 1 . 12. Es sei ^ ein vollkommenes Ovaloid, ^ seine begrenzende Fläche, B.{u, V, w) die Stützebenenfunktion von Ä. Wir schreiben Hia,ß,y) = H{&,tl,) = H. Die Stützebene an ^ mit der äußeren Normale (a, ß, y) hat die Gleichung (12) ^=^H{&,^)- sie ist hier zugleich Tangentialebene an % und berührt ^ in einem be- stimmten Punkte p. Die ganze Fläche % erscheint damit punktweise, durch parallele Normalen, auf die Kugelfläche @ bezogen. Wir wollen nun unter x, y, z,a, ß, y, ^, ^ speziell die betreffenden Bestimmungsstücke für den Punkt p verstehen und die Veränderungen dieser Größen beim Übergang zu einem anderen Punkte auf '^ durch Vorsetzen von A andeuten; ferner sollen A|, Ai^, A^ die Werte der Ausdrücke (11) bedeuten, wenn darin Ao;, A?/, A^ an die Stelle von x, y, z treten. Dann gilt auf ^ in einer gewissen Umgebung von p für AS; eine Entwicklung nach Potenzen von A|, Atj: Ae = - I (PA|2 + 2ZAIA7? + TAt^^) ^ (^1^ ^^)^ _^ . . .. darin bilden die quadratischen Glieder eine definite negative Form, es ist also P>0, PT— I2>0. Wir können alsdann, da PT — I2=(= 0 ist, O A <- in einer gewissen Umgebung von p die Werte A|, A-»^ durch ^-r-^ und K^ ausdrücken, welche letzteren Größen sich sofort mittels Aa, Aß, Ay darstellen lassen. Daraus erkennen wir, daß die Koordinaten x, y, z des Punktes p von ^, wo die äußere Normale die Richtung a, ß, y hat, und weiter der zugehörige Wert -ff(a, ß, y) analytische Funktionen der Größen a, ß, y auf ® sind. Da die Ebene (12) Tangentialebene an ^ ist, haben wir (13) «_ + /3_ + ;._ = 0, -^(«_ + /5_ + y^j = 0, und mit Rücksicht hieraus folgen aus den allgemeinen Formeln (11) zur Bestimmung der Koordinaten x, y, z des Punktes p die Gleichungen: (14) i-?^M), . = ^^^, ,^m,t). Volumen und Oberfläche. 237 13. Um nun das Volumen V des Körpers ^ auszudrücken, zerlegen wir die Kugelfläche © in Flächenelemente da == sind- dd-dif] jedem Ele- ment dcj entspricht als Abbild durch parallele Normalen ein Element df auf der Fläche ^, und wir konstruieren jedesmal die Pyramide mit dem Nullpunkt o als Spitze und dem Element df als Grundfläche; die Höhe dieser Pyramide, mit gewissem Vorzeichen genommen, ist = Hiujßyy) und ihr Volumen mit demselben Vorzeichen daher (15) -i-ffrff=|U,||,|||rf*rf^. (Wir bezeichnen hier und weiterhin eine dreireihige Determinante, in welcher die Glieder der ersten Reihe von der Koordinate x abhängen und die der zweiten und dritten in der entsprechenden Weise mit Hilfe des Zeichens y bzw. z darzustellen sind, einfach durch Angabe bloß der ersten Reihe). Der Körper Ä ist nun derart das Aggregat aller jener Elementar- pyramiden, daß sein Volumen genau (16) r^'jRdf-^ff\.,ll,l^\d»d* wird, wo die Integrale über die ganze Fläche ^, bzw. die ganze Kugel- fläche @ zu erstrecken sind. 14. Wir setzen jetzt 1 ( d^x „a*y a^2> / ö^x , gö^y , d''z\ rr 8in-'9' Durch Differentiation der zwei Gleichungen (13) einmal nach d-, einmal nach tlj erhalten wir noch die Beziehungen Nun gilt aus den Gleichungen (11) gewinnen wir dann mit Rücksicht auf die letzten Ausdrücke und auf (13): A^ = i^A#-f-Äsin^A^-^ , Aij = SAd- -\- Tsin^Atlt -\ , A^ yC-^^'^'+^Äsin^A'^A^ + ^sin^'ö-A^*) -\ , und hieraus geht durch Elimination von A^ und A^ eine Entwicklung ^^ = ~Y ( BT^S^ ) +(^^' ^^)3 + • • • hervor. 238 Zur Geometrie. Wir entnehmen daraus für die in 12. benutzten Größen P, Z, T: p =. ^ y = _J-1^ T == ^ ET—S*' ET—S^' ET—S*' so daß das Produkt, P + T R + T = PT die Summe der Hauptkrümmungsradicn der Fläche ^ im Punkte :p dar- stellen, während von „_ „ die Neigung der Krümmungskurven auf ^ durch p gegen die Richtungen a^, ß^, 7^; a^, ß^, y^ abhängt. Von den Relationen (14) ausgehend, erhalten wir folgende Ausdrücke für R, S, T allein durch die Funktion H = H{^, ^): R = ^ + H, (17) {S = 1 d^H _ cos«- dH sin 9' dd-dip sin^'9' dip' sin»«- gl/,* + sin«- d» "*" Dabei wird immer -R > 0, BT — S^>0, und in diesen Ungleichungen sind bereits die allgemeinen Bedingungen (1) — (4) für die Stützebenen- funktion H völlig eingeschlossen. Setzen wir die Determinante dx dx zu ihrer linken Seite mit der Determinante 1 der Substitution (11) zusammen, so finden wir sie = H{RT-S')8iR^, so daß aus (15): (18) df={RT-S^)d(o und aus (16): (19) 7 = \Jh{BT- S') dm hervorgeht. Das Volumen V erscheint hiernach als ein gewisser homogener Ausdruck dritten Grades in den Werten H{p','4i). 15. Ist ein konvexer Körper Ä die Grenze einer unendlichen Reihe vollkommener Ovaloide Q', D", . . ., so konvergieren die Volumina dieser Ovaloide nach dem Volumen von ^. Man erschließt diese Tatsache ganz allein mit Hilfe des Umstandes, daß, wenn ein Ovaloid ein anderes in sich enthält, das erstere stets ein größeres Volumen besitzt. Ferner kon- vergieren die Koordinaten der Schwerpunkte von O', Q", . . , nach den Koordinaten des Schwerpunktes von ^. Voliimcn tind Oberfläche. 239 § 4. Scharen konyexer Körper. Gemischtes Tolumen dreier Körper. 16. Sind H^, H^, . . ., H^ die Stützebenenfunktionen von m konvexen Körpern ^j, Äg; • • •> ^m? ^^ g^iiügt die Funktion wenn die Parameter t-^yt^, • • -jtm sämtlich ^ 0, aber nicht durchweg = 0 sind, stets ebenfalls allen Bedingungen (1) — (4) in § 1 und bildet daher wiederum die Stützebenenfunktion eines konvexen Körpers. Diesen Körper bezeichnen wir durch (20) Ä = ^i^i+^A+-" + C^„. und die Gesamtheit aller in solcher Weise aus gegebenen Grundkörpem ß,. herzuleitenden Körper Ä nennen wir eine Schar Jconvexer Körper. 17. Sind ^j, ^2> • • •) ^wj vollkoinmene Ovaloide, so gilt das gleiche von jedem Körper Ä der Schar (20). Bezeichnen wir die Punkte auf den Begrenzungen von ^, ^^, in welchen eine bestimmte (und die nämliche) äußere Normale a, ß, y vorhanden ist, mit x, y, 0- x^, y^, 0^, so finden wir auf Grund der Gleichungen (14) die Beziehungen gültig: (21) x = t^Xi+t^X2+ h t^x„, • • •. Stellen wir nun das Volumen V von ^ gemäß der Formel (16) dar, so resultiert mit Rücksicht auf diese Gleichungen (21) für V ein homogener Ausdruck dritten Grades in den Parametern t-: (22) V= ^ F,,, W, (i, it, ? = 1, 2, . . ., m); die Koeffizienten F^, mit nicht lauter gleichen Indizes denken wir uns dabei so eingeführt, daß sie bei Permutationen der Indizes sich nicht ändern. Ein jeder Koeffizient Vj^f ist aUein von den drei zugehörigen Körpern Ä^, Ä^, Ä, abhängig; wir bezeichnen ihn auch mit V{^j, ^^, Ä,) und nennen ihn das gemischte Volumen der Körper ^j, Ä^, ^,. 18. Betrachten wir mm das gemischte Volumen Vi2s= Vi^i, ^s, ^3) dreier vollkommener Ovaloide Si,^2;^3- Schreiben wir J.. ^//k-lt-ik*''* und definieren die analogen Ausdrücke für die Permutationen der Indizes 1, 2, 3, so ist ^ ^183 = («^123 + «^132) + (f/ssi + «^213) + («^312 + «^32l)- Nun gilt 240 Zur Geometrie. Die linken Seiten in diesen zwei Gleichungen sind gleich Null, weil die Integranden Diflferentialquotienten nach d; bzw. ^ sind und die Integra- tionen sich über die ganze Kugelfläche @ erstrecken. Durch Subtraktion der damit hervorgehenden Relationen folgt nun (23) Ji28 + ''isa ^ *'231 + «'sisj und durch zyklische Vertauschung von 1, 2, 3 hier finden wir weiter diese Ausdrücke = J^^^ + «^321? ^^ ^^^ sich ''^123 = '2 v"i23 ~l~ «^132) herausstellt. Multiplizieren wir in J^^s ^^^ Determinante x^, -^ , ~ zur linken Seite mit der Determinante 1 der Substitution (11), und bezeichnen wir die den Formeln (17) gemäß herzustellenden Ausdrücke J2, S, T für ^1; ^2> ^3 ^^ ^®^ entsprechenden Indizes, so entsteht «^123 = -jj ^1 i^2 Tz — S2 Ss) da ; analog drücken wir J^^^ aus, und wir erhalten endlich (24) F,23 = \J'h,{B,T, - 2S,S, + T,R,)day. Nach der Gleichung (23) besteht für diesen Ausdruck die wichtige Eigen- schaft, daß er hei beliebigen Permutationen von 1, 2, 3 seinen Wert nicht ändert. 19. Wir knüpfen an diese Formel einige einfache Bemerkungen an. Die Größen jRg, S^, Tg bleiben bei einer Translation von Äg ungeändert, mithin bleibt dabei auch F^gg ungeändert, und da V^^z == ^231 = ^iss i^*? so folgt allgemein: Der Wert F(Äi, Äg; ^3) ^^^^^^ ^ß* beliebigen Translationen der ein- eeinen Körper Ä^, ^2» ^3 ungeändert. Der Ausdruck B^T^ — 2828^ + T^B^ ist als die Simultaninvariante zweier positiver binärer quadratischer Formen stets > 0. Hat U^ den NuUpunkt im Inneren liegen (was sich stets durch eine Translation von ^1 hervorrufen läßt), so ist durchweg iZ^ (■9-, t/») > 0 und also dann auch Fi28 > 0. Mit Rücksicht auf den eben bewiesenen Satz gilt daher all- gemein: Die Größe V{ß^, U^, tg) ist stets > 0. Ist der Körper ^^ in einem anderen vollkommenen Ovaloide Ä^* mit der Stützebenenfunktion H^ enthalten, so gilt stets H^{^,7l))-^H^*{^,il)) und entnehmen wir aus (24): (25) V{^„ tg, Äg) ^ V{ß*, Äg, Äg). Volumen und Oberfläche. 241 Endlicli bemerken wir die Regel: Ist t ein positiver Faktor, so gilt (26) Vim,, Äg, A3) = t r(ß„ Ä2, A3). 20. Sind die Körper ^j, ^g, Äg mit einem und demselben Körper ^ identisch, so wird F(Si, Ä,» ^3) ^^^ Volumen von Ä. Die Stützebenenfunktion der Kugel @ (x^ + y^ -\- 2^ ^1) ist für die Systeme a, ß, y auf @ konstant = 1. Beziehen sieh H, B, S, T auf ein vollkommenes Ovaloid ^ und bezeichnen wir das Oberflächenelement dieses Körpers mit df, seine ganze Oberfläche mit 0, so folgt daher aus (24): (27) 3r(ß,^,^)=f(RT-S')dco=Jdf= 0, und durch (23) gelangen wir noch zu dem Ausdrucke (28) 0 = 3 F(t, @, ^) = Y /"^(E + r)rfa3. Andererseits wird die Größe ^ _ „, hier bedeutet die mittlere Krümmung am Flächen- element df und können wir danach 3 V(%, @, Ä) als das Integral der mittleren Krümmung von ^ bezeichnen. Wir haben dann noch die Be- ziehung (30) 3 F(@, @, ß) = 3 F(Ä, @, @) =jHd(o. 21. Sind ^j, ßgj • • •> ^m beliebige konvexe Körper, so können wir nach § 2 jeden dieser Körper Ä,- als Grenze einer Reihe vollkommener Ovaloide D^ darstellen. Auf Grund der in 19. abgeleiteten Regeln läßt sich dann zeigen, daß dabei ein jeder Ausdruck F(Dy, Q^, Q,) immer nach einer bestimmten, von der Wahl der annähernden Ovaloide unabhängigen Grenze konvergiert, die wir mit F(Ä^., ^j^, ^j) bezeichnen und das gemiscJite Volumen von Äy, ^^, Ä, nennen. Es übertragen sich dann aUe Regeln aus 19. und die Entwicklung (22) sofort auf beliebige konvexe Körper. Für die gemischten Volumina bestehen einige fundamentale Unglei- chungen, die in dem Satze gipfeln, daß irgend drei Körper vom Volumen 1 stets ein gemischtes Volumen ^ 1 ergeben. Als Vorbereitung zum Nach- weis dieser Ungleichungen behandeln wir zunächst die entsprechenden Fragen für die Ebene. Minkowski, 6es»mmelte Abhsndlnngen. II. 16 242 Zur Geometrie. § 5. Ovale. Gemischter Flächeninhalt zweier Ovale. 22. Wir betrachten jetzt Figuren in einer Ebene z = const. Es sei H(u, v) eine reelle Funktion zweier reeller Argumente mit den Eigen- schaften : H(p, 0) = 0, H(tu,tv) = tH{u,v), wenn ^>0 ist, H{u, v) + S[{— w, — ü) > 0, wenn m, v 4= 0, 0 ist. Den durch die sämtlichen Ungleichungen ux -\- vy-^ H{u, v) für alle möglichen Systeme u, v definierten Bereich ^ von Punkten x, y in der Ebene z = const. bezeichnen wir als ein Oval in dieser Ebene, und wir nennen Hiii, v) die Stützgeradenfunktion dieses Ovals. Jedem solchen Oval % kommt ein bestimmter Flächeninhalt, ferner ein bestimmter Schwerpunkt zu; der Schwerpunkt wird stets ein innerer Punkt des Ovals. Ist s ein positiver Wert > 0, so stellt sH(u, v) wieder die Stütz- geradenfunktion eines Ovals vor, das wir dann s^ nennen. 23. Wir bezeichnen ein Oval ^ als ein vollkommenes Oval, wenn die Begrenzung von ^ durch eine analytische Gleichung in x, y gegeben ist und in jedem Punkte eine bestimmte und immer nur eine Berührung erster Ordnung eingehende Tangente hat. Ist ^ ein beliebiges Oval mit dem Nullpunkt als Schwerpunkt, und £ eine beliebige positive Größe, so kann man stets ein vollkommenes Oval 5*, ebenfalls mit dem Nullpunkte als Schwerpunkt, finden, welches % enthält und selbst ganz in (1 + «) j^ enthalten ist. Jedes Oval kann als Grenze vollkommener Ovale mit dem nämlichen Schwerpunkt dar- gestellt werden. 24. Es sei f^ ^^^ vollkommenes Oval, H(u, v) seine Stützgeraden- funktion. Wir bezeichnen mit a, ß die Koordinaten eines Punktes der Kreislinie x^ + y^ = 1 bzw. die Richtung von x = 0, y = 0 nach diesem Punkte, führen a = cos-O-, /3 = sin-O", 0 ^d- ^27C ein und schreiben II{a, ß) == -fir(0^) = H. Der Krümmungsradius der Begrenzung von ^ in einem Punkte p, wo die äußere Normale die Richtung (a, ß) hat, wird 02 TT B = H -\- -KöT und der Flächeninhalt von f^ bekommt den Ausdruck: (31) F-^fH{H+^^^)d». 0 Wir haben nun in bezug auf den Flächeninhalt f^ noch einige Be- merkungen zu entwickeln, die bald Anwendung finden werden. Volumen und Oberfläche. 243 Es sei a der kleinste, A der größte Wert von a; in ^ und bezeichnen wir für ein a; ^ a nnd ^ A mit y{x) die Länge der zur t/- Achse parallelen Sehne von % auf welcher der betreffende Abszissenwert x konstant ist. Die Funktion y(x) ist im Inneren des Intervalls a^x -^A regulär und an den Grenzen nähert sie sich stetig dem Werte Null. Ferner ist darin -^ eine mit wacJisendem x stets abnehmende Funktion. Infolgedessen ist weiter insbesondere a f dy dx dx jdx a eine stets abnehmende und analog A — X eine stets wachsende Funktion von X. Der Flächeninhalt F von '^ besitzt nun auch den Ausdruck (32) F=fy(x)dx. a Setzen wir, wenn a ^ a; ^ ^ ist, X y{x)dx =— xFj /. so ist t =-x{x) eine solche Funktion der oberen Grenze x dieses Integrals, welche kontinuierlich von 0 bis 1 zunimmt, während x von a bis A läuft, und können icir daher umgekehrt die obere Grenze dieses Integrals als eine bestimmte Funktion x (t) des Wertes x im Intervalle 0 ^ r ^ 1 einführen. Dabei gilt dx -r-, d(y*) = 2F dy dz dx Nach der zweiten Gleichung hier wird -—^ eine mit wachsendem x stets ° dr abnehmende Funktion von r: infolgedessen ist weiter -^ eine stets ab- y' nehmende, ~ — eine stets zunehmende Funktion von x. Die Länge der Sehne b c von '^ auf der Geraden x = — ^ — , also y {—^ — ), sei = h. Die Tangenten an f^ in den Endpunkten dieser Sehne bilden mit den Geraden x = a und x = A ein Trapez, welches ^J ganz in sich enthält; also folgt (33) (A - a)h ^ F. 16* 244 Zur Geometrie. Andererseits enthält ^ das Dreieck abc mit jener Sehne Bc als Basis und der Spitze in dem Punkte a von ^, für den x = a ist; daher gilt (et -4- ud\ 1 -— — ) > — hervorgeht; analog finden wir t(-— o — ) *^T' Für einen Wert ^ > x ^^^^ danach stets x(t) > — ^ — aus; da -7-^ — und rr^ — mit wachsendem x bzw. t zunehmen, haben wir alsdann A — X 1—r ' —■(A—a) *y woraus mit Rücksicht auf (33) sich (34) A-x{t)<{A-a) yU^x ergibt, und erhalten wir andererseits Nehmen wir an, der Schwerpunkt von f^ liege im Nullpunkte, so führt die Betrachtung der ic-Koordinate des Schwerpunktes zur Gleichung A 1 0 = -^ / xydx = I xdx, a 0 woraus durch partielle Integration (36) A=fxdx, ^ = Fß 1 xdt y folgt. Zerlegen wir % in die Dreiecke mit a als Spitze und den einzelnen Bogenelementen des Umfangs von ^ als Grundlinien, so ist für den Schwerpunkt eines jeden dieser Dreiecke o£fenbar A — x"^ —{A — d) und muß die gleiche Relation daher auch für den Schwerpimkt von % selbst gelten, d. h. wir haben (37) ^>^' 25. Es seien ^Ji ^^^ %2 ^^®i beliebige Ovale und H^ {u, v), H^ (w, v) ihre Stützgeradenfunktionen; alsdann bildet (1 — t)H^(u, v) + iS^i^u, v), wenn i^ > 0 und < 1 ist, immer ebenfalls die Stützgeradenfunktion eines Ovals, das mit % = 0-—t)%i + t%% bezeichnet werde. Dieser Herstellung Volumen tind Oberfläche. 245 von f5 steht folgende Erzeugungsweise desselben Ovals dual gegenüber. Man verbinde jeden Punkt f^ von ^^ mit jedem Punkte fg von ^g ^^^^ t^ile immer die Yerbindungsstrecke f^fg in einem Punkte f so, daß ist (i b. daß die Längen der Strecken f^f und ffj sich wie t:l — t ver- balten). Die Menge aller verschiedenen Punkte f, die auf diese Weise gefunden werden, bildet dann genau den Bereich des Ovals ^. Bei dieser Konstruktion von ^ denken wir uns zweckmäßig ^^ und %^ in zwei ver- schiedenen Ebenen z = const., etwa ^j- in ^r = 0 und %^ in. 2 = 1 gelegen; alsdann stellt ^ = (1 — ^i^j + #^2 ^^^ Schnitt des kleinsten, die beiden Ovale 5i ^^<^ Sä g^^2 enthaltenden konvexen Körpers mit der Ebene z = t vor. Der Flächeninhalt des Ovals ^ besitzt einen Ausdruck (38) i^ = (1 - tyF,, -f 2(1 - t)tF,, + t'F^, wobei i^ii den Flächeninhalt von f^^, F^^ den von %^ und F^^ eine weitere Konstante bedeutet, die wir den gemischten Flächeninhalt von ^^ und ^g nennen. F^^ ändert sich nicht bei beliebigen Translationen von %j^ oder von ga- Sind f^j und %^ vollkommene Ovale, so finden wir, von der Formel (31) ausgehend, 0 0 worin H^ für S^ (cos ■d-, sin -ö-) und JS^ für H^ (cos -9-, sin ■O-) steht. Stellt ^2 ^6 Kreisfläche 3^ -\-y--^l vor, so ist H^ hier konstant = 1, J^22 = JJ^ ^^Vf;^,. Diese Ungleichung ist gleichbedeutend mit folgender Beziehung für den in (38) entwickelten Ausdruck F: (40) VF>0—t)YF\,+tyF^. Von besonderem Werte ist es, auch die Grenzfälle der Ungleichung (39) mit aufzuklären. Wir werden den Zusatz gewinnen, daß in dieser Ungleichung dann und nur dann das Gleichheitszeichen eintritt, nenn %^ und ^2 hotnotJietisch sind (d. h. auseinander durch Translation und Dila- tation hervorgehen, miteinander ähnlich und ähnlich gelegen sind). Wir denken uns der Einfachheit wegen den Schwerpunkt von 5i wie den von ^g i^^ Nullpunkte gelegen (was stets durch Translation dieser Ovale zu erreichen ist). Alsdann sind H^{u, ß) und U^ia, ß) 246 Zur Geometrie. immer > 0. Auf der Kreislinie a^ -}- /3' = 1 hat die daselbst stetige Funktion (41) VF^HA<^,ß) ein bestimmtes Maximum, das wir D nennen. Dieser Wert hat die Be- deutung, daß das Oval —=.%^ vom Flächeninhalt 1 im Oval -^==f5j vom Flächeninhalt s^ enthalten ist, wenn s^D ist, aber nicht ganz darin enthalten, wenn s <. D ist. Sind fJi und ^g homothetisch, so decken sich die Ovale ■ . '^^ und ^^ und ist daher auch ihr gemischter Flächen- inhalt == 1, also jP^j = V^iT^ ^^^ wii"cl andererseits 2) = 1. Jetzt verfolgen wir die Annahme, daß ^^ und ^g nicht homothetisch sind. Alsdann muß Z) > 1 ausfallen. Wir werden nun eine Ungleichung aufstellen worin T](D) eine stetige Funktion von D sein wird, die für ein 2) > 1 stets > 0 ist. Diese Beziehung setzt dann in Evidenz, daß stets F^^ > V-^n-^^^ wird, wenn ^^ und ^g nicht homothetisch sind. Eine Beziehung von diesem Charakter mit einer stetigen Funktion TT(D) braucht offenbar nur für vollkommene Ovale erwiesen zu werden. Durch unseren Hilfssatz in 23. über die Annäherung eines beliebigen Ovals durch vollkommene Ovale gilt sie dann sofort für alle Ovale. 27. Es seien nunmehr ^^ und ^^g ^wei vollkommene Ovale und sie seien nicht homothetisch. Wir drehen die Koordinatenachsen um den NuUpunkt derart, daß die positive iC-Achse in eine solche Richtung fällt, wofür die Funktion (41) ihren größten Wert D erhält, d. h. also, wir nehmen C42^ y^g,(i,o) _ _p an. Es sei jetzt t irgendein bestimmter Wert > 0 und < 1 ; wir ge- brauchen für das Oval S = (1 — 03"! + ^3"2 ^^^ Zeichen a, Ä, y(x) in derselben Weise, wie sie für ein Oval % in 24. erklärt sind; die ent- sprechenden Größen für f^^ und f^g bezeichnen wir mit a^, Ay, yx{x) a^, A^, y^ix)] insbesondere ist Äy^ = IIy(l, 0), ^.g = Z^aC^j ö)- Alsdann bestehen für a und Ä, den kleinsten bzw. größten Wert von x in ^, die Ausdrücke (43) a = (1 - ^)ai -f ta^, .4 == (1 - 0 A + ^A- Volumen und Oberfläche. 247 Die Flächeninhalte von '^^ und ^^ stellen wir gemäß der Formel (32) dar: (44) F^^=jy^{x)dx, F^^= j y^{x)dx. Wir setzen nun, wenn «i ^ i^i ^ -4^, a^ ^x^^A^ ist, (45) / yi{x)dx — rFii, / yt{x)dx = xF^^ und fuhren die oberen Grenzen dieser Integrale als Funktionen ^'^(t), x^{t) des Wertes x ein, der sich im Intervalle 0 ^ r < 1 bewegt. Indem wir unter x in diesen beiden Funktionen ein und dasselbe Argument ver- stehen, vrird ein gewisser Zusammenhang zwischen den zur y- Achse parallelen Sehnen von %^ und von ^2 hergestellt.*) Wir ziehen jetzt die in 25. angegebene Methode zur Erzeugung des Ovals 5 aus den Punkten von %^ und ^2 heran und bringen sie zunächst auf die Punkte der Sehne p^q^ von %^ auf der Geraden x = x^{x) und der Sehne p^q^ von ^^ auf der Geraden x = x^{x) in Anwendung; dadurch erkennen wir, daß zu % auf der Geraden (46) x = {\-t)x^{x) + tx^{x) jedenfalls alle diejenigen Punkte gehören müssen, welche diese Gerade aus dem Trapeze Piqiq2p2 herausschneidet. Die Längen der Sehnen p^q^ und P2Q2 sind y^{Xj^{x)) bzw. y^{x^{x))\ danach muß für die Länge y{x) der Sehne pq von fj ^uf der durch (46) angewiesenen Geraden jedenfalls die Ungleichung (47) y{x) >{l- t)yiix,{x)) -f ty,{x^{x)) gelten. Für den Flächeninhalt F des Ovals ^ haben ^wir A F = I v(x)dx . =Jy{x) Nun wächst die durch (46) gegebene Funktion x kontinuierlich und läuft nach (43) in den Grenzen a bis A, wenn x von 0 bis 1 zunimmt, und können wir sie daher als Variable in dieses Integral für F einführen. Schreiben wir zur Abkürzung x^, y^ und a;,, y^ für ^^^(t), y^ipc^ix)) und ^sW; ygC^sW) und machen von (47) Gebrauch, so ergibt sich *) Die Idee dieser Zuordnung der parallelen Sehnen in zwei Oralen nach dem Verhältnis der je zwei Flächenstücke, in welche sie die Ovale zerschneiden, rührt von Herrn H. Brunn her (vgl. Ovale und Eiflächen, Inauguraldissertation, München, ,1887, S. 23). 248 Zur Geometrie. 1 F^fia -t)y, + ty,) ((1 - 0 ^ + ^ ^) dt. 0 Jetzt ziehen wir den Ausdruck (38) für F heran und benutzen die Glei- chungen (44); dadurch erhalten wir 1 0 Hier führen wir gemäß (45): dx y^ ' dt 2/2 ein, und wir erzielen endlich 1 (48) 2(-F., - yJ^Ä) k/"' ^ ~,f ^''^' är. 0 Andererseits haben wir der Formel (36) zufolge: 0 0 mithin 1 (49) fy^y^^-y^VK tcu = -^--^ = (B- 1) -4^ > 0. ^ y^y^ >^ y^ii V^^u Mit Hilfe der letzteren Beziehung suchen wir eine positive untere Grenze für das Integral auf der rechten Seite in (48) herzuleiten; dabei T entsteht eine Schwierigkeit durch den Umstand, daß / bei Annäherung an r = 1 über jede Grenze hinauswächst. Es sei nun 8 eine positive Größe < — , so gilt 1 1 FnJ'-^ < F,j'y = ^ - ^, (1 - d); mit Rücksicht auf (34) und (37) finden wir die rechte Seite hier < 3Ä^ [/d, und wir erhalten aus (49) die Ungleichung (60) fy^V^.-yK,ar>(D(,x-3Vä)-i)^. 0 Die Ungleichung (48) bleibt bestehen, wenn wir die Integration rechts nur bis zur oberen Grenze 1 — 8 erstrecken. Im Intervalle 0 bis 1 — 8 sind zufolge einer in 24. gemachten Bemerkung -^ und r^ /( Volumen und Oberfläche. 249 beständig abnehmende Funktionen und haben wir mit Rücksicht auf (35) und (37) und auf r < 1 durchweg damit erhalten wir aus (48) die Beziehung 0 Bezeichnen wir den Integranden in (50) zur Abkürzung mit ¥, so ist QV + sydr 0 für jeden reellen Wert von s stets ^ 0 und gilt infolgedessen 1-6 i-ö (51) J^^dr^^[J^ dt)\ 0 0 Diese Beziehung führt uns nun mit Rücksicht auf (50) und, wenn wir noch hier rechts 1 — d vm Nenner durch 1 ersetzen, zu Das Maximum von 3 yd (D - 1 - 31)]/^) tritt für 3'|/d = ^^ein, wobei d < — - , also gewiß < — ist, und wird =—-rw^- Mit diesem Werte von d entsteht, wenn wir noch von (42) Gebrauch machen: In der hier geschriebenen Form (mit dem Zeichen ^) überträgt sich diese Relation unmittelbar auf beliebige Ovale; sie liefert in der Tat den Satz, daß stäs F^^ > yF^^ F^^ ist, wenn ^^ und ^j nkJit homothetisch sind. 28. Nehmen wir für %^ eine Kreisfläche vom Radius 1, so bedeutet 2i^j2 <^i6 Länge des Umfangs von j^j, während F^^^% zu setzen ist. Die für diesen FaU aus (39) entstehende Ungleichung 2^ 2« — F « y? besagt, daß jedes Oval, welches von einem Kreise verschieden ist, immer Meineren Inhalt besitzt als ein Kreis von demselben Umfange. Diese Aus- sage läßt sich sogleich auch auf nictit konvexe Flächen ausdehnen, indem zu jeder abgeschlossenen und zusammenhängenden Figur, welche nicht ein Oval vorstellt und welcher ein bestimmter Flächeninhalt und eine 250 Zur Geometrie. bestimmte Länge des Umfanges zukommt, immer ein bestimmtes kleinstes, die Figur ganz enthaltendes Oval gehört, und für dieses der Flächeninhalt größer, der Umfang kleiner ausfällt als für die Ausgangsfigur. § 6. Eine kubische Ungleichung für die gemischten Volumina. 29. Wir suchen jetzt die entsprechenden Tatsachen für den Baum abzuleiten. Zunächst schicken wir einige Hilfsbemerkungen voraus. Es sei ^ ein vollkommenes Ovaloid, c der kleinste, C der größte Wert von z in ^; für jeden Wert 0^c und ^ C bezeichnen wir mit ^{2) den Schnitt von ^ mit der Ebene, in welcher der betreffende Wert z konstant ist, mit (f(z)y den Flächeninhalt von %(z). Für die Werte im Inneren des Intervalls c^z-^C stellt ^(^f) Ovale vor und ist die Funk- tion f(/) immer regulär, an den Grenzen nähert sich f(z) stetig dem Werte Null. Ist c{i-t)f{z')-vtnz"). Auf Grund dieser Eigenschaften erkennen wir, wenn wir z und f als rechtwinklige Koordinaten in einer Ebene deuten, daß der Bereich (53) c^z^G, 0£f£f{z) ein Oval in dieser Ebene vorstellt, und nimmt infolgedessen — r^ mit wachsendem z beständig ab. Das Volumen V von ^ drückt sich durch c (54) r==f(f{z)ydz c aus. Setzen wir nun, wenn c-^z ^C ist, z {f{z))Hz = r F, h so wächst X =^ x{z) kontinuierlich von 0 bis 1, während die obere Grenze z von c bis G zunimmt; wir können dann umgekehrt die obere Grenze z dieses Integrals als eine bestimmte Funktion z{x) des Wertes t einführen, die ihrerseits kontinuierlich von c bis G zunehmen wird, während r von 0 bis 1 wächst. Dabei gilt, wenn wir zur Abkürzung f{z{x)) = f setzen, 'dt ^ ' Volamen und Oberfläche. 251 Wir entnehmen daraus weiter dv dz ' so daß auch -~-^ mit wachsendem r beständig abnimmt; infolgedessen wird weiter — eine beständig abnehmende und andererseits —^ — eine beständig zunehmende Funktion von r sein. Betrachten wir wieder das durch (53) bestimmte Oral in seiner ir /"-Ebene. Es sei h die Länge derjenigen Sehne dieses Ovals, auf der z = "t ist, also 7i = f { ^ ) • Die Tangente des Ovals im Endpunkte / =- Ä dieser Sehne bildet mit den Geraden z = c, z = C und /" = 0 ein Trapez, in welchem das Oval ganz enthalten ist; dadurch ergibt sich (55) F<|(C-c)A^ Andererseits ist das Dreieck mit jener Sehne als Basis und der Spitze ir == c, /" = 0 ganz im Bereiche z ^ "T des Ovals enthalten, und geht hieraus hervor; mit Rücksicht auf die Relation (55) erhalten wir sodann 1 C4-^ >8 Analog finden wir 1 — t (^^ < \, also x (^^^^ > -g-- 7 c 1 C Für einen Wert t>— wird demnach immer z{x) > ^ sein; es folgt dann Y(C-c) J woraus mit Hilfe von (55) die Ungleichung (56) C - z(r) < (C - c) |/T^^ hervorgeht, und es ergibt sich femer Nehmen wir den Schwerpunkt von ß im Nullpunkt gelegen an, so führt die Betrachtung der ;er-Koordinate dieses Schwerpunkts zur Gleichung c 1 c i (58) O^yfzf'dz^'Jzdt, G=Jxde = vJj^- 252 Zur Geometrie. Zerlegen wir Ä in lauter Pyramiden mit der Spitze in demjenigen Punkte von Ä, für den z = c ist, und mit den einzelnen Oberflächenelementen von ^ als Grundfläclien, so ist für den Schwerpunkt einer jeden dieser Pyramiden C — z'> — {C — c) und gilt daher die gleiche Relation auch für den Schwerpunkt von ^ selbst, d. h. man hat (59) C-c<4C. 30. Es seien jetzt ^^ und ^g zwei beliebige konvexe Körper mit den Stützebenenfunktionen H^ und H^ und t ein beliebiger Wert > 0 und < 1. Verbindet man jeden Punkt \ von ^^ mit jedem Punkte l^ von ^2 und teilt die Strecke W immer in dem Punkte 1 = {\ — t)\ ■{■ tl^, so erfüllt die Gesamtheit aller verschiedenen in dieser Weise entstehenden Punkte l genau den konvexen Körper Ä = (1 — <)^j + t^^, der als Stütz- ebenenfunktion H = {1 — t) H^ -{- tH^ besitzt (vgl. hierzu die Formel (21) in § 4). Das Volumen dieses Körpers ü wird durch einen Ausdruck (60) F= (1 - tf Fo + 3(1 - t)HV^ + 3(1 - ty V, + t' V, dargestellt, worin V^, V^, V^, Fg die gemischten Volumina (61) V{ß,,^„^,), V{ß„^„^,), V{ß„U„U,), Viß„U„Ü,) bedeuten, insbesondere also F^ das Volumen von Ä^ und Fg das von ^g vorstellt. Diese vier Konstanten bleiben bei beliebigen Translationen von Äj und von ^g ungeändert. Wir woUen nun den Satz beweisen: Für diese Konstanten im Ausdruck von V gilt stets die Ungleichung (62) F.^^Fo^Fg und zwar tritt hier das Gleichheitszeichen dann und nur dann ein, wenn ^1 und ^2 homothetisch sind (auseinander durch Translation und Dilatation hervorgehen). Wir denken uns von vornherein mit ^^ und ^g solche Translationen vorgenommen, daß sowohl der Schwerpunkt von Ä^ wie der von ^g i^ den Nullpunkt zu liegen kommt. Alsdann sind die Stützebenenfunktionen dieser Körper, H.^ (u, v, iv) und H^ (u, v, w), für alle Argumente u, v,w-^0,0,Q stets > 0. Es sei D das Maximum der Funktion (63) 3", auf der ganzen Kugelfläche @ («^ -f /3^ + y^ = 1) ; alsdann ist der Körper ^2 vom Volumen 1 im Körper -37= ^1 vom Volumen s^ enthalten. wenn s^ D ist, aber nicht ganz darin enthalten, wenn s 1 aus, und wir werden zeigen, daß alsdann eine Ungleichung besteht: ^-^=-i^n(D), worin TT(i)) eine stetige Funktion von D vorstellt, welche für ein -D>1 stets > 0 ausfällt. Eine derartige Relation mit einer stetigen Funktion TT(Z)) braucht nur für vollkommene Ovaloide %, Äj bewiesen zu werden; vermöge unseres Hilfssatzes aus § 2 über die Annäherung beliebiger konvexer Körper durch vollkommene Ovaloide gilt sie dann sofort für alle konvexen Körper. 31. Es seien jetzt ^^ und Ä, zwei vollkommene Ovaloide und sie seien nicht einander homothetisch. Wir geben den Koordinatenachsen eine solche Lage, daß die positive ir- Achse in eine Richtung fällt, wofür die Funktion (63) ihren größten Wert D annimmt. Wir verwenden die Zeichen c, C, %(z), fiz) für den Körper ^ = {). — t)^^-\-t^^, wie sie für den Körper ^ in 29. erklärt sind, und bezeichnen die entsprechenden Größen und Bereiche in bezug auf Äj oder Ä^ analog unter Hinzufügung des Index 1 oder 2. Alsdann ist C^ = H^{1, 0, 0), C^ = H^_(h 0, 0) und nach der eben gemachten Voraussetzung wird (64) |^^=i)>l. Der kleinste und größte Wert von ^r in ^ bestimmen sich gemäß (65) c = (1 - 0 Ci -t- 0 und < 1 sei. Die Menge der dabei hervorgehenden Punkte f = (1 — 0 f i H" ^^2 bildet alsdann genau den Bereich (69) (l-0l^l(^lW)+^l58(^2(^)) in derjenigen Ebene z = const., die durch den Wert 2 in (68) bestimmt ist; danach muß der zu diesem Werte 2 gehörige Schnitt '^(/) von Ä gewiß den ganzen Bereich (69) in sich enthalten. Ziehen wir die Rela- tion (40) aus 26. heran, so geht daraus (70) m>{^-t)f^(^iW) + tf,(z,it)) hervor. Aus (67) erhalten wir nunmehr, wenn wir für ^^{t), fii^^iit)), z^it), /^(^aW) 2^^ Abkürzung z^, /"j, z^, f^ schreiben: 1 F^ J((l - t)U + tUY ((1 - 0 ^ + ^ ^) dx. 0 Wir verwenden jetzt den Ausdruck (60) für F, machen noch von 1 0 Gebrauch und lassen endlich in der entstehenden Ungleichung die Größe t sich der Grenze NuU nähern; dadurch kommen wir zur Ungleichung 1 0 Nach den Gleichungen (66) haben wir fi ^fl TT f2 ^fi_ TT und so ergibt sich weiter 1 3F,^J(F3^ + 2Fo|)rfr. Setzen wir 0 (") Ä^'"" A Volumen und Oberfläche. 255 SO läßt sich diese letzte Ungleichung in 1 1 (72) d(j-I^=-\)^ r/5Pi!_3+^WTr= A'Pi-y»)'(yi + 2y,)^^ ' *> ' 0 0 umwandeln. , Andererseits haben wir gemäß (58): 1 1 f 'o 0 r 's 0 mithin 1 (73) f(^i:zl?lp+lill dx = ^- ^=[T)-\) 3-^ > 0. ^ ^ J ^i^^j' i^ i^ VF 8" Nehmen wir jetzt eine positive Größe d < -^ an, so wird unter Ver- wendung von (56) und (59): und mit Rücksicht hierauf folgt aus (73): (74) J(i-|2M+^',,>(ü(l_4i^)-l)^. 0 r "^o Die Ungleichung (72) bleibt gültig, wenn wir auf der rechten Seite die Integration nur bis zur oberen Grrenze 1 — d erstrecken. Bezeichnen wir den Integranden in (74) mit Y, so wird der Integrand in (72): Nun ist im Intervalle 0 < t < 1 — d zufolge (57) und (59): r^ 7^-4 ^1 ' T* 7^-4 ^» ' wobei von den zwei unteren Grenzen hier wegen (64) die erste die größere ist; andererseits hat man ~^~—^'>: — , wenn qp, ^ op, ist, und y»(g>,+2«P,)^ 3 ^^^ g)«>(p, ist. Danach fäUt der Faktor von Y* in (75) im Intervalle 0 < t < 1 — d stets ^ 27 fyTn^i 7* . 64 ^» ^« aus. Auf Grund der auch schon früher verwandten Hilfsformel (51) er- halten wir nunmehr: 256 Zur Geometrie. Das Produkt (4V^)^(l> - 1 - 4 VdD) nimmt seinen größten Wert für 4yd =' Qjy an, wobei d<-— , also sicher <-r- ist, und wird dann " g? D' ^^^ diesem Werte für d folgt endlich (76) 17=^=-!^ ' '''~'>°- V^o^Fs 21»- 3* -7* -^' In solcher Form überträgt sich diese Ungleichung sofort auf zwei beliebige konvexe Körper Ä^ und ^2 ^^^ setzt in der Tat in Evidenz, daß, wenn Ä^ und ^^ '^'^cht homothetisch sind, stets ausfällt 32. Vertauschen wir die Rollen von ^^ und Äg, so treten, wie aus (61) zu ersehen ist, an Stelle von F^, V^, Fg, Fg diese Größen in um- gekehrter Folge und geht aus F^ ^ }/ F^^ F3 die Ungleichung Fg ^V^Fg^ hervor. Diese zwei Ungleichungen zusammen ergeben für den Ausdruck F in (60) die Abschätzung (77) Vf^(i-OVFo + ^V^. Bezeichnen wir das Minimum der Funktion (63) auf der Kugelfläche (£ mit d, so ist der Körper „ Ä^ = 2j ganz im Körper „ ^2 == -^a a yn FF. enthalten; infolgedessen gilt: F(i.2; ^2? ^2) ^ '^(^17 ''^IJ ^2); ^* F 1 F 1>__^LJLi_ Jl _ 1 > *J 1 Verbinden wir hiermit die Ungleichung (76), so folgt HR-) ^ 1 ^ 1 (J>-ir ^^^^ d'^~-^^ r 7)6 • 2"^° • 3* • 7* Vertauschen wir die Rollen von S^^ und ^2> ^® i^^ •'^ durch -r und - = -Jdf=-V,, d. i. gleich dem vierten Teile der Oberfläche von ß^. Dieses Resultat über- trägt sich sofort von vollkommenen Ovaloiden auf beliebige konvexe Körper. Verbinden wir damit den vorhin gefundenen Satz, so ergibt sich die Folgerung: Jeder Iconvexe Körper, der nicht eine Kugd ist, besitzt stets unter den ihm timbeschriebenen Zylindern solche, icelche einen größeren Querschnitt haben als die einer Kugel von demselben Volumen tcie der Körper umbeschriebenen Zylinder. 34. Wir nehmen femer für ^ den Würfel von der Kante 1: i^^i l^^l i^^i -Y<^ 0 und s^ > 0 ist, hat den Ausdruck s,' Fo + ?,s,h, V, + 35, «2^ V, + s,' V, . Wenden wir diese Formel auf einen Körper (1 + 0^1 + ts^i = K + K^x + s^i) an, wo t und s > 0 seien, und ordnen die entstehende Formel nach t, so kommen wir zu folgender Bemerkung: Wenn ^^, U^ durch ^,, ^, + s^2 ersetzt werden, so treten an die Stellen von Vq, F,, Fg, Fg die Größen n, Fo+sF„ Fo+2sF, + s2F2, Fo+ 3sF,+ Ss^Fg + s^F,. Aus der Ungleichung F,^ — F^^ Fg ^ 0 entsteht nun bei dieser Substitution die Ungleichung (n+s^i)'- V(^o+35F, + 3s2F2 + s3Fg) ==s\ZV,(V,^- FoF2) + s(F,3- Fo2F3))^0. Lassen wir hierin die positive Größe s nach Null abnehmen, so gewinnen wir die folgende in den Größen V^ quadratische Ungleichung: (79) r,'^r,r,. 36. Vertauschen wir die Rollen der Körper Ä, und Äg» so treten an die Stelle von Vq, F,, Fg, Fg diese Größen in umgekehrter Folge und aus (79) geht die andere Ungleichung (80) . v,'>r,r, hervor. Andererseits führen die zwei quadratischen Ungleichungen (79) und (80) bei Elimination von Fg zu mithin zurück zu der kubischen Ungleichung, von der wir ausgegangen sind, so daß jene kubische Ungleichung und die quadratische (79) einander gegenseitig zur Folge haben. Doch besteht in der Abhängigkeit dieser Ungleichungen voneinander ein wesentlicher Unterschied, insofern als die Grenzfälle der quadratischen Ungleichung sofort auch die Grenzfälle der kubischen ergeben, dagegen nicht umgekehrt aus den Bedingungen, unter welchen in der kubischen Ungleichung das Gleichheitszeichen statthat, vollkommen zu ersehen ist, wann das Gleichheitszeichen in der quadratischen eintritt. Volumen und Oberfläche. 259 37. Man kann nun die quadratische Ungleicliung V^^ ^ V^ Fg auch auf einem direkten Wege durch analoge Überlegungen, wie sie zu der genaueren Ungleichung (76) führten, herleiten und gelangt alsdann auch zur Kenntnis der Grenzfälle dieser quadratischen Ungleichung. Wir be- gnügen uns hier, das bezügliche Resultat ohne Beweis anzugeben. Wir bezeichnen eine Stützebene qp < 0 an einen konvexen Körper ^ als eine Eckstützehene an Ä, wenn wir

0 und qp^ < 0, ^Jg < 0, qcg < 0 drei solche Stützebenen an U sind, deren äußere Normalenrichtungen unabhängig sind, d. h. nicht einer einzigen Ebene angehören. Ein konvexer Körper Ä heiße ein Kappenkörper eines konvexen Körpers S', wenn mit Ausnahme nur von gewissen Eckstützebenen alle anderen Stützebenen an Ä zugleich auch Stützebenen an W bilden. Der allgemeinste Kappenkörper einer Kugel wird erhalten, indem man die Kugel als Grundbestandteil nimmt, auf ihrer Oberfläche eine endliche oder unendliche Anzahl von Kalotten be- zeichnet, von denen keine die Größe einer halben Kugelfläche erreicht oder überschreitet und die untereinander höchstens in den Randpunkten zusammenstoßen, und sodann die Kugel auf jeder dieser Kalotten mit der Kegelkappe versieht, bei der die Kalotte als Basis dient und die Erzeugen- den des Mantels die Kugel in dem Rande der Kalotte berühren. Es besteht nim der Satz: In der Ungleichung F^^ ^ Vq Fg für zivei beliebige konvexe Körper 5^ und ^2 hat dann und nur dann das Gleichheitszeichen statt, wenn ^^ homothetisch mit Äg ö(7er mit einem Kappenkörper von ^^ ist. Bei einem vollkommenen Ovaloide kommen keine Eckstützebenen vor und kann ein solches daher niemals Kappenkörper eines anderen konvexen Körpers sein. Wenn also ^^ ein vollkommenes Ovaloid ist, gilt in Fj^ ^ Fq Fg das Gleichheitszeichen nur dann, wenn Äg und Ä^ selbst homo- thetisch sind. Nehmen wir für Äg eine Kugel vom Radius 1, so ist F^ das Volumen, 3 Fj die Oberfläche, 3 Fg das Integral der mittleren Krümmung von Äj und Fg = -^ • Alsdann gilt F^^ ^ V^ Fg und hat hier das Gleichheits- zeichen dann und nur dann statt, wenn Äj eine Kugel oder ein Kappen- körper einer Kugel ist. Zweitens gilt Fg^ ^ Fj Fg und in dieser Unglei- chung hat das Gleichheitszeichen dann und nur dann statt, wenn Ä^ selbst eine Kugel ist. Danach liefern unter allen konvexen Körpern von gleicher Oberfläche die Kugeln und die Kappenkörper von Kugeln das Maximum des Produkts aus Volumen und Integral der mittleren Krümmung und andererseits allein die Kugeln das Minimum des Integrals der mittleren Krümmung. Aus 17* 260 Zur Geometrie, diesen beiden Tatsachen zusammen folgt, daß unter allen konvexen Körpern von gleicher Oberfläche die Kugeln das größte Volumen darbieten. 38. Es seien jetzt ^j, Äg? ^3 ^^^^ beliebige konvexe Körper; das Volumen eines Körpers ^ = 51^1+^2^2+ ^3^37 wobei s^, s^, Sg ^ 0, aber nicht durchweg 0 sind, stellt sich durch eine ternäre kubische Form ^ ^Jkl^j s.s, dar, wo jeder der Indizes die Werte 1, 2, 3 zu durchlaufen hat. Der Koeffizient F^^, bedeutet das gemischte Volumen F(Äy, ^^, ^J . Wir wenden nun die für zwei konvexe Körper nachgewiesene Un- gleichung Fi^ — Fq F2 ^ 0 derart an, daß wir für den ersten Körper Pi^i + Pi^2-\- Ps^S} für den zweiten ^i^i + ^2^2 + 9'3^3 nehmen, wobei Pif • • ', ^i lauter positive Parameter seien. Setzen wir '^jkiPi + v/Äsi'a + '^jkaPs = Pjk> so wird hier ^0 ^-^PjkPjPk, Vi =2PjkPjQk, y^ -^^ik^k- Wir nehmen noch ?i = iPx + ^1, ^2 = iPi + **2, ?3 = *P% + »'s an; dohei können r^, r^, r^ beliebige reelle Werte bedeuten und bei positiven i^i> Psj Pa kann stets t so groß gewählt werden, daß auch g^, q^, q^ sämt- lich > 0 sind. Die in Rede stehende Ungleichung verwandelt sich nun- mehr in Wir nehmen jetzt ^3=1 an und lassen die positiven Werte jp^, pg sich der Grenze Null nähern; es entsteht dann hieraus: (^188^1+ r,,,r,y- F333(Fi,3r,2+2F,23r,r2+ F223 V) ^ 0 und dabei muß diese Ungleichung für beliebige Werte r^, r^ gelten. Setzen wir nun und bezeichnen die adjungierte Unterdeterminante zum Element F^^j hier mit W/k\ so schreibt sich diese Ungleichung (81) - W^frj^ 4- 2 Wifr^r^ - W^fr,' ^ 0 . X)ie Determinante der binären quadratischen Form rechts hier ist FjggA^'^ und folgt daher A(3)^0. Femer haben wir insbesondere — TF^g^^O, — W^f^O. Ist nun etwa '■'^113 7 ^123» M33 ''^213? ''^223? ''^238 '^813 7 '^323> '333 Yolumen und Oberfläche. 261 — W^f > 0, so geht vermöge der Bezielmng die Ungleichung hervor. Analog erschließt man diese Ungleichung, wenn — W[l^ > 0 ist. Hat man jedoch sowohl — W^f = 0 wie — W^ = 0, so muß, da die Ungleichung (81) für beliebige r^ und r^ statthaben soU, durchaus auch W^ = 0 sein, und dann sind in A^^^ die erste und dritte und femer die zweite und dritte Reihe proportional und folgt dadurch In aUen Fällen gilt hiemach (82) ^4^^113^223. Verbinden wir diese Ungleichung mit den zwei Ungleichungen v"^) M13 = ''^111 ''^333; ^283= ^222^333» welche die Beziehung V^^ ^ V^^ Fg für Äj und A3 bzw. für Äg und % vorstellen, so gelangen wir durch Elimination von F^g und Fjgj zu V^'^J ^123 = ''^111 ^222 ''^333 • Dabei kann in dieser Ungleichung das Gleichheitszeichen nur statthaben, wenn in leiden Ungleichungen (83) das Gleichheitszeichen gilt. Damit kommen wir zu folgendem Satze: Brei heliebige Iconvexe Körper vom Volumen 1 (hier ,^, . ff „ . 3, ff. ) ergeben stets ein gemischtes Volumen | nämlich , "' ) . das ^ 1 und nur dann = 1 ist, wenn aMe drei Körper einander homo- thetisch sind. Die frühere Ungleichung V{^ ^ V^ Fg geht aus diesem Satze, ebenso die Ungleichung F^- ^ V^ Fg aus (82) als spezieller Fall hervor, wenn der zweite und dritte Körper identisch gesetzt werden. 39. Es seien ffj, ffj, ..., Ä„ m beliebige konvexe Körper. Wir wenden die Ungleichung (82) für drei konvexe Körper an, indem wir für den ersten einen Körper ^i?,ff„ für den zweiten einen Körper 2{tPi+ ^^^o für den dritten einen Körper ^s,ff,(* = 1, 2, . . ., w) nehmen, wobei die r,. beliebige Größen und die Werte p^, tp^ -\- r^, s^ sämtlich positiv sind. Setzen wir F(ff„ ff„ ff,) = F,,„ V,,,s, + F,,,s, + . . . + V,,^s^ = 5,„ so wird die betreffende Ungleichung 262 Zur Geometrie. sie bedeutet, daß die quadratische Form ^Sj^r^r,^ bei einer Transformation in ein Aggregat von Quadraten reeller unabhängiger linearer Formen mit positiven oder negativen Vorzeichen ein einziges Quadrat mit positivem und im übrigen lauter Quadrate mit negativem Vorzeichen darbieten muß. Im besonderen muß danach die Determinante dieser Form mit (—1)"*-^ multi- pliziert, stets ^0 sein, d. h. für beliebige positive Werte 5^, Sg, . . •, ^m muß stets die Ungleichung (85) (- 1)- M V,,,s, + r,,,s, + . . . + V,,^s^ 1 ^ 0 bestehen. § 8. Stetig gekrümmte konvexe Körper. 40. Das allgemeine Theorem V^^ ^ Vq^ V^ für zwei beliebige konvexe Körper ist aufs engste mit gewissen Fragen über die Krümmung konvexer Körper verknüpft. Sind Ä und ^' zwei beliebige konvexe Körper, so wollen wir den Wert 3 F(^', Ä, Ä) die Helativoberjläche von U in hezug auf ^' nennen. Es seien ^und H' die Stützebenenfunktionen von ^ und Ä'. Wir nehmen Ä zunächst als ein vollkommenes Ovaloid an und verwenden dafür die in § 3 eingeführten Bezeichnungen; alsdann gilt nach (24) und (18) der Ausdruck (86) 3 V{^\ Ä, ^) =Jh' (BT- S') d(o = fH'df- darin bedeutet df das Flächenelement der Begrenzung von ^, welches durch parallele Normalen dem Element da der Kugelfläche @ entspricht, und BT — S^ das Produkt der Hauptkrümmungsradien, die reziproke Gaußsche Krümmung, an der Stelle von df. Setzen wir H' = H + dH, so hat der Körper (1 — ^)t + tW, wenn ^> 0 und < 1 ist, die Stützebenenfunktion H -\- tdH. Die Differenz aus dem Volumen dieses Körpers und dem Volumen von ^ ist dann bis auf Größen von der Ordnung t'^ gleich tfdH(BT- S') da = t jdHdf. 41. Diese Beziehungen, die jedenfalls bei einem vollkommenen Ovaloide ^ statthaben, veranlassen uns nun zu folgender Definition: JEin konvexer Körper ^ soll stetig gekrümmt heißen, wenn für ihn eine auf der Kugeloherfläche @ stetige und durchweg positive Funktion F= F{(ic,ß,'y) existiert derart, daß die Belativoherfläche von Ä in hezug auf einen be- liebigen konvexen Körper ^' mit der Stützebenenfunktion H' immer den Ausdruck hat: ^ (87) 3 F(t', Ä, t) = / H'Fdco . Volumen und Oberfläche. 263 Diese Funktion F{a, ß, y) (oder F(d-, iIj)) wollen wir dann die Krüm- mungsfunktion des Körpers ^ nennen. Zunächst leuchtet ein, daß bei einem stetig gekrümmten Körper ß diese Funktion jedenfalls eine durch- aus bestimmte ist. Denn nehmen wir an, es gäbe für U noch eine zweite auf © stetige und positive Funktion F^ {a, ß, y), welche in derselben Weise wie F in (87) eintreten könnte, so wäre dann für jeden beliebigen konvexen Körper ^' stets (88) jH'F^da ==fR'Fd(o, fs' iF* - F) r/o = 0 . Da F* — F auf @ nicht durchweg Null ist, können wir auf @ einen Punkt finden, wo F* — F^O ist, und hernach können wir, da jp* — F auf (S stetig ist, eine ganze Kalotte um diesen Punkt bestimmen, (die wir kleiner als eine Halbkugel wählen), so daß F* — F daselbst überall 4=0 imd also von konstantem Vorzeichen, etwa stets > 0 ist. Wir setzen auf die Kalotte die Kegelkappe, bei welcher die Kalotte die Basis bildet und die Erzeugenden des Mantels die Kugelfläche (5 im Rande der Kalotte be- rühren, und nehmen nun in der Gleichung (88) für S' einmal den Körper, der aus der Kugel @ und dieser Kappe besteht, ein andres Mal @ selbst, so hat das Integral 1 H\F* — F)dG} im ersten Falle einen größeren Wert als im zweiten Falle und kann daher nicht in beiden Fällen Null sein. 42. Nehmen wir mit dem Körper Ä', für den (87) gebildet ist, die Translation vom Nullpunkte nach einem Punkte a, b, c vor, so ist R'(a, ß, y) dnrch B:'(a,ß,y)-\-aa-\-hß-^cy zu ersetzen. Da nun hierbei der Wert 3 F(^', Ä, Ä) sich nicht ändert und die Größen a,h, c völlig beliebig sind, so ersehen wir: Die Krümmungsfunktion F für einen stetig gekrümmten Körper muß stets die drei Bedingungsgleichungen erfüllen: (89) CaFda^^O, jßFdco=^0, jyFda^O. Andererseits erhellt, daß, wenn wir mit Ä eine Translation vornehmen, dabei die Krümmungsfunktion invariant ist. Unter den sämtlichen, aus Ä durch Translationen abzuleitenden Körpern können wir einen bestimmten Körper durch die Lage des Schwerpunkts fixieren. Ist t ein positiver Parameter, so hat tB die Krümmungsfunktion t^F, wenn F die Krümmungsfunktion von Ä ist; dieses folgt unmittelbar aus der Formel 3 F(Ä', t^, t^) = 3^2 Y^^'^ ^^ ^y 43. Unsere weiteren Entwicklungen nun werden darauf gerichtet sein, den folgenden sehr bemerkenswerten Satz zu beweisen: 264 Zur Geometrie. Ist F(ci,ß, y) eine auf der Kugelfläche @ heliebig vorgeschriebene, daselbst stetige und dmrchweg positive FunTction, welche die drei Bedingungsgleichungen faFd(o = 0, fßFd(o='0, j yFda^O erfüllt, so gibt es immer einen stetig gekrümmten konvexen Körper ^ mit F{cc, ß, }') als Krümmungsfunktion, und dieser Körper ist bestimmt bis auf eine willkürliche Translation, durch die man ihn noch abändern kann, also eindeutig festgelegt, wenn noch zusätzlich gefordert wird, daß sein Schwerpunkt im NuUpunkte liegen soU. Wir beweisen zunächst den Nachsatz, daß den hier gestellten Forderungen, wenn überhaupt, jedenfalls nur durch einen einzigen Körper genügt werden kann. In der Tat, nehmen wir an, es sei ein konvexer Körper ^ gefunden mit F als Krümmungsfunktion und mit dem Schwer- punkte im Nullpunkte, und es sei H die Stützebenenfunktion von Ä. Zunächst ist klar, daß unter den mit Ä homothetischen Körpern kein anderer diese beiden Eigenschaften mit ^ teilt. Das Volumen von ^ ist durch V=i-lHFdG) -rß dargestellt.^ jlst sodann ^' mit der Stützebenenfunktion H' und dem Volumen V ein beliebiger konvexer Körper, der mit Ä nicht homothetisch V V ist, so ergibt das allgemeine Theorem i^-z^^y7= *^f ^i® Körper ^ und Ä' angewandt: ^^« ^ ^' (90) i f §■''""> ^fw"'"'- TT TT' Darin sind nun 3-= und y7^ ^^^ Stützebenenfunktionen der Körper V V yv ß=3^^ und 2'=3^Ä', Yv Vv und diese zwei mit Ä bzw. ^' homothetischen Körper sind dadurch charakte- risiert, daß sie ein Volumen = 1 haben. Damit kommen wir zu folgendem Ergebnisse, welches zeigt, daß der Körper Ä eindeutig bestimmt ist. Man betrachte für alle möglichen konvexen Körper 2 vom Volumen 1 das Integral J{2) = ^jLFdco, wobei L = L(a, ß, y) die Stütsebenenfunktion von S und F= F{a, ß, y) die gegebene Funktion für die Argumente a, ß, y, die Normale in da, be- Volumen und Oberfläche. 265 deute; gibt es einen stetig gekrümmten konvexen Körper Ä mit F als Krümmungsfunktion, so hat dieses Integral «7(2) für einen ganz bestimmten Körper S mit dem Xidlpiinkte als Schwerpunkt (und für die aus ihm durch Translationen hervorgehenden Körper) einen kleinsten Wert J, und alsdann ist Ä identisch mit j/JS oder geht aus letzterem Körper durch eine Trans- lation hervor. 44. Zugleich werden wir hierdurch auf ein gewisses Variationsprohlem hingewiesen, das in nahem Zusammenhange mit der von uns zu behandeln- den Aufgabe steht; und in der Tat erkennen wir sofort, daß die Differen- tialgleichung zu diesem Variationsprohlem RT-S^=F{?t,ii) wird, worin F die gegebene, den Gleichungen (89) genügende Funktion ist, und die in R, S, T auftretende Funktion JE[(p-j ili) gefunden werden solL Diese Gleichung ist nach den Ausdrücken von R, S, T in (17) für Hiß", ii) eine quadratische Differentialgleichung zweiter Ordnung von dem Monge-Am pereschen Typus; sie transformiert sich, wenn wir auf der Oberfläche des gesuchten Körpers die Koordinate z als Funktion von x, y einführen, in die Gleichung: rt-s^ = f{p, q) für diese Funktion z(Xf y), wobei dz cz c^z c'z d^z dx P' dy~^' dx' ' 8xdy~ ' dy'~ gesetzt ist und /"Cp. 3) TP als eine beliebige eindeutige und stetige Funktion in yr+PT?' ViTVTY'' v^TF+T' vorgeschrieben sein kann, die nur den Gleichungen (89) zu genügen hat. Wir werden jetzt ein gewisses Problem mit einer nur endlichen An- zahl von Parametern, sozusagen eine Art von Differenzengleichung erledigen und hernach von diesem Probleme aus durch einen Grenzübergang zur Lösung der hier gestellten Aufgabe, die von einer kontinuierlichen Funk- tion F handelt, gelangen. ^ 9. Bestimmnng eines Polyeders durch die Normalen und die Inhalte der Seitenflächen. 45. Es sei ^ ein beliebiges Polyeder mit n Seitenflächen, die in irgendeiner Ordnung numeriert seien. Wir wollen annehmen, der Null- punkt liege in ^ selbst, sei es im Inneren, sei es auf der Begrenzung 266 Zur Geometrie. von ^. Wir bezeiclmen für i = 1,2, . . ., n mit (a,, ß^y y^ die äußere Normale, mit JP^ den Flächeninhalt der **®" Seitenfläche von ^, mit p^ die Länge des vom Nullpunkt auf die Ebene dieser Fläche gefällten Lotes, endlich mit V das Volumen von ^. Die Richtungen (cc., ß., y^ sind gewiß so beschaffen, daß sie nicht sämtlich einer Ebene angehören; die Größen jP^ sind sämtlich > 0. Bei einer Translation des Polyeders ^ bleiben alle Größen «,., ß^, y^, F^ un- geändert. Indem wir das Polyeder ^ nach der in § 2 entwickelten Methode als Grenze von vollkommenen Ovaloiden darstellen und die Formel (86) heran- ziehen, gewinnen wir die folgende Regel: Ist O ein beliebiger konvexer Körper, Q seine StützebenenfunMion und setzen wir dllgemein Q(a^, ß^, y^ = q., so wird das gemischte Volumen (91) F(0, ^, ?) = y (i^, g, + i^, g, + ■ . . + F„q^). Insbesondere entnehmen wir daraus für das Volumen von ^ den Ausdruck (92) F = I iF,p, + F,p,+ -..^ Fj>„). Genau so, wie wir aus (87) die drei Gleichungen (89) folgerten, schließen wir aus (91) durch beliebige Translation des Körpers Q auf das notwendige Bestehen der drei Gleichungen: (93) 2F,ai-0, 2F,ß,==0, 2F,y,^0 (* = 1, 2, .., n). Bezeichnen wir das Volumen von D mit V.;^ und bilden wir unsere 3 F 3 F allgemeine Ungleichung j — ^^ j — ~ i'i bezug auf das Polyeder ^ als ersten y 's y ^0 und den Körper £1 als zweiten Körper, so finden wir, daß stets (94) -^igl+J^^g^H h-^ngn > F^p, + F^p^ H 1- KVn V$ ^ V^ ist und hierin das Gleichheitszeichen nur dann gilt, wenn D mit ^ homo- thetisch ist. Wir werden nunmehr den folgenden Satz beweisen*): Es seien n beliebige Richtungen (a^, ß^, y^ für i = 1, 2, . . .,n gegeben, die nicht sämtlich einer Ebene angehören, und dazu n beliebige positive Größen F., so daß die drei Gleichungen bestehen 2F,a,= 0, 2FA=0, 2F,Yi-0 (*=l,2,...,n); alsdann gibt es stets ein Polyeder ^ mit n Seitenflächen, ivofür die Richtungen *) Diesen Satz habe ich zuerst in dem Aufsatze: Allgemeine Lehrsätze über die Tconvexen Polyeder, Göttinger Nachrichten, 1897, publiziert. (Diese Ges. Abhandlungen, Bd. n, S. 103. Volumen und Oberfläche. 267 (*i> ßif yd ^'^ äußeren Normalen und die Größen Ff die Flächeninhalte dieser Seitetiflächen bilden, und dieses Polyeder ^ ist vollkommen bestimmt bis auf eine beliebige Translation, durch die man dasselbe noch variieren kann, also eindeutig festgelegt, wenn femer noch die Lage seines ßchwer- punktes beliebig vorgeschrieben wird. 46. Um zu einem Beweise dieses Satzes zu gelangen, fassen wir jetzt die Gesamtheit aller möglichen Polyeder mit ti oder weniger Seitenflächen ins Auge, welche die äußeren Normalen der Seitenflächen nur unter den n Richtungen (a,., /3,., 7,.) besitzen und welche ferner den Nullpunkt in sich schließen. Sind g_i, g_2y • ' • , Q.n irgendwelche « Größen, sämtlich ^ 0 und derart, daß die n Ungleichungen (95) ^i^ + ßiV + yi^^ai (i= l,2,...,w) ein wirkliches Polyeder definieren, so bezeichnen wir dieses Polyeder mit ^(^1, q^, . . ., gj oder Ä(g.), sein Volumen mit r{q^, q,^, . . ., ^J oder F(g.). Dabei kann auch ein Teil dieser Ungleichungen eine Folge der übrigen sein, das Polyeder also weniger als n wirkliche Seitenflächen besitzen. Wir bezeichnen ferner mit q.* den größten Wert von a^x + /3,2/ + y^^ in ^(.Qi)] fü^ diejenigen Indizes i, wobei Ä eine wirkliche Seitenfläche mit der Normale («,., /3,., y,) besitzt, ist immer qf^ = q., während wir bei den anderen Indizes nur g, ^ g^* behaupten können. Wir nennen g^*, q^*, . . ., q^* die tangentialen Parameter von ^(ö'i, g'2, • .., 9'«); off'enbar ist Existiert nun ein Polyeder '^ = ^(j>i, p^,- • .,i>n) geniäß den Forderungen unseres Satzes, so zeigt die Ungleichung (94), daß unter allen vorhan- denen Körpern ^{qi, q9, • • -, q„) eben dieses Polyeder 'jß und die ihm homo- thetischen Körper den kleinsten Wert des Ausdrucks liefern. Daraus erhellt zunächst der letzte Teil jenes Satzes, daß nämlich das gesuchte Polyeder Sß gewiß nur auf eine Art, abgesehen von einer Translation, bestimmt werden kann. Nunmehr wollen wir die wirkliche Existenz jenes Polyeders ^ dartun. 47. Wir zeigen vor allem, daß, wie die n Richtungen («,., ß-, y,.) vorausgesetzt sind, gewiß irgendwelche Polyeder ^(ffi, 22» • • •; S'n) ^®^' banden sind. In der Tat, der durch die n Ungleichungen (96) ^iX-hß,y-i-y,z£l (e - 1, 2, . . ., w) definierte Bereich Ä(l, 1, . . ., 1) = Ä(l) stellt ein solches Polyeder, und zwar wirklich mit n Seitenflächen vor. Denn diese Ungleichungen sind 268 Zur Geometrie. die Bedingungen von n verschiedenen Tangentialebenen an die Kugel ^j der Bereich enthält daher die Kugel ® in sich und besitzt jene n Ebenen als extreme Stützebenen. Andererseits kann dieser Bereich ^(1) sich nicht ins Unendliche erstrecken; denn der Abstand eines beliebigen Punktes X, Pf z in ihm von der ^^ jener Stützebenen wird und entnehmen wir aus dien Gleichungen (93) dann 2F,t,=2F, (i=l,2,...,w). Da die Werte F^ sämtlich > 0 sind, besteht hiernach für eine jede Größe t^ eine obere Grßnze. Nun können wir unter den Stützebenen (96) gewiß drei solche herausgreifen, die sich in einem Punkte schneiden; durch die oberen Grenzen der drei zugehörigen Größen t^ werden dann drei zu ihnen parallele Ebenen angewiesen, welche mit den ersteren zu- sammen ein ParaUelepipedum bestimmen, in dem der Bereich ^(1) ganz enthalten sein muß. Danach liegt dieser Bereich ganz im Endlichen. Das Volumen von ^(1) setzen wir =7F) alsdann hat Ä(Z,Z,...,Z) das Volumen 1. Weiter wird überhaupt für beliebige endliche Werte g'i, ö'g? •• •? 9'n ^®^ durch die Ungleichungen (95) bestimmte Bereich ganz im Endlichen liegen und bei lauter positiven Werten q^ stets ein wirkliches Polyeder, wenn auch nicht immer mit n Seitenflächen, vorstellen. 48, Wir betrachten jetzt in der w- fachen Mannigfaltigkeit 9JJ von n beliebig veränderlichen reellen Größen q,x,(lz, • ■ •,% ^^^ Bereich 33 aller solchen Systeme g_i,C[z,-.-, q^y ,jPunkte" (g,), wobei g'i ^ 0, ^2 ^ 0, . . ., q^ ^ 0 ist und den Größen q^, q^, • ' -^Qj, cm Polyeder ^{Qi, 22} ■ • -fQn) ^^** einetn Volumen entspricht. Sind (r^) und (s^) {i = 1, 2, . . ., w) zwei beliebige Punkte dieses Bereichs 33 und (r,.*) bzw. (s^*) die tangentialen Parameter von ß(r,.) und Ä(5,) und ist t ein Wert > 0 und < 1 , so besitzt der aus diesen zwei Polyedern abzuleitende Bereich (1— t)U{r^ + t^(s^ nach (77) ein Volumen > ((1 - 0 Vnrh +tVyW>{(}. - 0 + ^)'= 1 • Die Stützebenenfunktion des letzteren Bereichs hat für die Argumente «f, ßi, Yi den Wert (1 — t)r?^ -\- ts^, und danach ist dieser Bereich ent- weder identisch, oder, wenn nicht identisch, so doch jedenfalls ganz ent- halten in dem Bereich «i^ + ßiV + Vi^ ^ (1 - ty^* + ts* (i = 1, 2, . . ., n), der dadurch gewiß auch ein Polyeder vorstellt, und um so mehr dann Volumen und Oberfläche. 269 enthalten im Polyeder ^((1 — ^r, .+ ts^. Mithin ist für das letztere Polyeder notwendig ebenfaUs das Volumen ^ 1, also V{a-f)r,+ ts,)^l. Der Bereich 95 hat danach die Eigenschaft, mit irgend zwei Punkten (r^), (5,.) stets die ganze sie verbindende „Strecke" von Punkten ((1 — f)r^-\- ts^ zu enthalten, und ist deshalb als ein „hmvexes Gebildet' in der Mannig- faltigkeit 3K anzusprechen. Da V{q^, g'*, . . ., O ^i°® stetige Funktion der Argumente ist, wird femer der Bereich 33 dbgesclilossen sein und wird seine Begrenzung von denjenigen Punkten (g-) gebildet werden, für welche y{aiy «2, •■•,?„) = 1 ist. Wir haben jetzt nach dem kleinsten Werte des mit den gegebenen positiven Größen F^ zu bildenden linearen Ausdrucks (97) F,q,+ F,q, + ^-- + I\q„ im ganzen Bereiche 95 zu fragen. Der Bereich 95 erstreckt sich ins Un- endliche. Insbesondere ist g*! = g'2 = • • • = g'n = ? ein Punkt aus 95. Nun wird durch die Ungleichung F,q,+ F,q,+ . ■ . + F„g„^K^i+ ^2+ • • • + ^„) ein Teil von 95 bestimmt, der ganz im Endlichen liegt und zum mindesten jenen speziellen Punkt enthält. In diesem Teile hat , der Ausdruck (97) sicher einen bestimmten kleinsten Wert, welcher nun zugleich das Minimum dieses Ausdrucks (97) im ganzen Bereiche 95 sein wird. Dieser kleinste Wert von (97) in 95 sei 3 F^, und es sei r^, r^, . . ., r^ ein Punkt in 95, für den dieser Wert eintritt. Der Punkt (r,) liegt dann jedenfalls auf der Begrenzung von 95, es stellt also Ä(r,.) ein Polyeder vom Volumen 1 vor. Nehmen wir mit diesem Polyeder diejenige Trans- lation vor, wodurch sein Schwerpunkt in den Nullpunkt fällt, so treten an SteUe der Parameter r,. gewisse Werte r,. -}- aa,-|- 5/3^+ cy,.; für diese hat dann aber der Ausdruck (97) genau denselben Wert, da wir für die Größen F. die Gleichungen (93) als bestehend angenommen haben. Danach können wir auch von vornherein uns die Parameter r,. so beschaffen denken, daß der Schwerpunkt von Ä(r,) sich im Nullpunkte befindet. Alsdann sind notwendig die Größen r^, r^, . . ., r, sämtlich > 0. Für aUe Punkte {q^) in 95 gilt nun die Ungleichung (98) i^i ^1 + i^,ft + • • • + i\.3, ^ 3 F* und haben wir hierin also die Bedingung einer „Stützebene" an 95 durch den Punkt (r^), d. h. einer solchen Ebene, welche auf einer Seite von sich gar keinen Punkt von 95 liegen hat. Für das Polyeder Ä(ri, r^, . . .,rj bedeute allgemein 0,. den Flächen- inhalt der Seitenfläche mit der äußeren Normale («,., /3^, y,), wobei wir 270 Zur Geometrie. 0^=0 zu setzen hätten, falls eine solche Seitenfläche im Polyeder nicht wirklich vorkäme. Alsdann können wir zeigen, daß die Ebene y (01^1 + 02^2 + • • • + 0„^J = 1, die jedenfalls durch den Punkt (rj geht, die einzige Stützebene an 35 durch diesen Punkt yorstellt, daß mithin die n Gleichungen (99) 0,= ^ {i = l,2,...,n) gelten müssen. Denn hätten nicht diese n Gleichungen sämtlich statt, so könnten wir in der durch (98) dargestellten Stützebene an S3 einen Punkt (r^ + s^ finden, für den |(0iSi+0252 + ..- + 0„sJ>O ausfällt und noch alle Werte r^ + s,- > 0 sind. Nun ist F(r,.) = 1 und nach (91) das gemischte Volumen y(ß(r,-\-s,), Ä(r,), Ä(r,)) = 1 + Y^0,5,> 1; infolgedessen wird das Volumen von (1 — t)U(r^ -{■ t^{r^+ s^ dem Aus- drucke (60) zufolge bei hinreichend kleinen positiven Werten t sicher > 1 und umsomehr nach den oben gemachten Bemerkungen dann F((l - 1) r, + t{r,-\- s,)) = V(r, + ts,) > 1 . Dieses könnte aber .nicht der Fall sein, weil der Punkt (r. + ts^ in einer Stützebene an S5 Hegt, somit gewiß nicht ein innerer Punkt von 93 sein kann. Damit ist in der Tat bewiesen, daß die n Gleichungen (99) gelten müssen. Setzen wir F*r,. = ^,., so besitzt alsdann das Polyeder ^(jp^) zu den Normalen (a-, ß-, y^ die Inhalte F^ der Seitenflächen, entspricht mit- hin genau den Forderungen unseres Satzes in 45. § 10. Bestimmung eines konvexen Körpers zu einer gegebenen Krümmungsfunktion. 49. Auf den soeben gewonnenen Satz über Polyeder gründen wir nun den Beweis des Satzes in 43. über die Existenz eines stetig gekrümmten konvexen Körpers zu einer gegebenen Krümmungsfunktion. Dabei wird uns namentlich die in (76) abgeleitete untere Grenze für die Differenz Fj— l/F^^Fg von Nutzen sein. Zunächst haben wir eine Bemerkung über gewisse Einteilungen auf der Kugelfläche ^ {x^ -\- y^ -\- z^ = 1) vorauszuschicken. Unter der Winkel- distanz zweier Punkte r und r* auf @ woUen wir den Winkel rot* der Volumen und Oberfläche. 271 Radien vom Nullpunkte 0 nach diesen Punkten verstehen. Es sei 6 ein beliebiger positiver Wert, den wir < — annehmen. Wir bestimmen auf © sukzessive Punkte r^, rg, . . . derart, daß die Winkeldistanz jedes folgen- den Punktes von allen vorhergehenden > 6 ist. Da die Oberfläche von @ eine endliche Größe hat, können wir eine solche Reihe von Punkten nicht unbegrenzt bilden, sondern wir gelangen schließlich zu einer endlichen Beihe t^, r2,...,r„ derart, daß nun für jeden beliebigen Punkt x auf © unter den n Winkeldistanzen von x nach i^i, Tg, . . ., r„ immer wenigstens eine ^ 6 ausfällt. Es seien ^,., ly,., t^ die Koordinaten von r^(^ = 1, 2, . . ., w). Die n Un- gleichungen ^,x + r,,y+y^l (i = l,2,...,n) bestimmen alsdann ein Polyeder mit n Seitenflächen 91^, das ganz in der Kugel mit 0 als Mittelpunkt vom Radius ^— z enthalten ist. Die Pyramide o3R,- mit 0 als Spitze und ^. als Basis schneidet aus der Kugelfläche @ eine Partie @,. heraus, den Bereich aller der Punkte r auf (S, für welche die Winkeldistanz von dem betreffenden Punkte r,. nicht größer als von irgendeinem der anderen n — 1 Punkte r^ (J =f= i) ist. Es sei ^^ der Flächeninhalt von @-; das Gebiet @,. enthält gewiß alle Punkte auf (S mit einer Winkeldistanz ^ — von r^ und ist selbst ganz enthalten im Gebiet aller Punkte auf @ mit einer Winkeldistanz ^ d von r^; daraus folgt 23r(l-cos|-) <^i<2n;(l-cosö). Da überdies ist, so haben wir Yw(1 — cos y) <1 0 sein wird. 51. Wir denken uns jetzt eine Massenbelegung der Kugelfläche @ vorgenommen, wobei die Flächendichtigkeit an einem Punkte a,/3,y durch F{a, ß, y) dargestellt ist. Der Schwerpunkt der Belegung des Gebiets @^ wird alsdann, da der Sektor 0®,- mit 0 als Spitze und ^^ als Basis ein konvexer Körper ist und die Punkte auf ^^ eine Winkeldistanz ^ 0 von r,. haben, ein Punkt q^ sein, der eine Entfernung (>,.> cosö und < 1 von o besitzt und so gelegen ist, daß der Strahl oq^- in seiner Verlängerung einen Punkt :pj. innerhalb S^. trifft. Wir bezeichnen mit a^, /3,., y,. die Koordinaten von p^, so daß g^a^, Q^ß^, Q^'y^ die von C{^ sind. Setzen wir noch (102) fFd(o = ^, (®) so wird (103) JaFdm = a,F„ JßFdo^ß.F,, fyFdcö = y,F,; {%) {%) (®) darin sind die vier Integrale über den Bereich (S^. zu erstrecken. Für die damit eingeführten n Richtungen a^, ß^, y. und n positiven Größen F^ werden nunmehr auf Grund der Gleichungen (100) die Beziehungen (104) ^t.,F,= 0, 2ßiF,= 0, ^ni^.= 0 {i=l,2,...,n) statthaben. Jeder Punkt auf (S besitzt von wenigstens einem der Punkte r,. eine Winkeldistanz ^ 6, und sodann von dem zugehörigen Punkte p^ gewiß eine Winkeldistanz < 2 ö, weil immer r^- von p^ eine Winkeldistanz < 6 hat. Da wir nun 26 <^-^ vorausgesetzt haben, können hiernach die n Richtungen a^, ß^, y. gewiß nicht sämtlich in einer Ebene liegen. Nach dem Satze in 45. wird es nunmehr ein ganz bestimmtes Polyeder ^ geben mit n Seitenflächen, den Richtungen (a^, ß^, y^) als äußeren Nor- malen und den Größen F^ als Flächeninhalten dieser Seitenflächen, und zudem noch mit dem Schwerpunkte im Nullpunkte. 52. Wir haben jetzt noch einige aUgemeiuere Abschätzungen zur Sprache zu bringen. Ist ü ein beliebiger konvexer Körper mit dem Schwerpunkte im Null- punkte, H die Stützebenenfunktion von Ä, so woUen wir das Integral (105) t/^(«. ß^ r) F{<^, ß,?)dJ{ß). Bei der Annahme F{ay ß, y) = 1, wobei die Relationen (100) jeden- falls erfüllt sind, geht auf diese Weise insbesondere (111) "fG^^Jndco^^-^G hervor. Setzen wir H{a^, ß^, y.) == q., so ist nach (91) das gemischte Volumen (112) n^, ^, ^) =|(F,g,+ F,g3+ • • • + F^q„). Jeder Punkt u, ß, y auf @ besitzt von wenigstens einem Punkte a,., /3,-, y. eine Winkeldistanz < 2ö, also eine geradlinige Distanz <2sinÖ und gilt alsdann nach der Ungleichung (6) in § 1 immer: \n{a, ß, y)-Hia„ ß,, y,)|<2Binö. 6?. Mit Hilfe dieser Beziehung und der Formeln (102) gewinnen wir aus (105) und (112) einerseits: (113) J(ß) > F(Ä, ^, «P) - 2sinö • OoG^; andererseits: ^^^^) ^ ^(^' ^' ^) > ^(^^) - 2sinö . OoG. Minkoweki, Gesammelte Abhandlungen. II. 18 274 Zur Geometrie. 53. Die abgeleiteten Ungleichungen benutzen wir zunächst, um in betreff der Ausdehnung des in 51. konstruierten Polyeders ^ gewisse Grenzen nachzuweisen. Es sei P(u, v, w) die Stützebenenfunktion von ^, N das Maximum unter den Werten P{cc, ß, y), ferner V das Volumen von ^. Aus (111) entnehmen wir (115) ^N^^fF(a,ß,r)dio>^N. Die Oberfläche von ^ ist (116) F,-\-F, + --- + F,<0, und >co8Ö.Oo. Wenden wir nun die allgemeinen Ungleichungen V^^ ^ Vq^ Fg, V^^ ^ Vq Fj* für zwei beliebige konvexe Körper auf das Polyeder ^ und die Kugel @ an, so erhalten wir mit Rücksicht hierauf: (117) ^Öo«>^FS ^iV^>F Aus (113) gewinnen wir (118) J{^)> F-2sin6l. O^N und aus (114) und (108): (119) ^>^(^)-2sinö.OoiVr^(|Äo-2sinö.Oo)i\r. Mit Hilfe der zweiten Ungleichung in (117) folgt hieraus (120) F^ > (^)' cos ö (I ^0 - 2 sin ö . Oo) . Wir nehmen nun einen Winkel d^ so klein an, daß jedenfalls sin 9, < II ist, und gewinnen dann aus (120) eine von 6 unabhängige positive Größe Vq und hernach aus der zweiten Ungleichung in (117) eine von 6 unabhängige Größe Nq derart, daß immer (121) F^Fo, N,^N statthat, wenn ö < ö^ ist, was wir von nun an voraussetzen. Das Polyeder — r35 hat das Volumen 1. Aus (119) entnehmen wir vi (^'') •'(^) = 7?"^(*)<(Tf^^o' + 2-n«„ die hier rechts stehende Größe setzen wir == -g- '^o -^o } ^^^^ ist also (123) j(^^'j<^S,M,. 54. Es sei jetzt 2 ein beliebiger konvexer Körper vom Volumen 1 und mit dem Nullpunkte als Schwerpunkt, L(u, v, w) die Stützebenen- Volumen und Oberfläche. 275 (124) -^(2) ^-^6) fanktioii von 2. Wir fragen, unter welchen Umständen sich iL herausstellen kann. Nach der Formel (108) und infolge der Ungleichung (123) wird hierzu jedenfalls nötig sein, daß 2 ganz im Inneren der Kugel vom Radius Mq mit dem Nullpunkt als Mittelpunkt enthalten ist, daß also stets L{a, ß, y) < M^ gilt. Nach (113) ist sodann (125) J(S) > F(2, ^, ^:p) -2 8me-0,M,. Jetzt ziehen wir die Resultate des § 6 heran. Bezeichnen wir mit D das Maximum unter den Quotienten 80 gilt nach (76) die Ungleichung (127) Z(^)_15,(^', worin x die numerische Konstante j- bedeutet. Aus (125), (124), 2"- 3*- 7* (119) und (121) schließen wir nun (D-iy Aus dieser Ungleichung entnehmen wir für D — 1 eine obere Grenze, die nach Null konvergiert, wenn 0 nach Null abnimmt. Andererseits haben wir, wenn d das Minimum der Funktion (126) be- deutet, nach (78) und der an diese Ungleichung angeschlossenen Bemerkung: (129) D^-i^x^lzL^^ und hieraus ergibt sich weiter für 1 — d eine obere Grenze, die mit d zugleich nach Null konvergiert. Wir werden somit auch eine Größe e, die zugleich mit ß nach NuU konvergiert, angeben können, so daß gilt, und wir haben damit das Resultat erlangt: ausfallen, so muß jedenfalls 2 ganz in (1 -\- e) -~ enthalten sein und selbst 1 $ . . ^ das Polyeder —j- — ^ in sich enthalten, wobei s eine gewisse vom Winkel $ erhängende Größe bedeutet, die mit na^h NuU abnehmendem 6 ebenfalls nach Null konvergiert. 18* (128) (-L-l) + 2sin«.0,(^|+|)>.^ 276 Zur Geometrie. 55. Dieses Resultat zeigt uns sofort (s. 9.), daß, wenn wir den Winkel 6 nach Null abnelinien lassen, das Polyeder -^ nach einem be- stimmten konvexen Körper S als Grenze konvergieren muß, welchem die Eigenschaft zukommen wird, daß für ihn unter allen konvexen Körpern vom Volumen 1 und dem Nullpunkt als Schwerpunkt das Integral '^(^) = t/^(^' ^> y) ^(^' ^^ y) ^«' unter L die Stützebenenfunktion von 2 verstanden, den kleinsten Wert hat. Bezeichnen wir das betreffende Minimum dieses Integrals mit J, so konvergiert gleichzeitig V^ nach J{b. (118) und (119)) und das Polyeder ^ nach dem Körper Ä = t7"*2 . Ist jetzt ^' ein beliebiger konvexer Körper, H' seine Stützebenen- funktion, G' das Maximum der Werte H' (a, ß, y), so folgt aus (113), (114) und (110): I J{^') - F(Ä', ^, ^) I < (I (1 - cos ö) + 2 sin d) 0, G'. Da nun für ein nach Null abnehmendes B die Größe V(ß', ^, ^) nach F(Ä', U, ^) konvergiert, so ersehen wir hieraus, daß allgemein die Dar- stellung /» F(r,t,t)-./(r), d.i. -LJH'Fä. gilt. Danach ist in der Tat der gefundene konvexe Körper ^ ein stetig gekrümmter mit F{a, ß, y) als Krümmungsfunktion, mithin der Beweis für den Satz in 43. vollständig erbracht. 56. Wir können diesen Satz über die Bestimmung eines konvexen Körpers zu einer gegebenen Krümmungsfunktion F auch auf Fälle ausdehnen, wo diese vorgelegte Funktion F nicht durchweg stetig ist. Insbesondere lassen sich alle konvexen Körper, welche in der Regel konstante positive Krümmung und nur an singulären Stellen unendliche Krümmung besitzen, durch folgende Aussage charakterisieren: Es seien auf der Kugelfläche @ beliebige Partien 9^ abgegrenzt, denen ein bestimmter und von Null verschiedener Flächeninhalt zukommt und so, daß der Schwerpunkt dieser Partien ^ für sich, wie der der ganzen Kugelfläche @, im Nullpunkte liegt. Alsdann gibt es stets einen und nur einen konvexen Körper ^ mit dem NuUpunkte als Schwerpunkt, derart daß für jeden beliebigen konvexen Körper Ä' die Darstellung F(^', ^, ^) = yJ^'^' 1(0 m) gilt, wo H' die Stützebenenfunktion von ^' bedeutet und das Integral nur über die Partien '^fl der Kugelfläche (£ zu erstrecken ist. xxvn. Über die Körper konstanter Breite. (In russischer Sprache erschienen in: Mathematische Sammlung (Matematiceskij Sbomik), Moskau, Band 25, S. 605—508.) §1. Unter der Breite eines Körpers in einer gegebenen BicJitung soll der Abstand der zwei zu dieser Richtung normalen Stützebenen des Körpers voneinander verstanden werden. Als Stützebene des Körpers wird hier jede Ebene bezeichnet, welche an den Körper in wenigstens einem Punkte anstößt, ihn aber nicht durchsetzt. Ein Körper, der in allen Richtungen gleiche Breite hat, soll von Tionstanter Breite heißen. §2. Es sei irgendein Körper K vorgelegt. Wir verwenden rechtwinklige Koordinaten x, y, z mit einem Punkte 0 im Inneren von K als Anfangs- punkt, und führen zur Festlegung der Punkte a, /3, y auf der Kugelfläche vom Radius 1 um 0 Polarkoordinaten %■, t\) ein, so daß ß = sin ■0- cos i/>, /3 = sin %■ sin t^, y = cos ■9'(0^'8'^3r, 0^^^ 2») ist. Der Abstand derjenigen Stützebene an jK", welche a, /3, 7 als die vom Körper abgewandte Normalenrichtung zeigt, vom Nullpunkt heiße ^(^, ^). Der zu einer Richtung «, /3, y (0', V) entgegengesetzten Richtung — tt, — ß, — y entsprechen dann die Werte ti — d; ip -^ tc (mod 2%) dieser Polarkoordinaten. Die Breite von K in der Richtung a, ß, y wird alsdann durch B{», t) = J5r(^, if) + H(n - -^, t^ + ;t) dargestellt. Dieser Ausdruck bleibt ungeändert, wenn wir a, ß, y durch die entgegengesetzte Richtung — a, — ß, — y ersetzen. Denken wir uns H{d^, tlf) in eine Reihe nach Kugelflächenfunktionen entwickelt, H{», t) = Y,+ Y, {», n,) + r,(^, ^) + . • ., 278 Zur Geometrie. worin Yq eine Konstante und Y^ {d; ip) eine Kugelfunktion m*®' Ordnung vorstellt, so folgt fi'(jr-<^,^ + 3r)= Y,- Y,{d;t)+ F^ (^, ^) + • • • "^^ Bi», ^) ^2Y, ■\-2Y,{», t) + 2Y,{&, t) + - • ■ ■ Damit K einen Körper konstanter Breite vorstellt, ist hiernach not- wendig und hinreichend, daß die Terme gerader Ordnung Y^ {%•, ilf), Y^ip", ^), • • • in der Entwicklung von II{d;rl;) sämtlich identisch verschwinden. §3. Unter dem Umfange eines Körpers in hezug auf eine gegebene Bichtung wollen wir den Umfang des Querschnittes bei demjenigen Zylinder verstehen, der von allen der betreffenden Richtung parallelen Stützebenen des Körpers umhüllt wird. Ein Körper, der in bezug auf alle Richtungen gleichen Umfang hat, soll von konstantem Umfange heißen. Wir werden hier den Satz beweisen: Die Körper konstanter Breite und die Körper konstanten Umfanges sind miteinander identisch. §4. Der Umfang des Körpers K speziell in bezug auf die Richtung der ;2-Achse ist der Umfang der in der a;«/- Ebene von den sämtlichen Geraden X cos i{; -{- y s'mtlj = H (— , in = h(ili) umhüllten geschlossenen konvexen Kurve. Für die Punkte x, y dieser Kurve haben wir neben dieser ersten Gleichung noch die andere so daß für sie — X sm-i) -{- y cos ^ = ^J^ . X = h cos ^ — -^ sin ip, y = h sinilf -\- ^— cos i^, dx = —{h + j^^ sin il^dtp, dy = (h-{- ^-^ cos f dil; gilt und also der Umfang jener Kurve durch 2« 2/r f{k + l'^)ä^-J'kd^ dargestellt wird. Setzen wir nun "^mi^f ^) = Ä^P("'){cos ^) + ^{Ä^ COS v^ + B^ sin vt) -P.^""^ (cos ») v = l ß über die Körper konstanter Breite. 279 an, wobei • p(-)(i) = i, p(^'-)(0) = o, pc3')(Q) = (-iy^;^-^;;;(y-^) ist, PW(1) = 0 (v=l,--;m\ so erkennen wir, daß 0 bei angeradem m verschwindet und bei geradem m sich als das Produkt aus dem Werte der Funktion Y^^ (p-, rp) für den Pol -O- = 0 in eine gewisse von m abhängige Konstante ö,„= 27rP'"') (0) ergibt. Indem wir dieses in bezug auf die Richtung der ^-Achse gewonnene Resultat auf eine beliebige Richtung übertragen, sehen wir, daß aus der angenommenen Entwicklung für H(ß'j ili) sich für den Umfang von K in bezug auf eine beliebige Richtung (0-, ^) die folgende Entwicklung U{», ^) =2;tro+ Ö2 Y,(p, t) 4- ö^r^(^, t) + -'- herausstellt. Damit K ein Xörper konstanten Umfanges ist, finden wir hiemach notwendig und hinreichend, daß in der Entwicklung von H(ß;ilj) nach Kugelfunktionen die Terme Y^, Y^, • • sämtlich Null sind. Ein Vergleich dieses Resultats mit dem vorhin gewonnenen über die Körper konstanter Breite zeigt in der Tat, daß ein Körper konstanter Breite jedesmal zugleich ein Körper konstanten Umfanges ist und umgekehrt. ZUR PHYSIK xxvm. Über die Bewegung eines festen Körpers in einer Flüssigkeit. (Sitzungsberichte der K. Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. Band XL. 1888. S. 1095—1110.) (Vorgelegt von Herrn von Helmholtz.) Gustav Kirchhoff*) hat aus dem Hamiltonschen Prinzipe Diffe- rentialgleichungen für die Bewegung eines festen Körpers in einer Flüssig- keit hergeleitet, und dieselben Gleichungen hat Sir William Thomson**) mit Hilfe seiner allgemeinen Bestimmung der nach Impulsen eintretenden Zustände gefunden. Es liegen diesen Gleichungen die Vorstellungen zu- grunde, daß der Körper von unveränderlichem Gefüge, die Flüssigkeit homogen, inkompressibel und reibungslos ist, ferner, daß die Flüssigkeit nach allen Richtungen sich in die Unendlichkeit erstreckt, dort überall ruht, und daß an jedem ihrer Punkte ein einwertiges Geschwindigkeits- potential existiert. Diese Vorstellungen halte ich im folgenden fest, und ich gebe für den FaU, daß keine Kräfte wirken, eine Reduktion jener Gleichungen auf ein Problem, das mit dem der kürzesten Linien auf einem > Ellipsoide Ähnlichkeit hat. Bisher sind, selbst für diesen elementarsten FaU, nur einzelne Integrale, partikuläre Lösungen, und Folgerungen, die sich auf Körper von spezieller Gestalt und Massenverteilung beziehen, bekannt; hier werde ich keinerlei Beschränkungen hinsichtlich des Körpers eintreten lassen. Zunächst suche ich in § 1 diejenige Zerlegung der Bewegung eines Körpers in einer Flüssigkeit auf, welche das Analogon ist zu der Zer- legung der Bewegung eines Körpers im leeren Räume in die Bewegung des Trägheitsmittelpunktes des Körpers und die Rotation um diesen Punkt. In § 2 ist die Bedeutung der Differentialgleichungen von Kirch hoff und Thomson auseinandergesetzt, und werden diejenigen Bewegungszustände •) Grelles Journal, Bd. 71, S. 237 — 262. — Auch in den Vorlesungen über Mechanik, XIX. Vorl. **) Philosophical Magazine, 1871, Vol. 42, pp. 362—366. 284 Zur Physik. eines Körpers in einer Flüssigkeit bestimmt, die sicli, olme Einfluß von Kräften, unverändert erhalten. Verschiedene von den Resultaten dieses Paragraphen finden sich bereits in den Aufsätzen der Herren H, Lamb*) und Th. Craig**); aber die Entwicklung derselben geschieht hier einfacher und übersichtlicher. In § 3 leite ich die Bewegung des Körpers — so wie sie vom Körper gesehen sich darstellt — für den Fall, daß keine Kräfte wirken, aus dem einen, der Bewegung eines Trägheitsmittelpunktes analogen Teile allein ab. Indem ich dann auch aus dem Ausdrucke des Hamilton sehen Prinzips die Koordinaten des anderen Teiles herausschaffe, tritt eine neue und sehr anschauliche Minimaleigenschaft zutage. Diese ermöglicht schließlich eine Anwendung der Sätze von C. G. J. Jacobi***) über diejenigen Probleme der Mechanik, welche nur zwei zu bestimmende Größen enthalten. Eine ganz ähnliche und nicht minder bemerkenswerte Gelegenheit, von diesen wichtigen Sätzen Nutzen zu ziehen, bietet sich, worauf ich indessen hier nicht eingehe, in dem Probleme der Rotation eines, der Schwere unterworfenen Körpers um einen festen Punkt; ob die Rotation im leeren Räume oder in einer unendlichen, schweren Flüssigkeit vor sich geht, macht für die mathematische Behandlung nur insoweit einen Unter- schied aus, als im letzteren Falle von den drei, auf den festen Punkt be- züglichen Hauptträgheitsmomenten auch eines größer als die Summe der beiden anderen sein kann, was im ersteren Falle ausgeschlossen ist. §1. In fester Verbindung mit dem betrachteten Körper sei ein recht- winkliges Koordinatensystem angenommen; anstatt von der Bewegung des Körpers können wir von der Bewegung dieses Systems sprechen. Es seien u, Ö, rt) die augenblicklichen Geschwindigkeiten des Anfangspunktes dieses Systems parallel zu den Achsen desselben, p, q, r die augenblick- lichen Drehungsgeschwindigkeiten des Systems um diese Achsen. Über den Sinn positiver Drehungen sei die gewöhnliche Festsetzung getroffen, derzufolge die Ausdrücke für die Geschwindigkeiten eines Punktes, dessen Koordinaten x, y, z sind, lauten: (1) Vi-\- zc[ — yr, Xi-^-xr—zp, to + yp — xq. Mit unseren Voraussetzungen über die Ausdehnung und die Bewegung der Flüssigkeit erreichen wir, daß durch die Werte von u, Ö, )X), p, q, r *) Proceedings of the London Mathematical Society, 1877, VIII. pp. 273—286. **) American Journal of Mathematics, 1879. 11. pp. 162 — 171. ***) Vorlesungen über Dynamik, XXII. Vorl. — Ges. Werke, Supplementband, 1884, S. 175. tFhei die Bewegung eines festen Körpers in einer Flüssigkeit. 285 jedesmal auch der Bewegangszustand der Flüssigkeit völlig bestimmt ist, und daß wir uns den Zustand des ganzen, aus Körper und Flüssigkeit bestellenden Systems von der Ruhe aus momentan, durch einen gewissen, auf den Körper ausgeübten Impuls, entstanden denken können. Infolge dieser Umstände ist dann die gesamte lebendige Kraft des Körpers und der Flüssigkeit, die wir mit T bezeichnen, eine homogene Funktion zweiten Grades von u, ö, tu, p, q, r mit konstanten Koeffizienten, deren Werte von der Gestalt des Körpers, der Masse dieses und ihrer Verteilung, sowie von der Dichtigkeit der Flüssigkeit abhängig sind; und der in Frage kommende Impuls, den wir kurz den augenblicklichen Impuls der Be- wegung nennen, und der eine, T gleiche Arbeit zu leisten haben würde, ist äquivalent einer im Anfangspunkte der Koordinaten angreifenden im- pulsiven Kraft, deren Komponenten 5~ > ^ ? ö^ sind, verbunden mit einem impulsiven Kräftepaare von den Komponenten -:t- , -^ , -^ . Diese Diffe- rentialquotienten sind hier nur als Symbole für gewisse lineare Ausdrücke in U, ö, tti, p, q, r aufzufassen, die ich auch der Reihe nach mit u, v, w, p, (\,X bezeichne. Zerlegung der lebendigen Kraft. In derselben Beziehung, wie die letzten sechs Größen zum Anfangspunkte der Koordinaten, stehen, vermöge der Ausdrücke (1), zu einem Punkte, dessen Koordinaten x, y, z sind, die Größen: u, V, w, p -{- ZV — ytv, q -|- octc — zu, r + yu — xv. Da hiemach die Bedeutung der impulsiven Einzelkräfte u,v,iv — ähnlich wie die der Drehungsgeschwindigkeiten p, q, r — von der Wahl des An- fangspunktes völlig unabhängig ist und nur von den Richtungen der Achsen abhängt, so führe ich diese Größen «, v, w als neue Variable an Stelle von u, Ö, Xo ein. Das kann geschehen, da die in Frage kommende Determinante niemals verschwindet, weil T eine wesentlich positive Form ist. Die Form T mit sechs Variablen zerfällt aber dadurch in eine Form der drei Variablen u, v, w, und eine Form der drei Variablen p, q, r, die ihrerseits beide wesentlich positiv sein müssen; ich Schreibe- rn J5;(m, v, w) + G{p,q,r). Die Größen u, ö, tu werden lineare Funktionen in u, v, w,p, q, r mit konstanten Koeffizienten. Aus den Ausdrücken (1), welche gewisse Funktionen eines beliebigen Punktes vorstellen, geht hervor, daß derjenige Punkt im Körper, dessen Koordinaten 2 \dq drj' 2 \dr dp)' T läp Jq) 286 Zur Physik. sind, eine von der Wahl des Koordinatensystems völlig unabhängige Be- deutung hat. In diesen Punkt, den ich im Hinblick auf eine später auseinander- zusetzende Eigenschaft das Zentrum der Hauptachsen des Körpers nenne, soU für die Folge stets der Anfangspunkt des im Körper festen Koordi- natensystems gelegt sein, d. h. ich setze die vorstehenden Differenzen gleich Null voraus. Dann lassen sich die Differenzen dE ^ dE ^ dE du ' cv ^ cw^ die nicht mehr von u,v,w abhängen, als partielle Differentialquotienten nach j9, q, r von einer gewissen quadratischen Form in p,q, r darstellen, die ich mit — F(jß, q, r) bezeichne; die Differenzen ü — — — — — — " dp ' ^ cq ' dr sind hernach gleich den partiellen Differentialquotienten nach u,v,w von -f F(u, V, w). Ein identisches Verschwinden dieser Form F — wie es beispielsweise immer eintritt, wenn der Körper der Gestalt und Verteilung der Masse nach ein Rotationskörper ist, oder wenn die Dichtigkeit der Flüssigkeit NuU ist, d. h. die Bewegung im leeren Räume erfolgt — zeigt an, daß der betrachtete Körper hinsichtlich des Ausdrucks der lebendigen Kraft T den Charakter solcher Körper trägt, die der Gestalt und Massenverteilung nach einen Mittelpunkt aufweisen. Der Ort des Zentrums der Hauptachsen und die drei Formen E, F, & mit je drei Variablen involvieren zusammen dieselbe Zahl von Konstanten, nämlich 21, wie die eine Form T mit sechs Variablen. Ebenso wie die gesamte lebendige Kraft, erscheint die Bewegung des Körpers in zwei, von der Wahl eines Koordinatensystems völlig un- abhängige Teile zerlegt, nämlich in eine VerschiebungsgeschwindigJceit (j9 = 0, ^ = 0, r = 0) und eine Bewegung, deren Impuls ein impulsives Kräftepaar ist (m = 0, v = 0, w = 0). Im leeren Räume würde der erste Teil die Bewegung des Trägheitsmittelpunktes, der zweite die Rotation um diesen Punkt vorstellen. Die Verschiebungsgeschwindigkeit hat zu ^ , dE dE dE , . ,. -^ ..„, dG dG dG Komponenten: -j— , -j-y -^, das impulsive Kraitepaar: -^ , -^ , ^. Um diese Zerlegung weiter zu verfolgen, denke ich mir für einen Moment die Koordinatenachsen in Hauptachsen einer Fläche zweiten Graden F(x, y,z) = konst. gelegt, so daß für F{x, y, z) ein Ausdruck bestehe. Dann soU eine Linie, die in einer Richtung, deren Kosinus |, ^, S^ sind, von dem Punkte über die Bewegnng eines festen Körpers in einer Flüssigkeit. 287 (2) x='{h-c)rit,y = {c-a)t^,z = (a-h)^ri {^^+n'+t'=l} oder von dem, diesem Punkte in bezug auf das Zentrum der Hauptachsen gegenüberliegenden Punkte — x, — y, — z ausgeht und sich ins Unend- liche erstrecken mag, der zu der Richtung | : i? : ^ gehörende erste, hsw. zweite Bxidius des Körpers heißen. Als gleichwertig mit ^: i?:^ können hier offenbar nur solche Proportionen mi,:mri:mt, gelten, in welchen m ein positiver Faktor ist. Zwei zu entgegengesetzten Richtungen gehörende erste, bzw. zweite Radien greifen stets an demselben Punkte an; die Linie, die sie gemeinsam bestimmen, soll ein erster, bzw. ziveiter Durchmesser des Körpers heißen. Man bestätigt leicht mit Hilfe der Ausdrücke (1), daß durch das impulsive Kräftepaar ^r— , -ö— , ^^— eine Schraubenbewegung um den zu der Richtung p:q:r gehörenden ersten Radius entsteht, wobei die Geschwin- digkeit der Drehung die Größe + ]/^^ -\- c^ -\- r^ und die der Steigung die Größe , , g^' i erlangt. Ganz analog reduziert sich der Impuls der Verschiebungsgeschwindigkeit -;r-, -k— , -^ — auf eine impulsive Kraft + )/m* -j- ü^ -f m-*^ längs dem zu der Richtung u:v\w gehörenden zweiten Radius, und ein impulsives Kräftepaar , ._ \' \ yu^ -f- ^-^ + iv^ um diesen Radius. Die zu den sämtlichen Richtungen gehörenden ersten (oder zweiten) Durchmesser bestimmen im Körper ein, noch von der Dichtigkeit der Flüssigkeit abhängendes, Strahlensystem zweiter Klasse mit ausgezeichneten, metrischen Eigenschaften: Die Mittelpunkte der Strahlen, identisch mit den Punkten (2), sind zugleich die Fußpunkte ihrer kürzesten Entfernungen vom Zentrum der Hauptachsen: sie bilden in ihrer Gesamtheit eine ge- schlossene St ein er sehe Fläche, welche sich auf die Fläche eines Kreises oder gar auf das Zentrum der Hauptachsen zusammenzieht, wenn F= konst. eine Rotationsfläche oder eine Kugel wird. Sieht man femer irgend drei zueinander senkrechte erste (oder zweite) Durchmesser als nichtzusammen- hängende Kanten eines Parallelepipedums an, so fällt der Mittelpunkt dieses in das Zentrum der Hauptachsen. § 2. Man kann zunächst aus dem Hamiltonschen Prinzipe sehr einfach die am Anfange von § 1 auseinandergesetzte Bedeutung der Differential- quotienten der lebendigen Kraft Tnach den Geschwindigkeiten erschließen; dann sind die Differentialgleichungen von Kirchhoff und Thomson nur I ein Ausdruck für die fast selbstverständliche Tatsache, daß der äugen- 288 Zur Physik. blickliche Impuls der Bewegung in jedem Zeitelement dt genau um den, von den gerade vorhandenen Kräften während dt ausgeübten Impuls zu- nimmt, vorausgesetzt, daß ein jeder Impuls nicht allein der Größe nach, sondern auch nach Richtung und Lage im Räume geschätzt wird. Wirken Jceine Kräfte, und auch nur in solchem Falle wird daher der Impuls der Bewegung einen unveränderlichen Ausdruck im Baume haben. Diese Bedingung bestimmt den ganzen Bewegungs Vorgang; denn man er- kennt aus ihr, welche Änderungen der Geschwindigkeiten mit jeder Orts- änderung des Körpers einhergehen müssen. Der augenblickliche Impuls der Bewegung besitzt, wie jeder Impuls, eine einzige, völlig sichere Darstellung, sei es als nichtverschwindende impulsive Kraft mit einem, zu der Kraft senkrechten impulsiven Kräftepaare, sei es bloß als impulsives Kräftepaar. Unter der Achse des Impulses versteht man in dem einen FaUe die der Richtung und Lage nach vöUig bestimmte Linie, in welcher die impulsive Einzelkraft wirkt, in dem anderen Falle die nur der Richtung nach bestimmte Achse des alsdann allein vorhandenen impulsiven Kräftepaars. Die Größe des Impulses sei definiert durch den Inbegriff zweier Größen J und J^, von denen die erste, J, die absolute Größe der impulsiven Einzelkraft, und die andere, tT^, die im Sinne der Achsen- richtung des Impulses gemessene Größe des Moments des impulsiven Kräftepaars bezeichnen soU. Wenn keine Kräfte wirken, so muß also die Größe des Imptdses kon- stant und seine Achse im Baume unveränderlich sein. Daß alsdann auch die gesamte lebendige Kraft T konstant sein wird, leuchtet aus dem Satze von der Erhaltung der lebendigen Kraft ein. Den analytischen Ausdruck dieser Bedingungen findet man in folgender Weise, wobei man den Fall J = 0 als GrenzfaU eines unendlich kleinen J auffassen kann. Zunächst ist für die Größe des Impulses: (3) u^+v' + w'=J\ j.^^ (4) up -f- v(\ -i-wx= JJ^, ~ (wenn J= 0, d. h. m = 0, v = 0, w = 0 ist, so hat man : ^^ + q^ + r^ ='^i^ Jx ^ 0)- Die Achse des Impulses besitzt in bezug auf das im Körper angenommene Koordinatensystem die Gleichungen: (5) )() + 2V — yw:(\-\- xw — zw.x -\- yu — xv:J^ = u:v:w:J (oder ist im Falle J=0 durch p:q:r der Richtung nach bestimmt); nach Verlauf eines Zeitelements dt haben sich hierin u, v, w, p, C{, X um ihre Differentiale während dt geändert; da aber die Achse des Impulses dieselbe geblieben sein soll, und nur der Ort des Koordinatensystems sich geändert hat, so müssen die Gleichungen dieser Linie nach Verlauf von dt auch zum Vorschein kommen (bis auf unendlich kleine Größen zweiter Ordnung), über die Bewegung eines festen Körpers in einer Flüssigkeit. 289 wenn man in (5) nur zu x, y, z die in dt multiplizierten Geschwindig- keiten (1) hinzufügt. Hält man die Bedingung, daß die auf diese zweierlei Arten aus (5) entstehenden Gleichungen dieselben Punkte rc, y, z definieren sollen, mit der anderen zusammen, daß J und J^ Konstanten, d. h. die DifFerentialquotienten der linken Seiten von (3) und (4) nach t Null sein soUen, so hat man Beziehungen genug, um den Differentialquotienten jeder der Größen m, r, «•, p, q, r nach t als Funktion eben dieser Größen dar- zustellen, worauf die Differentialgleichungen von Kirchhoff und Thomson hinauslaufen. Stationäre Beiregungen. Wie der Körper auch beschaffen sein mag, 60 gibt es stets für ihn stationäre Bewegungszustände, d. h. es gibt Wert- syst^me der Geschwindigkeiten u, Ö, XOj p^ q, r, die, einmal erzeugt, un- verändert bestehen, so lange als keine Kräfte wirken. Eine Bewegung, die mit Geschwindigkeiten solcher Art beginnt, setzt sich als gleichförmige Schraubenbewegunor fort. Die charaJiieristische Bedingung für stationäre Beuegungszustände ist die, daß die Achse der Beuegung (nämlich der durch die GeschivindigJceiten hestimmten Schraubenheicegungj und die Achse des Impulses der Beuegung der Lage nach zusammenfallen müssen. Denn soll irgendein Bewegungszustand eine Weüe andauern, der Körper also eine gleichförmige Schraubenbewegung ausführen, so muß der Impuls der Bewegung diese Schraubenbewegung sozusagen mitmachen; dabei bleibt natürlich seine Größe ungeändert, seine Achse aber ist nur dann fest, wenn sie in die Achse der Bewegung fäUt. Die genannte Bedingung ist, falls eine der Achsen nur der Richtimg nach definiert, also keine Drehungsgeschwindigkeit oder keine impulsive Einzelkraft vorhanden ist, dahin aufzufassen, daß den Achsen gleiche oder entgegengesetzte Richtungen zukommen müssen. Für die Achse des Impulses ist bereits ein analytischer Ausdruck an- gegeben; die Achse der Bewegung hat, wenn die Drehungsgeschwindigkeit nicht NuU ist, die Gleichungen: VL -\- zq — yrit) -{- xr — zp'.rt) + yp — xq =p:q:r, anderenfalls ist sie durch u : 0 : tt» der Richtung nach definiert. Damit diesen zweierlei Bestimmungen eine Linie genügen könne, ist notwendig und hinreichend, daß mit irgendwelchen Werten von X und /u die Be- ziehungen bestehen: u : V : w: 1 = p : q : r : X = n — Xp :t) — X(\ :ro — Xx : (i, d. i. 0 = d (^T - XJJ,- ''-J^j^^ S (t -\-^j/j, wenn J=0 ist]. Danach haben in stationären Bewegungen die Geschivindigkeitcn solche Hinkowski, GManunelte Abhandlungen. II. 19 290 Zur Physik. Werte, daß die, hei festgehaltener Größe des Impiäses genommene erste Variation der lebendigen Kraft identisch verschwindet (dasselbe ist von der ersten Variation bei festgehaltener Größe der Schraubenbewegung aus- zusagen). Um einen Überblick über sämtliche überhaupt existierenden statio- nären Bewegungen eines Körpers zu erhalten, kann man sie nach den Werten ihres l anordnen; l bedeutet für sie das Verhältnis ihrer Drehungs- geschwindigkeit zu ihrer impulsiven Einzelkraft, und zwar, wenn dasselbe nicht Null oder unendlich ist, mit positivem oder negativem Vorzeichen, je nachdem ihre zwei Achsen der Bewegung und des Impulses gleiche oder entgegengesetzte Richtung haben: Die Verhältnisse der Geschwindigkeiten in den stationären Bewegungen, welche zu einem festen Werte von A gehören, erfüllen die Proportion u:v:w:l = p:q:r:X und die Bedingung, daß die durch u:v:w (oder p:q:r) bestimmte Richtung die einer Hauptachse der Fläche zweiten Grades (6) T — IJJ^ = E{u, V, w) — 2XF(u, v, w) — X^G(u, v, w) = konst. sein muß, wenn man u, v, iv als rechtwinklige Koordinaten eines Punktes (an Stelle von x, y, z) ansieht. Der Parameter X kann hier jeden reellen Wert haben, und für jeden Wert von X gehören so zu jeder Hauptachse der Fläche (6) je zwei, einander entgegengesetzte stationäre Bewegungen mit beliebigem Werte der lebendigen Kraft T. Die Gesamtheit der Hauptachsen aller Plächen (6) bestimmt im Körper für gewöhnlich einen Kegel sechster Ordnung. Auf der, diesem Kegel parallelen, von den Doppelachsen sämtlicher stationären Bewegungen gebildeten geradlinigen Fläche haben irgend drei, zu demselben X gehörende und zueinander senkrechte Doppelachsen stets eine solche Lage, daß der Mittelpunkt des Parallelepipedums, für welches sie nichtzusammenhängende Kanten sind, in unseren Koordinatenanfangspunkt fällt. X = oo. Der letzten Eigenschaft ist nun auch die für diesen An- fangspunkt gewählte Bezeichnung als „Zentrum der Hauptachsen" ent- nommen. Unter Hauptachsen sollen nämlich hier, ähnlich wie bei einem Körper im leeren Räume, die Doppelachsen derjenigen stationären Be- wegungen des Körpers verstanden werden, welche durch ein bloßes impul- sives Kräftepaar zu erzeugen sind, d. h. der Annahme t7= 0 (A = oo) entsprechen. Die Hauptachsen sind hiernach erste Durchmesser des Körpers, und zwar diejenigen, welche zu den Richtungen der Hauptachsen eines Ellipsoids G = konst. gehören. Für die Folge sollen stets die im Körper festen Koordinatenachsen in die Richtungen dreier zueinander senlcrechter Hauptachsen gelegt sein, und über die Bewegung eines festen Körpers in einer Flüssigkeit. 291 setze ich demgemäß für G (p, q, r) einen Ausdruck ^i-^P^ + -^3^ + ^^ Toraus; die Gleichung (4) für J^ läßt sich dann in der Form schreiben: (4a) Aup + Bvq + Civr = JJ^ — 2F{u, v, w), deren Vorzüge später hervortreten werden. vi = 0. Die Annahme A = 0 liefert stationäre Bewegungen ohne Drehung, also bloße Verschiebungen. Die Richtungen solcher stationären Ver- schieb ungsgesch windigkeiten sind, wie bereits Kirchhoff angegeben hat, durch die Hauptachsen eines Ellipsoids E = konst. bezeichnet; die Achsen ihrer Schraubenimpulse sind die zu ihren Richtungen gehörenden zweiten Durchmesser des Körpers. — Wird ein stationärer Bewegungszustand, wie wir ihn hier betrachten, stabil genannt, wenn aus keiner unendlich kleinen Störung des Zustandes im Laufe der Zeit endliche Änderungen seiner Geschwindigkeiten hervor- gehen können, so ist eine, durch ein bloßes impulsives Kräftepaar ent- standene stationäre Bewegung, etwa eine solche um die der z-Achse parallele Hauptachse — bei der zuletzt getroffenen Wahl des Koordinaten- systems — in folgenden Fällen stabil: Wenn das Moment C < J.und < B^ oder C > ^ und > B ist, mit Ausnahme des Falles, wo C = Ä -\- B und nicht zugleich der Schnitt der xy-^hene mit einer Fläche n^, y, ^) - 4 fe + äF + ä^j (^ + 2/^ + ^-) = konst. eine Ellipse ~r + r == konst. ist; endlich wenn A = B=C und die 0-Achse zugleich eine Hauptachse einer Fläche F = konst. ist. Für die übrigen stationären Bewegungen, bei welchen eine impulsive Einzelkraft mitwirkt, kann die Entscheidung über die Stabilität in ein- facher Weise von einer gewissen quadratischen Gleichung abhängig gemacht werden. Es erweist sich hier als eine hinreichende Bedingung für Sta- bilität in dem angegebenen Sinne, wenn bei festgehaltener Größe des Impulses die zweite Variation der gesamten lebendigen Kraft wesentlich positiv ist. Letzteres wieder, und um so mehr Stabilität tritt sicher dann ein, wenn in der Fläche (6), die zu der betrachteten Bewegung gehört, und wo nun die Konstante der rechten Seite positiv angenommen sein soll, das reziproke Quadrat desjenigen Durchmessers, mit welchem die Achse der Bewegung parallel ist, numerisch kleiner ist als das reziproke Quadrat irgendeines anderen Durchmessers. §3. Nunmehr untersuchen wir, welchen Verlauf eine beliebige Bewegung des Köi-pers mit konstantem Impulse darbietet. 19* -/(: 292 Zur Physik. J= 0. Ist der Impuls ein bloßes impulsives Kräftepaar, so existiert nur der Teil der Bewegung, welcher von den Drehungsgesch windigkeiten p, q, r abhängt; und letztere haben in jedem Augenblicke dieselben Werte, und ist dadurch auch die Winkelstellung des Körpers im Räume jederzeit dieselbe, als ob der Körper mit gleichem Impulse sich im leeren Räume bewegte, und dabei seine lebendige Kraft um den Trägheitsmittelpunkt den Ausdruck G(p, q,r) hätte. Letztere Bewegung würde nach bekannten Formeln zu berechnen sein, befolgt übrigens auch die weiter unten für den Fall J"> 0 aufgestellten Sätze, indem aus jenen Sätzen, wenn die Bewegung im leeren Räume vor sich geht, (wenn E(u,v,w) ein Viel- faches von u^ -{- v^ -\- w^ und F identisch Null ist), die Größe der im- pulsiven Einzelkraft ohne weiteres herausfällt. Sind die Drehungen des Körpers bereits ermittelt, so findet man die vom Zentrum der Hauptachsen parallel zu irgendeiner im Räume festen Richtung w zurückgelegte Strecke durch das Zeitintegral: -^ cos {nx)-^^ cos {ny)-\--^ cos {nz)) dt . Dieses Integral bleibt für Richtungen parallel zur Ebene des impulsiven Kräftepaars in der Regel immer endlich. Verschwindet die Form F identisch, so übernimmt das Zentrum der Hauptachsen offenbar die Rolle eines festen Punktes. eJT > 0. Hat der Impuls der Bewegung eine nichtverschwindende impulsive Einzelkraft, so wird durch folgende Gleichungen zunächst aus- gedrückt, daß für diese Kraft Größe und Bichtimg im Räume unveränderlich sind: /_N du dv dw (^) ^y==^^-«^' d?=-P*^-*"^' -at-^^-P'^- Diese Gleichungen sind hinsichtlich p,q,r nicht voneinander unabhängig, sondern liefern die von p, q, r freie Relation udu + vdv -\- wdw = 0, welche zu der Gleichung (3) führt; bringt man sie aber in Verbindung mit der Gleichung (4a) für J^, die ebenfalls linear in p, q, r ist, so gelangt man zu Beziehungen: {Äu^ -f Bv^ + Ctv^) p = {JJ^ — 2F (u, V, w)) u + Cw -^ — Bv -jr usw., mit deren Hilfe man, da Au^ -\- Bv^ -f Cw^ hier gewiß von NuU ver- schieden ist, die Drehungsgeschwindigkeiten p, q, r durch die impulsiven Einzelkräfte m, v, w und deren Differentialquotienten nach t darstellen kann. Führt man alsdann für u, v, w solche Funktionen zweier Argumente, e^ und e^y ein, daß die Gleichung u^ ■\- v^ -\- w^ = J^ identisch erfüllt wird, so spricht sich der Inhalt der nach § 2 für m, v, w, p, q, r bestehenden Differentialgleichungen erster Ordnung, soweit er nicht bereits durch (3), über die Bewegung eines festen Körpers in einer Flüssigkeit. 293 (4a) und (7) erschöpft ist, in zwei Differentialgleichungen zweiter Ordnung für e^ und e^ aus, Gleichungen, die, wie ich nach umständlichen Rechnungen gefunden habe, folgende Auslegung gestatten: Man fixiere einen beliebigen Punkt und eine beliebige Richtung im Körper; in einem Zeitelement dt sei de der Weg des Punktes längs der unveränderlichen Achse des Impulses, d6^ der Weg der Richtung um diese Achse; die Projektionen des Punktes auf die in Rede stehende Achse machen die Strecke dö anschaulich, den Winkel rfö^ beschreiben die Pro- jektionen der Richtung auf eine zu dieser Achse senkrechte Ebene. Die Größen e^ und e^ sind innerhalb einer beliebigen Zeitperiode solche Funktionen ihrer ersten und ihrer lelzteti Werte und der Zeit, daß die erste Variation des über die Periode ausgedehnten Integrals 0 =j\Tdt — Jd6 — J^d6^) verschwindet. Die Integrale fdt, Jdö , Jd6i über die betreffende Periode wollen wir t, 6, ^1 nennen. Sind, in bezug auf das im Körper feste Koordinatensystem, a,b, c die Koordinaten des Punktes, a, ß, y die Kosinus der Richtung, so hat man:*) d6 = -j [m(u i- cq — br) -{■ V (t) + ar — cp) -^ tc (xo -{- bp — aqj] dt, , _ j up + Pg -i- wr — {au-\-ßv-}- yw){ap + ßq-{- yr) , "^1 — '' «* + tJ»-f ?c* — (au + ^ü + ytc)» "'• Daß es auf die besondere Wahl des Punktes und der Richtung nicht an- kommen kann, schließt man aus dem Umstände, daß die Differenz der Gesamtgrößen 6 oder 6^ für zwei Punkte bzw. zwei Richtungen sich ohne Integralzeichen, allein durch die Anfangs- und Endwerte von e^ und e, darstellen läßt. Nach der Definition von dö^ muß der Winkel {C\, €%, fx, f^, Jj J^) dar, so lauten die Differentialgleichungen für e^, e^, f^, f^: Die Gleichung T = L geht in ^ = X über und wird durch Einsetzung von ^ — , ^ — für fi , f. 2 zu einer partiellen Differentialgleichung, welcher das Integral Y genügt, wenn man^ dasselbe als Funktion der Werte von e^, e^, an seiner oberen Grenze ansieht, die Werte dieser Größen für die untere Grenze, e^^, Cg", dagegen als konstant betrachtet. Sobald von dieser partiellen Differentialgleichung eine Lösung gefunden ist, welche eine willkürliche Konstante, außer der bloß additiv hinzu- tretenden, enthält, können unmittelbar sämtliche Integralgleichungen der Bewegung des Körpers hingeschrieben werden. Bezeichnet man mit Y die Differenz aus einer solchen Lösung und dem Werte, den die Lösung für das System e^ = e^^, e^ = e^^ annimmt, und mit M jene, noch in dieser Differenz vorkommende Konstante, so sind ^^^ dL ^' dM ^ die Gleichungen, welche e^ und e^ als Funktionen von t definieren; eine eingehendere Betrachtung des Ausdrucks von Y als Integral führt zu: av und endlich ist: ^ 6 = ^{-'V + 2Lt-J,6^). Diese Gleichungen bestimmen nun zu jeder Zeit den Ort des Körpers vollständig. Denn man erhält ein im Räume festes rechtwinkliges Ko- ordinatensystem i, t), j, indem man folgende Annahmen macht: die j- Achse soll mit der Achse des Impulses identisch sein, der Anfangspunkt mit dem Ausgangspunkte der Strecke 6, die Richtung der J-Achse mit der Aus- gangsrichtung des Winkels 6^, und endlich soll vermöge der t)-Achse das Koordinatensystem der J, )), J dem im Körper festen Systeme der x, y, s kongruent sein. Die so definierten Achsen J, 9, § kann man aber in jedem Augenblicke vom Körper aus mit Hilfe der letzten Gleichungen, nämlich durch die Werte von e^, e,, e^', e^'; 0, Xg > 0 und iV cos (m7 n mit dem Vorzeichen von cos {wn) gerechnet werde. Nun ist = X > 0 sei, also ^ (2) äF dw F = 1 1 L^L^du^du^f wo das Doppelintegral sich über das Innere von W2=™x(**i) erstreckt. Der Ausdruck hier gestattet auf Grund der charakteristischen Eigen- schaft der Krümmungskurven, daß die Normalen längs ihnen eine ab- wickelbare Fläche bilden, eine wichtige Umformung durch Produktinte- gration*). Zu einem Punkte P(mi, ii^, w) liegt auf der benachbarten •) Die zunächst folgende infinitesimale Betrachtung dient nur dazu, diese Eigen- schaft der Krümmungslinien schnell in eine Formel umzusetzen. 302 Zur Physik. Fläche F(w -j- dtv) in der kleinstmöglichen Distanz Ndw — dn, also auf der Normalen von ¥{tv) der Punkt Q{u^-\-l^dw, u^ -\- l^div , w -\- dw) . Entsprechend liege normal über Pj(m^+ c^w^, u.^, vi) auf Y{w ■{■ dw) der Punkt Qi', es sei M^ der Krümmungsmittelpunkt der Krümmungslinie PP^ auf F{tv), also der Treffpunkt der Geraden PQ und PiQi, B^ der Krümmungsradius Jfj P und zwar positiv, falls Jfj P die Richtung « nach B hin hat, anderenfalls negativ. Man hat PP^ = L^du^. Aus der Ähnlich- keit der Dreiecke M^PP^, M^QQ^ und im Hinblick auf (1) folgt p _ Mp^S, "^ _ ' («Ji <;« + £. |i du) , d. i. nach Fortlassung des Faktors dw ~R, ~ L, \du, ^1 "^" aw/2 -^ ^^ i- ^1 g^J • Eine entsprechende Relation gilt für den zweiten Hauptkrümmungsradius Pg in P und durch Addition beider entsteht Macht man hiervon in (2) Gebrauch und führt partielle Integrationen nach Ui und Mg ^'^s, so ergibt sich d. dw (/) ' ' (') darin bedeutet allgemein df das Flächenelement, ds das Randlinienelement von F(w) in positivem Umlauf um die Normale n. Bezeichnet man mit j die Richtung, die normal auf ds ins Innere der Fläche F(w) hineinführt (s. Fig. 1), so ist Li-^ = cos (uj), ig -^ = - cos (uj), — L^\ = L cos (m^ t<;), — L^l^ = L cos (% w) ; schreibt man noch L cos (wj)dw = dj, so entsteht daher aus der letzten Gleichung die folgende Darstellung der ersten Ableitung der Kapillar- energie TF nach dem Variationsparameter w: die insbesondere für m; = 0 anzuwenden sein wird. Darin bedeuten dann die dn = Ndtv für die Punkte der Trennungsfläche die zur Fläche normalen und die dj = L cos {wj)dw für die Punkte ihres Randes die in die Fläche fallenden, zum Rande normalen Komponenten der einem Zuwachs dw ent- sprechenden Verrückungen; hierauf fußend kann, man sich die Trans- formation (3), wie schon oben angedeutet, unmittelbar geometrisch plau- '^-M-k, + ^^f-ß^^^ {h'-^-^^'ü)"^' Kapillarität. 3ü3 sibel machen.*) Y\'W "'" w) ^^^^ ^^^ ^^® Vorzeichen von 7?^ und JR^ oben festgelegt sind, die mittlere Krümmung/ der Stelle df nach B hin heißen. Da in (3) die Parameter der Krümmungskurven wieder eliminiert sind, BO ist diese Darstellung nicht an die aufanglich betreflPs der Koordinaten Mj, Mg, w geraachte Beschränkung gebunden. Die Volumina von A und B seien V^, Vb, ihre Dichten qa, Qb- Wir merken noch an, daß bei deu fraglichen virtuellen Verrückungen die Vo- lumina gemäß '^AB ^AB variieren, ferner die potentielle Energie bezüglich der Schwerkraft für beide Medien zusammen die Ableitung nach tv: (5) 9i9A-QB)Jz^df erfährt; dabei ist die ;?-Achse vertikal nach oben gedacht. 3. DiflFerentialgleichung für eine freie Oberfläche. Die Trennungsfläche von Ä gegen B sei frei beweglich {B eine Flüssig- keit wie A oder ein Gas), und neben der Kapillarität komme nur noch die Schwere in Betracht. Stabiles Gleichgewicht des Systems wird durch ein Minimum der potentiellen Energie gegenüber allen virtuellen Ver- rückungen charakterisiert. Nun liegt aber eine Nebenbedingung in der Konstanz des Gesamtvolumens von A (oder von B, vgl. (4)) vor. Um dieser Nebenbedingung Rechnung zu tragen, ziehen wir die Regeln der DiflPerentialrechnung für ein sogenanntes relatives Extremum heran. Wir denken uns wieder die Trennungsfläche Y^b als das Element w = 0 einer beliebigen von einem Parameter ?c abhängenden Schar von Flächen z = il){Xj y, w), welche alle den Rand gemein haben mögen. Der Nebenbedingung würde allerdings, während ic sich verändert, nicht mehr genügt werden. Denken wir uns aber noch eine beliebige zweite solche Schar von Flächen z = tl;*{x,y,iv*), welche wieder für u-*=0 von der gegebenen Fläche ausgeht, und erweitem wir diese zwei einparametrigen Scharen irgendwie zu einer Flächenschar mit zwei Parametern 2=ip(x,y,u',iv*), welche für iv* = 0 in die erste, für tt? = 0 in die zweite einparametrige Schar übergeht, so wird die Größe des Volumens F^ bei den Flächen dieser *) Wir haben im übrigen die gebräuchlichen Zeichen dF^ dto ugw. der ersten Variationen vermieden, um evident zu machen, daß es sich schließlich nur um Diffe- rentialquotient«n im gewöhnlichen Sinne handelt. 304 Zur Physik. allgemeineren Schar eine Funktion Va(w, w*) der zwei Parameter sein, und innerhalb der zweiparametrigen Schar gibt uns diejenige einparametrige Schar, welche durch die Bedingung Va{w, w*) = Fa(0, 0) ausgeschieden wird, jetzt eine tatsächliche virtuelle Bewegung der Trennungsfläche. Da- nach haben wir die Bedingung zu formulieren, daß unter allen Flächen der zweiparametrigen Schar, für welche Va(w, w*) = Va(0, 0) ist, die Fläche w = 0, w* = 0 das Minimum der potentiellen Energie E = TabFab-[- gQAfzdv + gQii ( zdv •/ *-• A B liefert; (die Bezeichnung hier ist so zu verstehen, daß dv in dem ersten Integral die Volumenelemente von A, in dem zweiten diejenigen von B durchläuft). Für dieses Extremum mit einer Nebenbedingung liefert nun die Differentialrechnung in bekannter Weise die zwei Gleichungen dE . , ^^A n. oE . . ^Va f. r n * A^ ow dtv ' dtv* ow* ^ ' ^ mit einer geeigneten Konstante ^ab- Die zweite Gleichung dient uns jetzt nur dazu, um zu erkennen, daß der Wert von A^^ in keiner Weise von der beliebig angenommenen ersten Schar z = ipix, y, w) abhängt, also für die Trennungsfläche Fab an sich eine bestimmte Bedeutung hat; und bei ausdrücklicher Hinzunahme dieser Tatsache vertritt die erste Gleichung bereits das System der beiden. Danach muß (vgl. (3), (4), (5)) mit einer geeigneten Konstante ^ab, die sich schließlich aus dem Werte von Va be- stimmen wird, die Bedingung fNiTAB (i; + i;) + KQa- 9b> + ^abW= 0 ■AB gelten. Dabei unterliegt vermöge der willkürlichen Wahl der Schar F(w) die Funktion N = j- auf der Fläche F^ b einzig der Beschränkung, daß sie durchweg stetig ist und am Rande gleich Null genommen wird. Für N in diesem Umfange kann das vorstehende Integral nur dann besiändig gleich Null ausfallen, wenn der Faktor von N an jeder Stelle innerhalb F^is verschwindet, d. h. die Gestalt der freien Oberfläche muß der Diffe- rentialgleichung (6) Tas{-^^ + ■^) +9(Qa- 9b)^ + ^AB-^ genügen.*) Es kann F^^ auch aus mehreren getrennten Stücken bestehen und Xab tat für die verschiedenen Stücke denselben Wert. *) Laplace, Supplement au livre X de la Mecanique Celeste, no. 4. Kapillarität. 305 Ein Minimum von E ist hier jedenfalls nur möglich, wenn Tab^O ist, da sonst durch ein Hin- und Herfalten der Trennungsfläche an ihrem Orte sich E beliebig verringern ließe. Es möge ()^H= Qb s^i^- Setzen wir -AB 9(Qa-Qb)' so wird durch ^ = z ^^ eine bestimmte horizontale Ebene angewiesen, welche Niveauebene heißen soll. Verlegen wir ^ = 0 nach der Niveau- ebene, so folgt die Gleichung (6) in der Gestalt (6a) ^^^(i: + ^) = -^<^^^-^> Danach ist an jeder Stelle der Trennungsfläche aus der mittleren Krümmung nach B hin sofort auf die Lage der Niveauebene zu schließen. Ist q^ > q^, so liegen die Stellen der Trennungsfläche, wo diese mittlere Krümmung positiv ist, d. h, die Fläche nach B hin konvex- konvex oder konvex-konkav mit größerem Betrage der ersteren Hauptkrümmung ist, unterhalb der Niveauebene und zwar um so tiefer darunter, je stärker jene mittlere Krümmung ist; Stellen, wo diese Krümmung nach B hin negativ ist, liegen oberhalb der Niveauebene, Stelleu, wo sie Null ist, not- wendig genau in Höhe dieser Ebene (Fig. 2). Insbesondere kann die Trennungsfläche asymptotisch eben nur in Höhe dieser Ebene sich ge- stalten, wodurch ihre Bezeichnung als Niveauebene begründet ist. Fig. 2. 4. Randwinkel. Zur vollständigen Festlegung von Fab sind außer der Differential- gleichung (6) weitere Bedingungen für den Rand der Fläche dort, wo Ä und B an dritte Medien C grenzen, erforderlich. Grenzen drei Flüssigkeiten Ä, B, C mit drei Trennungsflächen P^^r F^c, Fjjc, in denen die Oberflächenspannungen Tab, Tag, Tbc herrschen, längs einer Kurve zusammen (Fig. 3), so würde zwar mit jedem virtuellen Bewegungs- zustand der Randkurve stets auch der ent- gegengesetzte Bewegungszustand für sie vir- tuell sein; immerhin woUen wir (weil hernach auch ein Fall von nicht in diesem Sinne umkehrbaren Verrückungen in Betracht kommt), zunächst nur von dem vorausgesetzten Gleichgewichtszustand an (nicht durch ihn hindurch) Minkowski, Gesammelte Abhandlungen. II. 20 Pig. 8. 306 Z«r Physik. variieren, und wir denken uns eine von einem Parameter w(^ 0) ab- hängende Schar von Lagen dieser Randkurve, mit den nämlichen End- punkten, falls nicht die Kurve geschlossen ist, und von gewissen damit verbundenen Lagen der drei Trennungsflächen-, dabei soUen diese stets gemeinsam an der Randkurve ansetzen, ihre sonstigen Randteile aber fest behalten und zugleich in ihren inneren Partien solche Deformationen er- fahren, daß die ganzen Volumina von A, B, C unverändert bleiben. Um zum Ausdruck zu bringen, daß die Gesamtenergie E im Gleichgewichtszu- stand für w = 0 am kleinsten ist, haben wir dann in Anbetracht der erst einseitigen Variation bloß die Ungleichung zu fordern. Da aber für die Trennungsflächen gemäß (6) bereits solche Gleichungen feststehen, daß die hierin als Flächenintegrale auftretenden Terme für sich Null sind, so zieht sich diese Ungleichung gemäß (3) zu — Cl{Tj,b cos (wj ab) + Tac cos (wJAc) + Tbc cos (wJbc)) ds>0 zusammen, wobei das Integral über die gegebene Lage der Randkurve zu erstrecken ist und an jedem Elemente ds unter w die Richtung, unter Ldw die Größe der dem Zuwachs dtv entsprechenden Verrückung des Randpunktes, unter Jab, JACy jsc die auf ds ins Innere der Flächen hin errichteten Normalen zu verstehen sind. Da die Funktion L hier beliebig gewählt werden kann, nur daß sie stetig und stets ^ 0 ist und an den Endpunkten der Randkurve verschwindet, so folgt hieraus (7) - Tab cos (wJa b) — Tag cos {wJa c) - Tbc cos (wJb c)>0 längs der ganzen Randkurve, und zwar noch für beliebige Richtungen w. Nun können wir aber mit jeder Richtung w die entgegengesetzte kombi- nieren, und ist daher das Zeichen ^ hier durch = zu ersetzen. Hiernach müssen sich drei Vektoren von den Längen 2'ab, Tac, Tbc und den zu Jas-, Jac, Jbc parallelen Richtungen zu einem geschlossenen Dreiecke an- einanderfügen*). Der Winkel {Ja s Jac) = ^a z. B. ist dann der von den zwei ersten Seiten in diesem Dreieck gebildete Außenwinkel und hat hiernach längs der ganzen Randkurve einen konstanten aus den drei Spannungen folgenden Wert. Dieser Winkel c3a heißt der Bandwinkel von A gegen B und C. Ein erstes Erfordernis für das angenommene Gleichgewicht ist nun, daß aus den drei Längen Tab, Tac, Tbc überhaupt ein Dreieck zu bilden ist, d. h. daß von jenen drei Spannungen keine größer als die Summe der *) Diese Bedingung ist von F. Neumann aufgestellt und zuerst in der Disser- tation von Paul du Bois-Reymond (Berlin 1859) veröffentlicht worden. Kapillaxität. 307 beiden anderen ist. Ist jedoch etwa Tab'> Tac -\- Tbc, so wird vielmelir C sieh zwischen A und B ausziehen, eventuell zu einer dünnen Schicht mit zwei einander derart nahe liegenden Trennungsflächen gegen A und B, daß dadurch Umstände resultieren, die erst auf Grund der Annahme einer räumlichen Verteilung der Kapillarenergie genauer zu verfolgen sein werden. Die Relation T^5> Tac -\- Tßc für drei Medien dient als hinreichende Erklärung der mannigfachsten Kapillarphänomene*). Nach den Beobachtungen von Marangoni**) ist in allen Fällen für zwei Flüssigkeiten die gegenseitige Oberflächenspannung kleiner als die Differenz ihrer Oberflächenspannungen gegen Luft***), hierbei also niemals jenes Dreieck von Spannungen realisierbar. Der Fall von Quecksilber und Wasser, den Marangoni als eine Ausnahme ansah, fügt sich dieser allgemeinen Regelt)- Wenn Wasser auf Quecksilber in einem Tropfen steht, so haften der Queck- silberoberfläche fremde Bestandteile an, die ihre Spannung herabsetzen ff). Stellt C einen festen Körper vor, so kann die Trefflinie von A, B, C nur auf der Oberfläche dieses frei verschoben werden, und erhalten wir die Relation (7) in dem entsprechen- den beschränkteren Umfange, nämlich, wenn C keine Diskon- tinuität der Tangentialebene an der Randkurve hat (Fig. 4), einmal so, daß tv mit Jac, das andere Mal so, daß tv mit jsc zusammenfällt, und wir erschließen damit T T /0\ -^BC ^ AC (O ) cos (Oa = 7p , ^AB wo (Oa wieder den Randwinkel (JabJac) von A gegen B und C bezeichnet f-f-l*). *) Eine bis zur Gegenwart reichende Übersicht der Beobachtungsmethoden und -ergebnisse zur Kapillarität bringt der Artikel von F. Pockels im Handbuch der Physik, herausg. von A. Winckelmann, Bd. 1 (Breslau 1907). **) Marangoni, SuU' espansione delle goccie di liquido galleggiante sulla Buperficie di altro liquido, Pavia 1865; Ann. Phys. Cham. 143 (1871), S. 348. Dieselbe Tatsache fanden van der Mensbrugghe, Mem. cour. de l'Acad. de Belg. 34 (1869); femer Lüdtge, Ann. Phys. Chem. 137 (1869), S. 362. ***) Siehe die Anm. auf S. 297. t) Quincke, Ann. Phys. Chem. 139 (1870), S. 66. Lord Rayleigh, Sc. papers 3, p. 562. tt) Das Ausbreiten eines Tropfens einer Flüssigkeit auf einer anderen Flüssigkeit geschieht jedesmal in charakteristischen Formen, die mit den Substanzen sehr mannig- faltig variieren, den Tomlinsonschen Kohäsionsfiguren; vgl. darüber 0. Lehmann, Molekularphysik 1 (Leipzig 1888), S. 260; Paul du Bois-Reymond, Ann. Phys. Chem. 139 (1870), S. 262. ttt) Quincke (Ann. Phys. Chem. 137 (1869), S. 42) fand, daß längs einer auf Glas keilförmig aufgetragenen dünnen Silberschicht Wasser oder Quecksilber einen kon- 20* 308 Zur Physik. Diese Relation würde unmöglich sein, wenn der Quotient rechts dem Betrage nach > 1 (oder < - 1) ausfällt. Im Falle Tbc > Tag + Tab (es brauchten hier Tac, Tbc nicht ^ 0 zu sein) kommt dann Gleichgewicht dadurch zustande, daß sich die Flüssigkeit Ä am festen Körper C in einer selbst mikroskopisch nicht meßbaren dünnen Schicht entlang zieht, C benetzt, wodurch an der zu bemerkenden Randlinie B beiderseits an Ä grenzt und daher eben nach dieser Formel (8), worin nun Ä statt C und Taa= 0 zu nehmen ist, sich der Randwinkel von Ä gleich Null her- ausstellt. Hat die Wand des festen Körpers C an der Randkurve gerade eine Schneide, (ein Fall, wie er sich bei der Adhäsion einer Flüssigkeit an einem festen Körper leicht darbietet (Fig. 5)), so kommen zweierlei nicht entgegengesetzte Verschiebungen der Rand- kurve auf C in Betracht. Das Ergebnis ist dasselbe, als wenn man sich die Schneide als Grenze abgerundeter Formen denkt; man kommt zur Ungleichung (7) einmal so, daß darin w durch Jac, aber Jbc durch die zu Jac entgegengesetzte Richtung, das andere Mal so, daß darin w durch Jbc, aber Jac durch die zu Jbc entgegengesetzte Richtung vertreten wird; man erhält demnach - Tab cos {JacJab) - Tac ■\- Tbc> 0, - Tab coa (Jbc Jab) + Tac - Tbc > 0, d. h. . (9) {Ja cJab)^g}a, (Ja bJbc)^^ — (Oa, wo (Oa den durch (8) bestimmten Winkel ^ 0 und ^ jr bedeutet. Aus beiden Relationen zusammen folgt iJAcJBc)^^- Danach kann im Zustande des Gleichgewichts die Grenzlinie der freien Oberfläche niemals längs eines endlichen Stücks auf einer konkaven Schneide des festen Körpers liegen*). Die Bedingungen für das Zusammentreffen von vier Flüssigkeiten in einem Punkte sind nunmehr ohne weiteres ersichtlich. Die Möglichkeit der Bildung einer neuen Trennungsfläche an einer Linie, längs der mehr als drei Flüssigkeiten zusammentreffen, erörterte Gibbs**). stanten Randwinkel erst dort ergibt, wo die Dicke der Silberlamelle mindestens 50x10"' cm beträgt. *) Gauß, Principia generalia theoriae figurae tiuidorum, art. 30. **) Gibbs, Equilibrium of heterogeneous substances, p. 453. Kapillarität. 309 6. Kapillardruck. Oberflächenspannung. Wollen wir den Begriff des Drucks in einer Flüssigkeit auch bei Erscheinungen der Kapillarität verwenden, so wird die Vorstellung not- wendig, daß dieser Druck an einer Trennungsfläche zweier Flüssigkeiten im allgemeinen sich diskontinuierlich ändert. Die Diskontinuitäten sind mit den Schwerpunkts- und Flächensätzen der Mechanik in Übereinstimmung zu bringen. Will man die Diskontinuitäten weiter begründen, ohne jedoch Hypothesen über Molekularkräfte einzuführen, so kann man von dem An- sätze ausgehen, daß in einer Flüssigkeit an jeder Stelle eine räumliche Energiedichte besteht, welche von der Massendichte daselbst und auch noch von den örtlichen Differentialquotienten der Massendichte abhängt. Man hat sodann einen Grenzübergang in der Weise zu vollziehen, daß die Differentialquotienten der Massendichte im allgemeinen gleich Null gesetzt werden und nur an gewissen Flächen derart unendlich werden, daß dort die Massendichte einen konstanten Sprung erfährt. Der Begriff des Druckes entsteht dabei als der negativ genommene Differentialquotient der Energie einer Masse nach ihrem Volumen (Gl. (42) in Nr. 18). Der Kürze wegen begnügen wir uns hier mit folgenden mehr axio- matischen Festsetzungen: Innerhalb einer einzelnen Flüssigkeit A variiert der Druck stetig mit der Dichte, ist aber nur bis auf eine additive Kon- stante zu bestimmen; bei gewisser Verfügung über diese Konstante wollen wir von ihm als Mnetischem Druck Pa sprechen. Nun seien zwei verschiedene, der Schwere unterworfene Flüssigkeiten A und B durch eine horizontale Ebene ^ = 0 getrennt und eine jede derart beschaffen, daß in ihr Dichte und Temperatur überall nur von der Vertikalhöhe z abhängen. Alsdann erleidet der kinetische Druck bnim Übergang von A nach B eine Diskon- tinuität, die wir als Kohäsionssprung bezeichnen wollen. Die bezügliche Abnahme des kinetischen Drucks von A nach B können wir in die Form Ka— Kb setzen, so daß Ka nur von A, Kb nur von B abhängt. Die Differenz Fa— Ka = Pa soU dann der hydrodynamische Druck in A heißen; dieser Druck würde nun an horizontalen Trennungsflächen keinerlei Diskontinuität erfahren. In einer ruhenden Flüssigkeit A, in welcher die Dichte nahezu als konstant anzusehen ist, variiert der Druck Pa derart, daß er abhängig von der Vertikalhöhe z allgemein den Ausdruck Pq — Qj^gz hat, wo Pq eine Konstante ist. Nun mögen zwei ruhende Flüssigkeiten A und B von verschiedener Dichte eine beliebige, der Differentialgleichung (6) entsprechende Trennungs- fläche F^B haben; wir bestimmen die Niveauebene dazu, wählen sie als Ebene z == 0 und denken uns andererseits in einem sehr weiten Gefäße ebenfalls A und B und beide durch eine horizontale Ebene und zwar genau in 310 Zur Physik. Pig. 6. Höhe jener Niveauebene getrennt, und verbinden endlich die Ä beiderseits und die B beiderseits je durch eine kommunizierende Röhre (Fig. 6), so wird das Gleichgewicht nach der Gleichung (6 a) bestehen bleiben. Ist nun p^ der in jener horizontalen Trennungsfläche in Ä und B gleiche hydrostatische Druck, so ist dieser Druck in Ä in einer Höhe s gleich p^ = Pq— Qj^gz und in ^ in einer Höhe z gleich p^^^p^ — Q^gi^- An einer beliebigen Stelle der Trennungsfläche Fab findet daher gemäß (6a) eine Druck- diskontinuität (10) PA-Ps--9iQA- Qb)^ = ^ab{^ + i;) statt. Diese Differenz heißt der Kapillardruclc an der Stelle in Ä. Stellt B den gesättigten Dampf der Flüssigkeit Ä vor, so ist Pq der Sättigungsdruck über einer ebenen Flüssigkeitsoberfläche, und würde da- gegen Pj^ den Druck des im Gleichgewicht mit der Flüssigkeit befindlichen Dampfes über einer solchen Stelle der Flüssigkeit, welche nach dem Dampfe hin die mittlere Krümmung -^ (-^ + ^) zeigt; angeben; danach über- wiegt der letztere Sättigungsdruck p^ um Jb P.1 — 9b \Iti 2?g/ den Druck Pq*). Es folgt daraus z. B. ein vermehrtes Verdampfungs- bestreben kleinster Wassertröpfchen in der Luft, weil mit dem Gleich- gewichtsdruck des Dampfes über einer ebenen Wasseroberfläche noch nicht der Gleichgewichtsdruck über den Oberflächen der Tröpfchen erreicht ist. Ist in dieser Weise einmal die Druckdiskontinuität des Kapillardrucks eingeführt, so würde das Bestehen der Trennungsflächenenergie nach dem Ausdrucke (3) ihrer Ableitung vollständig mit der weiteren Annahme zu erschöpfen sein, daß außerdem an jedem Randelement der Trennungsfläche in ihr, normal gegen den Rand nach innen gerichtet, eine konstante Zug- spannung = Tab, auf die Längeneinheit der Randlinie berechnet, herrscht. Indem nun die Formel (3) sich auch auf jeden beliebigen Ausschnitt aus der Trennungsfläche anwenden läßt, würden die Kapillardrucke längs *) W.Thomson, Edinburgh Proc. Roy. Soc. 7 (1870), p. 63. —In einer Kapillar- röhre vom Radius 0,00012 cm, in welcher Wasser 1300 cm steigt, würde der Gleich- gewichtsdruck des Wasserdampfes um etwa Yj^oo kleiner als der Wert dafür über der Niveauebene sein. Mit den durch die Relation (10) gegebenen Umständen hängt auch der Siedeverzug luftfreier Flüssigkeiten, ferner die Schwierigkeit der Bildung der ersten Bläschen bei der Elektrolyse zusammen. KapiUarität. 311 der Fläche und diese Zugspannungen an ihrem Rande für die virtuelle Arbeit gleichbedeutend mit der Annahme sein, daß üherall innerhalb der Trennungs fläche eine Jconstante Spannung = Tab herrscht. Aber sprechen wir in solcher Allgemeinheit von einer Spannung innerhalb der ganzen Fläche, so heißt dieses im Grunde nichts anderes als: Es besteht für die Trennungsfläche eine potentielle Energie = TabF^b, wovon wir eben ausgegangen sind. Auf diese Analogie einer Flüssigkeitsoberfläche mit einer elastischen Haut gründete Thomas Young*) eine vollständige Theorie der KapiUar- phänomene, die allerdings durch Vermeidung mathematischer Symbole an Durchsichtigkeit einbüßte. Den Begriff der Oberflächenspannung einer Flüssigkeit hat Segner**) eingeführt. 6. Formen freier Oberflächen. Tropfen. Die Differentialgleichung einer freien Oberfläche kommt in Versuchen namentlich unter zweierlei speziellen Umständen in Betracht: nämlich es handelt sich meist entweder um Rotationsflächen um eine vertikale Achse oder aber um Zylinderflächen mit horizontalen Erzeugenden, wobei letztere Flächen auch noch als eine Approximation der ersteren bei großem Quer- schnitt dienen. Im Falle einer Rotationsfläche um die s-Achse sei für die Meridian- kurve r der Abstand von der Achse, (p der Neigungswinkel der Tangente gegen die horizontale r-Achse (Fig. 7), also ig(p = dz dr, so ist die Krümmung der Kurve ^ = ^ — und die reziproke Länee der Normale — ^ = — -, die Gleichung (6) geht also in * Mp.R(.o) (11) T,/J^-,^, + ,(,^-,,). über. Zumeist handelt es sich um eine solche partiku- läre Lösung dieser Gleichung, welche die Achse triflft und sie dann notwendig senkrecht durchsetzt, damit die Fläche sich an der Stelle regulär verhält. Diese Lösung hängt nur noch von einer Konstante ab, da Fig. 7. *) Th. Young, Essay on the cohesion of fluids, Phil. Trans. Roy, Soc. London 1805. — Für die Würdigung der Leistung von Young vgL Lord Rayleigh, Phil. Mag. 30 (1890), p. 285, 456 = Scientific papers 3, p. 397. **) Segner, Comment. soc. reg. Gotting. 1 (1751), p. 301. — Plateau (Statique des liquides, chap. \) gibt eine bis 1869 geführte historische Übersicht über die Arbeiten zur Theorie der Oberflächenspannung. Mannigfache Belege zu dieser Theorie hat namentlich Van der Mensbrugghe beigebracht. 312 Zur Physik. dzidr == 0 für r = 0 gefordert wird. Verlegt man den Koordinatenanfang in jenen Treffpunkt mit der Kurve, so bedeutet 2Tab/^ab den Krümmungs- radius daselbst und bei Wahl dieser Größe als Längeneinheit hängt die Form der Kurve nur noch von einem Parameter ab, der die Relation zwischen dem vorgeschriebenen Werte des Randwinkels von Ä am Ende der Meridiankurve und dem Volumen von Ä vermitteln muß. Laplace*) und in der Folge Lord Kelvin**) haben die Meridian- kurve der kapillaren Rotationsfläche aus kleinen Kreisbögen mit stetig sich aneinanderreihenden Tangenten unter Berechnung der Krümmung am Anfange jedes Bogens gemäß der Gleichung (11) angenähert aufgebaut. C. V. Boys***) hat diese Methode besonders handlich gemacht, indem er die Kreisbögen durch eine feste Marke an einem (durchsichtig hergestellten) Lineal beschreibt, auf dem das Drehungszentrum sukzessive verändert wird, wodurch die Stetigkeit in den Tangenten der sukzessiven Kreisbögen ge- sichert wird. Zudem sind die Teilstriche des Lineals durch ihre reziproken Entfernungen von der festen Marke bezeichnet, an der selbst dann oo steht. Bashforthf) lieferte ausgedehntes Tabellenmaterial zu jener partikulären Lösung von (11). C. Rungeff) nahm die Gleichung als Beispiel bei Darlegung einer numerischen Integrationsmethode für die Differential- gleichungen zweiter Ordnung. Eine im Bereiche 0 ^ 9) < nß konvergente Entwicklung von 0 nach Potenzen von r für die Lösung von (11) be- handelten K. Lasswitzfff), Th. Lohnstein*f). Allerhand Annäherungs- formeln, bzw. des Krümmungsradius für r = 0, des Maximalwertes von r usw. findet man bei Poisson**f), Fr. Neumann ***f), A. König *f-}-), H. Siedentopf**tt). Die Formen eines Quecksilbertropfens auf einer horizontalen Unter- lage, einer gegen eine Horizontalebene stoßenden Luftblase, eines an einer Horizontalebene hängenden Wassertropfens sind Rotationsflächen, bestimmt *) Laplace, Connaissance des Temps, 1812. **) W.Thomson, Capillary attraction, Proc. Roy. Inst. 11 (1886), aufgen. in Populär lectures and addresses 1 , London 1889. Der Aufsatz enthält verschiedene Diagramme zur Illustrierung des Verfahrens. — J. C. Schalkwijk, Leiden Communic. No. 67 (1901). ***) C. V. Boys, Phil. Mag. (5) 36 (1893), p. 75. t) Bashforth and Adams, An attempt to test the theories of capillary action, Cambridge 1883. tt) C. Runge, Math. Ann. 46 (1895), S. 167. ttt) K. Lasswitz, Inaug.-Diss. Breslau 1873, *t) Th. Lohnstein, Inaug.-Diss. Berlin 1891. **t) Poisson, Nouv, thäor. de l'act. capill., Paris 1831. ***t) Fr, Neumann, Vorl. über Capill. 1894. *tt) A. König, Ann. Phys. Chem. 16 (1882), S. 10. **tt) H. Siedentopf, Ann. Phys Chem. 61 (1897), S. 235. Kapillarität. 313 durch die Differentialgleichung (J.1), durch die Forderung, die Achse zu treffen, durch den Randwinkel am Endpunkt der Meridiankurve und durch das vorliegende Volumen. Hängt die Lösung der Gleichung (6) von y nicht ab, ist sie also eine Zylinderfläche mit horizontalen Erzeugenden parallel der y -Achse, so wird die Gleichung ihres vertikalen Querschnitts mit der jr^-Ebene, wenn (f den Winkel der Tangente gegen die ^- Achse, ds das Bogenelement bedeutet: (12) i--^-^..^-^.. + »(?.-?>■ Es ist das die Gleichung der Gleichgewichtsform, die ein elastischer gleich- formiger unendlich dünner und ohne äußere Kräfte geradliniger Stab an- nimmt, wenn an den Enden zwei in die Richtung der positiven und negativen a:-Achse fallende entgegengesetzt gleiche Kräfte und dazu die geeigneten Kräftepaare angreifen*). Die Differentiation von (12) nach s ergibt und ist danach, p^ > q^ angenommen, die Abhängigkeit des Winkels TC — cp von s dieselbe wie des Ausschlags eines gewöhnlichen mathematischen T Pendels mit der Lanofe — ^^ von der Zeit. Wird z = 0 nach der Niveauebene gelegt, also /^b=0 angenommen, so erhält man aus (12) durch Multiplikation mit tgq^dx = dz und Integration, entsprechend dem Integral der lebendigen Kraft in der Pendelbewegung: (13) TAB{c-cos 1, wenn sie sonst eine horizontale Tangente hat; andererseits ist, wenn die Fläche einen Wendepunkt (-^ = 0) besitzt, notwendig c < 1. Die Form eines an einer Horizontalebene hängenden zylindrischen Tropfens, wie er durch Austreten einer Flüssigkeit aus einem langen Spalt entstehen könnte, hat Fr. Xeumann**) behandelt. Um über die Stabi- lität der Form zu entscheiden, haben wir das Jacobische Kriterium für ein Extremum in einem Variationsproblem heranzuholen. Benetzt A die Ebene und wird der Einfachheit halber 2r,^:^(p^— pj als Flächen- einheit eingeführt, so kommt hier das Variationsproblem darauf hinaus, *) ^gl- z- B. A. E.H. Love, A treatise on the mathematical theory of elasticity 2 (Cambridge 1893), Arts. 227—229. [(2»<» edition 1906, Art. 262. Deutache Ausgabe, bes. V. A. Timpe (Leipzig 1907) §§ 262, 263)]. •*; Fr. Neumann, Vori. über Capill., S. 117, 314 Zur Physik. in einem Intervalle — iCo ^ ^ = ^o; dessen Länge 2xq ebenfalls noch ge- sudtt wird, eine an den Enden verschwindende stetige Funktion z(x) derart zu bestimmen, daß ^ ZU einem Minimum wird, während i zdx = J gegeben ist. In einer ge- wissen Tiefe— ^o unter der Horizontalebene zeigt das tellerförmige Profil des Tropfens durch einen Wendepunkt die Niveauebene an und verläuft sodann gemäß (13) bis zum tiefsten Punkte als spiegelbildliche Fortsetzung am Wendepunkt, so daß Zq die ganze Tiefe des Tropfens wird. Ist 2$ die Neigung der Wendetangente gegen die Horizontale und x = sin ö, so findet man auf Grund von (13): ^o=2"l/2;£, x^=y2{2E-K), J == x^z^, wo K und E die vollständigen elliptischen Integrale erster und zweiter Gattung vom Modul x sind. Der Ausdruck J = XqZq hat ein Maximum ungefähr bei 6 = 35*^ 32' mit J = 2,606. Nur wenn das Volumen des Tropfens auf die Längeneinheit des Spalts, «7, unterhalb dieser Größe liegt, gibt es überhaupt Tropfenformen, welche den Gleichungen des Problems entsprechen, und zwar dann eine breitere und weniger tiefe Form, wobei ö< 35*^32' ist, und eine schmälere tiefer herunterhängende, für welche diese stärkste Neigung gegen die Horizontale > 35° 32' ist. Nur die erstere Form ist stabil. Daß für rotationsförmige hängende Tropfen die Verhältnisse analog liegen dürften, geht aus einem Experiment von Lord Kelvin*) hervor, wonach eine um einen horizontalen MetaUring gespannte dünne Kautschuk- haut, die durch Hinaufgießen von Wasser in eine tropfenähnliche Form gedehnt wird, in einem gewissen Stadium der FüUung ruckweise eine Lage instabilen Gleichgewichts passiert. Nach dem Abreißen eines Tropfens zieht sich der ausgezogene zurück- schnellende Hals in einen oder mehrere kleinere Tropfen zusammen. Der Vorgang wird der Beobachtung zugänglicher, wenn die Tropfenbildung in einer nur wenig leichteren Flüssigkeit erfolgt, ist jedoch einer mathe- matischen Behandlung noch nicht unterzogen**). *) W. Thomson, Populär lectures and addresses 1, London 1889, p. 38. — Daraus sind die Tropfenformen in Fig. 8 oben entnommen. **) G. Hagen, Ann. Phys. Chem. 67 (1846), S. 1, 152; 77 (1849), S. 449. — C. V. Boys, Seifenblasen. Vorl. über Capill. Deutsche Übers, von G. Meyer, Leipzig 1893, S. 33, 65. — Die Beziehungen zwischen dem Durchmesser einer Röhre und dem Gewicht daraus abfallender Tropfen behandeln Lord Rayleigh, Phil. Mag. 48 (1899), Kapillarität. 315 7. Steighöhen. Die in einem Gefäße C senkrecht unterhalb der Trennungsfläche Fab, von der Niveauebene z = Zab an gerechnet, stehende Masse von A über- wiegt die dadurch verdrängte Masse von B um (14) 'AB = — Tab j C08 (Ja Be)ds, wo letzteres Integral sich über den Rand von F^^ erstreckt. Die erste Umformung folgt aus (6), die zweite durch Anwendung der Formel (3) auf eine Parallel Verschiebung der Fläche in der ^-Richtung, wobei ihr Flächeninhalt sich nicht ändert. Steht die Gefäßwand am Rande von Fab überall vertikal^ so ist hier {Jabz) ^ it — Oa, unter coa den Randwinkel von A verstanden, und wird daher der letzte Ausdruck in (14) = T^^cos (Ha U, wo U den Umfang der Randkurve bedeutet, insbesondere demnach positiv, Null oder negativ, je nachdem der Winkel 0,4 spitz, ein rechter oder stumpf ist. Stellt C eine vertikale KapiUarrohre mit kreisförmigem Querschnitte vom Radius li vor, so tritt in der Röhre ein Aufsteigen oder eine De- pression von Flüssigkeit ein (wir denken uns hier ()^> Q^ und B ober- halb A gelegen), je nachdem der Randwinkel von A spitz oder stumpf ist, im speziellen also ein Ansteigen, wenn A die Röhre benetzt. Die mittlere Steighöhe über der Querschnittsfläche der Röhre ist nach (14) "• 9{Qa-9b)^ 9(.QA-Q^Ii' also umgekehrt proportional dem Badius der Bohre*). Der Meniskus läßt sich in erster Annäherung als eine Kugelfläche ansehen. Approximiert man ihn genauer als ein Rotationsellipsoid um die Röhrenachse**), welches mit ihm im Randwinkel, in dem Krümmungsradius auf der Achse und im p. 321 (Sc. papers 4, p. 416), Th. Lohnstein, Ann. Phys. Chem. 20 (1906), S. 237, S. 606. — A. M. Worthington and R. S, Cole, Impact with a liquid surface, London Phil. Trans. 189 (1897), p. 137. *) Die Proportionalität der Steighöhe in einer Kapillarröhre mit dem Reziproken des Durchmessers scheint zuerst von Borelli (De motionibus natnralibus a gravitate pendentibus, Reggio 1670) ausgeführt zu sein; der Satz wird von manchen Autoren Jurin (Phil. Trans. 30 (1718)) zugeschrieben. **) Mathieu, Capillarite, Paris 1883, p. 49. 316 Zur Physik. angehobenen Gewicht übereinstimmt, so folgt z. B., wenn Ä die Röhre benetzt, als Steighöhe auf der Achse h ^ ä h m Werden in einer Kapillarröhre mehrere die Wand nicht benetzende Flüssigkeiten Ä, B, B* . . . übereinander geschichtet, so ist das gesamte angehobene Gewicht das nämliche, als wenn sich über A nur B befände. Ein Einwand, den Young aus Beobachtungen gegen diese Schlußfolgerung und damit überhaupt gegen die Theorie von La place erheben zu müssen glaubte, wurde durch Poisson*) entkräftet. Zwischen zwei parallelen vertikalen Platten ist zufolge (14) die mittlere Steighöhe halb so groß als in einer Kapillarröhre von einem Durchmesser gleich dem Abstand der Platten. Stehen die zwei vertikalen Platten mit geringer Keilöffnung gegeneinander, so steigt die Flüssigkeit an ihnen zu Fig. 8. Fig. 11. einer gleichseitigen Hyperbel erapor (Fig. 9). In einer konischen Röhre kann unter Umständen ein Tropfen im Gleichgewicht sein bei spitzem Randwinkel, wenn die Röhre sich nach oben verjüngt (Fig. 10), oder bei stumpfem Randwinkel, wenn sie sich nach unten verjüngt (Fig. 11). 8. Kapillarauftrieb. Adhäsion. Der Körper C sei nur mit den Flüssigkeiten A und B in Berührung. Um den von C zur Erhaltung des Gleichgewichts gegen A und B zu leistenden Gegendruck in der Komponente — P^^ nach einer beliebigen Richtung iv zu ermitteln, lassen wir C in dieser Richtung parallel mit sich verschieb- bar sein. Wir nehmen sodann eine von einem Parameter iv abhängende Schar von Verrückungen des Systems vor, wobei C in jener Richtung um die Längen iv fortschreitet, die Partien ¥ac, ^bc, also auch ihre gemeinsame Randlinie unverändert mitgehen, alle Grenzflächen in denen A und B an andere Medien als C anstoßen, festbleiben, endlich Fab noch sich derart deformiert, daß die Volumina Va und Vb ungeändert bleiben. *) Poisson, Nouv. theor. de l'act. capill., p. 141. KapUlarität. 317 Wir können alsdann für die gesamte ins Spiel kommende Energie Ey einschließlich des Terms ivP^^ für den Gegendruck — P„, die Relation -r- = 0 ansetzen. Nun sind die Flächeninhalte von Fac, ^bc unver- dtc ändert, längs F^b besteht die Differentialgleichung (6), zur Vereinfachung legen wir ^ = 0 in die Xiveauebene Ton A, B, haben also >l^5 = 0. Im Hinblick auf (3) und (5) erhalten wir daher: P. -fgiQA- 9c)^ cos {wn)df -fgiQe ~ Qc)^ cos (wn) df (15) '^Ac hc — TABj'(iOs(tCJAB)dS = 0, wo sich das erste Integral auf Fac, das zweite auf Fbc, das dritte auf ihren gemeinsamen Rand bezieht und n die äußere Normale von C bezeichnet. Der auf C ausgeübte vertikale Auftrieb berechnet sich hieraus, indem wir für w die ^-Richtung nehmen. Hat die Trennungsfläche Fab keine Begrenzung außer ihrer Randlinie auf C, d. h. verläuft sie im übrigen asymptotisch an die Niveauebene, so zeigt die bei (14) vorgenommene Transformation, daß der letzte Term in (15) alsdann = g{Q ^— Qg)VAB wird, unter Vab das unterhalb Fab bis zur Niveauebene reichende Volumen verstanden (soweit Fab unterhalb der Niveauebene verläuft, ist das da- zwischenliegende Volumen in Vab negativ einzurechnen). Von diesem Volumen entfalle der Anteil V auf das Medium A (Fig. 12). Andererseits werde C durch Fortführung der Niveauebene in einen unteren Teil vom Volumen Vy^ und einen oberen Teil vom Volumen F^^) zerlegt, so werden der zweite und dritte Term in (16) bzw. und folgt demnach (16) P = g(Q^ - g^) F(-) +giQ,- Q,) IJ) - g(Q^ - q^) V. Die ersten zwei Terme bilden den hydro- /'~N statischen Auftrieb, faUs die Trennungsfläche in die Niveauebene fiele, der dritte Term, der kapillare Auftrieb (bzw. negative Abtrieb) ist entgegengesetzt gleich dem infolge der Kapilla- rität über die Niveauebene gehobenen Flüssig- keitsgewicht. Hiernach kann bei stumpfem Rand- winkel (0.4 unter Umständen ein Körper auf einer Flüssigkeit von geringerem spezifischen Gewicht schwimmen. Wird eine kreisförmige Scheibe C auf eine weite horizontale Ober- fläche von A in ß gelegt (Fig. 5) und mit horizontal bleibender Basis, 318 Zur Physik. die stets ganz mit A in Berührung sei, kontinuierlich senkrecht gehoben, so entspricht die am Rande der Scheibe ansetzende freie Rotationsfläche wieder der Gleichung (11); die Meridiankurve verläuft asymptotisch an die Niveauebene, w^ährend der Randwinkel qp von Ä gegen die horizontale Basis der Scheibe kontinuierlich abnehmend zufolge der ersten Unglei- chung (9) nur bis zu dem durch (8) bestimmten Werte coa heruntergehen kann, wobei dann die Flüssigkeit abreißt. Bei großem Flächeninhalt S der Scheibe ergibt sich die maximale Höhe Zq des Anhebens angenähert aus (13) für^c = 1, q) = Oa und zwar als unabhängig von S und folgt das dabei über die Niveauebene gehobene maximale Flüssigkeitsgewicht -f dem Gewicht der Scheibe aus (16), indem dort F^^) ^ — 2qS substituiert und V=Vab aus (14) mittels (j.4b^) = „ "^ ^-* berechnet wird. Bei der Adhäsion zweier sehr nahe befindlicher gleicher horizontaler Platten, sie mögen etwa wieder kreisförmig vom Flächeninhalte S sein, vermöge einer zwischen ihnen befindlichen dünnen und sie benetzenden Flüssigkeitsschicht A vom Volumen Va ist für die angenähert durch (12) bestimmte Meridiankurve die Höhe ^, die wir von der oberen Fläche der Schicht rechnen, und damit auch dtpjds wenig veränderlich und daher die Kurve angenähert ein Halbkreis vom Durchmesser VaIS (Fig. 13). Nach (12) befindet sich dann die Niveauebene in einer Höhe z = — z^, die um- gekehrt proportional diesem Werte ist. Aus (15) entsteht wieder genau die Relation (16), wobei V^^ = — Sz^, F=0 einzusetzen ist, und folgt daraus der auf die obere Platte mitsamt ihrem Gewicht ausgeübte Zug nach unten, und zwar als proportional mit S'^JVa- Bei kleinem Va kann daher eine äußerst große Kraft zur Trennung der Platten nötig sein. ^ N- N jif. i- Js[ MM^i^^yyJi'^M^!^ ==-^^^~_=£^ Fig. 13. Fig. 14. Fig. 15. Sind dagegen die 'Randwinkel an den Platten stumpf, so liegt die Niveauebene über der Schicht, es richtet sich die Größe der von A be- deckten Fläche der Platten nach dem Werte von Va, und es ist ein entsprechender Druck auf die Platten nötig, um ihre Distanz zu ver- ringern (Fig. 14). Stellt C eine auf beiden Seiten gleich beschaffene vertikale, der yz- Ebene parallele Platte von einer sehr großen Breite L vor, die in A und B eintaucht, wobei aber der Stand der Trennungsflächen ¥ab beiderseits an C verschieden hoch sein kann (Fig. 15), so berechnet sich aus (15) die Kapülarität. 319 Summe der zwei Drucke P~ und P+ in Richtung der a;-Achse, welche die Platte links und rechts, auf der Seite der kleineren bzw. der größeren x erfährt; die zwei Randintegrale heben sich auf, die Flächenintegrale bleiben nur für den einerseits von A, andererseits von B bedeckten Teil der Platte übrig. Steht A links bis zur Höhe z~, rechts bis zur Höhe -s"*" an der Platte, so resultiert als Gesamtdruck wenn für die Form der Fläche Fj^ nach (13) links die Integrations- konstante c~, rechts c^ in Betracht kommt. Tauchen jetzt zwei Platten C~ und C+ von gleicher Breite L parallel zur j/^- Ebene und sehr nahe zueinander ein und kommt für den Meniskus in der a:,?- Ebene zwischen ihnen die Integratiouskonstante c in Betracht, während jenseit« von ihnen die Flächen F^^ asymptotisch an die Niveau- ebene verlaufen mögen, also hier die betreffende Konstante den Wert 1 hat, so werden die Platten mit einer Kraft Tab{c — V)L gegeneinander getrieben. Bildet nun A an beiden Platten spitze oder an beiden Platten stumpfe Winkel, so zeigt der Meniskus in der rr^-Ebene zwischen den Platten notwendig eine Stelle mit horizontaler Tangente und ist daher nach (13): c> 1, es findet also eine scheinbare Anziehung der Platten statt und zwar, da c — 1 nach (13) dem Quadrat der Steighöhe an jener Stelle proportional ist, angenähert umgekehrt proportional dem Quadrat des Abstandes der Platten. Bildet A an einer Platte spitze, an der anderen stumpfe Winkel, so entspricht einer gewissen Distanz der Platten ein labiles Gleichgewicht, das bei Annäherung der Platten (durch stärkere Krümmung des Meniskus) zu einer Anziehung, bei Entfernung zu einer Abstoßung führt*). 9. Ausschaltang der Schwerkraft. Die Wirkung der Schwere auf die Gestalt der Trennungsfläche von A gegen B erscheint nach (6) ausgeschaltet, wenn q^ = q^ ist, die beiden Flüssigkeiten also gleiche Dichte haben. Dieser Umstand, an den schon Segner**) gedacht hat, wurde von Plateau***; vielfältig benutzt, um reine Kapillarwirkungen zu studieren. *) Laplsce, Sappl. ä la th^or. de Tact. capill. (De Tattraction et de la re- pulsion apparente des petita corps qui nagent ä la sorface des fluides). — Poisson, Nouv. theor. de l'act. capill., chap. YI. — Allgemeinere Theoreme über Anziehung und Abstoßnng schwimmender Körper entwickelt W. Voigt, Kompendium der theor. Phys. 1, Leipzig 1895, S. 239. **) Siehe Anm. S. 311. ***) Plateau, M^m. de l'Acad. de Belgique, 1843 bis 1868; Statique experimentale et theorique des liquides (Gand 1873). 1 \ . 0 für.. = 0 erforderlich. Nehmen wir an, der Rand von F^b sei festzuhalten, so daß das Kurvenintegral in (3) fortfällt, so folgt durch Differentiation nach w aus (3), (4), (5) im HinbUck auf (6): =/^k-Ä(i + i;) + 9(^.- 9yü]df. Hiervon sei eine spezielle Anwendung gemacht. Die Tren- nungsfläche falle in die Niveauebene ^ = 0. Die Flüssigkeit B befinde sich oberhalb Ä in einem nach unten offenen Gefäße, sei aber schwerer als Ä, also Qß>Q^ (Fig. 20). Hier ist für die variierten Flächen ^ / 1 . 1 \ _ d'N d*N , .^Nw{moiu>^, |.(-i + i-)^_g_^(„od«,). (wobei durch das Zeichen = und den Zusatz (mod iv^) bzw. (mod iv) eine Gleichheit bis auf Glieder von der Ordnung m;* bzw. iv angedeutet werden soll), und kommt die Bedingung (18) auf (19) /^{-T.,0 + P-,(,,-O^H/>O 'AB 326 Zur Physik. hinaus, während die Konstanz des Volumens Va die Gleichung (20) fNdf=-0 erfordert und ferner N am Rande von F^b durchweg Null sein soll. In einer mehr elementaren Ausführung sagt Maxwell*), der Inte- grand in (19) müsse durchweg ^ 0 sein, was überhaupt niemals für den ganzen Umfang der hier zuzulassenden Funktionen N zu erzielen wäre. Ist die Oflfhung des Grefäßes ein Kreis vom Radius R um den Null- punkt, so trägt man der Bedingung des Verschwindens von N(x, y) am Rande in allgemeinster Weise Rechnung durch den Ansatz: OO 00 N{rcoa(p, r sin (p) - ^ 2'^^'i'^) ^^rnk<^08m

C *) J. C. Maxwell, Scientific papers 2, p. 585. **) Vgl« l^iß part. Differentialgl. d. math. Physik, nach Riemanns Vorl. neu bearbeitet von H. Weber, 2, S. 262; 1, S. 164. ***) Beobachtungen von Duprez (Mem. de FAcad. de Belgique 26 (1851), 28 (1864)) sind in Übereinstimmung mit diesem theoretischen Ergebnisse. KapiUarität. 327 erfordert, woraus zugleich für a = oo die entsprechende Bedingung in bezug auf einen langen Spalt ersichtlich ist. 13. Kapillar Schwingungen. Im Gleichgewichtszustand befinde sich A ganz unterhalb, B ganz ober- halb der Niveauebene z = 0, und ihre luibegrenzt gedachte Trennungsfläche führe nunmehr unter Einfluß der Oberflächenspannung und der Schwere flache Schwingungen s = Ef{x, y, t) (mod £^) aus, worin £ einen Parameter in gewisser Umgebung von 0 bedeutet. In Ä wie in B mögen Geschwindigkeitspotentiale ^ scp^ bzw. ^ sq)^ (mod s^) gelten, welche der Laplac eschen Differentialgleichung genügen und deren negativ genommene Differentialquotienten nach den Koordinaten die be- züglichen Geschwindigkeitskomponenten darstellen. An der Trennungs- fläche haben wir einerseits für A, andererseits für B erstens die kine- matische Forderung einer zur Fläche tangentialen Relativgeschwindigkeit, zweitens für den dort geltenden Druck =^q -j- ap^ bzw. = jj^ -f ep^ (mod e^) das Integral der lebendigen Kraft und bestimmt sich drittens die Druck- differenz ^ £(p^ — p^) (mod £*) als KapiUardruck gemäß (10). Für lim E = 0, d. h. für unendlich flache Wellen werden diese Beziehungen: df _^'Pa _^'Pb Pa_^'Pa f Pb_^'Pb n ( _^x Va Vb ^ab\^x^^ dy'J dy' SoU noch A für lim^ = — oo, B für lim;2r = -}- oo ruhen, so wird aUen hier genannten Bedingungen in einer Weise, die zur additiven Kon- struktion ihrer allgemeinen Auflösung hinreicht, durch den partikulären Ansatz : f-n{e-""F(x,y)), q,j-^(-'j^-"-F), 9^= SR(^«-"-""F), genügt, worin 6, k reelle positive Konstanten sind, fR das Zeichen für den reellen Teil der dahinter aufgeführten Größe ist und wo dann noch aus den letzten Relationen die Beziehung: (21) (•)'=?^i + _^i zwischen k und 6 folgt. Wellen, die von y nicht abhängen, folgen bei dem Ansätze F= Ce'*^*"-^ und damit ist A = -y die Länge horizontal-zylindrischer, in einer Richtung 328 Zur Physik. a fortschreitender oder auch stehender Wellen von der Schwingungszahl — • Diese Beziehung (21) hahen Lord Kelvin*), ferner Kolacek**) gegeben; sie findet Anwendung auf die Fortpflanzung von Wellen einer unbegrenzten Wasserfläche unter der gemeinsamen Wirkung von Schwere und Kapillarität ohne Wind, ^^^ ferner auf solche erzwungene stehende Ka- ^."^^^ piUarschwingungen, bei denen die Knoten- ^y^' linien als parallele Geraden gelten können***). X»..-^^''' Der Gleichung (21) zufolge hat, (>^>(>3 \ / vorausgesetzt, die Fortpflanzungsgeschwindig- '' • """-~^_^^ keit c == -jT eiii Minimum c^ bei einer ge- wissen Wellenlänge A^^, mit welchen Größen O ^ dann (21) sich (21 a) | = |(^ + V") schreibt. (In Fig. 21 ist die hierdurch bestimmte Kurve in Z und c nebst den Kurven c^jc^^—kß^ und c^/c^=Y^m/^ dargestellt, um die Wir- kungen von Schwere und Kapillarität zu vergleichen.) Mit einem jeden Werte c^ c^ vertragen sich alsdann zweierlei Wellenlängen, eine kürzere X X h < ^m ^^^ ^^^® längere X^ > A^, wobei die Quotienten - und ■— reziprok sind. Die Wellen mit A < A^, bei denen in (21) der Term mit Tab gegen- über demjenigen mit g überwiegt, bezeichnet Lord Kelvin als „ripples". Für Wasserwellen in Luft ist etwa A„ = 1,75 cm, c,„ = 23,2 — • //* ' / //• SPP Lord Kelvin erörterte ferner den Einfluß des W'^indes auf die Ge- schwindigkeit von Wasserwellen. Hierbei wird die Annahme gemacht, daß die obere Flüssigkeit B für lim ^r = oo mit einer gegebenen Geschwindig- keit u in Richtung der a;- Achse fortschreitet. Bei der Wellenlänge A sind alsdann zweierlei Fortpflanzungsgeschwindigkeiten e„=jf-,»±l/e^-(^.< {,^'A möglich, wo c die durch (21a) bestimmte Geschwindigkeit für u = 0 ist. Ein imaginärer Wert der Quadratwurzel hier würde bedeuten, daß die un- verändert als Ausgangspunkt zu nehmende komplexe Partikulärlösung *) W. Thomson, Phil. Mag. (4) 42 (1871), p. 368; Edinburgh Proc. Roy. See. 1870/71, p. 374. **) Kolacek, Ann. Phys. Chem. 5 (1878), S. 425; 6 (1879), S. 616. ***) Vgl. die ausgedehnten Versuchsreihen von L. Grunmach, Wiss. Abh. d. iais. Nonnaleichungskommission, Berlin 1902, S. 101. Kapillarität. 329 nunmelir in ihrem reellen Teile Wellen mit beständig zunehmender Ampli- tude darstellt. Diese Instabilität kommt für sämtliche Wellenlängen nicht in Frage, sowie m < ^ c^ ist. Denkt man sich wieder Ä in horizontal-zylindrischer, von y nicht abhängender Bewegung derart, daß das von s = ö wenig abweichende, im übrigen aber völlig willkürlieh angesetzte Wellenprofil von A gleichförmig mit der Geschwindigkeit c in der a;-Richtung fortschreitet und anderer- seits Ä für 3 == — oo ruht, so gewinnt man durch das Integral der lebendigen Kraft an der Oberfläche von Ä und andererseits den Kapillar- druck eine Integralgleichung (Fouriersches Integral), um das Wellen- profil gerade einer willkürlich angenommenen Verteilung des äußeren Druckes jp^ an der Oberfläche anzupassen. Insbesondere wirkt eine mit einer Geschwindigkeit c >• c^ in der a;-ßichtimg schwimmende zur «/-Achse parallele Gerade, welche an ihrem Orte den Gesamtbetrag des Druckes auf die Längeneinheit um P vermehrt, während sonst der Druck p^ kon- stant sei, genau wie eine sprungweise Zimahme des Richtungskoeffizienten dz/dx des Wellenprofils um den Betrag 2P/Tab und ruft in einiger Ent- fernung vor sich her einfach-harmonische Wellen von der Länge A^ (< A^), hinter sich von der Länge Ag (> A^) hervor. — Eine gegen ihre Fort- schreitungsrichtung einen Winkel — 6 bildende Drucklinie wirkt dann, als wenn sie nur senkrecht gegen sich die Geschwindigkeit c cos 0 hat, woraus durch eine Integration nach d sich die W^irkung eines gleichförmig mit der Geschwindigkeit c schwimmenden, druck vermehrend wirkenden Punktes berechnet und insbesondere sich zeigt, daß ein solcher eine keil- förmige WeUenfront (man denke an das Bild von Schiffswellen) mit dem durch c cos ö = c^ bestimmten Öffnungswinkel 2 (-- — ö| vor sich hertreibt*). Die Berücksichtigung der inneren Reibung wird für flache, in einer Richtung fortschreitende Wellen auf einer reinen Wasseroberfläche derart zu geschehen haben, daß an der Oberfläche die Schubspannung gleich NuU angenommen, die Zugspannung dem Kapillardruck entsprechend be- rechnet wird. Ist ft der Reibungskoeffizient und v = ^ q ^, so findet man zu gegebener Wellenlänge A anstatt der früheren Fortpflanzungsgeschwin- digkeit c, wofern d- = 27tv/cX klein ausfäUt, (für Wasserwellen ist = 0,0048 cm), eine modifizierte WeUengeschwindigkeit == c(l — ]/2'9'H während zugleich die Amplituden einen Dämpfungsfaktor e " , also eine Relaxationszeit *) Lord Rayleigh, Proc. Lond. Math. Soc. 15 (1883), p. 69 (Sc. papers 2, p. 258). 330 Zur Physik. -^ (= 0,712 }? sec für Wasser) aufweisen*). Die beruhigende Einwirkung von Ol auf Wasser wellen wird dadurch erklärt**)***), daß zunächst infolge Überwiegens der Oberflächenspannung Ton Wasser gegen Luft über die Summe der zwei Oberflächenspannungen von 01 gegen Wasser und gegen Luft das Ol sich zu einer äußerst dünnen Haut auf dem Wasser auszieht und für die Oberflächenschicht mit der Beimengung von Ol dann elastische Eigenschaften zutage treten; ihre Spannung bleibt nicht länger konstant, sondern wächst, wenn die Dicke durch Streckung weiter zu reduzieren gesucht wird; dadurch wirkt sie gleichsam wie eine biegsame und schwer dehnbare Membran und hindert durch ihren Zug auf das darunter befindliche Wasser die freie Entfaltung und Fortpflanzung der Wellen. Infolgedessen ist, wenn man den Einfluß der inneren Reibung ermitteln will, nicht mehr, wie im Falle einer reinen Wasseroberfläche, mit der Grenzbedingung an der Oberfläche zu rechnen, daß dort die Schubspannung Null ist, sondern eher mit der anderen, daß dort die horizontale Geschwindigkeitskomponente Null seif). Für diesen anderen extremen Fall ergibt sich eine gegen die vorhin betrachteten Umstände im Verhältnis 4 y2Q- : 1 kleinere Relaxationszeit. Die kleinen Schwingungen einer Trennungsfläche von der Gestalt eines Kreiszylinders behandelte Lord Rayleighff), um von da aus die Stabilität der Flüssigkeitsstrahlen beurteilen zu können. Die Schwere wird nicht berücksichtigt. Es sei A innerhalb, B außerhalb des Zylinders be- findlich, It der Radius des Zylinders, seine Achse die ^-Achse, und r = 22 + Bf{z, 6, t) (mod £^), {x + iy = r&^), im lim « = 0 seine Schwingungsgleichung. Wird der äußere Druck in B konstant angenommen, was damit gleichwertig ist, Qß=^ zu nehmen, so kann man für das Geschwindigkeitspotential in A den partikulären Ansatz £9ft(Ce'(^— '^'+'»^)J"^(iÄ;r))(mod£2) machen, wobei J^ die Bes sei sehe Funktion erster Art von der Ordnung m bedeutet, und man gelangt durch die kinematische Bedingung und anderer- seits die Druckgleichung an der Oberfläche zu der Relation 2 _ ikEJ^jikB) ,.^ -n^ , in ^ab *) Vgl. H. Lamb, Hydrodynamics, 3"^ ed., Cambridge 1906, p. 563. [Deutsche Ausgabe, bes. v. J. Friedel, Leipzig 1907, S. 699.] **) Reynolds, Brit. Assoc. Rep. 1880 (Sc. papers 1, p. 409). ***) Aitken, Edinburgh Roy. Soc. Proc. 12 (1883), p. 56. t) H.Lamb, Hydrodynamics,3'^ed., Cambridge 1906, p.570. [Deutsche Ausg., S. 709.] tt) Lord Rayleigh, Lond. Proc. Math. Soc. 10 (1878), p. 4; Proc. Roy. Soc. 29 (1879), p. 71 (Sc. papers 1, p. 361, 377; Theory of sound, 2''^ ed. chapt. XX); in Kapillarität. 331 Für m = 0 wird ff^<0, falls JcR0, wobei sich als die WeUenränge größter Instabilität "^^"=6,48x2^ ergibt. Das erste Ergebnis findet Anwendung auf das Zerfallen eines Wasser- strahls in Luft, das zweite auf das Zerreißen eines durch Wasser geschickten Luftstrahls. Die Schwingungen für ;w == 2, 3, 4 treten prädominierend hervor, wenn der Strahl aus einer Ofl&iung von elliptischer, dreieckiger, quadratischer Form austritt. Die kleinen Schwingungen einer Trennungsfläche von der Gestalt einer Kugel erledigen sich ausgehend von dem gleichzeitigen Ansätze**)***) wobei der kinematischen Bedingung -^ — = -j— an der Oberfläche Rech- ° ° dr dr nung getragen ist; darin bedeuten r, 6, ijj Polarkoordinaten vom Kugel- zentrum, Yjni.^) ^) ^® Kugelflächenfunktion wi**' Ordnung, R den Radius der Kugel. Es stellt sich alsdann ö2= ni{m + l)(w - l)(-/w + 2) ^^ ({m + l)Q^ + mQs)B^ heraus. Das Ergebnis findet Anwendung auf die Schwingungen eines Wassertropfens in Luft, einer Luftblase in Wasser; in abfallenden Tropfen treten durch ein Nachwirken des Abreißens der Tropfen noch die Schwin- gungen 3. Ordnung (m = 3) her vor f). » Phil. Mag. 34 (1892), p. 146 (Sc. papers 3, p. 585) wird noch der Einfluß der inneren Reibung der Flüssigkeit in Betracht gezogen. *) Lord Rayleigh, Phil. Mag. (5) 34 (1892), p. 177 (Sc. papers 3, p. 594). **) Lord Rayleigh, Proc. Roy. Soc. 29 (1879), p. 71 (Sc. papers 1, p. 377). ***) Webb, Mass, of math. 9 (1880), p. 177. t) Lenard, Ann. Phys. Cham. 30 (1887), S. 209. 332 Zur Physik. II. Kapillarität als räumlich verteilte Energie. 13. Die Hypothese der Kohäsionskräfte. Die Kapillaritätserscheinungen ergeben sich als notwendige Folge- rungen aus einer Hypothese, wonach zwischen zwei materiellen Teilchen gleicher oder verschiedener Substanzen neben der Gravitation noch eine andere, nur von der Distanz abhängende Anziehungskraft in der Verbin- dungslinie wirksam ist, die man Kohäsionshraft nennt und deren Gesetz irgendwelcher Ai-t sein mag, nur daß sie mit wachsender Entfernung derart rasch abnimmt, daß sie bereits auf eine äußerst kleine, mikrosko- pisch nicht wahrnehmbare Distanz ganz außer Betracht fällt. Zunächst wurde das Ansteigen von Flüssigkeit in einer kapillaren Röhre allein mit einer von der Röhre auf die Flüssigkeit ausgeübten An- ziehung erklärt, die nach der Unabhängigkeit der Erscheinung von der Dicke der Röhre nur von den der Wand nächstgelegenen Partikeln aus- gehen konnte*). Clairaut**) erkannte es als notwendig, eine Anziehung der Plüssigkeitsteilchen untereinander mit in Rücksicht zu ziehen. Laplace***) konnte sodann eine vollständige Theorie der Kapillarität einzig mit der vorhin skizzierten Hypothese über die Kohäsionskräfte aufbauen. Laplace berechnete für eine Flüssigkeitsmasse, deren Teile gemäß jener Hypothese kohärieren, in der Hauptsache das Potential der Kohä- sionskräfte für eine Stelle der Oberfläche und fand es als eine lineare Funktion der mittleren Krümmung daselbst. Er betrachtete zunächst das Potential einer Kugel auf eine Stelle der Oberfläche, ging von da zum Potential eines durch zwei unendlich nahe Meridianschnitte der Kugel gebildeten Keiles über und approximierte endlich eine beliebige Flüssig- keitsoberfläche in der Nähe eines Punktes durch die dort aus den Krüm- mungskreisen der Nonnalschnitte erzeugte Fläche, d. i. ungefähr durch das Oskulationsparaboloid. Die Diff'erentialgleichung einer freien Ober- fläche erhielt er nunmehr aus dem Satze der Hydrostatik, wonach diese bei konstantem äußeren Drucke eine Fläche konstanten Potentials aller wirkenden Kräfte istf). *) Hawkesbee, London Trans. R. Soc. 26, 27 (17Ö9— 1713). **) Clairaut, Traite sur la figure de la terre, Paris 1743, chap. X. ***) Laplace, Theorie de Taction capillaire. t) Genauer gesagt, verfuhr Laplace so: er dachte sich in der Flüssigkeit einen unendlich schmalen Kanal gelegt, der am Anfang und Ende senkrecht gegen die Oberfläche einmündet, berechnete den durch die Kohäsionskräfte zustande kommen- den Druck auf einen Querschnitt des Kanals und brachte endlich das „Prinzip des Gleichgewichts in Kanälen" zur Anwendung. KapiUarität. 333 In einer zweiten Darstellung berechnete Laplace*) für eine Stelle der Flüssigkeitsoberfläche die tangentiale Komponente der gesamten dort ausgeübten Kohäsionskraft, wozu die Fläehengleichung an der Stelle bis einschließlich der Größen ^^^ Ordnung zu entwickeln ist, und erhielt die Gleichung der freien Oberfläche aus der Bedingung, daß an ihr die Resul- tante aus Kohäsion und Schwere stets normal zur Fläche steht. — Für die Konstanz des Randwinkels der Flüssigkeit an einem festen Körper hatte jedoch Laplace keinen Beweis, sondern zeigte nur, daß, wenn der Köi-per die Form von vertikalen Zylindern irgendwelcher Querschnitte hat, der Mittelwert des Kosinus jenes Winkels längs der ganzen Rand- kurve stets auf die nämliche Konstante führen muß. Diese Lücke in der Laplace sehen Theorie ergänzte Gauß**). Aus- gehend von dem Prinzip der virtuellen Verrückungen für einen Gleich- gewichtszustand formte Gauß dieses Prinzip zu der Forderung eines Minimums der potentiellen Energie um und betrachtete nunmehr die ge- samte potentielle Energie der ins Spiel kommenden Kohäsionskräfte. Diese Energie erscheint in Form eines Doppel-Raumintegrals. Für jede Raum- integration läßt sich eine lineare ausführen, wobei ein Term proportional dem Volumen und ein zweiter proportional dem Flächeninhalt der Ober- fläche besonders heraustreten, und von dem übrig bleibenden Doppel- Oberflächenintegral wies Gauß nach, daß bei der Laplaceschen Annahme über das Abnehmen der Kohäsionskraft die Vernachlässigung desselben geboten ist, insofern als verglichen mit der Distanz, auf die allein die Kohäsionskräfte in Betracht kommen, die Krümmungsradien der Oberfläche als unendlich groß, die Fläche als nahezu eben gelten darf. Aus dem extremalen Charakter der potentiellen Energie entnahm sodann Gauß nach den Methoden der Variationsrechnung (ungefähr wie oben in Nr. 3 und 4 dargelegt ist) die Differentialgleichung für die freie Oberfläche, dann aber auch den Beweis für den Laplaceschen Satz vom konstanten Randwinkel. 14. Potentielle Energie der Eoliäsion in einem Medium. Die von Gauß vorgenommene Transformation der Energie von Ko- häsionskräften***) läßt sich gegenwärtig als eine zweimalige Anwendung des Greenschen Satzes darstellen. *) Laplace, Suppl. ä la theorie de l'act. capill. •*) Gauß, Principia generalia, Göttingen 1^30. — Selbstanzeige der Abb.: Gott, gel. Anz. 1829, (Werke 5, S. 287). ***; Yereinfuchte Darstellungen dieser Transformation gaben Bertrand, Journ. de matb. (1) 13 (1848), p. 185; Weinstein, Ann. Pbys. Cbem. 27 (1886), S. 544. — L. Boltzmann, Ann. Phys. Cbem. 141 (1870), S. 682 setzte Summatiouen über Mole- küle an Stelle der Integrationen. 334 Zur Physik. Wir betrachten zunächst die Kohäsionsenergie innerhalb eines einzelnen homogenen Mediums Ä. Seine Dichte heiße p; zwischen je zwei Volumen- elementen dv, dv' von Ä an den Stellen x, y, z und x, y\ z im Abstände r wirke als Kohäsion eine Anziehungskraft = Q^dvdv'g)(r), wo g)(r) in später noch genau festzusetzender Weise mit zunehmendem r rapide nach Null sinken soll. Führt man 00 «0 / {r), j r^ip(r)dr == %(/) r r ein, so läßt sich die gesamte potentielle Energie dieser Kohäsionskräfte für A\ (22) -^Q'ffrj;{r)dvdv' ^^JJ Kdx'dx'^ dy' dy'^ dz dz dvdv schreiben, wobei einerseits dv, andererseits dv' unabhängig voneinander das ganze Volumen von Ä zu durchlaufen hat und der Faktor — vorzu- setzen ist, weil auf diese Weise jedes Paar von Elementen dv, dv zweimal in Betracht kommt. Fassen wir zunächst die Integration nach dv' bei festgehaltenem dv ins Auge, so können wir den zweiten Ausdruck in (22) nach dem Greenschen Satze umformen, wobei wir die Laplacesche Differentialgleichung für 1/r verwenden, aber infolge der Unstetigkeit von l/r an der SteUe dv noch aus dem Integrationsräume für dv' eine kleine Kugel um dv auszuscheiden haben, deren Radius wir schließlich nach Null konvergieren lassen. Bezeichnen wir mit df (später auch mit df) ein Oberflächenelement von Ä, mit n (and n) die äußeren Normalen dort, so transformiert sich nunmehr (22) in: - 2^Q'xiO)fdv-^Q'fdvfx(r)^,dr. Im ersten Term hier ist f dv = Va das gesamte Volumen von Ä. Im zweiten Term kehren wir die Integrationsfolgen um, führen Jx(r)dr = d-{r) ein und beachten, daß r nur von den Differenzen x — x\y — y, z — z abhängt, ferner ist. Wir können alsdann diesen zweiten Term •/-/(' Kapülarität. 335 d»ir)p^,d- a^(r)|Aa- a^wÄ^A sckreiben und erhalten die Mögliclikeit, ein zweites Mal bei der Integration nach dv die Formel für Produktintegi-ation, den Green sehen Satz, in An- wendung zu bringen. Hier liegt die Unstetigkeit von Ir jedesmal an einer Oberflächenstelle df und ist deshalb aus dem Integrationsraume für de nur der in den Bereich von Ä fallende Teil einer kleinen Kugel um diese Stelle auszuscheiden, d. i. hernach bei unendlich abnehmendem Radius der Kugel wesentlicb eine Halbkugel, außer an den Stellen, wo eine Schneide der Oberfläche von Ä vorhanden ist. Hiemach transformiert sich der letzte Ausdruck, indem noch / j—,df über die Halbkugel ihre Projektion auf die Tangentialebene in df darstellt, in wo / df = F den Flächeninhalt der Oberfläche von A bildet. Schreiben wir noch (23) K=2nQ^xiO), H=:tQ'»(P), so resultiert endlich der folgende Ausdruck für die Energie der Kohäsions- kräfte innerhalb A: (24) £= - KV + ^HF- -l-f'fß,lll^»ir)äfär. Damit die Integrale für •9"(r), 3j(/*), ^(r) einen Sinn haben, nehmen wir an, daß mit wachsendem r jedenfalls rx{r)f sodann /^^(r), i^fp{r) noch hinreichend stark nach Null konvergieren. Des weiteren nehmen wir an, daß für mikroskopisch meßbare r schon g)(r), ^(»*), xCO? "^C^) außer Betracht fallen imd erst bei weit stärkerer Annäherung des r an Null x(r) und Q'(r) endliche Größe erlangen und dann bestimmten oberen Grenzen 3j(0) und '^•(O) zustreben; es ist hierfür notwendig und hinreichend, daß r^xl){r) für lim r = 0 nacb Null konvergiert. Bezeichnet man als WirJcungsradiiis für die Kohäsionskräfte eine solche Größe r^, wofür eben noch d-ir^) gegen 'O'(O) zu vernachlässigen ist, so ersieht man aus HO) - »{r,) =fx(r)dr < x{0)r,, 0 daß -^ eine äußerst kleine Länge, allenfalls von der Ordnung von r^^ sein wird. Um das Doppel-Flächenint«gial in (24) abzuschätzen, führen wir dort durch j ^ = do' den körperlichen Winkel ein, unter dem das Element 336 Zur Physik. df von der Stelle von df erscheint. Jenes Integral schreibt sich dann (25) ^^^'ßfJll^r)do'. Nun ist nur für kleine >'(<*'o) der Faktor &■(/) von merklicher Größe, und für solche r < /"o andererseits ist dr/dn angenähert = r/E, unter R den Krümmungsradius desjenigen Normalschnittes für die Stelle df, der durch df führt, verstanden. Sind also die Krümmungsradien der Ober- fläche von Ä überall als gegen Tq äußerst groß zu betrachten, so erscheint die Vernachlässigung des Integrals hier geboten und reduziert sich damit der Ausdruck (24) auf (26) E=-KV-\-~HF. Ein Ausnahmefall wird statthaben, wenn die Oberfläche Ä eine Partie @ von endlicher Ausdehnung aufweist, zu der eine andere Partie ©' von ihr fortwährend in äußerst kleinen Abständen verläuft, wie z. B. wenn die Flüssigkeit sich in einer äußerst dünnen Schicht an einem festen Körper entlang zieht. Auch längs 'S und ©' mögen die Krümmungsradien nicht unter eine gegen r^ äußerst große Grenze sinken. Faßt man in dem Integral (25) ein Element df innerhalb @ mit der ganzen Partie @' zu- sammen auf und fällt ein Lot von df auf ©', dessen Länge s sei, so kann in denselben Fehlergrenzen, wie sie vorhin galten, ©' als eine un- begrenzt ausgedehnte Ebene senkrecht auf dieses Lot betrachtet und, indem man 7^—7 == — = cosr einführt, aus konzentrischen Ringen um das cn ff} ö Lot, die von df in körperlichen Winkeln 2 n sin ydy erseheinen, aufgebaut werden; dazu kann wegen der annähernden Parallelität von df zu ©' der Faktor dr/dn in (25) durch dr/Bn ersetzt werden, wodurch für den be- treffenden Anteil aus (25) sich ergibt 2 Wird nun 2 oe ^Q^df I 2 7t sin y C0By%(?')dy = — jiQ^df j —^{r)dr. 00 00 e (r) = 2r^ f^ dr = ^(r) + r^ß-^ dr r r eingeführt, wobei 0(0) = O'(O) ersichtlich ist, und beachtet man, daß im Doppelintegral (25) sowohl eine Kombination @, @' wie ©', @ auftritt, so kommt schließlich wegen der Flüssigkeitsschicht zwischen (r) dort durch —r(p{r) ersetzt. Dabei würde dann an Stelle von %(/•) die Funktion -\Jr\{r)dr = -\r'^l,{r)-^Jr^^{r)dr = -^f^rl>{r)-^l{r), r r weiter an Stelle von O-(r) die Funktion X OB -Yf^Hr)dr-^fxir)dr = -|rz(r) - 2^(r) r r ZU treten haben und also die Rolle der Konstanten x{^)} ^i^) ^^^ 3 — ^z(O), —2^(0) übernommen werden. Der Formel (26) entsprechend resultiert dann als Ausdruck jenes Gesamtvirials: (29) ^KV-HF. 15. Potentielle Energie der Adhäsion zweier Medien. Grenzt Ä an ein zweites Medium B, so mögen zwischen den Teilchen von Ä und denen von B Anziehungskräfte wirksam sein, die hinsichtlich ihrer Abnahme mit der Distanz analogen Charakter tragen wie die Ko- •) Van der Waale, Zeitschr. f. physik. Chem. 18 (1894), S. «67. Minkowski, G««ainmelte AbluuidlaiigeD. IL 22 338 Zur Physik. häsionskräfte innerhalb Ä, und die man hier im Falle verschiedener Substanzen wohl auch als Adhäsionskräfte bezeichnet. Die den Funktionen (p{r), il^ir), 'i{r), ^(r), 6(r) oben entsprechenden Funktionen für das neue Anziehungsgesetz mögen in derselben Weise unter Anfügung der unteren Indizes AB bezeichnet werden, während die früheren Funktionen den Index A erhalten mögen. Die gesamte Energie dei Adhäsion von B auf A berechnet sich der Formel (22) analog mit B A WO dv die Volumenelemente von A, dv diejenigen von B zu durchlaufen hat. Ein Faktor - ist jetzt nicht hinzuzusetzen, weil die Räume von A und B völlig getrennt sind. Der Ausdruck hier gestattet wieder die zwei entsprechenden Umformungen mittels des Greenschen Satzes. Aber in der ersten Umformung, wobei etwa unter Festhaltung der einzelnen dv operiert werde, tritt kein Raumintegral besonders heraus, weil jetzt 1/V im Integrationsraume B keine Unstetigkeitsstelle hat, in der zweiten hernach kommt bei festgehaltenem Oberflächenelement df von B eine Diskontinuität von l/r im Integrationsraume A nur für solche Elemente df in Betracht, die gerade der Trennungsfläche von A und B angehören, nnd hat alsdann für die um df herum aus dem Integrationsraume A /'dr ö— 7 df wegen der anders liegenden Normale n entgegengesetzten Wert wie oben. Infolge dieser Umstände erlangt endlich nach der wie oben vorzunehmenden Vernach- lässigung die potentielle Energie der Adhäsion von B auf A den Ausdruck (31) -^9aQb^ab(9)F,s=-H^bF^„ wo Fa b den Flächeninhalt der Trennungsfläche von A und B bezeichnet. Nehmen wir jetzt den typischen Fall von drei zusammentreffenden Medien A, B, C an und bezeichnen ihre Volumina V, ihre Konstanten K und H mit den entsprechenden einzelnen Indizes, die Flächeninhalte ihrer Trennungsflächen und deren Konstanten H mit entsprechenden zwei Indizes, während ihre an weitere Medien angrenzenden Flächen hier nicht als veränderlich in Frage kommen sollen, so haben wir als veränderlichen Teil der potentiellen Energie der in ihnen wirkenden Anziehungskräfte: (32) (I Ha + \Hb - Hab)Fab + {y^a + Y^c - Hac)Fac + [y^b + y^c- Hbc)Fbc- Ka Va-Kb Vb-KcVc. So lange die Volumina sich nicht ändern, kommen wir damit auf den Ansatz in Nr. 2 zurück, wobei die Oberflächenspannung zweier Medien Kapülarität. 339 A und B durch (33) Tab= y-^-i + Y^ß —Sab gegeben erscheint. Im Falle ()^=0 gesetzt werden kann, folgt einfach Tab=^Sa. Stellt G einen festen Körper vor und darf p^ = 0 gesetzt werden, so folgt für den Randwinkel o^ von A am Körper gemäß Gl. (8): (34) cos (D^ = ^- ; der Winkel ra^ ist spitz oder stumpf und es findet demgemäß, falls C ein vertikaler Zylinder ist, ein Ansteigen oder eine Depression von ^ an C7 hinsichtlich der Niveauebene statt, je nachdem 2Hac> Sa oder < Sa ist (d. h. wenn man so sagen will, der Meniskus vom Körper eine mehr oder weniger als doppelt so starke Anziehung wie von der Flüssigkeit erTährt*). Die Relation (34) ist unmöglich, wenn Sac> Sa ist. Nehmen wir jedoch an, daß alsdann sich die Flüssigkeit A noch in einer äußerst dünnen Schicht an einer Partie © der Wand von C entlang zieht, und verstehen wir jetzt unter Fab, Fac nur die Flächeninhalte der betreffenden Trennungsflächen abgesehen von dieser Schicht, so würde im Hinblick auf (27) und auf die Relation '9-(0) = ö(0) zum Ausdrucke (32) in. der gesamten Energie noch ein Term hinzutreten: erstreckt über die Fläche @, wobei s die Dicke der Schicht am Elemente df von S bezeichnet. Bei geeignetem Kraftgesetz, z. B. dem in (28) an- geführten, würde damit die Möglichkeit einer VeiTingerung der potentiellen Energie vermöge der Schicht vorliegen; also müßte dann eine solche Schicht (Benetzung der Wand) zustande kommen und dadurch am Rande der wahrnehmbaren Trennungsfläche der Randwinkel Null entstehen**). 16. Eingehen der Kohäsion in die Beziehung zwischen Dichte und Druck. Das Auftreten des Terms — KV m der Energie einer Flüssigkeit A ist nach hydrodynamischen Prinzipien gleichbedeutend mit der Annahme, daß im Inneren von A neben dem sogenannten hydrostatischen Druck ein weiterer konstanter Druck K herrscht. Schreibt man Ä^ = ap', so hängt a *) Clairaut, Trait^ bot la figure de la terre, Paris 1748, chap. X. **) Gauß, Principia generalia, art. 32. 22* 340 Zur Physik. nur von dem Kraftgesetz g){r), nicht von der Dichte q^ ab. Stellt man sich unter B den gesättigten Dampf der Flüssigkeit Ä vor, so hat daher eine Menge M der Substanz — , homogene kontinuierliche Massenverteilung bis zu den Grenzen und Unabhängigkeit des Kohäsionsgesetzes von der Temperatur angenommen (wegen allgemeinerer Vorstellungen siehe den Enzyklopädie-Artikel V 10 von Kamerlingh Onnes) und vorausgesetzt auch, daß nicht etwa F/V gegen I/Tq in Betracht kommt — , in flüssiger M Phase die Energie —K — = — üq^M, in dampfförmiger die Energie " A M — üQ^ — = — UQ^M und wird deshalb ct{Q^— Qß) als die innere latente spezifische Verdampfungswärme (siehe ebenfalls Enzyklopädie V 10) ange- sprochen*). (Die additive Konstante in der Energie war derart fixiert, daß der Wert Null für die Energie als obere Grenze bei Auflösung des Mediums in lauter unendlich weit voneinander entfernte Volumenelemente entsteht.) In denjenigen Erscheinungen, welche bei konstantem Volumen vor- gehen, kommt die Größe K gar nicht zur Geltung, während doch der erste Term — KV in der Energie den anderen -r-^i^ außerordentlich überwiegt. Aufschluß über die Größe von K kann deshalb nur von Vor- gängen erwartet werden, die mit Änderungen der Dichte verknüpft sind, und van der Waals**) hatte deshalb die Idee, zunächst theoretisch das Eingehen dieser Größe in die Beziehung zwischen Druck und Dichte bei konstanter Temperatur zu untersuchen. Der Ableitung dieser Beziehung legte van der Waals den Virialsatz von Clausius zugrunde***). Der Satz kommt bei folgenden Anschauungen zustande: Die Materie ist nicht kontinuierlich verteilt, sondern besteht aus Molekülen; diese unterliegen neben den Laplace sehen Kohäsionskräften weiteren repulsiven Kräften (Zusammenstößen) und sind dadurch in nicht sichtbaren Bewegungen be- griffen, und zwar dergestalt, daß man bei Vergleichung ihrer Bewegungs- zustände in irgend zwei Momenten t und t -\- t sich angenähert vorstellen kann, die Teilchen hätten nur untereinander Ort und Bewegung gewechselt. Jedenfalls soll, wenn man den Mittelwert von der kinetischen Energie der progressiven Bewegung der Moleküle über den Zeitraum t his t -{- t bildet, gegen diesen Mittelwert der Differenzenquotient irl dI.m{x^-}-y*-\-z^y+-' VLT dt ]( schon bei verhältnismäßig kleinem t zu vernachlässigen sein; darin ist die *) Dupre, Theorie mecanique de la chaleur, 1869, p. 152. **) Van der Waals, Die Kontinuität des gasf. u. flüss. Zustandes, Leipzig 1881: ***) Vgl. auch Maxwell, Sc. papers 2, p. 407, 418; H. A. Lorentz, Boltzmann- Festschrift (1904), S. 721 (abgedr. in Abb. üb. theor. Phys. 1 (1906), S. 192). Kapülarität. 341 Summe über alle Moleküle zu erstrecken und bedeuten tn die Masse, x, y, z die Koordinaten des Schwerpunktes eines Moleküls. Eine partielle Inte- gration transformiert nun diesen Mittelwert der Energie bei der ange- gebenen Vernachlässigung sofort in das mittlere Virial der in den Molekülen angreifenden Kräfte, über den Zeitraum ^ bis ^ -f- x. Nun ist nach den Prinzipien der Gastheorie jenes Mittel der Energie der progressiven Be- 3 i? wegung —^qVT, wo jR die universelle Gaskonstante, J/ das Molekular- gewicht, () F die Gesamtmasse, T die absolute Temperatur der Flüssigkeit vorstellt. Das Yirial der Kohäsionskräfte berechnet sich unter der Voraus- setzung, daß der Wirkungsradius noch sehr groß gegen die Größe der Moleküle ist, wie bei kontinuierlich homogen verteilter Masse und ist daher nach (29) gleich —aq^Y zu setzen. Das mittlere Virial des auf die Oberfläche wirkenden konstanten Druckes p findet sich durch Zerlegung des Volumens in die Elementarpyramiden mit dem Nullpunkte als Spitze 3 und den Oberflächenelementen als Grundflächen unmittelbar = — j) F. Das mittlere Virial der repulsiven Kräfte berechnet sich nach den Methoden der Gastheorie und läßt sich schreiben als ein Bruchteil ;; — %r- der mitt- 1 — oq leren Energie der progressiven Bewegung, worin h annäherungsweise als konstant gilt und mit dem von den Räumen der Moleküle in einer Massen- einheit besetzten Räume in Verbindung gebracht wird (über die Abhängig- keit der Größe & von Volumen und Temperatur siehe weiteres im Artikel Kamerlingh Onnes, Enzyklopädie V 10). Damit resultiert endlich die van der Waalssche Zustandsgieichung in der Form Aus beobachteten Daten berechnet sich auf Grund dieser Beziehung bei 0° und 1 Atm. Druck für Wasser K= 10500 Atm., für Äther K = 1430 Atm., während der Quotient H/K, der als Maß für den Wirkungs- radius der Kohäsionskräfte dient, für Wasser 15 -10"^ cm, für Äther 29- 10- 5 cm beträgt. 17. Theorien zur Termeidung von Diskontinuitäten der Dichte. Der Laplaceschen Kapillaritätstheorie liegt die Annahme durchweg homogener Flüssigkeiten zugrunde. Poisson*) führte aus, daß an den Grenzflächen einer Flüssigkeit eine rapide Änderung der Dichte statthaben *) Poisson, Nouvelle theorie de l'action capillaire. — Ejritische Bemerkungen znr Theorie von Poisson lieferten Minding, Doves Repert. d. Phys. Bd. 5; J. Stahl, Ann. Phys. Chem. 139 (1870), S. 239; B. Weinstein, Ann. Phys. Chem. 27 (1886), S. 644. 342 Zur Physik. müsse, und trug diesem Umstände Rechnung, zugleich in der Absicht, die Schwierigkeiten zu beheben, welche in der Annahme von Druck- diskontinuitäten an Trennungsfiächen liegen. In der P o i s s o n sehen Theorie modifizieren sich nicht die Gleichungen für die Kapillaritätsphänomene, sondern nur die Bedeutung der zwei Konstanten K und K für das Gesetz der Kohäsionskräfte. Maxwell*), Lord Rayleigh**), van der Waals***) verfolgten die Annahme einer stetigen Variation der Dichte an den Trennungsflächen in ihren weiteren Konsequenzen. Als einfachster Fall wird das Gleichgewicht einer Flüssigkeit A in Berührung mit ihrem gesättigten Dampfe H be- handelt. Von der Schwere soll abgesehen werden. Der ganze Raum von Flüssigkeit und Dampf werde von Flächen, auf denen jedesmal die Dich- tigkeit konstant ist, durchzogen; transversal zu diesen variiert der Wert der Dichtigkeit rapide innerhalb einer äußerst schmalen Schicht und kommt nach der einen wie nach der anderen Seite sehr bald bestimmten Grenzwerten q^ bzw. q^ nahe. Für die vollständige Durchführung des durch hydrodynamische (oder thermodynamische) Prinzipien gelieferten Ansatzes hat sich ein spezielles Kraftgesetz der Kohäsion als hervorragend geeignet erwiesen f), das nun hier sogleich zugrunde gelegt werde, nämlich das in (28) angeführte, wobei die Potentialfunktion für zwei Masseneinheiten in einer Entfernung r durch r dargestellt wird und /c wie c positive Konstanten sind. Das von der ge- samten Masse der Substanz {A und 5) herrührende Potential auf eine Masseneinheit an einer Stelle aj, y, z ist dann wo das Integral sich über alle Volumenelemente dv der Substanz erstreckt und r die Entfernung des Aufpunktes x, y, z vom Elemente dv bezeichnet. Diese Funktion ^{x, y, z) genügt nun im Räume der Substanz überall der Differentialgleichung (36) AV - g + i;? + 0 - »^T + i«hf, und auf Grund dieser Beziehung kann das vorliegende Kraftfeld anstatt *) Maxwell, Capillary action (Sc. papers 2, p. 541). **) Lord Rayleigh, Phil. Mag. 33 (1892), p. 209 (Sc. Papers 3, p. 513). ***) van der Waals, Zeitschr. f. phys. Chemie 13 (1894), S. 657; H. Hulshof, Ann. Phys. Chem. (4) 4 (1901), S. 165. t) van der Waals, 1. c. S. 706. Kapillarität. 343 als Ton Femkräften herstammend auch als ein ursprünglich gegebener Spannungszustand in der Substanz folgendermaßen beschrieben werden*). Es werde ^(c'^'- «=) = I. , ^ (c'N'« +') = I, gesetzt; die Substanz erscheint von den gerichteten „Kraftlinien", die senk- recht zu den Flächen Y = konst. von größeren zu kleineren Werten von Y führen, durchzogen: an jeder Stelle herrscht in Richtung der dort durch- laufenden Kraftlinie und in der entgegengesetzten Richtung eine Zug- spannung Zj, in allen Richtungen senkrecht dazu eine Zugspannung Z^, dergestalt, daß für jeden abgeschlossenen Teil I der Substanz sich die Komponenten und Drehungsmomeute der von dem übrigen Teil 11 auf I ausgeübten Kohäsionen genau wie aus der Verteilung dieser Spannungen auf der Oberfläche von I berechnen. In einer sehr geringen Entfernung von der Ubergangsschicht ist bereits nahezu V konstant, Null, und Z^ = Z^ erklären die frühere Ko- häsion K, in der Ubergangsschicht resultieren aus der Differenz Z, — Z, die Erscheinungen der Oberflächenspannung. Nach hydrodynamischen Prinzipien ist für das Gleichgewicht des Systems Flüssigkeit und Dampf bei gleicher Temperatur erforderlich, daß das vollständige Diiferential (37) d^' = - — und darin TT eine nur von Dichte und Temperatur der Stelle abhängige Funktion ist, die als thermischer Druck**-) angesprochen wird. Schreiben 2 ick wir — j- = a, 80 ist nach (36) in einiger Entfernung von der Ubergangs- schicht, wo die Flüssigkeit homogen erscheint, ¥ = — 2aQ^, und wo der Dampf homogen erscheint, Y = — 2aQ^. Wir setzen allgemein TT ==p -|- ag^ und nennen p den hydrostatischen Dru€k\ nach beiden Seiten von der Schicht fort wird dann p sich einer und derselben Konstante p^ nähern, dem äußeren Drucke, Sättigungsdrucke des Dampfes. Die Gleichung (36) schreibt sich noch im Hinblick auf (37): (38) AY = - c^ß % PofO *) G. Bakker, Zeitschr. f. phys. Chemie 48 (1904), S. 17. **) Diese Bezeichnung gebraucht Tan der Waals; für denselben Begriff sagt H. A. Lorentz (Z. f. physik. Chem. 7): kinetischer Druck. k 344 Zur Physik. Nunmehr wird angenommen, daß die Abhängigkeit des p von q und der Temperatur auch in der Übergangsschicht durch eben dieselbe van der Waalssche Formel (35) wie in den homogenen Phasen dargestellt wird, was freilich mehr an die Macht dieser Formel glauben heißt, als es in ihrer Ableitung eine Stütze fände. Die dadurch gegebene Kurve für p als Funktion des wachsenden Arguments IJQ (siehe Artikel Kamerlingh Onnes, Enzyklopädie V 10) verläuft in dem Intervalle l/()^ bis l/()g zwi- schen den zwei Punkten p^, 1/q^ und p^, ^/q^ ab-, auf- und wieder ab- steigend, zuerst unterhalb der Geraden p =Po ^^^ ^^ einem gewissen Treff- punkte mit ihr, hernach oberhalb derselben, und auf ihrem ersten unterhalb p = Pq liegenden Stücke muß es offenbar einen bestimmten Punkt p^, I/q^ geben, für den das bis dahin auf der Kurve genommene Integral = 0 Po,q, ist (Fig. 22). Für diese Stelle der Kurve ist dann nach (38):AY = 0. Die der Wellenlinie {q^ > () > q^ entsprechenden Kombinationen p, IJq sind für homogene Phasen instabil, in der Übergangsschicht findet van der Waals sie nun stabil. Wird (37) auf einem Wege aus dem homogenen Inneren der Flüssig- keit nach dem homogenen Inneren des Dampfes integriert, so entsteht Po,Q, f^=0 über jene Wellenlinie, genau die Formel, welche Fig. 22. Clausius und Maxwell zur Bestimmung des Druckes Pq des gesättigten Dampfes vermöge der Isotherme durch Anwendung des zweiten Hauptsatzes der Wärme- theorie auf labile Zustände aufgestellt haben. Es mögen nun die Flächen konstanter Dichte speziell als eine Schar paralleler Ebenen 3 = konst. angenommen werden. Die Differentialgleichung (37) schreibt sich dann dz'' und liefert integriert = c^V + 4ütJcQ = c'^f - 47tJc dT[ Für Q=Q^, p = pj_ geht m-^^' dz* S7iJc{p-\-aQ^ — pQ). abnehmend durch NuU hindurch, erlangt Kapillarität. 345 also -T- = 0(^) seinen größten Wert i =YS7tJc(jp^— p^); hierliin werde e = 0 gelegt. An Stelle der früheren Oberflächenspannung tritt jetzt 1^ =J(i, - z.) d, = ^J(t>i0)yci^, auf der ^r-Achse aus der homogenen Flüssigkeit nach dem homogenen Dampfe genommen. Die Kurve für O (^) als Funktion von z verläuft beiderseits von z = 0 sehr bald asymptotisch an die -?- Achse. Wird sie durch das oberhalb der ^-Achse liegende Stück einer sie im Scheitel berührenden Parabel — I und die links und rechts daran ansetzenden Stücke z ^ — Zq und Zq^ z der ^- Achse bei gleichem Flächeninhalt über der if-Achse angenähert ersetzt, so folgt 2^ 5 c* ' 15 —S . Ci während zugleich 2zq = — —^ — ungefähr als diejenige Dicke der Uber- gangsschicht aufzufassen wäre, innerhalb deren die inhomogenen Ver- hältnisse hervortreten. In einer jüngsten Arbeit sucht Bakker*) durch seine Theorie die Beobachtungen von Reinold und Rücker**) zu erklären, welche fanden, daß Seifenlamellen an den dünnsten Stellen, die durch ein diskontinuier- liches Auftreten von schwarzen Flecken gekennzeichnet sind, eine Dicke von rund 10"^ cm haben und unmittelbar daneben plötzlich auf eine Dicke von rund 5 -10"® cm ansteigen. Bakker berechnet daselbst die Konstante Je für Wasser /.• = 7,53 • lO^» bei T = 325», für Äther k = 1,54 • 10^3 bei T = 125». 18. Entropie und Massendichten einer Trennungsfläche. Wenn zwei aneinander grenzende Flüssigkeiten A und B sich im Gleichgewicht, auch in thermischer und chemischer Hinsicht, befinden und sie auch schon in sehr geringer Entfernung von der Trennungsfläche homogen erscheinen, wird doch eine jede in der unmittelbaren Nachbarschaft der Grenze durch den Einfluß der anderen verändert sein. Gibbs***) hat einen Ansatz entwickelt, um diesen Einflüssen Rechnung zu tragen, ohne *) G. Bakker, Zeitschr. f. phys. Chemie 51 (1905), S. 344. **) Proc. Roy. Soc. 26 (1878), p. 334; Phil. Trans. 172 (1882), p. 447; Phil. Trans. 174 (1884), p. 645; Ann. Phys. Chem. 44 (1891), S. 778. ***) Gibbs, Equilibrium of heterogeneous substances, p. 380. 346 Zur Physik. irgendeine Hypothese bezüglich molekularer Anziehungskräfte zu machen. Die inhomogene Übergangsschicht zwischen Ä und B ist erfahrungsgemäß von äußerst geringer Dicke. Man wähle irgendeinen Punkt in dieser Schicht und lege eine Fläche durch ihn und aUe anderen Punkte in der Schicht, welche hinsichtlich der unmittelbar angrenzenden Materie ent- sprechend liegen; diese Fläche heiße Teilungsfläche. Die Wahl der Fläche ist noch einigermaßen willkürlich; man wird annehmen können, daß man sie beliebig aus einer Schar sehr nahe gelegener Parallelflächen, welche die ganze Schicht ausfüllen, herausgreifen kann. Die in Ä, B und in der Übergangsschicht in Betracht kommenden StofPverbindungen mögen sich aus den Stoffen a, h, . . . als unabhängigen Bestandteilen aufbauen lassen. Für das ganze aus A, B und der Übergangsschicht bestehende Gebilde sei JJ die gesamte, innere Energie, S die gesamte Entropie und seien 31^, Mf,, . . . die gesamten Massen von a, b, . . . Wir bezeichnen mit F', V" die Volumina von A und B, gerechnet bis zur Teilungsfläche, mit F den Flächeninhalt der Teilungsfläche. Weiter seien u', s', qJ, p/, ... die räumlichen Dichten der Energie, Entropie bzw. diejenigen der Bestand- teile a, b, . . . im Räume von A dort, wo A homogen erscheint, und u", s", qJ', q^', ... die entsprechenden Dichten für J5, wo B homogen erscheint. Die Quotienten aus den Differenzen ü- F'u'- r'u", S- F's'- F"s", M^- F>;- F>;', . . . durch den Flächeninhalt F endlich schreiben wir u, s, ca^, Wj,, . . .; diese Quotienten heißen die Flächendichten der Energie, Entropie und der Massen- bestandteile für die Teilungsfläche zwischen A und B. Es wird angenommen, daß u' eine Funktion der Argumente s', qJ, ()/, . . ., desgleichen u" eine Funktion der Argumente s", qJ', q^', . . . ist, und nunmehr die weitere Annahme eingeführt, daß auch u nur eine Funktion der Argumente s, C3^, Oj, . ; . ist (vgl. hierzu die am Anfange von Nr. 6 berührte allgemeine Auffassung der räumlichen Energiedichte), und es wird daraufhin die Charakterisierung des Gleichgewichtszustandes durch das thermodynamische Prinzip geleistet, daß U ein Minimum bei kon- stanten Werten von S, M^, M^^, . . . ist. Dieser Ansatz, soweit er die homogenen Massen betrifft, ist bereits im Artikel Bryan, Enzyklopädie V b Nr. 26, zur Sprache gekommen. Hier soll es sich nur darum handeln, die besonderen Konsequenzen, welche aus der neuen Annahme einer Übergangsschicht fließen, zu verfolgen. Entwickelt man das vollständige Differential (39) du = Td^ + ii^d(o^ + fAj(?Oj H , so ist T die Temperatur und ^^, ^j, . . • heißen die Potentiale für die Bestandteile der Übergangsschicht. Zum Gleichgewicht ist erforderlich. Kapillarität. 347 daß die Temperatur dieselbe wie in den angrenzenden homogenen Massen ist, weiter daß für jeden Bestandteil der Schicht, der auch in einer an- grenzenden homogenen Masse vorkommt, das Potential das gleiche wie dort ist. Kommt ein Bestandteil nur in der Schicht vor, so ist für ihn dagegen die Flächendichte in der Schicht von vornherein angewiesen. Aus (39) folgt d{Fn) = Td{Fs) + 6dF + (i,d(F , (HI) curlc + |f = 0, (IV) div m = Q. Ich wül nun schreiben x^^, x^, x^, x^ für x, y, z, it (i =)/— 1), weiter Pi; 9i, 9s, 94. für (>»„ qXD^, qW„ iQ, 23» 356 Zur Physik. d. s. die Komponenten des Konvektionsstromes qUo und die mit * mul- tiplizierte Rauradichte der Elektrizität, ferner /88> /81> /12? tut /24; /34 für in„ m^, m„ - it„ - it^, - it^, d. s. die Komponenten von m bzw. — ic nach den Achsen, endlich noch allgemein bei zwei der Reihe 1, 2, 3, 4 entnommenen Indizes h, Je tkh ^^ Ihkl dx^ ' dx.^ ' ^«4 = Qu dx^ dxg ~^ dx^ = ?2; ^fsi 1 ^fsi , 3/84 3a;, dx^ dx^ = C37 ^fil 1 3/42 1 ^fiB dx. dx. dx^ = (>i- /82 /23> /13 /31> /2I /12> Ml "^ /l4> /42 "^ "~ /24' /43 ~ /34 festsetzen. Alsdann schreiben sich die drei in (I) zusammengefaßten Gleichungen und die mit * multiplizierte Gleichung (II): (A) Andererseits verwandeln sich die drei in (lU) zusammengefaßten Gleichungen, mit — i multipliziert, und die Gleichung (IV), mit — 1 multipliziert, in dx^ "*" dxg "^ dx^ ' ^a?! ^ajj '^ dx^ ' ^iCj öajj ^ajg Man bemerkt bei dieser Schreibweise sofort die vollkommene Symr- metrie des ersten wie des zweiten dieser Gleichungssysteme in hezng auf die Permutationen der Indizes 1, 2, 3, 4. § 3. Das Theorem der Relatiyität von Lorentz. Die Schreibweise der Gleichungen (I) — (IV) in der Symbolik des Vektorkalküls dient bekanntermaßen dazu, eine Invarianz (oder besser Grund gleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge. 357 Kovarianz) des Gleichungssystems (A) wie des Gleichnngssyst^ms (B) bei einer Drehung des Koordinatensystems um den Nullpunkt in Evidenz zu setzen. Nehmen wir z. B. eine Drehung um die 2- Achse um einen festen Winkel tp vor unter Festhaltung der Vektoren e, m, XD im Räume, fuhren also anstatt x^ x^, x^, x^ neue Variablen a^', x^'j x^*, x^ ein durch x^= x^ cos 9) -{- a^g sin qp, x<^= — x^^va.^) ■\- x^ cos y, x^= ar,, xl=^ x^, dazu neue Größen q^', q.^', pg', q^' durch 9i= Qi cos (p + Q3 sin (p, 9/= — p^ sin q: + q^ cob 9, (»3= pj, (>/= p^, neue Größen /"jj, . • .,/"^ durch /Vs = As cos cp + /ji sin = ^y_^^_^ =5, «^ = Y log nat ^-^ wird cos i-Af = , . sin x-if = , , wobei — 1 < g < 1 ausfällt und y 1 — q^ mit dem positiven Vorzeichen zu nehmen ist. Schreiben wir noch (3) x^= x\ x^= y, x^= z, a:/= it', so nimmt daher die Substitution (1) die Gestalt (4) x = x, y = y, z== ^ , t = -7== mit laider reellen Koeffizienten an. Ersetzen wir nun in den oben bei der Drehung um die i'"= Q\ 7 (»2'= 9^ ; 9s ^ 93 cos i^ + Q^ sin iif;, (>/ q^ sin *> + 94 cos «> , neue Größen fl^, . . ., f^^ durch /41 == /'41 cos »T^ + /is sin ^>, /;; = - f^^ sin *> + /ig cos »>, Z";^ = f^^, f32 = /'32 cos «> 4- /'^g sin iil;, /;; = — /^a sin *> + /^g cos *>, /;; = /i^, /;;=-/;;. (a,ä; = i,2,3,4) eingeführt werden, alsdann ebenfalls das System (A) in das genau ent- sprechende System (A'), das System (B) in das genau entsprechende System (B') zwischen den neuen, mit Strichen versehenen Größen über- gehen wird. Alle diese Gleichungen lassen sich sofort in rein reelle Gestalt um- schreiben und man kann das letzte Ergebnis so formulieren: Wird die reelle Transformation (4) vorgenommen und werden her- nach x', y\ z, t' als ein Bezugsystem für Raum und Zeit angesprochen, werden zugleich ferner und yr^iir^' ^ yi (7) ntx' = -7--=: , ej,' = -7--==7 «t^' = t"^ yi — g* yi — 2* eingeführt *j, so kommen hernach für die Vektoren It)', e', m' mit den Komponenten tö^', ttty-, tol'; e^', e^-, e^-; m'x', Itt/, ml- in dem neuen Koor- dinatensystem x', y, z und dazu die Größe q genau die zu (I) — (IV) analogen Gleichungen (!') — (IV) zustande, und zwar geht für sich das System (I), (II) in (I'), (IF), das System (III), (IV) in (III'), (IV) über. Wir bemerken, daß hier e^. — gm^,, e^, -)- g'nt^,, C^ die Komponenten des Vektors e + [om] sind, wenn ö einen Vektor in Richtung der positiven 0 -Achse vom Betrage |ü| =g' und [Om] das vektorielle Produkt der Vek- toren ö und m bedeutet. Analog sind dann nt^ -f- qty, m^ — ge^, m^ die Komponenten des Vektors m — [öe]. Die Gleichungen (6) und (7), wie sie paarweise unter einander stehen, können durch eine andere Verwendung imaginärer Größen in *) Die Gleichungen (5) stehen hier in anderer Folge, die Gleichungen (6) und (7) aber in der nämlichen Folge wie die zuvor genannten Gleichungen, die auf sie hinauskommen. Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge. 359 Cx' + irttx- = (Cx + imx) cos «> + (ey + intj,) sin i>, Cy' 4- im^' = — (Cx + «lUx) sin «^ + (Cy + inty) cos «>, ei' + itni' = e, + «m.- zusammengefaßt werden, und wii- merken noch an, daß, wenn (p irgend- einen reellen Winkel bedeutet, aus diesen letzten Beziehungen ferner die Kombinationen (8) (Cx' + intx') cos qp + (v + inty') sin (p = (c^ + mj cos (cp + «» + (Cy + iltty) sin (9p + «», (9) — (Cx' + »ntx') sin 9 + (e^ + inty') cos tp = — («x + *%) sin (9p + *tA) + (Cj, + intj,) cos (9 -f- it) hervorgehen. §4. Spezielle Lorentz-Transformationen. Die Rolle, welche die 0- Richtung in der Transformation (4) spielt, kann leicht auf eine beliebige Richtung übertragen werden, indem sowohl das Achsensystem der x, y, z wie das der x , y , z, jedes einer und der nämlichen Drehung in bezug auf sich unterworfen wird. Wir kommen damit zu einem allgemeineren Satze. Es sei 0 mit den Komponenten ö^, 0^, ö^ ein gegebener Yektor mit einem solchen von Null verschiedenen Betrage 1 0 1 = q, der Jdeiner als 1 ist, von irgendeiner Richtung. Wir verstehen allgemein unter ö eine beliebige auf ö senkrechte Richtung und bezeichnen ferner die Kompo- nente eines Vektors r nach der Richtung ö oder einer Richtung ö mit Xt, bzw. Xö. Anstatt X, y, z, t sollen nun neue Größen x', y, /, t' in folgender Weise eingeführt werden. Wird kurz r für den Vektor mit den Kompo- nenten X, y, z im ersten, ferner r' für den Vektor mit den Komponenten X , y, z im zweiten Bezugsystem geschrieben, so soll sein für die Rich^ tung von ö: für jede auf 0 senJcrechte Richtwtg ö: (11) t;==rB, und ferner.: (12) f - -^ä±l ■ yi-q' 360 Zur Physik. Die Bezeichnungen to und r^^ hier sind in dem Sinne zu verstehen, daß der Richtung ü und jeder zu ü senkrechten Richtung ö in x, y, z immer die Richtung mit den nämlichen Richtungskosinus in x, y\ z zu- geordnet wird. Eine Transformation, wie sie durch (10), (11), (12) mit der Bedin- gung 0 < g < 1 dargestellt wird, will ich eine spezielle Lorentz -Trans- formation nennen, und soll ö der Vektor, die Richtung von ö die Achse, der Betrag von 0 das Moment dieser speziellen Lorentz -Transformation heißen. Werden weiter q' und die Vektoren tt)', e', m' in x , y, z dadurch definiert, daß (14) ~ () n)o = —=:=., Q njü = qXq^, yi — g« ferner*) . , , . ,. (e + m — i[ü,c + im]), (e+m)f = (15) ^ ^" VT^^ (c' -f im')ö = (e + im — i\p, c + «m])o -?s#, so folgt der Satz, daß das Gleichungssystem (I), (II) und (III), (IV) jedesmal in das genau entsprechende System zwischen den mit Strichen ver- sehenen Größen ühergeht. Die Auflösung der Gleichungen (10), (11), (12) führt auf: (16) t« = -^^, r^=r^, t^^'J 1/1-2*' "' 1/1-2' Wir schließen nun eine in der Folge sehr wichtige Bemerkung über die Beziehung der Vektoren tt» und tu' an. Es möge wieder die schon mehrfach gebrauchte Bezeichnung mit den Indizes 1, 2, 3, 4 herangezogen werden, so daß wir x^, x^, %', x^ für x, y, z, if und q^', q^', q^', 9i für Q'tOx', Q'tOy', q'Wz', iQ setzen. Wie eine Drehung um die ^-Achse, so ist offenbar auch die Transformation (4) und allgemeiner die Transfor- mation (10), (11), (12) eine solche lineare Transformation von der Deter- minante -\- 1, wodurch (17) x^^ 4- x^^ -}- rrg^ + x^^, d. i. x" + y^ + z^ - t^ in x;^ + <2 + x;^ -f x;% d. i. x'^ + y^ + /^ _ t'^ übergeht. *) Die runden Klammern sollen nur die Ausdrücke zusammenfassen, welche der Index betrifft, und [ti,c-l-«m] soll das vektorielle Produkt von t) und e -|- *m be- deuten. Gmndgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge. 361 Es wird daher auf Grund der Ausdrücke (13), (14) auch - iQi' + Q^ + Q.' + Q.') = q'(^- ro/ - K - »/) = 9^(1 - »') in q'^(1 — Xo'^) übergehen, oder mit andern Worten (18) qVT^^^', wobei die Quadratwurzel positiv genommen sei, eine Invariante bei Lo- rentz -Transformationen sein. Indem wir q^, q^, q^, q^^ durch diese Größe dividieren, entstehen die 4 Werte ^x ^t/ "^ * /i , • M/o ,, — .. • tVo , • tf 4 • ^ 1/1 -lü*' ^ yi-tt)^' ^ yr^^'' ^ yi-»»' zwischen welchen die Beziehung (19) w.^ -j- u-^ + iv^ -f- IV ^ = — 1 besteht. Offenbar sind diese 4 Werte eindeutig durch den Vektor XO bestimmt, und umgekehrt folgt aus irgend 4 Werten m;^, iv^, w^, w^, wobei %, w^j Wq reell, — iw^ reell und positiv ist und die Bedingung (19) statthat, rückwärts gemäß diesen Gleichungen eindeutig ein Vektor to von einem Betrage < 1. Die Bedeutung von w^, tv^, w^, w^ hier ist, daß sie die Verhältnisse von dx^, dx^, dx^, dx^ zu (20) ]/- (rfa^i^ + dxi + dx^^ + dx^) = dt Vi - w« für die im Raum-Zeitpunkte x^, x^, x^, x^ befindliche Materie beim Über- gang zu zeitlich benachbarten Zuständen derselben Stelle der Materie sind. Nun übertragen sich die Gleichungen (10), (11), (12) sofort auf die zusammengehörigen Differentiale dx, dy, dz, dt und dx', dy, dz, df und insbesondere wird daher für sie - {dx^^ + dx^^ + dx^^ + dx^^) = - (dx^'^ + dx.,'^ + dx^'- + dx^^) sein. Nach Ausführung der Lorentz -Transformation ist im neuen Bezug- system als Geschwindigkeit der Materie im nämlichen Raum-Zeitpunkte x\ y, 3, t' der Vektor tu' mit den Verhältnissen -^, -^, -j-, als Kom- ponenten auszulegen. Nunmehr ist ersichtlich, daß das Wertsystem vermöge der' Lorentz -Transformation (10), (11), (12) eben in dasjenige neue Wertsystem X^' = W^', X^ = M'j', x^' = w^, x^ = w/ 362 Zur Physik. übergeht, das für die Geschwindigkeit to' nach der Transformation genau die Bedeutung hat wie das erstere Wertsystem für die Geschwindigkeit vor der Transformation. Ist insbesondere der Vektor ö der speziellen Lorentz -Transformation gleich dem Geschwindigkeitsvektor tt) der Materie im Raum-Zeitpunkte x^, x^, x^, x^, so folgt aus (10), (11), (12): w^ = 0, w^' = 0, w^' = 0, w^' = i. Unter diesen Umständen erhält also der betreffende Raum-Zeitpunkt nach der Transformation die Geschwindigkeit tu' = 0, er wird, wie wir uns aus- drücken können, auf Ruhe transformiert. Wir können danach die In- variante ()]/l — tü^ passend als Buh-Dichte der Elektrizität bezeichnen. §5. Raum-Zeit -Tektoren I*«"^ und II t«"^ Art. Indem wir das Hauptergebnis bezüglich der speziellen Lorentz -Trans- formationen mit der Tatsache zusammennehmen, daß das System (A) wie das System (B) jedenfalls bei einer Drehung des räumlichen Bezugsystems um den Nullpunkt kovariant ist, erhalten wir das allgemeine Theorem der Relativität. Um es leicht verständlich zu formulieren, dürfte es zweck- mäßig sein, zuvor eine Reihe von abkürzenden Ausdrücken festzulegen, während ich andererseits daran festhalten will, komplexe Größen zu ver- wenden, um bestimmte Symmetrien in Evidenz zu setzen. Eine lineare homogene Transformation X^ = 0^11^1 + ^^12*^2 1 ^13 '^3 "T" ^4*^4 7 X^ = CC21X1 -\- C^22'^2 > ^S-^S 1" ^^24: •''4 J ^3 "^ '^Sl'^l + ^32^2 "^ ^33^3 + ^4^4 ; X^ = 0^41^1 ~r ^42 "^2 "T ^43^3 r ^44^4 von der Determinante -1- 1, in welcher alle Koeffizienten ohne einen In- dex 4 reeU, dagegen a^^, «24? ^34 sowie a^, a^, a^ rein imaginär (ev. NuU), endlich a^^ wieder reell und speziell > 0 ist und durch welche X■^^ ~r ^2 'T "^z ~T '^i 1^ '^i ~r -^2 1-^3 ~r ^4 übergeht, wiU ich allgemein eine Lorents! -Transformation nennen. Wird / / / f / f / • if gesetzt, so entsteht daraus sofort eine homogene lineare Transformation von X, y, z, t in x', y\ z, t' mit lauter reellen Koeffizienten, wobei das Aggregat -x^ -y^-z"" + f m - x'^ - y'^ - z'^ -h t'^ Grundgleichimgen für die elektromagnetischen Vorgänge. 363 übergeht und einem jeden solchen Wertesystem x, y, z, t mit positivem t, wofür dieses Aggregat > 0 ausfällt, stets auch ein positives t' entspricht; letzteres ist aus der Kontinuität des Aggregats in x, y, 3, t leicht er- sichtlich. Die letzte Yertikalreihe des Koeffizientensystems von (21) hat die Bedingung (22) < + < + < + <='^ zu erfüllen. Sind «14 = 0, cc^i = 0, cc^ = 0, so ist «^ = 1 und die Lorentz -Trans- formation reduziert sich auf eine bloße Drehung des räumlichen Koordi- natensystems um den Nullpunkt. Sind «14, a^, cc^ nicht sämtlich Null und setzt man so folgt aus (22) der Betrag Andererseits kann man zu jedem Wertesystem a^^, Oj^, «g^, a^, das in dieser Weise mit reellen "o^, ü^,, ü^ die Bedingung (22) erfüllt, die spezielle Lorentz-Transformation (16) mit o^^, «g^, u^, a^ als letzter Yertikalreihe konstruieren und jede Lorentz-Transformation mit der nämlichen letzten Yertikalreihe der Koeffizienten kann alsdann zusammengesetzt werden aus dieser speziellen Lorentz-Transformation und einer sich daran anschließen- den Drehung des räumlichen Koordinatensystems um den Nullpunkt. Die Gesamtheit aller Lorentz- Transformationen bildet eine Gruppe. Unter einem Kaum- Zeit -Veldor I. Art soll verstanden werden ein be- liebiges System von vier (xrößen pj, q^, q^, q^ mit der Yorschrift, bei jeder Lorentz-Transformation (21) es durch dasjenige System q^, q^, (),', p/ zu ersetzen, das aus (21) für die Werte x^, x{, x^', x^ hervorgeht, wenn für x^, x^, Ä'g, x^ die Werte q^, pg, pj, p4 genommen werden. Yerwenden wir neben dem variablen Raum- Zeit -Yektor I. Art x^y a:„ iCj, x^ einen zweiten solchen variablen Raum-Zeit -Yektor L Art «1, Mg, iA^, M4 und fassen die bilineare Yerbindung + A4 (^1^4 - x^i*i) + fui^^A — ^iWg) + fs^ix^u^, — x^u^) mit sechs Koeffizienten ft^, - . ,fu, au£ Wir bemerken, daß diese einer- seits sich in vektorieller Schreibweise aus den vier Yektoren •''Xf '"'it *»5 **!> **»> **8? fist fsit rui fiif fut fu und den Konstanten x^ und u^ aufbauen laßt, andererseits symmetrisch in den Indizes 1, 2, 3, 4 ist. Indem wir Xi, x^, x^, x^ und m^, Ug, u,, u^ 364 Zur Physik. gleichzeitig gemäß der Lorentz- Transformation (21) substituieren, geht (23) in eine Verbindung mit gewissen allein von den sechs Größen f^s, • • -, fs^ und den sechzehn Koeffizienten a^^, ^i2?-"j^44 abhängenden sechs Koeffizienten /^g, ...,/'g'^ über. Einen Baum- Zeit -Veldor IL Art definieren wir als ein System von sechs Größen /"gg, f^^, /'12, fuy Ui.) fsi ™^^ der Vorschrift, es bei jeder Lorentz- Transformation durch dasjenige neue System f^^, f^^, f^^, f^^, f^^, f^^ zu er- setzen, das dem eben erörterten Zusammenhange der Form (23) mit der Form (24) entspricht. Das allgemeine Theorem der Relativität betreffend die Gleichungen (I) — (IV), die „Grundgleichungen für den Äther", spreche ich nunmehr folgendermaßen aus. Werden x, y, z, it (Raumkoordinaten und Zeit x i) einer beliebigen Lorentz - Transformation unterworfen und gleichzeitig ()tü^, Q'^^y^ Q^z7 ^Q (Konvektionsstrom und Ladungsdichte xi) als Baum- Zeit -Vektor L Art, ferner VX^, m^, m^, — it^., — ity, — it^ (magnetische Kraft und elektrische Erregung x — i) als Baum -Zeit -Vektor IL Art transformiert, so geht das System der Gleichungen (I), (II) und das System der Gleichungen (III), (IV) je in das System der entsprechend lautenden Beziehungen zwischen den ent- sprechenden neu eingeführten Größen über. Kürzer mag diese Tatsache auch mit den Worten angedeutet werden: Das System der Gleichungen (I), (II) wie das System der Gleichungen (III), (IV) ist kovariant bei jeder Lorentz -Transformation, wobei qVO, ig als Raum -Zeit -Vektor I. Art, m, — it als Raum -Zeit -Vektor IL Art zu transformieren ist. Oder noch prägnanter: qXo, ig ist ein Baum-Zeit-Vektor L Art, m, — it ist ein Baum-Zeit- Vektor LI. Art. — Ich füge noch einige Bemerkungen hier an, um die Vorstellung eines Raum -Zeit -Vektors IL Art zu erleichtern. Invarianten, für einen solchen Vektor m, — it bei der Gruppe der Lorentz -Transformationen sind offenbar (25) m^ - e^ = fi, + fi, + /;| -f- f^, -f fl -f fi„ (26) ttt e = i(A3/"u + fziUi. + fx^Ud ■ Ein Raum-Zeit -Vektor IL Art m, — it, (wobei m und C reelle Raum- Vektoren sind), mag singulär heißen, wenn das skalare Quadrat (m — ie)^ = 0, d. h. m^ — e^ = 0 und zugleich (me) = 0 ist, d. h. die Vektoren m und t gleichen Betrag haben und zudem senkrecht aufeinander stehen. Wenn solches der Fall ist, bleiben diese zwei Eigenschaften für den Raum-Zeit- Vektor IL Art bei jeder Lorentz -Transformation erhalten. Grund gleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge. 365 Ist der Raum-Zeit -Vektor 11. Art m, — it nicht singulär, so drehen wir zunächst das räumliche Koordinatensystem so, daß das Vektorprodukt [me] in die 2- Achse fällt, daß m^ = 0, e, = 0 ist. Dann ist also ^ , . ^ verschieden von + i und wir können daher ein komplexes Argument (p -\- i^ derart bestimmen, daß tg(g)+?»='^"^*'"^ ist. Alsdann wird mit Rücksicht auf die Gleichung (9) durch die zu ilt gehörige Transformation (1) und eine nachherige Drehung um die ^-Achse durch den Winkel cp eine Lorentz-Transformation bewirkt, nach der auch noch ntj, = 0, Cy = 0 werden, also nunmehr m und e beide in die neue a;-Linie fallen; dabei sind durch die Invarianten m^ — C^ und (ine) die schließlichen Größen dieser Vektoren und ob sie von gleicher oder ent- gegengesetzter Richtung werden oder einer Null wird, von vornherein fixiert. § 6. Begriff der Zeit. Durch die Lorentz- Transformationen werden gewisse Abänderungen des Zeitparameters zugelassen. Infolgedessen ist es nicht mehr statthaft, von der Gleklizeitiglieit zweier Ereignisse an sich zu sprechen. Die Ver- wendung dieses Begriffs setzt vielmehr voraus, daß die Freiheit der 6 Parameter, die zur Angabe eines Bezugsystems für Raum und Zeit offen steht, bereits in gewisser Weise auf eine Freiheit von nur 3 Parametern eingeschränkt ist. Nur weil wir gewohnt sind, diese Einschränkung stark approximativ eindeutig zu treffen, halten wir den Begriff der Gleichzeitig- keit zweier Ereignisse als an sich existierend.*) In Wahrheit aber soUen folgende Umstände zutreffen. Ein Bezugsystem x, y , z , t für Raum- Zeitpunkte (Ereignisse) sei irgendwie bekannt. Wird ein Raumpunkt A{xq, y^, Sq) zur Zeit ^0 == ^ mit einem anderen Raumpunkte P(x, y, z) zu einer anderen Zeit t ver- glichen und ist die Zeitdifferenz t — t^ (es sei etwa t > t^ Meiner als die Länge AP, d. i. die Zeit, die das Licht zur Fortpflanzung von Ä nach P braucht, und ist q der Quotient ~rii" "^^ 1> ^0 können wir durch die spezielle Lorentz-Transformation, die AP als Achse und q als Moment *) Ungefähr wie Wesen, gebannt an eine enge Umgebung eines Punktes auf einer Kugeloberfläche, darauf verfallen könnten, die Kugel sei ein geometrisches Ge- bilde, an welchem ein Durchmesser an sich ausgezeichnet ist. 366 Zur Physik. hat, einen neuen Zeitparameter t' einführen, der (s. Gleichung (12) in § 4) für beide Raum -Zeitpunkte J., t^ und P, t den gleichen Wert <' = 0 er- langt; es lassen sich also diese zwei Ereignisse auch als gleichzeitig auffassen. Nehmen wir weiter zu einer und derselben Zeit ^o "^ ^ ^''^^^ '^^^~ schiedene Raumpunkte A, B oder drei Raumpunkte A, B, C, die nicht in einer Geraden liegen, und vergleichen damit einen Raumpunkt P außer- halb der Geraden AB oder der Ebene ABC zu. einer anderen Zeit t und ist die Zeitdifferenz t — t^ (es sei etwa t > to) kleiner als die Zeit, die das Licht zur Fortpflanzung von der Geraden AB oder der Ebene ABC nach P braucht, und q der Quotient aus der ersteren und der letzteren Zeit, so erscheinen nach Anwendung der speziellen Lorentz- Transformation, die als Achse das Lot auf AB, bzw. ABC durch P und als Moment q hat, alle drei (beziehungsweise vier) Ereignisse A, t^^ B, t^] {C, t^ und P, t als gleichzeitig. Werden jedoch vier Raumpunkte, die nicht in einer Ebene liegen, zu einer und derselben Zeit t^ aufgefaßt, so ist es nicht mehr möglich, durch eine Lorentz -Transformation eine Abänderung des Zeitparameters vorzunehmen, ohne daß der Charakter der Gleichzeitigkeit dieser vier Raum -Zeitpunkte verloren geht. Dem Mathematiker, der an Betrachtungen über mehrdimensionale Mannigfaltigkeiten und andererseits an die Begriffsbildungen der so- genannten nicht -Euklidischen Geometrie gewöhnt ist, kann es keine wesentliche Schwierigkeit bereiten, den Begriff der Zeit an die Verwendung der Lorentz -Transformationen zu adaptieren. Dem Bedürfnisse, sich das Wesen dieser Transformationen physikalisch näher zu bringen, kommt der in der Einleitung zitierte Aufsatz von A. Einstein entgegen. Zweiter Teil. Die elektromagnetischen Vorgänge. §7. Die Grundgleichungen für ruhende Körper. Nach diesen vorbereitenden Ausführungen, die wir des etwas ge- ringeren mathematischen Apparates wegen an dem idealen Grenzfalle £ = 1, ju. = 1 , 0 = 0 entwickelten , wenden wir uns jetzt zu den Gesetzen für die elektromagnetischen Vorgänge in der Materie. Wir suchen diejenigen Beziehungen, die es — unter Voraussetzung geeigneter Grenzdaten — ermöglichen, an jedem Orte und zu jeder Zeit, also als Funktionen von X, y, 0, t zu finden: die Vektoren der elektrischen Kraft @, der magne- Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge. 367 tischen Erregung ilR, der elektrischen Erregung e, der magnetischen Kraft m, die elektrische Raumdichte q, den Vektor „elektrischer Strom s", (dessen Beziehung zum Leitungsstrom hernach durch die Art des Auftretens der Leitfähigkeit zu erkennen sein wird), endlich den Vektor tt), die Ge- schwindigkeit der Materie. Die fraglichen Beziehungen scheiden sich in zwei Klassen, erstens diejenigen Gleichungen, die, wenn der Vektor tr» als Funktion von X, y, z, t gegeben, also die Bewegung der Materie bekannt ist, znr Kenntnis aller anderen eben genannten Größen als Funktionen von X, y, z, t hinführen, — diese erste Klasse speziell will ich die Grund- gleichungen nennen, — zweitens die Ausdrücke für die ponderomotorischen Kräfte, die durch Heranziehen der Gesetze der Mechanik weiter Aufschluß über den Vektor XO als Funktion von x, y, z, t bringen. Für den Fall ruhender Körper, d. i. wenn to (x, y, z, t) = 0 gegeben ist, kommen die Theorien von Maxwell (Heaviside, Hertz) und von Lorentz zu den nämlichen Grundgleichungen. Es sind dies 1) die Differentialgleichungen, die noch keine auf die Materie bezüg- lichen Konstanten enthalten: (I) curl in--|f = §, (H) div e = () , (HI) CTirl@ + -^ = 0, (IV) div2«=0; 2) weitere Beziehungen, die den Einfluß der vorhandenen Materie charakterisieren; sie werden in dem wichtigsten Falle, auf den wir uns hier beschränken, für isotrope Körper, angesetzt in der Gestalt (V) e = £e, Wl = iLm, § = 0®, wobei £ die Dielektrizitätskonstante, pL die magnetische Permeabilität, 6 die Leitfähigkeit der Materie als Funktionen von x, y, z und t bekannt zu denken sind. § ist hier als Leitungsstrom anzusprechen. Ich lasse nun an diesen Gleichungen wieder durch eine veränderte Schreibweise eine noch versteckte Symmetrie hervortreten. Ich setze wie in den vorangeschickten Ausführungen x^ =^ X, x^ = y, x^ = ^> ^4 ^^ *^ nnd schreibe für ^XJ ^gt ^$> *P> 368 Znr Physik, ferner für und noch für /23 ? /Sl > / 12 7 /l-l > /2J > /84: m^, ntj,, m,, -it^, -ü^, - h, F F F F FF ■'- 23 y -'- 31 > ''^ 12 > -^lif -^24> -'■84 m,, m^, m,, -*e,, -.@,, -i@.; ^/i« 1 ^fis 1 ^/i4 SiCg ^^3 ^^4 = «1, "= *2 y a«! ' dx^ ' aa;4 "^ % ; 3ari dx^ dx^ = «4; endlich soll für andere Paare von ungleichen, der Reihe 1, 2, 3, 4 entnommenen Indizes h, Je stets tkh^^ thkJ ^kh^^ ^ hk gelten. (Die Buchstaben /', F sollen an das Wort Feld, 5 an Strom erinnern.) Dann schreiben sich die Gleichungen (I), (II) um in (A) und die Gleichungen (III), (IV) schreiben sich um in ^■^84 I ^_Eil _1_ ^-^28 = 0 dx^ '" dx^ "*" ^x^ ' /-pN O X^ 0 X^ 0 x^ ^-^84 1 ^-^^41 1 ^^li ^ Q Sa?! '' dx^ dx^ ' SXl ^aJä ÖÄTg §8. Die Grrundgleichungen für bewegte Körper. Nunmehr wird es uns gelingen, die Grundgleichungen für beliebig bewegte Körper in eindeutiger Weise festzustellen, ausschließlich mittels folgender drei Axiome: Das erste Axiom soU sein: Wenn eine einzelne Stelle der Materie in einem Momente ruht, also der Vektor ttj für ein System x, y, z, t NuU ist, — die Umgebimg mag in irgendwelcher Bewegung begriffen sein — , so sollen für den Raum- Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge, 369 Zeitpunkt x, y, z, t zwiscten q, den Vektoren §, e, m, ß, Wl und deren Ableitungen nach x, y, z, t genau die Beziehungen (A), (B), (V) statt- haben, die zu gelten hätten, falls alle Materie ruhte. Das zweite Axiom soll sein: Jede Geschivindigkeit der Materie ist < 1, Jdeiner als die Fort- pflanzungsgeschwindiglceit des LicJites im leeren Baume. Das dritte Axiom soll sein: Die Grundgleichungen sind von solclier Art, daß wenn x, y, z, it irgendeiner Lorentz- Transformation unterworfen und dabei einerseits m, — it, andererseits SOi, — i@ je als Baum- Zeit-Vektor II. Art, §, iQ als Baum- Zeit-VeTitor I. Art transformiert iverden, die Gleichungen dadurcii in die genau entsprechend lautenden Gleichungen zwischen den transformierten Größen ühergeheti. Dieses dritte Axiom deute ich auch kurz mit den Worten an: tit, — it und W, — i@ sind je ein Baum -Zeit-Vektor II. Art, §, ig ein Baum- Zeit-Vektor I. Art, und dieses Axiom nenne ich das Prinzip der Belativität. Diese drei Axiome führen uns in der Tat von den vorhin genannten Grundgleichungen für ruhende Körper in eindeutiger Weise zu den Grund- gleichungen für bewegte Körper. Nämlich nach dem zweiten Axiom ist in jedem Raum -Zeitpunkte der Betrag des Geschwindigkeitsvektors ttj| < 1. Infolgedessen können wir dem Vektor to stets umkehrbar eindeutig das Quadrupel von Größeu ttJ- to« tu, » w, = , , w^ = , , Wo = — . w. = zuordnen, zwischen denen die Beziehung (27) M;,«+M;2^+<-h<=-l statthat. Aus den Ausführungen am Schlüsse des § 4 ist ersichtlich, daß dieses Quadrupel sich bei Lorentz -Transformationen als Raum -Zeit-Vektor I. Art verhält, und wir wollen es den Baum- Zeit- Vektor Geschwindigkeit nennen. Fassen wir nun eine bestimmte Stelle x, y, z der Materie zu einer bestimmten Zeit t auf. Ist in diesem Raum -Zeitpunkte tt) = 0, so haben wir für ihn nach dem ersten Axiom unmittelbar die Gleichungen (A), (B), (V) aus § 7. Ist in ihm tu 4=0, so existiert, weil tu < 1 ist, nach (16) eine spezielle Lorentz -Transformation, deren Vektor 0 gleich diesem Vektor Xo{x, y, z, t) ist, und wir gehen allgemein zu einem neuen Be- zugsystem x', y, z', t gemäß dieser bestimmten Transformation über. Für den betrachteten Raum -Zeitpunkt entstehen dabei, wie wir in § 4 sahen, die neuen Werte Minkowski, Gesammelte Ablutndlangen. II. 24 370 Zur Physik. (28) Wi=0, w^'=0, w^'=Qy w^' = i, und algo der neue Geschwindigkeitsvektor tu' = 0, der Baum- Zeitpunkt tvird, wie wir uns dort ausdrückten, auf Ruhe transformiert. Nun sollen nach dem dritten Axiom aus den Grundgleichungen für den Raum- Zeit- punkt x,y,z,t dabei die Grundgleichungen für das entsprechende System X, y, z , t', geschrieben in den transformierten Größen \o', q\ §', e', m', @', SR' und deren Differentialquotienten nach x, y, z', t' hervorgehen. Diese letzteren Gleichungen aber müssen, nach dem ersten Axiom, weil jetzt ttj'=0 ist, genau sein: 1) diejenigen Differentialgleichungen (A'), (B'), die aus (A) und (B) einfach dadurch hervorgehen, daß aUe Buchstaben dort mit einem oberen Strich versehen werden, 2) die Gleichungen (V) e'=£@', W=iLm', r=0@', wobei s, ^, 6 Dielektrizitätskonstante, magnetische Permeabilität, Leit- fähigkeit für das System x', y, z', t', d. i. also im betrachteten Raum- Zeitpunkte X, y, z, t der Materie sind. Jetzt gehen wir durch die reziproke Lorentz- Transformation rück- wärts zu den ursprünglichen Variablen x, y, z, t und den Größen tt), q, §, e, m, (£, 3JJ und die Gleichungen, die wir dann aus den eben ge- nannten erhalten, werden die von uns gesuchten allgemeinen Grund- gleichungen für bewegte Körper sein. Nun ist aus den Ausführungen in § 4 und § 5 zu ersehen, daß sowohl das Gleichungssystem (A) für sich wie das Gleichungssystem (B) für sich kovariant bei den Lorentz -Transformationen ist; d. h. die Gleichungen, die wir von (A'), (B') rückwärts erlangen, müssen genau gleichlauten mit den Gleichungen (A), (B), wie wir sie für ruhende Körper annahmen. Wir haben also als erstes Ergebnis: Von den Grundgleichungen der Elektrodynamik für bewegte Körper lauten die Differentialgleichungen, geschrieben in q und den Vektoren §, e, tn, ($, 9Ji, genau wie für ruhende Körper. Die Geschwindigkeit der Materie tritt in diesen Gleichungen noch nicht auf. In vektorieller Schreibweise sind diese Gleichungen also wieder (I) curl m - ||- = §, (II) div e = (), (HI) curl(£ + ^ = 0, (IV) div $m = 0. Die Geschwindigkeit der Materie wird ausschließlich auf die Zusatz- Grundgleichungeii für die elektromagnetißchen Vorgänge. 371 Bedingungen veniiesm, tcelche den Einfluß der Materie auf Grund ihrer speziellen Konstanten s, /i, nach den auf lü senkrechten Richtungen 10, der für ö = 0 verschwindet, als Leitungsstrom zu bezeichnen. Wir bemerken, daß für £=1, u=l die Gleichungen c'=@', m' = 3Ä' durch die reziproke Lorentz- Transformation, die hier die spezielle mit — tu als Vektor wird, gemäß (15) sofort zu e = (S, m = 2R führen und daß für 6 = 0 die Gleichung ä'= 0 zu 3 = pto führt, so daß in der Tat als Grenzfall der hier erhaltenen Gleichungen für «=-1, .u = l, tf — 0 sich die in § 2 betrachteten „Grundgleichungen für den Äther*' ergeben. 24* 372 Zur Physik. §9. Die Grundgleichungen in der Theorie Ton Lorentz. Sehen wir nun zu, inwieweit die Grundgleichungen, die Lorentz annimmt, dem Relativitätspostulate, das soll heißen dem in § 8 formu- lierten Relativitätsprinzipe entsprechen. In dem Artikel „Elektronentheorie" (Enzykl. der math. Wiss., V2, Art. 14) hat Lorentz für beliebige, auch magnetisierte Körper zunächst die Differentialgleichungen (s. dort S. 209 unter Berücksichtigung von Gl. XXX' daselbst und von Formel (14) auf S. 78 desselben Heftes): (Illa") curl (|) - [tu (£]) = S -f- -^f + tt) div 2) - curl [tt) ®] , (I") div3) = p, (IV") curl(£ = -4f-, (V") divS3 = 0. Dann setzt Lorentz für bewegte nicht magnetisierte Körper (S. 223, Z. 3) ft = 1 , S9 = § und nimmt dazu das Eingehen der Dielektrizitäts- konstante s und der Leitfähigkeit 6 gemäß (Gl. XXXIV", S. 227) 2) -(£ = (£_ 1) (@ + [toSS]), (Gl. XXXIII", S. 223) S = (, (@ -f. [to S9]) an. Die Lorentzschen Zeichen (S, 25, ^, § sind hier durch (£, OJl, c, tn ersetzt, während S bei Lorentz als Leitungsstrom bezeichnet wird. Die drei letzten der zitierten Differentialgleichungen nun decken sich sofort mit den Gleichungen (II), (III), (IV) hier, die erste Gleichung aber würde , indem wir 3 mit dem für ö = 0 verschwindenden Strome § — tOQ identifizieren, in (29) curl (

hr Kl, ■■ •; Kr wobei die Anzahl der Horizontalreihen der ztceiten gleich der Anzahl der Yertikalreihen der ersten ist, so wird unter AB, dem Produkte aus A und B, die Matrix C = ^pi, verstanden, deren Elemente durch Kombination der Horizontalreihen von A und der Vertikalreihen von B nach der Regel 1. ^ 7. _L ^ j. /h=l,2,...,p\ Chk = «AI hk + »«»»*+ ^- «Ag^i U = 1 2 r) gebildet sind. Für solche Produkte gilt das assoziative Gesetz {AB)S='A{BS)', hierbei ist unter S eine dritte Matrix gedacht mit so viel Horizontal- reihen, als B (und damit auch AB) Vertikalreihen hat. Für die transponierte Matrix zu C = AB gilt C = BA. 3°. Es werden hier nur Matrizen in Betracht kommen mit höchstens vier Horizontalreihen und höchstens vier Vertikalreihen. *) Man könnte anch daran denken, statt des Gay ley sehen Matrizenkalküls den Hamiltonachen Qaatemionenkalkül heranzuziehen, doch erscheint mix der letstere für unsere Zwecke als zu eng und schwerfällig. 376 Zur Physik. Als Einheitsmatrix (und in Gleichungen für Matrizen kurzweg mit 1) werde die 4 x 4 -reihige Matrix der folgenden Elemente (34) ^11 > n2> H3) '^li ^i, ^2 ^21? ^2> "^28 > "^24 ^31 > ^32 > ^38 > ^34 ^417 ^42 > ^43 7 ^44 1, 0, 0, 0 0, 1, 0, 0 0, 0, 1, 0 0, 0, 0, 1 f bezeichnet. Für ein Vielfaches c • 1 der Einheitsmatrix (in dem unter 1® festgesetzten Sinne einer Matrix cÄ) soll dann in Gleichungen für Matrizen kurzweg c stehen. Für eine 4x4-reihige Matrix Ä soll Det Ä die Determinante aus den 4x4 Elementen der Matrix bedeuten. Ist dann Det Ä=^0, so ge- hört zu Ä eine bestimmte reziproke Matrix, mit Ä~^ bezeichnet, so daß A~^ Ä = 1 wird. — Eine Matrix ^> /12> /13> /14 /217 ^J /23> /24 131 J 132) "; /84 MlJ /42> /43? ^ in welcher die Elemente die Relationen f)cf^= — f^^ erfüllen, heißt eine alternierende Matrix. Diese Relationen besagen, daß die transponierte Matrix f= — f ist. Alsdann werde mit f* und als die dimle Matrix von f die ebenfalls alternierende Matrix ^> /34> /42> /23 /43> "j /14' 131 t%4.J tu> ^} /12 I f&i) 113) lil) ^ bezeichnet. Dabei wird (36) rf=f32fu + fnfu + f2if3., das soll nun heißen eine 4 x 4 -reihige Matrix, in der alle Elemente außerhalb der Hauptdiagonale von links oben nach rechts unten Null sind und alle Elemente in dieser Diagonale untereinander übereinstimmen und gleich der hier rechts genannten Verbindung aus den Koeffizienten von f sind. Die Determinante von f erweist sich dann als das Quadrat dieser Verbindung und wir wollen das Zeichen Det ^ f eindeutig als die Abkürzung (35) r (37) erklären. Det V= fsifu + fisfsi + fiifsi Grundgleichimgen für die elektromagnetischen Vorgänge. 377 4®. Eine lineare Transformation (38) Xj^ = «41 x^-\- a^iX^-\- «AS ^8'+ «Ai^/ (* = Ij 2, 3, 4) werde auch einfach durch die 4 x 4 -reihige Matrix der Koeffizienten A = ^Wt "12> "13> "^14 ^i\i *^32> '^as» ^84 *^41J *^öy ^43> *^44 als Transformation A, bezeichnet. Durch die Transformation A geht der Ausdruck x^ -f- a7j V x^ -\- x^ in die quadratische Form ^(^kk^X ih ^ = 1, 2, 3, 4) über, wobei «A* = «lA«li- + «2A«2t + ^'3A«3i + «4A«0 wird, d. h. die 4 x 4 -reihige (symmetrische) Matrix der Koeffizienten a^j dieser Form wird das Produkt AA der transponierten Matrix von A in die Matrix A. Soll also durch die Transformation der neue Ausdruck X^ "1 x^ -\- x^ -\- x^ hervorgehen, so muß (39) ÄA = 1 die Matrix 1 werden. Dieser Relation hat demnach A zu entsprechen, wenn die Transformation (38) eine Lorentz-Transformation sein soll. Für die Determinante von A folgt aus (39): (Det A)^ = 1, Det A = + 1. Die Bedingung (39) kommt zugleich auf (40) A-i=Ä hinaus, d. h. die reziproke Matrix von A muß sich mit der transponierten von A decken. Für A als Lorentz-Transformation haben wir noch weiter die Be- stimmungen getroffen, daß Det A = + 1 sei, daß jede der Größen a^^, «j^^ '^ij ^iif ^^ü) ^43 ^^i^ imaginär (bzw. Null), die anderen Koeffizienten in A reell seien und endlich noch a^^^ > 0 sei. 5°. Ein Raum -Zeit -Vektor I. Art s^, s^, s^, s^ soll durch die 1x4- reihige Matrix seiner vier Komponenten: (41) s = 1 «1, s^, Ss, s^ 1 repräsentiert werden und ist bei einer Lorentz-Transformation A durch sA zu ersetzen. 378 Zur Physik. Ein Raum -Zeit -Vektor IL Art mit den Komponenten f^^, f^^, f^^, f^^, fuf fsi soll durch die alternierende Matrix ^} flif /13» /14 Im ^7 /23> /24 tsi} 132} ^? tu /41' /42 7 /43> ^ (42) /• = repräsentiert werden und ist (s. die in § 5 (23) und (24) festgesetzte Regel) bei einer Lorentz- Transformation A durch Af A = A~^/*A zu er- setzen. Dabei gilt in bezug auf den Ausdruck (37) die Identität i _ i — Det ^ (A/'A) = Det A Det^/'. Es wird danach Det^f eine Invariante bei den Lorentz -Transformationen (s. Gleichung (26) in § 5). Für die duale Matrix f* folgt dann mit Rücksicht auf (36): £ i (A-i/^A) (A-yA) = ^-^f*f^ = Det^ f. A-^A = Bet'^f, woraus zu ersehen ist, daß mit dem Raum -Zeit -Vektor IL Art f zu- sammen auch die zugehörige duale Matrix f* sich wie ein Raum -Zeit- Vektor IL Art abändert, und es heiße deshalb f* mit den Komponenten fuf /24; fw fis> fzif fn ^®^ duale Baum -Zeit -Vektor von /'. 6°. Sind w und s zwei Räum -Zeit -Vektoren I. Art, so wird unter WS (wie auch unter sw) die Verbindung (43) w^s^ -f w^s^ -]-w^s^+ w^s^ aus den bezüglichen Komponenten zu verstehen sein. Bei einer Lorentz- Transformation A ist wegen {wK){ks)==ws diese Verbindung invariant. — Ist wl = 0, so sollen w und s normal zueinander heißen. Zwei Raum -Zeit -Vektoren I. Art w, s geben ferner zur Bildung der 2 X 4 -reihigen Matrix w^, w^, w^, w^ Anlaß. Es zeigt sich dann sofort, daß das System der sechs Größen (44) W^ Sg — W?3 «2 , M^3 «1 — ^1 Sg , ^'i «2 — IV^ S^ , iV^ S4 — W^S^, W^ S^ —W^S2, W^ «4 — W^S^ sich bei den Lorentz -Transformationen als Raum -Zeit -Vektor IL Art ver- hält. Der Vektor IL Art mit diesen Komponenten (44) werde mit [w, s\ 1 bezeichnet. Man erschließt leicht Det^[*c^, s] = 0. Der duale Vektor von \Wy s] soU \w, s]* geschrieben werden. Gnmdgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge. 379 Ist w ein Raum -Zeit -Vektor I. Art, f ein Raum-Zeit-Vektor 11. Art, so bedeutet wf zunächst jedenfalls eine 1 x 4-reihige Matrix. Bei einer Loren tz -Transformation A geht iv in w' = ic tK, f in f = f\~^fk über; da- bei wird w'f'=wKk~^fk = {wf)lK, d. h. wf transformiert sich wieder als ein Raum-Zeit -Vektor I. Art. Man verifiziert, wenn w ein Vektor I., f ein Vektor 11. Art ist, leicht die wichtige Identität (45) \w, wf] -f [w, wf*]* = (ww)f. Die Summe der zwei Raum -Zeit -Vektoren 11. Art links ist im Sinne der Summe zweier alternierenden Matrizen zu verstehen. Nämlich für u\ = 0, w^ ==0, w^ = 0, w^ == i wird «<■/'= »/"tt. »742. *743. 0 !; «^f* = l*7s2, */is>»^ti>01; b^, «6/] = 0, 0, 0, f^, f^, f^; {w, wf*] = 0, 0, 0, /32, /"is, /"ai, und die Bemerkung, daß in diesem speziellen Falle die Relation (45) zu- trifft, genügt bereits, um derselben allgemein sicher zu sein, da diese Relation kovarianten Charakter für die Lorentz-Gruppe hat und zudem in Wj, u\, w^, tc^ homogen ist. Nach diesen Vorbereitungen beschäftigen wir uns zunächst mit den Gleichungen (C), (D), (E), durch welche die Konstanten s, /i, 6 eingeführt werden. Statt des Raumvektors tu, Geschwindigkeit der Materie, führen wir, wie schon in § 8, den Raum -Zeit -Vektor I. Art w mit den vier Kompo- nenten ttJ, tD„ to. i Vi — »«' ^ yi — »*' ' yi — to»' * yi — w» ein; dabei gilt (46) ww = w^ -\- w^ -f w^ + w^ = — 1 und — iwj^ > 0. Unter F und f woUen wir jetzt wieder die in den Grundgleichungen auftretenden Raum -Zeit -Vektoren 11. Art 9Jl, — «(5 und m, — it ver- stehen. In 0 = — t<;jP haben wir wieder einen Raum -Zeit -Vektor I. Art; seine Komponenten werden sein 02 = Wy F21 -f «7, F„ -}- w^ Fg, , Oj = w'ii^j, + w^F^^^ -+- w^F^^^, 380 Zur Physik. Die drei ersten Größen O^, Og; ^3 ^^^ ^^^' ^^ ^'> V'f ^-Komponente des Raumvektors und femer ist *(tö@) (48) 0^= , Da die Matrix F eine alternierende ist, gilt offenbar (49) w = w^^ + w^2 + W38 + w^404 = 0, der Vektor 0 ist also normal zu tv; wir können diese Relation aucli schreiben: (50) i + tDy02 + »,^3) . Den Raum-Zeit -Vektor I. Art 0 will ich elektrische JRuh-Kraft nennen. Analoge Beziehungen wie zwischen —wF,(i,^,tt) stellen sich zwischen — wf, e, m, tt) heraus und insbesondere wird auch — wf normal zu w sein. Es kann nunmehr die Relation (C) durch {C} wf=EwF ersetzt werden, eine Formel, die zwar vier Gleichungen für die bezüg- lichen Komponenten liefert, jedoch so, daß die vierte im Hinblick auf (50) eine Folge der drei ersten ist. Wir bilden ferner den Raum-Zeit -Vektor I. Art V =-= iwf*, dessen Komponenten sind: Y2 = - i{wj^ 4- M'a/'u + ^Jzi), Y4 = — i(wi/'32 + w^a/is + ^3/21 ) • Davon sind die drei ersteren M^i, M^2j ^3 ^^^- ^^® rc-, 1/-, ^-Komponente des Raumvektors und weiter ist (52) V, - *("""^ • zwischen ihnen besteht die Beziehung (53) wY = w^'V^ + iv^^^ + WgYg + w^'^^ = 0, die wir auch (54) V, = i{xo,^^ + tüy V2 + ^^"V,) Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge. 381 schreiben können; der Vektor Y ist also wieder normal zu w. Den Raum- Zeit-Vektor I. Art V will ich magnetische Ruh-Kraft nennen. Analoge Beziehungen wie zwischen iivf^, m, C, tt) haben zwischen iwF*, SJi, @, tt) statt und es kann die Relation (D) nunmehr durch {D} wF* = iLwf* ersetzt werden. Die Gleichungen { C } und { D } können wir benutzen, um die Feld- vektoren F und f auf 0 und Y zurückzuführen. Wir haben wF = — O, wF* = — i^Y, wf= — £(i>, wf* = — i^ und die Anwendung der Regel (45) führt im Hinblick auf (46) zu (55) F = \w, 0] + iii\w, Y]* (56) /•=£[«<;, 0]+ i \iv,^Y, d. i. fl2 = £{W^<^2-W.2t) + i («<'"3^4-«*'4^3)> ^ 8- ^^ Wir ziehen ferner den Raum-Zeit -Vektor 11. Art [0, H*] mit den sechs Komponenten 0iY,-04M',, 0,M^,-04M^2, ^3H^4-^4Y3 in Betracht. Alsdann verschwindet der zugehörige Raum-Zeit -Vektor I. Art w[, V] = - (w'V) 0 + {w^) ¥ wegen (49) und (53) identisch. Führen wir nun den Raum-Zeit -Vektor I. Art (57) Q = itv[, ^]* mit den Komponenten I ^2> ^H^ ^4. . ßl = - * I 2, %, ^4 ; U. S. f. 1 '2? Tg, T4 I ein, so folgt durch Anwendung der Regel (45): (58) [0,¥] = iKQ]* d. i. 01^2 - 02^1 = ^«^3^4- M^iQs) , U. S. f. Der Vektor Q erfüllt offenbar die Relation (59) {w^) = w^^^-\-w^Q^-\-w^ü^ + w^^^^ = 0, die wir auch ß4 = ^"(«'xßl+J^,ß2 + tt),Q3) 382 Zur Physik. schreiben können, ist also wieder normal zu w. Falls lü == 0 ist, hat man 0^ = 0, V^ = 0, Q^ = 0 und (60) Qi = 0,^3 _ 03^3, «2 = 03^,-0,^3, Q3 = 0X%-02H^l- Den Raum-Zeit -Vektor I. Art Q will ich als Ruh-St^aJd bezeichnen. Was die Relation (E) anbelangt, welche die Leitfähigkeit ö einführt, so erkennen wir zunächst, daß yi — tu* die Ruh -Dichte der Elektrizität (s. § 8 und § 4 am Schlüsse) wird. Als- dann stellt (61) s + {ws)'w einen Raum-Zeit -Vektor I. Art vor, der wegen ww = — l offenbar wieder normal zu w ist und den ich als Buh-Strom bezeichnen will. Fassen wir die drei ersten Komponenten dieses Vektors als x-, y-, ^-Komponente eines Raum -Vektors auf, so ist für den letzteren die Komponente nach der Richtung von tt): und die Komponente nach einer jeden zu tu senkrechten Richtung tö wieder es hängt dieser Raum -Vektor also sehr einfach mit dem Raum- Vektor S = § — ()tt) zusammen, den wir in § 8 als Leitungsstrom bezeichneten. Nunmehr kann durch Vergleich mit <^ = — wF die Relation (E) auf die Gestalt gebracht werden: {E} s -\- {ws)w = — 6ivF . Diese Formel faßt wieder vier Gleichungen zusammen, von denen jedoch, weil es sich beiderseits um zu w normale Raum-Zeit -Vektoren I. Art handelt, die vierte eine Folge der drei ersten ist. Endlich werden wir noch die Differentialgleichungen (A) und (B) in eine typische Form umsetzen. § 12. Der Diflferentialoperator lor. Eine 4 x 4 -reihige Matrix ^117 ^^12? '^13 7 ^14 ^^21 7 ^^22 7 '-^237 ^24 ^Z\J ^^32 7 '^337 ^^34 "417 '^42 7 '^43 7 ^44 (62) Ä = S,, Grundgleichongen für die elektromagnetisclien Vorgänge. 383 mit der Vorschrift, sie bei einer Lorentz-Transformation A jedesmal durch AÄA zu ersetzen, mag eine Raum- Zeit -Matrix 11. Art heißen. Eine der- artige Matrix hat man insbesondere in der alternierenden Matrix f, die einem Raum -Zeit -Vektor IL Art f entspricht, in dem Produkte fF zweier solcher alternierender Matrizen f, F, das bei einer Transformation A durch (A~ YA) (A~^i^A) = A~ Yi^A zu er- setzen ist, femer, wenn w^,w^,w^,w^ und Q^, Qg? ^s» ^4 zwei Raum -Zeit -Vektoren I. Art sind, in der Matrix der 4x4 Elemente Sj^j^ = iCj^Q^, endlich in einem Vielfachen L der Einheitsmatrix, d. h. einer 4x4- reihigen Matrix, in der alle Elemente in der Hauptdiagonale einen gleichen Wert L haben und die übrigen Elemente sämtlich Null sind. Wir haben es hier stets mit Funktionen von Raum-Zeitpunkten x, y, z, it zu tun und können mit Vorteil eine 1 x 4 -reihige Matrix, gebildet ans den Differentiationssymbolen oder auch (63) dx' dy ^ dz ' idt _a_ _a_ j_ _a_ dx^ ' dx^ ' dx^ ' dx^ geschrieben, verwenden. Für diese Matrix will ich die Abkürzung lor brauchen. Es soll dann, wenn S wie in (62) eine Raum-Zeit-Matrix 11. Art bedeutet, in sinngemäßer Übertragung der Regel für die Produktbildung von Matrizen, unter lor S die 1 x 4-reihige Matrix l^l> ^if ^3) -^4! der Ausdrücke (64) ir. = ^* + ^' + ^> + ^' (* = 1,2,3,4) verstanden werden. Wird durch eine Lorentz-Transformation A ein neues Bezugsystem x^', iCj', iCj', x^' für die Raum-Zeitpunkte eingeführt, so mag analog der Operator lor' J_ J_ J_ J_' dxi' dx^' dx^* dxi angewandt werden. Geht dabei S in S' = kSA = \Shk über, so wird dann unter lor' S' die Ix 4-reihige Matrix der Ausdrücke 384 Zur Physik. ZU verstehen sein. Nun gilt für die Differentiation einer beliebigen Funk- tion von einem Raum-Zeitpunkte die Regel dxj^ dx^ dxf! '' dx^ dx^ ' dx^ dx{ ' dx^ dx^ d_ _j d_ . 2_ . d ■" ä^ "l* "*" dx^ "2i -t- g^^ «3t -r f- CC.ik, die in einer leicht verständlichen Weise symbolisch als lor' == lor A zu deuten ist, und mit Rücksicht hierauf folgt sogleich (65) lor' S' = lor (A(A- ' S^)) = (lor S)A, d. h. wenn S eine Baum -Zeit-Matrix IL Art vorstellt, so transformiert sich lor S als ein Baum- Zeit- Vektor I. Art. Ist insbesondere L ein Vielfaches der Einheitsmatrix, so wird unter lor L die Matrix der Elemente dL dL dL dL dXj^ ' dx^ ' dxg ' dx^ (66) zu verstehen sein. Stellt s = |Sj, Sg, ^3, s^\ einiBn Raum-Zeit-Vektor I. Art vor, so wird (67) lor s = — - 4- -^ 4- --*' + — ^ ^ 8x^ dx^ dx^ dx^ zu erklären sein. Treten bei Anwendung einer Lorentz- Transformation A die Zeichen lor', s an Stelle von lor, s, so folgt lor' s' = (lor A) (As) = lor s, d. h. lor s ist eine Invariante hei den Lorentz-Transformationen. In allen diesen Beziehungen spielt der Operator lor selbst die Bolle eines Baum- Zeit-Vektors I. Art. Stellt f einen Raum-Zeit -Vektor 11. Art vor, so hat nun — lor /" den Raum-Zeit -Vektor I. Art mit den Komponenten cx^ dxg dx^ ' dXy ' dx^ dx^ ' dx^ '^ dx^ "^ ^x^ ' Mi _L Mä I M» dxy "" dx^ dx^ zu bedeuten. Hiernach läßt sich das System der Differentialgleichungen (A) in der kurzen Form {A} \oxf=-s Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge. 385 zusammenziehen. Ganz entsprechend wird das System der Differential- gleichungen (B) zu schreiben sein: {B} lorF* = 0. Die im Hinblick auf die Definition (67) von lor s gebildeten Ver- bindungen lor (lor f) und lor (lor F*) verschwinden offenbar identisch, indem f und F* alternierende Matrizen sind. Darnach folgt aus { A } für den Strom s die Beziehung (68) |^+|^-f|^-h|^ = 0, ^ ^ ox^ 3xj ox^ dx^ ' während die Relation (69) lor (lor F*) = 0 den Sinn hat, daß die vier in {B} angewiesenen Gleichungen nur drei un- abhängige Bedingungen für den Verlauf der Feldvektoren repräsentieren. Ich fasse nunmehr die Resultate zusammen; Es bedeute tc den Raum- Zeit -VeJctar I. Art , — =^=1 (\d Gte- i/i — to* yi — to" ^ schwindigkeit der Materie), F den Raum -Zeit -Vektor IL Art 9K, — i(S (W magnetische Erregung, G elektrische Kraft), f den Baum- Zeit -Vektor II. Art m, — it (m magnetische Kraft, e elektrische Erregung), s den Baum- Zeit-Vektor I. Art §>, ig (q elektrische Raumdichte, § — p tu Leitungs- strom), E die Dielektrizitätskonstante, fi die magnetische Permeabilität, 6 die Leitfähigkeit, so lauten (mit den in § 10 und § 11 erklärten Symbolen der Matrizenrechnung) die Grundgleichungen für die dekiromagnetiscJien Vorgänge in bewegten Körpern {A} \oxf=-s, {B} lori^* = 0, {C} wf^swF, {D} wF*=^[iwf*, { E } s -{- {ws)iv = — 6ivF. Babel gilt ww = ~ 1, es sind die Baum- Zeit -Vekpren I. Art wF, wf, ivF*, wf*, s -\- (ws)iv sämtlich normal zu w und endlich besteht für das Gleichungssystem {B} der Zusammenliang lor (lor F*) = 0. In Anbetracht der zuletzt genannten Umstände steht hier genau die erforderliche Anzahl von unabhängigen Gleichungen zur Verfügung, um bei den geeigneten Grenzdaten die Vorgänge vollständig zu beschreiben, wofern die Bewegung der Materie, also der Vektor tt) als Funktion von X, y, z, t bekannt ist. Minkowski, OeMmmelt« .\bhan(Uungen. IL 26 386 Zur Physik. § 13. Das Produkt der FeldTektoren fF. Endlich fragen wir nach den Gesetzen, die zur Bestimmung des Vektors w als Funktion von x, y, z, t führen. Bei den hierauf bezüg- lichen Untersuchungen treten diejenigen Ausdrücke in den Vordergrund, die durch Bildung des Produkts der zwei alternierenden Matrizen f- ^) /l2> Ixt) fli /217 ^y /23> m ISlf /327 ^> tu tu) /42> /43> ^ 0, F^^, F^^, F^^ -^21 J 0, ^23; -^24 -^31 J -^32» ö; -^84 -^41> ^42> •^43» ^ sich darbieten. Ich sehreibe (70) /•F = S. S. 14 Oo Ojj X-, Oj2> *-'13^ ^21 > ^22~-^) ^n> '-'24 ^31? ^^32; '^33 -^> '^34 ^4l> ^42> ^43» ^44" 80, daß dabei (71) S,, + S,, + S,, + S^ = 0 wird. Alsdann bedeutet L die in den Indizes 1, 2, 3, 4 symmetrische Ver- bindung (72) L = Y {fn -^23 + /3I -^31 + /"12 -^12 + /"u-^l 4 + /24-^24 + /34-^34)? und es wird (73) '^11 — 2 \'23-'^23 T/ 34 -^34 1/42^42 /l2-^12 /13-^13 fli-'^li)) ^12 = As -^82 + ^4-^42^ '^- S. f- Indem ich die Realitätsverhältnisse zum Ausdruck bringe, will ich noch <74) /S '^n; ^^12? ''^]3> ''^14 ^^21? '^22> '-*23> '^24 '^Slf ^82? '^337 '^34 '^41> ^42J '^437 '^44 Y —iXt,—iY„ ^x, -*^x ^.. -*^. ^., ~iT, ^» T, schreiben, wobei dann Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge. 387 (75) x,^t^m,-tMy, nnd auch (76) L = \ (mM. + rti^^y + rnßl, - e,(£, - e^(£, - e,@J sämtlich reell sind. In den Theorien für ruhende Körper kommen die Verbindungen X^, X^, Z„ Y^, Y^, Y^, Z^, Z^, Z^ unter dem Namen „Maxwellsche Spannungen" die Größen T^, T^, T^ als „Poyntingscher Vektor*', Tf als „elektromagnetische Energiedichte für die Volumeneinheit" vor und wird L als ,,Lagrangesche Funktion" bezeichnet. Wir finden nun andererseits durch Zusammensetzung der zu f und F dualen Matrizen in umgekehrter Folge sofort — Äji — L, ~ S^^, — ^13 , — >Si4 ^31 } ^327 ^33 ~ A ''^34 und können hiemach setzen (78) fF^S-L, F*f* = -S-L, indem wir unter L das Vielfache L • 1 der Einheitsmatrix, d. h. die Matrix der Elemente '•^^**' V A,^- = l,2,3,4 / verstehen. Daraus folgern wir weiter, indem hier SL — LS ist, F*f*fF={-S-L){S-L)==~-SS + L\ und finden, da f*f=I)et^ f, F* F = Det^ F iat, die interessante Beziehung: (79) SS = L^- Det ^ f Det^ jP, d. h. das Produkt der Matrix S in sich selbst ist ein Vielfaches der Ein- heitsmatrix, eine Matrix, in welcher außerhalb der Hauptdiagonale alle Elemente NuU und in der Diagonale aUe Elemente gleich sind und als gemeinsamen Wert die hier rechts angegebene Größe haben. Es gelten also allgemein die Relationen 26* (77) F*f*== 388 Zur Physik. (80) ^U'^l* +A2 ^2* + ^hZ^Sk + ^A4^4* = ö hei ungleichen Indizes h, Je aus der BeiJie 1, 2, 3, 4 und (81) S,,S,,i- S,,S,, + S,,S,, + S,,S,, ^U- Defc '^YDet '^ F für /i= 1,2,3,4. Indem wir jetzt anstatt F und f in den Verbindungen (72), (73) mittels (55), (56), (57) die elektrische Buh-Kraß O, die magnetische Ruh- Kraft Y, den Ruh-Strahl Q einführen, gelangen wir zu den Ausdrücken: (82) Z = --i«00 + |iitW, (83) >S,, = -|.cD-0e,,-|f.YV6,, - Q^m;;^ - Efiw^ Q^ {h,k= 1, 2, 3, 4); darin sind noch einzusetzen 00 = (Dj2 + (D^S + CD32 + 0)/, Y Y = Yi^ 4. X|/^2 _^ X|/^2 _^ X^J^ Nämlich jedenfalls ist die rechte Seite von (82) ebenso wie L eine Invariante bei den Lorentz- Transformationen und stellen die 4x4 Ele- mente rechts in (83) ebenso wie die S^j^ eine Raum -Zeit -Matrix II. Art dar. Mit Rücksicht hierauf genügt es schon, um die Relationen (82), (83) allgemein behaupten zu können, sie nur für den Fall w^ = 0, M'g = 0, w^ = 0, w^ = i zu verifizieren. Für diesen Fall tt) = 0 aber kommen (83) und (82) durch (47), (51), (60) einerseits, e = «@, 9JJ=^m andererseits unmittelbar auf die Gleichungen (75) und (76) hinaus. Der Ausdruck rechts in (81), der = (y (mm - e@))' -h (em) (@3«) ist, erweist sich durch (cm) = £0¥, (@3R) ==/x^0Y als ^0; die Quadrat- Wurzel aus ihm, ^ 0 genommen, mag im Hinblick auf (79) mit Det * 5 bezeichnet werden. Für S, die transponierte Matrix von S, folgt aus (78), da f = — f, F i^ ist, (84) Ff=S-L, ßF*^-S-L. Sodann ist _ Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge. 389 eine alternierende Matrix und bedeutet zugleich einen Raum-Zeit -Vektor n. Art. Aus den Ausdrücken (83) entnehmen wir sofort (85) S-S =-{su-l)[w, Q], woraus noch (vgl. (57), (58)) (86) w{S-S)*^0, (87) w{S-S) =(£.a-l)Q herzuleiten ist. Wenn in einem Baum-ZeitpunMe die Materie ruM, ftj = 0 ist, so be- deutet (86) das Bestellen der Gleichungen ferner hat man dann nach (83): Xf = s^Qi, T^ = suQz, Z^ == £^^3. Nun wird man durch eine geeignete Drehung des räumlichen Koordinaten- systems der X, y, z um den Nullpunkt es bewirken können, daß ausfallen. Nach (71) hat man (88) x,+ ^^-^z, + ^, = o und nach dem Ausdruck in (83) ist hier jedenfalls T^ > 0. Im speziellen Falle, daß auch Q verschwindet, folgt dann aus (81) x/ = r 2 = z/ = T/ = (Det* sy und sind Tj und von den drei Größen X^, Y , Z^ eine = + Det * S, die zwei anderen = — Det * S. Verschwindet Q nicht, so sei etwa Qg =+= 0, dann hat man nach (80) insbesondere und findet demnach Q^ = 0, Qg = 0, Z^ = — T^. Aus (81) und im Hin- blick auf (88) folgt alsdann X^ = ~Y^=^±J)et^S, - Z, = J, ^KDet 2 S + sfiQJ > Det * Ä - Von ganz besonderer Bedeutung toird endlich der Baum- Zeit -Vektor I. AH (89) K=\orS, für den wir jetzt eine wichtige Umformung nachweisen wollen. 390 Zur Physik. Nach (78) ist S ■■= L -\- fF und es folgt zunächst lor 5 = lor L + lor fF. Das Symbol lor bedeutet einen Differentiationsprozeß, der in lor fF einerseits die Komponenten von /', andererseits die Komponenten von F betreffen wird. Entsprechend zerlegt sich lor fF additiv in einen ersten und einen zweiten Teil. Der erste Teil wird offenbar das Produkt der Matrizen (lor f)F sein, darin lor/" als 1 x 4- reihige Matrix für sich auf- gefaßt. Der zweite Teil ist derjenige Teil von lor fF, in dem die Diffe- rentiationen nur die Komponenten von F betreffen. Nun entnehmen wir aas (78) fF=-F*f*-2L- infolgedessen wird dieser zweite Teil von lor fF sein — (lor F*)f* -f dem Teil von — 21oriv, in dem die Differentiationen nur die Komponenten von F betreffen. Danach entsteht (90) lorS = (lor f)F- (lor F*)f* + N, wo N den Vektor mit den Komponenten ^^=i( '^hs TP _| ^/si TP _]_ ^/IS TP _l_ <^/l4 TT» I Ojii 7-T I p/84 TP (h = 1, 2, 3, 4) bedeutet. Durch Benutzung der Grundgleichungen {A} und {B} geht (90) in die fundamentale Belation (91) lorS = - sF + N über. Im Grenzfalle £ = 1, i"- = 1, wo f = F ist, verschwindet N identisch. Allgemein gelangen wir auf Grund von (55), (56) und im Hinblick auf den Ausdruck (82) von L und auf (57) zu folgenden Ausdrücken der Komponenten von N: (92) i^^^-io.i.^-lM'vl^^ für Ä = 1, 2, 3, 4. Machen wir noch von (59) Gebrauch und bezeichnen den Raum -Vektor, der Qi, Qj, Qj als x-, y-, ^-Komponenten hat, mit 223, so kann der letzte, dritte Bestandteil von (92) auch auf die Gestalt Cirandgleichongen föx die elektromagnetischen Verenge. 391 gebracht werden, wobei die Klammer das skalare Produkt der darin auf- geführten zwei Vektoren anzeigt. §14. Die ponderomotorischen Kräfte. Wir stellen jetzt die Relation K = lor S = — sF -\- N ausführlicher dar; sie liefert die vier Gleichungen (94) Z,=^ + ^ + ^-^ = 9@, + §,3K.-§,2K, V / 1 dx oy CS et ^ ' V * » y 2 dx 2 CX ' yi _ jp» \ CXI ' (95) ir, = ^:^ + ^ + ^^'-^5 = ,g^ + g^2«.-V3«/ '^ cy --i cy yi_ß,« \ dy)^ (96) Z3 = ^ + l^ + ^-?§ = (»@, + §,9JJ -§„2», ^ ^ ^ ox ^ cy dz et ^ * ' !f 9 * (97) |ir, = -|^-^^-^-^ = §,@,+ g^@^ + 8,(S, 2 at ' 2 dt j/i _n,s \ ^0, eine liyperholoidische Schale, umfaßt den Raum-Zeitpunkt J.(a;,y,ir,< = 0,0,0,1) und alle Raum -Zeitpunkte Ä', die nach Lorentz-Transformationen als (x', y, z', t' = 0, 0, 0, 1) in den neu eingeführten Bestimmungsstücken x', y', z', f auftreten. Die Richtung eines Radiusvektors OÄ' von 0 nach einem Punkte Ä' von (2) und die Richtungen der in A' an (2) gehenden Tangenten sollen normal zueinander heißen. Verfolgen wir eine bestimmte Stelle der Materie in ihrer Bahn zu allen Zeiten t. Die Gesamtheit der Raum -Zeitpunkte x, y, z, t, die der Stelle zu den verschiedenen Zeiten t entsprechen, nenne ich eine Baum- Zeitlinie. Die Aufgabe, die Bewegung der Materie zu bestimmen, ist dahin aufzufassen: Es soll für jeden Baum -Zeitpunkt die Bichtung der daselbst durchlaufenden Baum-Z^itlinie festgestellt tverden. Einen Raum -Zeitpunkt P{x, y, z, t) auf Buhe transformieren, heißt, durch eine Lorentz-Transformation ein Bezugsystem x', «/', /, t' einführen derart, daß die ^'- Achse OÄ' die Richtung erlangt, die in P die dort durchlaufende Raum-Zeitlinie zeigt. Der Raum t' = konst., der durch P 394 Zur Physik. zu legen ist, soll dann der in P auf der Raum -Zeitlinie normale Raum heißen. Dem Zuwachs dt der Zeit t von P aus entspricht der Zuwachs (3) dr = Ydt^ - dx^ -dy^-d? = d t VF^lö^ä = ^ *^ des hierbei einzuführenden Parameters t'. Der Wert des Integrals auf der Raum-Zeitlinie von irgendeinem festen Anfangspunkte P° an bis zum variabel gedachten Endpunkte P gerechnet, heiße die Eigenheit der betreffenden Stelle der Materie im Raum-Zeitpunkte P. (Es ist das eine Verallgemeinerung des von Lorentz für gleichförmige Bewegungen gebil- deten Begriffs der Ortszeit.) Nehmen wir einen räumlich ausgedehnten Körper P° zu einer be- stimmten Zeit f, so soll der Bereich aller durch die Raum-Zeitpunkte P®, ^ führenden Raum-Zeitlinien ein Raum-Zeitfaden heißen. Haben wir einen analytischen Ausdruck 0(a;,;?/,^,^), so daß Q{x,y,z,t) = 0 von, jeder Raum-Zeitlinie des Fadens in einem Punkte getroffen wird, wobei -(iir-(ii)'-(iir+(i!r>o. ii>« ist, so wollen wir die Gesamtheit Q der betreffenden Treffpunkte einen Querschnitt des Fadens nennen. An jedem Punkte P{x, y, z, t) eines solchen Querschnitts können wir durch eine Lorentz -Transformation ein Bezugsystem x', y , z, t' einführen, so daß hernach dx "' dy' ' dz' ' dt' -^ wird. Die Richtung der betreffenden, eindeutig bestimmten ^'-Achse heiße die obere Normale des Querschnitts Q im Punkte P und der Wert dJ= I j f dx' dy dz' für eine Umgebung von P auf dem Querschnitt ein Inhaltselement des Querschnitts. In diesem Sinne ist P°, t^ selbst als der zur ^- Achse normale Querschnitt t = f des Fadens und das Volumen des Körpers P" als der Inhalt dieses Querschnitts zu bezeichnen. Indem wir den Raum P° nach einem Punkte hin konvergieren lassen, kommen wir zum Begriffe eines unendlich dünnen Raum- Zeitfadens. In einem solchen denken wir uns stets eine Raum -Zeitlinie irgendwie als Hauptlinie ausgezeichnet und verstehen unter der Eigenzeit des Fadens die auf dieser Hauptlinie festgestellte Eigenzeit, unter den Normal- querschnitten des Fadens seine Durchquerungen durch die in den Punkten der Hauptlinie auf dieser normalen Räume. *) Die Bezeichnung mit Indizes und die Zeichen to, w nehmen wir wieder in dem früher festgesetzten Sinne in Gebrauch (s. § 3 und § 4). Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge. 395 Wir formulieren numnehr das Prinzip von der ErJialtung der Massen. Jedem Räume B zu einer Zeit t gehört eine positive Größe, die Masse in R zur Zeit t, zu. Konvergiert JR nach einem Punkte x, y, z, t hin, so nähere sich der Quotient aus dieser Masse und dem Volumen von B einem Grenzwert il(x, y, z, £), der Massendichte im Raum -Zeitpunkte Xy y, z, t Das Prinzip von der Erhaltung der Massen besagt: Für einen un- endlich dünnen Baum -Zeitfaden ist das Produkt ^dJ aus der 3Iassen- dichte a an einer Stelle x, y, z, t des Fadens (d. h. der Hauptlinie des Fadens) und dem Inhalt dJ des durch die Stelle gehenden zur t-Aclise normalen Querschnitts stets längs des ganzen Fadens konstant. Nun wird als Inhalt dJ^ des durch x, y, z, t gelegten Normalquer- schnitts des Fadens (4) dJ„ = ^-z=z^^ dJ = — iw.dJ = ^ dJ ^ ^ " yi — to» ^ dx zu rechnen sein und es möge (5) v= L = t^|/iz:^ = ^^ ^ ' — ixCj^ ' ' ^ dt als Bah- Massendichte an der Stelle x, y, z, t definiert werden. Alsdann kann das Prinzip von der Erhaltung der Massen auch so formuliert werden: Für einen unendlich dünnen Baum- Zeitfaden ist das Produkt aus der Buh-MassendicJite und dem Inhalt des Normalquerschnitts an einer Stelle des Fadens stets längs des ganzen Fadens konstant. In einem beliebigen Raum - Zeitfaden sei ein erster Querschnitt Q^ und sodann ein zweiter Querschnitt Q^ angebracht, der mit Q^ dessen Punkte auf der Begrenzung des Fadens, aber nur diese gemein hat, und die Raum -Zeitlinien innerhalb des Fadens mögen auf Q^ größere Werte t als auf Q^ zeigen. Das von Q^ und Q^ zusammen begi'enzte, im Endlichen gelegene Gebiet soll dann eine Baum- Zeit- Sichel, Q^ die untere, Q^ die obere Begrenzung der Sichel heißen. Denken wir uns den Faden in viele sehr dünne Raum -Zeitfäden zer- legt, so entspricht jedem Eintritt eines dünnen Fadens in die untere Be- grenzung der Sichel ein Austritt aus der oberen, wobei für beide das im Sinne von (4) und (5) ermittelte Produkt vdJ^ jedesmal gleichen Wert hat. Es verschwindet daher die Differenz der zwei Integrale fvdJ^, das erste erstreckt über die obere, das zweite über die untere Begrenzung der Sichel. Diese Differenz findet sich nach einem bekannten Theoreme der Integralrechnung gleich dem Integrale J JJ J ^^ ^^ ^y ^^ ^^* 396 Zur Physik. erstreckt über das ganze Gebiet der Sichel, wobei (vgl. (67) in § 12) lor VW = -^ — - + - + -ö-^ 4- -~ö— ^ cx^^ cx^ ox^ ox^^ ist. Wird die Sichel auf einen Raum -Zeitpunkt Xy y, z, t zusammen- gezogen, so folgt hiernacb die Differentialgleichung (6) lor VW = 0, d. i. die Kontinuitätsbedingung d^va^ gfitoy diixo, ,di_^ dx ~^ dy ^ dz ^ dt ~ Wir bilden ferner, über das ganze Gebiet einer Raum -Zeit -Sichel erstreckt, das Integral (7) N ^ffffv dx dy dz dt Wir zerschneiden die Sichel in dünne Raum -Zeitfäden und jeden dieser Fäden weiter nach kleinen Elementen dt seiner Eigenzeit, die aber noch gegen die Lineardimensionen der Normalquerschnitte groß sind, setzen die Masse eines solchen Fadens vdJ„ = dm und schreiben noch x^ und x^ für die Eigenzeit des Fadens auf der unteren bzw. der oberen Begrenzung der Sichel; alsdann ist das Integral (7) auch zu deuten als ffvdJ^dx :=f{x^-t^)dm über die sämtlichen Fäden in der Sichel. Nun fasse ich die Raum -Zeitlinien innerhalb einer Raam-Zeit-Sichel gleichsam wie substanzieüe Kurven aus substanziellen Punkten bestehend auf und denke sie mir einer kontinuierlichen Lagenveränderung innerhalb der Sichel in folgender Art unterworfen. Die ganzen Kurven sollen irgendwie unter Festhaltung der EndpunMe auf der unteren und der oberen Begrenzung der Sichel verrückt und die einzelnen substanziellen Punkte auf ihnen dabei so geführt werden, daß sie stets normal m den Kurven fortschreiten. Der ganze Prozeß soU analytisch mittels eines Parameters ^ darzustellen sein und dem Werte ■9' = 0 sollen die Kurven in dem wirklich stattfindenden Verlauf der Raum-Zeitlinien innerhalb der Sichel entsprechen. Ein solcher Prozeß soll eine virtuelle Verrückung in der Sichel heißen. Der Punkt x, y, z, t in der Sichel für d- == 0 möge beim Parameter- werte & nach X -f- dx, y + dy, z -j- dz, t -{• dt gekommen sein; letztere Größen sind dann Funktionen von x, y, z, t, %-. Fassen wir wieder einen unendlich dünnen Raum -Zeitfaden an der Stelle x, y, z, t auf mit einem Normalquerschnitte von einem Inhalte dJ^^ und ist dJ^-\- ddJ„ der Inhalt des Normalquerschnitts an der entsprechenden Stelle des variierten Fadens, so wollen wir dem Prinzipe von der Erhaltung der Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge. 397 Massen in der Weise Reclmuiig tragen, daß wir an dieser variierten Stelle eine Ruh-Massendichte v -\- dv gemäß (8) {v + dv) {dJ^ + ddJ„) = vdJ^ = dm annehmen, unter v die wirkliche Ruh-Massendichte an x, y, z, t ver- standen. Zufolge dieser Festsetzung variiert dann das Integral (7), über das Gebiet der Sichel erstreckt, bei der virtuellen Yerrückung als eine bestimmte Funktion N -}- ^N von O- und wir wollen diese Funktion N + dN die Massenwirkung bei der virtuellen Verrückung nennen. Ziehen wir die Schreibweise mit Indizes heran, so wird sein: (9) rf(.,+ ,.,)^d., + 2^''-*+W''* (aIM'm)- k i } } Nun leuchtet auf Grund der schon gemachten Bemerkungen alsbald ein, daß der Wert von N + dN beim Parameterwerte ^ sein wird: (10) N + dN -Jffjv ^-^^^^dxdydzdt, über die Sichel erstreckt, wobei d{x-\-8x) diejenige Größe bedeutet, die sich aus ]/- {dx^ + d8x^^ - (dx^ + dÖx^y — {dx^ + ddx^f — {dx^ + döx^'* mittels (9) und dx^ = U/\dt, dx.^ = w^dx, dx^ = u\dt, dx^ = w^dr, dd- = 0 ableitet; es ist also Nun wollen wir den Wert des Differentialquotienten fd(N + ^3; ^47 ^ för d- = 0 allgemein verschwindet, so ist auch allgemein -o — - = 0 für 'd' = 0. Setzen wir nun (13) 6*1*),,, = i. ('. = 1, 2, 3, 4). so folgt auf Grund von (10) und (11) für den Ausdruck (12): -Jffß 2 »■» (H «■. + H «'' + H «-» + al "*) ''^ ''V <" <"■ Für die Systeme x^, x.^, x^, x^ auf der Begrenzung der Sichel sollen n9\ /d(N + JN)\ 398 Zur Physik. dx^, dx^, Sx^, 8x^ bei jedem Werte •9- verschwinden und sind daher auch li, I27 ^3) ^4 überall Null. Danach verwandelt sich das letzte Integral durch partielle Integration in dx. -{■^-^)dxdydzdt. Darin ist der Klammerausdruck k k Die erste Summe hier verschwindet zufolge der Kontinuitätsbedingung (6), die zweite läßt sich darstellen als ^Wf^ dx^ dwj^ dx^ dx^ dt dx^ dx dwf^ dx^ , dwj^ d^ ^ dni^ ^ d^ l^h\ dx^ dt dx^ dt dt dxxdt' d^ dt wobei durch ~ Dififerentialquotienten in Richtung der Raum -Zeitlinie einer Stelle angedeutet werden. Für den Bifferentialquotienten (12) resultiert damit endlich der Ausdruck Für eine virtuelle Verrückung in der Sichel hatten wir noch die Forderung gestellt, daß die substanziell gedachten Punkte normal zu den aus ihnen hergestellten Kurven fortschreiten sollten; dies bedeutet für 'S" == 0, daß die |j der Bedingung (15) w^ ^1 + ««'ala + ^3^3 + «^4 ^4 = ö zu entsprechen haben. Denken wir nun an die Maxwellschen Spannungen in der Elektro- dynamik ruhender Körper und betrachten wir andererseits unsere Er- gebnisse in den §§ 12 und 13, so liegt eine gewisse Anpassung des Hamiltonschen Prinzipes für kontinuierlich ausgedehnte elastische Medien an das Relativitätspostulat nahe. An jedem Raum -Zeitpunkte sei (wie in § 13) eine Raum -Zeit- Matrix n. Art (16) Ä = '^ii? '-'12? ''^is? S, 21? ^22? '^23> 24 ^il) ^32 > '^BS; ^417 ^42 > ''^43> bekannt, worin X^, Y^, .,z. T Y V Xz , Yz , ■iX,, -iY,, ., X^, . . ., Tf reelle Größen sind. Z., -iT, ^y^ -'^y Zz, -iZ iZ,, T, Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge. 399 Für eine virtuelle Verrüekung in einer Raum -Zeit -Sichel bei den vorhin angewandten Bezeichnungen möge der Wert des Integrals (17) w+SW=JJJJ{^sJ-^^i±^)dxdyd.dt, über das Gebiet der Sichel erstreckt, die Spannungswirkung bei der vir- tuellen Verrückung heißen. Die hier vorkommende Summe, ausführlicher und mit reellen Größen geschrieben, ist , ^ ddX ^ dSx ry oSz "T ^_ -5 r -&-,, -7^ r ' * ■ "r ^. ~ö — * ^x ' y oy 'dz Wir woUen nun folgendes Minimalprinzip für die Meclianik ansetzen: Wird irgendeine Haiuyi- Zeit -Sichel abgegrenzt, so soll hei jeder vir- tueäen Verrüekung in der Sichel die Summe aus der Massentvirkung und aus der Spannungsuirkung für den wirklich stattfindenden Verlauf der Raum- Zeitlinien in der Sichel stets ein JExtremum sein. Der Sinn dieser Aussage ist, daß bei jeder virtuellen Verrückung in den vorhin erklärten Zeichen sein soU. Nach den Methoden der Variationsrechnung folgen aus diesem Minimal- prinzipe unter Rücksichtnahme auf die Bedingung (15) und mittels der Umformung (14) sogleich die folgenden vier Differentialgleichungen (19) v^-^^ = K, + KW, (A=l,2,3,4), wo die Komponenten des Raum -Zeit -Vektors I. Art K=^\orS sind und X ein Faktor ist, dessen Bestimmung auf Grund von t<;i^ = — 1 zu er- folgen hat. Durch Multiplikation von (1^) mit Wj^ und nachherige Summation über A = 1, 2, 3, 4 findet man x = Kw und es wird K -\- {Kw) w offenbar ein zu w normaler Raum - Zeit -Vektor I. Art. Schreiben wir die Komponenten dieses Vektors X, Y, Z, iT, 400 Zur Physik. SO gelangen wir nunmehr zu folgenden Gesetzen für die Bewegung der Materie: d dx -y- dt dt ' (21) Dabei gilt und d dy -^r dt dx ' d dz rr dx dx ' d dt rri dx dx Xdx) '^Xdxl "^ \dx} ~ \dxl dx dt dt dt ' und auf Grund dieser Umstände würde sich, die vierte der Gleichungen (21) als eine Folge der drei ersten darunter ansehen lassen. Aus (21) leiten wir weiter die Gesetze für die Bewegung eines materiellen Punktes, das soll heißen für den Verlauf eines unendlich dünnen Raum-Zeitfadens ab. Es bezeichne x, y-, z, t einen Punkt der im Faden irgendwie an- genommenen Hauptlinie. Wir bilden die Gleichungen (21) für die Punkte des Normalquerschnitts des Fadens durch x, y, z, t und integrieren sie, mit dem Inhaltselement des Querschnitts multipliziert, über den ganzen Raum des Normalquerschnitts. Sind die Integrale der rechten Seiten dabei B^, B^, B^, B^ und ist m die konstante Masse des Fadens, so entsteht (22) Ui UM dx dx = K, d dy dx dx -^^ d dz dx dx = A, d dt dx dx ^B, Dabei ist wieder B mit den Komponenten B^, B^, R^, iB^ ein Raum- Zeit -Vektor I. Art, der zu dem Raum -Zeit -Vektor I. Art w, Geschwin- digkeit des materiellen Punktes, mit den Komponenten dx dy dz . dt dV' d^' d7' *d7 Grandgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge. 401 normal isi Wir wollen diesen Vektor R die bewegende Kraft des materiellen Punktes nennen. Integriert man jedoch die Gleichungen statt über den Xormalquer- schnitt des Fadens entsprechend über den zur t-ÄcJise normalen Querschnitt des Fadens, der durch x, y, z, t gelegt ist, so entstehen (s. (4)) die Gleichungen {22), multipliziert noch mit ^, insbesondere als letzte Gleichung darunter dt \dr/ ^ ^ dt * y y dt ^ ^ ' dt Man wird nun die rechte Seite als Arbeitsleistung am materiellen Pankte für die Zeiteinheit aufzufassen haben. In der Gleichung selbst wird man dann den Energiesatz für die Bewegung des materiellen Punktes sehen und den Ausdruck als Mnetisclie Energie des materiellen Punktes ansprechen. Indem stets dt > dt ist, konnte man den Quotienten — ^ ^ '^^s Vorgehen der Zeit gegen die Eigenzeit des materiellen Punktes bezeichnen und dann sich ausdrücken: Die kinetische Energie eines materiellen Punktes ist das Produkt seiner Masse in das Vorgehen der Zeit gegen seine Eigenzeit. Das Quadrupel der Gleichungen (22) zeigt wieder die durch das Relativitätspostulat geforderte voUe Symmetrie in x, y, z, it, wobei der vierten Gleichung, wie wir dies bereits in der Elektrodynamik analog an- trafen, gleichsam eine höhere physikaliscJie Evidenz zuzuscJireiben ist. Auf Grund der Forderung dieser Symmetrie ist nach dem Muster der vierten Gleichung schon sofort das Tripel der drei ersten Gleichungen aufzubauen und im Hinblick auf diesen Umstand ist die Behauptung gerechtfertigt: Wird das Relativ itätspostulai an die Spitze der MecJianik gestellt, so folgen die vollständigen Bewegimgsgesetze allein aus dem Satze von der Energie. Ich möchte nicht unterlassen, noch plausibel zu machen, daß nicht von den Erscheinungen der Gravitation her ein Widerspruch gegen die Annahme des Relativitätspostulates zu erwarten ist.*) Ist B* (x*, y*, z*, f^) ein fester Eanm-Zeitpunkt, so soll der Bereich aller derjenigen Raum-Zeitpunkte B(x, y, z, t), für die *) In einer ganz anderen Weise, als ich hier vorgehe, hat H. Poincare (Rendi- conti del Circolo Matematico di Palermo, T. XXI (1906), p. 129) das Newtonsche Attraktionsgesetz dem Relatiritätspostnlate anzupassen yersucht. Minkowski, Gesammelte Abhandlungen. II. 26 402 Zur Physik. (23) {x-c(f'y->r{y-y'^f-\-{z-^y={t-t^)\ t-t*^0 ist, das Strahlgebilde des Raum-Zeitpunktes B* heißen. Von diesem Gebilde wird eine beliebig angenommene Raum-Zeitlinie stets nur in einem einzigen Raum-Zeitpunkte B geschnitten, wie einerseits aus der Konvexität des Gebildes, andererseits aus dem Umstände hervor- geht, daß alle Riehtungen der Raum -Zeitlinie nur Richtungen von B* nach der konkaven Seite des Gebildes sind. Es heiße dann B* ein Licht- punkt von B. Wird in der Bedingung (23) der Punkt B{x, y, z, t) fest, der Punkt B* (x*, y*, IS*, t*) variabel gedacht, so stellt die nämliche Relation den Bereich aller Raum-Zeitpunkte B* dar, die Lichtpunkte von B sind, und es zeigt sich analog, daß auf einer beliebigen Raum -Zeitlinie stets nur ein einziger Punkt B* vorkommt, der ein Lichtpunkt von B ist. Es möge nun ein materieller Punkt F von der Masse m bei Vor- handensein eines anderen materiellen Punktes F* von der Masse m* eine bewegende Kraft nach folgendem Gesetze erfahren. Stellen wir uns die Raum-Zeitfäden von F und F* mit Hauptlinien in ihnen vor. Es sei BC ein unendlich kleines Element der Hauptlinie von F, weiter B* der Lichtpunkt von B, C* der Lichtpunkt von C auf der Hauptlinie von F*, sodann OÄ' der zu B*C* parallele Radiusvektor des hyperboloidischen Grundgebildes (2), endlich D* der Schnittpunkt der Geraden B*C* mit dem durch B zu ihr normal gelegten Räume. Die bewegende Kraft des MassenpUnMes F im Raum -Zeitpunkte B möge nun sein derjenige m BC normale Raum-Zeit-Vektor I. Art, der sich additiv zusammensetzt aus dem Vektor (24) mm* (^4*)'^^ in Richtung BB* und dazu einem geeigneten Vektor in Richtung B*C*. Dabei ist unter OÄ'/B*D* das Verhältnis der betreffenden zwei parallelen Vektoren verstanden. Es leuchtet ein, daß diese Festsetzung einen ko Varianten Charakter in bezug auf die Lorentzsche Gruppe trägt. Wir fragen nun, wie sich hiernach der Raum-Zeitfaden von F ver- hält, falls der materielle Punkt F* eine gleichförmige Translationsbewegung ausführt, d. h. die Hauptlinie des Fadens von F* eine Gerade ist. Wir verlegen den Raum-Zeit-Nullpunkt 0 in sie und können durch eine Lorentz- Transformation diese Gerade als ^-Achse einführen. Nun bedeute x, y, z, t den Punkt B und es sei t* die Eigenzeit des Punktes B*, von 0 aus gerechnet. Unsere Festsetzung führt hier zu den Gleichungen d^x m*x d^y tn*y d^z {t—xy dz* ~ (f-T*)»' dz* ~ m*z dr* {t—zy d't m* d(t — z*) dz*~ {t — r*)* dt ' Grundgleichrmgen für die elektromagnetischen Vorgänge. 403 (25) und (26) wobei (27) :,^^^y2 + ,-2^(t-r*y und (28) ©'+(fi)*+a=(^:)"-i ist. Die drei Gleichungen (25) lauteu in Anbetracht von (27) genau wie die Gleichungen für die Bewegung eines materiellen Punktes unter An- ziehung eines festen Zentrums nach dem Newtonschen Gesetze, nur daß statt der Zeit t die Eigenzeit r des materiellen Punktes tritt. Die vierte Gleichung (26) gibt sodann den Zusammenhang zwischen Eigenzeit und Zeit für den materiellen Punkt. Es möge nun die Bahn des Raumpunktes x, y, z für die verschiedenen x eine Ellipse mit der großen Halbachse a, der Exzentrizität e sein und in ihr iJ die exzentrische Anomalie bedeuten, T den Zuwachs an Eigenzeit für einen vollen Umlauf in der Bahn, endlich «T = 2« sein, sodaß bei geeignetem Anfangspunkte von x die Kepler sehe Gleichung (29) WT = J5 - e sin i? besteht. Verändern wir noch die Zeiteinheit und bezeichnen die Licht- geschwindigkeit mit c, so entsteht aus (28): /oAN /^^\* 1 *"* 1 + «C0Sj& ^ ^ \dz) ac* 1 — ecosii Unter Vernachlässigung von c~* gegen 1 folgt dann j. j /^ , 1 m* l-}-eco8.E\ ndt = ndx \l-\--^ — » t-^ ^ ) , woraus mit Benutzimg von (29) sich 31) nt-\- konst. = ( 1 -}- — -^) nx -\- —^ ein E ^ \ 2 ac*J ac' m* '. ergibt. Der Faktor — , hierin ist das Quadrat des Verhältnisses einer ge- wissen mittleren Geschwindigkeit von F in seiner Bahn zur Lichtge- schwindigkeit. Wird für m* die Masse der Sonne, für a die halbe große Achse der Erdbahn gesetzt, so beträgt dieser Faktor 10" ®. 26* 404 Zur Physik. Ein Anziehungsgesetz für Massen gemäß der eben erörterten und mit dem Relativitätspostulate verbundenen Formulierung würde zugleich eine Fortpflanzung der Gravitation mit Lichtgeschwindigkeit bedeuten. In An- betracht der Kleinheit des periodischen Termes in (31) dürfte eine Entschei- dung gegen ein solches Gesetz und die vorgeschlagene modifizierte Mechanik zugunsten des Newtonschen Attraktion sgesetzea mit der Newtonschen Mechanik aus den astronomischen Beobachtungen nicht abzuleiten sein. Inhaltsübersicht. Seite Einleitung. Theorie von Lorentz; Theorem, Postulat, Prinzip der Relativität 352 § 1. Bezeichnungen 354 Erster Teil. Betrachtung des Oreuzfalles Äther. § 2. Die Grundgleichungen für den Äther 355 § 3. Das Theorem der Relativität von Lorentz 356 § 4. Spezielle Lorentz -Transformationen 359 § 5. Raum-Zeit -Vektoren I. und II. Art 362 § 6. Begriff der Zeit 365 Zweiter Teil. Die elektromagnetischen Vorgänge. § 7. Die Grundgleichungen für ruhende Körper 366 § 8. Die Grundgleichungen für bewegte Körper 368 § 9. Die Grundgleichungen in der Theorie von Lorentz 372 § 10. Die Grundgleichungen nach E. Cohn 373 § 11. Typische Darstellung der Grundgleichungen 374 § 12. Der DifFerentialoperator lor 382 § 13. Das Produkt der Feldvektoren fF 386 § 14. Die ponderomotorischen Kräfte 391 Anhang. Mechanik und Belativitätspostulat. Raum -Zeit -Linien, Eigenzeit, Anpassung des Hamiltonschen Prinzipes, Energie- satz und Bewegungsgleichungen, Gravitation 392 XXXI. Eine Ableitung der Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern vom Standpunkte der Elektronentheorie. (Aus dem Nachlaß von Hermann Minkowski bearbeitet von Max Born in Göttingen.) (Mathematische Annalen, Band 68, S. 526 — 556.) Kurze Zeit vor seinem Tode hat mir Hermann Minkowski gesprächs- weise den Grundgedanken der vorliegenden Arbeit mitgeteilt. Es handelt sich dabei um eine Ableitung der Grundgleiehungen für die elektromag- netischen Vorgänge in bewegten Körpern, die sich nahe an den von H. A. Lorentz eingeschlagenen Weg*) anschließt; es sollen nämlich aus den im freien Äther geltenden Grundgleichungen die Gesetze für bewegte Körper dadurch hergeleitet werden, daß die Bewegungen der in der Materie eingebetteten Elektrizität (Elektronen) verfolgt werden. Minkowski behauptete damals, daß der von Lorentz eingeschlagene Weg, die Mittel- werte der von den Elektronen herrührenden Effekte zu bestimmen, mathe- matisch äquivalent sei einer Reihenentwicklung nach einem Parameter, der die mittlere Verschiebung der Elektronen aus ikren Ruhelagen im Inneren der Materie mißt. Einige Tage später teilte er mir mit, daß das Glied 1. Ordnung in dieser Reihe in der Tat als dielektrische Polarisation gedeutet werden könne; seiner Überzeugung nach müsse das Glied 2. Ord- nung die Magnetisierung darstellen. Aus der Beschäftigung mit diesen Gedankengängen hat ihn der Tod herausgerissen**). *) Vgl. H. A. Lorentz ^ Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften, V 2, Art. 14, Abschnitt IV, Elektromagnetische Vorgänge in ponderablen Körpern, S. 200. M. Abraham, Elektromagnetische Theorie der Strahlung, Leipzig 1908, 2. Aufl., 2. Abschnitt, Elektromagnetische Vorgänge in wägbaren Körpern, § 28, S. 288. **) In seinem auf der 80. Naturforscher- Versammlung zu Köln gehaltenen Vortrage „Raum und Zeit" (Physikalische Zeitschrift, 10. Jahrg. 1909, S. 104, und Jahresberichte 406 Zur Physik. Als mir von Herrn Hubert die auf die Elektrodynamik bezüglichen Papiere Minkowskis anvertraut wurden, habe ich sogleich gesucht, ob darin auf den genannten Gegenstand bezügliche Aufzeichnungen vorhanden seien. Ich konnte aber nur wenige Anhaltspunkte finden; denn diese über hundert eng mit Formeln bedeckten Blätter enthalten kein einziges Wort des Textes oder der Erklärung der gebrauchten Zeichen. Erst als es mir gelungen war, die Minkowskischen Ideen gemäß seinen mündlichen Mit- teilungen zu rekonstruieren, habe ich in seinen Aufzeichnungen Stellen gefunden, die mit den von mir gewonnenen Formeln identisch zu sein scheinen. Aus diesen Gründen übergebe ich diese Arbeit unter Minkowskis Namen der Öffentlichkeit. In der Ausdracksweise und den Bezeichnungen werde ich mich nach Möglichkeit Minkowskis Gebrauche anschließen, und ich verweise dieserhalb auf seine Abhandlung: Die Grundgleichungen für die eleMromagnetiscJien Vorgänge in bewegten Körpern*). Einleitung. In der zitierten Abhandlung hat Minkowski die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern mit Hilfe der in § 8, S. 368, formulierten Axiome aufgestellt. Dabei werden die in der Tat wohl nicht mehr angefochtenen Grundgleichungen für ruhende Körper (§ 7, Gleichungen (I) bis (V), S. 367) als bekannt voraus- gesetzt. Dieser Standpunkt entspricht nicht den Absichten von H. A. Lorentz, der die Vorgänge in materiellen Körpern durch geeignete Hilfshypothesen über Verschiebungen und Bewegungen der in die Materie eingelagerten Elektronen zu erklären sucht. Hierbei werden nicht die aus der Erfahrung induktiv gewonnenen MaxweU-Hertzschen Grundgleichungen für ruhende materielle Körper, sondern die für den reinen Äther von Lorentz hypo- thetisch angenommenen Gesetze, die eine Art Idealisierung der MaxweU- schen Gleichungen sind, als Ausgangspunkt gewählt. Diese Gesetze ver- knüpfen die Vektoren elehtrische Feldstärice @ und magnetische Erregung des der deutschen Mathematiker- Vereinigung, Bd. 18, S.75; auch als Sonderabdruck erschienen, Leipzig, B. G. Teubner 1909; diese Ges. Abhandlungen, Bd. II, S. 431) hat Minkowski auf die Möglichkeit einer solchen elektronentheoretischen Ableitung der Grund- gleichungen hingewiesen und eine Veröffentlichung darüber in Aussicht gestellt. *) Nachrichten der K. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, mathe- matisch-physikalische Klasse, 1908, S. 54; diese Ges. Abhandlungen, Bd. II, S. 352. (Im folgenden zitiert als „Grundgleichungen"; die Seitenzahlen der Zitate beziehen sich auf vorstehenden Abdruck.) Die Grundgleichtmgen vom Standpunkte der Elektronentheorie. 407 reinen Äthers 9)J*) mit dem Konvektionsstrom der Elektrizität; ist q die Baumdichte und ro der Raumvektor Geschivindigkeit der EleUrizität (der Elektronen), so lauten die Grundgleichungen für den Äther: (I) curl2K--|? = -^ro, ^ c dt c ^ ' (II) div (£ = p , (HI) curl(S + i-^^ = 0, (IV) div9Ji = 0. Dabei ist ein geeignetes Bezugsystem rechtwinkliger Raum -Koordinaten X, y, z und der Zeit t angenommen; die Lichtgeschwindigkeit im leeren Räume ist mit c bezeichnet**). Lorentz teilt nun die Elektronen, deren Ladungen und Bewegungen in den rechten Seiten der Gleichungen (I), (II) auftreten, in mehrere Gruppen ein. Die erste Gruppe bilden die LeüungseleMronen, die sich wesentlich unabhängig von der Materie durch diese hindurch bewegen; sie konstituieren den „Leitungsstrom" und ihre Ladungen bilden die „wahre Elektrizität". Die zweite Gruppe bilden die Polarisatmiselektronen, die Gleichgewichtslagen im Inneren der materiellen Moleküle besitzen, aus denen sie durch die Einwirkung des elektromagnetischen Feldes verschoben werden können; die dadurch abgeänderte Dichte der Elektrizität wird als die der „freien Elektrizität" bezeichnet. Die dritte Gruppe sind die MagnetisierungseUMronen , die Umlaufsbewegungen um Zentra innerhalb der Materie ausführen und, analog den Ampereschen molekularen Kreis- strömen, zu den Erscheinungen der Magnetisierung Anlaß geben. Indem nun Lorentz die Mittelwerte der Anteile des Konvektionsstromes, die von den drei Arten der Elektronen herrühren, in geeigneter Weise umformt, gelangt er zu seinen Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vor- gänge in den materiellen Körpern. Wie Minkowski***) gezeigt hat, sind diese Gleichungen für bewegte Köi-per nicht mit dem Relativitätspostulat vereinbar; und die Gleichungen, die Lorentz speziell für nichtmagnetisierte Körper angibt, sind es nur approximativ, was aber seinerseits nur durch *) In Übereinstimmung mit H. A. Lorentz haben wir die den Zustand des Äthers charakterisierenden Vektoren in dieser Weise zu bezeichnen, um sie nachher in den Grundgleichungen für materielle Körper richtig deuten zu können; daraus entspringt die Abweichung der hier gebrauchten Bezeichnung von der Minkowskis in § 2 der zitierten Arbeit. **) Um den Vergleich mit der Lorentzschen Theorie zu erleichtem, habe ich Ca vermieden, c == 1 zu setzen; durch den Gebrauch der Minkowskischen Indizesbe- zeichnung wird die Rechnung durch das Mitführen von c nicht belastet. ***) Grundgleichungen, Einleitung, S. 353. Vgl. auch S. 427 vorliegender Arbeit. 408 Zur Physik. zwei sicli kompensierende Widersprüclie gegen das Relativitätsprinzip zu- stande kommt*)- Indem wir uns die Aufgabe stellen, die Grundgleichungen für be- wegte Körper allgemein auch unter Zulassung der Magnetisierung aus den Grundgleichungen im Äther abzuleiten, bemerken . wir zuerst, daß von der charakteristischen Hypothese der Elektronentheorie, der atomisti- schen Struktur der Elektrizität, bei der Lorentzschen Ableitung nur ein sehr beschränkter Gebrauch gemacht wird; denn durch die Mittel wert- bildung über „physikalisch unendlich kleine" Bereiche wird diese Struktur vollständig verwischt, und die Mittelwerte, auf die es allein ankommt, werden als stetige Funktionen des Ortes und der Zeit angesehen. Wir verzichten daher überhaupt darauf, auf die feinere Struktur der Elektrizität einzugehen. Von den Lorentzschen Vorstellungen benutzen wir nur soviel, daß wir annehmen, die Elektrizität sei ein Kontinuum, das die Materie überall durchdringt, zum Teil sich frei innerhalb derselben be- wegen kann, zum Teil aber an sie gefesselt ist und nur sehr kleine Be- wegungen relativ zu ihr ausführen kann. Will man näheren Anschluß an Lorentz erreichen, so kann man alle im folgenden vorkommenden Größen als jene Lorentzschen Mittelwerte ansehen; es ist dann aber hier nicht nötig, sie als solche durch besondere Zeichen von den auf die einzelnen Elektronen bezogenen Größen zu unter- scheiden, weil wir von den letzteren nirgends Gebrauch machen. Um von vornherein sicher zu sein, daß alle Formeln mit dem Rela- tivitätspostulate in Übereinstimmung sind, genügt es, bei der mathematischen Formulierung der soeben ausgesprochenen Grundannahme die von Minkowski eingeführte vierdimensionale Vektorrechnung und die von ihm statuierten Symmetrien, vor allem die der Raumkoordinaten x, y, z und der mit ci multiplizierten Zeit t, in den Vordergrund zu rücken. Dadurch wird die Kovarianz der Formeln gegenüber Lorentz -Transformationen in Evidenz gesetzt. Femer setzen wir voraus, daß aUe vorkommenden Geschwindigkeiten kleiner als die Lichtgeschwindigkeit sind. *) Letzteren Mangel hat Herr Ph. Frank (Annalen der Physik (4), Bd. 27, 1908, S. 1059) beseitigt, indem er, dem Lorentzschen Gedankengange sonst im wesentlichen folgend, die dem Relativitätspostulate äquivalente Kontraktionshypothese an einer früheren Stelle einführt, als es bei Lorentz geschieht. durch Die Gnmdgleichnngen vom Standpunkte der Elektronentheorie. 409 §1. Bezeichnungeii. Nach Minkowski ersetzen wir Xy y, z, ict X^, iCg, x^f x^. Mit Xo bezeichnen wir den Raumvektor GescfiwindigJceit der Materie mit den Komponenten »x, »y. ft».- Aus diesen bilden wir den Raum-Zeit -Vektor I. Art w mit den Kom- ponenten: to tu tu t ' .y.-^' - ey.-y e|/._- y._i^' wobei tt) I =-= ynj/ -f- tt)y* + tt)^* den Betrag der Geschwindigkeit bedeutet. Die Größen tv^ erfüllen die Relation: Wj^ + w^^ -\- w^^ + w^ = — 1 . Die Gesclnvindiglceit der Elektrizität haben wir in (I) bis (IV) mit vo be- zeichnet; diesem Raumvektor ordnen wir in analoger Weise einen Raum- Zeit -Vektor I. Art w zu. Aus der Dichte q der Elektrizität bilden wir die gegenüber Lorentz- Transformationen invariante Riih-Dichie: Co =^V^-% Die Raumvektoren magnetische Erregung 9JJ und elektrische Feldstärke @ fassen wir zu dem Raum-Zeit- Vektor 11. Art F zusammen, indem wir durch F. F F F F F ersetzen. Mit Hilfe des Minkowski sehen Differentialoperators lor, der als der Raum-Zeit -Vektor I. Art j_a_ _a_ _a_ j_ definiert ist, können wir dann die Grundgleichungen (I) bis (IV) in folgende symbolische Gleichungen zusammenfassen: (A) lorF Q^w, (B) lori^* = 0. 410 Zur Physik. §2. Die Zerlegung der elektrischen Strömung. Die Strömung der Elektrizität, die durch den Raura-Zeit -Vektor w und die Ruh-Dichte Qq charakterisiert ist, denken wir uns aus zwei sich superponierenden Teilen zusammengesetzt. Der 1. Teil, der aus den Lorentzschen „Leitungselektronen" gebildet zu denken ist, habe die Ruh-Dichte qf und der zugehörige Raura-Zeit- Yektor Geschwindigkeit sei mit w^''^ bezeichnet. Überhaupt werden alle auf diesen Stromanteil bezüglichen Größen durch den oberen Index l ge- kennzeichnet. Dieser Teil des Konvektionsstromes bewege sich unab- hängig von der Bewegung der Materie innerhalb derselben. Er wird zur Entstehung des Leitungsstroms Veranlassung geben. Der 2. Teil der Strömung, der von den Lorentzschen Polarisations- und Magnetisierungselektronen gebildet ist, soll im wesentlichen der Bahn der Materie folgen und nur wenig von ihr abweichen, und zwar soll folgendes statthaben: Von den in den materiellen neutralen Punkten vereinigten und sich dort Jcompensierenden Elekt/rizitätsmengen sei ein Quantum aus dieser Ruhelage verschoben und führe sowohl Betvegungen relativ zur Materie aus, als auch werde es von dieser mitgeführt. Um diese Annahme zu formulieren, denken wir uns vorläufig (indem wir die das Relativitätsprinzip berücksichtigende nähere Bestimmung dieser Verschiebung für § 3 vorbehalten) sowohl die Ruh-Dichte, als auch die Komponenten des Geschwindigkeitsvektors dieses Stromanteils außer von X, y, z, t noch abhängig von einem Parameter %• derart, daß füi- ^ = 0 die Ruh-Dichte verschwindet und die Geschwindigkeitskomponenten in die entsprechenden der Materie übergehen. Wegen der vorausgesetzten Kleinheit der Abweichungen werden wir nach Potenzen von %• entwickeln können; bezeichnen wir die DiiBFerentiation nach O' bei festen x, y, z, t mit d, so wird man für diesen zweiten Teil des Konvektionsstromes ^■8{QQiv)-\-—d8{Q^w) + ••• schreiben können. Die gesamte Strömung der Elektrizität ist demnach: Q.W^-Qfw^'^ -f ^d{Q^w) + ^d8{Q,w) + . • •. Die Glieder dieser Reihe werden wir einzeln betrachten und zeigen, daß das erste Glied, das von ^ frei ist, den von Minkowski mit s bezeichneten Stromvektor bildet, der den Leitungsstrom und den an der Materie haften- den Konvektionsstrom der Elektrizität darstellt, daß das zweite Glied mit Die Grundgleichungen vom Standpunkte der Elektronentheorie. .411 dem Faktor & als der Hauptteil der dielektrischen Polarisation der Materie zu deuten ist und das dritte Glied mit -9-^ einerseits zu dieser Polarisation noch einen Beitrag liefert, andererseits als Magnetisierung der Materie aufgefaßt werden muß. Die Frage nach der Bedeutung der höheren Glieder der Reihe (1) fällt aus dem Rahmen der vorliegenden Untersuchung heraus. Bedenkt man, daß bereits die Magnetisierbarkeit bei den meisten Substanzen äußerst gering ist, derart, daß schon das in d' quadratische Glied der Reihe (1) einen kleinen numerischen Wert bekommt, so wird man annehmen können, daß der Einfluß der höheren Glieder auf die Beobachtungen bei den meisten Substanzen unmerklich ist, sofern ihnen überhaupt eine physikalische Be- deutung zukommt. Die Eigenschaften der stark magnetisierbaren (ferro- magnetischen) Körper sind aber überhaupt noch zu wenig aufgeklärt, als daß man von ihnen aus für eine so weitgehende Theorie experimentelle Stützen erwarten dürfte. §3. Die Darstellung der yariierten Strömung. Den im vorigen Paragraphen betrachteten zweiten Teil der Strömung kann man analytisch als eine „Variation" der Strömung der Materie an- sehen*). Um diese näher zu charakterisieren, stellen wir diesen Anteil des Konvektionsstroms analog der nach Lagrange bezeichneten Weise dadurch dar, daß wir x, y, z und t als Funktionen dreier Parameter, |, i^, t,, welche die einzelnen materiellen Teilchen individualisieren, und der Eigenzeit x ansehen; außerdem mögen diese vier Funktionen noch von einem Para- meter -ö- derart abhängen, daß sie für ■9" = 0 die Bewegung der Materie darstellen; wir schreiben also aj = a:(|, tj, l, t; %) , i=f(|,i?, ^, r;#), wobei identisch in allen fünf Argumenten die Bedingung erfüllt sein möge. Die 'Geschwindigkeitskomponenten der Materie sind *) Diese Variation ist nicht unähnlich der virtuellen Verrückung, die Minkowski im Anhang der zitierten Arbeit S. 396 zur Ableitung der Grundgleichungen der Mechanik benützt. 412 Zur Physik. «= JL (^\ = Jl (^\ Ersetzen wir I; V, ^, *'cr durch SO können wir kurz schreiben: (2') ^. = ^.(la, «„ Is, iii *), (« = 1,2,3,4), a = l Wir wollen für die häufig vorkommenden Differentiationsprozesse folgende Abkürzungen gebrauchen. Eine Funktion (p von x^, x^, x^, x^, %■ kann man vermöge der Transformation (2') auch als Funktion von ^j, I2, Ig, I4, -O- ansehen. Wir bezeichnen o öy^ bei festgehaltenen 1^, Ig? Is» '^ iJiit 9)', ^qp fc fc fc fc -f • ^Q. }) )} fcl> ?2> §37 b4 ^i** 9^; ■g^ V ' }} ^ij ^2? ^3? ^4 '^1'' "9'* Die Operationen (p', cp sind also vertauschbar; die Operation ög) ist aber mit keiner der beiden ersten vertauschbar. Die Ruh-Dichte Qq der Elektrizität wird ebenfalls eine Funktion der Ij^ und 0" sein: QO = Qoi^l} ^2? h> ^4*5 '^)- Da wir voraussetzen, daß die Materie vor der Verrückung, d. h. für -d- == 0, elektrisch neutral sei, müssen wir annehmen, daß ?o(^i' ^2? is? ^4; 0) = 0 sei. Dagegen setzen wir voraus, daß die Größen QqX^, QqX^, Qo^s) Qo^i sowie ihre Ableitungen nach ^ hei festgehaltenen x^, x^, x^, x^ für %■ = 0 endliche, nicht identisch verschwindende Grenzwerte besitzen. Daß dies mit den über die x^ und Qq gemachten Annahmen verträg- lich ist, zeigt z. B. der Ansatz 1 ^« = fai^U I2; ^3, IJ + ^^^^(1^^ 1^^ 1^^ y ^ 1 Die GrundgleicliTingen vom Standpunkte der Elektronentheorie. 413 hier stellt ^u ^^ fai'^lr &2> bSJ 64) die Strömung der Materie dar, Qq verschwindet für 0- = 0; es bleibt aber endlich und von Null verschieden. Der Sinn dieser Forderung ist der: Es soU durch die Verschiebung der Ladungen aus ihrer Ruhelage jedes neutrale Teilchen der Materie in ein geladenes System (im ein- fachsten Falle in einen Dipol) verwandelt werden; im Sinne der Elek- tronentheorie werden die Größen QqX^ die „elektrischen Momente" der Teilchen bestimmen; in der Tat werden wir diesen Umstand im folgenden klar erkennen. Daher müssen wir diesen Produkten für d- = 0 einen end- lichen Grenzwert zuschreiben. Man kann das auch so ausdrücken, daß unsere Variation der Strömung eine Art „räumlicher Doppelbelegung" der Materie ist. Die Funktionen x^ sind infolge dieses Umstandes bei 'O- = 0 nicht in Potenzreihen entwickelbar; wohl ist dieses aber, wie wir sehen werden, mit den Komponenten des Konvektionsstroms tQQx'a der FaU, auf die es allein ankommt; hier bedeuten die vier Größen ix'a die Kom- ponenten des Raum -Zeit -Vektors Geschwindigkeit; sie gehen für ■9- = 0 in die Komponenten w^ der Geschwindigkeit der Materie über. Der ümerstörbarJceit der Elektrizität tragen wir dadurch Rechnung, daß wir die „Kontinuitätsbedingung" (4) ^?: + ^ + ^-i_%!:=o ^ ■' dx dy dz dt oder kurz identisch in den x^ und -O* erfüllt annehmen. Wir müssen noch eine weitere Voraussetzung über die Größen x^ machen, die die Verschiebung des elektrischen Teilchens aus seiner Ruhe- lage bestimmen. Wir nehmen an, daß die Verschiebung jedes elektrischen Teilchens in einetn Bezugsysteme, iti dem das zu denselben Werten ^, r], ^ gehörige materielle Teilchen ruht, durch einen Raumvektor (d. h. einen Raum -Zeit -Vektor I. Art mit verschwindender Zeitkomponente) dar- gestellt wird. Das läuft darauf heraus, daß die Raum-Zeit -Vektoren I. Art x und w normal sind (vgl. „Grundgleichungen", § 11, 6°, S. 378): 414' Zur Physik. 4 (5) ^^a^a = ^' a = l Demnach hat die Variation der Zeit t die Bedeutung des folgenden skalaren Produkts (5') t = ^(.K^ + ^yy + ^.^)- Aus (5) ergibt sich speziell durch Multiplikation mit Qq und Differentiation nach d- bei festgehaltenen x, y, z, U 4 (6) ^^aKQ.^a) = 0 oder (6') d{Q,t) = ^, {XoJ{Q,x) + \0y8{Q,y) + tü.dC^o-^)). Eine weitere Normalitätsbedingung erhält man, wenn man die Identität (3) bzw. (3') nach %• bei festen x, y, z, t differenziert: 4 (7) ^Xadx'a-0. a = l Geht man hier zur Grenze d- = 0 über, so kommt: 4 a = X Dabei haben die dtv^ die folgende Bedeutung: Endlich betrachten wir die Variation der Buh -Dichte Qq. Diese soU nicht unabhängig variieren, sondern so, daß ihre Ableitung nach d" an einer Stelle X, y, z, t mit dem elektrischen Momente QqX an dieser Stelle durch die Identität in den x^ und -0" (9) ^+^+^+¥=-*«".- oder (90 i^e--*«-» verbunden ist. Die Grundgleichungeu vom Standpunkte der Elektronentheorie. 415 Die Bedeutung dieser Gleichung ist die folgende: Wir nahmen an, daß das verschobene Quantum Elektrizität vor der Verschiebung durch die gleiche Menge entgegengesetzter Elektrizität kompensiert wurde; da- her ist die linke Seite von Gleichung (9) nicht Null, was bedeuten würde, daß die Abnahme der in einem Volumen befindlichen Elektrizitätsmenge bei der Verschiebung gleich der durch die Begrenzung des Volumens tretenden Menge ist; vielmehr tritt bei der Verschiebung jene vorher kom- pensierte Ladung des entgegengesetzten Vorzeichens zutage, und das ist eben in erster Näherung die bei festgehaltenen x, y, 0, t genommene Ab- leitung — ÖQq. Die spezielle Form des obigen Ansatzes wird durch die vom Relativitätsprinzip geforderte Symmetrie gerechtfertigt. §4. Die Beihenentwicklung der variierten Strömung. Unsere Aufgabe ist es, die Größen QqX« in jedem Raum-Zeitpunkte, d. h. bei festgehaltenen x^, in einer Potenzreihe nach §• zu entwickeln; gemäß der Bedeutung des Symbols d haben wir also: (10) Qq a;'« = -a- d {q^ Xa\ + y d ö (q^ XaX H , wo in den Koeffizienten ■&• = 0 zu setzen ist. Es ist d((>0^a) = (>o<^^a 4- XuSQq. Wir wollen die Operation d durch den mit dem Punkte bezeichneten „sub- stantiellen" Differentialquotienten ersetzen. Dazu sehen wir x'a als Funktion der x^ und & an, wobei die x^ ihrerseits Funktionen der ^^ und d- sind: Xa = Xa{xi(^i, i„ £3, I4; m, . . ., a^^di, ^2, I3; i*; '^); '^)- Dann ergibt sich durch Differentiation nach ^ bei festen ^^: 4 Andererseits bilden wir dieselbe Größe x'a, indem wir zuerst die mit dem Punkte, dann die mit dem Striche bezeichnete Operation vornehmen; sehen wir also x^ als Funktion der x^ und -ö- an und die x^ ihrerseits als Funktionen der S^ und •9^: ^a = ^a(^l(^i; I2, I3, k--> ^); • • •; ^4^1; ^2, ^3; ^41 ^); *); so folgt durch Differentiation nach |^ bei festen 11,02,^3, ■&: (ß) *-i^«>- 416 Zur Physik. Aus den Gleichungen (a), (ß) finden wir: Sx„ . dx' Um d^Qf^Xa) zu erhalten, haben wir dies mit Qq zu multiplizieren und die mit x'a multiplizierte Gleichung (9') hinzuzufügen; wir addieren außerdem noch die mit x^ multiplizierte Kontinuitätsgleichung (4'), so daß wir schließlich erhalten: oder 4 (11) ^(Qo^'o) = 2* ä^ "^^o^« ■ ^^ ~~ ^0^^ ' ^«) • Diese Gleichung gilt identisch in den x„ und &. Wenn wir sie nochmals nach d- bei festen x^ differenzieren, können wir diese Operation unter den in der Summe vorkommenden Differentiationszeichen nach x^ ausführen. Daher wird: i (12) SS(QQXa) =^ j^ { [d(QoX„)-X^-d{QQX^^)'X'a] + [QQXaSXii-QQX^ ÖXa]] Jetzt können wir die Reihe (10) in folgende Gestalt setzen: 4 /*=i (13) Q^Xa =^ j^ { [-^^0^« + Y ^(^O^a)] ^? " \^9^i^ + Y ^((>0^;0] ^« ) +2 J^ {t ^0^« ^4 - Y ?o^;* ^a;; } + • • ., wobei in den Faktoren von ^, -d-^, . . . überall -S- = 0 zu setzen ist; dabei haben die Größen Q^x^^ ^{9o^a) endliche, nicht identisch verschwindende Grenzwerte. Gemäß Verabredung brechen wir die Reihe mit den hin- geschriebenen Gliedern ab. § 5. Formale Herstellung der in der bewegten Materie gültigen Differentialgleicliungen. Wir setzen zur Abkürzung: Die Grundgleichungen vom Standpunkte der Elektronentheorie. 417 femer, indem wir uns erinnern, daß ist: Q.* (16) -^i^^^'aiQ^^fiX - ^^ß{Q^'^<'^ = 5, setzen, die Komponenten des gesamten Konvektionsstromes (1) in folgen- der Weise schreiben: 4 (18) Q,^^ = 'a-^W- (^«z* + ^-i*) ' /* = ! ^ oder in der Minkowskischen Symbolik: (IS-) Q,w=s + \or{F+Q). Setzen wir das in die Grundgleichung (A) ein, so geht diese über in (19) lor(F+P+^) = -s. Führen wir den Raum-Zeit -Vektor 11. Art (20) f^F+P+Q ein, so können wir den Grundgleichungen die Gestalt geben: {A} lor/- =-5, {B} lorP*= 0. Damit haben wir formal die in der bewegten Materie geltenden DiflFeren- tialgleichungen gewonnen (siehe Grundgleichungen, § 12, Formeln {A} {B}, Seite 385). Ersetzen wir tt%7 fsiJ tliJ fuf Im tu durch ntx, niy, m., —itx, —i^, — »c„ Minkowiki, GMammelte Abhandlungen, n. 27 curl m — 1 dt _ c dt ~ 1 c div e = Q, curl @ + 1 aaji _ c dt 0, div9JJ = 0. 418 Zur Physik. und Sj, Sg, Sg, «4 durch und fassen die hier vorkommenden Größen bzw. zu den Raumvektoren m, e, § zusammen, so können wir den Gleichungen {A}, {B} die reelle Gestalt geben: (!') (IF) (in-) (IV) Das sind die in ruhenden oder bewegten Körpern geltenden Differential- gleichungen, wenn die Vektoren nt, e, § bzw. als die magnetische Feld- stärke, die dielektrische Erregung, der Strom und die Größe q als die Dichte der Elektrizität gedeutet werden dürfen. Es wird unsere Aufgabe sein, aus den Definitionsgleichungen (15), (16), (17), (20) diese Bedeutung herauszulesen; die letzteren Gleichungen müssen femer die Beziehungen enthalten , welche die beiden Vektoren „Erregung" mit den beiden Vektoren „Feldstärke" verbinden und in welche die Materialeigenschaften eingehen. Allerdings werden wir sehen, daß, genau wie bei Lorentz, diese Beziehungen hier viel allgemeiner sind als die von Minkowski behandelten, der sich auf isotrope, dispersionsfreie Körper beschränkte; unsere Gleichungen können durch geeignete Zusatzhypothesen den mannigfaltigen Eigenschaften der Substanzen angepaßt werden, und die einfachste Annahme führt auf die von Minkowski erhaltenen Formeln. Um diese Sachlage zu über- blicken, behandeln wir zunächst den einfachen Fall ruhender Körper. § 6. Ruhende Körper. Ruht die Materie, ist also tt) = 0, so hat nach § 1 der Raum-Zeit- Vektor w die Komponenten (21) w-^^ = 0, ^2 = 0, w^ = 0, w^ = i. Der Vektor § hat hier ohne weiteres die Bedeutung der Stromstärke des frei durch die Materie fließenden Leitungsstroms', die von diesem trans- portierte Elektrizitätsmenge q = p(') heißt gewöhnlich „wahre Elektrizität", während sie von Minkowski kurzweg elektrische Ladung genannt wird. Die Grundgleichungen TOm Standpunkte der Elektronentheorie. 419 Aus den Orthogonalitätsbedingungen (5), (5') und (6), (6') folgt, daß für to = 0 {22) 1), = 0 ist. Die Bedeutung der drei ersten Komponenten von p, Pi = Px, Pi = Py» P$ = Psy ist leicht zu erkennen. So ist z. B. das erste Glied ^iQo^a)&=o ^^^ Pa in erster Annäherung das elektrische Moment eines Teilchens der Materie, und das zweite Glied von p^ liefert die für jeden Raum-Zeitpunkt x, y, z, t dazu tretende Korrektion, wenn man die Annäherung einen Schritt weiter treibt. Demnach sind die Größen p^j pyj p^ als die Komponenten des Vektors |), dielektrisclie Polansation, aufzufassen. Die Komponenten des Raum -Zeit -Vektors II. Art P reduzieren sich für tt) = 0 wegen (21) und (22) auf: (23) P^3 = 0, P3, = 0, P,2 = 0, P,, = -ip^, P,, tp^, P3, = -ip,. Infolge der Normalitätsbedingungen (5) und (7) sind für ir = 0 (24) (Qo^h)a=o-0, dzv, = 0. Daher werden die Komponenten des Raum-Zeit -Vektors II. Art Q: (25) ^31 = I Y (^», {Q^x\- ÖXo,{Q, h\), Q,, = 0, Die ersten drei dieser Größen sind das mit — multiplizierte Vektorprodukt der Relativgeschwindigkeit der Ladung gegen die Materie in das elektrische Moment; bezeichnet man den letzteren Vektor, dessen Komponenten ^{Qo^)o) ^(Qoif)o7 ^{Qo'^X sind, mit pt und setzt man so wird dieser Vektor als magnetisches Moment*) oder Magnetisierung zu bezeichnen sein, und man hat: (25') Ö23 = -qx, Qzi = -%, Qn — q,- Jetzt können wir die Gleichung (20) in folgende zwei Vektorgleichungen zerlegen: *) Vgl. z. B. M. Abraham, Elektromagnetieche Theorie der Strahlung, 2. Aufl. 1908, § 28, Formel (186), S. 243. 27* 420 Zui Physik. Das ist der von Lorentz aufgestellte Zusammenhang zwischen den Vektoren m, C einerseits und 9K, @ andererseits*); die Polarisation p und die Magnetisierung q sind dabei als Vektoren anzusehen, die den durch dag elektromagnetische Feld hervorgebrachten Zustand der Materie charakte- risieren und demnach von der Art dieser Materie abhängen. Dadurch, daß man die Freiheit hat, diese Abhängigkeit näher zu bestimmen, sei ea durch elektronentheoretische Betrachtungen, sei es durch hypothetische Ansätze, kann man die mannigfachen Eigenschaften der Materie dem System der Elektrodynamik einordnen. Wir wollen uns auf die einfachsten Zusatzhypothesen beschränken, die zur Beschreibung isotroper, nichtdispergier ender Körper dienen: 1. Die Geschwindigkeit des frei beweglichen Teils des Konvektionsstromes , 'W^'\ ist in jedem Raum-Zeitpunkte pro- portional der elektrischen Feldstärke; daraus folgt sofort das Ohmsche Gesetz: (28) §=*0(5, wo 0 die Leitfähigkeit bedeutet. 2. Die Verschiebung der an der Materie haftenden Ladungen aus ihrer Ruhelage ist proportional der elektrischen Feldstärke; daraus ergibt sich (29) - p = (£-l)@, e = £@, wo £ die Dielektrizitätskonstante ist. 3. Das Drehmoment der an der Materie haftenden Ladungen um ihre Ruhelage ist proportional der magnetischen Feldstärke m; demnach ist (30) q = {}i— l)m, 9)J = /xm, wo fi die magnetische Permeabilität bedeutet. (?, £ und ft können Funktionen von x, y, z, t sein. Während die Hypothesen 1 und 2 eine elektronentheoretische Deutung erlauben, ist das bei der dritten Hypothese noch nicht einwandfrei durch- geführt worden. Verallgemeinert man die Hypothese 2 derart, daß man den Elektronen Trägheit zuschreibt, so gelangt man zur Dispersionstheorie. « § 7. Der Leitungsstrom in bewegten Körpern. Bewegt sich die Materie, so wird man den Vektor § nicht mit dem Leitungsstrom identifizieren; vielmehr wird es nur auf die Relativbewegung *) «Vgl. H. A. Lorentz, Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften, V 2, Art. 14, Formeln XXX, XXV und XXI, S, 208, 209. Die Grundgleichangen Tom Standpunkte der Elektronentheorie. 421 der Elektrizität gegen die Materie ankommen, so daß der Vektor (31) 3 = § _ ^tü = p»(ttj(')-tt)) als Leitungsstrom zu bezeichnen ist. Win man jetzt durch eine Zusatzhypothese den Leitungsstrom mit der wirkenden elektrischen Feldstärke in Verbindung setzen, so entspricht es nicht dem Relativitätsprinzipe, die im ruhenden Koordinatensystem gemessene elektrische Feldstärke @ in Zusammenhang zu bringen mit der im ruhenden Koordinatensystem gemessenen Relativgeschwindigkeit )aß — tu. Vielmehr wirkt auf die bewegte Ladung die elektrisclie Buh -Kraft (J) = _ tüF (vgl. Grundgleichungen, § 11, Formeln (47), (48), Seite 380); ihre ersten drei Komponenten sind die x-, y-, ^-Komponenten des Raumvektors (5 + ~ [ID 3R] V -^ dessen Zähler auch nach Lorentz die im Äther auf bewegte Ladungen wirkende Kraft darstellt, ihre vierte Komponente ist t(tD(J) ^.= V^ ^.,. iJol c und der Vektor

= WjOi -f ^<^2^i + W3O3 -f w^0^ = 0. Andererseits werden wir als „Relativgeschwindigkeif' im Sinne des Rela- tivitätsprinzips den zu dem Vektor w normalen Raum-Zeit -Vektor L Art V == i(;W -f- {ww^'^)iv bezeichnen. Sehen wir v^, v^, v^ als Komponenten des Raumvektors 0 y-^ an, so findet man leicht die Komponenten des Raumvektors ö in der Richtung von tt) und in einer zu lü senkrechten Richtung tö: K = to - > 1 — |tp|' } »'m = 422 Zur Physik. Daher hängt der Vektor t) mit dem Leitungsstrom 3 folgendermaßen zu- sammen: p(')ö„ 1 — c Dann gelangen wir zu dem Ohmschen Gesetze für bewegte Körper durch die Zusatzhypothese: Die Relativgeschwindigkeit des frei beweglichen Konvek- tionsstromes ist proportional der elektrischen Ruh-Kraft ; daraus folgt: pW«; = — - wF, ^ c ' oder ( E } 5 4- (ws)w = — -" wF. Das ist die von Minkowski aufgestellte Relation { E } , § 12, Seite 385 ; sie ist äquivalent mit den Yektorgleichungen: — \tO\Q -«(®+c[»9»])„, 1/- 1/- §8. Die dielektrisclie Polarisation in bewegten Körpern. Aus der Gleichung (15') P = [w,p] folgt: wP = w[w,p] = — {wp)w + {ww)p. Nun erkennt man, daß infolge der Gleichungen (5) und (6) der durch (14) definierte Vektor p normal zu w ist, d. h. daß (32) wp=0 ist; da außerdem ww = — 1 ist, bekommt man: (33) wP=^-p. Die Grundgleichnngen vom Standpunkte der Elektronentheorie. 423 Der Yektor I. Art p steht also zu dem Vektor II. Art P in genau derselben Beziehung wie die elektrische Ruh-Kraft O zu dem Feldvektor n. Art F. Wir werden daher p gemäß seiner Definition durch die Glei- chungen (14) als „dielelirische Ruh-Polarisafion" und P als „dielektrisch". Polarisation^^ bezeichnen; letztere ist also ein Vektor IL Art im Gegen- satz zu der gewöhnlichen Auffassung. Setzen wir wie im vorigen Paragraphen so wird infolge von (32): (32') p, = y (ttxPx + »yP, + »^.P,) = *' (WP). Dann sind die Komponenten von P: toto — IDD xo x> — top U)ö — *to 0 ey-^; c|/.-5,- o)/x-L^* p =_/ P =— i ^ P = — i - 1/.-^.- y-^' y--^' Sie setzen sich also ans den Komponenten der Raumvektoren to , V (34') 94= M -^ ^= '^ (34) V^-¥ V^ in genau derselben Weise zusammen wie die Komponenten von F aus denen von 9}l und (5. Hier kömien wir fR als Rö>itgen- Vektor bezeichnen; denn er gibt Anlaß zur Entstehung des sog. Röntgenstroms. In der Tat stimmt, wie wir in § 10 sehen werden, der Vektor 9i bis auf Glieder zweiter Ordnung in — überein mit demjenigen Vektor, den auch Lorentz zur Erklärung der von Röntgen entdeckten magnetischen Wirkung polari- sierter, bewegter Dielektrika erhält. Der Vektor ^, den man Raumvektor Polarisation nennen könnte, unterscheidet sich von der Ruh-Polarisation p nur durch Größen 2. Ordnung. Die Komponenten von ^ in der Richtung W und einer auf to senkrechten Richtung ro hängen mit den entsprechenden Komponenten Ton p sc zusammen: 424 Zur Physik. Die für isotrope, nichtdispergierende Körper gültige Zusatzhypothese ist üer so zu formulieren: Der Raum-Zeit -Vektor I. Art Ruh-Polarisation p ist pro- portional der elektrischen Ruh-Kraft O: (35) i? = (£-l)(J). s ist die Dielektrizitätskonstante. Hieraus wird sich nachher die Minkowskische Relation. (C), § 12, Seite 385, ergeben. §9. Die Magnetisierung bewegter Körper. Wie der Vektor IL Art P die Polarisation, so wird Q die Magneti- sierung bedeuten. Tatsächlich haben wir in § 6 gesehen, daß Q sich bei ruhenden Körpern auf einen Raumvektor reduziert, der als „magnetisches Moment" zu deuten ist. Auch bei bewegten Körpern haben diese drei Komponenten von Q dieselbe Form; es sind das die Komponenten des Moments in den Koordinatenebenen yz^ zx, xy\ dazu treten aber noch drei Größen, welche die Form von Momentkomponenten in den Ebenen xt^ yt, zt haben. Der Vektor Q haftet also am Koordinatensystem und kann keine Eigenschaft der bewegten Materie ausdrücken. Vielmehr muß man dazu den zugehörigen Vektor L Art (36) q = iw Q* = iw — [dw, {QqX)q\* heranziehen, den wir Huh -Magnetisierung nennen und der zu Q in dem- selben Verhältnis steht wie die magnetische Buh-Kraft W = iwf* zu dem Feldvektor f. Die Komponenten von q sind Ix-- ^V w^ , w^ , w^ , u.s.f. (Po^ijoj {.Qü^ijoi (?o^s)o i Offenbar ist q normal zu w: (37) wq = 0. Da die zu q^, q^) q^ gehörigen Determinanten je eine Vertikalreihe mit dem Index 4, d. h. mit rein imaginären Elementen haben, während die zu q^ gehörige Determinante nur reeUe Elemente hat, so sind q^, q^, q^ reell und q^ ist rein imaginär. Setzen wir also Die Grondgleichungen vom Standpunkte der Elektronentheorie. 425 80 sind das die Komponenten eines reellen Raumvektors q, und wegen (37) wird: (37') ^, = - ^(tü^q, + XD^q^ + tü.qj = - 1 (tt)q) . Auch den Raumvektor q nennen wir Ruh -Magnetisierung] offenbar wird er für lü = 0 mit dem in § 6 mit demselben Buchstaben bezeichneten Vektor (26) ideutisch. Man kann die Gleichung (36) so deuten, daß sie die Transformation des Drehmomentes auf ein mit der Materie mitgefiihrtes Koordinaten kreuz ausdrückt; dabei fallen dann die Komponenten des Momentes in den Ebenen xt, yt, zt fort, q ist also ein an der Materie haftender Vektor, der ihren Zustand charakterisiert. Der Vektor I. Art verschwindet identisch, weil nach (5) und (7) die Vektoren {qqX\ und öw auf w normal stehen. Wenden wir jetzt die Minkowskische Identität (§ 11, Formel (45), Seite 379) \Wy wQl-^- \w, w ^]* = (ww) Q an, so finden wir wegen (36): (38) [w,qf = -iQ. Demnach drücken sich die Komponenten von Q durch die Ruh-Magneti- sierung q folgendermaßen aus: -D=- , V .„ ©= ^""'^ y._^r .,|/,_^« ebenso zusammen wie die Komponenten von F aus denen von 9)i und @. Der Baumveictor Magnetisierung O unterscheidet sich von der Ruh- Magnetisierung q nur durch Größen 2. Ordnung in - , Die Komponenten 426 Zur Physik. von D in der Richtung tu und einer zu tu senkrechten Richtung tö hängen mit den entsprechenden Komponenten von q so zusammen: 0,. = q„]/i-'^''A Qffi = - V^-^ Der Vektor @ gibt, wie wir sehen werden, Anlaß zu elektrostatischen Wirkungen magnetisierter bewegter Medien; er ist das genaue Analogen zu dem „Röntgen -Vektor". Die für isotrope Körper gültige Zusatzhypofhese lautet hier: Der Raum -Zeit -Vektor I. Art Ruh-Magnetisierung g ist proportional der magnetischen Ruh-Kraft V: (40) -g = (/.-!)¥. ft ist die magnetische Permeabilität. Hieraus wird sich nachher die Minkowskische Relation {D}, § 12, Seite 385, ergeben. Über die elektronentheoretische Deutung der Hypo- thesen {E}, (35), (40) gilt dasselbe, was in § 6 (S. 420) für ruhende Körper gesagt worden ist. An die Gleichung (35) hat die Theorie der Dispersion bewegter Körper anzuknüpfen. §10. Die aHgemeiue Beziehung zwischen den Vektoren Feldstärke und Erregung. Die Gleichung (20), die den Raum-Zeit -Vektor f definierte, kann man jetzt nach (15') und (38) so schreiben: C41) ' -r -r ^ ^ ^ =F-V\_w,p\ + i\w,q\*. Geht man zu den reellen Raumvektoren über, so ergibt sich nach (34) und (39): ^ ^ e = @ -f ^ + ©, oder, ausführlich geschrieben: q_i[tt,p]_^(H,q) (V) m=m- y- (Vr) e = @ 4- 1/-^^ Die Grundgleiclmngen vom Standpunkte der Elektronentheorie. 427 Diese Formeln zusammen mit den Differentialgleichungen (Y) bis (IV) und der Relation (E) stellen, genau im Sinne von H. A. Lorentz, die elektrodynamischen Vorgänge in bewegten, dielektrisch polarisierten und magnetisierten Körpern dar. Sie sind aber noch durch die Angabe des Zusammenhangs zwischen den Vektoren Ruh-Polarisation p und Ruh- Magnetisierung q einerseits und den wirkenden Feldstärken andererseits zu ergänzen. Ohne auf diese ergänzenden Beziehungen, die wir für isotrope Körper als „Zusatzhypothesen" formuliert haben, einzugehen, können wir die Formeln (Y) bis (VI'), (E) diskutieren und sie mit den Lorentzschen Formeln vergleichen. Wir setzen letztere in einer zu unserem Gleichungssystem analogen Formulierung an (Enzykl. der math. Wiss., V 2, Art. 14, Seite 208, 209); die Differentialgleichungen lauten: (in") u. (XXVni) curl§-i^ = |(g + cnrl[^lD]), (n divS) = (», (IV") curie + ^^ = 0, (V") divS3 = 0. Dazu kommen die unseren Gleichungen (V), (VI') entsprechenden Relationen: (XXX) ^ = S3-Q, (XXV) u. (XXI) ® = @ + ^. Dabei haben wir im allgemeinen die Lorentzschen Bezeichnungen bei- behalten; nur ist die Magnetisierung mit Q (statt mit 9}J) bezeichnet und es sind Leitungsstrom S und Konvektionsstrom Ä zu dem Stromvektor S zusammengefaßt. Offenbar geJien die Lorentzschen Differentialgleichungen in die unseren über, ivenn ivir die Lorentssche^i Vektoren @, § [^O']? ^> ^ &^w?. mit ®, m, c, äR identifizieren*). Die beiden iceiteren GleicJmngen lassen sicJi für beliebige Körper nicht zur Übereinstimmung bringen. Bei nichttnagnetisierten Körpern (q = 0, 0 = 0) läßt sicfi aber Über- einstimmung erreichen, icenn man in (V'), (VI') aUe in — quadratischen Glieder vernachlässigt; dann bleibt nämlich (wegen (34') und (39')): •) Minkowski identifiziert in § 9 der „Grundgleichungen" ^ mit m; daraus ent- springt es, daß er die Übereinstimmung der Lorentzschen Formeln für nichtmagne- tisierte Körper mit dem Relativitätsprinzip dem Umstände zuschreiben muß, daß Lorentz die Bedingung des Nichtmagnetisiertseina in einer dem Prinzip© wider- sprechenden Weise ansetzt. Unsere Betrachtungsweise führt von selbst auf obige Zuordnung der Vektoren, wobei die schließliche Übereinstimmxing nicht auf die Kompensation zweier Widersprüche zurückgeführt zu werden braucht. 428 Zur Physik. (42') m=9J?-D + ^[n)^], c = @ + ^ + -^[toD], und die Formeln gehen für D = 0 bei der oben angegebenen Zuordnung der Lorentzschen Vektoren zu den unseren in die Lorentzschen Rela- tionen über. Hieraus erhellt, daß unsere Bezeichnung des Vektors fR, der bis auf Glieder 2. Ordnung durch — [lü^] gegeben ist, als „Röntgen- Vektor" ge- rechtfertigt ist. Denn er gibt wie bei Lorentz zur Entstehung des Röntgenstroms Anlaß, und zwar in einer mit Eichenwalds Versuchen übereinstimmenden Weise (Enzykl,, V 2, Art. 14, S. 210). Die For- meln (V), (VI') sowohl, als auch die Näherungsformeln (42') unter- scheiden sich von den Lorentzschen durch die volle Symmetrie*) zwischen den elektrischen und den magnetischen Größen. Sie beruht vor aUem auf dem Vorhandensein des Vektors ©, der bis auf Glieder 2. Ord- nung durch — [töD] gegeben ist; dieser entspricht genau dem Röntgen- Vektor und zeigt elektrostatische Wirkungen bewegter, magnetisierter Körper an. Erscheinungen, die durch diesen Vektor @ m erklären sind, sind meines Wissens bislang experimentell noch nicht festgestellt worden-^ es lassen sich aber unschwer Versuchsanordnungen angeben, die eine experimentelle Untersuchung über das Vorhandensein dieser Wirkung, die in — von erster Ordnung ist, gestatten würden. Dieselbe ist nicht zu verwechseln mit der Erscheinung, daß ein Leiter, der sich im magneti- schen Felde bewegt, in ruhenden Strombahnen Leitungsströme hervorruft (z. B. im Falle der sog. unipolaren Induktion); diese letztere Erscheinung ist eine Konsequenz der Formeln (E), S. 422, und man sieht leicht, daß sie bis auf Glieder 2. Ordnung ebenso wie in den Theorien von Hertz und Lorentz durch den Vektor — [toäR] bestimmt ist**), dessen Betrag leicht wesentlich größer gemacht werden kann als der des Vektors -[tüQ], weil D bei den meisten Körpern nur wenig von Null verschieden ist. *) Die Hertzschen Gnindgleichungen der Elektrodynamik bewegter Körper zeigen eine analoge Symmetrie, widersprechen aber bekanntlich dem Experiment nnd sind mit dem Relativitätsprinzip unvereinbar. Ein Vergleich unserer Formeln mit den Grundgleichungen von E. Cohn erübrigt eich, da demselben der § 10 der Minkowskischen „Grundgleichungen" gewidmet ist. **) Vgl. Lorentz, Enzyklopädie, V 1, Art. 13, S. 100 u. S. 238, 239. M. Abraham, Theorie der Elektrizität, Bd. I, § 86, 87, S. 398—409, und Bd. 11 (ElektromagnetiBche Theorie der Strahlung), 2. Aufl. 1908, § 36, S. 300—302. Die Grundgleichungen vom Standpunkte der Elektronentheorie. 429 Was die Glieder 2, Ordnung in — anbetrifft, so scheint wenig Aus- Bicht vorhanden zu sein, sie bei irdischen Experimenten aufzufinden. Wir wollen nun noch zeigen, daß bei isotropen, nichtdispergierenden Körpern unsere Zusatzhypothesen (35) und (40) auf die Minkowskischen Formeln {C}, {D} zurückführen. Nach § 8, (33) ist ivP = — p und nach § 9, S. 425, ist identisch wQ^O. Daher folgt aus (20) wf = ivF — p . Da nun (t>= — tvF ist, so ergibt sich aus (35): {C} wf^aivF oder (C) e + ^[rom] = 6(e + i[n)9K]). Für die zu f, F, P, Q dualen Vektoren /^, F*, P*, Q* gilt nach (20) die Gleichung: Nun ist offenbar «P* = iv[WfP\* = 0, und nach § 9, (36) ist ivQ* = — iq . Daher wird wf* = wF* — iq . Da nun V = iwf^ ist, so folgt aus (40): {D} wF*==awf* oder (D) 9JJ-|[tö@] = .a(m-^[tt)c]).- Damit sind wir zu dem vollständigen Formelsystem Minkowskis gelangt. Wie schon hervorgehoben, gibt die größere Allgemeinheit unserer Formeln (42) die Möglichkeit an die Hand, komplizierteren Eigenschaften der Substanzen durch die Theorie gerecht zu werden; dazu sind nur die „Zusatzhypothesen" (35), (40) durch andere zu ersetzen. Die Dispersion in bewegten Medien wird man z. B. erhalten, wenn man die Gleichung (35) durch geeignete Glieder so erweitert, daß der Vektor p Schwingungen träger Massen darzustellen fähig ist. Vorstehende Theorie, die eine Mittelstellung einnimmt zwischen der ursprünglichen rein phänomenologi- schen Methode Minkowskis und dem bis ins Detail der Elektronenbewegung eindringenden Verfahren von Lorentz, scheint also einerseits schmiegsam genug zu sein, die mannigfaltigen Eigenarten der Substanzen zum Aus- druck zu bringen, andererseits besitzt sie ein anschauliches Fundament, das ihrer bequemen Handhabung förderlich ist. 430 Inhaltsübersicht. Inhaltsübersicht. Seit* Einleitung 406 § 1. Bezeichnungen , 409 § 2. Die Zerlegung der elektrischen Strömung 410 § 3. Die Darstellung der variierten Strömung 411 § 4. Die Reihenentwicklung der variierten Strömung 416 § 5. Formale Herstellung der in der bewegten Materie gültigen Differential- gleichungen 416 § 6. Ruhende Körper 418 § 7. Der Leitungsstrom in bewegten Körpern 420 § 8. Die dielektrische Polarisation in bewegten Körpern 422 § 9. Die Magnetisierung bewegter Körper 424 §10. Die allgemeine Beziehung zwischen den Vektoren Feldstärke und Erregung 426 xxxn. Baum nnd Zeit. (Vortrag, gehalten auf der SO.Naturforscher-Yersammlung zu Köln am 21. Sept. 1908.) (Physikalische Zeitschrift, 10. Jahrgang, 1909, S. 104 — 111 und Jahresbericht der Deutschen Mathematiker -Vereinigung, Bd. 18, S. 75 — 88; auch als Sonderabdruck erschienen, Leipzig, B. G. Teubner 1909.)*) M. H.! Die Anschauungen über Raum und Zeit, die ich Ihnen entwickeln möchte, sind auf experimentell -physikalischem Boden er- wachsen. Darin liegt ihre Stärke. Ihre Tendenz ist eine radikale. Von Stund an sollen Raum für sich und Zeit für sich völlig zu Schatten herabsinken, und nur noch eine Art Union der beiden soll Selbständig- keit bewahren. L Ich möchte zunächst ausführen, wie man von der gegenwärtig an- genommenen Mechanik wohl durch eine rein mathematische Überlegung zu veränderten Ideen über Raum und Zeit kommen könnte. Die Glei- chungen der Newtonschen Mechanik zeigen eine zweifache Invarianz. Einmal bleibt ihre Form erhalten, wenn man das zugrunde gelegte räumliche Koordinatensystem einer beliebigen Lagenveränderung unter- wirft, zweitens, wenn man es in seinem Bewegungszustande verändert, nämlich ihm irgendeine gleichförmige Translation aufprägt; auch spielt der Nullpunkt der Zeit keine Rolle. Man ist gewohnt, die Axiome der Geometrie als erledigt anzusehen, wenn man sich reif für die Axiome der Mechanik fühlt, und deshalb werden jene zwei Invarianzen wohl selten in einem Atemzuge genannt. Jede von ihnen bedeutet eine ge- wisse Gruppe von Transformationen in sich für die Differentialgleichungen der Mechanik. Die Existenz der ersteren Gruppe sieht man als einen fundamentalen Charakter des Raumes an. Die zweite Gruppe straft man am liebsten mit Verachtung, um leichten Sinnes darüber hinwegzukommen, daß man von den physikalischen Erscheinungen her niemals entscheiden kann, ob der als ruhend vorausgesetzte Raum sich nicht ani Ende in einer gleichförmigen Translation befindet. So führen jene zwei Gruppen ein völlig getrenntes Dasein nebeneinander. Ihr gänzlich heterogener Charakter mag davon abgeschreckt haben, sie zu komponieren. Aber gerade die komponierte voUe Gruppe als Ganzes gibt uns zu denken auf *) Dem Vortrag war im Sonderabdruck ein Bildnis Minkowskis als Titelbild beigegeben. (Anm. d. Herausg.) 432 Zur Physik. Wir wollen uns die Verhältnisse graphisch zu veranschaulichen suchen. Es seien x, y, z rechtwinklige Koordinaten für den Raum und t bezeichne die Zeit. Gegenstand unserer Wahrnehmung sind immer nur Orte und Zeiten verbunden. Es hat niemand einen Ort anders bemerkt als zu einer Zeit, eine Zeit anders als an einem Orte. Ich respektiere aber noch das Dogma, daß Raum und Zeit je eine unab- hängige Bedeutung haben. Ich will einen Raumpunkt zu einem Zeit- punkt, d. i. ein Wertsystem x, y, z, t einen Weltpunld nennen. Die Mannigfaltigkeit aller denkbaren Wertsysteme x, y, z, t soll die Welt heißen. Ich könnte mit kühner Kreide vier Weltachsen auf die Tafel werfen. Schon eine gezeichnete Achse besteht aus lauter schwingenden Molekülen und macht zudem die Reise der Erde im All mit, gibt also bereits genug zu abstrahieren auf; die mit der Anzahl 4 verbundene etwas größere Abstraktion tut dem Mathematiker nicht wehe. Um nirgends eine gähnende Leere zu lassen, wollen wir uns vorstellen, daß allerorten und zu jeder Zeit etwas Wahrnehmbares vorhanden ist. Um nicht Materie oder Elektrizität zu sagen, will ich für dieses Etwas das Wort Substanz brauchen. Wir richten unsere Aufmerksamkeit auf den im Weltpunkt x, y, z, t vorhandenen substantiellen Punkt und stellen uns vor, wir sind imstande, diesen substantiellen Punkt zu jeder anderen Zeit wiederzuerkennen. Einem Zeitelement dt mögen die Änderungen dx, dy, dz der Raumkoordinaten dieses substantiellen Punktes entsprechen. Wir erhalten alsdann als Bild sozusagen für den ewigen Lebenslauf des substantiellen Punktes eine Kurve in der Welt, eine Weltlinie, deren Punkte sich eindeutig auf den Parameter t von — cx) bis -f oo beziehen lassen. Die ganze Welt erscheint aufgelöst in solche Weltlinien, und ich möchte sogleich vorwegnehmen, daß meiner Meinung nach die physikalischen Gesetze ihren vollkommensten Ausdruck als Wechselbeziehungen unter diesen Weltlinien finden dürften. Durch die Begriffe Raum und Zeit fallen die x, y, ^-Mannigfaltig- keit ^ = 0 und ihre zwei Seiten ^ > 0 und ^ < 0 auseinander. Halten wir der Einfachheit wegen den Nullpunkt von Raum und Zeit fest, so bedeutet die zuerst genannte Gruppe der Mechanik, daß wir die x, y, z- Achsen in i^ = 0 einer beliebigen Drehung um den Nullpunkt unter- werfen dürfen, entsprechend den homogenen linearen Transformationen des Ausdrucks o o » ^ + 2/ + ^ in sich. Die zweite Gruppe aber bedeutet, daß wir, ebenfalls ohne den Ausdruck der mechanischen Gesetze zu verändern, X, y, z, t durch x — at, y — ßt, z — yt, t mit irgendwelchen Konstanten a, /3, y ersetzen dürfen. Der Zeitachse kann Raum und Zeit. 433 "^ % -•^ \\ .' y//^' \N^ ^j^\'''' \ i //^ rt 0 DC Fig. 1. hiemacli eine völlig beliebige Richtung nach der oberen halben Welt ^>0 gegeben werden. Was hat nun die Forderung der Orthogonalität im Räume mit dieser völligen Freiheit der Zeitachse nach oben hin zu tun? Die Verbindung herzustellen, nehmen wir einen positiven Para- meter c und betrachten das Gebilde Es besteht aus zwei durch ^ = 0 getrennten Schalen nach Analogie eines zweischaligen Hyperboloids. Wir betrachten die Schale im Gre- biete ^ > 0 und wir fassen jetzt diejenigen homogenen linearen Trans- formationen von X, y, z, t in vier neue Variable x', y, z\ t' auf, wobei der Ausdruck dieser Schale in den neuen Variablen entsprechend wird. Zu diesen Transformationen gehören offenbar die Drehungen des Raumes um den Nullpunkt. Ein volles Verständnis der übrigen jener Transformationen er- halten wir hernach bereits, wenn wir eine solche unter ihnen ins Auge fassen, bei der y und z ungeändert bleiben. Wir zeichnen (Fig. 1) den Durchschnitt jener Schale mit der Ebene der X- und der if -Achse, den oberen Ast der Hyperbel c^f — x^ = 1, mit seinen Asymptoten. Ferner werde ein beliebiger Radiusvektor OÄ dieses Hyperbelastes vom Nullpunkte 0 aus eingetragen, die Tangente in A' an die Hyperbel bis zum Schnitte jB' mit der Asymptote rechts ge- legt, OÄ'B' zum Parallelogramm OA'B'C vervollständigt, endlich für das spätere noch JB' C bis zum Schnitt 2/ mit der ic -Achse durch- geführt. Nehmen wir nun OC und OÄ als Achsen für Parallel- koordinaten x, t' mit den Maßstäben ÖC" = 1, OÄ = 1/c, so erlangt jener Hyperbelast wieder den Ausdruck c^t'^ — x'^ = 1, f' > 0, und der Übergang von x, y, z, t zu x', y, z, t' ist eine der fraglichen Trans- formationen. Wir nehmen nun zu den charakterisierten Transformationen noch die beliebigen Verschiebungen des Raum- und Zeit -Nullpunktes hinzu imd konstituieren damit eine offenbar noch von dem Parameter c abhängige Gruppe von Transformationen, die ich mit G^ bezeichne. Lassen wir jetzt c ins Unendliche wachsen, also 1/c nach Null konvergieren, so leuchtet an der beschi-iebenen Figur ein, daß der Hyperbelast sich immer mehr der a;-Ach8e anschmiegt, der Asymptoten- winkel sich zu einem gestreckten verbreitert, jene spezielle Transfor- mation in der Grenze sich in eine solche verwandelt, wobei die ^'-Achse eine beliebige Richtung nach oben haben kann und x' immer genauer Minkowski, Oeskmmelte Abhandlangen. II. 28 434 Zur Physik. sich an x annähert. Mit Rücksicht hierauf ist klar, daß aus der Gruppe G^ in der Grenze für c == cx>, also als Gruppe 6r^, ehen jene zu der New ton sehen Mechanik gehörige volle Gruppe wird. Bei dieser Sachlage, und da G^ mathematisch verständlicher ist als 6r^, hätte wohl ein Mathematiker in freier Phantasie auf den Gedanken verfallen können, daß am Ende die Naturerscheinungen tatsächlich eine Invarianz nicht bei der Gruppe G^, sondern vielmehr hei einer Gruppe G^ mit bestimmtem endlichen, nur in den gewöhnlichen Maßeinheiten äußerst großen c be- sitzen. Eine solche Ahnung wäre ein außerordentlicher Triumph der reinen Mathematik gewesen. Nun, da die Mathematik hier nur mehr Treppenwitz bekundet, bleibt ihr doch die Genugtuung, daß sie dank ihren glücklichen Antezedenzien mit ihren in freier Fernsicht geschärften Sinnen die tiefgreifenden Konsequenzen einer solchen Ummodelung unserer Naturauffassung auf der Stelle zu erfassen vermag. Ich will sogleich bemerken, um welchen Wert für c es sich schließ- lich handeln wird. Für c wird die Fortpflanzungsgeschwindiglieit des Lichtes im leeren Baume eintreten. Um weder vom Raum, noch von Leere zu sprechen, können wir diese Größe wieder als das Verhältnis der elektromagnetischen und der elektrostatischen Einheit der Elektri- zitätsmenge kennzeichnen. Das Bestehen der Invarianz der Naturgesetze für die bezügliche Gruppe G^ würde nun so zu fassen sein: Man kann aus der Gesamtheit der Naturerscheinungen durch suk- zessiv gesteigerte Approximationen immer genauer ein Bezugsystem X, y, z und t, Raum und Zeit, ableiten, mittels dessen diese Erschei- nungen sich dann nach bestimmten Gesetzen darstellen. Dieses Bezug- system ist dabei aber durch die Erscheinungen keineswegs eindeutig festgelegt. Man hann das Bezugsystem noch entsprechend den Trans- formationen der genannten Gruppe G^ beliebig verändern, ohne daß der Ausdruck der Naturgesetze sich dabei verändert. Z. B. kann man der beschriebenen Figur entsprechend auch t' Zeit benennen, muß dann aber im Zusammenhange damit notwendig den Raum durch die Mannigfaltigkeit der drei Parameter x', y, z definieren, wobei nun die physikaKschen Gesetze mittels x', y, z, t' sich genau ebenso ausdrücken würden, wie mittels x, y, z, t Hiernach würden wir dann in der Welt nicht mehr den Raum, sondern unendlich viele Räume haben, analog wie es im dreidimensionalen Räume unendlich viele Ebenen gibt. Die dreidimensionale Geometrie wird ein Kapitel der vierdimensionalen Physik. Sie erkennen, weshalb ich am Eingange sagte, Raum und Zeit sollen zu Schatten herabsinken und nur eine Welt an sich bestehen. Raum und Zeit. 435 n. Nun ist die Frage, welche Umstände zwingen uns die veränderte Auffassung von Raum und Zeit auf, widerspricht sie tatsächlich niemals den Erscheinungen, endlich gewährt sie Vorteile für die Beschreibung der Erscheinungen? Bevor wir hierauf eingehen, sei eine wichtige Bemerkung voran- gestellt. Haben wir Raum und Zeit irgendwie individualisiert, so ent- spricht einem ruhenden substantiellen Punkte als Weltlinie eine zur ^ -Achse parallele Gerade, einem gleichförmig bewegten substantiellen Punkte eine gegen die ^-Achse geneigte Gerade, einem ungleichförmig bewegten substantiellen Punkte eine irgendwie gekrümmte Weltlinie. Fassen wir in einem beliebigen Weltpunkte x, y, z, t die dort durch- laufende Weltlinie auf und finden wir sie dort parallel mit irgendeinem Radiusvektor OA' der vorhin genannten hyperboloidischen Schale, so können wir OA als neue Zeitachse einführen, und bei den damit ge- gebenen neuen Begriffen von Raum und Zeit erscheint die Substanz in dem betreffenden Weltpunkte als ruhend. Wir woUen nun dieses fundamentale Axiom einführen: Die in einem hdiehigen Weltjmnlie vorhandene Substanz Mnn stets bei geeigneter Festsetzung von Raum und Zeit als ruhend aufgefaßt tverden. Das Axiom bedeutet, daß in jedem Weltpunkte stets der Ausdruck c^dt^ - dx' - dif - dz^ positiv ausfällt oder, was damit gleichbedeutend ist, daß jede Ge- schwindigkeit V stets kleiner als c ausfällt. Es würde danach für alle substantiellen Geschwindigkeiten c als obere Grenze bestehen und hierin eben die tiefere Bedeutung der Größe c liegen. In dieser anderen Fassung hat das Axiom beim ersten Eindruck etwas Mißfälliges. Es ist aber zu bedenken, daß nun eine modifizierte Mechanik Platz greifen wird, in der die Quadratwurzel aus jener Differentialverbindung zweiten Grades eingeht, so daß Fälle mit Überlichtgeschwindigkeit nur mehr eine Rolle spielen werden, etwa wie in der Geometrie Figuren mit imaginären Koordinaten. Der Anstoß und wahre Beweggrund für die Annahme der Gruppe G^ nun kam daher, daß die Differentialgleichung für die Fortpflanzung von Lichtwellen im leeren Räume jene Gruppe G^ besitzt*). Andererseits hat der Begriff starrer Körper nur in einer Mechanik mit der Gruppe G^ einen Sinn. Hat man nun eine Optik mit G^, und gäbe es andererseits *) Eine wesentliche Anwendung dieser Tatsache findet sich bereits bei W. Voigt, Nachrichten der K. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, mathematisch-physikalische Klasse, 1887, S. 41. 28* 436 Zur Physik. starre Körper, so ist leicht abzusehen, daß durch die zwei zu G^ und zu G^ gehörigen hyperboloidischen Schalen eine ^-Richtung ausgezeichnet sein würde, und das würde weiter die Konsequenz haben, daß man an geeigneten starren optischen Instrumenten im Laboratorium einen Wechsel der Erscheinungen bei verschiedener Orientierung gegen die Fortschreitungsrichtung der Erde müßte wahrnehmen können. AUe auf dieses Ziel gerichteten Bemühungen, insbesondere ein berühmter Interferenzversuch von Michelson, hatten jedoch ein negatives Ergeb- nis. Um eine Erklärung hierfür zu gewinnen, bildete H. A. Lorentz eine Hypothese, deren Erfolg eben in der Invarianz der Optik für die Gruppe Gg liegt. Nach Lorentz soll jeder Körper, der eine Bewegung besitzt, in Richtung der Bewegung eine Verkürzung erfahren haben und zwar bei einer Geschwindigkeit v im Verhältnisse Diese Hypothese klingt äußerst phantastisch. Denn die Kontraktion ist nicht etwa als Folge von Widerständen im Äther zu denken, son- dern rein als Geschenk von oben, als Begleitumstand des Umstandes der Bewegung. Ich will nun an unserer Figur zeigen, daß die Lorentz sehe Hypo- these vöUig äquivalent ist mit der neuen Auffassung von Raum und Zeit, wodurch sie viel verständlicher wird. Abstrahieren wir der Ein- fachheit wegen von y und 2 und denken uns eine räumlich eindimen- sionale Welt, so sind ein wie die ^ -Achse aufrechter und ein gegen die ^-Achse geneigter Parallelstreifen (siehe Fig. 1) Bilder für den Ver- lauf eines ruhenden, bezüglich eines gleichförmig bewegten Körpers, der jedesmal eine konstante räumliche Ausdehnung behält. Ist OÄ' parallel dem zweiten Streifen, so können wir f als Zeit und x als Raumkoordinate einführen, und es erscheint dann der zweite Körper als ruhend, der erste als gleichförmig bewegt. Wir nehmen nun an, daß der erste Körper als ruhend aufgefaßt die Länge l hat, d. h. der Querschnitt PP des ersten Streifens auf der a;- Achse = 1 • OC ist, wo OC den Einheitsmaßstab auf der a;- Achse bedeutet, und daß anderer- seits der zweite Körper als ruhend aufgefaßt die gleiche Länge l hat; letzteres heißt dann, daß der parallel der x'- Achse gemessene Quer- schnitt des zweiten Streifens, Q' Q' = 1 • OC ist. Wir haben nunmehr in diesen zwei Körpern Bilder von zwei gleichen Lorentzschen Elek- tronen, einem ruhenden und einem gleichförmig bewegten. Halten wir aber an den ursprünglichen Koordinaten x, t fest, so ist als Ausdehnung des zweiten Elektrons der Querschnitt QQ seines zugehörigen Streifen» parallel der x- Achse anzugeben. Nun ist offenbar, da Q'Q' = l- OC Eaum und Zeit. 437 ist, QQ = 1 • OD'. Eine leichte Rechnimg ergibt, wenn dx/dt für den zweiten Streifen =v ist, OD' = OC-yl— %, also auch PP : QQ = 1 :|/ 1 ^. Dies ist aber der Sinn der Lorentz sehen Hypothese von der Kontraktion der Elektronen bei Bewegung. Fassen wir anderer- seits das zweite Elektron als ruhend auf, adoptieren also das Bezug- system X, t', so ist als Länge des ersten der Querschnitt P'P' seines Streifens parallel OC zu bezeichnen, und wir würden in genau dem nämlichen Verhältnisse das erste Elektron gegen das zweite verkürzt finden; denn es ist in der Figur rF: Q'Q = OD: 0C'= OD': OG = QQ:PP. Lorentz nannte die Verbindung t' von x und t Ortszeit des gleich- förmig bewegten Elektrons und verwandte eine physikalische Kon- struktion dieses Begriffs zum besseren Verständnis der Kontraktions- hypothese. Jedoch scharf erkannt zu haben, daß die Zeit des einen Elektrons ebenso gut wie die des anderen ist, d. h. daß t und t' gleich zu behandeln sind, ist erst das Verdienst von A. Einstein*). Damit war nun zunächst die Zeit als ein durch die Erscheinungen eindeutig festgelegter Begriff abgesetzt. An dem Begriffe des Raumes rüttelten weder Einstein noch Lorentz, vielleicht deshalb nicht, weil bei der genannten speziellen Transformation, wo die x\ ^'- Ebene sich mit der X, ^-Ebene deckt, eine Deutung möglich ist, als sei die a;-Achse des Raumes in ihrer Lage erhalten geblieben. Über den Begriff des Raumes in entsprechender Weise hinwegzuschreiten, ist auch wohl nur als Ver- wegenheit mathematischer Kultur einzutaxieren. Nach diesem zum wahren Verständnis der Gruppe G^ jedoch unerläßlichen weiteren Schritt aber scheint mir das Woii; Bdativitätspostulat für die Forderung einer Invarianz bei der Gruppe G^ sehr matt. Lidern der Sinn des Postulats wird, daß durch die Erscheinungen nur die in Raum und Zeit vier- dimensionale Welt gegeben ist, aber die Projektion in Raum und in Zeit noch mit einer gewissen Freiheit vorgenommen werden kann, möchte ich dieser Behauptung eher den Namen Postulat der absoluten Welt (oder kurz Weltpostulat) geben. m. Durch das Weltpostulat wird eine gleichartige Behandlung der vier Bestimmungsstücke x, y, z, t möglich. Dadurch gewinnen, wie ich jetzt •) A. Einstein, Annalen der Physik, Bd. 17, 1905, S. 891; Jahrbuch dex Radioaktivität und Elektronik, Bd. 4, 1907, S. 411. 438 Zur Physik. rig. 2. ausführen will, die Formen, unter denen die physikalischen Gesetze sich abspielen, an Verständlichkeit. Vor allem erlangt der Begriif der BescJdeunigung ein scharf hervortretendes Gepräge. Ich werde mich einer geometrischen Ausdrucks weise bedienen, die sich sofort darbietet, indem man im Tripel x, y, z stiUschwei- ^ gend von z abstra- hiert. Einen belie- bigen Weltpunkt 0 denke ich zum Raum- Zeit - Nullpunkt ge- macht. Der Kegd (^f'— x^— y^— z^=0 mit 0 als Spitze (Fig. 2) besteht aus zwei Teilen, einem mit Werten ^ < 0, einem anderen mit Werten ^ > 0. Der erste, der Vorkegel von 0, besteht, sagen wir, aus allen Weltpunkten, die „Licht nach 0 senden", der zweite, der Nachkegel von 0, aus aUen Weltpunkten, die „Licht von 0 empfangen." Das vom Vorkegel aUein begrenzte Gebiet mag diesseits von 0, das vom Nachkegel allein begrenzte jenseits von 0 heißen. Jenseits 0 fällt die schon betrachtete hyperboloidische Schale F = eH^-x^-i/-z^= 1, t>0. Das Gebiet zwischen den Kegeln wird erfüUt von den einschaligen hy- perboloidischen Gebilden -F^x'^-i-y^+z'^-cH^^k^ zu allen konstanten positiven Werten k^. Wichtig sind für uns die Hyperbeln mit 0 als Mittelpunkt, die auf den letzteren Gebilden liegen. Die einzelnen Aste dieser Hyperbeln mögen kurz die Zwischenhyperhdn zum Zentrum 0 heißen. Ein solcher Hyperbelast würde, als Weltlinie eines substantiellen Punktes gedacht, eine Bewegung repräsentieren, die für ^ = — oo und t = -\- oo asymptotisch auf die Lichtgeschwindigkeit c ansteigt. Nennen wir in Analogie zum Vektorbegriff' im Räume jetzt eine gerichtete Strecke in der Mannigfaltigkeit der x, y, z, t einen Vektor, so haben wir zu unterscheiden zwischen den zeitartigen Vektoren mit Rich- tungen von 0 nach der Schale -|- jP= 1, ^>0 und den raumartigen Vektoren mit Richtungen von 0 nach — F =1. Die Zeitachse kann jedem Vektor der ersteren Art parallel laufen. Ein jeder Weltpunkt zwischen Vorkegel und Nachkegel von 0 kann durch das Bezugsystem als gleichzeitig mit 0, aber ebensogut auch als früher als 0 oder als später als 0 eingerichtet werden. Jeder Weltpunkt diesseits 0 ist not- Kaum und Zeit. 439 wendig stets früher, jeder Weltpunkt jenseits 0 notwendig stets später als 0. Dem Grenzübergang zu c = oc würde ein völliges Zusammen- klappen des keilförmigen Einschnittes zwischen den Kegeln in die ebene Mannigfaltigkeit ^ = 0 entsprechen. In den gezeichneten Figuren ist dieser Einschnitt absichtlich mit verschiedener Breite angelegt. Einen beliebigen Vektor, wie von 0 nach x, y, z, t, zerlegen wir in die vier Komponenten x, y, e, t. Sind die Richtungen zweier Vektoren beziehungsweise die eines Radiusvektors 0 R von 0 an eine der Flächen + F = 1 und dazu einer Tangente RS im. Punkte R der betreffenden Fläche, so sollen die Vektoren normal zueinander heißen. Danach ist C'tt^ — xx^ — yy^ — zz^ = 0 die Bedingung dafür, daß die Vektoren mit den Komponenten x, y, s, t und Xi,y^, z^, t^ normal zueinander sind. Für die Beträge von Vektoren der verschiedenen Richtungen sollen die Einheitsmaßstäbe dadurch fixiert sein, daß einem raumartigen Vektor von 0 nach — F = 1 stets der Betrag 1, einem zeitartigen Vektor von 0 nach -{- F =lj ^> 0 stets der Betrag 1 c zugeschrieben wird. Denken wir uns nun in einem Weltpunkte F{x, y, Zj t) die dort durchlaufende Weltlinie eines substantiellen Punktes, so entspricht da- nach dem zeitartigen Vektorelement dx, dy, dz, dt im Fortgang der Linie der Betrag dx = ^ yi^df - dx^ - dy* - dz\ Das Integral Jdx == r dieses Betrages auf der Weltlinie von irgend- einem fixierten Ausgangspunkte Pg bis zu dem variablen Endpunkt« P geführt, nennen wir die Eigenzeit des substantiellen Punktes in P. Auf der Weltlinie betrachten wir x, y, z, t, d. s. die Komponenten des Vektors OP, als Funktionen der Eigenzeit t, bezeichnen deren erste Differentialquotienten nach r mit x,y, z, t, deren zweite Differential- quotienten nach T mit x , y ,'z , t und nennen die zugehörigen Vektoren, die Ableitung des Vektofs OP nach r den Bewegungsvehtor in P und die Ableitung dieses Bewegungsvektors nach x den Beschleunigungsvektor in P. Dabei gilt c^i^— x^—if^— z^= (Tj c'tt — xx — yy — z'z = 0, d- h. der Bewegungsvektor ist der zeitartige Vektor in Richtung der Weltlinie in P vom Betrage 1 und der Beschleunigungsvektor in P ist normal zum Bewegungsvektorin P, also jedenfalls ein raumartiger Vektor. Nun gibt es, wie man leicht einsieht, einen bestimmten Hvperbel- ast, der mit der Weltlinie in P drei unendlich benachbarte Punkte 440 Zur Physik. gemein hat und dessen Asymptoten Erzeugende eines Vorkegels und eines Nachkegels sind (siehe unten Fig. 3). Dieser Hyperbelast heiße die Krümmungshyperhel in P. Ist M das Zentrum dieser Hyperbel, so handelt es sich also hier um eine Zwischenhyperbel zum Zentrum M. Es sei Q der Betrag des Vektors MP, so erkennen wir den Beschleu- nigungsveJctor in P als den Veläor in Richtung MP vom Betrage c^q. Smdx,'y,'£,t sämtlich Null, so reduziert sich die Krümmungs- hyperbel auf die in P die Weltlinie berührende Gerade, und es ist 9 = oo zu setzen. IV. Um darzutun, daß die Annahme der Gruppe G^ für die physi- kalischen Gesetze nirgends zu einem Widerspruche führt, ist es un- umgänglich, eine Revision der gesamten Physik auf Grund der Voraus- setzung dieser Gruppe vorzunehmen. Diese Revision ist bereits in einem gewissen Umfange erfolgreich geleistet für Fragen der Thermo- dynamik und Wärmestrahlung*), für die elektromagnetischen Vorgänge, endlich für die Mechanik unter Aufrechterhaltung des Massenbegriffes**). Für letzteres Gebiet ist vor allem die Frage aufzuwerfen: Wenn eine Kraft mit den Komponenten X, Y, Z nach den Raumachsen in einem Weltpunkte P(a;, «/, z, f) angreift, wo der Bewegungsvektor x,y,z,t ist, als welche Kraft ist diese Kraft bei einer beliebigen Änderung des Bezugsystemes aufzufassen? Nun existieren gewisse erprobte Ansätze über die ponderomotorische Kraft im elektromagnetischen Felde in den Fällen, wo die Gruppe G^ unzweifelhaft zuzulassen ist. Diese Ansätze führen zu der einfachen Regel: JBei Änderung des Bezugsystemes ist die vorausgesetzte Kraft derart als Kraft in den neuen RaumJcoordinaten an- zusetzen, daß dabei der zugehörige Vektor mit den Komponenten ix, iY, iZ, tT, T^\(^X + tY + ~Z\ <^ \t t t J » die durch c^ dividierte Arbeitsleistung der Kraft im Weltpunkte ist, sich unverändert erhält. Dieser Vektor ist stets normal zum Bewegungs- vektor in P. Ein solcher, zu einer Kraft in P gehörender Kraftvektor soll ein bewegender Kraftvektor in P heißen. *) M. Planck, Zur Dynamik bewegter Systeme, Sitzungsberichte der k. preußi- schen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1907, S. 542 (auch Annalen der Physik, Bd. 26, 1908, S. 1). **) H. Minkowski, Die Gxundgleichungen für die elektromagnetischen Vor- gänge in bewegten Körpern, Nachrichten der k. Gesellschaft der Wissenschaft zu Göttingen, mathematisch -phyeikalische Klasse, 1908, S. 53 und Mathematische Annalen, Bd. 68, 1910, S. 527; diese Ges. Abhandlungen, Bd. II, S. 352. Ratim nnd Zeit. 441 Nun werde die durcli P laufende Weltlinie von einem substantiellen Punkte mit konstanter mechanischer Masse m beschrieben. Das w-fache des Bewegungsvektors in P heiße der Impulsvelxtor in P, das 7«-fache des Beschleunigimgsvektors in P der KrafiveJäar der Beicegung in P. Nach diesen Definitionen lautet das Gesetz dafür, wie die Bewegung eines Massenpunktes bei gegebenem bewegenden Kraftvektor statthat*): Der KraftveJdor der Beilegung ist gleich dem bewegenden Kraftvektor. Diese Aussage faßt vier Gleichungen für die Komponenten nach den vier Achsen zusammen, wobei die viert«, weil von vornherein beide genannten Vektoren normal zum Bewegungsvektor sind, sich als eine Folge der drei ersten ansehen läßt. Nach der obigen Bedeutung von T stellt die vierte zweifellos den Energiesatz dar. Als kinetische Energie des Massenpunktes ist daher das c--fache der Komponente des ImptdsveJctors nach der t-Achse zu definieren. Der Ausdruck hierfür ist »ig[A] statt D^{A). „ 279 „ 4 V. u. lies a statt a. (Anm.) „ 309 „ 17 V. u. lies STo^^^-^^^d«)!' • ••l^""''^ statt ^„"^""^^Kl")!' • • -, ^^"'"^ „ 330 „ 16 V. u. lies <ß (9,(7) statt (^9,